精品解析：福建莆田市城厢区霞林学校2026-2027学年上学期第一阶段成果展示八年级数学

莆田市城厢区霞林学校2026-2027学年上学期第一阶段成果展示 八年级数学 (满分150分 完卷时间120分钟) 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的内角和等于180° D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 2. 已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，证明两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】①2+2＝4，不符合三角形任意两边之和大于第三边，故不可构成三角形； ②3+4＞5，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形； ③3+3＜7，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形； ④6+6＞10，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形． 故其中可构成三角形的有②④，共2个． 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形三边关系，在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边． 3. 如图，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么可以直接判定△ADC≌△ABC的定理是（ ） A. AAS B. SAS C. SSS D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】先证明再利用HL证明两个三角形全等即可． 【详解】解：∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B， 在直角△CDA与直角△CBA中， ∴（HL） 故选：D． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，熟练的利用HL证明两个直角三角形全等是解本题的关键． 4. 已知，图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由图中的两个三角形全等，，，， ∴． 5. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角．已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等．根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； C、，，，符合，和不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意； D、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角板有关的角度运算，由图可得，，再代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，， ∴， 故选：． 7. 如图，是的角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得的大小，再由三角形外角定理可得的大小． 【详解】解： 平分， ， ． 8. 下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能确定是直角三角形的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理依次计算并判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴，得， ∴是直角三角形； ②设 ∴，得， ∴， ∴是直角三角形； ③∵， ∴，， ∴是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形； ⑤设，则， ∴，得， ∴ ∴是直角三角形； 其中能确定是直角三角形的有①②③⑤共4个， 故选：C． 9. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 10. 如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若三角形的三边长分别是2，4，x，写出x的取值范围_________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据三角形三边关系可知， 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 故， 即． 12. 如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 13. 如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 14. 在中，已知，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：在中，， ， 又， ． 15. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 16. 如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【解析】 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图、演算步骤． 17. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据可证得，再利用证得进而可求证结论，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】根据题意证明三角形全等即可． 【详解】略． 19. 奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆AB的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子CD（）在BP的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆AB的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先由垂直条件得到直角相等，再通过角度计算得出一组角相等，结合已知的边相等，证明两个三角形全等，最后利用全等三角形的对应边相等，计算出电线杆AB的高度． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 故电线杆AB的高度是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等判定定理及全等三角形对应边相等是解题的关键． 20. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 21. 如图，在中，于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 22. 按要求解答下列问题： 【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若，，求的度数． 思路一：延长交于点，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． （1）请选择其中的一种思路求的度数． 【应用拓展】 （2）如图2，若，则________； （3）如图3，若，则________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）任选一种进行即可； （2）由三角形内角和定理及对顶角相等可知，而由（1）知，所以，则题目可求； （3）由四边形内角和及对顶角相等可知，，再由（1）的结论则题目可解． 【小问1详解】 解：思路一：由三角形外角性质可得： ； 思路二： ； 思路三： ； 【小问2详解】 解：如图，设和交点为点， ， 由（1）知， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设和交点为点， ， 由（1）得． 23. 如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． （1）请你用尺规作一个满足条件的三角形． （2）你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点O为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则即为所求； （2）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点C为圆心，为半径画弧交于点E，连接，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； （2）如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； （3）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 【答案】（1）是，是 （2）的度数为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和为分别求解出与中每个角度，判断是否存在“某个内角的度数是另一个内角度数的3倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到，再由平角的性质可得，根据三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为，再由三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”， 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 综上，的度数为或； 【小问3详解】 解：如果一个“梦想三角形”有一个角为， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为， 则有， 当时，解得， 此时，故最小内角的度数为； 当时，解得，不满足题意； 当时，则有，解得， 此时，故最小内角的度数为； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或． 25. 综合探究 【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】（1） （2）仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市城厢区霞林学校2026-2027学年上学期第一阶段成果展示 八年级数学 (满分150分 完卷时间120分钟) 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的内角和等于180° D. 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，那么可以直接判定△ADC≌△ABC的定理是（ ） A. AAS B. SAS C. SSS D. HL 4. 已知，图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在下列条件中，不能判定的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能确定是直角三角形的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若三角形的三边长分别是2，4，x，写出x的取值范围_________________． 12. 如图，是的外角，若，，则_______ 13. 如图，点，在上，且．若，，则的长为__________． 14. 在中，已知，，则________． 15. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 16. 如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图、演算步骤． 17. 如图，，，求证：． 18. 如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点．求证：． 19. 奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆AB的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子CD（）在BP的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆AB的高度． 20. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 21. 如图，在中，于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 22. 按要求解答下列问题： 【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若，，求的度数． 思路一：延长交于点，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． （1）请选择其中的一种思路求的度数． 【应用拓展】 （2）如图2，若，则________； （3）如图3，若，则________． 23. 如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． （1）请你用尺规作一个满足条件的三角形． （2）你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 24. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； （2）如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； （3）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 25. 综合探究 【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $