第2章实数的初步认识期中复习专题讲义-2026—2027学年苏科版八年级数学上册

第2章实数的初步认识期中复习专题讲义 2026一2027学年苏科版八年级数学上册教师详解版 本讲义复习平方根、立方根、实数与近似值。先理解概念及其适用条件，再通过图示和例题掌 握方法，最后完成选择题、填空题和解答题。 一知识详解 2.1平方根 1平方根从平方反过来想 如果一个数x的平方等于a,即x=a,那么x叫作a的平方根。这里a是被开方数，x是它的平方 根。“求一个数的平方根”是在已知平方结果的情况下，反过来找原来的数。 正数有两个平方根它们互为相反数。例如-}，所以的平方根是号和号，合写 9 成±多。两个根绝对值相等，但不是同一个数。 0的平方根只有0，因为x2=0只能得到x=0,不能说0有“两个相等的平方根”。负数在实数范围 内没有平方根，因为任何实数的平方都不小于0，不可能等于负数。 开平方与平方互为逆运算，但“反过来”并不意味着只有一个答案。比如由x=36要得到x=±6， 而不是只写x=6。若x另有长度等实际意义，再用实际条件筛选。 被开方数a 平方根的个数 平方根的表示 a>0 2个，互为相反数 √a和-√a a=0 1个 0 a<0 实数范围内没有 不能写成实数平方根 2算术平方根只取非负的那一个 正数a的正的平方根叫作a的算术平方根，记作Va,读作“根号a”；规定0的算术平方根是0。因 而Va同时要求a≥0，并且它所表示的数也满足Vā≥0。 第1页共37页 面积11cm2 边长scm “25的平方根”是±5“25的算术平方根”是5；式子25的值也是5。根号本身已经表示取非负 值，不能再把√25写成±5。求V25的平方根，则是先得到5，再求5的平方根，答案是±V5。 面积为11平方厘米的正方形，设边长为s厘米，则s2=11。方程在实数范围内有s=±V11,但边 长s>0,所以边长是V11厘米。图中的面积单位是平方厘米，边长单位是厘米，两者不可混写。 算术平方根不一定比原数小，例如，品子品=11西=4←16。此较根与原数时。0和 是重要的分界，不能凭大于1的几个例子推广到所有非负数。 3根号有意义与非负条件 在实数范围内，√A有意义的条件是A≥0。例如V2x+6有意义，应有2x+6≥0，所以x≥-3。这 里是对整个被开方的式子提出要求，不是只要求x≥0。 几个根号同时出现时，每个被开方数都要非负。例如Vx+2+√4-x有意义，需同时有x+2≥0和 4-x≥0，所以-2≤x≤4。一条条件只给出了一个方向，不能漏掉另一条。若根号在分母中，还 1 须使分母不为0，例如7x+2要求X>-2。 平方、绝对值、算术平方根的值都是非负数。因此若它们的和等于0，每一项都必须等于0。 例：(u-4+v+2=0,由于两项都不小于0，只能有u=4、=-2。理由不是“相加可以互相抵 消”，而是两个非负数没有正负抵消的可能。 这一结论有条件：和中的各项必须都是非负数。不能从p+q=0推出p=q=0,因为立方根可 以为负；如p=8,q=-8时，两个立方根相加也等于0。 4平方后开方与开方后平方 当a≥0时，（Vā2=a,这正是算术平方根的定义。例如（√432=43。此式先开方再平方，先开方 这一步要求a≥0。 对任意实数a,都有Va=|a。理由是：a≥0，且a=a2,所以a恰是a的算术平方根。于是 a≥0时结果为a,a<0时结果为-a。例如V(-82=8,不是-8。 第2页共37页 含字母时，应把根号内的整个平方部分看作一个数。例如x<2时，x-2<0,故 V(x-2P=|x-2=2-x没有x<2这样的符号信息时，通常应保留为x-2|,不能直接去掉绝对 值。 平方后开方会把负号的信息丢掉，所以√a=a不是对一切实数成立的式子。相反，立方后开立 方能够保留符号，后面会看到ā=a。 式子 条件 结果 (Va) a≥0 va a为任意实数 va=a a≥0时成立 负数时不成立 5直接开平方与两个平方根的条件 解形如U=c的方程，先把整个U看作一个数。若c>0,则U=±Vc;若c=0,则U=0,若c<0, 则方程没有实数解。开平方之后，再解关于原未知数的方程。 例：(2x-1)2=49。由2x-1=7或2x-1=-7,分别得x=4或x=-3。两个数都代回原方程成立， 不能在“开平方”时只保留正号，也不能把2x-1错看成2(x-1)。 若已知一个正数的两个平方根分别是两个含字母的式子，可利用“两个根互为相反数”。例如两 个平方根为m+2与2m-8,则(m+2)+(2m-8)=0,得m=2;两个根为4与-4，原数为16。求 出参数后仍应核实两个根确实互为相反数。 “某数的一个平方根是r”只说明这个数等于r2,“某数的算术平方根是r”还要求r≥0。例如一个数 的平方根可以是-6，但它的算术平方根不可能是-6。 6平方根的比较与小数点移动 对两个非负数，较大的数有较大的算术平方根。因为非负数平方的大小顺序不变，所以0≤a<b 与Va<Vb相对应。例如36<43<49，就有6<V43<7。 若Va=b,则b20、b2=a。由于(10bP=100a且10b≥0，可得V100a=10b。同理， a b Y10010。这 解释了：被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位。 例：已知V7.84=2.8,则V784=28,V0.0784=0.28。应先比较被开方数的倍率，再确定根的倍 率。被开方数扩大10倍时，不能把根直接扩大10倍或小数点移动半位。 第3页共37页 数量级也能检查结果。例如100<784<900，所以10<V784<30,可立即排除2.8或280。近似 数据也能按相同倍率换算，但原来写“约等于”的数据，换算后仍是近似值，不能改成精确等 号。 被开方数 0.0784 7.84 784 算术平方根 0.28 2.8 28 2.2立方根 7立方根正数零和负数都能开立方 如果一个数x的立方等于a,即x=a,那么x叫作a的立方根，记作ā。根号左上角的3表示开三 次方，不能省略，否则Va表示的就是算术平方根。 体积 一个面的面积2m2 0.512m3 正方体的体积13m3 棱长1m 每个实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负 数。例如27=3,0=0，-27=-3，不能写成±3。负数能开立方，是因为负数的立方仍为负 数。 正方体体积为0.512立方米，设棱长为l米，则1=0.512。由于0.83=0.512，棱长为0.8米。图 把棱长、一个面的面积、整体体积区分开：若棱长为l,一个面的面积是，总体积是。 平方根要区分“两个根”和“算术平方根”；立方根没有这种二选一的情况。求负数的立方根，不应 先删掉负号，更不应以“负数不能开方”为由判它无意义。 项目 平方根 立方根 定义 x2=a x=a 正数的根 2个，互为相反数 1个，为正数 第4页共37页 项目 平方根 立方根 0的根 只有0 只有0 负数的根 实数范围内没有 1个，为负数 8立方根的性质方程和数量级 对任意实数a,都有（ā3=a、a=a,以及-a=-a。例如-7乃=-7。这三条都能由“哪一 个数的立方等于被开方数”来检验，不需要另添正负号。 例：(3x+2)3=-64。因为(-4)3=-64，所以3x+2=-4,得x=-2。与直接开平方相比，这里只 有一个立方根，不产生两条方程。若两数的立方根互为相反数，把关系两边立方即可得到原来 两数互为相反数。 若ā=b,由10b3=1000a可得1000a=10b。因此，被开方数的小数点每移动三位，立方根的 小数点相应移动一位。例：2.197=1.3，所以2197=13,0.002197=0.13。 正方形的边长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍；正方体的棱长变为原来的2倍，体积变 为原来的8倍。反过来，正方体的体积变为原来的8倍，棱长变为原来的2倍。体积的单位换 算也要按立方关系：1m3=1000000cm3,因为1米等于100厘米。不能按长度的100倍去换 算体积。 变化 平方根 立方根 被开方数扩大多少倍，根扩大 100倍 1000倍 10倍 被开方数缩小多少倍，根缩小 100倍 1000倍 10倍 比较大小 非负被开方数越大，根越大 被开方数越大，根越大 9根与原数比较为什么要分0和1 若0<a<1,则a<a、a3<a。由于非负数的平方和实数的立方都随原数增大而增大，反过来求根 得a<Va、a<ā。例如一个小于1的正数乘自己，会变得更小；要得到原来的数，根就须比它 大。 若a>1,则a2>a、a3>a,同理得Va<a、a<a。在a=0或a=1时，两种根都等于原数。不能 把“开方后数会变小”当作不带条件的结论。 第5页共37页 表中的比较同时涉及算术平方根，因此这里统一在α≥0的范围讨论。若题目只含立方根，负数 仍然可以使用，但应依据负数的符号与立方关系另作比较。 原数a的范围 算术平方根与原数 立方根与原数 a=0 Va=a Va=a 0<a<1 Va>a Va>a a=1 Va=a Va=a a>1 Va<a Va<a 2.3实数 10实数分类要看数的本质 有理数和无理数统称实数。有理数可以写成两个整数的比，其中q≠0；它们的小数表示是有 限小数或无限循环小数。无限不循环小数叫作无理数。每个实数恰属于这两类中的一类。有理 数又可以分为整数和分数；整数包括正整数、0和负整数。 分类前，先看清这个数实际等于什么。√64=8、-125=-5都是有理数；V11和π是无理数。“带 根号”不等于“无理数”，“不带根号”也不等于“有理数”。 有限小数3.1416是有理数，只是π的一个近似值，并不等于π。有规律的无限小数也未必循 环。例如0.1010010001…中，相邻两个1之间的0依次增加，这个规律不是固定一段数字反 复循环，因此它是无限不循环小数。 实数还可以按符号分成正实数、0和负实数；有理/无理与正/负是不同分类依据。无理数有正数 也有负数，0是有理数，但既不是正数也不是负数。 分类依据 类别 例子 是否为有理数 有理数 -5,0,30125 是否为有理数 无理数 1i,-11,n 符号 正实数 景加 第6页共37页 分类依据 类别 例子 符号 零 0 符号 负实数 -5,-V11 11实数与数轴位置相反数和距离 数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也都对应数轴上的一个点。数轴向右为正方 向，右边的数总比左边的数大。无理数虽不能写成有限小数，仍有确定的大小和位置。 两点间距离2+V8 十 -V8 0 2 √⑧ -√⑧与V8关于原点对称，到原点的距离均为V⑧ 实数a的相反数是-a,对应的两个点关于原点对称，与原点距离相等。a可以是负数，所以-a 不一定为负。例如a=-V⑧时，-a=V⑧>0.0的相反数仍是0。 绝对值a表示数a对应的点到原点的距离。因此a≥0a≥0时a=a,a<0时a=-a。如 |-V⑧=V8。图中-V⑧与V8在原点两侧，对应距离相等。 数轴上表示a,b的两点之间的距离是|a-b。若已知a<b,这段距离就是b-a。例：表示-√8和 2的两点之间的距离为2-(-V⑧)川=2+V8;距离不是两数直接相加，更不能为负数。 非零实数a的倒数是君，二者的乘积为1。例如4的倒数为，VB的倒数可与成8·0没有倒 数，因为0与任何实数相乘都不能得到1。相反数要求和为0，倒数要求积为1，二者不可混 淆。 12夹逼估值大小比较和整数部分 确定√N的大致位置，可以在N两侧寻找完全平方数；确定N的位置，可以寻找完全立方数。 例如25<31<36，所以5<V31<6;-64<-40<-27,所以-4<-40<-3。 两个正数可通过平方来比较，两个负数可先比较绝对值再反向。例如V31<6,所以-V31>-6。 也可选择中间数：V7<3<V10,便有V7<V10。不能把“约为同一个小数”当作两个数相等。 第7页共37页 对正数x,若整数n满足n≤x<n+1,则n是x的整数部分，x-n是它的小数部分；小数部分满足 0≤x-n<1。例：5<V31<6,其整数部分为5，小数部分为V31-5。 小数部分是一个精确的数，不是随意取若干位小数。例如V31-5不能写成0.5并当作相等。求 7-V31的整数部分，应把已知区间整体变换：由5<31<6得1<7-V31<2,所以整数部分为 1。不能直接用7减去V31的整数部分。 已知夹逼 所求数的区间 整数部分 小数部分 25<31<36 5<V31<6 5 V31-5 5<V31<6 1<7-V31<2 6-V31 13绝对值分段分界点从哪里来 去绝对值前，必须判断绝对值内部的数是正、零还是负。含x的式子如x-2在x=2处改变写 法：x<2时为2-X,x≥2时为X-2。分界点来自内部式子等于0，不是随意选定。 X<-2 -2≤X≤3 X>3 橙线x+2!蓝线x-3引 例：求F=x+2|+|x-3|。两个分界点是-2和3。若x<-2,F=(-x-2)+(3-x)=1-2x;若 2≤x≤3，F=(x+2)+(3-x)=5,若x>3,F=(x+2)+(x-3)=2x-1。 图上两个绝对值分别表示点到-2、3的距离。当x在两点之间时，两段距离之和恰等于两端点 间的距离5；当x在外侧时，多出往返的一段距离，所以总和更大。因此F的最小值为5，取到 最小值的x是整个区间-2≤x≤3，不是只有中点。 若题目还限制x为整数、正数，或给出方程F=℃，就须把所得区间或解与这些条件一并核对。 分段解方程时，在某段得到的候选值必须属于那一段，否则要舍去。 第8页共37页 x的范围 |x+2 |x-31 X<-2 -X-2 3-x 1-2x -2≤x≤3 X+2 3-x 5 x>3 X+2 x-3 2x-1 14实数运算先确定意义再按顺序计算 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，但每一步都必须有意义。先算乘方、开方及 绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右。除数不能是0。 例：V81+-64-13-√11。先得V81=9、-64=-4;又因V11>3,有3-11=11-3。所以 原式=9-4-(V11-3)=8-V11。最后一步减去整个括号，两项的符号都要处理。 同一个实数的若干倍可以合并，如4V7-V7=37,这与4a-a=3a同理；而√7+11不能合并为 V18。开方不是对加法逐项分配的运算，例如V9+16=5,但V9+V16=7。 15读懂取整和流程的每一步 取整符号或新运算不是看到符号就能凭印象使用，必须按题目给出的定义。例如规定[x]表示不 大于x的最大整数，则[2.6]=2、[2]=2，而[-2.6]=-3。最后一个结果不同于向零截去小数；若 题目没有这样定义，不应把负数的“整数部分”擅自按此解释。 否：以所得数继续 输入非负整数u 取当前数的 算术平方根 所得数为无理数？ 冷 25→5→V5(输出) 输出所得数 1→1→1→…（不输出） 第9页共37页 对非负数u,若[Vu]=k,其中k为非负整数，则k≤Vu<k+1,于是k≤u<(k+1)2。这是把“结果 是某个整数”反过来变成原数的范围。例：[Vu]=4等价于16≤u<25,若u为整数，则为16至 24。 流程题要明确每一步算什么、何时输出、何时返回。例如从非负整数开始反复取算术平方根， 遇到无理数就输出：输入25，依次得到5、V5,第二次输出；输入1则一直得到1，不能输 出。不能默认每个输入都会在有限步内停止。 逆求输入时，应从输出倒着检验。若输出V5,前一步必为5；若前面还有一步开平方，前前步 必为25。每往前一步还要检查原题的输入范围、整数条件和之前是否已经输出，不能只连续平 方而不核条件。 16有理数和无理数的条件怎样用 有理数加无理数仍为无理数；非零有理数乘无理数仍为无理数。可以反过来说明理由：若有理 数r与无理数t的和r+t是有理数，则t=(r+t)-r会是有理数，矛盾；乘法结论同样可用除以非零 有理数来说明。 因此，若p,q为有理数、t为无理数，且pt+q=0,就只能有p=0,q=0。因为若p≠0，便有 号，这会把：写成有理数。这里p9是有理数这一条件不可省略。 例：有理数m,n满足(m-3)V2+n+4=0,则m-3=0、n+4=0,所以m=3,n=-4。这不是任 意“带根号部分”和“不带根号部分”都能分别相等，而是利用同一个已知无理数的有理系数。 无理数之间的和或积不一定仍为无理数，例如2+(-V2)=0,而V2+√2=2√2仍为无理数。做判 断题时，一个恰当反例可以否定“一定”，但几个例子不能证明“对所有数都成立”。 2.4近似值 17近似值保留到哪一位 实际问题中，有些数能准确确定，如某班实到人数为42；有些数由测量、估算或舍入得到，只 接近真实值，称为近似数。说“约”说明数是近似的，说“精确到哪一位”则说明保留到哪个数位， 两者不能混为一谈。 用四舍五入法取近似值时，先确定最后保留的数位，再看紧挨着它的后一位：小于5舍去，等 于或大于5向保留位进1；此后更低的数位一起舍去。应从原数直接舍入，不要一级一级反复 舍入。 例：将8.3762精确到0.1，保留十分位，看百分位7，得到8.4；精确到0.01，保留百分位， 看千分位6，得到8.38；精确到0.001，看万分位2，得到8.376。“精确到0.01”与“保留两位 小数”在这里是同一个要求。 第10页共37页 进位可能连续传递。例如9.996精确到0.01应写10.00，不能只写10。近似数末尾的0表示 实际保留到的数位：6.3精确到十分位，6.30精确到百分位。两者数值相等，但精确程度的表 达不同。 原数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001 8.3762 8.4 8.38 8.376 9.996 10.0 10.00 9.996 18万亿和科学记数法中的精确数位 带“万”“亿”等计数单位的近似数，末一位对应的是整个量的实际数位，不能只看小数点后有几 位。例：2.08万中，最后的8所在数位相当于0.01万，也就是100，所以2.08万精确到百 位；7.4亿中的0.1亿等于1000万，故精确到千万位。 一个不小于10的正数，可以用科学记数法表示为a×10”,其中1≤a<10,n为正整数。它首先是 一种表示方式，不必然意味着取了近似值。例如370000=3.7×10可以是精确相等。只有题目说 明近似或舍入要求时，才据此判断精确程度。 近似数3.70×10中，系数最后一位代表0.01×100000=1000，所以精确到千位；若写成近似数 3.7×105,末位代表10000，则精确到万位。末尾0在这里仍不能随意删除。 例：把739600精确到万位，先看千位9，得740000；为了清楚表达保留到万位，可写 7.4×10。若精确到千位，则结果也为740000，但应写7.40×10来保留精度信息。数值可能相 同，写法所传递的精度却不同。 近似数 最后一位所在数位的单位 精确到 2.08万 0.01万=100 百位 7.4亿 0.1亿=10000000 千万位 3.70×105 0.01×100000=1000 千位 3.7×105 0.1×100000=10000 万位 第11页共37页 19由平方表求近似值中点决定进不进位 用平方表或自己计算的平方数估计√N,先由平方的大小确定根的范围。例如 3.42=11.56<12<12.25=3.52,所以3.4<V12<3.5。但这还不能确定精确到0.1究竞是3.4还是 3.5。 要作正确的四舍五入，必须判断12在中点3.45的哪一侧。因为3.452=11.9025<12，所以 V12>3.45,结合上界，精确到0.1应为3.5。比较的中点是所保留数位的半个单位，不是随便 增加一个平方数。 若精确到0.01，先有3.46=11.9716<12<12.0409=3.47，再比较中点3.4652=12.006225>12，得 V12<3.465,所以精确到0.01为3.46。只知道3.46<√12<3.47仍不足以完成舍入。 立方根可用同样思想：用相邻数的立方夹住被开方数，再比较舍入中点的立方。题目给出的是 平方表还是立方表，要与所求的根对应；表中的值若只是近似值，还应留意它是否足以支持严 格的大小判断。 用于比较的数t t 与12的关系 3.45 11.9025 小于12 3.46 11.9716 小于12 3.465 12.006225 大于12 3.47 12.0409 大于12 20从近似值反求原数端点也要判断 对正数用四舍五入法精确到0.1，结果为4.6，原数x应满足4.55≤x<4.65。下端4.55恰好进位 成4.6，能取；上端4.65会进位成4.7，不能取。因此两个端点不是都包含，也不是都不包 含。 四舍五入精确到0.1，结果为4.6 4.55 4.60 4.65 能取：进位为4.6 不能取：进位为4.7 图上从4.55的实心点画到4.65的空心点，表示这个左闭右开的区间。若精确到0.01，结果为 4.60,则原数范围是4.595≤x<4.605,区间更窄。这也说明近似数末尾的0为何有意义。 第12页共37页 一般地，对正数按四舍五入保留到单位d,得到近似值r,其原数位于r-号≤X<r+号，并须与原 2 题的正数、整数或实际取值条件同时成立。例如记录为4.6米，并不能保证真实长度至少为 4.60米，因为4.57米也会得到同样记录。 判断“能否保证”要看整个允许范围，不能只把记录值当真实值。若题目给了多项测量条件，应 把它们化成同一单位下的区间，再取同时满足的部分。本节的半开区间说明按正数的常用四舍 五入规则展开；负数舍入若出现，必须先说明采用的约定。 21近似值是否满足精度要求 有些阅读题给出一种估计算术平方根的方法，例如在一个完全平方数附近用较简单的算式估 计。按指定方法算出一个数，只能说明“该方法给出的估计值是多少”；是否能保证真值四舍五 入到某一位仍得到同一个结果，需要再检验。 例如，已知某方法把V26估计为5.1。要证明真值精确到0.1确实为5.1，可以检验两个舍入边 界：5.052=25.5025<26,5.152=26.5225>26，于是5.05<V26<5.15,结论才有保证。不能仅 因“看起来接近”就断言精确到0.1。 连续舍入也可能改变结果。例如1.249直接精确到0.1为1.2；若先精确到0.01得到1.25， 再精确到0.1则变成1.3。两种步骤处理的对象已经不同，所以通常应从原数一次舍入。 第13页共37页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列说法中，正确的是（)。 A.0没有平方根 B.V64=±8 C.-8是64的一个平方根 D.负数没有立方根 答案C 正数有两个平方根，0的平方根只有0，负数在实数范围内没有平方根。 V64表示64的算术平方根，等于8，-8的平方等于64，所以-8是64的一个平方根。 2.已知a<0,下列式子中，与引a相等的是（）。 A.va B.Va C.-va D.a 答案A 因为a<0,所以a=-a。 Va=|al;B、C、D中的式子都等于a,均为负数。 3.一个数a的立方根是-2，b是a的相反数的立方根，则a+b等于()。 A.-10 B.-6 C.0 D.6 答案B 由a=-2,得a=(-2)3=-8。 a的相反数是8，所以b=2,a+b=-8+2=-6。 4.下列各组数中，两个数都是无理数的是()。 A.V9与V2 B.-8与π C.0.36与3 D.√7与π 答案D V9=3,-8=-2,0.36都是有理数，分别排除A、B、C。 V7与π都是无理数，故选D。 第14页共37页 5.使V7-2x有意义的整数x中，最大的是（)。 A.2 B.2 C.3 D.4 答案C 72x20,得x≤子： 不大于)的最大整数是3。 6.下列大小关系正确的是（)。 A.-3<-V12<V10<4 B.-V12<-3<√10<4 C.-V12<-3<4<√10 D.√10<4<-3<-V12 答案B 因为9<12<16，所以3<V12<4,从而-4<-V12<-3。 又因为9<10<16，所以3<V10<4。综合可得-V12<-3<V10<4。 7.实数a、b在数轴上的位置如图所示，其中-3<a<-2,1<b<2。下列结论正确的是（)。 b -4 -3 -2 -1 0 2 3 A.a-b>0 B.ab>0 C.al<b D.a+b<0 答案D 因为a<-2且b<2,所以a+b<0。 a为负数、b为正数，故a-b<0且ab<0;又a>2>b,所以其余选项均不正确。 8.把某个数量分别记录为近似数7.20万和7.2万。下列说法正确的是（)。 A.前者精确到百位，后者精确到千位 B.前者精确到百分位，后者精确到十分位 C.两者都精确到万位 D.两者数值相等，所以精确程度相同 答案A 7.20万的末位0所在的数位相当于0.01万，即100，所以精确到百位。 72万的末位2所在的数位相当于01万，即1000，所以精确到千位。两者数值相等，精确程度不 同。 第15页共37页 9.把349680000四舍五入精确到百万位，并用科学记数法表示，且能正确体现精确程度的是 （)。 A.3.49×108 B.3.5×108 C.3.50×108 D.3.497×108 答案C 百万位上的数字是9，下一位是6，向前进一，得到350000000。 按要求应写为3.50×10。末尾0对应百万位，不能省去。 10.比23大的最小整数减去√23，所得的差是（)。 A.V23-4 B.5-√23 C.V23-5 D.4-V23 答案B 因为42<23<52，所以4<V23<5。 比W23大的最小整数为5，所求的差为5-V23。 11.在满足10≤n≤100的整数n中，算术平方根是整数而立方根不是整数的数共有（)。 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 答案B 这一范围内的完全平方数有16,25,36,49,64,81,100，共7个。 其中只有64=43也是完全立方数，故符合条件的数共有7-1=6个。 12.一个正数的算术平方根是它的立方根的2倍，这个正数是（)。 A.4 B.8 C.16 D.64 答案D 设这个正数的立方根为t,则t>0,原数为t3,算术平方根为2t。 由定义得t=(2t2=4t2。因为t>0,两边同时除以t2,得t=4。 所以原数为43=64，检验V64=8=264。 第16页共37页 13.正整数n的算术平方根的整数部分是4，小数部分大于)。符合条件的n共有（）。 A.4个 B.5个 C.8个 D.9个 答案A 整数部分为4且小数部分大于}，所以4.5<n<5。 平方得20.25<n<25。正整数n可以取21、22、23、24，共有4个。 14.正整数n的平方经四舍五入精确到百位，得到3.2×10，则n等于()。 A.56 B.57 C.58 D.59 答案B 3.2×10=3200,对应的原数范围为3150≤n2<3250。 562=3136<3150,57=3249,582=3364>3250,故只有n=57符合条件。 15.对一个正整数进行如下操作：取它的算术平方根，再取所得数的整数部分。连续进行这样 的操作，直到第一次得到1为止。例如，20经过3次操作得到1。若正整数恰好经过3次操 作才第一次得到1，且n是某个正整数的立方，则满足条件的n有()个。 否以所得整数继续 是 输入正整数n 取算术平方根 再取整数部分 得到1？ 停止 A.3 B.4 C.5 D.6 答案B(4个) 要恰好两次操作才第一次得到1，第一次结果只能为2或3（不能已经是1），所以原数在 4≤n<16,即4至15。要恰好三次操作才第一次得到1，第一次结果必须是4至15中的整数， 故16≤n<256。 第17页共37页 在16至255之间的正整数立方有33=27、43=64、53=125、63=216,23=8过小，73=343过大。 共4个，选B。 也可逐步反推：末次操作前为2或3，前前次为4至15，最初为16至255。边界16、255都 需3次才首次得到1；256依次变为16、4、2、1，要4次，应排除。 16.整数x,y满足x≤y,且x-V71+|y-V7=4,则xy的最大值为（)。 A.8 B.10 C.12 D.15 答案C（12) 若x,y同在7的左侧，则左边为27-(x+y),若同在右侧，则为x+y-2V7。x+y为整数而 2V7为无理数，这两种情况都不可能等于整数4。 因此x<7<y。由2<7<3且x,y为整数，得x≤2、y≥3。原式化为 (V7-x)+(y-V7)=y-x=4,故y=x+4。 再由y≥3得x≥-1，所以x=-1,0,1,2,对应(x,y)=(-1,3),(0,4),(1,5),（2,6),乘积依次为 -3,0,5,12。最大值为12，选C。 17.设a=1000,其中n是整数，且1<a<2。甲直接将a四舍五人精确到0.1；乙先将a四舍五入 精确到0.01，再把所得近似数四舍五入精确到0.1。使甲、乙最后结果不同的n共有（) 个。 A.45 B.50 C.55 D.100 答案B(50个) 甲、乙只有在乙第一次舍入把原来不到“半个十分单位”的数进到该分界点时，最后结果才会不 同。以甲得到1.0、乙得到1.1为例，必须有1.045≤a<1.05,对应 n=1045,1046,1047,1048,1049,共5个。 同理，对十分位舍入分界点1.05,1.15，，1.95，产生差异的区间依次为 [1.045,1.05),[1.145,1.15),…,[1.945,1.95)。每个区间含5个千分点，共10个区间。 小于各区间左端的数先保留两位小数也不会到达分界点；不小于右端的数直接舍入已经进位。 因此没有其它情形，共10×5=50个，选B。 第18页共37页 18.正整数n满足vn+15-Vn是整数，则所有符合条件的n的和为（)。 A.49 B.50 C.65 D.66 答案B(50) 设k=Vn+15-Vn。由n+15>n可知k>0,又因为(Vn+4)2=n+8Vn+16>n+15,两边非负，得 Vn+15<Vn+4,即k<4。因此正整数k只能是1、2、3。 由vn+正=n+k,平方得15=2kn+k.当k=1时，n=7,得n-49方当k-2时，万=头，得 ，不是整数舍去：当k=3时，n=1,得n=1。 n=121 代回检验：V√64-V49=1,V16-V1=3,均成立。因此全部符合条件的n为1、49，和为50，选 B。 19.满足Vā+ā=2a的实数a共有()个。 A.0 B.1 C.2 D.3 答案C(2个) 原式有意义须a≥0。a=0或a=1时，等式显然成立。 若0<a<1,则a2<a、a3<a,由平方、立方的大小关系得a<Va、a<a,所以Va+a>2a,不满 足题意。 若a>1,则a>a、a3>a,于是Va<a、a<a,两者之和小于2a,也不满足题意。综上，只有 0、1两个解，选C。 第19页共37页 20.一个正方体的棱长为a厘米，表面积为S平方厘米，体积为V立方厘米。下列情况不可能出 现的是（)。 S=6a2 V=a3 a cm A.a,S,V都是有理数 B.a是无理数，S是有理数，V是无理数 C.a是无理数，S是无理数，V是有理数 D.a是无理数，S,V都是有理数 答案D 正方体的表面积S=-6心、体积V=d,且a>0.S>0。所以0=g,若s,V均为有理数则它们的 这个非零分母的商也是有理数，不可能同时有a为无理数，故D不可能。 A可以取a=1B可以取a=V2,此时S=12、V=22,C可以取a=2,此时V=2。在C中，若 S为有理数由口号又会推出@为有理数，矛盾，故该创的S确为无理数。其它三项均能出现， 选D。 第20页共37页 三填空题 21.计算：V0.81+- 8 125 答案 V0.81=0.9=9 38 2 0- 25 所以原式品号分 22.已知Va=5,则V100a= 100 答案50,0.5 由Va=5,得a=25。 所以100a=V2500=50,100 =V0.25=0.5。 23.已知%=-04,6=-4，则 0 答案1000 由定义，a=(-0.43=-0.064,b=(-43=-64。 所以哈d =1000。 24.如图，一个正方体的体积为0.125m3,它的棱长是 cmo 体积0.125m3 答案50 设棱长为xm,则x3=0.125。因为0.53=0.125，所以x=0.5。 0.5m=50cm,故填50。 第21页共37页 25.写出一个大于-3且小于-2的无理数： 答案如-V7(答案不唯一) 因为4<7<9，所以2<7<3，从而-3<-V7<-2。 -V7是无理数，因此符合要求。满足条件的其他无理数也可以。 26.若a=2-V5,则a+a= 答案0 因为V5>2,所以a=2-V5<0,|a=-a。 因此a+a=-a+a=0。 27.如图，数轴上点A表示-V3,点A向右移动V3+2个单位长度到达点B,则点B表示的数是 V3+2 A B -V3 0 答案2 向右移动时，在原数上加上移动的长度。 点B表示的数为-V3+(V3+2)=2。 28.把0.995kg四舍五入精确到0.01kg,所得近似数为」 kgo 答案1.00 精确到0.01，保留百分位，考察千分位。千分位是5，应向前进一。 0.995≈1.00，末尾两个0用于表明精确到百分位，不能写成1或1.0。 29.近似数4.070×10”精确到千位，其中n为正整数，则n=。 答案6 系数4.070的末位0在千分位，这一位经放大后应表示1000。 1000÷0.001=1000000=10°，所以n=6。 30.若Vx-2=0,x+y=-1,则y=。 答案-3 由Vx-2=0,得x-2=0,即x=2。 由x+y=-1,得x+y=-1,所以y=-3。 第22页共37页 31.若V2x+1和V7-x都有意义，则所有符合条件的整数x的和为 答案28 两式都有意义，需同时满足2x+1上0与7-X≥0，即-≤X≤7。 整数x为0,1,2,3,4,5,6,7，其和为28。 32.若Vn-1和10-n都是整数，则n的所有可能值为」 答案1或10 两个根式有意义，得1≤n≤10。两个被开方数都是不超过9的完全平方数，且它们的和为9。 不超过9的完全平方数为0,1,4,9，其中两数之和为9的只有0与9。 因此n-1=0或n-1=9,得n=1或n=10,代回均符合条件。 33.正数x满足x-V5=3,则x的整数部分为一。 答案5 由x-√5=3，得x-V5=3或x-V5=-3,即x=3+V5或x=V5-3。 因为2<V5<3,而x>0,所以只能取x=3+V5。 于是5<x<6,x的整数部分为5。 34.正整数n的算术平方根按四舍五入法精确到0.1得到4.4。已知4.352=18.9225， 4.452=19.8025,则n= 答案19 四舍五入精确到0.1为4.4，说明4.35≤n<4.45。 因各数非负，两边平方得18.9225≤n<19.8025。其中唯一的整数是19，故n=19。 35.实数x,y满足x+y=10,且√x-2+Vy-3=V5,则xy的所有可能值为 答案16或21 设u=Vx-2、v=y-3,则u,v≥0。由x+y=10,得+v2=(x-2)+(y-3)=5;又有u+v=5, 所以(u+v)2=5。 将u+v)2=2+2w+v与u2+v2=5比较，得2uv=0。因此u=0或v=0,即x=2或y=3。 若x=2,则y=8,y=16,若y=3,则x=7,y=21。两组均使根号有意义并满足原条件，因此 所有可能值为16、21。 第23页共37页 36.用[x]表示不大于x的最大整数。对正偶数n,记 Sn=[1]-[2]+[3]-[V4]+…+[n-1]-[n]。若Sn=-4,则n的最大值是 答案98 将相邻两项配对：[V2j-1]-[V2j]。只有当2j恰是完全平方数时，两个整数部分才相差1，这 一对的值为-1，否则为0。 偶数的完全平方数依次是2,42,62，..。Sn=-4说明不大于n的偶数完全平方数恰有4个，即已包 含2,42,62,82，还没有包含10。故64≤n<100。 n是正偶数，因此最大值为98。n=98时恰有4对为-1，n=100时有5对为-1，须排除。 37.设n为正整数，Q是肩+2n的小数部分，b是士。的小数部分，则Q-b一。 答案0 由于2<n2+2n<(n+12,√n+2n的整数部分为n,所以a=n+2n-n,且0<a<1,从而 1-a>0,倒数有意义。 用平方差恒等式验证：（n+1-Vn2+2n)(n+1+Vn2+2n)=(n+12-（n2+2n)=1。因此 。n*1+y+2n=2n*1+a. 1 2n+1是整数，且0<a<1,故上述数的小数部分恰是a,即b=a,所以a-b=0。 38.已知x为正实数，V9x、V36x、V9×36均为整数，且这三个整数中最大的数等于最小的数的 2倍，则x共有 个不同的值。 答案10 设u=V9x。由题意，u为正整数，且u2=9x。因为(2u}2=36x且2u>0,所以V36x=2u,另一个 数为18。 若u<9,三个数中最大的是18，最小的是u,条件给出18=2u,与u<9矛盾。若9≤u≤18，则 u≤18≤2u,最大数恰为最小数的2倍，全部成立。若u>18,最大数为2u,最小数为18，条件 给2u=36,矛盾。 因此可以为9至18中的任意整数共10个，分别对应x=号。这些x均为正实数不要求x是 整数；不同u给出不同x,所以共有10个。 39.已知a,b为有理数，且(a+bV22=9-42,则a+b的所有可能值为 答案-1或1 先找出一个平方等于右边的数：(1-2V22=1-4V2+8=9-4V2。且9-4V2>0,因为它是非零 实数1-2V2的平方。 第24页共37页 因此a+bv2是该正数的一个平方根，只有两种可能：a+bV2=1-2V2,或a+bV2=-1+2V2。 第一种有(a-1)+(b+2)V2=0。因a,b为有理数、V2为无理数，得a=1,b=-2,于是a+b=-1。 第二种同理得a=-1,b=2,于是a+b=1。两组代回都成立。 40.将正整数N的算术平方根和立方根分别按四舍五入精确到个位，两个结果相同。则N的所有 可能值为 答案1、2、4、5、6 设两个舍入结果都为整数k。因N≥1，有k≥1。按正数四舍五入的边界，需同时满足 k-0.52≤N<(k+0.52与(k-0.53≤N<(k+0.53。 当k≥3时，k-0.5>2,且2(k-0.52-(k+0.52=k(k-3)+0.25>0。故 (k-0.53>2(k-0.52>(k+0.5)2,立方根条件的下界已超过平方根条件的上界，不可能同时成 立。 当k=1时，两个区间的共同部分为0.25≤N<2.25,得到正整数N=1,2。当k=2时，共同部分为 3.375≤N<6.25,得到N=4,5,6。综上，全部可能值是1、2、4、5、6。 第25页共37页 四解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41.(1)计算V-5, (2)求V81的平方根； (3)解方程x2=81。 答案(1)5；(2)±3，（3)x=±9。 (1)V(-52=V25=5。 (2)V81=9,所以v81的平方根为±3。 (3)x是81的平方根，所以x=±9。 42.一个正数a的两个平方根分别是2x-1和x-5。 (1)求x和a的值； (2)求方程y-x=a中y的所有值。 答案（1)x=2,a=9)（2)y=5或y=-1。 正数的两个平方根互为相反数，所以(2x-1)+(x-5)=0,解得x=2。 此时两个平方根为3和-3，因此a=3=9。 代入得(y-22=9,所以y-2=±3，即y=5或y=-1。 43.已知Va-1与b+2互为相反数。 (1)求a,b的值； (2)求a+b的立方根，并判断a+b是否有平方根。 答案(1)a=1,b=-2;(2)a+b=-1没有平方根，立方根为-1。 互为相反数说明Va-1+b+2=0。两项都非负，所以两项都只能为0。 由a-1=0、b+2=0,得a=1、b=-2,从而a+b=-1。 任何实数的平方都非负，所以-1没有平方根；因为(-1)=-1，所以-1的立方根为-1。 第26页共37页 44.如图，一块正方形展示板的面积为81dm2,中央贴有一张面积为36dm2的正方形照片，照 片四边分别与展示板四边平行，四周留下的边框宽度相同。求边框的宽度和边框的面积。 t 照片面积 t 36dm2 展示板面积81dm2 答案边框宽度为1.5dm,面积为45dm2。 展示板与照片的边长分别为V81=9dm和V36=6dm。长度为正，所以取算术平方根。 同一方向两侧边框的总宽度为9-6=3dm,每侧宽度为15dm。 边框面积为81-36=45dm2。 45.(1)解方程x-23=-27, (2)将方程右边的-27改成27后，解是否变为原来解的相反数？通过计算作出判断。 答案（1)x=-1,(2）新方程的解为x=5,不是原来解的相反数。 (1)由(X-2)3=-27得x-2=-3,所以x=-1。 (2)由x-23=27得x-2=3,所以x=5。原来解的相反数为1，而5≠1，故不是。符号相反的 是x-2,并非x。 第27页共37页 46.如图，把一块体积为1000cm的正方体金属熔铸成8块大小相同的小正方体，忽略损耗。 熔铸 忽略损耗 1000cm3 8块相同的小正方体 (1)求原正方体和每块小正方体的棱长； (2)每块小正方体的棱长是原棱长的几分之几？ 1 答案(1)原棱长10cm,小正方体棱长5cm；(2)。 原正方体棱长为1000=10cm。 每块小正方体体积为1000÷8=125cm3,棱长为/125=5cm。 棱长之比为5=10=7。体积变为原来的日，不表示棱长也变为原来的； 47.已知8.2=551.368，不使用计算器完成下列各题。 (1)求-0.551368的值； (2）若m=82,求m。据此判断5513.68=82是否正确。 答案（1)-0.82，(2）m=551368,所给等式不正确。 因为0.82=8.2÷10，所以0.823=551.368÷1000=0.551368，由立方根定义， -0.551368=-0.82。 因为82=8.2×10，所以m=823=551.368×1000=551368。 5513.68≠551368，因此82不是5513.68的立方根；被开方数的小数点只右移一位，立方根不会也 右移一位。 第28页共37页 48.将下列各数分别填入有理数、无理数两类中： 0,-9,8,,7,0.121212（12循环），0.10101001（相邻两个1之间的0依次增 加一个)。 写出-V9的相反数和倒数。 答案有理数：0，-5，-8，弓，012122…无理数：7,010101001。-5的相反数 为3，倒数为3° -V9=-3、-8=-2都是整数，与0、分数号及循环小数0.121212..一起归入有理数。 V7是无理数；末一个小数无限且不循环，也是无理数。 因为9=-3，所以它的相反数为3，倒数为号 49.(1)写出V7介于哪两个相邻整数之间； (2)计算|2-V71+7-3引+-8+V9。 答案（1)2<V7<3,(2）)2。 因为2<7<32，所以2<V7<3。 所以2-V7<0,V7-3<0,原式=(V7-2)+(3-√7)-2+3=2。 50.有两条近似数记录：“投入约3.40亿元”“参观约6.08万人次”。 ()分别用“元”“人次”为单位，以科学记数法表示这两个近似数，并指出各自精确到哪一位； (2)把3.40亿元写成3.4亿元，能否保留原记录的精确程度？ 答案（1)3.40×103元，精确到百万位；6.08×104人次，精确到百位。(2）不能，3.4亿元精 确到千万位。 1亿元为10元，所以3.40亿元写成3.40×10元。末位0所在的0.01亿元对应1000000元，故精确到 百万位。 1万人次为104人次，所以6.08万人次写成6.08×104人次；0.01万人次对应100人次，故精确到百 位。 3.40与3.4数值相等，但作为近似数，3.4亿元的末位对应0.1亿元，即千万位，因此删去末尾0会 改变精确程度。 第29页共37页 51.如图，数轴上点A表示-√5，点B表示V10。 A B -4 -3 2 1 0 (1)写出在A,B之间的所有整数； (2)点P在点A的左侧，且PB=2PA。求点P表示的数。 答案(1)-2，-1,0,1,2,3，(2)-2V5-V10。 因为2<V5<3、3<V10<4,所以-3<-V5<-2、3<10<4。两点之间的整数为-2，-1,0,1,2,3。 由于P在A左侧，PB=PA+AB。又PB=2PA,所以PA=AB。 AB=V10-(-5)=10+5,故P表示-V5-(V10+V5)=-2V5-√10. 52.某展馆同一天的进馆人数为正整数N。两份简报分别把人数记为“约5.6万人”和“约5.65万 人”，两份记录都由实际人数按所保留的末位四舍五入得到。 (1)分别求每份记录所对应的实际人数N的取值范围； (2）若两份记录都正确，求N的取值范围，并求可能的整数人数共有多少种。 答案（1)第一份：55500≤N<56500,第二份：56450≤N<56550,且N为正整数。(2) 56450≤N<56500,即56450至56499人，共50种。 “5.6万人”的末位所在数位相当于0.1万人，即1000人，舍入分界各距56000人500人，所以 55500≤N<56500。 “5.65万人”的末位所在数位相当于0.01万人，即100人，舍入分界各距56500人50人，所以 56450≤N<56550。 要同时符合两份记录，需取上述两个范围的公共部分，得56450≤N<56500。 N为整数，可取56450,56451，·，56499，共有56499-56450+1=50种。 第30页共37页 53.一根绳子的实际长度为L米，将L四舍五入精确到0.1米，记录为2.4米。以下均允许有剩余 绳子，忽略剪切损耗。 原绳实际长度为L米，记录约2.4米 入 需要剪出的3段 0.80m 0.80m 0.80m (1)求L的取值范围； (2)能否保证从中剪出3段长度都为0.80米的绳子？若不能，写出一个符合记录但不能满足要 求的实际长度； (3)若仍需剪出3段同样长的绳子，且每段长度必须是0.01米的整数倍，最多能保证每段长多 少米？ 答案（1)2.35≤L<2.45’(2)不能，例如L=2.35米；(3)最多能保证每段0.78米。 (1)记录为2.4米且精确到0.1米，故2.35≤L<2.45。 (2)3段0.80米共需2.40米，但L可能为2.35米；该值会舍入成2.4米，却不够剪出所需绳段，因 此不能保证。 (3)要对所有可能的L都够用，需以最短可能长度2.35米判断。3×0.78=2.34≤2.35，所以每段 0.78米能保证。 3×0.79=2.37>2.35,当L=2.35米时不能剪出，所以每段0.79米不能保证；更长也不能保证。按 0.01米递增，最大可保证值为0.78米。 第31页共37页 54.下表给出了两个正数的平方。 X 4.2 4.3 17.64 18.49 (1)根据表中数据，分别指出V18和V18.07介于哪两个相邻的十分位小数之间； (2)把这两个数分别按四舍五入法精确到01。为作出判断，需要补算哪个数的平方？写出补 算过程，并说明为什么只知道第（1)问的范围还不够。 答案（1)两数都在4.2与4.3之间；(2）需补算4.252=18.0625。V18≈4.2，V18.07≈4.3（均精 确到0.1)。 因为17.64<18<18.07<18.49，所以4.2<18<4.3，且4.2<18.07<4.3。 四舍五入到0.1时，4.2和4.3的分界点为4.25，应补算4.252=18.0625。 由18<18.0625得V18<4.25,所以V18精确到0.1是4.2由18.07>18.0625得V18.07>4.25,所以结 果为4.3。 第（1)问的区间跨过舍入分界点4.25，不能单靠该区间确定应向哪一侧舍入；本题两数虽在同 一区间，舍入结果却不同。 第32页共37页 55.按下列程序处理一个正整数n,先取当前数的算术平方根；若结果为无理数，就输出并停 止；若结果为有理数，就对所得数取立方根，若为无理数就输出并停止，若仍为有理数，就以 所得数返回开平方步骤。 是 输入正整数n 取算术平方根 结果是 无理数？ 否 否 输出并停止 结果是 无理数？ 取立方根 是 (1)输入729，写出运算过程及输出结果。 (2)输入的正整数满足1≤n≤10000。如果最后输出V2,求所有可能的n。 (3)输入的正整数仍满足1≤n≤10000。如果最后输出2，求所有可能的n。 答案（1)3；(2）2、64；(3)4、4096。 (1)729→27一3一V3,前三个数均为有理数，V3为无理数，故输出V3。操作依次为开平 方、开立方、开平方。 (2)V2不可能在开立方步骤输出，因为那样该步骤的输入应为(V23=2V2,它是无理数；但程 序只有在开平方结果为有理数时才进入开立方步骤。故最后一定是在开平方步骤由2得到√2。 若2是初始输入，得n=2。若2来自上一轮，则上一轮开立方前为8、开平方前为64，故n=64 也可。再往前一轮，输入必须为64，而64>643>10000，继续逆推只会更大。因此范围内只有 2和64。验证：2直接输出V2,64依次变为8、2、V2。 (3》先证明2是无理数：若它是有理数”，则-22，从而2=为有理数。矛盾。因此 2不可能在开平方步骤输出，因为每次进入开平方步骤的当前数都是有理数，而其所需输入 (2}2为无理数。 于是最后一定在开立方步骤由2得到2，该轮开平方前为4。初始输入可以是n=4,再向前逆 推一轮，开立方前为64、开平方前为4096，因此n=4096也可以。再前一轮的输入为 4096>10000,不符合范围。验证：4依次变为2、2；4096依次变为64、4、2、2。 第33页共37页 56.图中六个边长均为a厘米的正方形沿虚线折叠，可以围成一个正方体。现要从一张面积为S 平方厘米的正方形卡纸上，按图示样式裁出一份展开图。展开图各边必须与卡纸边平行，可以 平移或整体旋转90，不允许拆开后重新拼接；忽略裁切损耗。 a (1)当S=900,所制正方体的体积为512立方厘米时，虽然六个面的总面积小于卡纸面积，能 否按要求裁出？ (2)设卡纸面积是所制正方体表面积的k倍，求能够按要求裁出时k的全部取值范围，并说明 这个范围内一定可以裁出。 (3)在所有能够按要求裁出的情形中，剩余卡纸面积至少是原卡纸面积的几分之几？这个最 小比例能否达到？说明理由。 答案(1)不能。棱长为8厘米，展开图需占32厘米的宽度，大于卡纸边长30厘米。(2) k≥号。(3)至少为后，当卡纸边长怡为4时能够达到。 (1)卡纸边长V900=30厘米；正方体棱长512=8厘米。六个面的总面积为6×82=384平方厘 米，虽然小于900，但图示展开图横向跨4个边长、纵向跨3个边长，即需要32厘米和24厘米的 跨度。32>30，所以不能裁出；旋转90后长跨度仍为32厘米。 (2)设正方形卡纸的边长为1>0。展开图占据的最大横、纵跨度为4a、3a。若能够裁出，则 l≥4a,反之，若1≥4a,把包含展开图的、长为4a宽为3a的长方形区域放在卡纸一角，即可完 整放入。因此≥4a是必要且充分的条件。 因为S=P=6kd,且a>0,所以上4a等价于6ka≥16d2,即k≥号这也证明此范围中的每个k都 可行。 3)由S≥16a得6a≤S,所以剩余面积S-6a≥S,剩余比例至少为日 8 8 当1=40时，卡纸面积为160，图示晟开国可以完整放入利余面积为100，比例恰为8-号 故下界可达到。 第34页共37页 57.（1)求立方根等于它本身的所有实数。 (2)实数x,y满足x-2=x-2,且y-1与1-2x互为相反数，求所有数对x,y)。 (3)在第(2)问的条件下，再要求Vy-2=k(x-1),其中k为有理数。按k的取值，讨论满足 全部条件的数对x,y)有几组，并写出这些数对。 答案（1)-1,0,1。（2）（1,2)，（2,4)，（3,6)。（3)当k=1时有两组：(1,2)，（3,6)当k为不等于 1的有理数时，只有一组：（1,2)。 (1)立方根等于自身，等价于t3=t。t=0和t=1显然符合。若0<t<1,则t2<1,从而t<t;若 t>1,则t>1,从而t>t。所以正数中只有1符合。 若t<0,令u=-t>0。由t=t得u3=u,因此u=1、t=-1。综上只有-1,0,1，分类覆盖全部实数。 (2）由第(1)问，x-2=-1,0,1,所以x=1,2,3。两个数的立方根互为相反数，则这两个数互 为相反数，故y-1)+(1-2x)=0,即y=2x。所有数对为(1,2)，2,4)，（3,6)。 (3)对1,2)，附加条件化为0=k·0,任何有理数k都符合，不能把x-1直接约去。 对2,4)，附加条件化为V2=k,V2为无理数而k为有理数，所以不可能。 对3,6)，附加条件化为2=2k,即k=1。因此k=1时恰有两组(1,2)，(3,6)其余有理数k只有 （1,2)。 58.阅读材料：①每个正有理数都可以写成最简分数卫，其中P,9为正整数，且没有大于1的公 因数；②如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数。 (1)利用以上材料，证明V2是无理数。 (2)小明说：“两个无理数的和一定是无理数。”判断该说法是否正确；若不正确，请举出一个 反例。 (3)设u=3+V2,v=√3-V2。求v的值，并证明u,v都是无理数。 答案(1)见证明；(2）不正确，如V2+(-V2)=0,(3)uv=1,u、v均为无理数。 (1)假设v2是有理数。可将它写成最简分数号，其中P,9为正整数。平方得p=2q,所以p为 偶数；由材料，p也是偶数。设p=2k,代入得4k2=2q2,即q2=2k,于是q也为偶数。 这样P,9都有公因数2，与卫为最简分数矛盾。因此假设不成立，V2是无理数。 (2)不正确。例如2与-√2都是无理数，但它们的和为0，是有理数。 (3)由平方差恒等式，uv=(V3+V2)(V3-V2)=3-2=1,故u,v均不为0；同时u-v=22。 若u为有理数，则v=也为有理数从而2=“2为有理数，与第(1)问矛盾。所以u为无理 数。同理，若v为有理数，则u=为有理数，也产生同样矛盾。因此u,v都是无理数。 第35页共37页 59.设面积为m2+m的正方形边长为m+b,其中m为正整数，b为边长的小数部分。小明如图把 面积分成一个边长为m的正方形、两个长方形和一个边长为b的小正方形，忽略小正方形的面积 后，得到估计值m+0.5。 mb b2 b m2 mb m m 6 (1)当m=2时，这种方法的估计值是多少？已知2.4=5.76、2.452=6.0025，判断V6精确到0.1 的结果是否等于该估计值。 (2）求证：m+0.5>Vm+m。 (3)若√m+m按四舍五入精确到0.1的结果恰好为m+0.5,求满足条件的正整数m,并写出解 答过程。 答案（1)估计值2.5，真实舍入值2.4，不相等；(2)见证明；(3)所有正整数m≥3。 (1)m=2时，方法给出2+0.5=2.5。由2.42<6<2.452得2.4<V6<2.45,所以6精确到0.1为 2.4,不等于2.5。 (2)因为(m+0.5)2=m2+m+0.25>m2+m,且m+0.5>0,所以m+0.5>√m2+m。 (3)四舍五入精确到0.1的结果为m+0.5,等价于m+0.45≤Vm2+m<m+0.55。由第(2）问， 右侧不等式始终成立；只需研究左侧。 左侧两边都是正数，平方不改变大小关系，得到m+0.9m+0.2025≤m2+m,即0.1m≥0.2025， 所以m≥2.025。由于m为正整数，全部解为m23。下界允许等号对应“五入”，上界不允许等号； 本题的整数m没有落在下界等号上。 第36页共37页 60.把1，V2,√3，…依次排成数阵：第一行排2个数，第二行排4个数，第三行排6个数，…第 n行排2n个数；每行都从左向右按原顺序排列。前四行如下。 行 从左至右排列的数 第一行 1,2 第二行 V3,2,V5,V6 第三行 V7,√8,3，V10,1i,12 第四行 V13,V14,V15,4,17,18,V19,V20 (1)V105排在第几行、第几个位置？ (2)用含n的式子表示第n行的第一个数和最后一个数，并证明这一行恰好有一个整数，指出它的 位置。 (3)当n≥2时，第n行中哪个数的小数部分最大？指出其位置，并证明你的结论。 答案(1)第10行第15个位置。(2)第一个数为Vn(n-1)+1,最后一个数为Vn(n+1),唯一的整 数为n,在第n个位置。(3)小数部分最大的是Vn2-1,在第n-1个位置。 令T=1+2+…+n,把同一和式倒序相加，得2T=(1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)=n(n+1)。因此前n 行共有2+4+…+2n=2T=n(n+1)个数。第n行的被开方数从n(n-1)+1到n(n+1),都是连续整 数。 （1)前9行共有9×10=90个数，前10行共有10×11=110个数。90<105≤110，所以V105在第10 行，位置为105-90=15。 (2)第-个数为n(n-1)+1,最后一个数为Vnn+1)。因为 (n-12<n(n-1)+1≤n≤n(n+1)<(n+12,这一行所有数都大于n-1且小于n+1,并且包含n,所 以恰好有一个整数n。 整数n=Vn的位置为n2-(n(n-1)+1)+1=n。 (3)当n≥2时，整数n左边的数整数部分均为n-1,右边的数整数部分均为n。在同一块中，原数 越大，小数部分也越大。 左边这一块的小数部分最大值为Vn-1-(n-1)右边这一块的小数部分最大值为Vn2+n-n。整数 n的小数部分为0。因此只需比较这两个块的最大值。 由于n≥2，有r-1>㎡-n+n”,所以V-1>n-克：左块的最大值大于 另-方面，n+n<n+}F,所以V+n<n+号，右块的最大值小于号因此全行的小数部分最大者 是Vn2-1。 它紧挨整数n的左边，故在第n-1个位置。此比较覆盖左右两块和整数项，因此没有遗漏。 第37页共37页 第2章 实数的初步认识期中复习专题讲义 2026—2027学年 苏科版八年级数学上册 教师详解版 本讲义复习平方根、立方根、实数与近似值。先理解概念及其适用条件，再通过图示和例题掌握方法，最后完成选择题、填空题和解答题。 一 知识详解 2.1 平方根 1 平方根 从平方反过来想 如果一个数的平方等于即那么叫作的平方根。这里是被开方数，是它的平方根。“求一个数的平方根”是在已知平方结果的情况下，反过来找原来的数。 正数有两个平方根，它们互为相反数。例如所以的平方根是和合写成两个根绝对值相等，但不是同一个数。 0的平方根只有0，因为只能得到不能说0有“两个相等的平方根”。负数在实数范围内没有平方根，因为任何实数的平方都不小于0，不可能等于负数。 开平方与平方互为逆运算，但“反过来”并不意味着只有一个答案。比如由要得到而不是只写若另有长度等实际意义，再用实际条件筛选。 被开方数 平方根的个数 平方根的表示 2个，互为相反数 和 1个 0 实数范围内没有 不能写成实数平方根 2 算术平方根 只取非负的那一个 正数的正的平方根叫作的算术平方根，记作读作“根号”；规定0的算术平方根是0。因而同时要求并且它所表示的数也满足 “25的平方根”是“25的算术平方根”是5；式子的值也是5。根号本身已经表示取非负值，不能再把写成求的平方根，则是先得到5，再求5的平方根，答案是 面积为11平方厘米的正方形，设边长为厘米，则方程在实数范围内有但边长所以边长是厘米。图中的面积单位是平方厘米，边长单位是厘米，两者不可混写。 算术平方根不一定比原数小。例如比较根与原数时，0和1是重要的分界，不能凭大于1的几个例子推广到所有非负数。 3 根号有意义与非负条件 在实数范围内，有意义的条件是例如有意义，应有所以这里是对整个被开方的式子提出要求，不是只要求 几个根号同时出现时，每个被开方数都要非负。例如有意义，需同时有和所以一条条件只给出了一个方向，不能漏掉另一条。若根号在分母中，还须使分母不为0，例如要求 平方、绝对值、算术平方根的值都是非负数。因此若它们的和等于0，每一项都必须等于0。例：由于两项都不小于0，只能有理由不是“相加可以互相抵消”，而是两个非负数没有正负抵消的可能。 这一结论有条件：和中的各项必须都是非负数。不能从推出因为立方根可以为负；如时，两个立方根相加也等于0。 4 平方后开方与开方后平方 当时，这正是算术平方根的定义。例如此式先开方再平方，先开方这一步要求 对任意实数都有理由是：且所以恰是的算术平方根。于是时结果为时结果为例如不是 含字母时，应把根号内的整个平方部分看作一个数。例如时，故没有这样的符号信息时，通常应保留为不能直接去掉绝对值。 平方后开方会把负号的信息丢掉，所以不是对一切实数成立的式子。相反，立方后开立方能够保留符号，后面会看到 式子 条件 结果 为任意实数 时成立 负数时不成立 5 直接开平方与两个平方根的条件 解形如的方程，先把整个看作一个数。若则若则若则方程没有实数解。开平方之后，再解关于原未知数的方程。 例：由或分别得或两个数都代回原方程成立，不能在“开平方”时只保留正号，也不能把错看成 若已知一个正数的两个平方根分别是两个含字母的式子，可利用“两个根互为相反数”。例如两个平方根为与则得两个根为4与原数为16。求出参数后仍应核实两个根确实互为相反数。 “某数的一个平方根是”只说明这个数等于“某数的算术平方根是”还要求例如一个数的平方根可以是但它的算术平方根不可能是 6 平方根的比较与小数点移动 对两个非负数，较大的数有较大的算术平方根。因为非负数平方的大小顺序不变，所以与相对应。例如就有 若则由于且可得同理，这解释了：被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位。 例：已知则应先比较被开方数的倍率，再确定根的倍率。被开方数扩大10倍时，不能把根直接扩大10倍或小数点移动半位。 数量级也能检查结果。例如所以可立即排除2.8或280。近似数据也能按相同倍率换算，但原来写“约等于”的数据，换算后仍是近似值，不能改成精确等号。 被开方数 0.0784 7.84 784 算术平方根 0.28 2.8 28 2.2 立方根 7 立方根 正数 零和负数都能开立方 如果一个数的立方等于即那么叫作的立方根，记作根号左上角的3表示开三次方，不能省略，否则表示的就是算术平方根。 每个实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。例如不能写成负数能开立方，是因为负数的立方仍为负数。 正方体体积为0.512立方米，设棱长为米，则由于棱长为0.8米。图把棱长、一个面的面积、整体体积区分开：若棱长为一个面的面积是总体积是 平方根要区分“两个根”和“算术平方根”；立方根没有这种二选一的情况。求负数的立方根，不应先删掉负号，更不应以“负数不能开方”为由判它无意义。 项目 平方根 立方根 定义 正数的根 2个，互为相反数 1个，为正数 0的根 只有0 只有0 负数的根 实数范围内没有 1个，为负数 8 立方根的性质 方程和数量级 对任意实数都有以及例如这三条都能由“哪一个数的立方等于被开方数”来检验，不需要另添正负号。 例：因为所以得与直接开平方相比，这里只有一个立方根，不产生两条方程。若两数的立方根互为相反数，把关系两边立方即可得到原来两数互为相反数。 若由可得因此，被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点相应移动一位。例：所以 正方形的边长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍；正方体的棱长变为原来的2倍，体积变为原来的8倍。反过来，正方体的体积变为原来的8倍，棱长变为原来的2倍。体积的单位换算也要按立方关系：因为1米等于100厘米。不能按长度的100倍去换算体积。 变化 平方根 立方根 被开方数扩大多少倍，根扩大10倍 100倍 1000倍 被开方数缩小多少倍，根缩小10倍 100倍 1000倍 比较大小 非负被开方数越大，根越大 被开方数越大，根越大 9 根与原数比较 为什么要分0和1 若则由于非负数的平方和实数的立方都随原数增大而增大，反过来求根得例如一个小于1的正数乘自己，会变得更小；要得到原来的数，根就须比它大。 若则同理得在或时，两种根都等于原数。不能把“开方后数会变小”当作不带条件的结论。 表中的比较同时涉及算术平方根，因此这里统一在的范围讨论。若题目只含立方根，负数仍然可以使用，但应依据负数的符号与立方关系另作比较。 原数a的范围 算术平方根与原数 立方根与原数 2.3 实数 10 实数 分类要看数的本质 有理数和无理数统称实数。有理数可以写成两个整数的比其中它们的小数表示是有限小数或无限循环小数。无限不循环小数叫作无理数。每个实数恰属于这两类中的一类。有理数又可以分为整数和分数；整数包括正整数、0和负整数。 分类前，先看清这个数实际等于什么。都是有理数；和是无理数。“带根号”不等于“无理数”，“不带根号”也不等于“有理数”。 有限小数3.1416是有理数，只是的一个近似值，并不等于有规律的无限小数也未必循环。例如0.1010010001…中，相邻两个1之间的0依次增加，这个规律不是固定一段数字反复循环，因此它是无限不循环小数。 实数还可以按符号分成正实数、0和负实数；有理/无理与正/负是不同分类依据。无理数有正数也有负数，0是有理数，但既不是正数也不是负数。 分类依据 类别 例子 是否为有理数 有理数 是否为有理数 无理数 符号 正实数 符号 零 符号 负实数 11 实数与数轴 位置 相反数和距离 数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也都对应数轴上的一个点。数轴向右为正方向，右边的数总比左边的数大。无理数虽不能写成有限小数，仍有确定的大小和位置。 实数的相反数是对应的两个点关于原点对称，与原点距离相等。可以是负数，所以不一定为负。例如时，0的相反数仍是0。 绝对值表示数对应的点到原点的距离。因此时时如图中与在原点两侧，对应距离相等。 数轴上表示的两点之间的距离是若已知这段距离就是例：表示和2的两点之间的距离为距离不是两数直接相加，更不能为负数。 非零实数的倒数是二者的乘积为1。例如的倒数为的倒数可写成0没有倒数，因为0与任何实数相乘都不能得到1。相反数要求和为0，倒数要求积为1，二者不可混淆。 12 夹逼估值 大小比较和整数部分 确定的大致位置，可以在两侧寻找完全平方数；确定的位置，可以寻找完全立方数。例如所以所以 两个正数可通过平方来比较，两个负数可先比较绝对值再反向。例如所以也可选择中间数：便有不能把“约为同一个小数”当作两个数相等。 对正数若整数满足则是的整数部分，是它的小数部分；小数部分满足例：其整数部分为5，小数部分为 小数部分是一个精确的数，不是随意取若干位小数。例如不能写成0.5并当作相等。求的整数部分，应把已知区间整体变换：由得所以整数部分为1。不能直接用7减去的整数部分。 已知夹逼 所求数的区间 整数部分 小数部分 5 1 13 绝对值分段 分界点从哪里来 去绝对值前，必须判断绝对值内部的数是正、零还是负。含的式子如在处改变写法：时为时为分界点来自内部式子等于0，不是随意选定。 例：求两个分界点是和3。若若若 图上两个绝对值分别表示点到3的距离。当在两点之间时，两段距离之和恰等于两端点间的距离5；当在外侧时，多出往返的一段距离，所以总和更大。因此的最小值为5，取到最小值的是整个区间不是只有中点。 若题目还限制为整数、正数，或给出方程就须把所得区间或解与这些条件一并核对。分段解方程时，在某段得到的候选值必须属于那一段，否则要舍去。 的范围 5 14 实数运算 先确定意义 再按顺序计算 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，但每一步都必须有意义。先算乘方、开方及绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右。除数不能是0。 例：先得又因有所以原式最后一步减去整个括号，两项的符号都要处理。 同一个实数的若干倍可以合并，如这与同理；而不能合并为开方不是对加法逐项分配的运算，例如但 15 读懂取整和流程的每一步 取整符号或新运算不是看到符号就能凭印象使用，必须按题目给出的定义。例如规定表示不大于的最大整数，则而最后一个结果不同于向零截去小数；若题目没有这样定义，不应把负数的“整数部分”擅自按此解释。 对非负数若其中为非负整数，则于是这是把“结果是某个整数”反过来变成原数的范围。例：等价于若为整数，则为16至24。 流程题要明确每一步算什么、何时输出、何时返回。例如从非负整数开始反复取算术平方根，遇到无理数就输出：输入25，依次得到5、第二次输出；输入1则一直得到1，不能输出。不能默认每个输入都会在有限步内停止。 逆求输入时，应从输出倒着检验。若输出前一步必为5；若前面还有一步开平方，前前步必为25。每往前一步还要检查原题的输入范围、整数条件和之前是否已经输出，不能只连续平方而不核条件。 16 有理数和无理数的条件怎样用 有理数加无理数仍为无理数；非零有理数乘无理数仍为无理数。可以反过来说明理由：若有理数与无理数的和是有理数，则会是有理数，矛盾；乘法结论同样可用除以非零有理数来说明。 因此，若为有理数、为无理数，且就只能有因为若便有这会把写成有理数。这里是有理数这一条件不可省略。 例：有理数满足则所以这不是任意“带根号部分”和“不带根号部分”都能分别相等，而是利用同一个已知无理数的有理系数。 无理数之间的和或积不一定仍为无理数，例如而仍为无理数。做判断题时，一个恰当反例可以否定“一定”，但几个例子不能证明“对所有数都成立”。 2.4 近似值 17 近似值 保留到哪一位 实际问题中，有些数能准确确定，如某班实到人数为42；有些数由测量、估算或舍入得到，只接近真实值，称为近似数。说“约”说明数是近似的，说“精确到哪一位”则说明保留到哪个数位，两者不能混为一谈。 用四舍五入法取近似值时，先确定最后保留的数位，再看紧挨着它的后一位：小于5舍去，等于或大于5向保留位进1；此后更低的数位一起舍去。应从原数直接舍入，不要一级一级反复舍入。 例：将8.3762精确到0.1，保留十分位，看百分位7，得到8.4；精确到0.01，保留百分位，看千分位6，得到8.38；精确到0.001，看万分位2，得到8.376。“精确到0.01”与“保留两位小数”在这里是同一个要求。 进位可能连续传递。例如9.996精确到0.01应写10.00，不能只写10。近似数末尾的0表示实际保留到的数位：6.3精确到十分位，6.30精确到百分位。两者数值相等，但精确程度的表达不同。 原数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001 8.3762 8.4 8.38 8.376 9.996 10.0 10.00 9.996 18 万 亿和科学记数法中的精确数位 带“万”“亿”等计数单位的近似数，末一位对应的是整个量的实际数位，不能只看小数点后有几位。例：2.08万中，最后的8所在数位相当于0.01万，也就是100，所以2.08万精确到百位；7.4亿中的0.1亿等于1000万，故精确到千万位。 一个不小于10的正数，可以用科学记数法表示为其中为正整数。它首先是一种表示方式，不必然意味着取了近似值。例如可以是精确相等。只有题目说明近似或舍入要求时，才据此判断精确程度。 近似数中，系数最后一位代表所以精确到千位；若写成近似数末位代表10000，则精确到万位。末尾0在这里仍不能随意删除。 例：把739600精确到万位，先看千位9，得740000；为了清楚表达保留到万位，可写若精确到千位，则结果也为740000，但应写来保留精度信息。数值可能相同，写法所传递的精度却不同。 近似数 最后一位所在数位的单位 精确到 2.08万 0.01万＝100 百位 7.4亿 0.1亿＝10000000 千万位 千位 万位 19 由平方表求近似值 中点决定进不进位 用平方表或自己计算的平方数估计先由平方的大小确定根的范围。例如所以但这还不能确定精确到0.1究竟是3.4还是3.5。 要作正确的四舍五入，必须判断在中点3.45的哪一侧。因为所以结合上界，精确到0.1应为3.5。比较的中点是所保留数位的半个单位，不是随便增加一个平方数。 若精确到0.01，先有再比较中点得所以精确到0.01为3.46。只知道仍不足以完成舍入。 立方根可用同样思想：用相邻数的立方夹住被开方数，再比较舍入中点的立方。题目给出的是平方表还是立方表，要与所求的根对应；表中的值若只是近似值，还应留意它是否足以支持严格的大小判断。 用于比较的数 与12的关系 3.45 11.9025 小于12 3.46 11.9716 小于12 3.465 12.006225 大于12 3.47 12.0409 大于12 20 从近似值反求原数 端点也要判断 对正数用四舍五入法精确到0.1，结果为4.6，原数应满足下端4.55恰好进位成4.6，能取；上端4.65会进位成4.7，不能取。因此两个端点不是都包含，也不是都不包含。 图上从4.55的实心点画到4.65的空心点，表示这个左闭右开的区间。若精确到0.01，结果为4.60，则原数范围是区间更窄。这也说明近似数末尾的0为何有意义。 一般地，对正数按四舍五入保留到单位得到近似值其原数位于并须与原题的正数、整数或实际取值条件同时成立。例如记录为4.6米，并不能保证真实长度至少为4.60米，因为4.57米也会得到同样记录。 判断“能否保证”要看整个允许范围，不能只把记录值当真实值。若题目给了多项测量条件，应把它们化成同一单位下的区间，再取同时满足的部分。本节的半开区间说明按正数的常用四舍五入规则展开；负数舍入若出现，必须先说明采用的约定。 21 近似值是否满足精度要求 有些阅读题给出一种估计算术平方根的方法，例如在一个完全平方数附近用较简单的算式估计。按指定方法算出一个数，只能说明“该方法给出的估计值是多少”；是否能保证真值四舍五入到某一位仍得到同一个结果，需要再检验。 例如，已知某方法把估计为5.1。要证明真值精确到0.1确实为5.1，可以检验两个舍入边界：于是结论才有保证。不能仅因“看起来接近”就断言精确到0.1。 连续舍入也可能改变结果。例如1.249直接精确到0.1为1.2；若先精确到0.01得到1.25，再精确到0.1则变成1.3。两种步骤处理的对象已经不同，所以通常应从原数一次舍入。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列说法中，正确的是（    ）。 A. 没有平方根 B. C. 是的一个平方根 D. 负数没有立方根 答案 C 正数有两个平方根，的平方根只有负数在实数范围内没有平方根。 表示的算术平方根，等于的平方等于所以是的一个平方根。 2. 已知下列式子中，与相等的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 A 因为所以 B、C、D中的式子都等于均为负数。 3. 一个数的立方根是是的相反数的立方根，则等于（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 由得 的相反数是所以 4. 下列各组数中，两个数都是无理数的是（    ）。 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 答案 D 都是有理数，分别排除A、B、C。 与都是无理数，故选D。 5. 使有意义的整数中，最大的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 由得 不大于的最大整数是 6. 下列大小关系正确的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 因为所以从而 又因为所以综合可得 7. 实数在数轴上的位置如图所示，其中下列结论正确的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 D 因为且所以 为负数、为正数，故且又所以其余选项均不正确。 8. 把某个数量分别记录为近似数万和万。下列说法正确的是（    ）。 A. 前者精确到百位，后者精确到千位 B. 前者精确到百分位，后者精确到十分位 C. 两者都精确到万位 D. 两者数值相等，所以精确程度相同 答案 A 万的末位所在的数位相当于万，即所以精确到百位。 万的末位所在的数位相当于万，即所以精确到千位。两者数值相等，精确程度不同。 9. 把四舍五入精确到百万位，并用科学记数法表示，且能正确体现精确程度的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 百万位上的数字是下一位是向前进一，得到 按要求应写为末尾对应百万位，不能省去。 10. 比大的最小整数减去所得的差是（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 因为所以 比大的最小整数为所求的差为 11. 在满足的整数中，算术平方根是整数而立方根不是整数的数共有（    ）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 答案 B 这一范围内的完全平方数有共个。 其中只有也是完全立方数，故符合条件的数共有个。 12. 一个正数的算术平方根是它的立方根的倍，这个正数是（    ）。 A. B. C. D. 答案 D 设这个正数的立方根为则原数为算术平方根为 由定义得因为两边同时除以得 所以原数为检验 13. 正整数的算术平方根的整数部分是小数部分大于符合条件的共有（    ）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 答案 A 整数部分为且小数部分大于所以 平方得正整数可以取共有个。 14. 正整数的平方经四舍五入精确到百位，得到则等于（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 对应的原数范围为 故只有符合条件。 15. 对一个正整数进行如下操作：取它的算术平方根，再取所得数的整数部分。连续进行这样的操作，直到第一次得到1为止。例如，20经过3次操作得到1。若正整数恰好经过3次操作才第一次得到1，且是某个正整数的立方，则满足条件的有（    ）个。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案 B（4个） 要恰好两次操作才第一次得到1，第一次结果只能为2或3（不能已经是1），所以原数在即4至15。要恰好三次操作才第一次得到1，第一次结果必须是4至15中的整数，故 在16至255之间的正整数立方有过小，过大。共4个，选B。 也可逐步反推：末次操作前为2或3，前前次为4至15，最初为16至255。边界16、255都需3次才首次得到1；256依次变为16、4、2、1，要4次，应排除。 16. 整数满足且则的最大值为（    ）。 A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 答案 C（12） 若同在的左侧，则左边为若同在右侧，则为为整数而为无理数，这两种情况都不可能等于整数4。 因此由且为整数，得原式化为故 再由得所以对应乘积依次为最大值为12，选C。 17. 设其中是整数，且甲直接将四舍五入精确到0.1；乙先将四舍五入精确到0.01，再把所得近似数四舍五入精确到0.1。使甲、乙最后结果不同的共有（    ）个。 A. 45 B. 50 C. 55 D. 100 答案 B（50个） 甲、乙只有在乙第一次舍入把原来不到“半个十分单位”的数进到该分界点时，最后结果才会不同。以甲得到1.0、乙得到1.1为例，必须有对应共5个。 同理，对十分位舍入分界点产生差异的区间依次为每个区间含5个千分点，共10个区间。 小于各区间左端的数先保留两位小数也不会到达分界点；不小于右端的数直接舍入已经进位。因此没有其它情形，共个，选B。 18. 正整数满足是整数，则所有符合条件的的和为（    ）。 A. 49 B. 50 C. 65 D. 66 答案 B（50） 设由可知又因为两边非负，得即因此正整数只能是1、2、3。 由平方得当时，得当时，得不是整数，舍去；当时，得 代回检验：均成立。因此全部符合条件的为1、49，和为50，选B。 19. 满足的实数共有（    ）个。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案 C（2个） 原式有意义须或时，等式显然成立。 若则由平方、立方的大小关系得所以不满足题意。 若则于是两者之和小于也不满足题意。综上，只有0、1两个解，选C。 20. 一个正方体的棱长为厘米，表面积为平方厘米，体积为立方厘米。下列情况不可能出现的是（    ）。 A. 都是有理数 B. 是无理数，是有理数，是无理数 C. 是无理数，是无理数，是有理数 D. 是无理数，都是有理数 答案 D 正方体的表面积体积且所以若均为有理数，则它们的这个非零分母的商也是有理数，不可能同时有为无理数，故D不可能。 A可以取B可以取此时C可以取此时在C中，若为有理数，由又会推出为有理数，矛盾，故该例的确为无理数。其它三项均能出现，选D。 三 填空题 21. 计算：________。 答案 所以原式 22. 已知则________，________。 答案 由得 所以 23. 已知则________。 答案 由定义， 所以 24. 如图，一个正方体的体积为它的棱长是________ 答案 设棱长为则因为所以 故填 25. 写出一个大于且小于的无理数：________。 答案 如（答案不唯一） 因为所以从而 是无理数，因此符合要求。满足条件的其他无理数也可以。 26. 若则________。 答案 因为所以 因此 27. 如图，数轴上点表示点向右移动个单位长度到达点则点表示的数是________。 答案 向右移动时，在原数上加上移动的长度。 点表示的数为 28. 把四舍五入精确到所得近似数为________ 答案 精确到保留百分位，考察千分位。千分位是应向前进一。 末尾两个用于表明精确到百分位，不能写成或 29. 近似数精确到千位，其中为正整数，则________。 答案 系数的末位在千分位，这一位经放大后应表示 所以 30. 若则________。 答案 由得即 由得所以 31. 若和都有意义，则所有符合条件的整数的和为________。 答案 两式都有意义，需同时满足与即 整数为其和为 32. 若和都是整数，则的所有可能值为________。 答案 或 两个根式有意义，得两个被开方数都是不超过的完全平方数，且它们的和为 不超过的完全平方数为其中两数之和为的只有与 因此或得或代回均符合条件。 33. 正数满足则的整数部分为________。 答案 由得或即或 因为而所以只能取 于是的整数部分为 34. 正整数的算术平方根按四舍五入法精确到得到已知则________。 答案 四舍五入精确到为说明 因各数非负，两边平方得其中唯一的整数是故 35. 实数满足且则的所有可能值为________。 答案 16或21 设则由得又有所以 将与比较，得因此或即或 若则若则两组均使根号有意义并满足原条件，因此所有可能值为16、21。 36. 用表示不大于的最大整数。对正偶数记若则的最大值是________。 答案 98 将相邻两项配对：只有当恰是完全平方数时，两个整数部分才相差1，这一对的值为否则为0。 偶数的完全平方数依次是说明不大于的偶数完全平方数恰有4个，即已包含还没有包含故 是正偶数，因此最大值为98。时恰有4对为时有5对为须排除。 37. 设为正整数，是的小数部分，是的小数部分，则________。 答案 0 由于的整数部分为所以且从而倒数有意义。 用平方差恒等式验证：因此 是整数，且故上述数的小数部分恰是即所以 38. 已知为正实数，均为整数，且这三个整数中最大的数等于最小的数的2倍，则共有________个不同的值。 答案 10 设由题意，为正整数，且因为且所以另一个数为18。 若三个数中最大的是18，最小的是条件给出与矛盾。若则最大数恰为最小数的2倍，全部成立。若最大数为最小数为18，条件给矛盾。 因此可以为9至18中的任意整数，共10个，分别对应这些均为正实数，不要求是整数；不同给出不同所以共有10个。 39. 已知为有理数，且则的所有可能值为________。 答案 或1 先找出一个平方等于右边的数：且因为它是非零实数的平方。 因此是该正数的一个平方根，只有两种可能：或 第一种有因为有理数、为无理数，得于是第二种同理得于是两组代回都成立。 40. 将正整数的算术平方根和立方根分别按四舍五入精确到个位，两个结果相同。则的所有可能值为________。 答案 1、2、4、5、6 设两个舍入结果都为整数因有按正数四舍五入的边界，需同时满足与 当时，且故立方根条件的下界已超过平方根条件的上界，不可能同时成立。 当时，两个区间的共同部分为得到正整数当时，共同部分为得到综上，全部可能值是1、2、4、5、6。 四 解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41. （1）计算 （2）求的平方根； （3）解方程 答案 （1）（2）（3） （1） （2）所以的平方根为 （3）是的平方根，所以 42. 一个正数的两个平方根分别是和 （1）求和的值； （2）求方程中的所有值。 答案 （1）（2）或 正数的两个平方根互为相反数，所以解得 此时两个平方根为和因此 代入得所以即或 43. 已知与互为相反数。 （1）求的值； （2）求的立方根，并判断是否有平方根。 答案 （1）（2）没有平方根，立方根为 互为相反数说明两项都非负，所以两项都只能为 由得从而 任何实数的平方都非负，所以没有平方根；因为所以的立方根为 44. 如图，一块正方形展示板的面积为中央贴有一张面积为的正方形照片，照片四边分别与展示板四边平行，四周留下的边框宽度相同。求边框的宽度和边框的面积。 答案 边框宽度为面积为 展示板与照片的边长分别为和长度为正，所以取算术平方根。 同一方向两侧边框的总宽度为每侧宽度为 边框面积为 45. （1）解方程 （2）将方程右边的改成后，解是否变为原来解的相反数？通过计算作出判断。 答案 （1）（2）新方程的解为不是原来解的相反数。 （1）由得所以 （2）由得所以原来解的相反数为而故不是。符号相反的是并非 46. 如图，把一块体积为的正方体金属熔铸成块大小相同的小正方体，忽略损耗。 （1）求原正方体和每块小正方体的棱长； （2）每块小正方体的棱长是原棱长的几分之几？ 答案 （1）原棱长小正方体棱长（2） 原正方体棱长为 每块小正方体体积为棱长为 棱长之比为体积变为原来的不表示棱长也变为原来的 47. 已知不使用计算器完成下列各题。 （1）求的值； （2）若求据此判断是否正确。 答案 （1）（2）所给等式不正确。 因为所以由立方根定义， 因为所以 因此不是的立方根；被开方数的小数点只右移一位，立方根不会也右移一位。 48. 将下列各数分别填入有理数、无理数两类中： （循环），（相邻两个之间的依次增加一个）。 写出的相反数和倒数。 答案 有理数：无理数：的相反数为倒数为 都是整数，与分数及循环小数一起归入有理数。 是无理数；末一个小数无限且不循环，也是无理数。 因为所以它的相反数为倒数为 49. （1）写出介于哪两个相邻整数之间； （2）计算 答案 （1）（2） 因为所以 所以原式 50. 有两条近似数记录：“投入约亿元”“参观约万人次”。 （1）分别用“元”“人次”为单位，以科学记数法表示这两个近似数，并指出各自精确到哪一位； （2）把亿元写成亿元，能否保留原记录的精确程度？ 答案 （1）元，精确到百万位；人次，精确到百位。（2）不能，亿元精确到千万位。 亿元为元，所以亿元写成元。末位所在的亿元对应元，故精确到百万位。 万人次为人次，所以万人次写成人次；万人次对应人次，故精确到百位。 与数值相等，但作为近似数，亿元的末位对应亿元，即千万位，因此删去末尾会改变精确程度。 51. 如图，数轴上点表示点表示 （1）写出在之间的所有整数； （2）点在点的左侧，且求点表示的数。 答案 （1）（2） 因为所以两点之间的整数为 由于在左侧，又所以 故表示 52. 某展馆同一天的进馆人数为正整数两份简报分别把人数记为“约万人”和“约万人”，两份记录都由实际人数按所保留的末位四舍五入得到。 （1）分别求每份记录所对应的实际人数的取值范围； （2）若两份记录都正确，求的取值范围，并求可能的整数人数共有多少种。 答案 （1）第一份：第二份：且为正整数。（2）即至人，共种。 “万人”的末位所在数位相当于万人，即人，舍入分界各距人人，所以 “万人”的末位所在数位相当于万人，即人，舍入分界各距人人，所以 要同时符合两份记录，需取上述两个范围的公共部分，得 为整数，可取共有种。 53. 一根绳子的实际长度为米，将四舍五入精确到米，记录为米。以下均允许有剩余绳子，忽略剪切损耗。 （1）求的取值范围； （2）能否保证从中剪出段长度都为米的绳子？若不能，写出一个符合记录但不能满足要求的实际长度； （3）若仍需剪出段同样长的绳子，且每段长度必须是米的整数倍，最多能保证每段长多少米？ 答案 （1）（2）不能，例如米；（3）最多能保证每段米。 （1）记录为米且精确到米，故 （2）段米共需米，但可能为米；该值会舍入成米，却不够剪出所需绳段，因此不能保证。 （3）要对所有可能的都够用，需以最短可能长度米判断。所以每段米能保证。 当米时不能剪出，所以每段米不能保证；更长也不能保证。按米递增，最大可保证值为米。 54. 下表给出了两个正数的平方。 （1）根据表中数据，分别指出和介于哪两个相邻的十分位小数之间； （2）把这两个数分别按四舍五入法精确到为作出判断，需要补算哪个数的平方？写出补算过程，并说明为什么只知道第（1）问的范围还不够。 答案 （1）两数都在与之间；（2）需补算（均精确到 因为所以且 四舍五入到时，和的分界点为应补算 由得所以精确到是由得所以结果为 第（1）问的区间跨过舍入分界点不能单靠该区间确定应向哪一侧舍入；本题两数虽在同一区间，舍入结果却不同。 55. 按下列程序处理一个正整数先取当前数的算术平方根；若结果为无理数，就输出并停止；若结果为有理数，就对所得数取立方根，若为无理数就输出并停止，若仍为有理数，就以所得数返回开平方步骤。 （1）输入729，写出运算过程及输出结果。 （2）输入的正整数满足如果最后输出求所有可能的 （3）输入的正整数仍满足如果最后输出求所有可能的 答案 （1）（2）2、64；（3）4、4096。 （1）前三个数均为有理数，为无理数，故输出操作依次为开平方、开立方、开平方。 （2）不可能在开立方步骤输出，因为那样该步骤的输入应为它是无理数；但程序只有在开平方结果为有理数时才进入开立方步骤。故最后一定是在开平方步骤由2得到 若2是初始输入，得若2来自上一轮，则上一轮开立方前为8、开平方前为64，故也可。再往前一轮，输入必须为而继续逆推只会更大。因此范围内只有2和64。验证：2直接输出64依次变为8、2、 （3）先证明是无理数：若它是有理数则从而为有理数，矛盾。因此不可能在开平方步骤输出，因为每次进入开平方步骤的当前数都是有理数，而其所需输入为无理数。 于是最后一定在开立方步骤由2得到该轮开平方前为4。初始输入可以是再向前逆推一轮，开立方前为64、开平方前为4096，因此也可以。再前一轮的输入为不符合范围。验证：4依次变为2、4096依次变为64、4、2、 56. 图中六个边长均为厘米的正方形沿虚线折叠，可以围成一个正方体。现要从一张面积为平方厘米的正方形卡纸上，按图示样式裁出一份展开图。展开图各边必须与卡纸边平行，可以平移或整体旋转不允许拆开后重新拼接；忽略裁切损耗。 （1）当所制正方体的体积为立方厘米时，虽然六个面的总面积小于卡纸面积，能否按要求裁出？ （2）设卡纸面积是所制正方体表面积的倍，求能够按要求裁出时的全部取值范围，并说明这个范围内一定可以裁出。 （3）在所有能够按要求裁出的情形中，剩余卡纸面积至少是原卡纸面积的几分之几？这个最小比例能否达到？说明理由。 答案 （1）不能。棱长为厘米，展开图需占厘米的宽度，大于卡纸边长厘米。（2）（3）至少为当卡纸边长恰为时能够达到。 （1）卡纸边长厘米；正方体棱长厘米。六个面的总面积为平方厘米，虽然小于但图示展开图横向跨个边长、纵向跨个边长，即需要厘米和厘米的跨度。所以不能裁出；旋转后长跨度仍为厘米。 （2）设正方形卡纸的边长为展开图占据的最大横、纵跨度为若能够裁出，则反之，若把包含展开图的、长为宽为的长方形区域放在卡纸一角，即可完整放入。因此是必要且充分的条件。 因为且所以等价于即这也证明此范围中的每个都可行。 （3）由得所以剩余面积剩余比例至少为 当时，卡纸面积为图示展开图可以完整放入，剩余面积为比例恰为故下界可达到。 57. （1）求立方根等于它本身的所有实数。 （2）实数满足且与互为相反数，求所有数对 （3）在第（2）问的条件下，再要求其中为有理数。按的取值，讨论满足全部条件的数对有几组，并写出这些数对。 答案 （1）（2）（3）当时有两组：当为不等于的有理数时，只有一组： （1）立方根等于自身，等价于和显然符合。若则从而若则从而所以正数中只有符合。 若令由得因此综上只有分类覆盖全部实数。 （2）由第（1）问，所以两个数的立方根互为相反数，则这两个数互为相反数，故即所有数对为 （3）对附加条件化为任何有理数都符合，不能把直接约去。 对附加条件化为为无理数而为有理数，所以不可能。 对附加条件化为即因此时恰有两组其余有理数只有 58. 阅读材料：①每个正有理数都可以写成最简分数其中为正整数，且没有大于1的公因数；②如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数。 （1）利用以上材料，证明是无理数。 （2）小明说：“两个无理数的和一定是无理数。”判断该说法是否正确；若不正确，请举出一个反例。 （3）设求的值，并证明都是无理数。 答案 （1）见证明；（2）不正确，如（3）均为无理数。 （1）假设是有理数，可将它写成最简分数其中为正整数。平方得所以为偶数；由材料，也是偶数。设代入得即于是也为偶数。 这样都有公因数2，与为最简分数矛盾。因此假设不成立，是无理数。 （2）不正确。例如与都是无理数，但它们的和为0，是有理数。 （3）由平方差恒等式，故均不为0；同时 若为有理数，则也为有理数，从而为有理数，与第（1）问矛盾。所以为无理数。同理，若为有理数，则为有理数，也产生同样矛盾。因此都是无理数。 59. 设面积为的正方形边长为其中为正整数，为边长的小数部分。小明如图把面积分成一个边长为的正方形、两个长方形和一个边长为的小正方形，忽略小正方形的面积后，得到估计值 （1）当时，这种方法的估计值是多少？已知判断精确到0.1的结果是否等于该估计值。 （2）求证： （3）若按四舍五入精确到0.1的结果恰好为求满足条件的正整数并写出解答过程。 答案 （1）估计值2.5，真实舍入值2.4，不相等；（2）见证明；（3）所有正整数 （1）时，方法给出由得所以精确到0.1为2.4，不等于2.5。 （2）因为且所以 （3）四舍五入精确到0.1的结果为等价于由第（2）问，右侧不等式始终成立；只需研究左侧。 左侧两边都是正数，平方不改变大小关系，得到即所以由于为正整数，全部解为下界允许等号对应“五入”，上界不允许等号；本题的整数没有落在下界等号上。 60. 把依次排成数阵：第一行排个数，第二行排个数，第三行排个数，……第行排个数；每行都从左向右按原顺序排列。前四行如下。 行 从左至右排列的数 第一行 第二行 第三行 第四行 （1）排在第几行、第几个位置？ （2）用含的式子表示第行的第一个数和最后一个数，并证明这一行恰好有一个整数，指出它的位置。 （3）当时，第行中哪个数的小数部分最大？指出其位置，并证明你的结论。 答案 （1）第行第个位置。（2）第一个数为最后一个数为唯一的整数为在第个位置。（3）小数部分最大的是在第个位置。 令把同一和式倒序相加，得因此前行共有个数。第行的被开方数从到都是连续整数。 （1）前行共有个数，前行共有个数。所以在第行，位置为 （2）第一个数为最后一个数为因为这一行所有数都大于且小于并且包含所以恰好有一个整数 整数的位置为 （3）当时，整数左边的数整数部分均为右边的数整数部分均为在同一块中，原数越大，小数部分也越大。 左边这一块的小数部分最大值为右边这一块的小数部分最大值为整数的小数部分为因此只需比较这两个块的最大值。 由于有所以左块的最大值大于 另一方面，所以右块的最大值小于因此全行的小数部分最大者是 它紧挨整数的左边，故在第个位置。此比较覆盖左右两块和整数项，因此没有遗漏。 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识期中复习专题讲义 2026—2027学年 苏科版八年级数学上册 学生版 班级____________ 姓名____________ 本讲义复习平方根、立方根、实数与近似值。先理解概念及其适用条件，再通过图示和例题掌握方法，最后完成选择题、填空题和解答题。 一 知识详解 2.1 平方根 1 平方根 从平方反过来想 如果一个数的平方等于即那么叫作的平方根。这里是被开方数，是它的平方根。“求一个数的平方根”是在已知平方结果的情况下，反过来找原来的数。 正数有两个平方根，它们互为相反数。例如所以的平方根是和合写成两个根绝对值相等，但不是同一个数。 0的平方根只有0，因为只能得到不能说0有“两个相等的平方根”。负数在实数范围内没有平方根，因为任何实数的平方都不小于0，不可能等于负数。 开平方与平方互为逆运算，但“反过来”并不意味着只有一个答案。比如由要得到而不是只写若另有长度等实际意义，再用实际条件筛选。 被开方数 平方根的个数 平方根的表示 2个，互为相反数 和 1个 0 实数范围内没有 不能写成实数平方根 2 算术平方根 只取非负的那一个 正数的正的平方根叫作的算术平方根，记作读作“根号”；规定0的算术平方根是0。因而同时要求并且它所表示的数也满足 “25的平方根”是“25的算术平方根”是5；式子的值也是5。根号本身已经表示取非负值，不能再把写成求的平方根，则是先得到5，再求5的平方根，答案是 面积为11平方厘米的正方形，设边长为厘米，则方程在实数范围内有但边长所以边长是厘米。图中的面积单位是平方厘米，边长单位是厘米，两者不可混写。 算术平方根不一定比原数小。例如比较根与原数时，0和1是重要的分界，不能凭大于1的几个例子推广到所有非负数。 3 根号有意义与非负条件 在实数范围内，有意义的条件是例如有意义，应有所以这里是对整个被开方的式子提出要求，不是只要求 几个根号同时出现时，每个被开方数都要非负。例如有意义，需同时有和所以一条条件只给出了一个方向，不能漏掉另一条。若根号在分母中，还须使分母不为0，例如要求 平方、绝对值、算术平方根的值都是非负数。因此若它们的和等于0，每一项都必须等于0。例：由于两项都不小于0，只能有理由不是“相加可以互相抵消”，而是两个非负数没有正负抵消的可能。 这一结论有条件：和中的各项必须都是非负数。不能从推出因为立方根可以为负；如时，两个立方根相加也等于0。 4 平方后开方与开方后平方 当时，这正是算术平方根的定义。例如此式先开方再平方，先开方这一步要求 对任意实数都有理由是：且所以恰是的算术平方根。于是时结果为时结果为例如不是 含字母时，应把根号内的整个平方部分看作一个数。例如时，故没有这样的符号信息时，通常应保留为不能直接去掉绝对值。 平方后开方会把负号的信息丢掉，所以不是对一切实数成立的式子。相反，立方后开立方能够保留符号，后面会看到 式子 条件 结果 为任意实数 时成立 负数时不成立 5 直接开平方与两个平方根的条件 解形如的方程，先把整个看作一个数。若则若则若则方程没有实数解。开平方之后，再解关于原未知数的方程。 例：由或分别得或两个数都代回原方程成立，不能在“开平方”时只保留正号，也不能把错看成 若已知一个正数的两个平方根分别是两个含字母的式子，可利用“两个根互为相反数”。例如两个平方根为与则得两个根为4与原数为16。求出参数后仍应核实两个根确实互为相反数。 “某数的一个平方根是”只说明这个数等于“某数的算术平方根是”还要求例如一个数的平方根可以是但它的算术平方根不可能是 6 平方根的比较与小数点移动 对两个非负数，较大的数有较大的算术平方根。因为非负数平方的大小顺序不变，所以与相对应。例如就有 若则由于且可得同理，这解释了：被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位。 例：已知则应先比较被开方数的倍率，再确定根的倍率。被开方数扩大10倍时，不能把根直接扩大10倍或小数点移动半位。 数量级也能检查结果。例如所以可立即排除2.8或280。近似数据也能按相同倍率换算，但原来写“约等于”的数据，换算后仍是近似值，不能改成精确等号。 被开方数 0.0784 7.84 784 算术平方根 0.28 2.8 28 2.2 立方根 7 立方根 正数 零和负数都能开立方 如果一个数的立方等于即那么叫作的立方根，记作根号左上角的3表示开三次方，不能省略，否则表示的就是算术平方根。 每个实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。例如不能写成负数能开立方，是因为负数的立方仍为负数。 正方体体积为0.512立方米，设棱长为米，则由于棱长为0.8米。图把棱长、一个面的面积、整体体积区分开：若棱长为一个面的面积是总体积是 平方根要区分“两个根”和“算术平方根”；立方根没有这种二选一的情况。求负数的立方根，不应先删掉负号，更不应以“负数不能开方”为由判它无意义。 项目 平方根 立方根 定义 正数的根 2个，互为相反数 1个，为正数 0的根 只有0 只有0 负数的根 实数范围内没有 1个，为负数 8 立方根的性质 方程和数量级 对任意实数都有以及例如这三条都能由“哪一个数的立方等于被开方数”来检验，不需要另添正负号。 例：因为所以得与直接开平方相比，这里只有一个立方根，不产生两条方程。若两数的立方根互为相反数，把关系两边立方即可得到原来两数互为相反数。 若由可得因此，被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点相应移动一位。例：所以 正方形的边长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍；正方体的棱长变为原来的2倍，体积变为原来的8倍。反过来，正方体的体积变为原来的8倍，棱长变为原来的2倍。体积的单位换算也要按立方关系：因为1米等于100厘米。不能按长度的100倍去换算体积。 变化 平方根 立方根 被开方数扩大多少倍，根扩大10倍 100倍 1000倍 被开方数缩小多少倍，根缩小10倍 100倍 1000倍 比较大小 非负被开方数越大，根越大 被开方数越大，根越大 9 根与原数比较 为什么要分0和1 若则由于非负数的平方和实数的立方都随原数增大而增大，反过来求根得例如一个小于1的正数乘自己，会变得更小；要得到原来的数，根就须比它大。 若则同理得在或时，两种根都等于原数。不能把“开方后数会变小”当作不带条件的结论。 表中的比较同时涉及算术平方根，因此这里统一在的范围讨论。若题目只含立方根，负数仍然可以使用，但应依据负数的符号与立方关系另作比较。 原数a的范围 算术平方根与原数 立方根与原数 2.3 实数 10 实数 分类要看数的本质 有理数和无理数统称实数。有理数可以写成两个整数的比其中它们的小数表示是有限小数或无限循环小数。无限不循环小数叫作无理数。每个实数恰属于这两类中的一类。有理数又可以分为整数和分数；整数包括正整数、0和负整数。 分类前，先看清这个数实际等于什么。都是有理数；和是无理数。“带根号”不等于“无理数”，“不带根号”也不等于“有理数”。 有限小数3.1416是有理数，只是的一个近似值，并不等于有规律的无限小数也未必循环。例如0.1010010001…中，相邻两个1之间的0依次增加，这个规律不是固定一段数字反复循环，因此它是无限不循环小数。 实数还可以按符号分成正实数、0和负实数；有理/无理与正/负是不同分类依据。无理数有正数也有负数，0是有理数，但既不是正数也不是负数。 分类依据 类别 例子 是否为有理数 有理数 是否为有理数 无理数 符号 正实数 符号 零 符号 负实数 11 实数与数轴 位置 相反数和距离 数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也都对应数轴上的一个点。数轴向右为正方向，右边的数总比左边的数大。无理数虽不能写成有限小数，仍有确定的大小和位置。 实数的相反数是对应的两个点关于原点对称，与原点距离相等。可以是负数，所以不一定为负。例如时，0的相反数仍是0。 绝对值表示数对应的点到原点的距离。因此时时如图中与在原点两侧，对应距离相等。 数轴上表示的两点之间的距离是若已知这段距离就是例：表示和2的两点之间的距离为距离不是两数直接相加，更不能为负数。 非零实数的倒数是二者的乘积为1。例如的倒数为的倒数可写成0没有倒数，因为0与任何实数相乘都不能得到1。相反数要求和为0，倒数要求积为1，二者不可混淆。 12 夹逼估值 大小比较和整数部分 确定的大致位置，可以在两侧寻找完全平方数；确定的位置，可以寻找完全立方数。例如所以所以 两个正数可通过平方来比较，两个负数可先比较绝对值再反向。例如所以也可选择中间数：便有不能把“约为同一个小数”当作两个数相等。 对正数若整数满足则是的整数部分，是它的小数部分；小数部分满足例：其整数部分为5，小数部分为 小数部分是一个精确的数，不是随意取若干位小数。例如不能写成0.5并当作相等。求的整数部分，应把已知区间整体变换：由得所以整数部分为1。不能直接用7减去的整数部分。 已知夹逼 所求数的区间 整数部分 小数部分 5 1 13 绝对值分段 分界点从哪里来 去绝对值前，必须判断绝对值内部的数是正、零还是负。含的式子如在处改变写法：时为时为分界点来自内部式子等于0，不是随意选定。 例：求两个分界点是和3。若若若 图上两个绝对值分别表示点到3的距离。当在两点之间时，两段距离之和恰等于两端点间的距离5；当在外侧时，多出往返的一段距离，所以总和更大。因此的最小值为5，取到最小值的是整个区间不是只有中点。 若题目还限制为整数、正数，或给出方程就须把所得区间或解与这些条件一并核对。分段解方程时，在某段得到的候选值必须属于那一段，否则要舍去。 的范围 5 14 实数运算 先确定意义 再按顺序计算 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，但每一步都必须有意义。先算乘方、开方及绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右。除数不能是0。 例：先得又因有所以原式最后一步减去整个括号，两项的符号都要处理。 同一个实数的若干倍可以合并，如这与同理；而不能合并为开方不是对加法逐项分配的运算，例如但 15 读懂取整和流程的每一步 取整符号或新运算不是看到符号就能凭印象使用，必须按题目给出的定义。例如规定表示不大于的最大整数，则而最后一个结果不同于向零截去小数；若题目没有这样定义，不应把负数的“整数部分”擅自按此解释。 对非负数若其中为非负整数，则于是这是把“结果是某个整数”反过来变成原数的范围。例：等价于若为整数，则为16至24。 流程题要明确每一步算什么、何时输出、何时返回。例如从非负整数开始反复取算术平方根，遇到无理数就输出：输入25，依次得到5、第二次输出；输入1则一直得到1，不能输出。不能默认每个输入都会在有限步内停止。 逆求输入时，应从输出倒着检验。若输出前一步必为5；若前面还有一步开平方，前前步必为25。每往前一步还要检查原题的输入范围、整数条件和之前是否已经输出，不能只连续平方而不核条件。 16 有理数和无理数的条件怎样用 有理数加无理数仍为无理数；非零有理数乘无理数仍为无理数。可以反过来说明理由：若有理数与无理数的和是有理数，则会是有理数，矛盾；乘法结论同样可用除以非零有理数来说明。 因此，若为有理数、为无理数，且就只能有因为若便有这会把写成有理数。这里是有理数这一条件不可省略。 例：有理数满足则所以这不是任意“带根号部分”和“不带根号部分”都能分别相等，而是利用同一个已知无理数的有理系数。 无理数之间的和或积不一定仍为无理数，例如而仍为无理数。做判断题时，一个恰当反例可以否定“一定”，但几个例子不能证明“对所有数都成立”。 2.4 近似值 17 近似值 保留到哪一位 实际问题中，有些数能准确确定，如某班实到人数为42；有些数由测量、估算或舍入得到，只接近真实值，称为近似数。说“约”说明数是近似的，说“精确到哪一位”则说明保留到哪个数位，两者不能混为一谈。 用四舍五入法取近似值时，先确定最后保留的数位，再看紧挨着它的后一位：小于5舍去，等于或大于5向保留位进1；此后更低的数位一起舍去。应从原数直接舍入，不要一级一级反复舍入。 例：将8.3762精确到0.1，保留十分位，看百分位7，得到8.4；精确到0.01，保留百分位，看千分位6，得到8.38；精确到0.001，看万分位2，得到8.376。“精确到0.01”与“保留两位小数”在这里是同一个要求。 进位可能连续传递。例如9.996精确到0.01应写10.00，不能只写10。近似数末尾的0表示实际保留到的数位：6.3精确到十分位，6.30精确到百分位。两者数值相等，但精确程度的表达不同。 原数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001 8.3762 8.4 8.38 8.376 9.996 10.0 10.00 9.996 18 万 亿和科学记数法中的精确数位 带“万”“亿”等计数单位的近似数，末一位对应的是整个量的实际数位，不能只看小数点后有几位。例：2.08万中，最后的8所在数位相当于0.01万，也就是100，所以2.08万精确到百位；7.4亿中的0.1亿等于1000万，故精确到千万位。 一个不小于10的正数，可以用科学记数法表示为其中为正整数。它首先是一种表示方式，不必然意味着取了近似值。例如可以是精确相等。只有题目说明近似或舍入要求时，才据此判断精确程度。 近似数中，系数最后一位代表所以精确到千位；若写成近似数末位代表10000，则精确到万位。末尾0在这里仍不能随意删除。 例：把739600精确到万位，先看千位9，得740000；为了清楚表达保留到万位，可写若精确到千位，则结果也为740000，但应写来保留精度信息。数值可能相同，写法所传递的精度却不同。 近似数 最后一位所在数位的单位 精确到 2.08万 0.01万＝100 百位 7.4亿 0.1亿＝10000000 千万位 千位 万位 19 由平方表求近似值 中点决定进不进位 用平方表或自己计算的平方数估计先由平方的大小确定根的范围。例如所以但这还不能确定精确到0.1究竟是3.4还是3.5。 要作正确的四舍五入，必须判断在中点3.45的哪一侧。因为所以结合上界，精确到0.1应为3.5。比较的中点是所保留数位的半个单位，不是随便增加一个平方数。 若精确到0.01，先有再比较中点得所以精确到0.01为3.46。只知道仍不足以完成舍入。 立方根可用同样思想：用相邻数的立方夹住被开方数，再比较舍入中点的立方。题目给出的是平方表还是立方表，要与所求的根对应；表中的值若只是近似值，还应留意它是否足以支持严格的大小判断。 用于比较的数 与12的关系 3.45 11.9025 小于12 3.46 11.9716 小于12 3.465 12.006225 大于12 3.47 12.0409 大于12 20 从近似值反求原数 端点也要判断 对正数用四舍五入法精确到0.1，结果为4.6，原数应满足下端4.55恰好进位成4.6，能取；上端4.65会进位成4.7，不能取。因此两个端点不是都包含，也不是都不包含。 图上从4.55的实心点画到4.65的空心点，表示这个左闭右开的区间。若精确到0.01，结果为4.60，则原数范围是区间更窄。这也说明近似数末尾的0为何有意义。 一般地，对正数按四舍五入保留到单位得到近似值其原数位于并须与原题的正数、整数或实际取值条件同时成立。例如记录为4.6米，并不能保证真实长度至少为4.60米，因为4.57米也会得到同样记录。 判断“能否保证”要看整个允许范围，不能只把记录值当真实值。若题目给了多项测量条件，应把它们化成同一单位下的区间，再取同时满足的部分。本节的半开区间说明按正数的常用四舍五入规则展开；负数舍入若出现，必须先说明采用的约定。 21 近似值是否满足精度要求 有些阅读题给出一种估计算术平方根的方法，例如在一个完全平方数附近用较简单的算式估计。按指定方法算出一个数，只能说明“该方法给出的估计值是多少”；是否能保证真值四舍五入到某一位仍得到同一个结果，需要再检验。 例如，已知某方法把估计为5.1。要证明真值精确到0.1确实为5.1，可以检验两个舍入边界：于是结论才有保证。不能仅因“看起来接近”就断言精确到0.1。 连续舍入也可能改变结果。例如1.249直接精确到0.1为1.2；若先精确到0.01得到1.25，再精确到0.1则变成1.3。两种步骤处理的对象已经不同，所以通常应从原数一次舍入。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列说法中，正确的是（    ）。 A. 没有平方根 B. C. 是的一个平方根 D. 负数没有立方根 2. 已知下列式子中，与相等的是（    ）。 A. B. C. D. 3. 一个数的立方根是是的相反数的立方根，则等于（    ）。 A. B. C. D. 4. 下列各组数中，两个数都是无理数的是（    ）。 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 使有意义的整数中，最大的是（    ）。 A. B. C. D. 6. 下列大小关系正确的是（    ）。 A. B. C. D. 7. 实数在数轴上的位置如图所示，其中下列结论正确的是（    ）。 A. B. C. D. 8. 把某个数量分别记录为近似数万和万。下列说法正确的是（    ）。 A. 前者精确到百位，后者精确到千位 B. 前者精确到百分位，后者精确到十分位 C. 两者都精确到万位 D. 两者数值相等，所以精确程度相同 9. 把四舍五入精确到百万位，并用科学记数法表示，且能正确体现精确程度的是（    ）。 A. B. C. D. 10. 比大的最小整数减去所得的差是（    ）。 A. B. C. D. 11. 在满足的整数中，算术平方根是整数而立方根不是整数的数共有（    ）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 一个正数的算术平方根是它的立方根的倍，这个正数是（    ）。 A. B. C. D. 13. 正整数的算术平方根的整数部分是小数部分大于符合条件的共有（    ）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 14. 正整数的平方经四舍五入精确到百位，得到则等于（    ）。 A. B. C. D. 15. 对一个正整数进行如下操作：取它的算术平方根，再取所得数的整数部分。连续进行这样的操作，直到第一次得到1为止。例如，20经过3次操作得到1。若正整数恰好经过3次操作才第一次得到1，且是某个正整数的立方，则满足条件的有（    ）个。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 整数满足且则的最大值为（    ）。 A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 17. 设其中是整数，且甲直接将四舍五入精确到0.1；乙先将四舍五入精确到0.01，再把所得近似数四舍五入精确到0.1。使甲、乙最后结果不同的共有（    ）个。 A. 45 B. 50 C. 55 D. 100 18. 正整数满足是整数，则所有符合条件的的和为（    ）。 A. 49 B. 50 C. 65 D. 66 19. 满足的实数共有（    ）个。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 20. 一个正方体的棱长为厘米，表面积为平方厘米，体积为立方厘米。下列情况不可能出现的是（    ）。 A. 都是有理数 B. 是无理数，是有理数，是无理数 C. 是无理数，是无理数，是有理数 D. 是无理数，都是有理数 三 填空题 21. 计算：________。 22. 已知则________，________。 23. 已知则________。 24. 如图，一个正方体的体积为它的棱长是________ 25. 写出一个大于且小于的无理数：________。 26. 若则________。 27. 如图，数轴上点表示点向右移动个单位长度到达点则点表示的数是________。 28. 把四舍五入精确到所得近似数为________ 29. 近似数精确到千位，其中为正整数，则________。 30. 若则________。 31. 若和都有意义，则所有符合条件的整数的和为________。 32. 若和都是整数，则的所有可能值为________。 33. 正数满足则的整数部分为________。 34. 正整数的算术平方根按四舍五入法精确到得到已知则________。 35. 实数满足且则的所有可能值为________。 36. 用表示不大于的最大整数。对正偶数记若则的最大值是________。 37. 设为正整数，是的小数部分，是的小数部分，则________。 38. 已知为正实数，均为整数，且这三个整数中最大的数等于最小的数的2倍，则共有________个不同的值。 39. 已知为有理数，且则的所有可能值为________。 40. 将正整数的算术平方根和立方根分别按四舍五入精确到个位，两个结果相同。则的所有可能值为________。 四 解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41. （1）计算 （2）求的平方根； （3）解方程 42. 一个正数的两个平方根分别是和 （1）求和的值； （2）求方程中的所有值。 43. 已知与互为相反数。 （1）求的值； （2）求的立方根，并判断是否有平方根。 44. 如图，一块正方形展示板的面积为中央贴有一张面积为的正方形照片，照片四边分别与展示板四边平行，四周留下的边框宽度相同。求边框的宽度和边框的面积。 45. （1）解方程 （2）将方程右边的改成后，解是否变为原来解的相反数？通过计算作出判断。 46. 如图，把一块体积为的正方体金属熔铸成块大小相同的小正方体，忽略损耗。 （1）求原正方体和每块小正方体的棱长； （2）每块小正方体的棱长是原棱长的几分之几？ 47. 已知不使用计算器完成下列各题。 （1）求的值； （2）若求据此判断是否正确。 48. 将下列各数分别填入有理数、无理数两类中： （循环），（相邻两个之间的依次增加一个）。 写出的相反数和倒数。 49. （1）写出介于哪两个相邻整数之间； （2）计算 50. 有两条近似数记录：“投入约亿元”“参观约万人次”。 （1）分别用“元”“人次”为单位，以科学记数法表示这两个近似数，并指出各自精确到哪一位； （2）把亿元写成亿元，能否保留原记录的精确程度？ 51. 如图，数轴上点表示点表示 （1）写出在之间的所有整数； （2）点在点的左侧，且求点表示的数。 52. 某展馆同一天的进馆人数为正整数两份简报分别把人数记为“约万人”和“约万人”，两份记录都由实际人数按所保留的末位四舍五入得到。 （1）分别求每份记录所对应的实际人数的取值范围； （2）若两份记录都正确，求的取值范围，并求可能的整数人数共有多少种。 53. 一根绳子的实际长度为米，将四舍五入精确到米，记录为米。以下均允许有剩余绳子，忽略剪切损耗。 （1）求的取值范围； （2）能否保证从中剪出段长度都为米的绳子？若不能，写出一个符合记录但不能满足要求的实际长度； （3）若仍需剪出段同样长的绳子，且每段长度必须是米的整数倍，最多能保证每段长多少米？ 54. 下表给出了两个正数的平方。 （1）根据表中数据，分别指出和介于哪两个相邻的十分位小数之间； （2）把这两个数分别按四舍五入法精确到为作出判断，需要补算哪个数的平方？写出补算过程，并说明为什么只知道第（1）问的范围还不够。 55. 按下列程序处理一个正整数先取当前数的算术平方根；若结果为无理数，就输出并停止；若结果为有理数，就对所得数取立方根，若为无理数就输出并停止，若仍为有理数，就以所得数返回开平方步骤。 （1）输入729，写出运算过程及输出结果。 （2）输入的正整数满足如果最后输出求所有可能的 （3）输入的正整数仍满足如果最后输出求所有可能的 56. 图中六个边长均为厘米的正方形沿虚线折叠，可以围成一个正方体。现要从一张面积为平方厘米的正方形卡纸上，按图示样式裁出一份展开图。展开图各边必须与卡纸边平行，可以平移或整体旋转不允许拆开后重新拼接；忽略裁切损耗。 （1）当所制正方体的体积为立方厘米时，虽然六个面的总面积小于卡纸面积，能否按要求裁出？ （2）设卡纸面积是所制正方体表面积的倍，求能够按要求裁出时的全部取值范围，并说明这个范围内一定可以裁出。 （3）在所有能够按要求裁出的情形中，剩余卡纸面积至少是原卡纸面积的几分之几？这个最小比例能否达到？说明理由。 57. （1）求立方根等于它本身的所有实数。 （2）实数满足且与互为相反数，求所有数对 （3）在第（2）问的条件下，再要求其中为有理数。按的取值，讨论满足全部条件的数对有几组，并写出这些数对。 58. 阅读材料：①每个正有理数都可以写成最简分数其中为正整数，且没有大于1的公因数；②如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数。 （1）利用以上材料，证明是无理数。 （2）小明说：“两个无理数的和一定是无理数。”判断该说法是否正确；若不正确，请举出一个反例。 （3）设求的值，并证明都是无理数。 59. 设面积为的正方形边长为其中为正整数，为边长的小数部分。小明如图把面积分成一个边长为的正方形、两个长方形和一个边长为的小正方形，忽略小正方形的面积后，得到估计值 （1）当时，这种方法的估计值是多少？已知判断精确到0.1的结果是否等于该估计值。 （2）求证： （3）若按四舍五入精确到0.1的结果恰好为求满足条件的正整数并写出解答过程。 60. 把依次排成数阵：第一行排个数，第二行排个数，第三行排个数，……第行排个数；每行都从左向右按原顺序排列。前四行如下。 行 从左至右排列的数 第一行 第二行 第三行 第四行 （1）排在第几行、第几个位置？ （2）用含的式子表示第行的第一个数和最后一个数，并证明这一行恰好有一个整数，指出它的位置。 （3）当时，第行中哪个数的小数部分最大？指出其位置，并证明你的结论。 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $第2章实数的初步认识期中复习专题讲义 2026一2027学年苏科版八年级数学上册学生版 班级 姓名 本讲义复习平方根、立方根、实数与近似值。先理解概念及其适用条件，再通过图示和例题掌 握方法，最后完成选择题、填空题和解答题。 一知识详解 2.1平方根 1平方根从平方反过来想 如果一个数x的平方等于a,即x=a,那么x叫作a的平方根。这里a是被开方数，x是它的平方 根。“求一个数的平方根”是在已知平方结果的情况下，反过来找原来的数。 正数有两个平方根，它们互为相反数。例如--号，所以号的平方根是和号，合写 成±乏。两个根绝对值相等，但不是同一个数。 0的平方根只有0，因为x=0只能得到x=0,不能说0有“两个相等的平方根”。负数在实数范围 内没有平方根，因为任何实数的平方都不小于0，不可能等于负数。 开平方与平方互为逆运算，但“反过来”并不意味着只有一个答案。比如由x=36要得到x=±6， 而不是只写x=6。若x另有长度等实际意义，再用实际条件筛选。 被开方数a 平方根的个数 平方根的表示 a>0 2个，互为相反数 √a和-√a a=0 1个 0 a<0 实数范围内没有 不能写成实数平方根 2算术平方根只取非负的那一个 正数a的正的平方根叫作a的算术平方根，记作Va,读作“根号a”；规定0的算术平方根是0。因 而Va同时要求a≥0，并且它所表示的数也满足Va≥0。 第1页共33页 面积11cm2 边长scm “25的平方根”是±5“25的算术平方根”是5；式子25的值也是5。根号本身已经表示取非负 值，不能再把√25写成±5。求V25的平方根，则是先得到5，再求5的平方根，答案是±V5。 面积为11平方厘米的正方形，设边长为s厘米，则s2=11。方程在实数范围内有s=±V11,但边 长s>0,所以边长是V11厘米。图中的面积单位是平方厘米，边长单位是厘米，两者不可混写。 算术平方根不一定比原数小，例如，品子品=11西=4←16。此较根与原数时。0和 是重要的分界，不能凭大于1的几个例子推广到所有非负数。 3根号有意义与非负条件 在实数范围内，√A有意义的条件是A≥0。例如V2x+6有意义，应有2x+6≥0，所以x≥-3。这 里是对整个被开方的式子提出要求，不是只要求x≥0。 几个根号同时出现时，每个被开方数都要非负。例如Vx+2+√4-x有意义，需同时有x+2≥0和 4-x≥0，所以-2≤x≤4。一条条件只给出了一个方向，不能漏掉另一条。若根号在分母中，还 1 须使分母不为0，例如7x+2要求X>-2。 平方、绝对值、算术平方根的值都是非负数。因此若它们的和等于0，每一项都必须等于0。 例：(u-4+v+2=0,由于两项都不小于0，只能有u=4、=-2。理由不是“相加可以互相抵 消”，而是两个非负数没有正负抵消的可能。 这一结论有条件：和中的各项必须都是非负数。不能从p+q=0推出p=q=0,因为立方根可 以为负；如p=8,q=-8时，两个立方根相加也等于0。 4平方后开方与开方后平方 当a≥0时，（Vā2=a,这正是算术平方根的定义。例如（√432=43。此式先开方再平方，先开方 这一步要求a≥0。 对任意实数a,都有Va=|a。理由是：a≥0，且a=a2,所以a恰是a的算术平方根。于是 a≥0时结果为a,a<0时结果为-a。例如V(-82=8,不是-8。 第2页共33页 含字母时，应把根号内的整个平方部分看作一个数。例如x<2时，x-2<0,故 V(x-2P=|x-2=2-x没有x<2这样的符号信息时，通常应保留为x-2|,不能直接去掉绝对 值。 平方后开方会把负号的信息丢掉，所以√a=a不是对一切实数成立的式子。相反，立方后开立 方能够保留符号，后面会看到ā=a。 式子 条件 结果 (Va) a≥0 va a为任意实数 va=a a≥0时成立 负数时不成立 5直接开平方与两个平方根的条件 解形如U=c的方程，先把整个U看作一个数。若c>0,则U=±Vc;若c=0,则U=0,若c<0, 则方程没有实数解。开平方之后，再解关于原未知数的方程。 例：(2x-1)2=49。由2x-1=7或2x-1=-7,分别得x=4或x=-3。两个数都代回原方程成立， 不能在“开平方”时只保留正号，也不能把2x-1错看成2(x-1)。 若已知一个正数的两个平方根分别是两个含字母的式子，可利用“两个根互为相反数”。例如两 个平方根为m+2与2m-8,则(m+2)+(2m-8)=0,得m=2;两个根为4与-4，原数为16。求 出参数后仍应核实两个根确实互为相反数。 “某数的一个平方根是r”只说明这个数等于r2,“某数的算术平方根是r”还要求r≥0。例如一个数 的平方根可以是-6，但它的算术平方根不可能是-6。 6平方根的比较与小数点移动 对两个非负数，较大的数有较大的算术平方根。因为非负数平方的大小顺序不变，所以0≤a<b 与Va<Vb相对应。例如36<43<49，就有6<V43<7。 若Va=b,则b20、b2=a。由于(10bP=100a且10b≥0，可得V100a=10b。同理， a b Y10010。这 解释了：被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点相应移动一位。 例：已知V7.84=2.8,则V784=28,V0.0784=0.28。应先比较被开方数的倍率，再确定根的倍 率。被开方数扩大10倍时，不能把根直接扩大10倍或小数点移动半位。 第3页共33页 数量级也能检查结果。例如100<784<900，所以10<V784<30,可立即排除2.8或280。近似 数据也能按相同倍率换算，但原来写“约等于”的数据，换算后仍是近似值，不能改成精确等 号。 被开方数 0.0784 7.84 784 算术平方根 0.28 2.8 28 2.2立方根 7立方根正数零和负数都能开立方 如果一个数x的立方等于a,即x=a,那么x叫作a的立方根，记作ā。根号左上角的3表示开三 次方，不能省略，否则Va表示的就是算术平方根。 体积 一个面的面积2m2 0.512m3 正方体的体积13m3 棱长1m 每个实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负 数。例如27=3,0=0，-27=-3，不能写成±3。负数能开立方，是因为负数的立方仍为负 数。 正方体体积为0.512立方米，设棱长为l米，则1=0.512。由于0.83=0.512，棱长为0.8米。图 把棱长、一个面的面积、整体体积区分开：若棱长为l,一个面的面积是，总体积是。 平方根要区分“两个根”和“算术平方根”；立方根没有这种二选一的情况。求负数的立方根，不应 先删掉负号，更不应以“负数不能开方”为由判它无意义。 项目 平方根 立方根 定义 x2=a x=a 正数的根 2个，互为相反数 1个，为正数 第4页共33页 项目 平方根 立方根 0的根 只有0 只有0 负数的根 实数范围内没有 1个，为负数 8立方根的性质方程和数量级 对任意实数a,都有（ā3=a、a=a,以及-a=-a。例如-7乃=-7。这三条都能由“哪一 个数的立方等于被开方数”来检验，不需要另添正负号。 例：(3x+2)3=-64。因为(-4)3=-64，所以3x+2=-4,得x=-2。与直接开平方相比，这里只 有一个立方根，不产生两条方程。若两数的立方根互为相反数，把关系两边立方即可得到原来 两数互为相反数。 若ā=b,由10b3=1000a可得1000a=10b。因此，被开方数的小数点每移动三位，立方根的 小数点相应移动一位。例：2.197=1.3，所以2197=13,0.002197=0.13。 正方形的边长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍；正方体的棱长变为原来的2倍，体积变 为原来的8倍。反过来，正方体的体积变为原来的8倍，棱长变为原来的2倍。体积的单位换 算也要按立方关系：1m3=1000000cm3,因为1米等于100厘米。不能按长度的100倍去换 算体积。 变化 平方根 立方根 被开方数扩大多少倍，根扩大 100倍 1000倍 10倍 被开方数缩小多少倍，根缩小 100倍 1000倍 10倍 比较大小 非负被开方数越大，根越大 被开方数越大，根越大 9根与原数比较为什么要分0和1 若0<a<1,则a<a、a3<a。由于非负数的平方和实数的立方都随原数增大而增大，反过来求根 得a<Va、a<ā。例如一个小于1的正数乘自己，会变得更小；要得到原来的数，根就须比它 大。 若a>1,则a2>a、a3>a,同理得Va<a、a<a。在a=0或a=1时，两种根都等于原数。不能 把“开方后数会变小”当作不带条件的结论。 第5页共33页 表中的比较同时涉及算术平方根，因此这里统一在α≥0的范围讨论。若题目只含立方根，负数 仍然可以使用，但应依据负数的符号与立方关系另作比较。 原数a的范围 算术平方根与原数 立方根与原数 a=0 Va-a Va=a 0<a<1 Va>a Va>a a=1 Va=a Va=a a>1 Va<a Va<a 2.3实数 10实数分类要看数的本质 有理数和无理数统称实数。有理数可以写成两个整数的比，其中q≠0；它们的小数表示是有 限小数或无限循环小数。无限不循环小数叫作无理数。每个实数恰属于这两类中的一类。有理 数又可以分为整数和分数；整数包括正整数、0和负整数。 分类前，先看清这个数实际等于什么。√64=8、-125=-5都是有理数；V11和π是无理数。“带 根号”不等于“无理数”，“不带根号”也不等于“有理数”。 有限小数3.1416是有理数，只是π的一个近似值，并不等于π。有规律的无限小数也未必循 环。例如0.1010010001…中，相邻两个1之间的0依次增加，这个规律不是固定一段数字反 复循环，因此它是无限不循环小数。 实数还可以按符号分成正实数、0和负实数；有理/无理与正/负是不同分类依据。无理数有正数 也有负数，0是有理数，但既不是正数也不是负数。 分类依据 类别 例子 是否为有理数 有理数 -5,0,30125 是否为有理数 无理数 1i,-11,n 符号 正实数 景加 第6页共33页 分类依据 类别 例子 符号 零 0 符号 负实数 -5,-V11 11实数与数轴位置相反数和距离 数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也都对应数轴上的一个点。数轴向右为正方 向，右边的数总比左边的数大。无理数虽不能写成有限小数，仍有确定的大小和位置。 两点间距离2+V8 十 -V8 0 2 √⑧ -√⑧与V8关于原点对称，到原点的距离均为V⑧ 实数a的相反数是-a,对应的两个点关于原点对称，与原点距离相等。a可以是负数，所以-a 不一定为负。例如a=-V⑧时，-a=V⑧>0.0的相反数仍是0。 绝对值a表示数a对应的点到原点的距离。因此a≥0a≥0时a=a,a<0时a=-a。如 |-V⑧=V8。图中-V⑧与V8在原点两侧，对应距离相等。 数轴上表示a,b的两点之间的距离是|a-b。若已知a<b,这段距离就是b-a。例：表示-√8和 2的两点之间的距离为2-(-V⑧)川=2+V8;距离不是两数直接相加，更不能为负数。 非零实数a的倒数是君，二者的乘积为1。例如4的倒数为，VB的倒数可与成8·0没有倒 数，因为0与任何实数相乘都不能得到1。相反数要求和为0，倒数要求积为1，二者不可混 淆。 12夹逼估值大小比较和整数部分 确定√N的大致位置，可以在N两侧寻找完全平方数；确定N的位置，可以寻找完全立方数。 例如25<31<36，所以5<V31<6;-64<-40<-27,所以-4<-40<-3。 两个正数可通过平方来比较，两个负数可先比较绝对值再反向。例如V31<6,所以-V31>-6。 也可选择中间数：V7<3<V10,便有V7<V10。不能把“约为同一个小数”当作两个数相等。 第7页共33页 对正数x,若整数n满足n≤x<n+1,则n是x的整数部分，x-n是它的小数部分；小数部分满足 0≤x-n<1。例：5<V31<6,其整数部分为5，小数部分为V31-5。 小数部分是一个精确的数，不是随意取若干位小数。例如V31-5不能写成0.5并当作相等。求 7-V31的整数部分，应把已知区间整体变换：由5<31<6得1<7-V31<2,所以整数部分为 1。不能直接用7减去V31的整数部分。 已知夹逼 所求数的区间 整数部分 小数部分 25<31<36 5<V31<6 5 V31-5 5<V31<6 1<7-V31<2 6-V31 13绝对值分段分界点从哪里来 去绝对值前，必须判断绝对值内部的数是正、零还是负。含x的式子如x-2在x=2处改变写 法：x<2时为2-X,x≥2时为X-2。分界点来自内部式子等于0，不是随意选定。 X<-2 -2≤X≤3 X>3 橙线x+2!蓝线x-3引 例：求F=x+2|+|x-3|。两个分界点是-2和3。若x<-2,F=(-x-2)+(3-x)=1-2x;若 2≤x≤3，F=(x+2)+(3-x)=5,若x>3,F=(x+2)+(x-3)=2x-1。 图上两个绝对值分别表示点到-2、3的距离。当x在两点之间时，两段距离之和恰等于两端点 间的距离5；当x在外侧时，多出往返的一段距离，所以总和更大。因此F的最小值为5，取到 最小值的x是整个区间-2≤x≤3，不是只有中点。 若题目还限制x为整数、正数，或给出方程F=℃，就须把所得区间或解与这些条件一并核对。 分段解方程时，在某段得到的候选值必须属于那一段，否则要舍去。 第8页共33页 x的范围 |x+2 |x-31 X<-2 -X-2 3-x 1-2x -2≤x≤3 X+2 3-x 5 x>3 X+2 x-3 2x-1 14实数运算先确定意义再按顺序计算 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，但每一步都必须有意义。先算乘方、开方及 绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右。除数不能是0。 例：V81+-64-13-√11。先得V81=9、-64=-4;又因V11>3,有3-11=11-3。所以 原式=9-4-(V11-3)=8-V11。最后一步减去整个括号，两项的符号都要处理。 同一个实数的若干倍可以合并，如4V7-V7=37,这与4a-a=3a同理；而√7+11不能合并为 V18。开方不是对加法逐项分配的运算，例如V9+16=5,但V9+V16=7。 15读懂取整和流程的每一步 取整符号或新运算不是看到符号就能凭印象使用，必须按题目给出的定义。例如规定[x]表示不 大于x的最大整数，则[2.6]=2、[2]=2，而[-2.6]=-3。最后一个结果不同于向零截去小数；若 题目没有这样定义，不应把负数的“整数部分”擅自按此解释。 否：以所得数继续 输入非负整数u 取当前数的 算术平方根 所得数为无理数？ 冷 25→5→V5(输出) 输出所得数 1→1→1→…（不输出） 第9页共33页 对非负数u,若[Vu]=k,其中k为非负整数，则k≤Vu<k+1,于是k≤u<(k+1)2。这是把“结果 是某个整数”反过来变成原数的范围。例：[Vu]=4等价于16≤u<25,若u为整数，则为16至 24。 流程题要明确每一步算什么、何时输出、何时返回。例如从非负整数开始反复取算术平方根， 遇到无理数就输出：输入25，依次得到5、V5,第二次输出；输入1则一直得到1，不能输 出。不能默认每个输入都会在有限步内停止。 逆求输入时，应从输出倒着检验。若输出V5,前一步必为5；若前面还有一步开平方，前前步 必为25。每往前一步还要检查原题的输入范围、整数条件和之前是否已经输出，不能只连续平 方而不核条件。 16有理数和无理数的条件怎样用 有理数加无理数仍为无理数；非零有理数乘无理数仍为无理数。可以反过来说明理由：若有理 数r与无理数t的和r+t是有理数，则t=(r+t)-r会是有理数，矛盾；乘法结论同样可用除以非零 有理数来说明。 因此，若p,q为有理数、t为无理数，且pt+q=0,就只能有p=0,q=0。因为若p≠0，便有 号，这会把：写成有理数。这里p9是有理数这一条件不可省略。 例：有理数m,n满足(m-3)V2+n+4=0,则m-3=0、n+4=0,所以m=3,n=-4。这不是任 意“带根号部分”和“不带根号部分”都能分别相等，而是利用同一个已知无理数的有理系数。 无理数之间的和或积不一定仍为无理数，例如2+(-V2)=0,而V2+√2=2√2仍为无理数。做判 断题时，一个恰当反例可以否定“一定”，但几个例子不能证明“对所有数都成立”。 2.4近似值 17近似值保留到哪一位 实际问题中，有些数能准确确定，如某班实到人数为42；有些数由测量、估算或舍入得到，只 接近真实值，称为近似数。说“约”说明数是近似的，说“精确到哪一位”则说明保留到哪个数位， 两者不能混为一谈。 用四舍五入法取近似值时，先确定最后保留的数位，再看紧挨着它的后一位：小于5舍去，等 于或大于5向保留位进1；此后更低的数位一起舍去。应从原数直接舍入，不要一级一级反复 舍入。 例：将8.3762精确到0.1，保留十分位，看百分位7，得到8.4；精确到0.01，保留百分位， 看千分位6，得到8.38；精确到0.001，看万分位2，得到8.376。“精确到0.01”与“保留两位 小数”在这里是同一个要求。 第10页共33页 进位可能连续传递。例如9.996精确到0.01应写10.00，不能只写10。近似数末尾的0表示 实际保留到的数位：6.3精确到十分位，6.30精确到百分位。两者数值相等，但精确程度的表 达不同。 原数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001 8.3762 8.4 8.38 8.376 9.996 10.0 10.00 9.996 18万亿和科学记数法中的精确数位 带“万”“亿”等计数单位的近似数，末一位对应的是整个量的实际数位，不能只看小数点后有几 位。例：2.08万中，最后的8所在数位相当于0.01万，也就是100，所以2.08万精确到百 位；7.4亿中的0.1亿等于1000万，故精确到千万位。 一个不小于10的正数，可以用科学记数法表示为a×10”,其中1≤a<10,n为正整数。它首先是 一种表示方式，不必然意味着取了近似值。例如370000=3.7×10可以是精确相等。只有题目说 明近似或舍入要求时，才据此判断精确程度。 近似数3.70×10中，系数最后一位代表0.01×100000=1000，所以精确到千位；若写成近似数 3.7×105,末位代表10000，则精确到万位。末尾0在这里仍不能随意删除。 例：把739600精确到万位，先看千位9，得740000；为了清楚表达保留到万位，可写 7.4×10。若精确到千位，则结果也为740000，但应写7.40×10来保留精度信息。数值可能相 同，写法所传递的精度却不同。 近似数 最后一位所在数位的单位 精确到 2.08万 0.01万=100 百位 7.4亿 0.1亿=10000000 千万位 3.70×105 0.01×100000=1000 千位 3.7×105 0.1×100000=10000 万位 第11页共33页 19由平方表求近似值中点决定进不进位 用平方表或自己计算的平方数估计√N,先由平方的大小确定根的范围。例如 3.42=11.56<12<12.25=3.52,所以3.4<V12<3.5。但这还不能确定精确到0.1究竞是3.4还是 3.5。 要作正确的四舍五入，必须判断12在中点3.45的哪一侧。因为3.452=11.9025<12，所以 V12>3.45,结合上界，精确到0.1应为3.5。比较的中点是所保留数位的半个单位，不是随便 增加一个平方数。 若精确到0.01，先有3.46=11.9716<12<12.0409=3.47，再比较中点3.4652=12.006225>12，得 V12<3.465,所以精确到0.01为3.46。只知道3.46<√12<3.47仍不足以完成舍入。 立方根可用同样思想：用相邻数的立方夹住被开方数，再比较舍入中点的立方。题目给出的是 平方表还是立方表，要与所求的根对应；表中的值若只是近似值，还应留意它是否足以支持严 格的大小判断。 用于比较的数t t 与12的关系 3.45 11.9025 小于12 3.46 11.9716 小于12 3.465 12.006225 大于12 3.47 12.0409 大于12 20从近似值反求原数端点也要判断 对正数用四舍五入法精确到0.1，结果为4.6，原数x应满足4.55≤x<4.65。下端4.55恰好进位 成4.6，能取；上端4.65会进位成4.7，不能取。因此两个端点不是都包含，也不是都不包 含。 四舍五入精确到0.1，结果为4.6 4.55 4.60 4.65 能取：进位为4.6 不能取：进位为4.7 图上从4.55的实心点画到4.65的空心点，表示这个左闭右开的区间。若精确到0.01，结果为 4.60,则原数范围是4.595≤x<4.605,区间更窄。这也说明近似数末尾的0为何有意义。 第12页共33页 一般地，对正数按四舍五入保留到单位d,得到近似值r,其原数位于r-号≤X<r+号，并须与原 2 题的正数、整数或实际取值条件同时成立。例如记录为4.6米，并不能保证真实长度至少为 4.60米，因为4.57米也会得到同样记录。 判断“能否保证”要看整个允许范围，不能只把记录值当真实值。若题目给了多项测量条件，应 把它们化成同一单位下的区间，再取同时满足的部分。本节的半开区间说明按正数的常用四舍 五入规则展开；负数舍入若出现，必须先说明采用的约定。 21近似值是否满足精度要求 有些阅读题给出一种估计算术平方根的方法，例如在一个完全平方数附近用较简单的算式估 计。按指定方法算出一个数，只能说明“该方法给出的估计值是多少”；是否能保证真值四舍五 入到某一位仍得到同一个结果，需要再检验。 例如，已知某方法把V26估计为5.1。要证明真值精确到0.1确实为5.1，可以检验两个舍入边 界：5.052=25.5025<26,5.152=26.5225>26，于是5.05<V26<5.15,结论才有保证。不能仅 因“看起来接近”就断言精确到0.1。 连续舍入也可能改变结果。例如1.249直接精确到0.1为1.2；若先精确到0.01得到1.25， 再精确到0.1则变成1.3。两种步骤处理的对象已经不同，所以通常应从原数一次舍入。 第13页共33页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列说法中，正确的是（)。 A.0没有平方根 B.V64=±8 C.-8是64的一个平方根 D.负数没有立方根 2.已知a<0,下列式子中，与a相等的是（)。 A.va B.Va C.-√a D.a 3.一个数a的立方根是-2，b是a的相反数的立方根，则a+b等于（)。 A.-10 B.-6 C.0 D.6 4.下列各组数中，两个数都是无理数的是()。 A.V9与2 B.-8与π C.0.36与3 D.√7与π 5.使V7-2x有意义的整数x中，最大的是（)。 A.2 B名 C.3 D.4 6.下列大小关系正确的是（)。 A.-3<-V12<V10<4 B.-V12<-3<V10<4 C.-V12<-3<4<V10 D.V10<4<-3<-V12 第14页共33页 7.实数a、b在数轴上的位置如图所示，其中-3<a<-2,1<b<2。下列结论正确的是（)。 a b -4 -3 -2 -1 0 2 3 A.a-b>0 B.ab>0 C.a<b D.a+b<0 8.把某个数量分别记录为近似数7.20万和7.2万。下列说法正确的是（)。 A.前者精确到百位，后者精确到千位 B.前者精确到百分位，后者精确到十分位 C.两者都精确到万位 D.两者数值相等，所以精确程度相同 9.把349680000四舍五入精确到百万位，并用科学记数法表示，且能正确体现精确程度的是 ()。 A.3.49×108 B.3.5×108 C.3.50×108 D.3.497×108 10.比W23大的最小整数减去V23,所得的差是（)。 A.√23-4 B.5-V23 C.V23-5 D.4-V23 11.在满足10≤n≤100的整数n中，算术平方根是整数而立方根不是整数的数共有（）。 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 12.一个正数的算术平方根是它的立方根的2倍，这个正数是（)。 A.4 B.8 C.16 D.64 13.正整数n的算术平方根的整数部分是4，小数部分大于2。符合条件的n共有（）。 A.4个 B.5个 C.8个 D.9个 第15页共33页 14.正整数n的平方经四舍五入精确到百位，得到3.2×103，则n等于()。 A.56 B.57 C.58 D.59 15.对一个正整数进行如下操作：取它的算术平方根，再取所得数的整数部分。连续进行这样 的操作，直到第一次得到1为止。例如，20经过3次操作得到1。若正整数n恰好经过3次操 作才第一次得到1，且n是某个正整数的立方，则满足条件的n有（)个。 否以所得整数继续 是 取算术平方根 输入正整数n 再取整数部分 得到1？ 停止 A.3 B.4 C.5 D.6 16.整数x,y满足x≤y,且x-V7+|y-V71=4,则y的最大值为()。 A.8 B.10 C.12 D.15 17.设a=00,其中n是整数且1<Q<2,甲直接将四含五入精确到0.1：乙先将a四舍五入 精确到0.01，再把所得近似数四舍五入精确到0.1。使甲、乙最后结果不同的n共有（) 个。 A.45 B.50 C.55 D.100 18.正整数n满足Vn+15-Vn是整数，则所有符合条件的n的和为(）。 A.49 B.50 C.65 D.66 第16页共33页 19.满足Va+a=2a的实数a共有（)个。 A.0 B.1 C.2 D.3 20.一个正方体的棱长为a厘米，表面积为S平方厘米，体积为V立方厘米。下列情况不可能出 现的是()。 S=6a2 V=a3 a cm A.a,S,V都是有理数 B.a是无理数，S是有理数，V是无理数 C.a是无理数，S是无理数，V是有理数 D.a是无理数，S,V都是有理数 第17页共33页 三填空题 21.计算：V0.81+ 8 -125 22.已知Va=5,则W100a= 100 23.已知a=-04,6=-4,则2= 24.如图，一个正方体的体积为0.125m3,它的棱长是 cm。 体积0.125m3 25.写出一个大于-3且小于-2的无理数： 26.若a=2-V5,则a+a=。 27.如图，数轴上点A表示-V3,点A向右移动√3+2个单位长度到达点B,则点B表示的数是 0 V3+2 A B -v3 0 28.把0.995kg四舍五入精确到0.01kg,所得近似数为kg。 29.近似数4.070×10”精确到千位，其中n为正整数，则n=一。 第18页共33页 30.若Vx-2=0,3x+y=-1,则y=一。 31.若2x+1和V7-x都有意义，则所有符合条件的整数x的和为 32.若Vn-1和V10-n都是整数，则n的所有可能值为 33.正数x满足x-√5=3，则x的整数部分为 34.正整数n的算术平方根按四舍五入法精确到0.1得到4.4。已知4.352=18.9225， 4.452=19.8025,则n= 35.实数x,y满足x+y=10,且Vx-2+Vy-3=V5,则xy的所有可能值为 36.用[x]表示不大于x的最大整数。对正偶数n,记 Sn=[V]-[V2]+[V3]-[4]+…+[n-1]-[n]。若S,=-4,则n的最大值是 3引，设n为正整数，0是+2n的小数部分，6是亡的小数部分，则0-b 38.已知x为正实数，V9x,V36x、√9×36均为整数，且这三个整数中最大的数等于最小的数的 2倍，则x共有」 个不同的值。 39.已知a,b为有理数，且a+bV22=9-42,则a+b的所有可能值为 40.将正整数N的算术平方根和立方根分别按四舍五入精确到个位，两个结果相同。则N的所有 可能值为 _0 第19页共33页 四解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41.(1)计算V-52, (2)求V81的平方根； (3)解方程x2=81。 42.一个正数a的两个平方根分别是2x-1和x-5。 (1)求x和a的值； (2）求方程(y-x)2=a中y的所有值。 第20页共33页 43.已知Va-1与|b+2互为相反数。 (1)求a,b的值； (2)求a+b的立方根，并判断a+b是否有平方根。 44.如图，一块正方形展示板的面积为81dm2,中央贴有一张面积为36dm的正方形照片，照 片四边分别与展示板四边平行，四周留下的边框宽度相同。求边框的宽度和边框的面积。 t 照片面积 t 36dm2 展示板面积81dm2 第21页共33页 45.（1)解方程x-23=-27 (2)将方程右边的-27改成27后，解是否变为原来解的相反数？通过计算作出判断。 46.如图，把一块体积为1000cm的正方体金属熔铸成8块大小相同的小正方体，忽略损耗。 熔铸 忽略损耗 1000cm3 8块相同的小正方体 (1)求原正方体和每块小正方体的棱长； (2)每块小正方体的棱长是原棱长的几分之几？ 第22页共33页 47.已知8.2=551.368，不使用计算器完成下列各题。 (1)求-0.551368的值： (2）若m=82,求m。据此判断5513.68=82是否正确。 48.将下列各数分别填入有理数、无理数两类中： 0,-9,-8,乙V7,0.121212.12循环），0.101001001.（相邻两个1之间的0依次增 加一个)。 写出-V9的相反数和倒数。 第23页共33页 49.（1)写出V7介于哪两个相邻整数之间； (2)计算12-V71+V7-3+-8+9。 50.有两条近似数记录：“投入约3.40亿元”“参观约6.08万人次”。 (1)分别用“元”“人次”为单位，以科学记数法表示这两个近似数，并指出各自精确到哪一位； (2)把3.40亿元写成3.4亿元，能否保留原记录的精确程度？ 第24页共33页 51.如图，数轴上点A表示-V5,点B表示V10。 A 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 (1)写出在A,B之间的所有整数； (2)点P在点A的左侧，且PB=2PA。求点P表示的数。 52.某展馆同一天的进馆人数为正整数N。两份简报分别把人数记为“约5.6万人”和“约5.65万 人”，两份记录都由实际人数按所保留的末位四舍五入得到。 (1)分别求每份记录所对应的实际人数N的取值范围； (2)若两份记录都正确，求N的取值范围，并求可能的整数人数共有多少种。 第25页共33页 53.一根绳子的实际长度为L米，将L四舍五入精确到0.1米，记录为2.4米。以下均允许有剩余 绳子，忽略剪切损耗。 原绳实际长度为L米，记录约2.4米 需要剪出的3段 0.80m 0.80m 0.80m (1)求L的取值范围； (2)能否保证从中剪出3段长度都为0.80米的绳子？若不能，写出一个符合记录但不能满足要 求的实际长度； (3)若仍需剪出3段同样长的绳子，且每段长度必须是0.01米的整数倍，最多能保证每段长多 少米？ 第26页共33页 54.下表给出了两个正数的平方。 X 4.2 4.3 x 17.64 18.49 (1)根据表中数据，分别指出√18和V18.07介于哪两个相邻的十分位小数之间； (2)把这两个数分别按四舍五入法精确到01。为作出判断，需要补算哪个数的平方？写出补 算过程，并说明为什么只知道第（1)问的范围还不够。 第27页共33页 55.按下列程序处理一个正整数n,先取当前数的算术平方根；若结果为无理数，就输出并停 止；若结果为有理数，就对所得数取立方根，若为无理数就输出并停止，若仍为有理数，就以 所得数返回开平方步骤。 是 输入正整数n 取算术平方根 结果是 无理数？ 否 否 输出并停止 结果是 无理数？ 取立方根 是 (1)输入729，写出运算过程及输出结果。 (2)输入的正整数满足1≤n≤10000。如果最后输出V2,求所有可能的n。 (3)输入的正整数仍满足1≤n≤10000。如果最后输出2，求所有可能的n。 第28页共33页 56.图中六个边长均为a厘米的正方形沿虚线折叠，可以围成一个正方体。现要从一张面积为S 平方厘米的正方形卡纸上，按图示样式裁出一份展开图。展开图各边必须与卡纸边平行，可以 平移或整体旋转90°，不允许拆开后重新拼接；忽略裁切损耗。 a (1)当S=900,所制正方体的体积为512立方厘米时，虽然六个面的总面积小于卡纸面积，能 否按要求裁出？ (2)设卡纸面积是所制正方体表面积的k倍，求能够按要求裁出时k的全部取值范围，并说明 这个范围内一定可以裁出。 (③)在所有能够按要求裁出的情形中，剩余卡纸面积至少是原卡纸面积的几分之几？这个最 小比例能否达到？说明理由。 第29页共33页 57.（1)求立方根等于它本身的所有实数。 (2)实数x,y满足x-2=x-2,且y-1与1-2x互为相反数，求所有数对(x,y)。 (3)在第(2)问的条件下，再要求Vy-2=k(x-1),其中k为有理数。按k的取值，讨论满足 全部条件的数对x,y)有几组，并写出这些数对。 第30页共33页 58.阅读材料：①每个正有理数都可以写成最简分数2，其中P,9为正整数，且没有大于1的公 因数；②如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数。 (1)利用以上材料，证明V2是无理数。 (2)小明说：“两个无理数的和一定是无理数。”判断该说法是否正确；若不正确，请举出一个 反例。 (3)设u=V3+W2,v=3-V2。求uw的值，并证明u,v都是无理数。 第31页共33页 59.设面积为m2+m的正方形边长为m+b,其中m为正整数，b为边长的小数部分。小明如图把 面积分成一个边长为m的正方形、两个长方形和一个边长为b的小正方形，忽略小正方形的面积 后，得到估计值m+0.5。 mb b2 个b m2 mb m m b (1)当m=2时，这种方法的估计值是多少？已知2.42=5.76、2.452=6.0025，判断√6精确到0.1 的结果是否等于该估计值。 (2)求证：m+0.5>Vm2+m。 (3)若√m2+m按四舍五入精确到0.1的结果恰好为m+0.5,求满足条件的正整数m,并写出解 答过程。 第32页共33页 60.把V1,V2,V3…依次排成数阵：第一行排2个数，第二行排4个数，第三行排6个数，…第 n行排2n个数；每行都从左向右按原顺序排列。前四行如下。 行 从左至右排列的数 第一行 1,V2 第二行 V3,2,5,6 第三行 7,V8,3,V10,√11,12 第四行 V13,√14，V15,4,17,18,√19，√20 (1)V105排在第几行、第几个位置？ (2)用含n的式子表示第n行的第一个数和最后一个数，并证明这一行恰好有一个整数，指出 它的位置。 (3)当n≥2时，第n行中哪个数的小数部分最大？指出其位置，并证明你的结论。 第33页共33页