精品解析：福建厦门市集美区上塘中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次学情自测

上塘中学2025－2026学年（上）第二次水平测试 八年级数学 （满分：150分 练习时间：110分钟） 一、单选题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列字母中，是轴对称图形的是（ ） A. H B. S C. Q D. Z 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A. 3，4，8 B. 11，6，5 C. 3，4，6 D. 5，8，15 3. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，如果，那么的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 7. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（ ） A. B. 9 C. 7 D. 5 二、填空题（本大题有6小题，第9题每空2分，10－14每小题4分，共28分） 9. 计算： （1）___________； （2） ___________； （3） ___________； （4） ___________． 10. 在中，，，则________． 11. 如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为_____． 12. 已知点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_________． 13. 如图，点A在第一象限，，点为x轴正半轴上一动点，，若为钝角三角形，则b的取值范围为________． 14. 在平面直角坐标系中，点，其中．点在第一象限，且．若m，n满足，则的面积为________．（用含m的式子表示） 三、解答题（本大题有9小题，共90分） 15. 计算与因式分解： （1）； （2）． （3）因式分解： （4）因式分解： 16. 如图，点B，C在上，，，．求证：∥． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知的三个顶点在格点上． （1）作出与关于轴对称的图形，写出 ， ，的坐标； （2）直接写出点关于轴对称 的坐标； （3）在轴上找一点，使得周长最小．请在图中标出点的位置． 19. 如图，有一块长米，宽米的长方形广场，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形． （1）计算广场上需要硬化部分的面积； （2）若，求硬化部分的面积． 20. 如图，是的中线，，点C关于直线的对称点为E． （1）请在图中作出点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：． 21. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： （1）计算：， ； （2）计算：； （3）计算： 22. 问题情境：小沧学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）之后，对“两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等”的情形进行探究． （1）实验探究 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 全等．（填写“一定”或“不一定”） （2）猜想验证 经过探究发现：两边及其中一边所对的角是直角且分别相等时，两个三角形显然全等．于是小沧提出以下两个猜想： ①如果两边及其中一边所对的角是锐角且分别相等，那么这两个三角形全等； ②如果两边及其中一边所对的角是钝角且分别相等，那么这两个三角形全等； 请从以上猜想中选出一个你认为正确的结论，并证明．（要求：根据题意画出图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程） （3）拓展探究 通过上述猜想验证，小沧发现在一定条件下，两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等，可判定两个三角形全等．请你和小沧继续完成以下探究： 如图，，点C在射线上，．当α为锐角时，若形状、大小唯一确定，请写出相应的b值需满足的条件．（请结合图形用文字或符号语言进行说明） 23. 已知是等边三角形，点D是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． （1）如图1，平分，连接， ．求证：； （2）如图2，若，点G是延长线上一点，连接交于点E． ①求的度数； ②若点E为的中点，，探究线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上塘中学2025－2026学年（上）第二次水平测试 八年级数学 （满分：150分 练习时间：110分钟） 一、单选题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列字母中，是轴对称图形的是（ ） A. H B. S C. Q D. Z 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握识别轴对称图形的方法是解题的关键． 轴对称图形是指图形沿一条直线对折后两部分能完全重合，根据定义逐个判断即可求解． 【详解】解： A、字母H有垂直对称轴，沿垂直中线对折后左右两部分能完全重合，故H是轴对称图形，选项A符合题目要求， B、字母S无对称轴，对折后不能完全重合，故S不是轴对称图形，选项B不符合题目要求， C、字母Q无对称轴，对折后不能完全重合，故Q不是轴对称图形，选项C不符合题目要求， D、字母Z无对称轴，对折后不能完全重合，故Z不是轴对称图形，选项D不符合题目要求． 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A. 3，4，8 B. 11，6，5 C. 3，4，6 D. 5，8，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 根据构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 3. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，理解分式的分母中必须含有字母（变量）是解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：分式是分母中含有字母的代数式， A． 可视为分母为1，无字母，不是分式，不符合题意； B．分母为3，无字母，不是分式，不符合题意； C．分母为，有字母x，是分式，符合题意； D． 分母为2，无字母，不是分式，不符合题意． 故选C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方的运算法则，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键． 分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、是加法运算，结果不能合并为，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，符合幂的乘方规则，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意． 故选C． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意； B. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意． C.，该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意； D. 该等式左边和右边不相等，故本项不合题意； 故选：B． 6. 如图，，如果，那么的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 直接运用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 7. 在分式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是解题的关键． 分式的分母不能为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故的取值范围是． 故选：C． 8. 已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（ ） A. B. 9 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为,面积为， 由图2可得，大长方形的长为,宽为,因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, . 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，第9题每空2分，10－14每小题4分，共28分） 9. 计算： （1）___________； （2） ___________； （3） ___________； （4） ___________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】（1）由同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）由积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方底数不变，指数相乘计算即可； （3）由单项式除以单项式运算法则计算即可； （4）由平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10. 在中，，，则________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的三个内角之和等于，已知两个角，可求第三个角． 【详解】在中，， 因为，， 所以． 故答案为：100． 11. 如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线上点到角两边的距离相等是关键． 根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，且，即， ∴， 故答案为：4 ． 12. 已知点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．据此作答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点为， 那么点Q的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，点A在第一象限，，点为x轴正半轴上一动点，，若为钝角三角形，则b的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，直角三角形的性质．过点A分别作x轴及的垂线，据此进行计算即可． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，作的垂线，交x轴于点N， 在中，，，则， ∴， 在中，， ∴， ∵为钝角三角形，且点在x轴的正半轴上， ∴或． 故答案为：或． 14. 在平面直角坐标系中，点，其中．点在第一象限，且．若m，n满足，则的面积为________．（用含m的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，勾股定理． 连接，过点D作垂直于x轴于点E．根据，将n用m表示出来，在中利用勾股定理将t用m和n表示出来并将n与m的数量关系代入，从而将t用m表示出来，再根据三角形面积公式用含m的代数式将的面积表示出来即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作垂直于x轴于点E． ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共90分） 15. 计算与因式分解： （1）； （2）． （3）因式分解： （4）因式分解： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 16. 如图，点B，C在上，，，．求证：∥． 【答案】 证明：∵∥, ∴， ∵，． 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴∥． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．因为两直线平行内错角相等，由∥得出，再通过证明，从而有，再由平行线的判定得出∥． 【详解】略 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键，先算括号，然后算除法，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 18. 如图，已知的三个顶点在格点上． （1）作出与关于轴对称的图形，写出 ， ，的坐标； （2）直接写出点关于轴对称 的坐标； （3）在轴上找一点，使得周长最小．请在图中标出点的位置． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ， ， （2） （3） 如图所示：连接，与轴的交点即为所求点． 【解析】 【分析】本题考查了在画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案； （3）连接，与轴的交点即为所求点． 【小问1详解】 解：， ，的坐标分别为：， ， 【小问2详解】 解：如图所示： ； 【小问3详解】 解：∵, ∴当、、三点共线时，周长最小． 19. 如图，有一块长米，宽米的长方形广场，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为b米的正方形． （1）计算广场上需要硬化部分的面积； （2）若，求硬化部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用． （1）由题意可知空白部分的面积等于长方形的面积减去阴影部分的面积即可求解； （2）将代入（1）题中的代数式求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：广场上需要硬化部分的面积是： 答：广场上需要硬化部分的面积是． 【小问2详解】 解：把代入得： ． 答：广场上需要硬化部分的面积是． 20. 如图，是的中线，，点C关于直线的对称点为E． （1）请在图中作出点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：． 【答案】（1） 点E即为所求： ； （2） 证明：∵是的中线， ∴， ∵C，E关于对称， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据要求作出图形即可； （2）证明是等边三角形可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： （1）计算：， ； （2）计算：； （3）计算： 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 22. 问题情境：小沧学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）之后，对“两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等”的情形进行探究． （1）实验探究 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 全等．（填写“一定”或“不一定”） （2）猜想验证 经过探究发现：两边及其中一边所对的角是直角且分别相等时，两个三角形显然全等．于是小沧提出以下两个猜想： ①如果两边及其中一边所对的角是锐角且分别相等，那么这两个三角形全等； ②如果两边及其中一边所对的角是钝角且分别相等，那么这两个三角形全等； 请从以上猜想中选出一个你认为正确的结论，并证明．（要求：根据题意画出图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程） （3）拓展探究 通过上述猜想验证，小沧发现在一定条件下，两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等，可判定两个三角形全等．请你和小沧继续完成以下探究： 如图，，点C在射线上，．当α为锐角时，若形状、大小唯一确定，请写出相应的b值需满足的条件．（请结合图形用文字或符号语言进行说明） 【答案】（1）不一定 （2）解：结论①错误； 由（1）得：如果两边及其中一边所对的角是锐角且分别相等，这两个三角形不一定全等； 结论②正确： 已知：如图，在和中，，其中均为钝角，且， 求证：； 证明：如图，分别过点C，F作，垂足分别为点G，H， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）b的大小等于点A到的距离或 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）可得结论①错误；结论②：在和中，，其中均为钝角，且，分别过点C，F作，垂足分别为点G，H，先证明，可证明，从而得到，即可解答； （3）分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则无法得到和全等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当且不与垂直时，由（1）得：形状、大小不是唯一确定的； 当时，如图， 由（1）得：形状、大唯一确定，此时b的大小等于点A到的距离； 当时，如图， 射线上存在一个满足条件的点C（不与点B重合），形状、大小唯一确定，此时； 综上所述，当α为锐角时，若形状、大小唯一确定，b值需满足的条件为b的大小等于点A到的距离或． 23. 已知是等边三角形，点D是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． （1）如图1，平分，连接， ．求证：； （2）如图2，若，点G是延长线上一点，连接交于点E． ①求的度数； ②若点E为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形，平分， ∴，是的中线，且， 即垂直平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得垂直平分，可证明，即可求证； （2）①在上取点F，使，连接，证明，可得到为等边三角形，即可解答； ②在上取点F，使，连接，在上取点H，使，连接，证明，可得，，从而得到，再结合，为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，可得到，从而得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，在上取点F，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②如图，在上取点F，使，连接，在上取点H，使，连接， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由①得：，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $