四川南充市仪陇中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

仪陇中学2025-2026学年度上期第一次月考 高二数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．样本数据6，8，4，5，12，10的中位数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．某班级有50名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这50名学生中抽取8人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（ ） A． B． C．2 D．4 6．一组递增数据，，，，的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A．，，，，的极差为10 B．，，，，的方差为8 C．，，，，的第80百分位数为 D．，，，，的平均数为7 7．从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（ ） A．1 B． C． D．0 8．在三棱锥中，，，，则到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11．已知正方体外接球的体积为，点满足，其中，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则点轨迹的长度为 B．若点在线段上（不包括端点），则的最小值为4 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间两点，，且，则点的坐标为______． 13．已知，若，则______． 14．甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16．随着自动驾驶技术的发展，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求，的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 17．如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点． （1）求； （2）求． 18．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 19．在三棱锥中，等边三角形的边长为2，，，点为的中点，设二面角，的平面角分别为，，． （1）证明：； （2）当时，求直线与平面夹角的正弦值； （3）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《仪陇中学2025-2026学年度上期第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C D B B CD ACD 题号 11 答案 AC 12． 13．2 14． 15．（1）．（2）． 【详解】（1）由已知，整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又，所以． （2）因为，，由（1）知，则， 由正弦定理得， 又 所以． 16．（1），．（2）85分．（3）． 【详解】（1）由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得，解得②， 联立①②，解得，． （2）达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ，，第70百分位数落在区间， 设分数线为，则，解得，估计等车的分数线为85分． （3）分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）： 用列表法穷举： — √ √ √ √ — — √ √ √ — — — √ √ — — — — √ 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种， 两车评分均不超过90分的概率：． 17．（1）；（2） 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，，因为， 所以 （2）由（1）可知，同理可得，． 所以 ． 18．（1）；（2） 【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件A，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 19． 【详解】（1）证明：（1）设的中点为，连接、，则， 因为三角形为等边三角形，所以， 又因为，所以， 又因为，、平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）过点作的垂线，设垂足为， 由（1）得，平面，由平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，则， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，即． ，，，， ，，设平面法向量， 则，即 取，可得，，即得， 设直线与平面夹角为，则； （3）过点作的垂线，设垂足为，连接， 由平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，又平面，所以，故， 则，，， ，， 故， 因为，所以， 又因为，，， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $