第2章反比例函数期中复习讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

九年级反比例函数期中复习讲义 苏科版九年级上册第2章反比例函数学生版 班级 姓名 本讲义围绕反比例函数的表达式、图象与性质，说明各项结论的适用条件，并用例题讲清坐 标、面积、交点与实际问题之间的联系。先读知识详解，再完成选择、填空和解答题，共60 题。 除题目另有说明外，O表示平面直角坐标系的原点；图形为示意图，长度与位置关系以题目条 件为准。 一知识详解 1反比例函数的定义和三种表示 一般地，形如y=上的函数叫作反比例函数，其中k是不等于0的常数，X是自变量，y是函 数值。这里必须同时有k≠0和x≠0。前者保证研究的是反比例函数，后者保证分式有意义； 二者不是同一个条件。 同一个反比例关系的三种表示 表示形式 保持不变的条件 阅读重点 k≠0，x≠0 分式形式便于代入求值 X y=kx1 k≠0，X≠0 ×的指数必须恰好是-1 xy=k k≠0 图上每一点的横、纵坐标乘积相同 反比例函数还可以写成y=x1或y=k,其中k≠0。这三种表示强调的内容不同：分式形式 便于代入求值，指数形式中的指数必须恰好是-1，乘积形式便于比较图象上两点、建立几何 与实际数量关系。 例：y是y=6×,y=6表示同一个反比例函数：y管是正比例函数y号不是反比例函 数。不能把“含有分式”“一个量变大另一个量变小”当作反比例函数的定义。 当k=0时，y=9在X≠0的范围内只是恒等于0，不是本章定义的反比例函数。由于k≠0， 反比例函数的函数值y也不可能为0。 第1页共64页 2反比例函数图象的象限分布与增减性 反比例函数y=k的图象由两条互不相连的曲线组成，称为双曲线。因为y=k,当k>0时， X X,y同号，图象分布在第一、第三象限；当k<0时，X,y异号，图象分布在第二、第四象限。 横、纵坐标都不能为0，所以图象不经过原点，也不与两条坐标轴相交。 反比例函数四种分支情形统一按x从小到大读 系数条件 横坐标范围 纵坐标符号 所在象限 在该象限内的增减性 k>0 x>0 y>0 第一象限 在该象限内，y随×的增大而 减小 第三象限 在该象限内，y随x的增大而 k>0 x<0 y<0 减小 k<0 y>0 第二象限 在该象限内，y随×的增大而 X<0 增大 在该象限内，y随x的增大而 k<0 x>0 y<0 第四象限 增大 k>0以y=为例 D 第一象限 从左向右看： x增大，y减小 先看y的十字坐标图。第一象限 3 E 内，点从D(1,6)移到E(3,2)、 F(6,1),横坐标越来越大，纵坐标越 6 6→X 来越小。第三象限内，点从 A A(-6,-1)移到B(-3,-2) ⊙ C(-1,-6),横坐标同样越来越大， 从左向右看： 纵坐标也越来越小。因此k>0时， x增大，y减小 在第一象限分支、第三象限分支上， 第三象限 都是y随×的增大而减小。 A(-6,-1)→B(-3,-2）→C(-1,-6) D(1,6)→E(3,2)→F(6,1) 具体例图y=6第一和第三象限各自从左向右下降 第2页共64页 k<0以y=-为例 第二象限 从左向右看： x增大，y增大 再看y=-6的十字坐标图。第二象 3 B 限内，点从A(-6,1)移到 B(-3,2、C(-1,6),横坐标越来越 古>X 大，纵坐标越来越大。第四象限内， O 点从D(1,-6)移到E(3,-2)、 3 F(6,-1),横坐标越来越大，纵坐标 从左向右看： x增大，y增大 也越来越大。因此k<0时，在第二 象限分支、第四象限分支上，都是y 第四象限 D 随x的增大而增大。 A(-6,1)→B(-3,2)→C(1,6) D(1,-6)→E(3,-2)→F(6,-1) 具体例图y=-6第二和第四象限各自从左向右上升 X 读图时，先让×按从小到大的顺序变化，也就是从左向右看同一条分支，再判断y向上还是向 下。不能在第一象限从左向右读，却在第三象限改成从右向左读。下面的具体点序与图上的箭 头一一对应；表中的结论适用于相应符号的所有非零k,不只适用于6和-6。 同一分支上的具体点序×始终从小到大 例中系 数 所在分支 x依次取值 对应y依次取值 y的变化 6 第一象限 1<3<6 6>2>1 减小 6 第三象限 -6<-3<-1 -1>-2>-6 减小 -6 第二象限 -6<-3<-1 1<2<6 增大 -6 第四象限 1<3<6 -6<-2<-1 增大 第3页共64页 “每一条分支上是不能省略的条件。例如在y=6上，A(-1,-6),B(1,6)分别位于第三、第一 象限。虽然-1<1，却有-6<6，不能由k>0就断定y4>yB。两点之间跨过了x=0,而0处 没有函数值；两条分支不能接成一条连续曲线使用增减性。 y=跨分支不能套递减 B(1,6) 6 =0没有函数值 X A(-1,-6) -1<1,但-6<6。 跨过0的两点不能直接套用同一分支上的增减性 同一分支的两点，可以用上述增减规律比较；不同分支的两点，先由象限判断函数值的正负。 例如前图中yA<0<yB,立即得到yA<yB,不需要把两条分支拼在一起。 3同一分支与不同分支的函数值比较 比较反比例函数的几个函数值，要先看各点位于哪一条分支。同一分支上，用已知的增减规 律；不同分支上，先看函数值的正负。负数一定小于正数，不需要跨过0硬套增减性。 第4页共64页 例：A(-3,y、B(-1,y,).C(2,y,)都在y=-6上。图中A、B同在第二象限，C在第四象 X 限。 图①同支从左向右比较 图②跨支先比较正负 y y B(-1,6) B(-1,6) A(-3,2) A(-3,2) →X 0 0 C(2,-3） y=-yc<0<yA<yB 先在同一分支比较A与B再用正负比较C与它们 对A、B,因为-3<-1，而第二象限分支上y随×增大而增大，所以y1<y2。对C和A、B, 先由象限得y3<0<y1,y2。合起来为y3<y1<y2。代入检查，对应值分别为2、6、-3，顺序一 致。 为什么同一分支有这样的规律？设X1<x2且二者同号，则X1X2>0,又有 yy-X分母为正，X0,所以k>0时差为负，k<0时差为正。这 里“二者同号”正是同一分支条件的代数依据。 若横坐标含参数而符号未定，应先确定它们所在分支，或比较差的符号。例如 k点=kba,只知道a<b还不够，还要看k与ab的符号。不能把不知道正负的式子乘到 a b ab 不等式两边后仍保持原不等号。 4列表描点怎样画出两条分支 画反比例函数图象通常经过列表、描点、连线三个步骤。列表时在正、负两侧都选取若干适合 计算的非零数；描点后用平滑曲线依次连接同一侧的点，不能用折线代替曲线，也不能把左右 两侧穿过原点连接起来。 y=6 的描点数据 -6 -3 2 2 6 -1 -2 -3 -6 6 3 2 第5页共64页 例：画y= ,可选x=-6,-3,-2,-1,1,23,6,对应y=-1,-2,-3,-6,63,2,1。正、负两侧分 X 别形成一条分支，两条分支合起来叫双曲线。靠近坐标轴处还应结合函数值变化判断走向，不 能只凭少数点随意收尾。 8组数据描点y= y 个 -6 .3 3 -3 分别连接左右两侧的数据点得到光滑而不穿轴的两条分支 因为0，y0,图象不与任何一条坐标轴相交。当闲越来越大时。小佟越来越小，但 仍不等于0；当非零的x越来越小时，|y越来越大。靠近坐标轴，不等于可以碰到或穿过坐 标轴。 描点图只显示部分点，图象并不在最后一个描出的点处结束。坐标轴、原点、主要刻度、点的 字母及相应曲线都应标清；只研究正半轴范围时，也应在题目或图中明确说明。 5识别含参数的反比例函数 判断含参数的式子是不是反比例函数，要先整理成可以比较的形式，再同时检查系数与自变量 的指数。参数虽然用字母表示，在一次讨论中仍视为常数，不把参数当成自变量。 例：若y=(m+1)x-2是反比例函数，则必须有m2-2=-1且m+1≠0。前式给m=1或 m=-1,后式排除m=-1,所以m=1。只解指数条件会多出不合定义的值。 系数条件与指数条件必须同时满足 检查内容 本例条件 所得结果 x的指数 m2-2=-1 m=1或m=-1 反比例系数 m+1≠0 m≠-1 共同满足 两条件同时成立 m=1 第6页共64页 再如y=2x+3-2+3 ，它不具有y长的形式。因此y不是×的反比例函数：但y-2与X 成反比例。若题目说“y+1与x成反比例”，应设y+1=k,不能直接设y=k X 化筒不能造失原式的取位限制。剑如y一二引只有在X01时才能化为子，即使衣达式简 x(x-1） 化了，原关系中x=1仍不能使用；做定义识别时应把原限制写清。 6乘积不变与成反比例的变化 若点A(X,y小、B(X,y,)都在同一个反比例函数y=《的图象上，则Xy,=Xy,=k。这是图象 上点的坐标特征，也是两组数据属于同一反比例关系的检验依据。 由X=,若为=入，其中入0，就有六。 自变量扩大到原来的3倍，函数值变为 原来的号不是减少3。也不是一定减少行 例：点A(2,6)、B(3,b)在同一反比例函数图象上，因2×6=3b,得b=4。若点C(a,-3)也 在图象上，则-3a=12,得a=-4。负坐标照样满足乘积关系，不可把乘积都改成正数。再取 点D(6,2),从A到D,横坐标扩大到3倍，纵坐标变为原来的号，乘积仍然是12。 同一图象上的点用同一个乘积核对 点 横坐标 纵坐标 乘积 2 6 12 8 3 12 -4 -3 12 6 2 12 对实际数量来说，“成反比例”还要求乘积保持同一个常数。例如固定路程中速度与时间的乘积 是路程；如果路程也发生变化，仅知道“速度越大时间越短”，仍不足以建立同一个反比例函 数。 7表达式的取值范围与图象上的点 纯数学问题中的y=长，若没有额外限制，自变量可取一切非零实数。题目若另给X>0. -4≤x≤-1等范围，必须在这个范围内研究。表达式相同、给定范围不同，所研究的图象部分 也不同。 第7页共64页 判断一个点是否在图象上，应先确认横坐标在规定范围内，再代入或检验横、纵坐标的乘积。 例：P(-2,-3满足xy=6,在y=6的完整图象上；但不在题目只研究的y=5(x>0)的图 象上。 图①y=完整图象 图②y=只取x>0 P在图象上 P不在所取部分 P(-2,-3) P(-2,-3) 完整图象与只取×大于0的部分不是同一个研究范围 函数图象上的点与其他几何点要分清。若P在一条直线上，过P的水平线与双曲线交于Q, 则Q的横坐标不能为0，并不说明P的横坐标也不能为0。限制跟着它所描述的对象走，不能 搬到别的点身上。 例：P0,2)虽不在y=4上，但过P的水平线y=2与双曲线有交点Q(2,2)。若P在x轴 上，过它的水平线就是y=0,则与该双曲线没有交点。 P不在曲线上P的横坐标可以为0 V y= P(0,2) Q(2,2) 大 x轴与曲线没有交点 P可以在y轴上Q仍是双曲线上的点 8图象对称性及其坐标依据 若a,b)在y女的图象上，则b=k。于是(-a川-b)=k,所以(-Q,-b)也在图象上；这说 明完整图象关于原点成中心对称。两点到原点的距离相同，连线经过原点。 第8页共64页 又因为ba=k,点(b,a)也在图象上。交换横、纵坐标正对应关于直线y=x的对称。结合中心 对称，还可得到(-b,-α)。这些性质的依据都是乘积不变，不需要凭图形猜测。 例：图象经过(3，-7），则还经过（-3,7)、(-7,3)、(7，-3)。但(3,7)的坐标乘积为21，与原 来的-21不同，并不在同一图象上；关于×轴或y轴的对称通常会改变系数的符号。 同一曲线y=一安上的四个对称点 B(-3,7) y=X C(-7,3) →X D(7,-3) A(3,-7) A与B关于原点对称；A与C关于直线y=x对称。 原点对称与交换横纵坐标分别看哪两个点 完整图象关于原点对称，不等于题目只给的第一象限那一段也包含对称点。使用对称性质后， 仍应检查题目是否限制了点所在象限或运动范围。 9确定函数表达式与坐标条件 求反比例函数表达式，通常设y女，把一个已知图上点的坐标代入，求出k=y,再写出表达 式及题目要求的自变量范围。反比例函数只有一个待定系数，一个合格的非零横坐标点通常就 能确定它。 第9页共64页 例：图象经过A(-4,5),所以k=-4×5=-20,表达式为y=-29。若还给点B(2,b),则 X b=-10。把结果再代回已知点，可及时检查符号。 坐标乘积同为-20点仍分属两支 y A(-4,5) y=-29 0 B(2,-10) 一个合格图上点确定k再恢复另一点 若坐标中含字母，应把“在同一图象上”和其他数量条件联立。例如A(α，3)、B(-2,b)都在图象 上，且a-b=5,则3a=-2b与a-b=5联立，得a=2,b=-3,k=6。 同一曲线上的两点另有a-b=5 A(a,3) -2 X 0 B(-2,b) 图上点的已知分量与坐标条件对应 若给出的点来自直线与双曲线的交点，可以先用已知直线求完整坐标，再确定k。若题目给的 是矩形或三角形面积，应先根据图形推出k或相关坐标，再利用象限确定k的正负。面积本 身不能告诉你k是正还是负。 10同一参数联系两个函数 一个字母同时出现在一次函数与反比例函数中时，它在两处表示同一个数。应分别把图象信息 翻译成条件，再求这些条件的公共部分，而不是各选一个看起来合适的值。 第10页共64页 例：y=m1的图象位于第一、第三象限，且一次函数y,=(3-m)x+2的函数值随×增大而 X 增大。前一条件给m-1>0,后一条件给3-m>0,合起来为1<m<3。若另说m是整数，才 进一步得到m=2。 同一个m要同时满足两种图象条件 题给条件 数学条件 化简 反比图象在第一第三象限 m-1>0 m>1 一次函数随×增大而增大 3-m>0 m<3 同时成立 取两个范围的公共部分 1<m<3 若题目明确称两式都是反比例函数，系数都不能为0。例如y、,=k+3 同为反比例函 X X 数，则要有k≠0，-3；求出其他不等式范围后，仍不能把这两个值留下。 参数的范围要既必要又充分。求出一个限制后，可取该范围内的一般数检查原图象条件是否都 成立；端点是否包含取决于原条件中能否取等号，以及取等后函数类型会不会改变。 比较两条双曲线的系数时，不能只看“哪条图象更高”，必须固定相同的横坐标。若k<k2,在同 一个x>0处有k<;在同一个x<0处，除以负数使不等号反向，故《 X X 例：取k1=-8、k2=-4。当x=-2时，两函数值分别为4、2，第一条图象在上方；当x=2 时，两函数值分别为-4、-2，第一条图象反在下方。表中把固定的x、系数与对应值放在同一 行，避免凭整体图形位置猜系数大小。 同一个横坐标处比较系数还要看x的正负 固定横坐标 s、8 函数值大小 X X=-2 4 2 y1>y2 X=2 -4 -2 y1<y2 11给定区间内的最大值与最小值 若×的范围完全位于同一分支上，函数值的大小可由变化规律判断，闭区间的最大值、最小值 在两个端点取得。先确定k的符号，再决定哪一个端点对应最大值；不能永远把左端点代入当 最小值。 第11页共64页 例：y=-12 X ,-4≤x≤-2。因为k<0,负半轴上y随×增大而增大，故最小值为3，最大值为 6。反过来，若只知该区间最小值3、最大值6，也可由k=(-4)×3=-12求系数。 y=-号闭区间端点都能取到 (-2,6) 6 (-4,3)月 →X -4 -20 闭区间的两个端点在同一分支上分别对应最小值与最大值 若范围为1<x≤3，函数y满足2≤y<6.6虽然是不断接近的上界，但X=1不在范围内， 因此不能说最大值为6；最小值2则在x=3时取得。要把“能够等于”与“可以接近”区分开。 1<X≤3所以2≤y<6 6 (1,6) 2 (3,2) X 1 3 空心点不能取到实心点可以取到 第12页共64页 如果x的范围跨过0，不能只比较两个外端点。例如在-1≤X≤1，x≠0时，y=6 在端点的值分 别为-6和6，但取X。就有y=60,取X0就有y=-60。因此函数值并不局限在 [-6,6]内；应把正、负两段分开研究，不能照搬同一分支闭区间的结论。 负半轴单独研究 正半轴单独研究 个 (0,60) (-1,-6) (-0,-60) (1,6) →X 0 X=0没有函数值；只看外端点不能确定全部函数值范围。 跨过0时两个外端点不能控制全部函数值 靠近0的函数值超出外端点的值 .1 1 + -1 10 10 1 -6 -60 60 6 第13页共64页 12系数与垂足矩形三角形的面积 设P(a,b)在y=k上，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B,O为原点。矩形OAPB 的两边长是|a、Ib1,所以面积为|aIb=ab|=k|。图中底与高确实来自P的两个坐标，这个 条件不能省略。 矩形面积10两个三角形面积各5 y P(-2,5) 5 5 5 A 20 第二象限中的矩形面积为10对应两个直角三角形各为5 例图中P(-2,5)位于第二象限，A(-2,0)、B(0,5)是两个垂足。矩形面积为2×5=10又因 k=(-2)×5=-10,可见面积是k,不是负数k。 连接OP,把矩形分成两个面积相等的直角三角形。因此S400=SA0e。在例图中，两块面 积各为}×2×5=5，合起来恰好等于矩形面积10。 若题目给面积反求k,应先由面积求k|,再由象限确定正负。只有底边和高是相应坐标绝对 值，或能证明与它们相等时，才能使用这个面积结论。任意一个顶点在双曲线上，并不能保证 三角形面积都等于k。 2。 第14页共64页 13两条双曲线之间怎样用同底同高求面积 设P、Q有相同的非零横坐标X-“,分别在两条不同的反比例函数y女y上，其中 k1,k2均不为0，且k≠k2。两点竖直排列，所以PQ= k1kk-k。原点到PQ所在直线 aaa 的距离为a。 同横坐标以PQ为底 Q y= PO=2 0 y=员 X R 竖直底PQ长2原点到其所在直线的高为3 例：R、Q分别在y是y是上，横坐标都是3。于是P川3号、Q3,学，PQ营号=2.以 1 PQ为底，从0到这条竖直线的高为3，所以Sw2×2x3=3。 1 对一般的非零a,同样有So0=5×一xa=2。底边随a变化，高也相应变化，两 者的乘积保持不变。这个结论依赖“横坐标相同”，不是任意取两条双曲线上的点都成立。 系数一正一负时，要从实际线段长出发，不能直接做k-k2。几何图中需要两个面积相加就 相加，需要从大面积扣除才相减，不能只背一个系数差口诀。 14坐标差怎样表示线段长度 两个点横坐标相同，竖直线段长等于纵坐标差的绝对值；纵坐标相同，水平线段长等于横坐标 差的绝对值。长度不能是负数；确定了左右、上下位置后，才可去掉绝对值写成“大坐标减小坐 标”。 第15页共64页 例：Pt,)在双曲线上，Q1c,+1)在直线上，两点的横坐标相同，所以PQ=-t-1, t≠0。不能在未确定上下位置时直接去掉绝对值。 图①t=1P在上 图②t=3Q在上 y y=X+1 y=X+1 Q PQ=4 PO=2 y= y-5 X 0 3 t变化后上下位置交换长度始终取坐标差的绝对值 当t=1时，P(1,6)、Q(1,2),P在上方，PQ=6-2=4,当t=3时，P(3,2)、Q(3,4),Q在上 方，PQ=4-2=2。同一表达式在两个位置中都成立，绝对值正是用来保证长度非负。 两点不在同一水平线或竖直线上时，可补作平行于坐标轴的线段，构成直角三角形，再用勾股 定理。若A=(x1,y1小、B=(x2,y2),则AB=(x1-x22+(y1-y2。这个等式来自横、纵方向的两 条直角边。 例：A=（-2,4)、B=(4,-2),横坐标差、纵坐标差的绝对值均为6，所以AB=6V2。斜线段长 不能直接相加为12，也不能只用其中一个坐标差作为长度。 横向差6纵向差6用勾股定理求斜边 A(-2,4) 6 E 6V2 6 O B(4,-2) 斜线段补成直角三角形两条直角边分别长6 第16页共64页 15直线与双曲线的交点 两个图象的公共点同时满足两个函数表达式。求直线y=x+b与双曲线y=k的交点，先联立 得到mx+b=《,并保留X≠0；再整理为mX+bx-k=0,求出横坐标，最后逐个代回求相应纵 坐标。 例：y=x+1与y=相交。由X+x-6=0,得x=2或x=-3,分别代入直线得y=3或 y=-2。交点为(2,3)、（-3，-2)，不能交叉配成（2，-2)。 交点坐标成对代回检验 B y=X+1 y=s X A A(-3,-2),B(2,3) 求出横坐标后逐个配回对应纵坐标 第17页共64页 当m≠0时，可用本学期已学的一元二次方程方法研究交点数：判别式为b2+4k,大于0、等 于0、小于0分别对应两个、一个、零个不同交点。由于常数项-k≠0，方程的根不可能为 0。若m=0,原式是水平直线。不能仍按二次方程套判别式：b0时只有交点（合b),b=0时 没有交点。 先看直线类型再判断交点个数 情况 所用关系 不同交点个数 m≠0 △=b2+4mk>0 2 m≠0 △=0 m≠0 △<0 0 m=0,b≠0 合 m=0,b=0 y=0与双曲线无交点 0 过原点的直线y=mx与双曲线相交时，有mx=k。mk>0时有两个关于原点对称的交点； mk<0时没有交点；m=0时也没有交点。不同系数的两条双曲线y-与y=上若有公共 X X 点，就会推出k1=k2,因此当k1≠k2时没有公共点。 16从图象求不等式的解 比较y1与y2,就是在同一横坐标处比较两图象的高低。y1>y2对应第一条图象在第二条上 方；y1≥y2还包含交点的横坐标。无论是否允许取等号，双曲线没有定义的X=0都不能包含。 第18页共64页 列：比较y与y=X+1。两图象交于横坐标-3、2处，还必须以0分开。用图象或差 y-,=-x+3x-2 判断，可得y1>y2时x<-3或0<x<2y1≤y2时-3≤x<0或x≥2。 加粗曲线在直线上方注意0处分开 y2=X+1 y1=号 y1>y2 y1≤y2 3 图象相对高低对应横轴区间0始终不能包含 例如在x=-4时差为正，在x=-1时差为负，在x=1时差为正，在x=3时差为负。交点横 坐标与0把数轴分成这些部分，在各部分内各因子的符号不变，所以不能把0两侧的两段合成 一段。 交点横坐标与0把比较分成四段 x所在范围 X<-3 -3<x<0 0<x<2 X>2 y1-y2的符号 正 附 正 负 图象位置 双曲线在上 直线在上 双曲线在上 直线在上 若用代数去分母，必须分别在x>0、x<0的条件下处理；当×为负时不等号要反向。若题目另 外给x>0或某个线段的横坐标范围，最终答案还要与这个范围取公共部分。 17一般三角形的面积要看底高与割补 不是由垂足构成的特殊直角三角形，就先找容易表示的底与高。斜底不便求高时，可补出坐标 轴交点，将图形分成几个容易算的小三角形。点在线段内、外或坐标轴两侧，会决定面积应相 加还是相减。 第19页共64页 例一：A-2,4),B(4,-2)在y=-8上，直线AB为y=-x+2,与y轴交于C(0,2)。连接 X OA、OB、OCo 以0C=2为共同底面积2+4=6 y A(-2,4) 2 2 C(0,2) 4 X 4 B(4,-2) 例一沿y轴分成两块面积2加4 A、B在y轴两侧，C在线段AB上，所以大三角形分为左右两块。共同底为OC=2,对应的横 向高分别为2和4，放5弓2×2+分×2×4-6：这里不是-4，原因就在于底与高不符 合前面特殊面积结论的条件。 例二：A0,10).B10,0),P在y是的第-象限分支上，并位于△OAB内部。设 Pt,2),图中用t=3、P(3,4)显示三块面积的关系。 t=3时P(3,4)内部三块面积和为50 A(0,10) y=号 15p 15 20 →X B(10,0) P(t,) 例二大三角形减去两块图示t等于3 第20页共64页 -般地，5e=5t,50m-0,而大三角形面积为50所以5。m50-5r-0,在图示-3 时，两块靠坐标轴的小三角形面积分别是15、20，余下△APB的面积为15。 上述减法的条件是P在三角形内部，即t>0且t+2<10。如果P走到外部，三个区域的拼合 关系会改变，不能继续原样相减。求出坐标后要检查这个位置条件。 18平移与中点怎样固定图上点 点（a,b)向右平移h个单位后为（a+h,b),向上平移h个单位后为(a,b+h)。两点横坐标的中 点取平均，纵坐标的中点也取平均，所以线段端点为(x1,y1、(x2,y2)时，中点为 (X+X,y十少)。其依据可由过中点作平行于坐标轴的线，得到两组全等直角三角形来说明。 2’2 例：A1,6)在y=上，向右平移t个单位得到B。Dd,0)在x轴正半轴上，且B在D右 侧：BD的中点C也在这条双曲线上。图中取t=乏画一种允许的位置。 图示t=多C为BD中点 t A B(1+t,6) C(2,3) y=5 →X 3-t D(3-t,0) 平移只改变B的横坐标中点C的高度固定为3 由平移得B(1+t,6)。因为D的纵坐标为0，C是中点，所以y=60=3。C在双曲线上，于 是X--2,即C(2,3)。再用横坐标的中点关系，得1++d=2,所以d=3-t。 2 D在正半轴给d>0,即t<3;B在D右侧给1+t>d,代入得t>1。因此1<t<3。这样先由中 点高度确定C,再求B与D的联动和允许范围，后续的长度与面积都能在这个范围内研究。 19等腰直角与角平分线的图形转化 等腰三角形可用两条边长相等，也可在已知底边时利用底边上的高、中线、顶角平分线重合。 若未指定底边，应考虑哪两边相等；若已经说明以某一边为底，就不能再增加不合题意的其他 情况。 第21页共64页 例-：B(0,2),D(8,2),C在第一象限，且△BCD是以BD为底的等腰三角形：C又在y=12 上。过C作BD的垂线，垂足为H。 以BD为底垂足H也是底边中点 y=号 C(4,3) D(8,2) 4 4 B(0,2) H X 例一已知底边时用底边中点确定横坐标 底边BD水平，等腰三角形底边上的高也是中线，所以H为BD中点，xc=xH=4。再由曲线得 到y=12-3,故C(43)。先由几何确定横坐标，再由函数确定纵坐标。 4 等腰直角三角形的坐标关系可以用全等推导。设A在B左上方，C在B左下方，AB=BC, ∠ABC=90°。过A作竖直线，过B作水平线，两线交于E;过B作竖直线，过C作水平线，两 线交于F。这样E在B左侧，F在B下方，∠AEB=∠CFB=90°。下图以A(-1,2)、B(0,0)为 例，C在B左下方；先依据全等确定C相对B的横、竖方向长度。 两投影直角三角形对应边由全等得到 A(-1,2）) B(O) C(-2,-1) 2 F 例二两个投影直角三角形的AAS对应 第22页共64页 因为AB⊥BC,所以∠ABE+∠EBC=90°；又因为BE⊥BF,所以∠CBF+∠EBC=90°。因 此∠ABE=∠CBF。结合两个直角和AB=CB,可用AAS判定△ABE兰△CBF,得到 AE=CF、BE=BF,即AB的竖向长度等于BC的横向长度，AB的横向长度等于BC的竖向长 度。 在这个具体例子中，由A、B的坐标，得BE=1、AE=2,由全等，得BF=1、CF=2。C在B 左侧2个单位、下方1个单位，所以C(-2,-1)。若C换到另一侧，坐标的正负要按新的方向 重新确定，不能把“横竖交换”当作不看位置的口诀。 角平分线还可以用轴对称理解。看下面独立的几何示意图：把角一边上的点C关于角平分线 AH对称得到D,则D在角的另一边上，AC=AD。若H是C到角平分线的垂足，则C、H、D 在同一直线上，且HC=HD,所以H是CD的中点。 关于AH对称H是CD中点 D C AC=AD HC=HD 角平分线两侧的对称点垂足是它们连线的中点 这一步把“角平分线”转成了对称点，把“垂直”转成了中点和相等长度。坐标题中可以先求C、D 的坐标，再用中点确定H;不必先引入圆或三角函数。 20面积与乘积最值要同时看图形范围 前面的平移中点例中，AB=t、OD=3-t,且1<t<3,所以ABOD=t(3-t)。配方可把它写成 }-红引。平方不小于0。说明乘积不超过号当-号时能取到这个值，而且该t在允许范 围内。 第23页共64页 若另加条件2≤1≤号，允许的t航全部在号的右侧。此时子：一7≤1，所以乘积的最大值改 为2，在=2时取得。下图分别画出这两个允许范围内取得最大值时的原平移构型，并用数轴 标明允许的t。图上的AB、OD与乘积逐项对应，便于看清形式上的上界是否能在题目范围内 取到。 图Ot=多 图②t=2 y 个 AB=2 A AB=号 A D >X + 00D= O0D=1 AB·0D= AB·OD=2 35 两图均有BC=CD;下方数轴表示各自允许的t范围。 原平移构型的两个取等位置与相应允许区间 另看固定面积矩形的周长。设两边长α、b都为正，且ab=16;图左表示一般矩形，图右表示 两边相等的情形。 一般矩形 a=b=4时取等 4 5=16 6 ab=16 a 两图面积相同；右图周长为16。 固定面积16时正方形达到最小周长16 由(a-b)2≥0，得（a+b=a-b2+4ab≥64。又因a+b>0,所以a+b≥8，周长 2(a+b)≥16。等号当且仅当a=b=4时成立，恰好对应右图的正方形。图形和代数同时给出了 下界以及能取到它的具体尺寸。 第24页共64页 21从实际问题建立反比例模型 建立模型先找不变的乘积，再确定变量与单位。固定路程s时，速度V与时间t满足vt=S,所 以t=ミ，固定面积S的矩形满足y=S;固定体积V的柱体，底面积A与高h满足Ah=V。这 17 些关系中的速度、时间、长度、面积通常都应为正。 固定面积S 固定体积V 速度v时间t 固定路程s xy=S vt=s 底面积A X Ah=V 三类固定乘积模型各变量对应什么实际量 例：一段路程长360千米，不计中途停留，匀速行驶的时间t小时与速度V千米/时满足 t=360 V>0。若要在不超过5小时内到达，则360s5;因v>0,可得v≥72。若另有最高速 度限制90千米/时，实际允许范围为72≤v≤90。 不超过5小时且最高速度90 t t=360 速度v千米每小时 时间t小时不计停留 (72,5) 5 路程360千米 (90,4) ← 出发地 目的地 允许段加粗 >v O 72 90 固定路程360千米时间要求与速度限制共同确定可行范围 第25页共64页 题目若给出压力、压强、密度、体积等关系式，可把它当作已知数学关系使用，不要求先掌握 额外物理知识。例：某密度计的液体密度p与浸没深度h成反比例。用密度为1.5克每立方厘 米的液体校准时，测得h=2厘米，因比p片。仪器只在8h≤20厘米时有效，故可测密度 为品5S号克每立方厘米。密度为品的液体在允许范围的端点上，能测：窗度为2.4的液 体虽然代入式子得到h=罗，却超出了仪器的有效范围，不能据此完成测量。模型能算出一个 正数，不等于该仪器一定能使用。 有效浸没深度8至20厘米 浸没深度从密度计底端量至液面 h=艺<8不可测 p=9 (8,) 液面 (12,1.5) h (20,品) 液体密度p →h 20 横轴单位：厘米；纵轴单位：克每立方厘米。 密度计的浸没深度与有效量程公式算出正值仍可能超量程 注意“总时间若还包含固定停留时间c>0,就应写T=三+c,并不是T与V成反比例。同样，固 1】 定量加在函数值或自变量上之后，必须按题意建立新关系，不能因为出现分式就把它直接当作 标准反比例函数。 行驶时间 固定停留时间c>0 T=+c 总时间由行驶与停留两段相加不能直接称总时间成反比例 22图表中的分段模型与持续时间 实际图象可能由线段、水平线段与双曲线的一部分组成。每一段都有自己的表达式与适用范 围：先用端点数据求关系，再说明在哪段时间内使用。某一段的式子不能越过原有阶段或题目 给定的观察时段。 第26页共64页 例：某装置进行18分钟的测试，记录效果值q。前6分钟，q从0匀速增加到6；第6至第10 分钟保持为6；第10至第18分钟，q与时间t成反比例。于是第一段为q=t(0≤t≤6)，第 二段为q-6(6≤1≤10)，第三由衔接点〔106，得到9-9，但只在10≤1≤18时使用。 同一次测试中的三个阶段 时间范围 效果值q 阶段特点 0≤t≤6 q=t 线性增加 6≤t≤10 9=6 保持不变 60 10≤t≤18 q= 反比例减小 t A q=6 B q=0 5 q=t 3 C 观察截止 →t(分钟) 6 10 12 18 q≥5 有效7分钟 2 q≥3 有效15分钟 78 曲线只定义到第18分钟两个阈值各有对应的有效时间条 若效果值至少为5才算有效，第一段从第5分钟开始达到要求，第二段全部达到要求，第三段 由巴三5得t≤12，与本段范围合并为10三t≤12，因此有效时间从第5分钟持续到第12分钟。 共12-5=7分钟。三个阶段在交界处相接，不把同一个交界时刻重复增加时间。 若标准改为至少3，则本次记录中从第3分钟开始一直到第18分钟都达到标准，共15分钟。 虽然反比例式给出93时：=20，但20已超出题目给出的测试时段，不能凭这段记录就宣布 效果持续到第20分钟。“结束时刻”与“持续时长”、模型给出的值与实际允许的时间范围，必须 分别判断。 第27页共64页 23整数点与对称配对 横、纵坐标都是整数的点叫作整点。若k是正整数，反比例函数第一象限内的整点满足 y=k,所以正整数×必须是k的因数，对应的纵坐标为y=k。找整点就是找正因数对，同时 还要检查题目规定的坐标范围。 例：y复第一象限内的整点为11451、315591951.153.45。如果还要求 x+y≤20，前后两点不符合，只留下中间4点。不能把乘积等于45的每一对正整数都算进有范 围限制的题。 k等于45时按交换坐标列成对整点 一组坐标配对 坐标和 是否满足x+y≤20 计入点数 (1,45)与45,1) 46 否 0 (3,15)与(15,3) 18 是 2 (5,9)与(9,5) 14 是 2 交换横、纵坐标不改变乘积，所以（α，b)与(b,α）总同时位于同一条双曲线上。若题目范围也 在交换后保持不变，例如x+y≤L,那么Q≠b的合格点就成对出现；在直线y=x上的点则与 自身重合，只能计一次。这样的正整点存在时有x=y=m、k=m2,所以k必须是一个正整数的 平方。若只限制横坐标而不限制纵坐标，交换后的点可能超出范围，就不能直接按成对计数。 例：y=64第一象限共有7个整点，对应正因数1,248,16,32,64。其中(8,8)在直线y=x上， 其余6点分为3对。若限制x+y≤18，只剩(8,8)，仍是1个而不是2个。一般地，当合格点 都可以按坐标交换配对且总数为奇数时，必有一个合格的对角点；反过来，k是平方数还不 够，还要检查这个点以及其他因数对是否满足给定范围。 k等于64时对角点只计一次 一组坐标配对 坐标和 是否满足x+y≤18 计入点数 （1,64)与(64,1) 65 否 0 (2,32)与(32,2) 34 否 0 (4,16)与(16,4) 20 否 0 (8,8)与自身重合 16 是 第28页共64页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（)。 A.y=3x B.y=3+1 C.y=-3 X 2.反比例函数y=k的图象经过点(-2,3)，则k的值是（）。 A.6 B.-6 c.是 D.号 3.若y=(m-1)xm-2是x的反比例函数，则m的值是()。 A.-1 B.1 C.1或-1 D.0 年关于反此例函数y是，下列说法正确的是《)。 A.x可以取0 B.y可以取0 C.x只能取正数 D.x,y都不能取0 5.函数y=2-m的图象位于第二、四象限，则(）。 X A.m<2 B.m≤2 C.m>2 D.m≥2 第29页共64页 6.点A(-3,a),B(-1,b),C(2,c)在函数y=6的图象上，则(）。 -3 A B A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 7,关于函数y=-4的增减性，下列说法正确的是(）。 X A.在每个象限内，y随x增大而增大 B.对所有非零x,y总随X增大而增大 C.在第四象限内，y随x增大而减小 D.在第二象限内，y随x增大而减小 第30页共64页 8.已知y与x成反比例。若x由2变为6，则y变为原来的（)。 A.3倍 B.6倍 c 9.点P在函数y=-10的图象上，过P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成矩形。该矩 X 形的面积是（)。 A.-10 B.5 C.10 D.20 10.点P在函数y=8的第一象限分支上，PA⊥x轴，垂足为A,0为原点。则SA0为 ()。 X 0 A A.4 B.8 C.16 D.不能确定 第31页共64页 11.下列点在函数y=-的图象上的是（)。 X A.（-3,-4) B.(3,-4) C.（2,6) D.(6,-3) 12.一项工程的工作总量一定，每人每天的工作效率相同。设参加工作的人数为x,完成工程 所需天数为y,忽略其他因素，则（)。 同一项工程工作总量固定 天天天吴天 人数x 所需天数y 每人每天的工作效率相同 A.y与x成正比例 B.x+y不变 C.y与x成反比例 D.y与x无关 13.反比例函数y=m+2的图象在每个象限内，y随x增大而减小，且经过点(a,m-1),其 中a<0。则m的取值范围是（)。 A.m>1 B.-2<m<1 C.m<-2 D.-2≤m≤1 第32页共64页 14.反比例函数y=6与一次函数，=x-1的图象交点的横坐标为-2,3。则y,>y,时x的取 X 值范围是（)。 y=x-1 B -2 >X 3 y=s A A.-2<X<3 B.x<-2或x>3 C.-2<x<0或x>3 D.x<-2或0<x<3 15.矩形的四个顶点依次为A(a,b)、C(c,b、B(c,d)、D(a,d),其中0<a<c,0<d<b。点 A,B在同-反比例函数y女的图象上，点C在y-的图象上，点D在y的图象 8 上。若直线AB的解析式为y=-2x+t,则这个矩形的周长为()。 O →X A.4 B.6 C.8 D.12 第33页共64页 16.已知y=m-4m+3是反比例函数。任取其图象上的两点A(X1,y、B(x,y,),其中 X -3≤x1≤-1,1≤x2≤2，均有0<y2-y1≤4。则实数m的取值范围为（）。 y X1的范围 2的范围 X 3 A.2-V3≤m≤2+V5 B.2-V3<m<1或3<m<2+V3 C.2-V3≤m<1或3<m≤2+V3 D.1<m<3 17,某简易密度计的实际浸没深度h与液体密度D满足D片，深度和密度的单位分别为厘米 和克每立方厘米。尺上读数r与实际深度满足h=r+d,其中d为固定校准值。将密度计放入 密度分别为1、 的标准液体中，得到的准确读数分别为12、7。 3 液面处尺读数 已知测量条件 液面 p=1r=12 液体 p=3r=7 h=r+d 随后测量某液体，显示读数为r,但实际尺上读数可能为从r一号到r+号之间的任意值。要确 保该液体的密度一定满足15nS号 显示读数r应满足(）。 A.7≤r≤12 B受srs受 D.是rs 2 第34页共64页 18.设k为正整数。反比例函数y=K的图象上，横、纵坐标都是正整数且满足x+y<15的点 恰有5个。满足上述条件的k的个数为（) 15 第一象限整点网格 ×+y=15 X+y≤15 →X 15 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 19.在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ACB的直角顶点为C(1,0),点A的坐标为 (0,2),点B在第一象限。将这个三角形平移，得到ACB,其中A在A的右上方，且 A4=V37。若A,B都在函数y=K的图象上，则k的值为(）。 A 平移 >X A.8 B.12 C.18 D.24 第35页共64页 20.点P是直线y=x+3上第一象限内的一点。过P作x轴的平行线，交函数y=女( k>0,X>0)的图象于M过P作y轴的平行线，交函数y=2业(x>0)的图象于N,若 △PMN是腰长为2的等腰直角三角形，则k的所有可能值为(）。 位置仅作示意 y 1y= 2k N M y=炎 >X A.24 B.24或9-√33 C.24或9+V33 D.9-V33 第36页共64页 三填空题 21.反比例函数的图象经过点(4，-3)，其表达式为. 0 22.在函数y=15中，当x=-5时，y=一。 X 23.若xy=-7,则y关于x的函数表达式为， 其中x的取值范围为 24.点A(2,-5)在某反比例函数图象上，则与A关于原点对称的点B的坐标为 (填“在”或“不在”)该图象上。 y 2 A(2,-5) 第37页共64页 25.反比例函数y=二的图象经过点A(2,6)。把A的横、纵坐标交换得到点B,则B的坐标 X 为 ，且B 该图象上。 \A(2,6) >X 0 26.点P在第二象限的反比例函数图象上，过P向两坐标轴作垂线得到的矩形面积为18。该 反比例函数的表达式是一。 y 面积18 X 第38页共64页 27.点P在函数y=k的第四象限分支上，PA上X轴，垂足为A。若SAOAP=7,则k= A >X 面积7 28.若y=m-9是反比例函数，则m应满足 X 29.某长方形的面积为48cm2,其长为xcm,宽为ycm,且长不小于宽。则y关于x的表 达式为_，X的取值范围为 0 48cm2 ycm x cm 第39页共64页 30.点A2,a,B(5,b)都在函数y=-29的图象上，则ab(填“<或=)。 y 5 X B A 31,直线y-2X与反比例函数y是的图家交点为 A y=2x ≥X 0 y= B 第40页共64页 32.点A(a,b),B(3a,c)在同一反比例函数图象上，则c= (用b表示)。 33.点A(a,4)与B(a+3,1)在同一反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式为 4 1 X 0 a+3 34.直线x=3分别交函数y炎与y=-的图象于A,B,其中k0.若5e-8,则k= 0 实线y=虚线y=- y :X=3 A B 第41页共64页 35.点A在函数y=-8的第二象限分支上，点B在函数y=18的第一象限分支上，0为原 X 点。若OA⊥OB,且SAOAB=15,则点A的所有可能坐标为一。 B 36.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(0,1),AD‖x轴，点D在第一象限， 点B在第三象限。对角线BD所在直线的表达式为y=mx-1(m>0),点B,D都在反比例 函数y=k(k>0)的图象上。若平行四边形ABCD的周长为26，则k=一。 D B 第42页共64页 37点A2,6)、B(6,2)在反比例函数y=12的图象上。