第2章·实数的初步认识·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第2章·实数的初步认识·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用符号正确表示并熟练开方运算 · 掌握实数的分类，会求实数的相反数、绝对值、倒数，能在数轴上表示实数 · 会用无限夹逼估计无理数的大小，确定无理数的整数部分与小数部分 · 能利用平方（立方）根解简单方程，运用非负性求字母值 · 能解决实数与数轴、勾股定理结合、规律探索等实数综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 正数a的正的平方根叫做算术平方根，记作；≥0)本身是非负数 开平方与平方互为逆运算，常用a2=|a|进行化简 算术平方根具有双重非负性：被开方数a≥0，且≥0 概念辨析例题：求的算术平方根。 答案：的算术平方根为2 解析：先化简=4，再求4的算术平方根，即=2。注意题目是求的算术平方根，不是求16的算术平方根。 ☆ 2.立方根 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作∛a；任意实数都有唯一的立方根 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ∛(-a)=-∛a，即三次根号内的负号可以直接移到根号外面 开立方与立方互为逆运算 概念辨析例题：求∛(-27)的值。 答案：∛(-27)=-3 解析：因为(-3)3=-27，所以∛(-27)=-3；也可由∛(-a)=-∛a得∛(-27)=-∛27=-3。 ☆ 3.实数与数轴、无理数估算 有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数相同 无理数常见类型：开方开不尽的数（如）、含π的数、有规律但不循环的无限小数 估算无理数：找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定其在哪两个整数之间 概念辨析例题：估计在哪两个相邻整数之间。 答案：在3与4之间 解析：因为32=9<10<16=42，所以3<<4，即在3与4之间。 ☆ 4.非负性与开方解方程 常见非负数：绝对值|a|、平方a2、算术平方根；几个非负数之和为0，则每个都为0 利用非负性可列方程求出字母的值，再代入求代数式的值 形如x2=a(a≥0)的方程，开平方得x=±；形如x3=a的方程，开立方得x=∛a 注意开平方有两个互为相反数的解，不要漏解 概念辨析例题：已知|a-1|+=0，求a+b的值。 答案：a+b=-1 解析：因为|a-1|≥0，≥0，且它们的和为0，所以a-1=0，b+2=0，得a=1，b=-2，故a+b=1+(-2)=-1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 算术平方根 正数a的正的平方根 本身非负，负数无 平方根 若x2=a，则x=± 正数有两个，互为相反数 立方根 若x3=a，则x=∛a 任意实数都有唯一立方根 实数 有理数和无理数统称 与数轴上的点一一对应 无理数估算 相邻完全平方数夹逼 确定整数部分与小数部分 非负性 |a|、a2、均≥0 和为0则各自为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与算术平方根的概念（第1-3题） · 先化简再求值，注意表示16的算术平方根等于4 · 区分平方根（两个）与算术平方根（一个）的符号写法 · 利用≥0)的双重非负性确定字母取值范围 1．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【考点2】立方根的概念与运算（第4-7题） · 任意实数都有唯一立方根，负数也有立方根 · ∛(-a)=-∛a，负号可直接移出三次根号 · 立方根的实际问题（正方体棱长）通过体积开立方求解 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则______． ，的运算 运算的结果 10 6．（23-24七年级下·吉林延边·期中）的立方根是__________． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【考点3】实数的分类与有关概念（第8-11题） · 按定义分有理数与无理数，按正负分正实数、0、负实数 · 无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数（如） · 实数的相反数、绝对值、倒数求法与有理数一致 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【考点4】实数与数轴、大小比较与估算（第12-18题） · 数轴上两点间的距离等于右边点表示的数减左边点表示的数 · 估算无理数找相邻完全平方（立方）数夹逼 · 确定无理数整数部分后，小数部分=原数-整数部分 12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 13．（23-24七年级上·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 14．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 16．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= _______ 17．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【考点5】非负性与代数式求值（第19-23题） · 绝对值、平方、算术平方根之和为0，则每一项分别为0 · 先由非负性列方程求字母值，再代入代数式计算 · 含参数方程的解：把解代入原方程求参数 19．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或5 C．或1 D．1或5 21．（23-24七年级下·河南周口·期中）若，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 22．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知，则____________． 23．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【考点6】利用平方根（立方根）解方程（第24-26题） · x2=a(a≥0)开平方得x=±，注意两个解不要漏 · x3=a开立方得x=∛a，只有一个解 · 可结合完全平方公式、平方差公式把方程化为标准形式 24．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）已知，那么的值为______． 25．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程： 【考点7】绝对值化简与实数运算（含程序设计）（第27-32题） · 含字母的绝对值化简，先判断绝对值内式子的正负 · 程序框图题按箭头方向逐步代入计算，直到输出结果 · 科学记数法a×10n中1≤|a|<10，注意近似数的精确度 27．（24-25八年级下·贵州·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 29．　 A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·山西太原·阶段检测）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 31．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 32．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【考点8】实数的应用、规律探索与勾股无理数压轴（第33-43题） · 规律探索题先算前几项，归纳被开方数与序号的关系 · 勾股定理在数轴上画出无理数对应的点（构造直角三角形） · 实数综合题善于把图形、方程、估算结合，分类讨论不遗漏 33．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 36．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是__________． 37．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 38．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 39．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）若整数m的两个平方根为和；n为的整数部分． (1)求m及n的值； (2)求的平方根和立方根． 40．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 41．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 43．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根有两个、立方根唯一，注意符号写法和被开方数的取值范围 · 无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数 · 估算无理数用相邻完全平方数夹逼，整数部分与小数部分要分清 · 非负性之和为0是求字母值的常用模型，开平方注意不要漏解 · 压轴题善于从数轴、勾股、规律中提取直角三角形与方程模型 【作业1】．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【作业2】．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25七年级下·全国·单元复习）如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 【作业4】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）寒假期间，林林窝在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问罪”，林林联想到这学期学过的数学知识，提出了如下问题：（1）10万是个自然数，它的作用是什么？（2）10万用科学记数法怎么表示？（3）10万是准确数还是近似数？下列四个选项正确的是（   ） A．测量，，准确数 B．标号，，准确数 C．排列，，近似数 D．计数，，近似数 【作业5】．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）设a为非负有理数，b是有理数，规定，则______． 【作业6】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知与互为相反数，则b的值为______． 【作业7】．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【作业8】．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知，则的立方的平方根是 ___________． 【作业9】．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知将代数式展开后得，则的值为______． 【作业10】．（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______； 【作业11】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【作业12】．（18-19七年级下·广东惠州·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【作业13】．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【作业14】．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·实数的初步认识·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用符号正确表示并熟练开方运算 · 掌握实数的分类，会求实数的相反数、绝对值、倒数，能在数轴上表示实数 · 会用无限夹逼估计无理数的大小，确定无理数的整数部分与小数部分 · 能利用平方（立方）根解简单方程，运用非负性求字母值 · 能解决实数与数轴、勾股定理结合、规律探索等实数综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 正数a的正的平方根叫做算术平方根，记作；≥0)本身是非负数 开平方与平方互为逆运算，常用a2=|a|进行化简 算术平方根具有双重非负性：被开方数a≥0，且≥0 概念辨析例题：求的算术平方根。 答案：的算术平方根为2 解析：先化简=4，再求4的算术平方根，即=2。注意题目是求的算术平方根，不是求16的算术平方根。 ☆ 2.立方根 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作∛a；任意实数都有唯一的立方根 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ∛(-a)=-∛a，即三次根号内的负号可以直接移到根号外面 开立方与立方互为逆运算 概念辨析例题：求∛(-27)的值。 答案：∛(-27)=-3 解析：因为(-3)3=-27，所以∛(-27)=-3；也可由∛(-a)=-∛a得∛(-27)=-∛27=-3。 ☆ 3.实数与数轴、无理数估算 有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数相同 无理数常见类型：开方开不尽的数（如）、含π的数、有规律但不循环的无限小数 估算无理数：找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定其在哪两个整数之间 概念辨析例题：估计在哪两个相邻整数之间。 答案：在3与4之间 解析：因为32=9<10<16=42，所以3<<4，即在3与4之间。 ☆ 4.非负性与开方解方程 常见非负数：绝对值|a|、平方a2、算术平方根；几个非负数之和为0，则每个都为0 利用非负性可列方程求出字母的值，再代入求代数式的值 形如x2=a(a≥0)的方程，开平方得x=±；形如x3=a的方程，开立方得x=∛a 注意开平方有两个互为相反数的解，不要漏解 概念辨析例题：已知|a-1|+=0，求a+b的值。 答案：a+b=-1 解析：因为|a-1|≥0，≥0，且它们的和为0，所以a-1=0，b+2=0，得a=1，b=-2，故a+b=1+(-2)=-1。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 算术平方根 正数a的正的平方根 本身非负，负数无 平方根 若x2=a，则x=± 正数有两个，互为相反数 立方根 若x3=a，则x=∛a 任意实数都有唯一立方根 实数 有理数和无理数统称 与数轴上的点一一对应 无理数估算 相邻完全平方数夹逼 确定整数部分与小数部分 非负性 |a|、a2、均≥0 和为0则各自为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与算术平方根的概念（第1-3题） · 先化简再求值，注意表示16的算术平方根等于4 · 区分平方根（两个）与算术平方根（一个）的符号写法 · 利用≥0)的双重非负性确定字母取值范围 1．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识进行作答，即可求解； （2）由（1）得，，，将其代入，然后即可求解的平方根； 【详解】（1）解：由题意可得：，，， 解得：， 把代入， 解得：， ∴，，； （2）解：把，，代入，得：， ∴的平方根为； 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 【考点2】立方根的概念与运算（第4-7题） · 任意实数都有唯一立方根，负数也有立方根 · ∛(-a)=-∛a，负号可直接移出三次根号 · 立方根的实际问题（正方体棱长）通过体积开立方求解 4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 5．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则______． ，的运算 运算的结果 10 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．先建立二元一次方程组，利用加减消元法可得的值，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则， 故答案为：3． 6．（23-24七年级下·吉林延边·期中）的立方根是__________． 【答案】2 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根 【分析】本题考查了绝对值，立方根．熟练掌握立方根是解题的关键．根据的立方根为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，的立方根为， 故答案为：2． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【知识点】立方根的实际应用 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 【考点3】实数的分类与有关概念（第8-11题） · 按定义分有理数与无理数，按正负分正实数、0、负实数 · 无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数（如） · 实数的相反数、绝对值、倒数求法与有理数一致 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、无理数、实数概念理解 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、实数的分类、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】9 【知识点】平方根概念理解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题主要考查了平方根的定义， 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求平方根的值，最后求正数． 【详解】∵和是一个正数的两个平方根， ∴， 即， 解得， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：9． 【考点4】实数与数轴、大小比较与估算（第12-18题） · 数轴上两点间的距离等于右边点表示的数减左边点表示的数 · 估算无理数找相邻完全平方（立方）数夹逼 · 确定无理数整数部分后，小数部分=原数-整数部分 12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意； D、，则，故选项错误，符合题意． 故选：D． 13．（23-24七年级上·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键． 根据可以得出a与b异号，再根据可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可． 【详解】解：， a与b异号， 由数轴上观察可知：, ， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， C点由可能是原点． 故选：C． 14．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，首先求出a、b、c的六次方，比较出它们的六次方的大小关系；然后根据：几个负实数，六次方越大，这个数越小，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数的性质、实数的大小比较 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． 16．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= _______ 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 2025 ， ∴对2025只需进行4次操作后变为2； 故选：B． 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 【考点5】非负性与代数式求值（第19-23题） · 绝对值、平方、算术平方根之和为0，则每一项分别为0 · 先由非负性列方程求字母值，再代入代数式计算 · 含参数方程的解：把解代入原方程求参数 19．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或5 C．或1 D．1或5 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的平方根、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据确定a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ，， ，， ， ，或， 当，时，， 当，时，， 的值为或， 故选A． 21．（23-24七年级下·河南周口·期中）若，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值、算术平方根、平方根，本题主要考查了求代数式的值，首先依据绝对值和平方根的定义求得、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是理解绝对值、算术平方根、平方根的定义． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ，，则； ，，则； 故选：． 22．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知，则____________． 【答案】9 【知识点】利用平方根解方程、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【详解】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 23．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 【考点6】利用平方根（立方根）解方程（第24-26题） · x2=a(a≥0)开平方得x=±，注意两个解不要漏 · x3=a开立方得x=∛a，只有一个解 · 可结合完全平方公式、平方差公式把方程化为标准形式 24．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）已知，那么的值为______． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握平方差公式是解题关键．令，则，利用平方差公式计算可得，再利用平方根解方程即可得． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求代数式的平方根、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 26．（25-26九年级上·全国·课后作业）解方程： 【答案】或． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 【考点7】绝对值化简与实数运算（含程序设计）（第27-32题） · 含字母的绝对值化简，先判断绝对值内式子的正负 · 程序框图题按箭头方向逐步代入计算，直到输出结果 · 科学记数法a×10n中1≤|a|<10，注意近似数的精确度 27．（24-25八年级下·贵州·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 28．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 29．　 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 30．（23-24七年级下·山西太原·阶段检测）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算、程序设计与实数运算、不等式的性质 【分析】根据，把代入中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得， ∴输出的结果为3． 31．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 32．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故选A． 【考点8】实数的应用、规律探索与勾股无理数压轴（第33-43题） · 规律探索题先算前几项，归纳被开方数与序号的关系 · 勾股定理在数轴上画出无理数对应的点（构造直角三角形） · 实数综合题善于把图形、方程、估算结合，分类讨论不遗漏 33．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、单项式规律题 【分析】本题考查二次根式的探究规律，准确分析计算是解题的关键． 观察序列的根号部分和指数部分，根号下数字对应项数，的指数为奇数序列，可表示为． 【详解】第项: , 第项: , 第项: , …… 根号部分为，的指数为， 第n个单项式为； 故选． 34．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和中心对称的性质，先根据点与点关于点成中心对称，得到，再由数轴上两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于点成中心对称， ∴， ∴点表示的数是， 故选：B． 35．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 36．（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是__________． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查根据勾股定理在数轴上表示无理数． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故答案为：． 37．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 38．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，实数与数轴，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，且，故，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分． （3）解：由（2）得， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 39．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）若整数m的两个平方根为和；n为的整数部分． (1)求m及n的值； (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根和立方根分别为和4． 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查平方根，立方根和无理数的估算．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据两个平方根互为相反数，求出和的值，根据无理数的估算，确定n的值即可； （2）将m及n的值代入后，再根据平方根和立方根的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵m的两个平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，即：， ∴； （2）解：，， ∴， ∴的平方根为； 的立方根为． ∴的平方根和立方根分别为和4． 40．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 41．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 43．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【答案】(1) (2) (3) 如图，点表示的数为． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，，， ∴， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根有两个、立方根唯一，注意符号写法和被开方数的取值范围 · 无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数 · 估算无理数用相邻完全平方数夹逼，整数部分与小数部分要分清 · 非负性之和为0是求字母值的常用模型，开平方注意不要漏解 · 压轴题善于从数轴、勾股、规律中提取直角三角形与方程模型 【作业1】．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的平方根 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 【作业2】．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 【作业3】．（24-25七年级下·全国·单元复习）如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，先确定的取值范围，然后求出的取值范围，再对应数轴上的每一段范围即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②． 故选：C． 【作业4】．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）寒假期间，林林窝在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问罪”，林林联想到这学期学过的数学知识，提出了如下问题：（1）10万是个自然数，它的作用是什么？（2）10万用科学记数法怎么表示？（3）10万是准确数还是近似数？下列四个选项正确的是（   ） A．测量，，准确数 B．标号，，准确数 C．排列，，近似数 D．计数，，近似数 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字，掌握自然数的意义，科学记数法以及近似数与有效数字的定义是正确解答关键．根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：（1）10万是个自然数，它的作用是计数， （2）10万用科学记数法表示为， （3）10万是近似数， 故选：D． 【作业5】．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）设a为非负有理数，b是有理数，规定，则______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了新定义运算，求一个数的算术平方根和立方根，由新定义得，由算术平方根和立方根，并结合新定义分步求解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【作业6】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知与互为相反数，则b的值为______． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的立方根、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及立方根，根据题意得到，解方程即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业7】．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】 无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 【知识点】实数的分类 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】略． 【作业8】．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知，则的立方的平方根是 ___________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，求得，，再求的立方的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴的立方， ∴的立方的平方根是． 故答案为：． 【作业9】．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知将代数式展开后得，则的值为______． 【答案】或5 【知识点】利用平方根解方程、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式：、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则可得，再利用平方根解方程可得，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵将代数式展开后得， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为或5， 故答案为：或5． 【作业10】．（23-24七年级下·广东汕头·期中）的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______； 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解． 【详解】解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 【作业11】．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【作业12】．（18-19七年级下·广东惠州·期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 【作业13】．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【作业14】．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【知识点】乘方的应用、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $