精品解析：江西九江市同文中学2026-2027学年高一上学期阶段（一）考试数学试题

高一数学阶段一考试试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 2. 已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D. 【详解】由题意得，集合．所以，B错误； 由于空集是任何集合的子集，所以A正确； 因为，所以C、D中说法正确． 故选：B． 3. “所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是（ ） A. 所有可以被5整除的整数，末位数字都不是5 B. 所有不可以被5整除的整数，末位数字不都是5 C. 存在可以被5整除的整数，末位数字不是5 D. 存在不可以被5整除的整数，末位数字是5 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题即可求解. 【详解】“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是: 存在可以被5整除的整数，末位数字不是5. 故选：C. 4. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解. 【详解】由， 可得， 所以， 所以的子集个数为， 故选：B 5. 如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ） A. Ⅰ B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的运算分析判断. 【详解】因为表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ， 所以表示与集合A的公共部分，即为Ⅱ. 故选：B. 6. 已知、、，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，取，，满足，此时，，A错误; 对于B，因为，所以，所以，B正确; 对于C，取，则，C错误; 对于D，取，则，D错误; 7. 设全集，若，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，结合，即得. 【详解】因为全集，由， 得，又， 所以． 故选：D． 8. 某公司举行10周年纪念活动，决定给每个员工发放纪念品，并找设计师设计了甲、乙、丙三款纪念品．为了了解员工更喜欢哪一款纪念品，随机抽取了60名员工对这三款纪念品进行投票，每人至少选择一款自己喜欢的纪念品投票（如果有多款喜欢的纪念品，可以选择多款纪念品投票）．具体投票情况如下表： 纪念品 给该款纪念品投票的人数 甲 31 乙 30 丙 33 甲与乙 11 乙与丙 17 甲与丙 15 那么给三款纪念品都投票了的人数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合知识容斥原理进行求解 【详解】设给甲投票的员工为集合，给乙投票的员工为集合，给丙投票的员工为集合，因为每个人都有投票，所以三个集合的容斥原理为： 所以给三款纪念品都投票了的人数为． 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知集合，，则的真子集个数可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 15 【答案】BC 【解析】 【分析】分类讨论得集合，再根据真子集个数的公式计算得到答案. 【详解】当且时，，则，真子集的个数为； 当时，，则，真子集的个数为； 当时，，此时，真子集的个数为. 综上，的真子集个数可能为3或7. 故选：BC. 10. 已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得， 故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确. 故选：AD. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件； B. 已知是的充分不必要条件，则实数m的取值范围为； C. 若，，则； D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A；根据集合的包含关系判断B；利用作差法判断CD. 【详解】根据不等式的性质，可知是的充要条件，故A错误； 由是的充分不必要条件，可知是的真子集，所以，故B正确； 因为，，所以，即，故C正确； 因为，所以， 即，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解 【详解】全集，集合，则． 一题多解 如图，在数轴上表示集合U，A，易知． 故答案为： 13. 已知集合，集合，则“”的充要条件是“实数___________． 【答案】-2. 【解析】 【分析】由进行分类讨论，求出的值 【详解】∵， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴． 又, ∴或， 解得或， 又， ∴． 【点睛】本题结合充要条件考查了子集的知识，根据子集的定义进行分类讨论，较为基础 14. 已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】假设原命题为真命题，由能成立的思想可求得的取值范围，在实数范围内取补集即可得到所求范围. 【详解】若原命题为真命题，则，使得成立，则； 若原命题为假命题，则实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，总共77分） 15. 设集合， （1）若时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算求解即可； （2）根据集合是否为空集，进行分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 或 所以或 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，则有， 即，满足题意； 当时，则有，即， 由可得：， 解得：. 综上所述，的范围为或 16. （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，求和的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）通过对差的正负性判断来确定两个式子的大小关系; （2）根据不等式的基本性质进行计算. 【详解】（1）作差得：， 即：， ，又恒成立， （2）， 又 综上， 17. 实数、满足，. （1）求实数、的取值范围； （2）求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质求解，即可得出答案； （2）利用待定系数法用与将表示出来，然后利用不等式的性质求解即可. 【小问1详解】 由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 18. 已知命题p：，，命题q：，． （1）若命题p为真命题，求a的取值范围； （2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围． 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据命题为真结合二次函数性质，列不等式，求得答案； （2）结合（1），再求出命题q为真时a的范围，根据命题p和命题q至少有一个为真命题，分类求解，可得答案. 【小问1详解】 由题意命题p： ，，当时，，不合题意； 当时，命题p为真命题，则需满足，即； 【小问2详解】 由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为； 命题q：，为真时，则， 当命题p真而命题q假时，且，故； 当命题p假而命题q真时，且，故； 当命题p和命题q都真时，且，则， 故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为或. 19. 由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么. （1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或或；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意设集合，然后分类讨论与的大小，根据集合的性质解出，即可得解； （2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，根据集合中元素的性质可知，，，进一步可知，，不妨设集合且，再根据集合中元素的性质可求得结果. 【详解】（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合， 当时，由集合A的性质可知，，则或， 解得(舍)或，所以集合 当时，由集合A的性质可知，，则或， 解得或(舍)或所以集合或 综上所述：或或. （2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即， 当时，则无意义，当时，则无意义， 所以，，并且，，即， 不妨设集合且， 当时，由题意可知，， 若，即，解得或(舍)，此时集合； 若，则不成立； 若，即(舍)， 当时，由题意可知，， 若，则（舍）， 若，则（舍）， 若，则不成立， 综上所述，集合A是存在的，. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学阶段一考试试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是（ ） A. 所有可以被5整除的整数，末位数字都不是5 B. 所有不可以被5整除的整数，末位数字不都是5 C. 存在可以被5整除的整数，末位数字不是5 D. 存在不可以被5整除的整数，末位数字是5 4. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ） A. Ⅰ B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ 6. 已知、、，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 设全集，若，，则集合（ ） A. B. C. D. 8. 某公司举行10周年纪念活动，决定给每个员工发放纪念品，并找设计师设计了甲、乙、丙三款纪念品．为了了解员工更喜欢哪一款纪念品，随机抽取了60名员工对这三款纪念品进行投票，每人至少选择一款自己喜欢的纪念品投票（如果有多款喜欢的纪念品，可以选择多款纪念品投票）．具体投票情况如下表： 纪念品 给该款纪念品投票的人数 甲 31 乙 30 丙 33 甲与乙 11 乙与丙 17 甲与丙 15 那么给三款纪念品都投票了的人数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知集合，，则的真子集个数可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 15 10. 已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件； B. 已知是的充分不必要条件，则实数m的取值范围为； C. 若，，则； D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设全集，集合，则______． 13. 已知集合，集合，则“”的充要条件是“实数___________． 14. 已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，总共77分） 15. 设集合， （1）若时，求； （2）若，求的取值范围. 16. （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，求和的取值范围． 17. 实数、满足，. （1）求实数、的取值范围； （2）求的取值范围． 18. 已知命题p：，，命题q：，． （1）若命题p为真命题，求a的取值范围； （2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围． 19. 由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么. （1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $