精品解析：四川泸州市泸县二中实验学校2026-2027学年高二上学期第二次学月考试数学试题

泸县二中实验学校高2028届2026年秋期第二次学月考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】设倾斜角为，依题意， 由于，所以. 故选：A 2. 已知复数，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以其共轭复数为：. 3. 在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可. 【详解】点为棱的中点， ， ， 又， ，故选B. 【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题. 4. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】由题意可知在上的投影向量为， 故选：B. 5. 已知空间中直线、和平面、，则下列命题中正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理逐一判断四个选项. 【详解】对于A，若，，直线与可能平行，也可能异面，A错误； 对于B，若，，直线与可能平行、相交或者异面，B错误； 对于C，若，，过作平面与相交，交线和平行，垂直于交线，所以，C正确； 对于D，若，，不一定垂直，只有垂直两平面交线时才有，D错误. 6. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特点以及侧面积公式求解即可, 【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形. 设母线长为，底面圆半径为，则，化简得. 轴截面面积，解得，进而 圆锥侧面积为. 7. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理，求得，再在直角中，结合直角三角形的性质，得到，即可求解. 【详解】在中，因为，，可得， 则， 又因为， 由正弦定理得，即， 可得， 在直角中，因为，且， 可得，即塔高为米. 8. 在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示， ∵，， ∴，，，， ∴，， 已知是棱上一点，（）， 则， ∵，∴，解得． 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某运动员10次射击成绩（单位：环）为7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法正确的是（    ） A. 众数为7和9 B. 极差为7 C. 第70百分位数为8 D. 方差为4.8 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为10次射击成绩（单位：环）从小到大排列为：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9， 选项A，因为这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次， 故众数为7和9，故选项A正确； 选项B，这组数据中最大的数为9，最小的数为2，故极差为7，故选项B正确； 选项C，因为，所以第70百分位数为，故选项C错误； 选项D，因为， 所以方差为， 故选项D正确. 10. 连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A与事件B独立 D. 事件A与事件C互斥 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，，事件与事件相互独立， 则，A正确； 选项B，为第二次向上点数为1或2或3或5，则，B正确； 选项C，事件与事件相互不影响，所以事件与事件相互独立，C正确； 选项D，“第一次向上点数为5”，则，即可以同时发生，不互斥，D错误. 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，连接，可证得平面，从而，A选项正确；对于B选项，根据几何体特征，三棱锥的体积和三棱锥的体积相等，根据三棱锥体积公式即可求解；对于C选项，根据题意，可得动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，进而可求得其轨迹长度；对于D选项，作图可得，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面，根据几何体特征，分别求得，，，相加即可得其周长. 【详解】对于A选项，连接，在正方体中，平面， 又平面，所以， 又为正方形对角线，所以， 又为平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B选项，在正方体中，平面， 即平面，所以三棱锥的体积， 又，， 所以，故B正确； 对于C选项，点在底面内（包含边界）运动，且满足，所以动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，所以其轨迹的长度为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，，并延长与的延长线交于点， 则过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面， 因为正方体的棱长为1，分别为的中点， 所以可得，，， 所以四边形的周长为，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． (2)本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据随机事件的包含关系可得，直接代入的取值即可求解.或根据也可求解. 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 13. 已知一组数据的平均数为4，方差为3，若另一组数据的平均数为10，则该组数据的方差为_______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，先通过原始数据的平均数、方差及新数据的平均数求出k，进而求出新数据的方差. 【详解】由题意，原式数据的平均数和方程分别为：， 则新数据的平均数， 于是新数据的方差 . 故答案为：12. 14. 在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 则，，， 所以. 【小问2详解】 若，则， 即，解得. 16. 甲､乙､丙三名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，丙投篮命中的概率为，每人只投篮一次.各运动员投篮结果互不影响. （1）求三人都投篮命中的概率； （2）求三人中至少有一人投篮命中的概率； （3）求三人中恰有两人投篮命中的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 将甲､乙､丙三人投篮命中的事件分别记为A，B，C，事件A，B，C相互独立. ，，， 记“三人都投篮命中”为事件M， 则. 【小问2详解】 记“三人中至少有一人投篮命中”为事件N，则三人各投篮一次，没有人投篮命中为事件，可得， 由已知 ， . 【小问3详解】 记“三人中恰有两人投篮命中”为事件T， . 17. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值． （2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） （3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. （2）利用（1）的结论，利用频率分布直方图中平均数和中位数定义求解. （3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. 【小问3详解】 记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）在锐角中， ①若，求的值； ②求周长的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题设，利用两角和的正弦公式化简求解即可； （2）①利用三角形面积公式和余弦定理求解即可； ②利用正弦定理、三角恒等变换化简得到的周长为，，进而结合正弦型函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 在中，，则， 则， 整理得， 因为，则，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 ①因为，所以， 由余弦定理得，， 则，即， 则，可得. ②由正弦定理得， 可得，又， 在锐角中，有，解得， 所以周长为 ， 因为，所以， 则，即， 所以周长的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】（1）因为，是的中点，所以， 因为是正方形，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求证平面即可； （2）①以为原点建系，计算平面的法向量，再利用距离公式计算； ②设，得出，结合得出，再利用公式求出线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为二面角为，，，所以， 因为，，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，所以， 因为，所以，则， 则点到平面的距离为； ②设， 则， 因为在平面上的射影为，所以， 则，得，则， 设，其中，则， 则， 则， 若，则； 若，则， 因为，所以，则当时，有最大值， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县二中实验学校高2028届2026年秋期第二次学月考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中直线、和平面、，则下列命题中正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）米 A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某运动员10次射击成绩（单位：环）为7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法正确的是（    ） A. 众数为7和9 B. 极差为7 C. 第70百分位数为8 D. 方差为4.8 10. 连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A与事件B独立 D. 事件A与事件C互斥 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． (2)本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 13. 已知一组数据的平均数为4，方差为3，若另一组数据的平均数为10，则该组数据的方差为_______. 14. 在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 甲､乙､丙三名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，丙投篮命中的概率为，每人只投篮一次.各运动员投篮结果互不影响. （1）求三人都投篮命中的概率； （2）求三人中至少有一人投篮命中的概率； （3）求三人中恰有两人投篮命中的概率. 17. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值． （2）估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） （3）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）在锐角中， ①若，求的值； ②求周长的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点. （1）证明：. （2）已知二面角为是线段上的一个动点. ①若，求点到平面的距离； ②若在平面上的射影为，直线与平面所成的角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $