精品解析：江西省抚州市东乡区实验中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

东乡实验中学2026年秋季10月考试题 高一数学 考试时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，，若且，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. B. C. D. 3. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ） A. 3或－1 B. 3 C. －1 D. －3或1 8. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，为函数图象上的两点，则． D. 若方程有两个根，，且，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为2 B. 当时， C. 若，且，则 D. 当时， 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “，”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “”的充要条件是“” 11. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 命题“，”的否定为：______. 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，. （1）求； （2）求. 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 17. 阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； （1）松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； （2）南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； （3）在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 18. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于、两点，其中点的坐标为，点在轴上. （1）求的值及二次函数的关系式； （2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东乡实验中学2026年秋季10月考试题 高一数学 考试时间：120分钟　满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，，若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 2. 下列五个写法，其中错误写法的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错， 对于②，是任意集合的子集，②对. 对于③，集合是它本身的子集，③对. 对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错. 对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错. 所以错误的写法有①④⑤，共3个. 故选：C. 3. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 4. 若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 于是，解得. 所以实数的取值范围是. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 7. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ） A. 3或－1 B. 3 C. －1 D. －3或1 【答案】B 【解析】 【详解】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以 ， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以 . 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 8. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，为函数图象上的两点，则． D. 若方程有两个根，，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为可得到顶点式为，两式对比可得.再由抛物线开口向下，所以，消去可以判断AB选项；根据二次函数的单调性可判断C选项；考虑函数，其函数图像为原图象向下平移1个单位，再结合函数零点的关系，即可得到. 【详解】抛物线的顶点坐标为， 故可设抛物线顶点式为， 对比，可得. 又因为抛物线开口向下，所以. 对于A，,故A错误. 对于B，，故B错误. 对于C，因为，且函数在单调减，所以，故C错误. 对于D，原抛物线方程为，该方程零点为， ，其零点为，，其图象为向下平移一个单位，由图可知，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小值为2 B. 当时， C. 若，且，则 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取“”，故A正确； 对于B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，.故D错误. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “，”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的既不充分也不必要条件 D. “”的充要条件是“” 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，都不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故D错误； 11. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B，由解集得到，，从而化为，求出解集； C选项，先确定，进而求出或时，，进而可求解；D选项，先求出，从而根据不等式有解得到，求出答案， 【详解】因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 命题“，”的否定为：______. 【答案】，使得 【解析】 【分析】根据特称命题的否定格式改写即可. 【详解】特称命题的否定改写格式为：特称量词改为全程量词，结论改为原来结论的反面. 故答案为:，使得 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】利用参变分离，根据结合基本不等式求得结果. 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）利用集合的运算，即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，则或， 又由（1）知，则. 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 17. 阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； （1）松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； （2）南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； （3）在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （2）先提“2” ，再用十字相乘的方法即可求解； （3）用十字相乘的方法即可求解； 【小问1详解】 二次三项式中的常数项10分成两个整数的积，且这两个整数的和等于7才可以， 即， ，则口算就可以得到，或，， 然后在将与的值代入式子中即可得到， 故答案为：. 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 . 【点睛】关键点点睛：此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 18. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于、两点，其中点的坐标为，点在轴上. （1）求的值及二次函数的关系式； （2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）， （3）存在，此时 【解析】 【分析】（1）设二次函数的顶点式方程为，将点坐标代入直线方程与二次函数的顶点式方程为，解出，； （2）由图可知：，及自变量范围，化简即可； （3）根据平行四边形法则，可知，，证明，并根据求出相应的点坐标. 【小问1详解】 由题可知：是直线与二次函数的交点， 故直线经过点，，即. 二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式方程为，. 又二次函数经过点， ，即， 二次函数的关系式为，即. 【小问2详解】 ,且点在轴上，自变量， 由图可知：， 即，. 【小问3详解】 存在， 将代入得：，， 又，， 若四边形是平行四边形，则，且， 又轴，线为二次函数的对称轴， 又，解得：或， 又时，点与点重合，故舍去. 即，将代入得， 即. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $