专题05实数、近似值期中复习讲义(核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题05实数、近似值期中复习讲义 ✵复习目标 1.认识无理数，掌握实数的概念与分类，理解实数与数轴上的点一一对应，能估算并比较实数大小。 2.掌握实数范围内相反数、绝对值的意义，会进行简单实数运算。 3.区分准确数与近似数，理解精确度，能判断近似数的精确度，按要求取近似值。 4.辨析易混概念，体会数形结合、分类思想。 ✵高频题型梳理 题型3.实数的分类 题型4.实数的性质 题型5.实数与数轴 题型6.实数的大小比较 题型7.无理数的大小估算 题型8.无理数整数部分的有关计算 题型9.求一个数的近似数 题型10.求近似数的精确度 题型11.近似数推断取值范围 题型12.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、实数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见三类：含π的数、开方开不尽的平方根或立方根、特定构造的无限不循环小数。 2.实数：有理数与无理数统称为实数。 有理数是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应。 实数的相关性质 （1）相反数：实数a的相反数是-a； （2）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 实数大小比较：数轴上右侧的数大于左侧的数；正数＞0＞负数。估算无理数时，通过平方、立方估算其近似值，再比较大小。 运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 知识点二、近似数与近似值 1.准确数：与实际情况完全相符的数；近似数：与实际数值接近的数。 2.精确度：刻画近似数与准确数的接近程度。 取值方法：一般使用四舍五入法，按规定精确度保留。 关键点：近似数末尾的0不能随意删除，末尾的0决定近似数的精确度。 例如：1.50 精确到0.01，末尾0不可去掉。 ✳思想方法 数形结合：利用数轴直观表示实数，比较实数大小； 分类思想：将实数分为有理数、无理数两类进行区分。 ✵易错提醒 1.带根号的数不一定是无理数；无理数未必带根号，例如π。 2.无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数。 3.任意实数都能在数轴上找到对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 4.近似数末尾的 0 不可去掉，去掉后近似数的精确度会改变。 5.估算无理数比较大小时，留意不等号方向，避免判断出错。 ✵典例精讲 题型1.无理数识别 1．下列是无限不循环小数的是（     ） A． B． C． D． 2．若是无理数，且，则可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 3．设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： (1)当时，是有理数； (2)当时，是无理数． 题型2.实数概念理解 1．下列四个选项中，为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 3．求下列各数的相反数和绝对值： ，，，，，． 题型3.实数的分类 1．下列说法正确的是（     ） A．无限小数是无限不循环小数 B．有理数是无限循环小数 C．无限不循环小数不是有理数 D．一个数不是无限循环小数，就是无限不循环小数 2．在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 3现有以下一组数据：，，，，，0，，（每相邻两个3之间依次多1个0）． (1)把上面的数据分别填入下面的两个圈中； (2)两个圈的重叠部分表示_____________的集合； (3)请任意写出一个所有圈以外的实数：____________． 题型4.实数的性质 1．2的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．如果数轴上点到原点的距离是，则点表示的实数是________． 3．判断下列说法是否正确： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数； (3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数． 题型5.实数与数轴 1．和数轴上的点一一对应的是（     ） A．有理数 B．分数 C．整数 D．实数 2．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______________． 3．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 题型6.实数的大小比较 1．下列各数中，最小的实数是（     ） A． B． C． D． 2．比较大小：_____．（填或或） 3．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 题型7.无理数的大小估算 1．下面四个数中，最接近整数5的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则所有满足条件的整数之和为________． 3．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 题型8.无理数整数部分的有关计算 1．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．若，则的最大整数解为__________． 3．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 题型9.求一个数的近似数 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 2．一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 3．某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 题型10.求近似数的精确度 1．下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 2．田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 3．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 题型11.近似数推断取值范围 1．下列说法正确的是（     ） A．1.8945精确到0.001 B．0.520精确到百分位 C．3.72精确到百分位 D．5000精确到千位 2．2025年某省大约有万名学生参加中考，有理数万精确到_______位． 3．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)360； (2)； (3)9.03万； (4)． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列各数，，，（两个6之间依次增加一个“2”），，，，中，无理数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 3．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的值是（     ） A． B． C．2 D． 二、填空题 5．比较大小：________．（填“”“”或“”） 6．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值为_____． 三、解答题 7．把下列各数分别填入相应的集合中（只填对应序号）： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间的0逐次加1）；⑨；⑩ （1）整数集合：｛__________________________…｝； （2）分数集合：｛__________________________…｝； （3）无理数集合：｛__________________________…｝． 8．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 9．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实数、近似值期中复习讲义 ✵复习目标 1.认识无理数，掌握实数的概念与分类，理解实数与数轴上的点一一对应，能估算并比较实数大小。 2.掌握实数范围内相反数、绝对值的意义，会进行简单实数运算。 3.区分准确数与近似数，理解精确度，能判断近似数的精确度，按要求取近似值。 4.辨析易混概念，体会数形结合、分类思想。 ✵高频题型梳理 题型3.实数的分类 题型4.实数的性质 题型5.实数与数轴 题型6.实数的大小比较 题型7.无理数的大小估算 题型8.无理数整数部分的有关计算 题型9.求一个数的近似数 题型10.求近似数的精确度 题型11.近似数推断取值范围 题型12.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、实数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见三类：含π的数、开方开不尽的平方根或立方根、特定构造的无限不循环小数。 2.实数：有理数与无理数统称为实数。 有理数是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应。 实数的相关性质 （1）相反数：实数a的相反数是-a； （2）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 实数大小比较：数轴上右侧的数大于左侧的数；正数＞0＞负数。估算无理数时，通过平方、立方估算其近似值，再比较大小。 运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 知识点二、近似数与近似值 1.准确数：与实际情况完全相符的数；近似数：与实际数值接近的数。 2.精确度：刻画近似数与准确数的接近程度。 取值方法：一般使用四舍五入法，按规定精确度保留。 关键点：近似数末尾的0不能随意删除，末尾的0决定近似数的精确度。 例如：1.50 精确到0.01，末尾0不可去掉。 ✳思想方法 数形结合：利用数轴直观表示实数，比较实数大小； 分类思想：将实数分为有理数、无理数两类进行区分。 ✵易错提醒 1.带根号的数不一定是无理数；无理数未必带根号，例如π。 2.无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数。 3.任意实数都能在数轴上找到对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 4.近似数末尾的 0 不可去掉，去掉后近似数的精确度会改变。 5.估算无理数比较大小时，留意不等号方向，避免判断出错。 ✵典例精讲 题型1.无理数识别 1．下列是无限不循环小数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是无限循环小数，是有限小数，是有限小数，是无限不循环小数， ∴四个选项只有D选项符合题意． 2．若是无理数，且，则可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，题目要求为无理数且满足， ∴只需写出一个符合范围的无理数即可， ∵，满足，且是无理数， ∴可以取． 3．设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： (1)当时，是有理数； (2)当时，是无理数． 【答案】(1)解：有意义， ． 已知，分两种情况讨论： ① 当时， ． ， 分子， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． ② 当时， ， ， ， ， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． 综上所述，当时，是有理数． (2)解：假设是有理数， ，， ， 整理得， 均为有理数， 和都是有理数， 若， 则是有理数，与是无理数矛盾， ， ，即， ， ， ，与已知矛盾， 假设不成立，即当时，是无理数． 【分析】（1）把变形，再由，根据分式有意义的条件，分和两种情况进行讨论，从而得出y是有理数； （2）假设是有理数，把变形，再由，以及，，，都是有理数，推出x是有理数，与已知矛盾，进而得出y为无理数． 【详解】（1）略 （2） 略 题型2.实数概念理解 1．下列四个选项中，为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负数小于判断即可． 【详解】解：A选项：既不是正数也不是负数，不是负数，故A选项不符合题意； B选项：，是正数，故B选项不符合题意； C选项：，是负数，故C选项符合题意； D选项：，是正数，故D选项不符合题意． 2．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 3．求下列各数的相反数和绝对值： ，，，，，． 【答案】 ∵， ∴的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是1，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是． 【分析】本题主要考查了实数的性质，相反数和绝对值的意义，熟练掌握相反数和绝对值的意义是解本题的关键． 根据实数的性质，分别求其相反数和绝对值即可． 【详解】略 题型3.实数的分类 1．下列说法正确的是（     ） A．无限小数是无限不循环小数 B．有理数是无限循环小数 C．无限不循环小数不是有理数 D．一个数不是无限循环小数，就是无限不循环小数 【答案】C 【详解】解：∵ 无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数， ∴ A错误． ∵ 有理数包含整数、有限小数和无限循环小数， ∴ B错误． ∵ 无限不循环小数是无理数，不属于有理数， ∴ C正确． ∵ 小数包含有限小数和无限小数， ∴ D错误． 2．在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 3现有以下一组数据：，，，，，0，，（每相邻两个3之间依次多1个0）． (1)把上面的数据分别填入下面的两个圈中； (2)两个圈的重叠部分表示_____________的集合； (3)请任意写出一个所有圈以外的实数：____________． 【答案】(1) (2)负无理数 (3)2026（答案不唯一） 【分析】（1）根据负实数和无理数的定义填写即可； （2）两个圈分别代表负实数和无理数，同时属于两类的数是负无理数； （3）两个圈覆盖的是负实数和无理数，圈外的数属于“正有理数或者0”，任意写出一个符合要求的即可； 【详解】（1）解：，0是有理数，不属于这两个圈的任何区域； ，是负实数；既是负实数又是无理数；，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0）是无理数； 作图略 （2）解：两个圈的重叠部分表示负无理数的集合； （3）解：所有圈以外的实数有2026（答案不唯一）． 题型4.实数的性质 1．2的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：2的相反数是． 2．如果数轴上点到原点的距离是，则点表示的实数是________． 【答案】 【分析】数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：设点表示的实数是， ∵点到原点的距离是， ∴， ∴，即表示点的实数是． 3．判断下列说法是否正确： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数； (3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数． 【答案】(1)正确； (2)错误 ； (3)正确 【分析】本题主要考查了实数的性质，对于每个说法，要依据无理数、分数的定义和性质，通过举例或推理来判断． （1）设无理数为a，（a不等于0），根据平方的性质，即可判断． （2）举例说明即可． （3）举例说明即可． 【详解】（1）解：无理数是无限不循环小数，不为0，设无理数为a，（a不等于0），根据平方的性质，，所以无理数的平方一定是正数，该说法正确． （2）解：例如，是无理数，但它们的积2是有理数，所以 “两个无理数的积仍为无理数” 说法错误． （3）解：分数是有理数，有理数包括整数和分数，分数可以通过分子除以分母化为有限小数（如）或无限循环小数（如），所以该说法正确． 题型5.实数与数轴 1．和数轴上的点一一对应的是（     ） A．有理数 B．分数 C．整数 D．实数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点与实数一一对应即可得答案. 【详解】解：根据数轴上的点与实数一一对应，即可得D正确. 2．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______________． 【答案】/ 【分析】首先计算出圆的周长，再根据数轴点的表示数的方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆的直径为1个单位长度，向左滚动1周，运动的距离为个单位长度， 根据题意，得圆上的点A 与数轴上表示1的点重合， 故点A到达点的位置时，点表示的数是． 3．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动3个单位长度 ∴； （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 题型6.实数的大小比较 1．下列各数中，最小的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先排除非负数，再比较负数的绝对值大小确定最小值即可． 【详解】解：∵负数小于0， ∴ 排除B选项， ∵，，，， ∴ ，即最小值为． 2．比较大小：_____．（填或或） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即． 3．比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型7.无理数的大小估算 1．下面四个数中，最接近整数5的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整数5转化为，先通过被开方数与25的差初步筛选选项，再精确比较剩余两数与5的差的大小． 【详解】解：∵， ∵，，，． ∴排除A，B选项． ∵． ∴，即． ∵． ∴，即． ∴更接近整数5． 2．若，则所有满足条件的整数之和为________． 【答案】 【分析】先估算、的范围，求出不等式范围内的所有整数，再求和即可． 【详解】解：， ， ． ， ． ， 满足条件的整数为：． 则． 3．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 题型8.无理数整数部分的有关计算 1．实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 2．若，则的最大整数解为__________． 【答案】 【分析】先估算的大小范围，再根据找出最大整数即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴的最大整数解为． 3．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 题型9.求一个数的近似数 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的近似数，根据四舍五入法，对按照不同精度取近似值，逐项分析判断是否正确即可． 【详解】解：A、对精确到取近似值为，故此选项错误，符合题意； B、对精确到百分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； C、对精确到十分位取近似值为，故此选项正确，不符合题意； D、对精确到取近似值为，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【答案】 【分析】根据四舍五入法，向十位进1，十位数字4加1变为5，个位及后续数字舍去，得到近似数即可． 【详解】解∶精确到得到的近似数为． 3．某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 题型10.求近似数的精确度 1．下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，根据精确度定义逐一判断选项即可，带计数单位的近似数需要还原后判断精确度． 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 2．田畴吐绿，气象万千，2025年上半年，甘肃省第一产业增加值达到410.05亿元，同比增长，延续了稳健增长态势410.05亿这个数精确到________． 【答案】百万位 【分析】此题考查精确度，正确掌握相关知识点是解题关键． 数字410.05亿是以亿为单位的数，小数部分0.05亿对应绝对数值的百万位，因此精确到百万位． 【详解】解：∵ 1亿 ， ∴0.01亿 百万． ∴ 0.05亿 百万． 故410.05亿精确到百万位． 故答案为：百万位． 3．用四舍五入法，按括号中的要求，对下列各数取近似数： (1)（精确到千分位）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)130542（精确到千位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看后一位的数字与5的大小比较，利用四舍五入法解答．熟练掌握四舍五入法是解题关键． （1）根据万分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （2）根据十分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （3）根据千分位的数字，利用四舍五入法解答即可． （4）根据百位的数字，利用四舍五入法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到千分位）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到）； （4）解：（精确到千位）． 题型11.近似数推断取值范围 1．下列说法正确的是（     ） A．1.8945精确到0.001 B．0.520精确到百分位 C．3.72精确到百分位 D．5000精确到千位 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度，分别进行判断即可． 【详解】解：A、精确到，故选项错误，不符合题意； B、精确到千分位，故选项错误，不符合题意； C、精确到百分位，故选项正确，符合题意； D、精确到个位，故选项错误，不符合题意． 2．2025年某省大约有万名学生参加中考，有理数万精确到_______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：有理数万精确到百位． 故答案为：百． 3．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)360； (2)； (3)9.03万； (4)． 【答案】(1)360精确到个位 (2)20.010精确到千分位 (3)9.03万精确到百位 (4)精确到千位 【分析】本题主要考查了求一个数的精确度，求一个近似数的精确度，就是看这个数的最后一位数字在什么数位上即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：360精确到个位． （2）解：精确到千分位． （3）解：万，3所在的数位是百位，故万精确到百位． （4）解：，2所在的位数是千位，故精确到千位． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列各数，，，（两个6之间依次增加一个“2”），，，，中，无理数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先化简各数中的开方运算，再根据无理数的定义判断计数． 【详解】解：，，，，，，，均为有理数． 无理数有（两个6之间依次增加一个2），，，共3个． 2．下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 3．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根的定义及绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出y的值是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图，依次进行算术平方根和立方根的计算，并判断结果是否为无理数，若为有理数则循环计算，直到结果为无理数输出． 【详解】解：输入，取算术平方根得， 是有理数， 取立方根得， 是有理数， 将作为新输入值，取算术平方根得， 是无理数， 输出． 二、填空题 5．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】通过估算两个数的取值范围即可比较大小． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 6．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算的范围，确定其整数部分和小数部分，再代入进行计算． 【详解】解：因为，即， 因为a是的整数部分，b是的小数部分， 所以，． 则． 故答案为：． 三、解答题 7．把下列各数分别填入相应的集合中（只填对应序号）： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间的0逐次加1）；⑨；⑩ （1）整数集合：｛__________________________…｝； （2）分数集合：｛__________________________…｝； （3）无理数集合：｛__________________________…｝． 【答案】（1）整数集合：①③⑦；（2）分数集合：⑤⑥⑨；（3）无理数集合：②④⑧⑩ 【分析】根据整数、分数与无理数的定义逐一判断：整数包括正整数、、负整数；有限小数与无限循环小数都能化成分数，属于分数；无限不循环小数是无理数． 【详解】解：①是整数； ②是开方开不尽的数，是无理数； ③是整数； ④是无理数； ⑤是分数； ⑥是有限小数，能化成分数，属于分数； ⑦是整数； ⑧（相邻两个之间的逐次加）是无限不循环小数，是无理数； ⑨是无限循环小数，能化成分数，属于分数； ⑩是无理数， ∴（1）整数集合：①③⑦； （2）分数集合：⑤⑥⑨； （3）无理数集合：②④⑧⑩． 8．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 9．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法可得，据此可得的整数部分是5，则可推出，的整数部分是1，由此可得答案； （2）求出，再仿照题意可证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是5，的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $