第1章·三角形·期中复习·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第1章·三角形·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形的高、中线、角平分线等基本概念，理解三角形的稳定性 · 熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，能解决等腰三角形周长问题 · 掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及性质，能进行规范证明 · 掌握角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，会尺规作图解决实际问题 · 理解倍长中线模型等常见辅助线作法，能解决三角形综合探究题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的基本概念与重要线段 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，具有稳定性 三角形的高：从三角形一个顶点向对边（或其延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形的中线：连接一个顶点与对边中点的线段，中线把三角形分成面积相等的两个三角形 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 概念辨析例题：如图，用四根细木条做成一个四边形框架，为了使框架具有稳定性，可再钉上一根木条构成三角形，这种做法的数学依据是什么？ 答案：三角形的稳定性 解析：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，钉上木条后框架中出现三角形，因此整体结构稳定。 ☆ 2.三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 已知两边 a、b，第三边 c 的取值范围为 |a-b|<c<a+b 判断三条线段能否组成三角形：较短两边之和大于最长边即可 等腰三角形问题需分类讨论腰与底，并用三边关系检验能否构成三角形 概念辨析例题：一个等腰三角形的两条边长分别是 3 厘米和 4 厘米，它的周长是多少？ 答案：10 厘米或 11 厘米 解析：当 3 为腰时，三边为 3、3、4，能构成三角形，周长 10；当 4 为腰时，三边为 4、4、3，能构成三角形，周长 11。 ☆ 3.全等三角形的判定与性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等，周长、面积相等 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用），判定必须有边参与 SAS 中的角必须是两边的夹角；SSA 与 AAA 不能判定全等 证明全等先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件，再选择合适判定方法 概念辨析例题：如图，已知 ∠ABD=∠ACD，还需添加什么条件可用 AAS 判定 △ABD≌△ACD？ 答案：∠ADB=∠ADC（答案不唯一） 解析：已有 ∠ABD=∠ACD 和公共边 AD，再添加一组角相等，即可由 AAS 判定两三角形全等。 ☆ 4.等腰三角形与特殊三角形 等腰三角形两腰相等、两底角相等（等边对等角），等角对等边 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 等边三角形三边相等、三个内角均为 60°，是特殊的等腰三角形 遇到等腰三角形问题常作底边上的高，利用三线合一构造直角三角形求解 概念辨析例题：在等边 △ABC 中，中线 BD 交 AC 于点 D，图中共有几个等腰三角形？ 答案：6 个 解析：等边三角形本身是等腰三角形，三线合一可推出多个角相等，结合等角对等边可找出全部等腰三角形。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形的高 顶点到对边（或延长线）的垂线段 钝角三角形有两条高在外部 三角形的中线 顶点与对边中点的线段 中线平分三角形面积 三角形的角平分线 角平分线与对边相交的线段 是线段，不是射线 三边关系 |a-b|<c<a+b 任意两边之和大于第三边 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 必须有边相等 等腰三角形 等边对等角，三线合一 注意腰与底分类讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的基本概念与重要线段 · 三角形具有稳定性，四边形不具有，钉木条构成三角形可增强稳定性 · 角平分线是线段，中线、高也是线段，注意与角的平分线（射线）区分 · 中线把三角形分成两个面积相等的三角形，常用于面积问题 · 直角三角形两锐角互余，求角度时先找出直角再列式 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）在中，，，则_________． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 5．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，分别延长四边形的各边，使得点A，B，C，D分别为的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形．若，则的值等于_______． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，的中线相交于点．若的面积为3，则四边形的面积为________． 7．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【考点2】三角形三边关系 · 判断能否构成三角形：较短两边之和大于最长边 · 已知两边求第三边范围：|a-b|<c<a+b · 含字母的化简利用三边关系判断绝对值内正负 · 三角形周长问题转化为线段和，借助等量代换求解 8．（2025·河北衡水·模拟预测）将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若，且，，则的取值范围为________． 10．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 11．（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【考点3】等腰三角形与三边关系 · 等腰三角形周长问题分腰与底两种情况讨论，再用三边关系检验 · 格点中画等腰三角形：以 AB 为底或为腰分类计数 · 非负性求边长：由绝对值、平方、算术平方根的非负性得方程 · 动点形成等腰三角形时按三边两两相等分类讨论 12．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 13．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在等边中，中线交于点F，则图中等腰三角形的个数是（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，，在射线上取一点A，设，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个，求d的取值范围是______． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，．有一动点从点开始以的速度沿的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当 时，点回到点； (2)当点在上，且时，求此时的值； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【考点4】全等三角形的判定 · SSS：三边对应相等；SAS：两边及其夹角对应相等 · ASA：两角及其夹边；AAS：两角及其中一角的对边 · HL：直角三角形斜边与一条直角边对应相等 · 添加条件题：从已知出发补齐一种判定方法，注意 SSA 不行 18．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点，在上，，，下列5个条件中选择一个条件，①；②；③；④；⑤，能够使得的条件个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 23．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为_________________． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知，要使，请再添加一个条件________． 25．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是___________． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是________． 27．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 28．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 29．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 已知点A、B、C、D在同一条直线上， ， ， 求证：．    【考点5】全等三角形的性质与综合 · 全等对应边、对应角相等，用于证明线段与角相等 · 先证全等再求线段长，常结合勾股定理、等腰性质 · 垂线模型：过点作垂线构造全等，是常见辅助线 · 旋转、平移等变换下图形全等，对应元素不变 30．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 31．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 32．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ） A．图1 B．图1与图2 C．图2与图3 D．图1与图3 33．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则_______， __________． 34．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图如果点P在射线OC上，，，垂足分别为D，E，，若，______．    35．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，，则______． 36．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则___________． 37．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则_______． 38．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，，则的长度为______．    39．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图1，点E是长方形的边的中点，动点P由点A出发，沿的路线匀速运动，速度是，图2是整个运动过程中，的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）之间的关系图象．那么满足时的总时长为______s． 41．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，为等边三角形，D、E分别是边、上的点，且满足，点P是边上的动点，以P、D、E为顶点，为对角线构造平行四边形，若，则线段的最小值为________． 42．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，， ， ， ，D，E分别为垂足． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 43．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，连接，以为边作，交的延长线于点H，过点E作，且． (1)若，则______； (2)若，求证：． 44．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段检测）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 45．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 46．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点作交直线于点，求证：； (3)若点是直线上一点，点是轴上一点（点不与点重合），当与全等时，在线段上求出点的坐标． 【考点6】角平分线的性质与判定 · 角平分线上的点到角两边距离相等，常作垂线 · 判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 · 面积法：用角平分线性质转化高，结合面积公式求线段 · 多个角平分线交点（内心）：到三边距离相等 47．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ）    A．15 B．12 C．8 D．6 48．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 49．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 50．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 51．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的长是_____． 52．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为______． 53．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 54．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为_____． 55．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 56．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    57．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 【考点7】线段垂直平分线与尺规作图 · 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，转化线段求周长 · 尺规作垂直平分线：以两端为圆心、大于一半长为半径画弧 · 尺规作角平分线：利用 SSS 全等构造等角 · 角平分线与垂直平分线交点同时满足两种性质 58．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 59．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，直线与直线a、b分别交于A、B两点，线段的垂直平分线分别交a、b于点C，D，连接．若，则______°． 60．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的周长为______． 61．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为__________ 62．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为______． 63．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． （用尺规作图，保留作图痕迹）    64．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 65．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 66．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）尺规作图（需保留作图痕迹） (1)已知，将沿直线折叠，使得边落在边上，作折痕． (2)在线段上找一点E，使得； (3)在（1）（2）问的前提下，已知，则 ． 【考点8】倍长中线模型 · 倍长中线：延长中线至 2 倍长，连接构造全等三角形 · 把分散的条件集中到同一个三角形中，利用三边关系求范围 · 由全等转移线段与角，证明线段相等或位置关系 · 中点处常作倍长中线或取中点构造中位线 67．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 69．（23-24八年级上·广东广州·阶段检测）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； 根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ． （2）写出图1中与的位置关系并证明． （3）如图2，在中，为中线，E为上一点，、交于点F，且．求证：．    70．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形的高、中线、角平分线都是线段，注意钝角三角形高的位置 · 三边关系与等腰分类讨论是易错点，务必检验能否构成三角形 · 证明全等先找隐含条件（公共边、公共角），再选判定方法 · 角平分线、垂直平分线常作垂线辅助线，利用性质转化线段 · 倍长中线是构造全等的核心模型，见到中点优先联想 【作业1】．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ）    A．15 B．12 C．8 D．6 【作业3】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 【作业4】．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【作业5】．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【作业6】．（24-25七年级下·江苏常州·期末）在中，，，则_________． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的长是_____． 【作业9】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，直线与直线a、b分别交于A、B两点，线段的垂直平分线分别交a、b于点C，D，连接．若，则______°． 【作业10】．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的周长为______． 【作业11】．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，的中线相交于点．若的面积为3，则四边形的面积为________． 【作业12】．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 【作业13】．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． （用尺规作图，保留作图痕迹）    【作业14】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 【作业15】．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【作业16】．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【作业17】．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【作业18】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·三角形·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形的高、中线、角平分线等基本概念，理解三角形的稳定性 · 熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，能解决等腰三角形周长问题 · 掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及性质，能进行规范证明 · 掌握角平分线、线段垂直平分线的性质与判定，会尺规作图解决实际问题 · 理解倍长中线模型等常见辅助线作法，能解决三角形综合探究题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的基本概念与重要线段 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，具有稳定性 三角形的高：从三角形一个顶点向对边（或其延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段 三角形的中线：连接一个顶点与对边中点的线段，中线把三角形分成面积相等的两个三角形 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 概念辨析例题：如图，用四根细木条做成一个四边形框架，为了使框架具有稳定性，可再钉上一根木条构成三角形，这种做法的数学依据是什么？ 答案：三角形的稳定性 解析：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，钉上木条后框架中出现三角形，因此整体结构稳定。 ☆ 2.三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 已知两边 a、b，第三边 c 的取值范围为 |a-b|<c<a+b 判断三条线段能否组成三角形：较短两边之和大于最长边即可 等腰三角形问题需分类讨论腰与底，并用三边关系检验能否构成三角形 概念辨析例题：一个等腰三角形的两条边长分别是 3 厘米和 4 厘米，它的周长是多少？ 答案：10 厘米或 11 厘米 解析：当 3 为腰时，三边为 3、3、4，能构成三角形，周长 10；当 4 为腰时，三边为 4、4、3，能构成三角形，周长 11。 ☆ 3.全等三角形的判定与性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等，周长、面积相等 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用），判定必须有边参与 SAS 中的角必须是两边的夹角；SSA 与 AAA 不能判定全等 证明全等先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件，再选择合适判定方法 概念辨析例题：如图，已知 ∠ABD=∠ACD，还需添加什么条件可用 AAS 判定 △ABD≌△ACD？ 答案：∠ADB=∠ADC（答案不唯一） 解析：已有 ∠ABD=∠ACD 和公共边 AD，再添加一组角相等，即可由 AAS 判定两三角形全等。 ☆ 4.等腰三角形与特殊三角形 等腰三角形两腰相等、两底角相等（等边对等角），等角对等边 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高互相重合 等边三角形三边相等、三个内角均为 60°，是特殊的等腰三角形 遇到等腰三角形问题常作底边上的高，利用三线合一构造直角三角形求解 概念辨析例题：在等边 △ABC 中，中线 BD 交 AC 于点 D，图中共有几个等腰三角形？ 答案：6 个 解析：等边三角形本身是等腰三角形，三线合一可推出多个角相等，结合等角对等边可找出全部等腰三角形。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形的高 顶点到对边（或延长线）的垂线段 钝角三角形有两条高在外部 三角形的中线 顶点与对边中点的线段 中线平分三角形面积 三角形的角平分线 角平分线与对边相交的线段 是线段，不是射线 三边关系 |a-b|<c<a+b 任意两边之和大于第三边 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 必须有边相等 等腰三角形 等边对等角，三线合一 注意腰与底分类讨论 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的基本概念与重要线段 · 三角形具有稳定性，四边形不具有，钉木条构成三角形可增强稳定性 · 角平分线是线段，中线、高也是线段，注意与角的平分线（射线）区分 · 中线把三角形分成两个面积相等的三角形，常用于面积问题 · 直角三角形两锐角互余，求角度时先找出直角再列式 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性．利用三角形的稳定性确定正确的选项即可． 【详解】解：根据题意得：为了使这个框架有稳定性，需要钉上一根细木条，使得构成三角形， A、B、C选项中均可，D不可以， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）在中，，，则_________． 【答案】55 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到，再由消去即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， ， ，即， 解得， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③ 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 5．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，分别延长四边形的各边，使得点A，B，C，D分别为的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形．若，则的值等于_______． 【答案】20 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线平分三角形面积得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点A，B，C，D分别为的中点， ∴， ∴ 同理可得，， ∴， 故答案为：20 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，的中线相交于点．若的面积为3，则四边形的面积为________． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，再表示出与，即可得解． 【详解】∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 故答案为3． 7．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： ； (2) 如图所示，线段即为所求； x (3) 线段即为所求； (4) 【知识点】画三角形的高、平移(作图)、利用平移的性质求解、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可； （2）连接C点与的中点即可； （3）取格点，满足，连接交的延长线于即可； （4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：， ∴． 即线段扫过的面积为16． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键． 【考点2】三角形三边关系 · 判断能否构成三角形：较短两边之和大于最长边 · 已知两边求第三边范围：|a-b|<c<a+b · 含字母的化简利用三边关系判断绝对值内正负 · 三角形周长问题转化为线段和，借助等量代换求解 8．（2025·河北衡水·模拟预测）将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若，且，，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系等知识，根据全等三角形的性质，对应边相等，得到和的长度，再利用三角形的三边关系求解的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，， 在中， 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 因此有， 即， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①②为等腰三角形 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三边关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵为奇数． ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 11．（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； (3) 解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）略 （3）略 【考点3】等腰三角形与三边关系 · 等腰三角形周长问题分腰与底两种情况讨论，再用三边关系检验 · 格点中画等腰三角形：以 AB 为底或为腰分类计数 · 非负性求边长：由绝对值、平方、算术平方根的非负性得方程 · 动点形成等腰三角形时按三边两两相等分类讨论 12．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当3为腰时，等腰三角形的三边为：3，3，4，因为，符合三角形三边关系； 当4为腰时，等腰三角形的三边为：4，4，3，因为，符合三角形三边关系； ∴等腰三角形的周长为：（厘米）或（厘米）， 故选：D． 13．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在等边中，中线交于点F，则图中等腰三角形的个数是（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，解题关键是等腰三角形两底角相等，等腰三角形两腰长相等． 【详解】解：是等边三角形，是中线， ，， 是的角平分线（三线合一）， ， ， ， ． 故等腰三角形有六个分别是：， 故选：C． 15．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，，在射线上取一点A，设，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个，求d的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识．由题意可知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，当或时，能作出唯一一个， 当时， ∵，， ∴，即此时； 当时， ∵，， ∴， 即时能作出唯一三角形， 综上所述：当或时能作出唯一一个 故答案为：或． 17．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，．有一动点从点开始以的速度沿的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当 时，点回到点； (2)当点在上，且时，求此时的值； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （）先由勾股定理求出的长度，进而求出周长即可 得解； （）由题知，，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （）分点在上、点在上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴当点回到点时（秒）， 故答案为：； （2）解：如图， ∵点在上，且， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； （3）解：如图，当在上时，此时， ∴， 当在上时， 如图，， 此时， ∴， ∴， 如图，， 过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：当为等腰三角形时，满足条件的的值为或或或． 【考点4】全等三角形的判定 · SSS：三边对应相等；SAS：两边及其夹角对应相等 · ASA：两角及其夹边；AAS：两角及其中一角的对边 · HL：直角三角形斜边与一条直角边对应相等 · 添加条件题：从已知出发补齐一种判定方法，注意 SSA 不行 18．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等． 【详解】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等； 在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等； 不能判定甲与全等； 故选：B． 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； B、已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； C、已知两边及其中一边的对角，属于的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故符合题意， D、已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意． 故选：C． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点，在上，，，下列5个条件中选择一个条件，①；②；③；④；⑤，能够使得的条件个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用全等三角形判定方法依次判断，可求解． 【详解】解：∵，， ∴添加条件时，无法判断，故①不符合题意； 添加条件时，可利用判断，故②符合题意； 添加条件时，有，则利用判定，故③符合题意； 添加条件，得时，无法判断，故④不符合题意； 添加条件，得时，无法判断，故⑤不符合题意； 故选B． 21．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 22．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 23．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为_________________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（此方法仅用于直角三角形全等的判定）． 【详解】解：若添加：， 在和中， ， ∴； 若添加：， 在和中， ， ∴； ∴添加一个条件使，则添加的条件可以为或． 故答案为：（答案不唯一）． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知，要使，请再添加一个条件________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：由题意得，，， ∴可以添加条件，从而利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 25．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是___________． 【答案】（或）． 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加，根据“”可得； 添加，根据“”可得． 故答案为：（或）． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是________． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——． 根据全等三角形的判定——求解． 【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 27．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】略 28．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 【知识点】同位角相等两直线平行、全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 29．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 已知点A、B、C、D在同一条直线上， ， ， 求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点．证明即可证明． 【详解】略 【考点5】全等三角形的性质与综合 · 全等对应边、对应角相等，用于证明线段与角相等 · 先证全等再求线段长，常结合勾股定理、等腰性质 · 垂线模型：过点作垂线构造全等，是常见辅助线 · 旋转、平移等变换下图形全等，对应元素不变 30．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 31．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点、在上，，，且，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、找出图中的等腰三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得、、是等腰三角形，再利用证得，进而可得是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， 点、分别是和的中点，， 又，， ，， 、、是等腰三角形，， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 则图中等腰三角形的个数为4个， 故选B． 32．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ） A．图1 B．图1与图2 C．图2与图3 D．图1与图3 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质可对图3进行判断，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，平分，符合题意； 由图2可得，点是的中点，所以是中线，不一定平分，不符合题意； 在图3中， 由作图可得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴平分，符合题意； ∴综上所述，能判断射线平分的是图1与图3． 故选：D． 33．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，于点平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，则_______， __________． 【答案】 3 / 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，掌握等边对等角，全等三角形的判定和性质是解题的关键．由可证，可得，运用勾股定理可得，利用面积法可求的长． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：①②． 34．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图如果点P在射线OC上，，，垂足分别为D，E，，若，______．    【答案】/70度 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】利用证明，可得，进一步计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 35．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，，则______． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 根据全等三角形的性质，分类讨论即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，或，， 当，时，不符合题意； 当，时， 解得：； 故答案为：3． 36．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则___________． 【答案】3或7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 37．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，点D在上，点E在上，，点F在上，，，则_______． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 作于M，延长至N使，设，先证明为等腰三角形，然后证明，推出，从而得出，即可得到是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：作于M，延长至N使，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 38．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的中线，，，，则的长度为______．    【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，根据题意，延长到，使得，作，可证，设，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，过点作于点，    ∵是的中线， ∴，且， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 39．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图1，点E是长方形的边的中点，动点P由点A出发，沿的路线匀速运动，速度是，图2是整个运动过程中，的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）之间的关系图象．那么满足时的总时长为______s． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了动点函数的图象．根据函数图象的性质求得，，在上取点，使，连接，此时，当点在点右边时，，据此求解即可． 【详解】解：由图2可知，点P从A到B，的面积不变，说明的长度就是以为底时的高， 此时，， ∴， ∵， ∴， 如图，在上取点，使，连接， 此时， 当点在点右边时，， ∵点E是长方形的边的中点， ∴， 而， ∴， ∴满足时的总时长为， 故答案为：． 41．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，为等边三角形，D、E分别是边、上的点，且满足，点P是边上的动点，以P、D、E为顶点，为对角线构造平行四边形，若，则线段的最小值为________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】依据题意，建立平面直角坐标系，由直线的解析式可设，，再根据平行四边形的对角线互相平分进而求出，的关系，最后根据垂线段最短可以得解． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，过点A作于N，过点E作于F，设平行四边形对角线交于点． 由题意，， ， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴，． 是的中点， ， 由题意，设直线为，， ． ． 直线为． 在直线上， 可设． 再设， ，． 上面两式消去得，． 在直线上（如图）． 当垂直于直线时，最小． 对于直线， 令，； 令，． 利用面积法可得的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次图象与坐标轴的交点，勾股定理，直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 42．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，， ， ， ，D，E分别为垂足． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先根据直角三角形的性质，证明，再利用“角角边”可证明； （2）先根据勾股定理求出，再根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）在中，， ， ， ． 43．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，连接，以为边作，交的延长线于点H，过点E作，且． (1)若，则______； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴． 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据三角形中线求面积． （1）证明，得到，即可得到； （2）证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 44．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段检测）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1) 猜想此时与的位置关系为：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)； 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理； （1）证明即可得到答案； （2）根据勾股定理求出，再加减线段即可得到答案； 【详解】（1）解：略． （2）解：在中，（）， ∴． 45．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 【答案】(1) 如图1：即为所求（答案不唯一）； (2) 如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； (3) 如图： 即为所求． 【知识点】画三角形的高、全等三角形的性质、格点作图题 【分析】本题考查了格点三角形的全等、面积计算及三角形高的作法，解题关键是利用格点的边长与位置特征，结合全等三角形、面积公式及垂心的性质进行作图与分析． （1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【详解】（1）略． （2）略． （3）取格点、，连接交于，连接并延长交于， 理由∶ 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 46．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点作交直线于点，求证：； (3)若点是直线上一点，点是轴上一点（点不与点重合），当与全等时，在线段上求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 证明：∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ，， 又， ， ， ， ， ， 又， ； (3)或或 【知识点】求一次函数解析式、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先求得直线与两坐标轴的交点，再根据旋转的性质得出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，设的解析式，利用待定系数法可求得其解析式； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得，再接合，可得； （3）当与全等时，分，，，三种情况，分别求出P点的坐标． 【详解】（1）解：由直线， 当时，； 当时，，解得：， ∴， 绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴， 设的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为：； （2）略 （3）如图， ， ， ， ，， ，， ， ∴， 作轴， 则， ∴， ∴点坐标； ②， ， ，， ∴点坐标； ③， ， ，， ∴，， ∴， ∴点P坐标； 综上所述，和全等时，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形与坐标，勾股定理，一次函数的综合应用，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 【考点6】角平分线的性质与判定 · 角平分线上的点到角两边距离相等，常作垂线 · 判定：到角两边距离相等的点在角平分线上 · 面积法：用角平分线性质转化高，结合面积公式求线段 · 多个角平分线交点（内心）：到三边距离相等 47．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ）    A．15 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】过点作，交于点，利用角平分线的性质，得到，利用，进行计算即可． 【详解】解：过点作，交于点，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 48．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 49．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的性质定理 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，设，由角平分线的性质可得，根据建立方程并求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 50．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 51．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的长是_____． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积．过D作于M，根据角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出，根据三角形的面积得出，再代入求出即可． 【详解】解：如图，过D作于M， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵的面积为14， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：4． 52．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点D在第一象限，且满足：．点B是x轴正半轴上的一个动点，连接．作的两个外角平分线交于点C，点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为______． 【答案】/64度 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．连接，过C作于点F，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】如图，在x轴和y轴上取点N、P，连接，过C作于点F，作于点E，作于点G， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，． ∴． 故答案为：． 53．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 【答案】16 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的性质及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点． 因为是的角平分线， 所以． 已知， 则． 因为， 且 所以． 又已知， 则． 故答案为：16． 54．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为_____． 【答案】/ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过作于，于，由角平分线的性质可得，，，再根据，求出，即可得出的面积． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分，平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：． 55．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 56．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【答案】 证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，， ， 又∵，， 点在的平分线上． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．先根据角平分线的性质得，，进而可知，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略 57．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 【答案】10 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图，作于，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 【考点7】线段垂直平分线与尺规作图 · 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，转化线段求周长 · 尺规作垂直平分线：以两端为圆心、大于一半长为半径画弧 · 尺规作角平分线：利用 SSS 全等构造等角 · 角平分线与垂直平分线交点同时满足两种性质 58．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 59．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，直线与直线a、b分别交于A、B两点，线段的垂直平分线分别交a、b于点C，D，连接．若，则______°． 【答案】68 【知识点】两直线平行内错角相等、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据三线合一的性质得出，根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解∶∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：68． 60．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的周长为______． 【答案】16 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出，继而求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴∴的周长， 故答案为：16． 61．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，现分别以点和点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交和于点和，连接，则的周长为__________ 【答案】14 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：． 62．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为______． 【答案】17 【知识点】作线段(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 63．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． （用尺规作图，保留作图痕迹）    【答案】 如图，点P即为所求．    【知识点】作线段(尺规作图)、角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】设交于点E，连接，作出的平分线，再作出线段的垂直平分线，与相交的点即为所求作的点P． 【详解】解：理由：设交于点E，连接， 根据作法得：平分，垂直平分线段， ∴点P到两边的距离相等，点P到线段的两端的距离相等， 即点P到的距离相等，点P到点B，C的距离相等． 【点睛】此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练堂握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 64．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见下方解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定以及点到直线的距离和三角形面积公式等知识点． （1）关键在于利用平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换的思想来证明．利用三角形中等边对等角，再利用同位角相等，两直线平行，再利用平行证明内错角相等，等等量代换即可； （2）关键是理解角平分线的性质，将点到的距离转化为中边上的高． 【详解】（1）由题可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． （2）过点作于点，于点, 由题可知， 由（1）可知射线是的平分线， ∴， ∴， ， ． 故答案为：． 65．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【答案】 如图，点即为所求； 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线和线段的垂直平分线，以及角平分线和线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作平分线和线段的垂直平分线的步骤． 根据得到点在线段的垂直平分线上，由点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，得到点也在的平分线上，则交点即为点，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可． 【详解】略 66．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）尺规作图（需保留作图痕迹） (1)已知，将沿直线折叠，使得边落在边上，作折痕． (2)在线段上找一点E，使得； (3)在（1）（2）问的前提下，已知，则 ． 【答案】(1) 作的平分线，则得到折痕，如图． (2) 如图， (3)2 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图：作角平分线主线段的垂直平分线，线段垂直平分线性质定理等知识，掌握基本尺规作图步骤是关键． （1）作出的平分线即可； （2）作线段的垂直平分线即可； （3）由线段垂直平分线性质定理得，再由即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：由（2）知，， ∴； 故答案为：2． 【考点8】倍长中线模型 · 倍长中线：延长中线至 2 倍长，连接构造全等三角形 · 把分散的条件集中到同一个三角形中，利用三边关系求范围 · 由全等转移线段与角，证明线段相等或位置关系 · 中点处常作倍长中线或取中点构造中位线 67．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B 68．（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； (3) 解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）略 （3）略 69．（23-24八年级上·广东广州·阶段检测）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把集中在中； 根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ． （2）写出图1中与的位置关系并证明． （3）如图2，在中，为中线，E为上一点，、交于点F，且．求证：．    【答案】（1）； （2）， 证明：由（1）知， ∴， ∴； （3）证明：延长至点G，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）根据可得，即可证明； （3）（3）延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证． 【详解】解：（1）延长到Q，使得，再连接，    ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形． 70．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【知识点】确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）如图①，证明，再由三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵是边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形的高、中线、角平分线都是线段，注意钝角三角形高的位置 · 三边关系与等腰分类讨论是易错点，务必检验能否构成三角形 · 证明全等先找隐含条件（公共边、公共角），再选判定方法 · 角平分线、垂直平分线常作垂线辅助线，利用性质转化线段 · 倍长中线是构造全等的核心模型，见到中点优先联想 【作业1】．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性．利用三角形的稳定性确定正确的选项即可． 【详解】解：根据题意得：为了使这个框架有稳定性，需要钉上一根细木条，使得构成三角形， A、B、C选项中均可，D不可以， 故选：D． 【作业2】．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ）    A．15 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】过点作，交于点，利用角平分线的性质，得到，利用，进行计算即可． 【详解】解：过点作，交于点，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【作业3】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当3为腰时，等腰三角形的三边为：3，3，4，因为，符合三角形三边关系； 当4为腰时，等腰三角形的三边为：4，4，3，因为，符合三角形三边关系； ∴等腰三角形的周长为：（厘米）或（厘米）， 故选：D． 【作业4】．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等． 【详解】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等； 在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等； 不能判定甲与全等； 故选：B． 【作业5】．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级下·江苏常州·期末）在中，，，则_________． 【答案】55 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到，再由消去即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， ， ，即， 解得， 故答案为：． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③ 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的长是_____． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积．过D作于M，根据角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出，根据三角形的面积得出，再代入求出即可． 【详解】解：如图，过D作于M， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵的面积为14， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：4． 【作业9】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，直线与直线a、b分别交于A、B两点，线段的垂直平分线分别交a、b于点C，D，连接．若，则______°． 【答案】68 【知识点】两直线平行内错角相等、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据三线合一的性质得出，根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】解∶∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：68． 【作业10】．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的周长为______． 【答案】16 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出，继而求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴∴的周长， 故答案为：16． 【作业11】．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，的中线相交于点．若的面积为3，则四边形的面积为________． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，再表示出与，即可得解． 【详解】∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 故答案为3． 【作业12】．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中， ，是的角平分线，若，则的面积为__________ 【答案】16 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的性质及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点． 因为是的角平分线， 所以． 已知， 则． 因为， 且 所以． 又已知， 则． 故答案为：16． 【作业13】．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． （用尺规作图，保留作图痕迹）    【答案】 如图，点P即为所求．    【知识点】作线段(尺规作图)、角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】设交于点E，连接，作出的平分线，再作出线段的垂直平分线，与相交的点即为所求作的点P． 【详解】解：理由：设交于点E，连接， 根据作法得：平分，垂直平分线段， ∴点P到两边的距离相等，点P到线段的两端的距离相等， 即点P到的距离相等，点P到点B，C的距离相等． 【点睛】此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练堂握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【作业14】．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见下方解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定以及点到直线的距离和三角形面积公式等知识点． （1）关键在于利用平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换的思想来证明．利用三角形中等边对等角，再利用同位角相等，两直线平行，再利用平行证明内错角相等，等等量代换即可； （2）关键是理解角平分线的性质，将点到的距离转化为中边上的高． 【详解】（1）由题可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． （2）过点作于点，于点, 由题可知， 由（1）可知射线是的平分线， ∴， ∴， ， ． 故答案为：． 【作业15】．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】略 【作业16】．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：； (2)判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 【知识点】同位角相等两直线平行、全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【作业17】．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图： (1)补全； (2)画出中线； (3)画出边上的高线； (4)在平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： ； (2) 如图所示，线段即为所求； x (3) 线段即为所求； (4) 【知识点】画三角形的高、平移(作图)、利用平移的性质求解、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可； （2）连接C点与的中点即可； （3）取格点，满足，连接交的延长线于即可； （4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：， ∴． 即线段扫过的面积为16． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键． 【作业18】．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 【答案】(1) 如图1：即为所求（答案不唯一）； (2) 如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； (3) 如图： 即为所求． 【知识点】画三角形的高、全等三角形的性质、格点作图题 【分析】本题考查了格点三角形的全等、面积计算及三角形高的作法，解题关键是利用格点的边长与位置特征，结合全等三角形、面积公式及垂心的性质进行作图与分析． （1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【详解】（1）略． （2）略． （3）取格点、，连接交于，连接并延长交于， 理由∶ 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $