精品解析：河南省实验中学2026-2027学年上学期第二次月考高二数学试卷

河南省实验中学2025-2026学年上期第二次月考 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行得到直线方向向量与平面法向量垂直，由向量数量积为0建立方程，解得的值. 【详解】若，则，则， 即， ∴. 故选：A. 2. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知  ，故直线的方程可化为  ， 由  ，  可得  ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 4. 已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ） A. 2， B. －2， C. －2， D. 2， 【答案】A 【解析】 【分析】点与关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线上，列式求解即可. 【详解】易知，则直线的斜率为-2， 所以，即．又AB的中点坐标为， 代入，得. 故选：A. 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 6. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可以求得所过定点，当时，最小，借助勾股定理可以求得. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径，，点在圆内， 当时，最小， 此时. 故选：D 7. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为. 故选：C 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或CB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、多选题 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】A选项，根据向量的加减法法则，，故A选项正确； B选项，建立空间直角坐标系，以为原点，分别以所在直线为轴， 则， ， 设异面直线与所成角为，根据向量点积公式，故B选项错误； C选项，由B选项中坐标可知，所以，故C选项正确； D选项，设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， ，根据点到平面的距离公式，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；利用垂直关系计算判断B；由两直线不相交求出判断C；求出直线所过定点，并求出它与点的距离判断D. 【详解】对于A，变形为， 令，解得，因此直线一定过定点，A正确； 对于B，若，则，解得，B正确； 对于C，当与不相交时，，解得或， 当时，直线与平行， 当时，直线与平行， 因此当时，或，C错误； 对于D，直线恒过点，点到直线的距离的最大值为间距离， 而，D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（ ） A. 弦长没有最小值 B. 有最大值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定A；连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定B错误；由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定C正确；设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定D正确. 【详解】对于A，由圆，可得圆心为，半径为 又由直线，可得，可得过定点，则点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线，弦取得最小值，但，但直线的斜率为k， 所以无法成立，弦长没有最小值，所以A正确； 对于B，因为是弦的中点，连接，可得， 设，可得，整理得， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 因为，可得点在圆外， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C，由， 要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 又由的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，所以C正确； 对于D，设，且， 可得，所以， 因为动点的轨迹方程为， 设，可得， 则直线与圆必有公共点， 可得，即，解得， 所以得最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 13. 已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先结合已知条件和圆与圆的位置关系求出与的关系式，从而得到为上一点，再利用的几何意义以及定点到圆上一点的最值求法即可求解. 【详解】由题意，：的方程可化为， 故是以圆心为，半径为2的圆； 因为圆和圆恰好有三条公切线，所以圆和圆相外切， 又因为圆：，所以圆的圆心为，半径为1， 从而，化简得，， 即为上一点， 不妨令 由两点间距离公式可知，可表示为上一点到的距离， 因为是以圆心为，半径为3的圆， 所以圆心到的距离为， 故的最大值为，最小值为， 从而， 因为， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，直线过定点，且点为曲线的对称中心，解得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（及内部），求解即可. 【详解】由可知，直线过定点，由知定点为曲线的对称中心，即为的中点，如图， 所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（及内部），所以. 故答案为：. 四、解答题-问答题 15. 已知圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用几何法作出圆心，结合方程组求解圆心坐标和半径，从而可得圆的标准方程； （2）利用分斜率是否存在来表示直线，结合圆心到直线的距离等于半径来求切线方程. 【小问1详解】 由点，，可得中点和斜率， 则的中垂线方程为：， 由圆心既在的中垂线上，又在直线上， 联立可得：，解得：， 所以圆心坐标，半径， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 过点垂直于轴的直线为，圆心到直线的距离，故直线为圆的一条切线， 再设过点斜率存在的切线方程为， 由直线与圆相切，可得：， 解得：，则此时切线方程为， 综上，与圆C相切的直线方程为或. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取中点，连接，因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，，， 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 如图， 于是，则， 设平面的一个法向量为 于是，即， 令，则，所以则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 中，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，将中点坐标代入直线方程，将点代入直线方程，联立即可得到结果； （2）根据题意，列出方程，求得点关于直线的对称点的坐标，再由，即可得到结果. 【小问1详解】 设，则的中点在直线上． ，， 即， 又点在直线上，则， 由可得，，即点的坐标为 【小问2详解】 设点关于直线的对称点的坐标为， 则点在直线上． 由题知，得， ， 直线的方程为，即 18. 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 【答案】（1） 因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 因为， 所以，所以， 又因为平面， 所以∥平面； （2）； （3）存在点，此时，理由如下： 解：假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； （3）假设存在，列出方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 略 19. 已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. 【小问2详解】 圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. 【小问3详解】 因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则， 当时，取得最小值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年上期第二次月考 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ） A. 2， B. －2， C. －2， D. 2， 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 10. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（ ） A. 弦长没有最小值 B. 有最大值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题 12. 已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 13. 已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________. 14. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为______. 四、解答题-问答题 15. 已知圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且与圆C相切的直线方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 中，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程． 18. 如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 19. 已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $