2026—2027学年苏科版八年级数学上册期中综合复习讲义

八年级数学期中综合复习讲义 2026一2027学年第一学期苏科版教师详解版 三角形勾股定理实数分式与分式方程 按本次已学范围组织复习，先核对四模块核心条件，再完成综合练习。 一复习清单 三角形线段角与基本关系 线段和角的条件要读准确 线段中点把一条线段分成相等的两段；角平分线是从顶点出发、把一个角分成相等两角的射线。求 线段或角的和差，先认清点的先后次序、两角是否相邻，不根据图形外观默认等长或垂直。 邻补角的和为180°，两条直线相交所成的对顶角相等。证明中的等角、角的和差，要说明它们来自 题设还是这些基本关系。 两点之间线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度。后一个结论须有垂直条件，连接到直线上任 意一点的线段不能直接当作距离。 三边关系与角的关系 任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边。已知两边a,b时，第三边c须满足 a-b<c<a+b,等号不能取。若已知三条正长度，只需检查较短两边的和是否大于最长边。 三角形内角和为180°。一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；必须先指出外角是由哪一边延长 形成的。 例：两边长为4,7，第三边为整数，则3<c<11,可取4,5,6,7,8,9,10。若一个外角为112°、一个不相 邻内角为46°，则另一个不相邻内角为66°。 4 460 1129 B D 第1页共42页 高中线角平分线 高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段，中线连接顶点和对边中点，角平分线平分该顶角。一般 三角形中，它们并不重合。 锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形的两条直角边本身是高；钝角三角形有两条高的垂足在 对应边的延长线上。高的垂足在延长线上时，面积公式仍为S4=BCAD,其中ADLBC。 例：底边BC=7、对应的高AD=4,则面积为14，不能随意用另一条边长替代AD。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 C D 三角形全等对称与证明 全等的判定与对应 全等三角形的对应边相等、对应角相等。书写△ABC兰△DEF时，已经约定A+D、B~E、 CF,后续结论须按这个顺序取。 判定条件为：SSS是三边分别相等；SAS是两边及它们的夹角分别相等；ASA是两角及夹边分别相 等；AAS是两角及其中一个角的对应对边分别相等。直角三角形的HL是斜边及一条直角边分别相 等，使用前须先确认两个直角。AAA、SSA一般不能判全等。 第2页共42页 等腰等边与直角30度 等边对等角，等角对等边。等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这就是 三线合一；要确认顶角和底边的位置，不能把任意一条高都当作中线。等边三角形三边相等，三个 内角均为60°。 例：AB=AC,D是BC中点，连接AD。在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD AD=AD 所以△ABD兰△ACD(SSS)。 于是∠ADB=∠ADC,两角又互补，故各为90°，并且∠BAD=∠CAD。这说明底边中线也是高 和顶角平分线。 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。使用时先辨30°角的对边，不是把任意直角边 都除以2。 A 309 ⊙ 两种平分线的性质与判定 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；反过来，到两个端点距离相等的点在这条垂直平分 线上。已知中点只能得到两段相等，还缺垂直；已知垂直也不能自动推出平分。 角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角内部到两边距离相等的点在角平分线上。距离 必须用垂线段表示。尺规作垂直平分线或角平分线时，同半径交弧提供等长条件，再用全等说明作 图依据。 例：P在线段AB的垂直平分线上，若PA=7,则PB=7,Q在∠AOB的平分线上，若垂线段 QE=3,则另一垂线段QF=3。这两个“等距”的对象不同，不能混用。 3 A M 到两个端点等距 到两边的垂距相等 第3页共42页 勾股定理条件方法与位置 正用与逆用 在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a+b2=c2。直角所对的边才是斜边。已 知斜边和一直角边求另一边时应作平方差，长度取正值。 逆定理：若一个三角形的三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角 形。检验时先找最长边，并确认三条长度能围成三角形。 例：两直角边为1,2，斜边为V5,三边为2，√5,3时，2+（√5）2=32，所以3是斜边。不能因为图画得 像直角，就省略条件或证明。 A A 5 3 B 2 & 5 把几何条件转为直角三角形 看到等腰底边中点，可连接顶点与中点，用三线合一获得高；看到面积和底边，可先求对应高；看 到折叠，可先标清对应点，利用折叠前后的长度相等，再列勾股关系。 直角三角形地能换底求高：S方9b方h,从而-史。这里h是斜边上的高，不是两条直角边中的 任意一条。例：直角边为5,12时，斜边为13，斜边上的高为60 131 13 C 12 第4页共42页 分类与实际范围 只知道直角三角形两边为3,4，若3,4都是直角边，第三边为5，若4是斜边，第三边为√7。不能不辨 边的角色就只写一个答案。 垂足在线段内外会改变线段的和差；动点在边、射线或直线上，允许位置也不同。求出的长度要回 图检验：为正、点在线段规定范围内、原三边确能组成三角形。 路径最短、折叠最值等题，既要说明“不会更短”，又要找得到达到等号的位置。若等号对应的位置 不在允许范围内，就不能把等号对应的值作为能达到的最小值。 5 3 3 B C 7 实数根的对象估算与长度 平方根算术平方根立方根 若x=a,则x是a的平方根。a>0时有两个互为相反数的平方根±Va,a=0时只有平方根0，负数在 实数范围内没有平方根。Vā只表示非负的算术平方根，要求a≥0。 若x=a,则x是a的立方根，记作a。每个实数恰有一个立方根，正、零、负分别对应同样的符 号。例：V49=7,49的平方根为±7，-27=-3。 对任意实数a,Va=|a,而不是总等于a。求边长时取正根，是由“长度为正"的条件决定的，不代 表正数本身只有一个平方根。 开立方与立方互相抵消：ā=a,对所有实数a都成立。与(=a比较时，不要把立方根也错误地 改成绝对值。 第5页共42页 分类大小与简单运算 有理数包括整数和分数，小数表现为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。有理数 与无理数合起来是实数。带根号的数未必是无理数，如V25=5。 实数0的相反数为-a50*0时才有倒数二，例如万的相反数为反.倒数为方，而0没有倒数。 a 实数与数轴上的点一一对应。比较两个非负数，可以比较它们的平方；去绝对值前先判断里面的正 负。例：9<14<16，所以3<V14<4,于是|3-V14=14-3。 若几个非负数的和为0，每一个都必须为0。这一事实可用于平方、绝对值、算术平方根的组合；同 时仍要检查根号内非负和分母非零等原条件。 V14 ●十 0 正方向 估算精度与图形中的精确值 平方数夹逼确定范围，不等于四舍五入。取近似值要直接看原数要求数位的下一位，避免先舍入一 次再舍入导致结果改变。 例：V14=3.741657…,精确到百分位为3.74若边长为V14m,需要用整米材料且不能短于实际 长度，则至少要4m,不能买3.74m。 几何计算尽量保留精确根式，比较或最后按要求取近似值时再处理。已知α四舍五入到个位为4，则 3.5≤a<4.5,下端能取、上端不能取，边界必须明确。 14m2 第6页共42页 分式条件因式与运算 有意义值为零与化简后的范围 分式合中，A,B都是整式，且分母B含字母。有意义须B20值为0须A-0且B20。例如：的值 为0时t=4,t=-1时不是值为0，而是无意义。 分式的基本性质是在分子、分母同乘或同除一个不为0的整式。约分约的是公因式，不是加减式中 的某一项。化简后的式子再简单，也不能恢复原式已被排除的值。 任务 分子条件 分母条件 有意义 可为0 不为0 值为0 等于0 不为0 除以一个分式 除式分子不为0 所有原分母不为0 先把整式写成乘积 常用工具：提公因式ab+ac=a(b+c),平方差a2-b2=(a-b)(a+b);完全平方 a±2ab+b=(a±bP。需要时先展开核验，不能见到三个项就猜因式。 最简公分母取各不同因式的最高次数。例如a(a-2)与(a-2的最简公分母为a(a-22。通分时分 子也必须乘相应因式。 运算次序与除式限制 同分母加减，分母不变、分子相加减；异分母先通分。分式乘法可先约公因式；除法要把除式的分 子、分母颠倒后相乘，但原除式本身不能为0。混合运算先算括号、再乘除、后加减。 分式莱方把分子、分母分别乘方：。其中h产0n为正整数。零指数a1和负整数指数 。”。每要求和20，若整个分式作负整数次暴，还须分子不为0， 例：计第己片出原分母要求1，-1，除式不为0还要求20。 因为1-=-u-1,括号内为品，所以原或“。 u-1uuu-1,保留u≠-1,0,1。 方法提醒：原式限制先单独写清；通分写出完整分子；约分后再代值。若题目要求整值，可把分式 化成“一个整数与一个分式的和”，再用因数和原范围筛选，但需说明候选为什么已经找全。 第7页共42页 分式方程建模检验与综合 从去分母到回原式 解分式方程：先找所有分母非零的限制；方程两边同乘最简公分母，每一项都乘；解所得整式方 程；把候选值代回原方程检验。分子为多项式时应加括号。 例：X23=1。原式x3,去分母得2=x3,解得x=5,代回原式两边都为1，所以x5是詹 若水-1-1 义一2x一2，去分母得x=2,但原分母为0，它是增根，原方程无解。另如2X=2,去分母得 x-1 到1=-2，本来就没有候选解。两种无解的原因不同，不能都说成增根。 数量表帮助列等量关系 常见关系：路程=速度×时间，工作量=效率×时间，金额=单价×数量。求时间、数量、单价时经常 出现分式。先写请每一行实际代表哪一阶段、哪一批，而不是只记方程外形。 例：两名骑行者各骑行30km,乙速度是甲的2倍，乙少用1h。设甲速度为xkm/h,则甲、乙用 时分别为30、30；由时间差得30-30=1，解得x=15。 x 2x x 2x 检验x>0,甲用2h、乙用1h,时间差确为1h,且速度单位一致。实际应用除了分母不能为0， 还可能要求人数、件数为正整数，点位在指定线段内，速度不超过给定上限。 对象 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 甲 30 30 X 30 乙 30 2x 2x 四模块怎样联系 几何图先明确角、垂直、等长与点序，再决定用全等、等腰性质、面积还是勾股；根式常表示精确 长度，最后需要正根或夹逼；分式常表示时间、单位量或面积比，原定义域不能丢。 同一道题中，先得到的代数候选并不自动是几何或实际问题的答案。最后逐一检查三边关系、根式 范围、分母条件、点的位置及实际数量限制，并说明分类没有遗漏。 第8页共42页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列四组长度的线段中，能围成三角形的是（)。 A.2 cm,3 cm,5 cm B.2 cm,4 cm,6 cm C.3 cm,4 cm,6 cm D.2 cm,3 cm,6 cm 答案C 围成三角形须满足任意两边之和大于第三边。A、B中较短两边之和等于最长边；D中较短两边 之和小于最长边；C中3+4>6，能围成三角形。 2.一个实数a的立方根为-2，则a的相反数的算术平方根为（)。 A.-8 B.8 C.8 D.±V8 答案C 由a的立方根为-2，得a=(-23=-8。它的相反数是8,8的算术平方根为V8。算术平方根取非 负值，不能写成±V⑧。 3.关于分式x,，下列说法正确的是()。 A.对任何实数x,它的值都是0 B.只有x=0时，它的值才是0 C.当x≠-1时，它的值都为0 D.因为分子为0，所以它总是无意义 答案C 分母x+1不为0时，0除以这个非零数的结果为0，因此所有x≠-1都满足。x=-1时分母为0，原 分式无意义，不能把当作0。故选C。 0 4.如图，∠ABC=90°。下列等式正确的是（)。 第4题图 A.AC2=AB2-BC2 B.BC2=AB2+AC2 C.AB2=BC2-AC2 D.AB2=AC2-BC2 答案D ∠ABC为直角，它所对的AC是斜边。勾股定理给出AB+BC=AC,所以AB=AC-BC。 第9页共42页 5,如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE,∠A=∠D。补充下列哪个条件，可以用SAS判定 这两个三角形全等（)？ 第5题图 A.BC=EF B.AC=DF C.∠B=∠E D.∠C=∠F 答案B SAS中的角必须是两对对应边的夹角。∠A的两边是AB、AC,∠D的两边是DE、DF,故还 需AC=DF。 6.下列x的值中，使分式x-16 x+2 有意义且值不为0的是（)。 A.16 B.-V16 C.8 D.-8 答案C 原分母要求x≠4且x≠-4，值不为0还要求x≠-2。四个选项依次为4，-4,2，-2，只有x=2同时满 足。 7.在各分母均不为0的条件下，下列化简正确的是（)。 A.a-ab =d B.a+b=b a-b c881 D.1+1=2 aa 2a 答案A A中分子-b=a0-b,故。g-a:B不能跨加号约分：C应为-1D应为号。 a-b 第10页共42页 8.一个三角形的三边长分别为V10、V15、5。下列判断正确的是（)。 B 5 V10 V15 A 第8题图 A,它不是直角三角形 B.它是直角三角形，斜边长为√15 C.它是直角三角形，斜边长为5 D.它是等腰三角形 答案C 5是最长边，且(V102+(152=10+15=25=52,所以它是直角三角形，斜边长为5。 9.实数V38位于下列哪两个相邻整数之间（)？ A.5与6 B.6与7 C.7与8 D.8与9 答案B 因为6=36<38<49=7，所以6<V38<7。 第11页共42页 10.如图，AB=AC,BC=6om,AABC的周长为0cm,其中0<x<号。则AB的长为 ()。 A B C 6cm 第10题图 A.(30-6)cm B.(15-6)m C.(30-3)am D.(5-3)cm X 答案D 设腰长为am,由周长得2a+6-0,所以0-5-3。题设x<号保证a>3,与两腰之和大于底边 X 相容。 11.如图，AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点。△ABC的面积为（）。 A 10 10 D 12 第11题图 A.30 B.36 C.48 D.60 答案C 由等腰三角形的三线合一，AD⊥BC,且BD=6。在Rt△ABD中，AD=V10-6=8。故 S×12×8=48. 第12页共42页 12.代数式5x有意义时，x的取值应满足（）。 x2-9 A.X≤5 B.X<5且x≠3 C.x≤5且x≠3 D.x≤5且x≠3、x≠-3 答案D 根号内5-x≥0，即x≤5’分母x-9≠0，即x≠3且x≠-3。三项限制必须同时保留。 13.如图，∠ACB=90°，AC=5m,BC=V26m。现有长度分别为6m、7m、8m、9m的绳 子各一根，要沿AB拉直连接两端且绳子不能接长，可选的最短绳长为（)。 A 5m B V26 m 第13题图 A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m 答案C 由勾股定理，AB=5+(26}2=51。由于72<51<82，故7<AB<8,需选择8m的绳子。 14.小明解方程，号的过程如下：①两边同乘x-1,得2=义+12解得x=1@所以原 方程的解为x=1。对这份解答的评价正确的是（)。 A.①错误，因为方程两边不能同乘含未知数的式子 B.③错误，x=1是增根，原方程无解 C.②错误，正确的结果为x=-1 D.全部正确 答案B ①、②是去分母求候选值的过程，并无计算错误。但x=1使原分母为0，不是原方程的解。③缺 少检验，正确结论为原方程无解。 第13页共42页 15.用长度分别为xcm、 cm和5cm的三根细棒围成三角形，其中x是正整数。符合要求的x X 共有()。 X cm x cm 5 cm 第15题三根细棒示意 A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 答案B 若x26,则5≤1，从而5+5≤6≤x,不能围成三角形。因此只需检查x=12,345。当x=1时，三 边为1,65，有1+5=6当x=2或3时，有x+=5,均不能围成三角形。X=4时三边为4,25， X=5时为5,5，均满足三边关系。故只有X=45,共2个。 16.在△ABC中，AB=13,AC=15。M是BC的中点，AD⊥BC于D,且DM=2。垂足D的位置 不限于线段BC内。则AD=（)。 13 15 B D M 第16题示意图 A.8 B.10 C.12 D.14 答案C 设BD=u、CD=V。由两个直角三角形的勾股关系相减，得v2-u2=152-13=56,故v>u。若D 在Bc内.，则DM==2,所以v-u=4.于是v-uv+u)=56给出v+u-14,得=5，v=9, 从而AD=13-5=12。若D在BC外，则DM=“y=2,即u+v=4。由平方差得v-u=14,但 2 两条正长度的差小于其和，不可能。若D=B,则BM=DM=2，,从而BC=4,两斜边平方差应为 16,与56矛盾；若D=C,则AB是直角三角形ABC的斜边，应比AC长，也与13<15矛盾。因此 唯一可能是内侧构型，AD=12。 第14页共42页 17.如图，B,D,C在同一直线上，BD=DC=3,AD=4,点A不在直线BC上。现有三个条件： ①AB=AC,②∠BAD=∠CAD,;③∠ABD=∠ACD。能单独作为补充条件，使AB=5必然成 立的有（）。 B 3 D 第17题示意图 A.只有① B.只有①③ C.只有②③ D.①②③ 答案D AD=4 B 解答图 ①若AB=AC,由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC,于是AB=V3+42=5。③给出 ∠ABC=∠ACB,故AB=AC,转为①。 对②，不能把中线和角平分线直接当SSA使用。延长AD至E,使DE=AD。在△ADB和△EDC 中， AD-DE ∠ADB=∠EDC BD=DC 所以△ADB兰△EDC(SAS),得AB=EC、∠BAD=∠CED。 结合∠BAD=∠CAD,且A,D,E依次共线，得∠CEA=∠CAE,所以CE=CA。于是 AB=AC,再由①得AB=5。三个条件都足够，选D。 第15页共42页 18.关于x的两个方程分别为×-1Q和X-4=b。若要求它们或者都无解，或者都有解且解相 x-1 X-2 同，则a,b应满足（）。 A.b=a+1 B.b=a+1,且a≠2,3 C.b=a+1且a≠2,3，或a=2,b=4 D.b=a+1,或a=2,b=4 答案C 第一个方程原分母要求x≠1，约分后得x+1=a,候选值为x=a-1。故a=2时无解，其余时候解 为a-1。同理，第二个方程要求x≠2，化简得x+2=b,b=4时无解，其余时候解为b-2。若两 个方程都无解，需a=2,b=4。若都有相同的解，需a-1=b-2,即b=a+1,同时a≠2且b≠4， 后者等价于α≠3。合并两种情况，得到选项C。 19.实数x,y,0满足Vx-2+y-a=0,且1+1=2。则a的值为（）。 x-y y-2 A.3 B.2或4 C.2 D.不存在这样的实数a 答案A 两个平方均非负，和为0说明VX=2、y=a,故x=4。原分式要求a≠4、a≠2。代入得 。。2之，通分符4-0a-22,所以4aa-2=1.整理得10-3f-0,故a=3 2 它不等于2,4，代回两分式之和为2，合法。 第16页共42页 20.如图，CD=8m,AC⊥CD,BD⊥CD,AC=BD=3m,A,B在直线CD同侧。点P在线段 CD上，且CP≤3m。小华说：“可以找到点P,使AP+PB=10m。”小明说：“所有符合条件的点 P都满足AP+PB>10m。”下列判断正确的是（）。 & 3m 3m D 8m 第20题图 A,两人都正确 B.只有小华正确 C.只有小明正确 D.两人都不正确 答案C B 3m 3m 4 D P 8m A 解答图 把A关于直线CD对称到A,则AP=AP,AC=AC=3。连接AB,交CD于M。 在△ACM和△BDM中， ∠ACM=∠BDM=90 ∠A'MC=∠BMD AC=BD 所以△ACM=△BDM(AAS),得CM=DM=4,A'M=BM。 由勾股定理，BM=V42+3=5,故AB=10。 由两点之间线段最短，AP+PB=AP+PB≥AB=10。等号只能在P=M时成立，但CM=4与题 设CP≤3不相容，所以始终严格大于10。只有小明正确。 第17页共42页 三填空题 21.如图，BC延长至D,∠ACD=120°，∠B=35。则∠A= A 35 120 C D 第21题图 答案85 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠A=120°-35=85°。 2.分式ad与。的最简公分母是 1 。1 答案a(a-1)(a+1) a2-1=(a-1)(a+1)。把各不同因式按最高次数取一次，最简公分母是a(a-1)(a+1)。 23.计算：V-5+-64=一。 答案1 V-5=5,3-64=-4,所以原式=5-4=1。 24.如图，∠ACB=90°，AB=V29,AC=5。则BC=一。 A 5 V29 第24题图 答案2 BC2=AB2-AC2=29-25=4。边长为正，故BC=2。 第18页共42页 25.如图，AB=AC,D为BC的中点，∠BAC=44。则∠BAD=一。 ∠BAC=449 B D 第25题图 答案22 在等腰三角形中，底边上的中线也是顶角的平分线，所以∠BAD=号∠BAC=22。 26.方程3=1的解是。 x+2 答案X=1 原式要求x≠-2。两边同乘x+2,得3=x+2,解得x=1。检验：x+2=3≠0，且原式两边都为1， 故x=1是原方程的解。 27.已知V62=7.874007…。把62四舍五入精确到百分位，结果是一。 答案7.87 百分位是小数点后第二位，第三位数字为4，应舍去，因此结果是787。 28.如图，AD⊥BC于D,BC=12,BD=5,△ABC的面积为30。则AB=一。 A B 5 D BC=12 第28题图 答案V50 ×12×AD=30,得AD=5。在AABD中，AB=尽+5=V50。 第19页共42页 29.一辆车行驶36km,速度由xkm/h提高到(x+3)km/h,其中x>0。提速后少用的时间为 h。 状态 路程/km 速度/（km/h) 时间/h 提速前 36 X 待表示 提速后 36 X+3 待表示 答案36、36 Xx+3 原用时为血，提速后用时为1，原用时减新用时即少用的时间。 30.一块正方形纸片的面积为13cm,它的边长为 cm。 13cm2 第30题图 答案V13 设边长为acm,则a=13。长度必须取正值，故a=V13。 31,先化简-4。再从4.0.-4、Vg中选出原式允许代入的最小值，所求式值为一。 x2-2x 答案0 原式分母xx-21≠0，所以x≠02.原式=X-2X+2=X+2。四个候选值为20，-23，允许代 x(x-2)x 入的最小值为-2，代入得22-0。 第20页共42页 32.如图，∠B=∠E=90°，∠A=∠D,AB=DE=3,AC=5。则EF=。 D B 第32题图 答案4 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E 所以△ABC兰△DEF(ASA),得BC=EF。 由勾股定理，BC=V52-32=4,因此EF=4。 33.一个搬运小组原要搬120箱图书。后来增加3人，任务也增加60箱，结果每人平均搬运的箱 数与原计划相同。原小组有 人。 计划 总箱数 人数 人均箱数 120 原计划 120 180 调整后 180 X+3 X+3 答案6 设原小组有x人，依题意得四9·去分母得120x+3)=18mx,解得x=6。检验原分母均不 为0，且6为正整数；两次人均均为20箱。因此原有6人。 第21页共42页 34.如图，两个直角三角形的直角边长分别为3,4和V5,V20。周长较大的三角形是 (填“甲"”或“乙”)。 乙 5 V20 第34题图 答案甲 甲的斜边为V32+4=5,周长为12。乙的斜边也为V5+20=5。因为V20=2V5,乙的周长为 5+3V5.3V5和7均为正数，且(3V5P=45<49=72,所以乙周长小于12，甲较大。 35.一个等腰三角形的周长为16，其中一条边长为6，且它的面积是整数。则它的面积为 y B C 周长16一条边长6 第35题示意图 答案12 边长6可能是底边，也可能是腰。若底边为6，则两腰均为16,6=5；底边上的高为 2 52-3=4,面积为×6×4=12，符合要求。 若腰长为6，则底边为16-12=4，高为V62-2=√32，面积为2V32。该面积的平方为128，而 11=121<128<144=12,所以面积严格介于11与12之间，不是整数。两种边角色已穷尽，故面 积只能为12。 第22页共42页 36.三角形的三边长分别为3、4和，其中n是整数，且三条边长都是正整数。n的所有可能 值为 A 3 当 B 第36题示意图 答案3,4,7 十，且n1。第三边为整数故n-1是6的非零整数因数。若n-1<0,为负整 n+5=1t6 n-1 数，第三边不大于0，不合题意。故n-1=1,2,3,6,相应第三边为7,4,3,2。由三边关系需 1<+5<7,排除边长7，留下n=3,47。 n-1 37.如图，长方形纸片ABCD中，AB=5,BC=3。沿过点A的折痕AP折叠，点B落在线段CD上 的点E处，点P在线段BC上。则CP=一。 C BC=3 5 B 第37题图 答案 折叠保长，AE=AB=5,PE=PB。在直角三角形ADE中，DE=V52-3=4,所以CE=5-4=1。 设CP=x,则PB=3-X,PE=3-X。由勾股定理，X+1=(3-x,得6x=8,故x=。它满足 0<x<3,相应PB=0,折点在线段上，故CP=号 第23页共42页 38.一块直角三角形薄板的两条直角边长分别为acm、bcm。把这两个数各自四舍五入到个 位，记录分别为3.4。在悟5厚6中，写出所有可能作为这块薄板斜边长的数： 斜边 父 B b 第38题测量记录 测量量 四舍五入到个位后的记录 直角边a/cm 3 直角边b/cm 4 答案 舍入记录给出2.5≤a<3.5.3.5≤b<4.5。故18.5≤a2+b2<32.5,即3sc2<65,c= 2。c= 5触及不能 取的上界：c=6更超界，均不可能。c=可由a=25,b=3.5实现：c=5可由a=3.b-4实现。 两组均按规定舍入，故可能值是前两个。 第24页共42页 39.分式F=x+b中，a,b,c为常数且a0。下表四条记录中恰好有一条错误，其余三条正确。 X-C 则a的所有可能值为 2 -1 0 3 F的记录 无意义 0 -4 答案多号-1,2 逐次假设一条错误，利用其余三条求值并复核。①若“x=2时无意义”错误：由F(-1)=0得 b=0由F0)=1得a=-e由F3)=-4得4a=-43-c,解得c=号a=b=- ,此时F(2有 ,此时 意义，恰此条错误。②若“F(-1=0错误：c=2,b=-2,由3a-2=-4得a=-召 F(-1)≠0。③若F(0)=1”错误：c=2,b=a,由4a=-4得a=-1,此时F(0)=号④若 F(3=-4错误：c=2,b=a,由-？=1得a=-2,此时F(3)=-8。四种均满足其他三条且a0, 故列出的四值全部可取。 第25页共42页 40.如图，每个小正方形的边长为1，A,B是底边两端，AB=6。在图示6×5方格区域内（包括 边界)的格点中，找点P,使PA=5且PB为整数。满足条件的点共有个。 8 每小格边长为1 第40题图 答案2 P P2 A 每小格边长为1 解答图 从A向右走m格、向上走n格到P,有m2+n2=25,其中m,n为非负整数。平方数配对只有0+25， 9+16、16+9.25+0,所以候选位置为(m,n=(0,5),(3,4),(4,3),(5,0)。对应PB2分别为 61,25,13,1,只有25和1是整数的平方。因此满足条件的是从A右3格上4格的点，以及底边上距A 为5的点，共2个。 第26页共42页 四解答题 写出计算步骤或证明过程。 41.计算(X3-2x+)4X+4,并写出原式中x的取值限制。 X+12x+2 3x 答案系，-10. 由x+1≠0、2x+2≠0、3x≠0，原式要求x≠-1,0。 原式-2x+3-(2x+3.4x+1-3一4x+1_2 2(x+1)3x2(x+1)3xx 化简后仍须保留x≠-1,0，不能因为结果中没有x+1就允许x=-1。 42.如图，直线AC与BD相交于点O,OA=OC,OB=OD。求证：AB∥CD。 B 第42题图 答案见证明。 在AAOB和ACOD中， OA-OC ∠AOB=∠COD OB=OD 所以△AOB三ACOD(SAS)。 故∠BAO=∠DCO。这两个角为直线AB,CD被AC所截形成的内错角，因此AB∥CD。 第27页共42页 43.给出四个数：√7、√36，-125.3.1416。(1)指出其中的无理数；(2)计算 V36+-125+|7-3引。 答案(1)√7，(2）4-√7。 (1)√7是无理数；√36=6、-125=-5均为整数，有限小数3.1416为有理数。 (2）因为7<9，所以7<3，N7-3=3-7。原式=6-5+3-V7=4-7。 44.如图，一副三角形支架的三边长已知分别为AB=2.1m、BC=2.8m、AC=3.5m。求证： AB⊥BC。 3.5m 2.1m B C 2.8m 第44题支架示意 答案见证明。 最长边是AC。计算得AB2+BC2=2.1+2.8=4.41+7.84=12.25,而AC2=3.52=12.25。 所以AB+BC=AC。根据勾股定理的逆定理，∠ABC=90°，即AB⊥BC。图的外观不能代替 这一检验。 第28页共42页 +2,并检验。 45.解方程X+3=x+5 答案X=1。 原方程要求x≠-1，-2。两边同乘(x+1)(x+2),得(x+3)(x+2)=(x+5)(x+1)。 去括号，得x2+5x+6=x2+6x+5。消去两边的x2,解得x=1。 检验：X=1时，两个分母为23，均不为0；原方程两边分别为号=2与号2。所以原方程的解为 X=1。 46.如图，点D在线段AB上，且在BC的垂直平分线上。已知AB=8、AC=V41,求△ADC的周 长。 V41 AB=8 B 第46题图 答案8+V41。 因为D在BC的垂直平分线上，所以DB=DC。 因此△ADC的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=8+V41。 这里D在线段AB上保证AD+DB=AB,不能在点位改变后仍直接用这一和式。 第29页共42页 47.学校第一次花180元购买了12个文件夹。第二次购买同款文件夹时，每个比第一次便宜5 元，共花200元。求第二次购买的数量。 次数 总额/元 数量/个 单价/元 第一次 180 180 12 12 第二次 200 200 答案20个。 设第二次阳天个文件夹。应为正整数。两次每个的价格分别为把元和四元。 由第二次每个便宜5元得180-200-5，即15-200=5。 12X X 解得x=20。检验：x=20≠0，第二次单价为10元，正好比第一次的15元少5元；购买量20是正整 数。故第二次购买20个。 第30页共42页 48.如图，给出∠AOB。（1)用尺规作出它的角平分线OP,保留作图痕迹；(2)在所作角 平分线上取一点P,过P作PE LOA、PF⊥OB,垂足为E,F。求证：PE=PF。 B A 第48题作图底图 答案作图及证明见解答。 B F N d M 解答图 （1)以O为圆心、适当长为半径画孤，交OA,OB于M,N,分别以M,N为圆心、同一适当长为 半径，在角内画弧相交于点P,作射线OP。 在△OMP和△ONP中， OM=ON MP=NP OP=OP 所以△OMP三△ONP(SSS),故∠MOP=∠PON,所作OP是角平分线。 (2)在△OEP和△OFP中， ∠OEP=∠OFP=90 ∠EOP=FOP OP=OP 所以△OEP兰△OFP(AAS)。 所以PE=PF。这里PE,P℉必须分别垂直于角的两边，不能把任意连到两边的线段都称为距离。 第31页共42页 49.如图，一根长9m的细杆在B处折断，上端落地后为点C,杆脚A与C相距3m。地面水平， 折断后下半段仍垂直地面，杆身没有伸缩。求折断处B离地面的高度。 B ◇ 3m 第49题图 答案4m。 设AB=Xm,则BC=(9-X)m,且0<x<9。在直角三角形ABC中，AB+AC2=BC2,所以 x2+32=(9-x)2。 展开并消去x,得9=81-18x,所以x=4。此时BC=5,满足4+3=52且两段长度均为正。故高 度为4m。 .小雨把2X+化简为2并据此说：当x=3或x=5时，原式的值都是2。指出小雨解 的错误，并写出正确结论。 答案化简正确但须x≠-3；x=-3无意义，x=V5时为2。 因为2x+6=2(x+3),所以在x+3≠0即x≠-3时，原式-2x+3 =2。 X+3 x=-3使原分母为0，此时原式无意义，不能用化简后的2倒补这个值。x=√5满足x≠-3，所以 原式值为2。因此化简在规定范围内正确，但小雨对x=-3的结论错误。 第32页共42页 51.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在线段AB,AC内，AD=AE,BE与CD相交于点 P。(1)求证：PB=PC,（2)若BC=10、PB=V61,求△PBC的面积。 A D E P v61 B 10 C 第51题图 答案（1)见证明；（2）30。 A D E V61 dH B 10 解答图 (1)在△ABE和△ACD中， AB-AC ∠BAE=∠CAD AE-AD 所以△ABE兰△ACD(SAS),从而∠ABE=∠ACD, 又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。用这两个相等的角分别减去∠ABE与∠ACD,得 ∠PBC=∠PCB,故PB=PC。 (2)过P作PH IBC于H。由PB=PC,得BH=HC=5。在直角三角形PBH中， PH=VPB2-BH2=V61-25=6。 所以56g号×10×6=30。 第33页共42页 52.（(1)解方程7+1-1 X-2v7-1 ,,(2）把（1)中所得的x作为一条边长，另两边长都取V20, 这三条线段能否围成三角形？写出判断过程。 A V20 20 + 第52题候选边长示意 答案（1)x=8,(2）能。 (1)V7-1>0,原式要求x≠2。去分母得x-2=(7+1)(V7-1)=7-1=6,故x=8。 检验：x-2=6≠0，且由(V7+1)(V7-1)=6可知原式两边相等，所以x=8。 (2)只需检验V20+V20>8。两边均为正数，且(2V202=80>64=82,故两腰之和大于底边。 其余两条三边关系显然满足，因此能围成三角形。 第34页共42页 53.如图，△ABC的三边满足AB=AC2-BC。(1)指出这个三角形的直角在哪里，写出判断 过程；(2)若AB=3、BC=4,过B作BD⊥AC于D,求BD的长。 3 B 4 第53题图 答案(1)∠B=90°；(2)BD=12 0 4 解答图 (1)把等式改写为AB+BC2=AC2。由勾股定理的逆定理，AC是斜边，故∠ABC=90°。 (2)AC=3+4-5,以两直角边求面积5方×3×4=-6以AC为底， SAm=×5×BD,所以BD=号 第35页共42页 54.一台设备要加工360个相同零件。实际先按原效率完成的任务，再把每小时产量提高到原 来的2倍，完成余下任务，共用8h,两个阶段之间没有停机时间。(1)求原效率；(2)若全 程按原效率加工，需要多少小时？实际节约了多少小时？ 阶段 工作量/个 效率/（个h) 时间h 第一阶段 120 120 第二阶段 240 240 2x 2x 答案(1)30个/h;(2)12h,节约4h。 (1)设原效率为每小时x个，x>0。第一阶段加工120个，用时120h;第=阶段加工240个， 效率为2x,用时架h: 列方程20+240=8，化简得24=8，解得x=30。检验x>0,两段用时均为4h,合计8h,符 x 2x X 合题意。 (2②)原计划需-2h,实际节约12-8=4h:效率提高只作用于后任务，不能把全程时 间直接减半。 第36页共42页 55.如图，AB=AC=5,BC=6,点P在直线BC上，且P≠C。（1)求点A到直线BC的距离； (2)若△APC是直角三角形，求BP的所有可能值，并说明对应点P的位置。 5 6 C 第55题图 答案(1)4；(2)3或，分别在BC中点及CB延长线上。 对应的两种位置 (1)作AD⊥BC于D。由等腰三角形的三线合一，BD=DC=3,所以AD=V52-3=4。 (2)先分类直角顶点。若∠APC=90°，则P=D,因此BP=3。若∠ACP=90°，因为CP在直线 BC上，就会得到AC LBC,这与AD LBC.且C≠D矛盾，故不可能。 若∠PAC=90°，则PC2=AP+AC2。当P在射线DC上时，若DP=t≥0，则AP2=t+16、 Pc=t-3P,代入得2-6t+9-+41,解得=-9，与≥0矛盾。 当P在射线DB上时，设DP=t≥0，有PC=t+3、AP2=t+16。故(t+32=t+16+25,解得 (-5。因为D-3,所以P位于GB延长线上，nP-93-名 3 检验：此时AP= 20+16=罗，C-号，满足AP+AC=PC,确能构成以A为直角顶点的三 3 角形。三类直角位置已全部讨论，故没有遗漏。 第37页共42页 56.如图，长方形场地ABCD中，AB=40m,BC=30m。跑步路线甲为A→B一C→A,路线 乙为A一B一C一D一A。两名同学各选一条不同路线。小林跑2圈，小周跑3圈，两人同时出 发，恰好同时完成；两人匀速且不停留，小周每秒比小林快2m,小林每秒不超过5m。求两人 分别选择的路线及各自速度。 D 30m ◇ 40m 第56题路线图 路线 经过顺序 路线甲 A→B→C→A 路线乙 A→B→C→D→A 答案小林选路线甲，速度号m15小周选路线乙速度号 m/so 由勾股定理，AC=√40+30=50m。故路线甲一圈为40+30+50=120m,路线乙一圈为 2(40+30)=140m。 设小林速度为xm/s,则0<x≤5，小周速度为(x+2)m/s。 若小林选甲、小周选乙，由相同时间爬09去分号得240x+2)00x,解得×号小 周速度为兰。两分母为正，小林速度不超速5，两人时间均为90s,此方案成立。 若小林选乙、小周选甲，则280-360 X=X2,解得x=7。虽然两个分母不为0，但7>5，不满足速度 条件，须舍去。 两人必须选不同路线，只有上述两种分配，故第一种是唯一方案。 第38页共42页 57.整数n满足V30<n<125。设F=,n-64 n2-12n+32 (1)化简F并写出原式限制；(2)求使F 为整数的所有n。 答案(1)F=月+日，n≠48；(2)n=6710. (1)n2-64=(n-8)(n+8),n2-12n+32=(n-8)川n-4),故原式要求n≠4,8。在此条件下， F=n+8=1+12 n-4 n-4° (2）由52<30<62、112<125<122，整数n只能为6,7,8,9,10,11。于是n-4在2,3,4,5,6,7中。 F为整数当且仅当，号为整数，因此n-4只能取12的因数2.3,46，相应n-6,7810.但n=8不在 原式允许范围内，必须舍去。 余下n=6,7,10分别使F=7,5,3,且满足原范围与两个分母因式非零。范围内整数及因数均已穷 尽，故没有遗漏。 第39页共42页 58.关于x的方程为mx2m-6=1,其中m是整数。(1)分别解m=1和m=3时的方程；(2) X-4 若原方程的解x与3、5恰好能作为一个三角形的三边长，求的所有可能值。 心 5 第58题三条边长示意 答案（1)均无解，原因不同；(2）m=2或m≥4的整数。 原式要求x≠4，去分母得m-1)x=2m+2。 (1)当m=1时，整式方程成为0=4，没有候选解；当m=3时，整式方程给出x=4,但使原分母 为0，是增根，故原方程也无解。 (2)m≠1时，候选值为x=2m+2=2+4 m-1 m·三边关系等价于2<x<8。若m<1,则m<0, 从而x<2,不符合。 若m>1,左侧x>2自动满足：由2+m4<8及m-1>0,得4<6(m-1),即m号此外原式须 m-1 x≠4，这恰好排除m=3。 所以整数m为2或所有不小于4的整数。反过来，这些m都使2<x<8且x≠4，原方程有合法解， 三条正长度也确能构成三角形，故条件充分。 第40页共42页 59.如图，∠BAC=90°，AP平分∠BAC,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,E在线段AB内，F在 线段AC内。为保证PB=PC,现有两个补充条件：①BE=CF②BE=PF。（1)分别判断这两 个条件是否足够；足够的给出证明，不足的举出一组具体长度反例；（2）在条件①下，若 AP=V50、BE=12,求BC的长。 P E 第59题示意图 答案（1)①足够，②不足；(2)V578=17V2。 C 2 A 2 E2 解答图 因为AP平分∠BAC,且PE,PF分别垂直于角的两边，所以PE=PF。 (1)在条件①下，在△PEB和△PFC中， PE=PF ∠PEB=∠PFC=90 BE=CF 所以△PEB兰△PFC(SAS),故PB=PC,①足够。 对条件②，取AE=AF=PE=PF=2,再取BE=2、CF=4。可在直角的两边上构成图形，AP为 45°方向，且E,F都在线段内部；②成立。但PB=2+2=8,PC=2+42=20,所以PB≠PC。 因此②不足。 (2)∠EAP=45°，所以AE=PE。由AP=AE2+PE2=50,得AE=PE=5。同理AF=PF=5。条 件①给出CF=BE=12,所以AB=AC=17。在直角三角形ABC中， BC=V17+17=V578=17V2。这里17V2>0且(17V2)2=578,所以两种写法相等。 第41页共42页 60.如图，AB=AC,BC=12,D为BC的中点。点P在射线AD上，且D在线段AP内，PE LAB 于E,PF LAC于F,E,F分别在线段AB,AC内，PE=6。（(1)求证：AB=AP,（2)若 S8求AB,AD和DP的长。 E BC=12 F D B C PE=6 第60题图 答案（1)见证明；(2）AB=10,AD=8,DP=2。 (1)由AB=AC及D为BC中点，得AD⊥BC,BD=6。因A,D,P在同一直线上，所以BD也是 △PAB以AP为底时的高。 对同-个APAB,以AB为底时，S4s=号AB-PE=3AB以AP为底时， 56m号AP-BD=3AP,所以AB=AP。 3a_5 )设4B=a,AD=h,其中a,h>0。由面积此，658，即4a=5h,所以a-h 由BD=6及勾股定理，有知-+36。代入得票=+36，从而 9h2=36,h2=64。由于高度为 正，h=8,a=10。 由（1)AP=AB=10,故DP=AP-AD=10-8=2>0,符合D在线段AP内。再核面积比： Saa-30,S4Ac=48,比值确为号。所求长为AB=10,AD=8,DP=2。 另由直角三角形APE,AE=VAP2-PE=V100-36=8<AB=10,故垂足E确在线段AB内；F同 理。这也核对了题设的垂足位置。 第42页共42页 八年级数学期中综合复习讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版 学生版 三角形 勾股定理 实数 分式与分式方程 班级____________ 姓名____________ 按本次已学范围组织复习，先核对四模块核心条件，再完成综合练习。 一 复习清单 三角形 线段角与基本关系 线段和角的条件要读准确 线段中点把一条线段分成相等的两段；角平分线是从顶点出发、把一个角分成相等两角的射线。求线段或角的和差，先认清点的先后次序、两角是否相邻，不根据图形外观默认等长或垂直。 邻补角的和为两条直线相交所成的对顶角相等。证明中的等角、角的和差，要说明它们来自题设还是这些基本关系。 两点之间线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度。后一个结论须有垂直条件，连接到直线上任意一点的线段不能直接当作距离。 三边关系与角的关系 任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边。已知两边时，第三边须满足等号不能取。若已知三条正长度，只需检查较短两边的和是否大于最长边。 三角形内角和为一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；必须先指出外角是由哪一边延长形成的。 例：两边长为第三边为整数，则可取若一个外角为一个不相邻内角为则另一个不相邻内角为 高 中线 角平分线 高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段，中线连接顶点和对边中点，角平分线平分该顶角。一般三角形中，它们并不重合。 锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形的两条直角边本身是高；钝角三角形有两条高的垂足在对应边的延长线上。高的垂足在延长线上时，面积公式仍为其中 例：底边对应的高则面积为不能随意用另一条边长替代 三角形 全等对称与证明 全等的判定与对应 全等三角形的对应边相等、对应角相等。书写时，已经约定后续结论须按这个顺序取。 判定条件为：SSS是三边分别相等；SAS是两边及它们的夹角分别相等；ASA是两角及夹边分别相等；AAS是两角及其中一个角的对应对边分别相等。直角三角形的HL是斜边及一条直角边分别相等，使用前须先确认两个直角。AAA、SSA一般不能判全等。 等腰 等边与直角30度 等边对等角，等角对等边。等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这就是三线合一；要确认顶角和底边的位置，不能把任意一条高都当作中线。等边三角形三边相等，三个内角均为 例：是中点，连接在和中， 所以（SSS）。 于是两角又互补，故各为并且这说明底边中线也是高和顶角平分线。 直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。使用时先辨角的对边，不是把任意直角边都除以 两种平分线的性质与判定 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；反过来，到两个端点距离相等的点在这条垂直平分线上。已知中点只能得到两段相等，还缺垂直；已知垂直也不能自动推出平分。 角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角内部到两边距离相等的点在角平分线上。距离必须用垂线段表示。尺规作垂直平分线或角平分线时，同半径交弧提供等长条件，再用全等说明作图依据。 例：在线段的垂直平分线上，若则在的平分线上，若垂线段则另一垂线段这两个“等距”的对象不同，不能混用。 勾股定理 条件方法与位置 正用与逆用 在直角三角形中，若两条直角边长为斜边长为则直角所对的边才是斜边。已知斜边和一直角边求另一边时应作平方差，长度取正值。 逆定理：若一个三角形的三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。检验时先找最长边，并确认三条长度能围成三角形。 例：两直角边为斜边为三边为时，所以是斜边。不能因为图画得像直角，就省略条件或证明。 把几何条件转为直角三角形 看到等腰底边中点，可连接顶点与中点，用三线合一获得高；看到面积和底边，可先求对应高；看到折叠，可先标清对应点，利用折叠前后的长度相等，再列勾股关系。 直角三角形也能换底求高：从而这里是斜边上的高，不是两条直角边中的任意一条。例：直角边为时，斜边为斜边上的高为 分类与实际范围 只知道直角三角形两边为若都是直角边，第三边为若是斜边，第三边为不能不辨边的角色就只写一个答案。 垂足在线段内外会改变线段的和差；动点在边、射线或直线上，允许位置也不同。求出的长度要回图检验：为正、点在线段规定范围内、原三边确能组成三角形。 路径最短、折叠最值等题，既要说明“不会更短”，又要找得到达到等号的位置。若等号对应的位置不在允许范围内，就不能把等号对应的值作为能达到的最小值。 实数 根的对象估算与长度 平方根 算术平方根 立方根 若则是的平方根。时有两个互为相反数的平方根时只有平方根负数在实数范围内没有平方根。只表示非负的算术平方根，要求 若则是的立方根，记作每个实数恰有一个立方根，正、零、负分别对应同样的符号。例：的平方根为 对任意实数而不是总等于求边长时取正根，是由“长度为正”的条件决定的，不代表正数本身只有一个平方根。 开立方与立方互相抵消：对所有实数都成立。与比较时，不要把立方根也错误地改成绝对值。 分类 大小与简单运算 有理数包括整数和分数，小数表现为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。有理数与无理数合起来是实数。带根号的数未必是无理数，如 实数的相反数为时才有倒数例如的相反数为倒数为而没有倒数。 实数与数轴上的点一一对应。比较两个非负数，可以比较它们的平方；去绝对值前先判断里面的正负。例：所以于是 若几个非负数的和为每一个都必须为这一事实可用于平方、绝对值、算术平方根的组合；同时仍要检查根号内非负和分母非零等原条件。 估算 精度与图形中的精确值 平方数夹逼确定范围，不等于四舍五入。取近似值要直接看原数要求数位的下一位，避免先舍入一次再舍入导致结果改变。 例：精确到百分位为若边长为需要用整米材料且不能短于实际长度，则至少要不能买 几何计算尽量保留精确根式，比较或最后按要求取近似值时再处理。已知四舍五入到个位为则下端能取、上端不能取，边界必须明确。 分式 条件因式与运算 有意义 值为零与化简后的范围 分式中，都是整式，且分母含字母，有意义须值为须且例如的值为时时不是值为而是无意义。 分式的基本性质是在分子、分母同乘或同除一个不为的整式。约分约的是公因式，不是加减式中的某一项。化简后的式子再简单，也不能恢复原式已被排除的值。 任务 分子条件 分母条件 有意义 可为0 不为0 值为0 等于0 不为0 除以一个分式 除式分子不为0 所有原分母不为0 先把整式写成乘积 常用工具：提公因式平方差完全平方需要时先展开核验，不能见到三个项就猜因式。 最简公分母取各不同因式的最高次数。例如与的最简公分母为通分时分子也必须乘相应因式。 运算次序与除式限制 同分母加减，分母不变、分子相加减；异分母先通分。分式乘法可先约公因式；除法要把除式的分子、分母颠倒后相乘，但原除式本身不能为混合运算先算括号、再乘除、后加减。 分式乘方把分子、分母分别乘方：其中为正整数。零指数和负整数指数都要求若整个分式作负整数次幂，还须分子不为 例：计算原分母要求除式不为还要求 因为括号内为所以原式保留 方法提醒：原式限制先单独写清；通分写出完整分子；约分后再代值。若题目要求整值，可把分式化成“一个整数与一个分式的和”，再用因数和原范围筛选，但需说明候选为什么已经找全。 分式方程 建模检验与综合 从去分母到回原式 解分式方程：先找所有分母非零的限制；方程两边同乘最简公分母，每一项都乘；解所得整式方程；把候选值代回原方程检验。分子为多项式时应加括号。 例：原式去分母得解得代回原式两边都为所以是解。 若去分母得但原分母为它是增根，原方程无解。另如去分母得到本来就没有候选解。两种无解的原因不同，不能都说成增根。 数量表帮助列等量关系 常见关系：路程=速度×时间，工作量=效率×时间，金额=单价×数量。求时间、数量、单价时经常出现分式。先写清每一行实际代表哪一阶段、哪一批，而不是只记方程外形。 例：两名骑行者各骑行乙速度是甲的倍，乙少用设甲速度为则甲、乙用时分别为由时间差得解得 检验甲用乙用时间差确为且速度单位一致。实际应用除了分母不能为还可能要求人数、件数为正整数，点位在指定线段内，速度不超过给定上限。 对象 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 甲 30 乙 30 四模块怎样联系 几何图先明确角、垂直、等长与点序，再决定用全等、等腰性质、面积还是勾股；根式常表示精确长度，最后需要正根或夹逼；分式常表示时间、单位量或面积比，原定义域不能丢。 同一道题中，先得到的代数候选并不自动是几何或实际问题的答案。最后逐一检查三边关系、根式范围、分母条件、点的位置及实际数量限制，并说明分类没有遗漏。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列四组长度的线段中，能围成三角形的是（    ）。 A. B. C. D. 2. 一个实数的立方根为则的相反数的算术平方根为（    ）。 A. B. C. D. 3. 关于分式下列说法正确的是（    ）。 A. 对任何实数它的值都是 B. 只有时，它的值才是 C. 当时，它的值都为 D. 因为分子为所以它总是无意义 4. 如图，下列等式正确的是（    ）。 第4题图 A. B. C. D. 5. 如图，在与中，补充下列哪个条件，可以用SAS判定这两个三角形全等（    ）？ 第5题图 A. B. C. D. 6. 下列的值中，使分式有意义且值不为的是（    ）。 A. B. C. D. 7. 在各分母均不为的条件下，下列化简正确的是（    ）。 A. B. C. D. 8. 一个三角形的三边长分别为下列判断正确的是（    ）。 第8题图 A. 它不是直角三角形 B. 它是直角三角形，斜边长为 C. 它是直角三角形，斜边长为 D. 它是等腰三角形 9. 实数位于下列哪两个相邻整数之间（    ）？ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 如图，的周长为其中则的长为（    ）。 第10题图 A. B. C. D. 11. 如图，是的中点。的面积为（    ）。 第11题图 A. B. C. D. 12. 代数式有意义时，的取值应满足（    ）。 A. B. 且 C. 且 D. 且 13. 如图，现有长度分别为的绳子各一根，要沿拉直连接两端且绳子不能接长，可选的最短绳长为（    ）。 第13题图 A. B. C. D. 14. 小明解方程的过程如下：①两边同乘得②解得③所以原方程的解为对这份解答的评价正确的是（    ）。 A. ①错误，因为方程两边不能同乘含未知数的式子 B. ③错误，是增根，原方程无解 C. ②错误，正确的结果为 D. 全部正确 15. 用长度分别为和的三根细棒围成三角形，其中是正整数。符合要求的共有（    ）。 第15题三根细棒示意 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 16. 在中，是的中点，于且垂足的位置不限于线段内。则（    ）。 第16题示意图 A. B. C. D. 17. 如图，在同一直线上，点不在直线上。现有三个条件：①②③能单独作为补充条件，使必然成立的有（    ）。 第17题示意图 A. 只有① B. 只有①③ C. 只有②③ D. ①②③ 18. 关于的两个方程分别为和若要求它们或者都无解，或者都有解且解相同，则应满足（    ）。 A. B. 且 C. 且或 D. 或 19. 实数满足且则的值为（    ）。 A. B. 或 C. D. 不存在这样的实数 20. 如图，在直线同侧。点在线段上，且小华说：“可以找到点使”小明说：“所有符合条件的点都满足”下列判断正确的是（    ）。 第20题图 A. 两人都正确 B. 只有小华正确 C. 只有小明正确 D. 两人都不正确 三 填空题 21. 如图，延长至则______。 第21题图 22. 分式与的最简公分母是______。 23. 计算：______。 24. 如图，则______。 第24题图 25. 如图，为的中点，则______。 第25题图 26. 方程的解是______。 27. 已知把四舍五入精确到百分位，结果是______。 28. 如图，于的面积为则______。 第28题图 29. 一辆车行驶速度由提高到其中提速后少用的时间为______ 状态 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 提速前 36 待表示 提速后 36 待表示 30. 一块正方形纸片的面积为它的边长为______ 第30题图 31. 先化简再从中选出原式允许代入的最小值，所求式值为______。 32. 如图，则______。 第32题图 33. 一个搬运小组原要搬箱图书。后来增加人，任务也增加箱，结果每人平均搬运的箱数与原计划相同。原小组有______人。 计划 总箱数 人数 人均箱数 原计划 120 调整后 180 34. 如图，两个直角三角形的直角边长分别为和周长较大的三角形是______（填“甲”或“乙”）。 第34题图 35. 一个等腰三角形的周长为其中一条边长为且它的面积是整数。则它的面积为______。 第35题示意图 36. 三角形的三边长分别为和其中是整数，且三条边长都是正整数。的所有可能值为______。 第36题示意图 37. 如图，长方形纸片中，沿过点的折痕折叠，点落在线段上的点处，点在线段上。则______。 第37题图 38. 一块直角三角形薄板的两条直角边长分别为把这两个数各自四舍五入到个位，记录分别为在中，写出所有可能作为这块薄板斜边长的数：______。 第38题测量记录 测量量 四舍五入到个位后的记录 直角边a/cm 3 直角边b/cm 4 39. 分式中，为常数且下表四条记录中恰好有一条错误，其余三条正确。则的所有可能值为______。 2 −1 0 3 F的记录 无意义 0 1 −4 40. 如图，每个小正方形的边长为是底边两端，在图示方格区域内（包括边界）的格点中，找点使且为整数。满足条件的点共有______个。 第40题图 四 解答题 写出计算步骤或证明过程。 41. 计算并写出原式中的取值限制。 42. 如图，直线与相交于点求证： 第42题图 43. 给出四个数：（1）指出其中的无理数；（2）计算 44. 如图，一副三角形支架的三边长已知分别为求证： 第44题支架示意 45. 解方程并检验。 46. 如图，点在线段上，且在的垂直平分线上。已知求的周长。 第46题图 47. 学校第一次花元购买了个文件夹。第二次购买同款文件夹时，每个比第一次便宜元，共花元。求第二次购买的数量。 次数 总额/元 数量/个 单价/元 第一次 180 12 第二次 200 48. 如图，给出（1）用尺规作出它的角平分线保留作图痕迹；（2）在所作角平分线上取一点过作垂足为求证： 第48题作图底图 49. 如图，一根长的细杆在处折断，上端落地后为点杆脚与相距地面水平，折断后下半段仍垂直地面，杆身没有伸缩。求折断处离地面的高度。 第49题图 50. 小雨把化简为并据此说：“当或时，原式的值都是”指出小雨解答中的错误，并写出正确结论。 51. 如图，在中，点分别在线段内，与相交于点（1）求证：（2）若求的面积。 第51题图 52. （1）解方程（2）把（1）中所得的作为一条边长，另两边长都取这三条线段能否围成三角形？写出判断过程。 第52题候选边长示意 53. 如图，的三边满足（1）指出这个三角形的直角在哪里，写出判断过程；（2）若过作于求的长。 第53题图 54. 一台设备要加工个相同零件。实际先按原效率完成的任务，再把每小时产量提高到原来的倍，完成余下任务，共用两个阶段之间没有停机时间。（1）求原效率；（2）若全程按原效率加工，需要多少小时？实际节约了多少小时？ 阶段 工作量/个 效率/(个/h) 时间/h 第一阶段 120 第二阶段 240 55. 如图，点在直线上，且（1）求点到直线的距离；（2）若是直角三角形，求的所有可能值，并说明对应点的位置。 第55题图 56. 如图，长方形场地中，跑步路线甲为路线乙为两名同学各选一条不同路线。小林跑圈，小周跑圈，两人同时出发，恰好同时完成；两人匀速且不停留，小周每秒比小林快小林每秒不超过求两人分别选择的路线及各自速度。 第56题路线图 路线 经过顺序 路线甲 A→B→C→A 路线乙 A→B→C→D→A 57. 整数满足设（1）化简并写出原式限制；（2）求使为整数的所有 58. 关于的方程为其中是整数。（1）分别解和时的方程；（2）若原方程的解与恰好能作为一个三角形的三边长，求的所有可能值。 第58题三条边长示意 59. 如图，平分于于在线段内，在线段内。为保证现有两个补充条件：①②（1）分别判断这两个条件是否足够；足够的给出证明，不足的举出一组具体长度反例；（2）在条件①下，若求的长。 第59题示意图 60. 如图，为的中点。点在射线上，且在线段内，于于分别在线段内，（1）求证：（2）若求和的长。 第60题图 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中综合复习讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版 教师详解版 三角形 勾股定理 实数 分式与分式方程 按本次已学范围组织复习，先核对四模块核心条件，再完成综合练习。 一 复习清单 三角形 线段角与基本关系 线段和角的条件要读准确 线段中点把一条线段分成相等的两段；角平分线是从顶点出发、把一个角分成相等两角的射线。求线段或角的和差，先认清点的先后次序、两角是否相邻，不根据图形外观默认等长或垂直。 邻补角的和为两条直线相交所成的对顶角相等。证明中的等角、角的和差，要说明它们来自题设还是这些基本关系。 两点之间线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度。后一个结论须有垂直条件，连接到直线上任意一点的线段不能直接当作距离。 三边关系与角的关系 任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边。已知两边时，第三边须满足等号不能取。若已知三条正长度，只需检查较短两边的和是否大于最长边。 三角形内角和为一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；必须先指出外角是由哪一边延长形成的。 例：两边长为第三边为整数，则可取若一个外角为一个不相邻内角为则另一个不相邻内角为 高 中线 角平分线 高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段，中线连接顶点和对边中点，角平分线平分该顶角。一般三角形中，它们并不重合。 锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形的两条直角边本身是高；钝角三角形有两条高的垂足在对应边的延长线上。高的垂足在延长线上时，面积公式仍为其中 例：底边对应的高则面积为不能随意用另一条边长替代 三角形 全等对称与证明 全等的判定与对应 全等三角形的对应边相等、对应角相等。书写时，已经约定后续结论须按这个顺序取。 判定条件为：SSS是三边分别相等；SAS是两边及它们的夹角分别相等；ASA是两角及夹边分别相等；AAS是两角及其中一个角的对应对边分别相等。直角三角形的HL是斜边及一条直角边分别相等，使用前须先确认两个直角。AAA、SSA一般不能判全等。 等腰 等边与直角30度 等边对等角，等角对等边。等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这就是三线合一；要确认顶角和底边的位置，不能把任意一条高都当作中线。等边三角形三边相等，三个内角均为 例：是中点，连接在和中， 所以（SSS）。 于是两角又互补，故各为并且这说明底边中线也是高和顶角平分线。 直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。使用时先辨角的对边，不是把任意直角边都除以 两种平分线的性质与判定 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；反过来，到两个端点距离相等的点在这条垂直平分线上。已知中点只能得到两段相等，还缺垂直；已知垂直也不能自动推出平分。 角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角内部到两边距离相等的点在角平分线上。距离必须用垂线段表示。尺规作垂直平分线或角平分线时，同半径交弧提供等长条件，再用全等说明作图依据。 例：在线段的垂直平分线上，若则在的平分线上，若垂线段则另一垂线段这两个“等距”的对象不同，不能混用。 勾股定理 条件方法与位置 正用与逆用 在直角三角形中，若两条直角边长为斜边长为则直角所对的边才是斜边。已知斜边和一直角边求另一边时应作平方差，长度取正值。 逆定理：若一个三角形的三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。检验时先找最长边，并确认三条长度能围成三角形。 例：两直角边为斜边为三边为时，所以是斜边。不能因为图画得像直角，就省略条件或证明。 把几何条件转为直角三角形 看到等腰底边中点，可连接顶点与中点，用三线合一获得高；看到面积和底边，可先求对应高；看到折叠，可先标清对应点，利用折叠前后的长度相等，再列勾股关系。 直角三角形也能换底求高：从而这里是斜边上的高，不是两条直角边中的任意一条。例：直角边为时，斜边为斜边上的高为 分类与实际范围 只知道直角三角形两边为若都是直角边，第三边为若是斜边，第三边为不能不辨边的角色就只写一个答案。 垂足在线段内外会改变线段的和差；动点在边、射线或直线上，允许位置也不同。求出的长度要回图检验：为正、点在线段规定范围内、原三边确能组成三角形。 路径最短、折叠最值等题，既要说明“不会更短”，又要找得到达到等号的位置。若等号对应的位置不在允许范围内，就不能把等号对应的值作为能达到的最小值。 实数 根的对象估算与长度 平方根 算术平方根 立方根 若则是的平方根。时有两个互为相反数的平方根时只有平方根负数在实数范围内没有平方根。只表示非负的算术平方根，要求 若则是的立方根，记作每个实数恰有一个立方根，正、零、负分别对应同样的符号。例：的平方根为 对任意实数而不是总等于求边长时取正根，是由“长度为正”的条件决定的，不代表正数本身只有一个平方根。 开立方与立方互相抵消：对所有实数都成立。与比较时，不要把立方根也错误地改成绝对值。 分类 大小与简单运算 有理数包括整数和分数，小数表现为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。有理数与无理数合起来是实数。带根号的数未必是无理数，如 实数的相反数为时才有倒数例如的相反数为倒数为而没有倒数。 实数与数轴上的点一一对应。比较两个非负数，可以比较它们的平方；去绝对值前先判断里面的正负。例：所以于是 若几个非负数的和为每一个都必须为这一事实可用于平方、绝对值、算术平方根的组合；同时仍要检查根号内非负和分母非零等原条件。 估算 精度与图形中的精确值 平方数夹逼确定范围，不等于四舍五入。取近似值要直接看原数要求数位的下一位，避免先舍入一次再舍入导致结果改变。 例：精确到百分位为若边长为需要用整米材料且不能短于实际长度，则至少要不能买 几何计算尽量保留精确根式，比较或最后按要求取近似值时再处理。已知四舍五入到个位为则下端能取、上端不能取，边界必须明确。 分式 条件因式与运算 有意义 值为零与化简后的范围 分式中，都是整式，且分母含字母，有意义须值为须且例如的值为时时不是值为而是无意义。 分式的基本性质是在分子、分母同乘或同除一个不为的整式。约分约的是公因式，不是加减式中的某一项。化简后的式子再简单，也不能恢复原式已被排除的值。 任务 分子条件 分母条件 有意义 可为0 不为0 值为0 等于0 不为0 除以一个分式 除式分子不为0 所有原分母不为0 先把整式写成乘积 常用工具：提公因式平方差完全平方需要时先展开核验，不能见到三个项就猜因式。 最简公分母取各不同因式的最高次数。例如与的最简公分母为通分时分子也必须乘相应因式。 运算次序与除式限制 同分母加减，分母不变、分子相加减；异分母先通分。分式乘法可先约公因式；除法要把除式的分子、分母颠倒后相乘，但原除式本身不能为混合运算先算括号、再乘除、后加减。 分式乘方把分子、分母分别乘方：其中为正整数。零指数和负整数指数都要求若整个分式作负整数次幂，还须分子不为 例：计算原分母要求除式不为还要求 因为括号内为所以原式保留 方法提醒：原式限制先单独写清；通分写出完整分子；约分后再代值。若题目要求整值，可把分式化成“一个整数与一个分式的和”，再用因数和原范围筛选，但需说明候选为什么已经找全。 分式方程 建模检验与综合 从去分母到回原式 解分式方程：先找所有分母非零的限制；方程两边同乘最简公分母，每一项都乘；解所得整式方程；把候选值代回原方程检验。分子为多项式时应加括号。 例：原式去分母得解得代回原式两边都为所以是解。 若去分母得但原分母为它是增根，原方程无解。另如去分母得到本来就没有候选解。两种无解的原因不同，不能都说成增根。 数量表帮助列等量关系 常见关系：路程=速度×时间，工作量=效率×时间，金额=单价×数量。求时间、数量、单价时经常出现分式。先写清每一行实际代表哪一阶段、哪一批，而不是只记方程外形。 例：两名骑行者各骑行乙速度是甲的倍，乙少用设甲速度为则甲、乙用时分别为由时间差得解得 检验甲用乙用时间差确为且速度单位一致。实际应用除了分母不能为还可能要求人数、件数为正整数，点位在指定线段内，速度不超过给定上限。 对象 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 甲 30 乙 30 四模块怎样联系 几何图先明确角、垂直、等长与点序，再决定用全等、等腰性质、面积还是勾股；根式常表示精确长度，最后需要正根或夹逼；分式常表示时间、单位量或面积比，原定义域不能丢。 同一道题中，先得到的代数候选并不自动是几何或实际问题的答案。最后逐一检查三边关系、根式范围、分母条件、点的位置及实际数量限制，并说明分类没有遗漏。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列四组长度的线段中，能围成三角形的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 围成三角形须满足任意两边之和大于第三边。A、B中较短两边之和等于最长边；D中较短两边之和小于最长边；C中能围成三角形。 2. 一个实数的立方根为则的相反数的算术平方根为（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 由的立方根为得它的相反数是的算术平方根为算术平方根取非负值，不能写成 3. 关于分式下列说法正确的是（    ）。 A. 对任何实数它的值都是 B. 只有时，它的值才是 C. 当时，它的值都为 D. 因为分子为所以它总是无意义 答案 C 分母不为时，除以这个非零数的结果为因此所有都满足。时分母为原分式无意义，不能把当作故选C。 4. 如图，下列等式正确的是（    ）。 第4题图 A. B. C. D. 答案 D 为直角，它所对的是斜边。勾股定理给出所以 5. 如图，在与中，补充下列哪个条件，可以用SAS判定这两个三角形全等（    ）？ 第5题图 A. B. C. D. 答案 B SAS中的角必须是两对对应边的夹角。的两边是的两边是故还需 6. 下列的值中，使分式有意义且值不为的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 原分母要求且值不为还要求四个选项依次为只有同时满足。 7. 在各分母均不为的条件下，下列化简正确的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 A A中分子故B不能跨加号约分；C应为D应为 8. 一个三角形的三边长分别为下列判断正确的是（    ）。 第8题图 A. 它不是直角三角形 B. 它是直角三角形，斜边长为 C. 它是直角三角形，斜边长为 D. 它是等腰三角形 答案 C 是最长边，且所以它是直角三角形，斜边长为 9. 实数位于下列哪两个相邻整数之间（    ）？ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 答案 B 因为所以 10. 如图，的周长为其中则的长为（    ）。 第10题图 A. B. C. D. 答案 D 设腰长为由周长得所以题设保证与两腰之和大于底边相容。 11. 如图，是的中点。的面积为（    ）。 第11题图 A. B. C. D. 答案 C 由等腰三角形的三线合一，且在中，故 12. 代数式有意义时，的取值应满足（    ）。 A. B. 且 C. 且 D. 且 答案 D 根号内即分母即且三项限制必须同时保留。 13. 如图，现有长度分别为的绳子各一根，要沿拉直连接两端且绳子不能接长，可选的最短绳长为（    ）。 第13题图 A. B. C. D. 答案 C 由勾股定理，由于故需选择的绳子。 14. 小明解方程的过程如下：①两边同乘得②解得③所以原方程的解为对这份解答的评价正确的是（    ）。 A. ①错误，因为方程两边不能同乘含未知数的式子 B. ③错误，是增根，原方程无解 C. ②错误，正确的结果为 D. 全部正确 答案 B ①、②是去分母求候选值的过程，并无计算错误。但使原分母为不是原方程的解。③缺少检验，正确结论为原方程无解。 15. 用长度分别为和的三根细棒围成三角形，其中是正整数。符合要求的共有（    ）。 第15题三根细棒示意 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 答案 B 若则从而不能围成三角形。因此只需检查当时，三边为有当或时，有均不能围成三角形。时三边为时为均满足三边关系。故只有共个。 16. 在中，是的中点，于且垂足的位置不限于线段内。则（    ）。 第16题示意图 A. B. C. D. 答案 C 设由两个直角三角形的勾股关系相减，得故若在内，则所以于是给出得从而若在外，则即由平方差得但两条正长度的差小于其和，不可能。若则从而两斜边平方差应为与矛盾；若则是直角三角形的斜边，应比长，也与矛盾。因此唯一可能是内侧构型， 17. 如图，在同一直线上，点不在直线上。现有三个条件：①②③能单独作为补充条件，使必然成立的有（    ）。 第17题示意图 A. 只有① B. 只有①③ C. 只有②③ D. ①②③ 答案 D 解答图 ①若由等腰三角形的三线合一得于是③给出故转为①。 对②，不能把中线和角平分线直接当SSA使用。延长至使在和中， 所以（SAS），得 结合且依次共线，得所以于是再由①得三个条件都足够，选D。 18. 关于的两个方程分别为和若要求它们或者都无解，或者都有解且解相同，则应满足（    ）。 A. B. 且 C. 且或 D. 或 答案 C 第一个方程原分母要求约分后得候选值为故时无解，其余时候解为同理，第二个方程要求化简得时无解，其余时候解为若两个方程都无解，需若都有相同的解，需即同时且后者等价于合并两种情况，得到选项C。 19. 实数满足且则的值为（    ）。 A. B. 或 C. D. 不存在这样的实数 答案 A 两个平方均非负，和为说明故原分式要求代入得通分得所以整理得故它不等于代回两分式之和为合法。 20. 如图，在直线同侧。点在线段上，且小华说：“可以找到点使”小明说：“所有符合条件的点都满足”下列判断正确的是（    ）。 第20题图 A. 两人都正确 B. 只有小华正确 C. 只有小明正确 D. 两人都不正确 答案 C 解答图 把关于直线对称到则连接交于 在和中， 所以（AAS），得 由勾股定理，故 由两点之间线段最短，等号只能在时成立，但与题设不相容，所以始终严格大于只有小明正确。 三 填空题 21. 如图，延长至则______。 第21题图 答案 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以 22. 分式与的最简公分母是______。 答案 把各不同因式按最高次数取一次，最简公分母是 23. 计算：______。 答案 所以原式 24. 如图，则______。 第24题图 答案 边长为正，故 25. 如图，为的中点，则______。 第25题图 答案 在等腰三角形中，底边上的中线也是顶角的平分线，所以 26. 方程的解是______。 答案 原式要求两边同乘得解得检验：且原式两边都为故是原方程的解。 27. 已知把四舍五入精确到百分位，结果是______。 答案 百分位是小数点后第二位，第三位数字为应舍去，因此结果是 28. 如图，于的面积为则______。 第28题图 答案 由得在中， 29. 一辆车行驶速度由提高到其中提速后少用的时间为______ 状态 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 提速前 36 待表示 提速后 36 待表示 答案 原用时为提速后用时为原用时减新用时即少用的时间。 30. 一块正方形纸片的面积为它的边长为______ 第30题图 答案 设边长为则长度必须取正值，故 31. 先化简再从中选出原式允许代入的最小值，所求式值为______。 答案 原式分母所以原式四个候选值为允许代入的最小值为代入得 32. 如图，则______。 第32题图 答案 在和中， 所以（ASA），得 由勾股定理，因此 33. 一个搬运小组原要搬箱图书。后来增加人，任务也增加箱，结果每人平均搬运的箱数与原计划相同。原小组有______人。 计划 总箱数 人数 人均箱数 原计划 120 调整后 180 答案 设原小组有人，依题意得去分母得解得检验原分母均不为且为正整数；两次人均均为箱。因此原有人。 34. 如图，两个直角三角形的直角边长分别为和周长较大的三角形是______（填“甲”或“乙”）。 第34题图 答案 甲 甲的斜边为周长为乙的斜边也为因为乙的周长为和均为正数，且所以乙周长小于甲较大。 35. 一个等腰三角形的周长为其中一条边长为且它的面积是整数。则它的面积为______。 第35题示意图 答案 边长可能是底边，也可能是腰。若底边为则两腰均为底边上的高为面积为符合要求。 若腰长为则底边为高为面积为该面积的平方为而所以面积严格介于与之间，不是整数。两种边角色已穷尽，故面积只能为 36. 三角形的三边长分别为和其中是整数，且三条边长都是正整数。的所有可能值为______。 第36题示意图 答案 且第三边为整数，故是的非零整数因数。若为负整数，第三边不大于不合题意。故相应第三边为由三边关系需排除边长留下 37. 如图，长方形纸片中，沿过点的折痕折叠，点落在线段上的点处，点在线段上。则______。 第37题图 答案 折叠保长，在直角三角形中，所以设则由勾股定理，得故它满足相应折点在线段上，故 38. 一块直角三角形薄板的两条直角边长分别为把这两个数各自四舍五入到个位，记录分别为在中，写出所有可能作为这块薄板斜边长的数：______。 第38题测量记录 测量量 四舍五入到个位后的记录 直角边a/cm 3 直角边b/cm 4 答案 和 舍入记录给出故即触及不能取的上界；更超界，均不可能。可由实现；可由实现。两组均按规定舍入，故可能值是前两个。 39. 分式中，为常数且下表四条记录中恰好有一条错误，其余三条正确。则的所有可能值为______。 2 −1 0 3 F的记录 无意义 0 1 −4 答案 逐次假设一条错误，利用其余三条求值并复核。①若“时无意义”错误：由得由得由得解得此时有意义，恰此条错误。②若“”错误：由得此时③若“”错误：由得此时④若“”错误：由得此时四种均满足其他三条且故列出的四值全部可取。 40. 如图，每个小正方形的边长为是底边两端，在图示方格区域内（包括边界）的格点中，找点使且为整数。满足条件的点共有______个。 第40题图 答案 解答图 从向右走格、向上走格到有其中为非负整数。平方数配对只有所以候选位置为对应分别为只有和是整数的平方。因此满足条件的是从右格上格的点，以及底边上距为的点，共个。 四 解答题 写出计算步骤或证明过程。 41. 计算并写出原式中的取值限制。 答案 由原式要求 原式 化简后仍须保留不能因为结果中没有就允许 42. 如图，直线与相交于点求证： 第42题图 答案 见证明。 在和中， 所以（SAS）。 故这两个角为直线被所截形成的内错角，因此 43. 给出四个数：（1）指出其中的无理数；（2）计算 答案 （1）（2） （1）是无理数；均为整数，有限小数为有理数。 （2）因为所以原式 44. 如图，一副三角形支架的三边长已知分别为求证： 第44题支架示意 答案 见证明。 最长边是计算得而 所以根据勾股定理的逆定理，即图的外观不能代替这一检验。 45. 解方程并检验。 答案 原方程要求两边同乘得 去括号，得消去两边的解得 检验：时，两个分母为均不为原方程两边分别为与所以原方程的解为 46. 如图，点在线段上，且在的垂直平分线上。已知求的周长。 第46题图 答案 因为在的垂直平分线上，所以 因此的周长 这里在线段上保证不能在点位改变后仍直接用这一和式。 47. 学校第一次花元购买了个文件夹。第二次购买同款文件夹时，每个比第一次便宜元，共花元。求第二次购买的数量。 次数 总额/元 数量/个 单价/元 第一次 180 12 第二次 200 答案 个。 设第二次购买个文件夹，应为正整数。两次每个的价格分别为元和元。 由“第二次每个便宜元”，得即 解得检验：第二次单价为元，正好比第一次的元少元；购买量是正整数。故第二次购买个。 48. 如图，给出（1）用尺规作出它的角平分线保留作图痕迹；（2）在所作角平分线上取一点过作垂足为求证： 第48题作图底图 答案 作图及证明见解答。 解答图 （1）以为圆心、适当长为半径画弧，交于分别以为圆心、同一适当长为半径，在角内画弧相交于点作射线 在和中， 所以（SSS），故所作是角平分线。 （2）在和中， 所以（AAS）。 所以这里必须分别垂直于角的两边，不能把任意连到两边的线段都称为距离。 49. 如图，一根长的细杆在处折断，上端落地后为点杆脚与相距地面水平，折断后下半段仍垂直地面，杆身没有伸缩。求折断处离地面的高度。 第49题图 答案 设则且在直角三角形中，所以 展开并消去得所以此时满足且两段长度均为正。故高度为 50. 小雨把化简为并据此说：“当或时，原式的值都是”指出小雨解答中的错误，并写出正确结论。 答案 化简正确但须无意义，时为 因为所以在即时，原式 使原分母为此时原式无意义，不能用化简后的倒补这个值。满足所以原式值为因此化简在规定范围内正确，但小雨对的结论错误。 51. 如图，在中，点分别在线段内，与相交于点（1）求证：（2）若求的面积。 第51题图 答案 （1）见证明；（2） 解答图 （1）在和中， 所以（SAS），从而 又因为所以用这两个相等的角分别减去与得故 （2）过作于由得在直角三角形中， 所以 52. （1）解方程（2）把（1）中所得的作为一条边长，另两边长都取这三条线段能否围成三角形？写出判断过程。 第52题候选边长示意 答案 （1）（2）能。 （1）原式要求去分母得故 检验：且由可知原式两边相等，所以 （2）只需检验两边均为正数，且故两腰之和大于底边。其余两条三边关系显然满足，因此能围成三角形。 53. 如图，的三边满足（1）指出这个三角形的直角在哪里，写出判断过程；（2）若过作于求的长。 第53题图 答案 （1）（2） 解答图 （1）把等式改写为由勾股定理的逆定理，是斜边，故 （2）以两直角边求面积，以为底，所以 54. 一台设备要加工个相同零件。实际先按原效率完成的任务，再把每小时产量提高到原来的倍，完成余下任务，共用两个阶段之间没有停机时间。（1）求原效率；（2）若全程按原效率加工，需要多少小时？实际节约了多少小时？ 阶段 工作量/个 效率/(个/h) 时间/h 第一阶段 120 第二阶段 240 答案 （1）个/h；（2）节约 （1）设原效率为每小时个，第一阶段加工个，用时第二阶段加工个，效率为用时 列方程化简得解得检验两段用时均为合计符合题意。 （2）原计划需实际节约效率提高只作用于后任务，不能把全程时间直接减半。 55. 如图，点在直线上，且（1）求点到直线的距离；（2）若是直角三角形，求的所有可能值，并说明对应点的位置。 第55题图 答案 （1）（2）或分别在中点及延长线上。 对应的两种位置 （1）作于由等腰三角形的三线合一，所以 （2）先分类直角顶点。若则因此若因为在直线上，就会得到这与且矛盾，故不可能。 若则当在射线上时，若则代入得解得与矛盾。 当在射线上时，设有故解得因为所以位于延长线上， 检验：此时满足确能构成以为直角顶点的三角形。三类直角位置已全部讨论，故没有遗漏。 56. 如图，长方形场地中，跑步路线甲为路线乙为两名同学各选一条不同路线。小林跑圈，小周跑圈，两人同时出发，恰好同时完成；两人匀速且不停留，小周每秒比小林快小林每秒不超过求两人分别选择的路线及各自速度。 第56题路线图 路线 经过顺序 路线甲 A→B→C→A 路线乙 A→B→C→D→A 答案 小林选路线甲，速度小周选路线乙，速度 由勾股定理，故路线甲一圈为路线乙一圈为 设小林速度为则小周速度为 若小林选甲、小周选乙，由相同时间得去分母得解得小周速度为两分母为正，小林速度不超过两人时间均为此方案成立。 若小林选乙、小周选甲，则解得虽然两个分母不为但不满足速度条件，须舍去。 两人必须选不同路线，只有上述两种分配，故第一种是唯一方案。 57. 整数满足设（1）化简并写出原式限制；（2）求使为整数的所有 答案 （1）（2） （1）故原式要求在此条件下， （2）由整数只能为于是在中。 为整数当且仅当为整数，因此只能取的因数相应但不在原式允许范围内，必须舍去。 余下分别使且满足原范围与两个分母因式非零。范围内整数及因数均已穷尽，故没有遗漏。 58. 关于的方程为其中是整数。（1）分别解和时的方程；（2）若原方程的解与恰好能作为一个三角形的三边长，求的所有可能值。 第58题三条边长示意 答案 （1）均无解，原因不同；（2）或的整数。 原式要求去分母得 （1）当时，整式方程成为没有候选解；当时，整式方程给出但使原分母为是增根，故原方程也无解。 （2）时，候选值为三边关系等价于若则从而不符合。 若左侧自动满足；由及得即此外原式须这恰好排除 所以整数为或所有不小于的整数。反过来，这些都使且原方程有合法解，三条正长度也确能构成三角形，故条件充分。 59. 如图，平分于于在线段内，在线段内。为保证现有两个补充条件：①②（1）分别判断这两个条件是否足够；足够的给出证明，不足的举出一组具体长度反例；（2）在条件①下，若求的长。 第59题示意图 答案 （1）①足够，②不足；（2） 解答图 因为平分且分别垂直于角的两边，所以 （1）在条件①下，在和中， 所以（SAS），故①足够。 对条件②，取再取可在直角的两边上构成图形，为方向，且都在线段内部；②成立。但所以因此②不足。 （2）所以由得同理条件①给出所以在直角三角形中，这里且所以两种写法相等。 60. 如图，为的中点。点在射线上，且在线段内，于于分别在线段内，（1）求证：（2）若求和的长。 第60题图 答案 （1）见证明；（2） （1）由及为中点，得因在同一直线上，所以也是以为底时的高。 对同一个以为底时，以为底时，所以 （2）设其中由面积比，即所以 由及勾股定理，有代入得从而由于高度为正， 由（1）故符合在线段内。再核面积比：比值确为所求长为 另由直角三角形故垂足确在线段内；同理。这也核对了题设的垂足位置。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学期中综合复习讲义 2026一2027学年第一学期苏科版学生版 三角形勾股定理实数分式与分式方程 班级 姓名 按本次已学范围组织复习，先核对四模块核心条件，再完成综合练习。 一复习清单 三角形线段角与基本关系 线段和角的条件要读准确 线段中点把一条线段分成相等的两段；角平分线是从顶点出发、把一个角分成相等两角的射线。求 线段或角的和差，先认清点的先后次序、两角是否相邻，不根据图形外观默认等长或垂直。 邻补角的和为180°，两条直线相交所成的对顶角相等。证明中的等角、角的和差，要说明它们来自 题设还是这些基本关系。 两点之间线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度。后一个结论须有垂直条件，连接到直线上任 意一点的线段不能直接当作距离。 三边关系与角的关系 任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边。已知两边a,b时，第三边c须满足 a-b|<c<a+b,等号不能取。若已知三条正长度，只需检查较短两边的和是否大于最长边。 三角形内角和为180°。一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；必须先指出外角是由哪一边延长 形成的。 例：两边长为4,7，第三边为整数，则3<c<11,可取4,5,6,7,8,9,10。若一个外角为112°、一个不相 邻内角为46°，则另一个不相邻内角为66°。 A 6 4 7 46 112 B C D 第1页共35页 高中线角平分线 高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段，中线连接顶点和对边中点，角平分线平分该顶角。一般 三角形中，它们并不重合。 锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形的两条直角边本身是高；钝角三角形有两条高的垂足在 对应边的延长线上。高的垂足在延长线上时，面积公式仍为S4=BCAD,其中ADLBC。 例：底边BC=7、对应的高AD=4,则面积为14，不能随意用另一条边长替代AD。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 C D 三角形全等对称与证明 全等的判定与对应 全等三角形的对应边相等、对应角相等。书写△ABC兰△DEF时，已经约定A+D、B~E、 CF,后续结论须按这个顺序取。 判定条件为：SSS是三边分别相等；SAS是两边及它们的夹角分别相等；ASA是两角及夹边分别相 等；AAS是两角及其中一个角的对应对边分别相等。直角三角形的HL是斜边及一条直角边分别相 等，使用前须先确认两个直角。AAA、SSA一般不能判全等。 第2页共35页 等腰等边与直角30度 等边对等角，等角对等边。等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这就是 三线合一；要确认顶角和底边的位置，不能把任意一条高都当作中线。等边三角形三边相等，三个 内角均为60°。 例：AB=AC,D是BC中点，连接AD。在△ABD和△ACD中， AB=AC BD=CD AD=AD 所以△ABD兰△ACD(SSS)。 于是∠ADB=∠ADC,两角又互补，故各为90°，并且∠BAD=∠CAD。这说明底边中线也是高 和顶角平分线。 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。使用时先辨30°角的对边，不是把任意直角边 都除以2。 A 309 ⊙ 两种平分线的性质与判定 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；反过来，到两个端点距离相等的点在这条垂直平分 线上。已知中点只能得到两段相等，还缺垂直；已知垂直也不能自动推出平分。 角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角内部到两边距离相等的点在角平分线上。距离 必须用垂线段表示。尺规作垂直平分线或角平分线时，同半径交弧提供等长条件，再用全等说明作 图依据。 例：P在线段AB的垂直平分线上，若PA=7,则PB=7,Q在∠AOB的平分线上，若垂线段 QE=3,则另一垂线段QF=3。这两个“等距”的对象不同，不能混用。 3 A M 到两个端点等距 到两边的垂距相等 第3页共35页 勾股定理条件方法与位置 正用与逆用 在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边长为c,则a+b2=c2。直角所对的边才是斜边。已 知斜边和一直角边求另一边时应作平方差，长度取正值。 逆定理：若一个三角形的三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角 形。检验时先找最长边，并确认三条长度能围成三角形。 例：两直角边为1,2，斜边为V5,三边为2，√5,3时，2+（√5）2=32，所以3是斜边。不能因为图画得 像直角，就省略条件或证明。 A A 5 3 B 2 & 5 把几何条件转为直角三角形 看到等腰底边中点，可连接顶点与中点，用三线合一获得高；看到面积和底边，可先求对应高；看 到折叠，可先标清对应点，利用折叠前后的长度相等，再列勾股关系。 直角三角形地能换底求高：S方9b方h,从而-史。这里h是斜边上的高，不是两条直角边中的 任意一条。例：直角边为5,12时，斜边为13，斜边上的高为60 131 13 C 12 第4页共35页 分类与实际范围 只知道直角三角形两边为3,4，若3,4都是直角边，第三边为5，若4是斜边，第三边为√7。不能不辨 边的角色就只写一个答案。 垂足在线段内外会改变线段的和差；动点在边、射线或直线上，允许位置也不同。求出的长度要回 图检验：为正、点在线段规定范围内、原三边确能组成三角形。 路径最短、折叠最值等题，既要说明“不会更短”，又要找得到达到等号的位置。若等号对应的位置 不在允许范围内，就不能把等号对应的值作为能达到的最小值。 5 3 3 B C 7 实数根的对象估算与长度 平方根算术平方根立方根 若x=a,则x是a的平方根。a>0时有两个互为相反数的平方根±Va,a=0时只有平方根0，负数在 实数范围内没有平方根。Vā只表示非负的算术平方根，要求a≥0。 若x=a,则x是a的立方根，记作a。每个实数恰有一个立方根，正、零、负分别对应同样的符 号。例：V49=7,49的平方根为±7，-27=-3。 对任意实数a,Va=|a,而不是总等于a。求边长时取正根，是由“长度为正"的条件决定的，不代 表正数本身只有一个平方根。 开立方与立方互相抵消：ā=a,对所有实数a都成立。与(=a比较时，不要把立方根也错误地 改成绝对值。 第5页共35页 分类大小与简单运算 有理数包括整数和分数，小数表现为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。有理数 与无理数合起来是实数。带根号的数未必是无理数，如V25=5。 实数0的相反数为-a50*0时才有倒数二，例如万的相反数为反.倒数为方，而0没有倒数。 a 实数与数轴上的点一一对应。比较两个非负数，可以比较它们的平方；去绝对值前先判断里面的正 负。例：9<14<16，所以3<V14<4,于是|3-V14=14-3。 若几个非负数的和为0，每一个都必须为0。这一事实可用于平方、绝对值、算术平方根的组合；同 时仍要检查根号内非负和分母非零等原条件。 V14 ●十 0 正方向 估算精度与图形中的精确值 平方数夹逼确定范围，不等于四舍五入。取近似值要直接看原数要求数位的下一位，避免先舍入一 次再舍入导致结果改变。 例：V14=3.741657…,精确到百分位为3.74若边长为V14m,需要用整米材料且不能短于实际 长度，则至少要4m,不能买3.74m。 几何计算尽量保留精确根式，比较或最后按要求取近似值时再处理。已知α四舍五入到个位为4，则 3.5≤a<4.5,下端能取、上端不能取，边界必须明确。 14m2 第6页共35页 分式条件因式与运算 有意义值为零与化简后的范围 分式合中，A,B都是整式，且分母B含字母。有意义须B20值为0须A-0且B20。例如：的值 为0时t=4,t=-1时不是值为0，而是无意义。 分式的基本性质是在分子、分母同乘或同除一个不为0的整式。约分约的是公因式，不是加减式中 的某一项。化简后的式子再简单，也不能恢复原式已被排除的值。 任务 分子条件 分母条件 有意义 可为0 不为0 值为0 等于0 不为0 除以一个分式 除式分子不为0 所有原分母不为0 先把整式写成乘积 常用工具：提公因式ab+ac=a(b+c),平方差a2-b2=(a-b)(a+b);完全平方 a±2ab+b=(a±bP。需要时先展开核验，不能见到三个项就猜因式。 最简公分母取各不同因式的最高次数。例如a(a-2)与(a-2的最简公分母为a(a-22。通分时分 子也必须乘相应因式。 运算次序与除式限制 同分母加减，分母不变、分子相加减；异分母先通分。分式乘法可先约公因式；除法要把除式的分 子、分母颠倒后相乘，但原除式本身不能为0。混合运算先算括号、再乘除、后加减。 分式莱方把分子、分母分别乘方：。其中h产0n为正整数。零指数a1和负整数指数 。”。每要求和20，若整个分式作负整数次暴，还须分子不为0， 例：计第己片出原分母要求1，-1，除式不为0还要求20。 因为1-=-u-1,括号内为品，所以原或“。 u-1uuu-1,保留u≠-1,0,1。 方法提醒：原式限制先单独写清；通分写出完整分子；约分后再代值。若题目要求整值，可把分式 化成“一个整数与一个分式的和”，再用因数和原范围筛选，但需说明候选为什么已经找全。 第7页共35页 分式方程建模检验与综合 从去分母到回原式 解分式方程：先找所有分母非零的限制；方程两边同乘最简公分母，每一项都乘；解所得整式方 程；把候选值代回原方程检验。分子为多项式时应加括号。 例：X23=1。原式x3,去分母得2=x3,解得x=5,代回原式两边都为1，所以x5是詹 若水-1-1 义一2x一2，去分母得x=2,但原分母为0，它是增根，原方程无解。另如2X=2,去分母得 x-1 到1=-2，本来就没有候选解。两种无解的原因不同，不能都说成增根。 数量表帮助列等量关系 常见关系：路程=速度×时间，工作量=效率×时间，金额=单价×数量。求时间、数量、单价时经常 出现分式。先写请每一行实际代表哪一阶段、哪一批，而不是只记方程外形。 例：两名骑行者各骑行30km,乙速度是甲的2倍，乙少用1h。设甲速度为xkm/h,则甲、乙用 时分别为30、30；由时间差得30-30=1，解得x=15。 x 2x x 2x 检验x>0,甲用2h、乙用1h,时间差确为1h,且速度单位一致。实际应用除了分母不能为0， 还可能要求人数、件数为正整数，点位在指定线段内，速度不超过给定上限。 对象 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 甲 30 30 X 30 乙 30 2x 2x 四模块怎样联系 几何图先明确角、垂直、等长与点序，再决定用全等、等腰性质、面积还是勾股；根式常表示精确 长度，最后需要正根或夹逼；分式常表示时间、单位量或面积比，原定义域不能丢。 同一道题中，先得到的代数候选并不自动是几何或实际问题的答案。最后逐一检查三边关系、根式 范围、分母条件、点的位置及实际数量限制，并说明分类没有遗漏。 第8页共35页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列四组长度的线段中，能围成三角形的是（)。 A.2 cm,3 cm,5 cm B.2 cm,4 cm,6 cm C.3 cm,4 cm,6 cm D.2 cm,3 cm,6 cm 2.一个实数a的立方根为-2，则a的相反数的算术平方根为（)。 A.-8 B.8 C.8 D.±V8 3.关于分式，下列说法正确的是()。 A.对任何实数x,它的值都是0 B.只有x=0时，它的值才是0 C.当x≠-1时，它的值都为0 D.因为分子为0，所以它总是无意义 4.如图，∠ABC=90°。下列等式正确的是（)。 C B 第4题图 A.AC2=AB2-BC2 B.BC2=AB2+AC2 C.AB2=BC2-AC2 D.AB2=AC2-BC2 第9页共35页 5,如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE,∠A=∠D。补充下列哪个条件，可以用SAS判定 这两个三角形全等（)？ 第5题图 A.BC=EF B.AC=DF C.∠B=∠E D.∠C=∠F 6下列的值中，使分式6 意义且值不为0的是（）。 A.V16 B.-√16 C.8 D.-8 7.在各分母均不为0的条件下，下列化简正确的是（)。 A.d-ab=a B.atb=b a-b a c8=81 D.+1=2 aa 2a 8.一个三角形的三边长分别为V10、V15、5。下列判断正确的是（）。 C V10 15 第8题图 A.它不是直角三角形 B.它是直角三角形，斜边长为V15 C.它是直角三角形，斜边长为5 D.它是等腰三角形 第10页共35页 9.实数V38位于下列哪两个相邻整数之间（)？ A.5与6 B.6与7 C.7与8 D.8与9 10.如图，AB=AC,BC=6om,AABC的周长为0cm,其中0<X3则AB的长为 （)。 6cm 第10题图 )cm B -6)cm c.(30-3)cm D.(5-3)cm 11.如图，AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点。△ABC的面积为（)。 y 10 10 D12 第11题图 A.30 B.36 C.48 D.60 2,代数式有意义时，x的取值应满足() A.X≤5 B.x<5且x≠3 C.x≤5且x≠3 D.X≤5且X≠3、x≠-3 第11页共35页 13.如图，∠ACB=90°，AC=5m,BC=V26m。现有长度分别为6m、7m、8m、9m的绳 子各一根，要沿AB拉直连接两端且绳子不能接长，可选的最短绳长为（)。 A 5m B V26 m 第13题图 A.6 m B.7m C.8 m D.9 m 14,小明解方程名的过程如下：①两边同乘x-1,符2=+1②解得<1：©所以原 方程的解为x=1。对这份解答的评价正确的是（）。 A.①错误，因为方程两边不能同乘含未知数的式子 B.③错误，x=1是增根，原方程无解 C.②错误，正确的结果为x=-1 D.全部正确 15.用长度分别为xcm、 6cm和5cm的三根细棒围成三角形，其中x是正整数。符合要求的x 共有()。 x cm cm 5 cm 第15题三根细棒示意 A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 第12页共35页 16.在△ABC中，AB=13,AC=15。M是BC的中点，AD L BC于D,且DM=2。垂足D的位置 不限于线段BC内。则AD=()。 13 15 C D M 2 第16题示意图 A.8 B.10 C.12 D.14 17.如图，B,D,C在同一直线上，BD=DC=3,AD=4,点A不在直线BC上。现有三个条件： ①AB=AC,②∠BAD=∠CAD;③∠ABD=∠ACD。能单独作为补充条件，使AB=5必然成 立的有（)。 4 3 D 3 第17题示意图 A.只有① B.只有①③ C.只有②③ D.①②③ 18.关于x的两个方程分别为×-1-和X-4-b。若要求它们或者都无解，或者都有解且解相 x-1 X-2 同，则a,b应满足（）。 A.b=a+1 B.b=a+1,且a≠2,3 C.b=a+1且a≠2,3，或a=2,b=4 D.b=a+1,或a=2,b=4 第13页共35页 9实数x,y,满足x2y-a作0，且y+y22。则a的值为（）。 A.3 B.2或4 C.2 D.不存在这样的实数a 20.如图，CD=8m,AC⊥CD,BD⊥CD,AC=BD=3m,A,B在直线CD同侧。点P在线段 CD上，且CP≤3m。小华说：“可以找到点P,使AP+PB=10m。”小明说：“所有符合条件的点 P都满足AP+PB>10m。”下列判断正确的是（）。 3m 3m 0 8m 第20题图 A.两人都正确 B.只有小华正确 C.只有小明正确 D.两人都不正确 第14页共35页 三填空题 21.如图，BC延长至D,∠ACD=120°，∠B=35。则∠A=一 A 35° 120° B C D 第21题图 1 1 22.分式。0可与。-一1的最简公分母是 23.计算：V-57+-64=一。 24.如图，∠ACB=90°，AB=V29,AC=5。则BC=一。 A 5 29 第24题图 第15页共35页 25.如图，AB=AC,D为BC的中点，∠BAC=44°。则∠BAD= ∠BAC=44° B D 第25题图 26.方程221的解是一 27.已知V62=7.874007…。把√62四舍五入精确到百分位，结果是一。 28.如图，AD LBC于D,BC=12,BD=5,△ABC的面积为30。则AB=。 B 5 BC=12 第28题图 29.一辆车行驶36km,速度由xkm/h提高到(x+3)km/h,其中x>0。提速后少用的时间为 ho 状态 路程/km 速度/（km/h) 时间h 提速前 36 待表示 提速后 36 X+3 待表示 第16页共35页 30.一块正方形纸片的面积为13cm2,它的边长为 cm。 13cm2 第30题图 31.先化简4。再从V4,0.-4,9中选出原式允许代入的最小值，所求式值为 x2-2x 32.如图，∠B=∠E=90°，∠A=∠D,AB=DE=3,AC=5。则EF=一。 3 第32题图 33.一个搬运小组原要搬120箱图书。后来增加3人，任务也增加60箱，结果每人平均搬运的箱 数与原计划相同。原小组有 人 计划 总箱数 人数 人均箱数 原计划 120 120 X 180 调整后 180 x+3 X+3 第17页共35页 34.如图，两个直角三角形的直角边长分别为3,4和V5,V20。周长较大的三角形是 (填“甲"”或“乙”)。 乙 3 5 V20 第34题图 35.一个等腰三角形的周长为16，其中一条边长为6，且它的面积是整数。则它的面积为 A 周长16一条边长6 第35题示意图 36.三角形的三边长分别为3、4和A,其中n是整数，且三条边长都是正整数。n的所有可能 值为一。 鹄 第36题示意图 第18页共35页 37.如图，长方形纸片ABCD中，AB=5,BC=3。沿过点A的折痕AP折叠，点B落在线段CD上 的点E处，点P在线段BC上。则CP=一。 D E BC=3 A 5 B 第37题图 38.一块直角三角形薄板的两条直角边长分别为acm,bcm。把这两个数各自四舍五入到个 位，记录分别为3.4，在，5，受6中，写出所有可能作为这块薄板斜边长的数： A 斜边 B 0 第38题测量记录 测量量 四舍五入到个位后的记录 直角边alcm 3 直角边b/cm 4 第19页共35页 3.分式F=x+也中，a,b,c为常数且a0。下表四条记录中恰好有一条错误，其余三条正确。 x-C 则a的所有可能值为 x -1 0 3 F的记录 无意义 0 -4 40.如图，每个小正方形的边长为1，A,B是底边两端，AB=6。在图示6×5方格区域内（包括 边界)的格点中，找点P,使PA=5且PB为整数。满足条件的点共有个。 B 每小格边长为1 第40题图 第20页共35页 四解答题 写出计算步骤或证明过程。 41.计算(X+3-2x+3.4x+4 x+12x+2:3x,并写出原式中x的取值限制。 42.如图，直线AC与BD相交于点O,OA=OC,OB=OD。求证：AB∥CD。 B A 0 第42题图 第21页共35页 43.给出四个数：√7、√36、-125、3.1416。（1)指出其中的无理数；(2）计算 V36+-125+V7-3。 44.如图，一副三角形支架的三边长已知分别为AB=2.1m、BC=2.8m、AC=3.5m。求证： AB LBC。 P 3.5m 2.1m C 2.8m 第44题支架示意 第22页共35页 45.解方程X+3=x+5 X+1X+2,并检验。 46.如图，点D在线段AB上，且在BC的垂直平分线上。已知AB=8、AC=V41,求△ADC的周 长。 A V41 AB=8 C ◇ 第46题图 第23页共35页 47.学校第一次花180元购买了12个文件夹。第二次购买同款文件夹时，每个比第一次便宜5 元，共花200元。求第二次购买的数量。 次数 总额/元 数量/个 单价/元 第一次 180 12 180 12 第二次 200 200 48.如图，给出∠AOB。（1)用尺规作出它的角平分线OP,保留作图痕迹；(2)在所作角 平分线上取一点P,过P作PE LOA、PF LOB,垂足为E,F。求证：PE=PF。 B A 第48题作图底图 第24页共35页 49.如图，一根长9m的细杆在B处折断，上端落地后为点C,杆脚A与C相距3m。地面水平， 折断后下半段仍垂直地面，杆身没有伸缩。求折断处B离地面的高度。 ⊙ 3m 第49题图 5D,小雨把化简为2并据此说当x三3或x5时，原式的值都是2。”指出小雨解答 的错误，并写出正确结论。 第25页共35页 51.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在线段AB,AC内，AD=AE,BE与CD相交于点 P。(1)求证：PB=PC;(2)若BC=10、PB=V61,求△PBC的面积。 A D E XP V61 10 第51题图 第26页共35页 52G)解方程号高广②把)中所得的作为来边长.男两边长都取万。 这三条线段能否围成三角形？写出判断过程。 A V20 V20 B + 第52题候选边长示意 第27页共35页 53.如图，△ABC的三边满足AB=AC2-BC2。(1)指出这个三角形的直角在哪里，写出判断 过程；(2)若AB=3、BC=4,过B作BD⊥AC于D,求BD的长。 A B C 4 第53题图 第28页共35页 54.一台设备要加工360个相同零件。实际先按原效率完成5的任务，再把每小时产量提高到原 来的2倍，完成余下任务，共用8h,两个阶段之间没有停机时间。（1)求原效率；(2）若全 程按原效率加工，需要多少小时？实际节约了多少小时？ 阶段 工作量/个 效率/（个h) 时间h 第一阶段 120 120 第二阶段 240 2x 240 2x 第29页共35页 55.如图，AB=AC=5,BC=6,点P在直线BC上，且P≠C。(1)求点A到直线BC的距离； (2)若△APC是直角三角形，求BP的所有可能值，并说明对应点P的位置。 A 5 5 6 C 第55题图 第30页共35页 56.如图，长方形场地ABCD中，AB=40m,BC=30m。跑步路线甲为A→B一C→A,路线 乙为A一B→C一D一A。两名同学各选一条不同路线。小林跑2圈，小周跑3圈，两人同时出 发，恰好同时完成；两人匀速且不停留，小周每秒比小林快2m,小林每秒不超过5m。求两人 分别选择的路线及各自速度。 D C 30m A ◇ 40m 第56题路线图 路线 经过顺序 路线甲 A→B→C→A 路线乙 A→B→C→D→A 第31页共35页 57.整数n满足V30<n<25。设F=64。(1)化简F并写出原式限制：(2)求使F n2-12n+32 为整数的所有n。 第32页共35页 58.关于x的方程为mx-2m-6=1,其中m是整数。(1)分别解m=1和m=3时的方程；(2) x-4 若原方程的解x与3、5恰好能作为一个三角形的三边长，求m的所有可能值。 3 5 X 第58题三条边长示意 第33页共35页 59.如图，∠BAC=90°，AP平分∠BAC,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,E在线段AB内，F在 线段AC内。为保证PB=PC,现有两个补充条件：①BE=CF,②BE=PF。（1)分别判断这两 个条件是否足够；足够的给出证明，不足的举出一组具体长度反例；(2）在条件①下，若 AP=V50、BE=12,求BC的长。 C P F A E 第59题示意图 第34页共35页 60.如图，AB=AC,BC=12,D为BC的中点。点P在射线AD上，且D在线段AP内，PE LAB 于E,PF⊥AC于F,E,F分别在线段AB,AC内，PE=6。(1)求证：AB=AP,(2)若 S§，求AB.AD和DP的长。 E BC=12 ◇入 D B C PE=6 P 第60题图 第35页共35页