点P也在该图象上，且三角形PAB 的面积为32。所有满足条件的点P的横坐标之和为一。 y A B èX P 38.直线y=2x+4与y轴交于B,与函数y=长(>0，x0)的图象交于C。过B作x轴的 平行线，交该图象于D。若△BCD是等腰三角形，则k的所有可能值为 第43页共64页 39.某装置的输出功率p(单位为瓦)随时间t(单位为分钟)的变化图象依次由线段OA、线 段AB和反比例函数图象的一部分组成，其中O(0,0),A(8,2),B(20,8)。在t≥20时，图象经过 点B且一直延续。若功率不低于q瓦的持续时间恰为28分钟，其中0<q≤8，则q= p 8 4 t 20 40.在平面直角坐标系中，0为原点，点A在反比例函数y=3的第一象限图象上，点B在 反比例函数y=-2的第二象限图象上。若△OAB是等边三角形，则它的面积为】 X B →X 第44页共64页 四解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41.已知y与x成反比例，且当x=-3时，y=4。 (-3,4) 0 →X B-4,-3) ● A(2,-6) (1)求函数表达式；(2)求y=6时x的值；(3)通过计算判断点A(2,-6),B(-4,-3) 是否在该图象上。 第45页共64页 42.已知函数y=4。 4 32 10 -5-4-3-2-1 12343x -4 (1)列表、描点，画出函数图象； (2）写出图象所在的象限及在每个象限内的变化规律； (3)判断图象与坐标轴是否相交，并写出判断依据。 第46页共64页 43.点A(-4,a,B-1,b),C(2,c)在函数y=-8的图象上。 y B个 A 2 -4 -1 0 (1)比较a,b,c的大小； (2)小明说：“因为k<0,所以x越大，y越大；由-1<2得b<c。”请指出错误并改正。 第47页共64页 44.点P(a,b)在函数y=的第一象限分支上，过P分别作PA1x轴、PB上y轴，垂足 为A,B,O为原点。 y B X 0 A (1)用a,b表示矩形OAPB和三角形OAP的面积； (2）求这两个图形的面积； (3)分别求P位于同一函数第三象限分支时这两个图形的面积。 第48页共64页 45.一辆汽车沿长180km的道路匀速行驶，行驶速度为vkm每小时，行驶时间为th。按要 求，速度不低于40km每小时且不高于90km每小时。 路程180km 起点 终点 速度V时间t 40≤V≤90 (1)写出t关于v的函数表达式及v的取值范围； (2）当速度为60km每小时，需行驶多少小时？ (3)求行驶时间的取值范围。 第49页共64页 46.直线y=3x与反比例函数y=2的图象交于A,B两点，点A在第一象限。 B: (1)求A,B的坐标； (2)求线段AB的长； (3)过A作AC⊥X轴，垂足为C,求SAOAC 第50页共64页 47.一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k的图象交于A(-2,3),B(3,n)两点。 B (1)求这两个函数的表达式； (2)直接写出ax+b>k时x的取值范围； X (3)求SAOAB· 第51页共64页 48.一种简易密度计竖直漂浮时，液体密度P(单位为克每立方厘米)与浸没深度h(单位为 厘米)成反比例。它在密度为1.2的液体中浸没10cm。 密度计 已知测量条件 液面 p=1.2h=10cm 液体 h 有效浸没范围6≤h≤18 浸没深度单位：cm (1)求p关于h的函数表达式； (2)密度计能正常测量的浸没深度为6≤h≤18，求可测密度范围； (3)某液体的密度比1.2增加了25%，浸没深度比原来减小了百分之几？ 第52页共64页 49.点A(a,b)在函数y=8的第一象限分支上。把A向右平移4个单位、向下平移1个单 位得到点B,点B也在该图象上。 向右4 A H |向下1 8 →X (1)求A,B的坐标； (2)过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，两线交于H。求S△ABH 第53页共64页 50.在平面直角坐标系中，A(0,3),B(4,0),O(0,0)。将△OAB沿直线y=x向右上方平移，点 A的对应点A恰好落在函数y=9的第一象限分支上。 y A1 A B 平移 >X B (1)求A的坐标； (2)求此时点B的对应点B的坐标； (3)求这次平移的距离。 第54页共64页 51.已知y+2与x成反比例，且当x=2时，y=3。 y (2,3) 3---- >X O 2 (1)求y关于x的函数表达式； (2)若该关系的图象上有一点P(a,b),求ab+2a的值； (3)求点P在第一象限时α的取值范围，并说明y是否与x成反比例。 第55页共64页 52.已知函数y=K的图象经过点(2，-6)。 y -6 -2 (2,-6) (1)求函数表达式； (2)当-6≤x≤-2时，求y的取值范围； (3)若函数图象上的点P(x,y)满足2≤y≤4，求x的取值范围。 第56页共64页 53.直线y=x+2与反比例函数y=8的第一象限分支交于点A,与y轴交于点B。点P在X 轴上。 >X P在X轴上，图示仅为一种位置 (1)求A,B的坐标； (2）若S△ABP=6,求点P的坐标。 第57页共64页 54.矩形OABC的顶点O为原点，A在x轴正半轴上，C在y轴正半轴上。顶点B在函数 y=24的图象上，且矩形的周长为20。 X C B H >X 0 A (1)求矩形的两条邻边长； (2)若OA>OC,求点B的坐标； (3)连接AC,求点B到直线AC的距离。 第58页共64页 55.直线y=-x+8与反比例函数y=的第一象限分支交于A,B两点，点A在点B的左 侧。点P在线段AB上运动，过P作X轴的平行线，交该反比例函数图象于Q。 A Q X 0 (1)求A,B的坐标； (2）当PQ=1时，求点P的所有可能坐标； (3)求PQ的最大值，并求此时点P的坐标。 第59页共64页 56.直线y=x+b与反比例函数y=12的图象交于A,B两点，其中点A在第一象限。若 △OAB的面积为16，O为原点。 A (1)说明点B所在的象限； (2）求b的所有可能值，并分别求A,B的坐标。 第60页共64页 57.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，A(-2,0,C(6,0、B6,16)。反比例函数y=k( k>0,x>0)的图象与线段AB交于点D(1,6),与线段BC交于点E。 个 D P N E →X A 0 M (1)求k的值和点E的坐标。 (2)点P在该函数图象上D,E之间运动，且不与D,E重合。过P作PM‖AB,交y轴于 点M,过P作PN‖x轴，交BC于点N。求SAPMN的最大值，并求此时点P的坐标。 第61页共64页 58.点A(a,b)在反比例函数y=K(k>0)的第一象限图象上，点B也在该图象上，且横坐 标为2a。点P在y轴的正半轴上，三角形PAB是面积为10的等腰直角三角形，但未指定直 角顶点。 P在y轴的正半轴上 y B >X o a 2a (1)用a、b表示点B的坐标。 (2)求k的所有可能值，并分别写出对应的点P的坐标。 第62页共64页 59.直线y=-x+8与反比例函数y=K(k>0)的图象在第一象限交于不同的两点A,B,点A 的横坐标小于点B的横坐标。点F为这条直线与y轴的交点，点C与点A关于原点对称。 已知H(-V17,V17）,且∠AHC=90°。 y B 0 (1)求k及A,B,C的坐标； (2)求证：AH平分∠FAC, (3)求△ABH的面积。 第63页共64页 60.点Aa,b),B(c,d)在函数y=的第一象限分支上，且a<c,b-d=2(c-a。过B作 BC⊥AB,使BC=AB,点C也在该反比例函数的图象上。 B (1)说明点C不可能位于点B的右上方； (2)求A,B,C的坐标； (3)求△ABC的面积。 第64页共64页 九年级反比例函数期中复习讲义 苏科版 九年级上册 第2章 反比例函数 教师版 本讲义围绕反比例函数的表达式、图象与性质，说明各项结论的适用条件，并用例题讲清坐标、面积、交点与实际问题之间的联系。先读知识详解，再完成选择、填空和解答题，共60题。 除题目另有说明外， 表示平面直角坐标系的原点；图形为示意图，长度与位置关系以题目条件为准。 一 知识详解 1 反比例函数的定义和三种表示 一般地，形如 的函数叫作反比例函数，其中 是不等于0的常数， 是自变量， 是函数值。这里必须同时有 和 前者保证研究的是反比例函数，后者保证分式有意义；二者不是同一个条件。 同一个反比例关系的三种表示 表示形式 保持不变的条件 阅读重点 分式形式便于代入求值 x的指数必须恰好是-1 图上每一点的横、纵坐标乘积相同 反比例函数还可以写成 或 其中 这三种表示强调的内容不同：分式形式便于代入求值，指数形式中的指数必须恰好是 乘积形式便于比较图象上两点、建立几何与实际数量关系。 例： 表示同一个反比例函数； 是正比例函数， 不是反比例函数。不能把“含有分式”“一个量变大另一个量变小”当作反比例函数的定义。 当 时， 在 的范围内只是恒等于0，不是本章定义的反比例函数。由于 反比例函数的函数值 也不可能为0。 2 反比例函数图象的象限分布与增减性 反比例函数 的图象由两条互不相连的曲线组成，称为双曲线。因为 当 时， 同号，图象分布在第一、第三象限；当 时， 异号，图象分布在第二、第四象限。横、纵坐标都不能为0，所以图象不经过原点，也不与两条坐标轴相交。 反比例函数四种分支情形 统一按x从小到大读 系数条件 横坐标范围 纵坐标符号 所在象限 在该象限内的增减性 第一象限 在该象限内，y随x的增大而减小 第三象限 在该象限内，y随x的增大而减小 第二象限 在该象限内，y随x的增大而增大 第四象限 在该象限内，y随x的增大而增大 先看 的十字坐标图。第一象限内，点从 移到 横坐标越来越大，纵坐标越来越小。第三象限内，点从 移到 横坐标同样越来越大，纵坐标也越来越小。因此 时，在第一象限分支、第三象限分支上，都是y随x的增大而减小。 具体例图 第一和第三象限各自从左向右下降 再看 的十字坐标图。第二象限内，点从 移到 横坐标越来越大，纵坐标越来越大。第四象限内，点从 移到 横坐标越来越大，纵坐标也越来越大。因此 时，在第二象限分支、第四象限分支上，都是y随x的增大而增大。 具体例图 第二和第四象限各自从左向右上升 读图时，先让x按从小到大的顺序变化，也就是从左向右看同一条分支，再判断y向上还是向下。不能在第一象限从左向右读，却在第三象限改成从右向左读。下面的具体点序与图上的箭头一一对应；表中的结论适用于相应符号的所有非零k，不只适用于6和-6。 同一分支上的具体点序 x始终从小到大 例中系数 所在分支 x依次取值 对应y依次取值 y的变化 6 第一象限 减小 6 第三象限 减小 -6 第二象限 增大 -6 第四象限 增大 “每一条分支上”是不能省略的条件。例如在 上， 分别位于第三、第一象限。虽然 却有 不能由 就断定 两点之间跨过了 而0处没有函数值；两条分支不能接成一条连续曲线使用增减性。 跨过0的两点不能直接套用同一分支上的增减性 同一分支的两点，可以用上述增减规律比较；不同分支的两点，先由象限判断函数值的正负。例如前图中 立即得到 不需要把两条分支拼在一起。 3 同一分支与不同分支的函数值比较 比较反比例函数的几个函数值，要先看各点位于哪一条分支。同一分支上，用已知的增减规律；不同分支上，先看函数值的正负。负数一定小于正数，不需要跨过0硬套增减性。 例： 都在 上。图中A、B同在第二象限，C在第四象限。 先在同一分支比较A与B 再用正负比较C与它们 对A、B，因为 而第二象限分支上y随x增大而增大，所以 对C和A、B，先由象限得 合起来为 代入检查，对应值分别为2、6、-3，顺序一致。 为什么同一分支有这样的规律？设 且二者同号，则 又有 分母为正，所以 时差为负， 时差为正。这里“二者同号”正是同一分支条件的代数依据。 若横坐标含参数而符号未定，应先确定它们所在分支，或比较差的符号。例如 只知道 还不够，还要看k与ab的符号。不能把不知道正负的式子乘到不等式两边后仍保持原不等号。 4 列表描点怎样画出两条分支 画反比例函数图象通常经过列表、描点、连线三个步骤。列表时在正、负两侧都选取若干适合计算的非零数；描点后用平滑曲线依次连接同一侧的点，不能用折线代替曲线，也不能把左右两侧穿过原点连接起来。 的描点数据 x 1 2 3 6 y 6 3 2 1 例：画 可选 对应 正、负两侧分别形成一条分支，两条分支合起来叫双曲线。靠近坐标轴处还应结合函数值变化判断走向，不能只凭少数点随意收尾。 分别连接左右两侧的数据点 得到光滑而不穿轴的两条分支 因为 图象不与任何一条坐标轴相交。当 越来越大时， 越来越小，但仍不等于0；当非零的 越来越小时， 越来越大。靠近坐标轴，不等于可以碰到或穿过坐标轴。 描点图只显示部分点，图象并不在最后一个描出的点处结束。坐标轴、原点、主要刻度、点的字母及相应曲线都应标清；只研究正半轴范围时，也应在题目或图中明确说明。 5 识别含参数的反比例函数 判断含参数的式子是不是反比例函数，要先整理成可以比较的形式，再同时检查系数与自变量的指数。参数虽然用字母表示，在一次讨论中仍视为常数，不把参数当成自变量。 例：若 是反比例函数，则必须有 且 前式给 或 后式排除 所以 只解指数条件会多出不合定义的值。 系数条件与指数条件必须同时满足 检查内容 本例条件 所得结果 x的指数 或 反比例系数 共同满足 两条件同时成立 再如 它不具有 的形式，因此 不是 的反比例函数；但 与 成反比例。若题目说“ 与 成反比例”，应设 不能直接设 化简不能遗失原式的取值限制。例如 只有在 时才能化为 即使表达式简化了，原关系中 仍不能使用；做定义识别时应把原限制写清。 6 乘积不变与成反比例的变化 若点 都在同一个反比例函数 的图象上，则 这是图象上点的坐标特征，也是两组数据属于同一反比例关系的检验依据。 由 若 其中 就有 自变量扩大到原来的3倍，函数值变为原来的 不是减少3，也不是一定减少 例：点 在同一反比例函数图象上，因 得 若点 也在图象上，则 得 负坐标照样满足乘积关系，不可把乘积都改成正数。 再取点 从A到D，横坐标扩大到3倍，纵坐标变为原来的 乘积仍然是12。 同一图象上的点用同一个乘积核对 点 横坐标 纵坐标 乘积 A 2 6 12 B 3 4 12 C 12 D 6 2 12 对实际数量来说，“成反比例”还要求乘积保持同一个常数。例如固定路程中速度与时间的乘积是路程；如果路程也发生变化，仅知道“速度越大时间越短”，仍不足以建立同一个反比例函数。 7 表达式的取值范围与图象上的点 纯数学问题中的 若没有额外限制，自变量可取一切非零实数。题目若另给 等范围，必须在这个范围内研究。表达式相同、给定范围不同，所研究的图象部分也不同。 判断一个点是否在图象上，应先确认横坐标在规定范围内，再代入或检验横、纵坐标的乘积。例： 满足 在 的完整图象上；但不在题目只研究的 的图象上。 完整图象与只取x大于0的部分不是同一个研究范围 函数图象上的点与其他几何点要分清。若 在一条直线上，过 的水平线与双曲线交于 则 的横坐标不能为0，并不说明 的横坐标也不能为0。限制跟着它所描述的对象走，不能搬到别的点身上。 例： 虽不在 上，但过 的水平线 与双曲线有交点 若 在x轴上，过它的水平线就是 则与该双曲线没有交点。 P可以在y轴上 Q仍是双曲线上的点 8 图象对称性及其坐标依据 若 在 的图象上，则 于是 所以 也在图象上；这说明完整图象关于原点成中心对称。两点到原点的距离相同，连线经过原点。 又因为 点 也在图象上。交换横、纵坐标正对应关于直线 的对称。结合中心对称，还可得到 这些性质的依据都是乘积不变，不需要凭图形猜测。 例：图象经过 则还经过 但 的坐标乘积为21，与原来的 不同，并不在同一图象上；关于x轴或y轴的对称通常会改变系数的符号。 原点对称与交换横纵坐标分别看哪两个点 完整图象关于原点对称，不等于题目只给的第一象限那一段也包含对称点。使用对称性质后，仍应检查题目是否限制了点所在象限或运动范围。 9 确定函数表达式与坐标条件 求反比例函数表达式，通常设 把一个已知图上点的坐标代入，求出 再写出表达式及题目要求的自变量范围。反比例函数只有一个待定系数，一个合格的非零横坐标点通常就能确定它。 例：图象经过 所以 表达式为 若还给点 则 把结果再代回已知点，可及时检查符号。 一个合格图上点确定k 再恢复另一点 若坐标中含字母，应把“在同一图象上”和其他数量条件联立。例如 都在图象上，且 则 与 联立，得 图上点的已知分量与坐标条件对应 若给出的点来自直线与双曲线的交点，可以先用已知直线求完整坐标，再确定 若题目给的是矩形或三角形面积，应先根据图形推出 或相关坐标，再利用象限确定 的正负。面积本身不能告诉你 是正还是负。 10 同一参数联系两个函数 一个字母同时出现在一次函数与反比例函数中时，它在两处表示同一个数。应分别把图象信息翻译成条件，再求这些条件的公共部分，而不是各选一个看起来合适的值。 例： 的图象位于第一、第三象限，且一次函数 的函数值随x增大而增大。前一条件给 后一条件给 合起来为 若另说 是整数，才进一步得到 同一个m要同时满足两种图象条件 题给条件 数学条件 化简 反比图象在第一第三象限 一次函数随x增大而增大 同时成立 取两个范围的公共部分 若题目明确称两式都是反比例函数，系数都不能为0。例如 同为反比例函数，则要有 求出其他不等式范围后，仍不能把这两个值留下。 参数的范围要既必要又充分。求出一个限制后，可取该范围内的一般数检查原图象条件是否都成立；端点是否包含取决于原条件中能否取等号，以及取等后函数类型会不会改变。 比较两条双曲线的系数时，不能只看“哪条图象更高”，必须固定相同的横坐标。若 在同一个 处有 在同一个 处，除以负数使不等号反向，故 例：取 当 时，两函数值分别为4、2，第一条图象在上方；当 时，两函数值分别为-4、-2，第一条图象反在下方。表中把固定的x、系数与对应值放在同一行，避免凭整体图形位置猜系数大小。 同一个横坐标处 比较系数还要看x的正负 固定横坐标 函数值大小 4 2 11 给定区间内的最大值与最小值 若x的范围完全位于同一分支上，函数值的大小可由变化规律判断，闭区间的最大值、最小值在两个端点取得。先确定 的符号，再决定哪一个端点对应最大值；不能永远把左端点代入当最小值。 例：因为 负半轴上y随x增大而增大，故最小值为3，最大值为6。反过来，若只知该区间最小值3、最大值6，也可由 求系数。 闭区间的两个端点在同一分支上 分别对应最小值与最大值 若范围为 函数 满足 6虽然是不断接近的上界，但 不在范围内，因此不能说最大值为6；最小值2则在 时取得。要把“能够等于”与“可以接近”区分开。 空心点不能取到 实心点可以取到 如果x的范围跨过0，不能只比较两个外端点。例如在 时， 在端点的值分别为 和6，但取 就有 取 就有 因此函数值并不局限在 内；应把正、负两段分开研究，不能照搬同一分支闭区间的结论。 跨过0时 两个外端点不能控制全部函数值 靠近0的函数值超出外端点的值 x 1 y 60 6 12 系数与垂足矩形三角形的面积 设 在 上，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，O为原点。矩形OAPB的两边长是 所以面积为 图中底与高确实来自P的两个坐标，这个条件不能省略。 第二象限中的矩形面积为10 对应两个直角三角形各为5 例图中 位于第二象限， 是两个垂足。矩形面积为 又因 可见面积是 不是负数k。 连接OP，把矩形分成两个面积相等的直角三角形。因此 在例图中，两块面积各为 合起来恰好等于矩形面积10。 若题目给面积反求k，应先由面积求 再由象限确定正负。只有底边和高是相应坐标绝对值，或能证明与它们相等时，才能使用这个面积结论。任意一个顶点在双曲线上，并不能保证三角形面积都等于 13 两条双曲线之间怎样用同底同高求面积 设P、Q有相同的非零横坐标 分别在两条不同的反比例函数 上，其中 均不为0，且 两点竖直排列，所以 原点到PQ所在直线的距离为 竖直底PQ长2 原点到其所在直线的高为3 例：P、Q分别在 上，横坐标都是3。于是 以PQ为底，从O到这条竖直线的高为3，所以 对一般的非零a，同样有 底边随a变化，高也相应变化，两者的乘积保持不变。这个结论依赖“横坐标相同”，不是任意取两条双曲线上的点都成立。 系数一正一负时，要从实际线段长出发，不能直接做 几何图中需要两个面积相加就相加，需要从大面积扣除才相减，不能只背一个系数差口诀。 14 坐标差怎样表示线段长度 两个点横坐标相同，竖直线段长等于纵坐标差的绝对值；纵坐标相同，水平线段长等于横坐标差的绝对值。长度不能是负数；确定了左右、上下位置后，才可去掉绝对值写成“大坐标减小坐标”。 例： 在双曲线上， 在直线上，两点的横坐标相同，所以 不能在未确定上下位置时直接去掉绝对值。 t变化后上下位置交换 长度始终取坐标差的绝对值 当 时，P在上方，当 时，Q在上方，同一表达式在两个位置中都成立，绝对值正是用来保证长度非负。 两点不在同一水平线或竖直线上时，可补作平行于坐标轴的线段，构成直角三角形，再用勾股定理。若则 这个等式来自横、纵方向的两条直角边。 例：横坐标差、纵坐标差的绝对值均为6，所以 斜线段长不能直接相加为12，也不能只用其中一个坐标差作为长度。 斜线段补成直角三角形 两条直角边分别长6 15 直线与双曲线的交点 两个图象的公共点同时满足两个函数表达式。求直线 与双曲线 的交点，先联立得到 并保留 再整理为 求出横坐标，最后逐个代回求相应纵坐标。 例： 与 相交。由 得 或 分别代入直线得 或 交点为 不能交叉配成 求出横坐标后逐个配回对应纵坐标 当 时，可用本学期已学的一元二次方程方法研究交点数：判别式为 大于0、等于0、小于0分别对应两个、一个、零个不同交点。由于常数项 方程的根不可能为0。若 原式是水平直线，不能仍按二次方程套判别式： 时只有交点 时没有交点。 先看直线类型再判断交点个数 情况 所用关系 不同交点个数 2 1 0 1 与双曲线无交点 0 过原点的直线 与双曲线相交时，有 时有两个关于原点对称的交点； 时没有交点； 时也没有交点。不同系数的两条双曲线 与 若有公共点，就会推出 因此当 时没有公共点。 16 从图象求不等式的解 比较 与 就是在同一横坐标处比较两图象的高低。 对应第一条图象在第二条上方； 还包含交点的横坐标。无论是否允许取等号，双曲线没有定义的 都不能包含。 例：比较 与 两图象交于横坐标 2处，还必须以0分开。用图象或差 判断，可得 时 或 时 或 图象相对高低对应横轴区间 0始终不能包含 例如在 时差为正，在 时差为负，在 时差为正，在 时差为负。交点横坐标与0把数轴分成这些部分，在各部分内各因子的符号不变，所以不能把0两侧的两段合成一段。 交点横坐标与0把比较分成四段 x所在范围 的符号 正 负 正 负 图象位置 双曲线在上 直线在上 双曲线在上 直线在上 若用代数去分母，必须分别在 的条件下处理；当x为负时不等号要反向。若题目另外给 或某个线段的横坐标范围，最终答案还要与这个范围取公共部分。 17 一般三角形的面积要看底高与割补 不是由垂足构成的特殊直角三角形，就先找容易表示的底与高。斜底不便求高时，可补出坐标轴交点，将图形分成几个容易算的小三角形。点在线段内、外或坐标轴两侧，会决定面积应相加还是相减。 例一： 在 上，直线AB为 与y轴交于 连接OA、OB、OC。 例一 沿y轴分成两块 面积2加4 A、B在y轴两侧，C在线段AB上，所以大三角形分为左右两块。共同底为 对应的横向高分别为2和4，故 这里不是 原因就在于底与高不符合前面特殊面积结论的条件。 例二：P在 的第一象限分支上，并位于 内部。设 图中用 显示三块面积的关系。 例二 大三角形减去两块 图示t等于3 一般地，而大三角形面积为50，所以 在图示 时，两块靠坐标轴的小三角形面积分别是15、20，余下 的面积为15。 上述减法的条件是P在三角形内部，即 且 如果P走到外部，三个区域的拼合关系会改变，不能继续原样相减。求出坐标后要检查这个位置条件。 18 平移与中点怎样固定图上点 点 向右平移h个单位后为 向上平移h个单位后为 两点横坐标的中点取平均，纵坐标的中点也取平均，所以线段端点为 时，中点为 其依据可由过中点作平行于坐标轴的线，得到两组全等直角三角形来说明。 例： 在 上，向右平移t个单位得到B。 在x轴正半轴上，且B在D右侧；BD的中点C也在这条双曲线上。图中取 画一种允许的位置。 平移只改变B的横坐标 中点C的高度固定为3 由平移得 因为D的纵坐标为0，C是中点，所以 C在双曲线上，于是 即 再用横坐标的中点关系，得 所以 D在正半轴给 即 B在D右侧给 代入得 因此 这样先由中点高度确定C，再求B与D的联动和允许范围，后续的长度与面积都能在这个范围内研究。 19 等腰直角与角平分线的图形转化 等腰三角形可用两条边长相等，也可在已知底边时利用底边上的高、中线、顶角平分线重合。若未指定底边，应考虑哪两边相等；若已经说明以某一边为底，就不能再增加不合题意的其他情况。 例一：C在第一象限，且 是以BD为底的等腰三角形；C又在 上。过C作BD的垂线，垂足为H。 例一 已知底边时用底边中点确定横坐标 底边BD水平，等腰三角形底边上的高也是中线，所以H为BD中点，再由曲线得到 故 先由几何确定横坐标，再由函数确定纵坐标。 等腰直角三角形的坐标关系可以用全等推导。设A在B左上方，C在B左下方，过A作竖直线，过B作水平线，两线交于E；过B作竖直线，过C作水平线，两线交于F。这样E在B左侧，F在B下方， 下图以 为例，C在B左下方；先依据全等确定C相对B的横、竖方向长度。 例二 两个投影直角三角形的AAS对应 因为 所以 又因为 所以 因此 结合两个直角和 可用AAS判定 得到 即AB的竖向长度等于BC的横向长度，AB的横向长度等于BC的竖向长度。 在这个具体例子中，由A、B的坐标，得 由全等，得 C在B左侧2个单位、下方1个单位，所以 若C换到另一侧，坐标的正负要按新的方向重新确定，不能把“横竖交换”当作不看位置的口诀。 角平分线还可以用轴对称理解。看下面独立的几何示意图：把角一边上的点C关于角平分线AH对称得到D，则D在角的另一边上，若H是C到角平分线的垂足，则C、H、D在同一直线上，且 所以H是CD的中点。 角平分线两侧的对称点 垂足是它们连线的中点 这一步把“角平分线”转成了对称点，把“垂直”转成了中点和相等长度。坐标题中可以先求C、D的坐标，再用中点确定H；不必先引入圆或三角函数。 20 面积与乘积最值要同时看图形范围 前面的平移中点例中，且 所以 配方可把它写成 平方不小于0，说明乘积不超过 当 时能取到这个值，而且该t在允许范围内。 若另加条件 允许的t就全部在 的右侧。此时 所以乘积的最大值改为2，在 时取得。下图分别画出这两个允许范围内取得最大值时的原平移构型，并用数轴标明允许的t。图上的AB、OD与乘积逐项对应，便于看清形式上的上界是否能在题目范围内取到。 原平移构型的两个取等位置与相应允许区间 另看固定面积矩形的周长。设两边长a、b都为正，且 图左表示一般矩形，图右表示两边相等的情形。 固定面积16时 正方形达到最小周长16 由 得 又因 所以 周长 等号当且仅当 时成立，恰好对应右图的正方形。图形和代数同时给出了下界以及能取到它的具体尺寸。 21 从实际问题建立反比例模型 建立模型先找不变的乘积，再确定变量与单位。固定路程s时，速度v与时间t满足 所以 固定面积S的矩形满足 固定体积V的柱体，底面积A与高h满足 这些关系中的速度、时间、长度、面积通常都应为正。 三类固定乘积模型 各变量对应什么实际量 例：一段路程长360千米，不计中途停留，匀速行驶的时间t小时与速度v千米/时满足 若要在不超过5小时内到达，则 因 可得 若另有最高速度限制90千米/时，实际允许范围为 固定路程360千米 时间要求与速度限制共同确定可行范围 题目若给出压力、压强、密度、体积等关系式，可把它当作已知数学关系使用，不要求先掌握额外物理知识。例：某密度计的液体密度 与浸没深度h成反比例。用密度为1.5克每立方厘米的液体校准时，测得 厘米，因此 仪器只在 厘米时有效，故可测密度为 克每立方厘米。密度为 的液体在允许范围的端点上，能测；密度为2.4的液体虽然代入式子得到 却超出了仪器的有效范围，不能据此完成测量。模型能算出一个正数，不等于该仪器一定能使用。 密度计的浸没深度与有效量程 公式算出正值仍可能超量程 注意“总时间”若还包含固定停留时间 就应写 并不是T与v成反比例。同样，固定量加在函数值或自变量上之后，必须按题意建立新关系，不能因为出现分式就把它直接当作标准反比例函数。 总时间由行驶与停留两段相加 不能直接称总时间成反比例 22 图表中的分段模型与持续时间 实际图象可能由线段、水平线段与双曲线的一部分组成。每一段都有自己的表达式与适用范围：先用端点数据求关系，再说明在哪段时间内使用。某一段的式子不能越过原有阶段或题目给定的观察时段。 例：某装置进行18分钟的测试，记录效果值q。前6分钟，q从0匀速增加到6；第6至第10分钟保持为6；第10至第18分钟，q与时间t成反比例。于是第一段为 （第二段为 （第三段由衔接点 得到 但只在 时使用。 同一次测试中的三个阶段 时间范围 效果值q 阶段特点 线性增加 保持不变 反比例减小 曲线只定义到第18分钟 两个阈值各有对应的有效时间条 若效果值至少为5才算有效，第一段从第5分钟开始达到要求，第二段全部达到要求，第三段由 得 与本段范围合并为 因此有效时间从第5分钟持续到第12分钟，共 分钟。三个阶段在交界处相接，不把同一个交界时刻重复增加时间。 若标准改为至少3，则本次记录中从第3分钟开始一直到第18分钟都达到标准，共15分钟。虽然反比例式给出 时 但20已超出题目给出的测试时段，不能凭这段记录就宣布效果持续到第20分钟。“结束时刻”与“持续时长”、模型给出的值与实际允许的时间范围，必须分别判断。 23 整数点与对称配对 横、纵坐标都是整数的点叫作整点。若 是正整数，反比例函数第一象限内的整点满足 所以正整数x必须是k的因数，对应的纵坐标为 找整点就是找正因数对，同时还要检查题目规定的坐标范围。 例： 第一象限内的整点为 如果还要求 前后两点不符合，只留下中间4点。不能把乘积等于45的每一对正整数都算进有范围限制的题。 k等于45时 按交换坐标列成对整点 一组坐标配对 坐标和 是否满足 计入点数 与 46 否 0 与 18 是 2 与 14 是 2 交换横、纵坐标不改变乘积，所以 与 总同时位于同一条双曲线上。若题目范围也在交换后保持不变，例如 那么 的合格点就成对出现；在直线 上的点则与自身重合，只能计一次。这样的正整点存在时有 所以k必须是一个正整数的平方。若只限制横坐标而不限制纵坐标，交换后的点可能超出范围，就不能直接按成对计数。 例： 第一象限共有7个整点，对应正因数 其中 在直线 上，其余6点分为3对。若限制 只剩 仍是1个而不是2个。一般地，当合格点都可以按坐标交换配对且总数为奇数时，必有一个合格的对角点；反过来，k是平方数还不够，还要检查这个点以及其他因数对是否满足给定范围。 k等于64时 对角点只计一次 一组坐标配对 坐标和 是否满足 计入点数 与 65 否 0 与 34 否 0 与 20 否 0 与自身重合 16 是 1 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列函数中， 是 的反比例函数的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 反比例函数可写成 其中 只有 符合。 2. 反比例函数 的图象经过点 则 的值是（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 3. 若 是 的反比例函数，则 的值是（    ）。 A. B. C. 或 D. 答案 A 指数须满足 得 或 又 所以 4. 关于反比例函数 下列说法正确的是（    ）。 A. 可以取 B. 可以取 C. 只能取正数 D. 都不能取 答案 D 分母不能为 所以 因为分子为 故 两者都不能取 5. 函数 的图象位于第二、四象限，则（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 位于第二、四象限说明 即 6. 点 在函数 的图象上，则（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 故 也可先用正负区分两支，再比较同一支。 7. 关于函数 的增减性，下列说法正确的是（    ）。 A. 在每个象限内， 随 增大而增大 B. 对所有非零 总随 增大而增大 C. 在第四象限内， 随 增大而减小 D. 在第二象限内， 随 增大而减小 答案 A 在每个象限内， 都随 增大而增大；不能跨越 作整体单调判断。 8. 已知 与 成反比例。若 由 变为 则 变为原来的（    ）。 A. 倍 B. 倍 C. D. 答案 D 变为原来的 倍，而 不变，所以 变为原来的 9. 点 在函数 的图象上，过 分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成矩形。该矩形的面积是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 若 矩形边长为 面积为 10. 点 在函数 的第一象限分支上， 轴，垂足为 为原点。则 为（    ）。 A. B. C. D. 不能确定 答案 A 设 则 所以 11. 下列点在函数 的图象上的是（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 逐一检验横、纵坐标的乘积。只有 12. 一项工程的工作总量一定，每人每天的工作效率相同。设参加工作的人数为 完成工程所需天数为 忽略其他因素，则（    ）。 A. 与 成正比例 B. 不变 C. 与 成反比例 D. 与 无关 答案 C 总工作量与每人每天工作量的比值为常量，故 是一个正常数， 与 成反比例；这里 应为正整数。 13. 反比例函数 的图象在每个象限内， 随 增大而减小，且经过点 其中 则 的取值范围是（    ）。 A. B. C. D. 答案 B 由每支递减得 即 此时图象在第一、三象限，因 故 即 所以 反过来，任意 取 即可满足点在图象上的条件，所以区间内各值都成立。 14. 反比例函数 与一次函数 的图象交点的横坐标为 则 时 的取值范围是（    ）。 A. B. 或 C. 或 D. 或 答案 D 比较图象上下位置，必须把 也作为分界点。 在 与 时为正，故选 D。 15. 矩形的四个顶点依次为 其中 点 在同一反比例函数 的图象上，点 在 的图象上，点 在 的图象上。若直线 的解析式为 则这个矩形的周长为（    ）。 A. B. C. D. 答案 B（ 由题意，所以 各点均在第一象限，故 矩形面积为 由直线 的解析式得 设 则 所以 故矩形周长为 选 B。 16. 已知 是反比例函数。任取其图象上的两点 其中 均有 则实数 的取值范围为（    ）。 A. B. 或 C. 或 D. 答案 C（ 或 记 则 由于 括号内恒为正，所以 等价于 由给定区间，且上界在 时取得。因此“任取两点均有 ”等价于 综上，即 所以 解得 或 注意 时系数为零，必须排除。选 C。 17. 某简易密度计的实际浸没深度 与液体密度 满足 深度和密度的单位分别为厘米和克每立方厘米。尺上读数 与实际深度满足 其中 为固定校准值。将密度计放入密度分别为 的标准液体中，得到的准确读数分别为 随后测量某液体，显示读数为 但实际尺上读数可能为从 到 之间的任意值。要确保该液体的密度一定满足 显示读数 应满足（    ）。 A. B. C. D. 答案 B（ 由两次准确校准，解得 故 由于实际深度为正，密度要求 等价于 当显示读数为 时，实际深度可能在 至 之间。要使所有可能深度均落在 内，必须且只需 且 解得 选 B。 18. 设 为正整数。反比例函数 的图象上，横、纵坐标都是正整数且满足 的点恰有5个。满足上述条件的 的个数为（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 答案 B 若 符合条件，则 也符合条件，因为两者的坐标乘积相同，坐标和也相同。当 时这是两个不同的点。因此所有不在直线 上的合格点都成对出现。 合格点共5个，为奇数，必须有一个满足 的合格点。设该点为 其中m为正整数，则 且 所以 直线 上至多有一个合格点。 依次检查 的正因数对，同时检验坐标和不超过15。合格点数依次为1、3、3、3、1、5、1。特别地， 的 与 因坐标和为17不能计入； 的 与 因坐标和为20也不能计入。 当 时，合格点恰为 确有5个。因此只有1个k符合条件，选B。 19. 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的直角顶点为 点 的坐标为 点 在第一象限。将这个三角形平移，得到 其中 在 的右上方，且 若 都在函数 的图象上，则 的值为（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 先求点 的坐标。过 作 轴，垂足为 由 在第一象限且 知 在 的右侧。（同为 的余角），且 所以 （AAS）。于是 故 设向右平移 个单位、向上平移 个单位，其中 则 两点同在一条反比例曲线上，故 整理得 由平移距离及勾股定理，代入得 整理为 因 得 所以 于是 回验另一点 的乘积也是 且平移距离为 选 C。 20. 点 是直线 上第一象限内的一点。过 作 轴的平行线，交函数 （的图象于 过 作 轴的平行线，交函数 （的图象于 若 是腰长为 的等腰直角三角形，则 的所有可能值为（    ）。 A. B. 或 C. 或 D. 答案 B 设 则 因 水平、 竖直，直角在 所以 先判断 的位置。若 在 右侧，则 若同时 在 下方，就有 矛盾。若 在上方，则 推出 又与 矛盾。因此 必在 左侧，且 若 在 上方，则 与 联立，得 代入 得 所以 （负根舍去）， 若 在 下方，则 得 代入直线关系得 所以 （另一根为负，舍去）， 此时 两交点均在第一象限，且 两种情形均满足两腰长为 故 或 三 填空题 21. 反比例函数的图象经过点 其表达式为________。 答案 故 22. 在函数 中，当 时，________。 答案 23. 若 则 关于 的函数表达式为________，其中 的取值范围为________。 答案 由 可知 两边同除以 得 24. 点 在某反比例函数图象上，则与 关于原点对称的点 的坐标为________，________（填“在”或“不在”）该图象上。 答案 在 关于原点对称，两坐标均变为相反数，得 两点坐标乘积均为 所以 在同一图象上。 25. 反比例函数 的图象经过点 把 的横、纵坐标交换得到点 则 的坐标为________，且 ________该图象上。 答案 在 且 所以 仍在图象上。 26. 点 在第二象限的反比例函数图象上，过 向两坐标轴作垂线得到的矩形面积为 该反比例函数的表达式是________。 答案 矩形面积为 第二象限对应 所以 27. 点 在函数 的第四象限分支上， 轴，垂足为 若 则 ________。 答案 得 第四象限要求 所以 28. 若 是反比例函数，则 应满足________。 答案 且 分子必须是非零常数，所以 即 29. 某长方形的面积为 其长为 cm，宽为 cm，且长不小于宽。则 关于 的表达式为________， 的取值范围为________。 答案 且 由 得 所以 30. 点 都在函数 的图象上，则 ________（填“”“”或“”）。 答案 第四象限分支随 增大而增大，因 所以 也可代入得 31. 直线 与反比例函数 的图象交点为________。 答案 与 由 得 故 代入 得两点坐标。 32. 点 在同一反比例函数图象上，则 ________（用 表示）。 答案 因图象上点的横坐标 得 所以 33. 点 与 在同一反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式为________。 答案 由横纵坐标积相等，得 所以 于是 表达式为 34. 直线 分别交函数 与 的图象于 其中 若 则 ________。 答案 故 原点到直线 的距离为 解得 35. 点 在函数 的第二象限分支上，点 在函数 的第一象限分支上， 为原点。若 且 则点 的所有可能坐标为________。 答案 或 设 其中 由点在相应曲线上，得 由 及勾股定理，即 整理得 又 且 所以 与 比较得 因此 两条线段长度均为正，故 三角形在 处为直角，由面积得 即 所以 又 故 因 由 得 所以 为 或 因此 或 对应 或 代入两曲线、勾股关系和面积，均符合题意。 36. 在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 轴，点 在第一象限，点 在第三象限。对角线 所在直线的表达式为 （点 都在反比例函数 （的图象上。若平行四边形 的周长为26，则 ________。 答案 设 由 轴且D在第一象限，得 D在两个函数图象上，所以 即 把两函数联立，得 整理为 即 D的横坐标为d，另一交点B的横坐标为 代回直线得 A、B的横向距离为 竖向距离为3，所以由勾股定理得 周长为26，故 并且必须有 移项后平方，得 整理为 即 不满足 舍去； 时 周长 且B、D所在象限均符合。因此 37. 点 在反比例函数 的图象上。点 也在该图象上，且三角形 的面积为 所有满足条件的点 的横坐标之和为________。 答案 直线 的解析式为 设 其中 过点 作竖直线交直线 于 过点 作 垂直于直线 垂足为 因为直线 与竖直线的夹角为 所以三角形 是等腰直角三角形，由勾股定理得 又 故三角形 的面积为 由面积条件得 所以 或 不能只保留绝对值的一种符号。 前一方程化为 两根为 后一方程化为 两根为 这四个根均非零且互不相同。 故全部合格点的横坐标之和为 38. 直线 与 轴交于 与函数 （的图象交于 过 作 轴的平行线，交该图象于 若 是等腰三角形，则 的所有可能值为________。 答案 设 其中 则 令 则 由横、纵坐标差及勾股定理， 若 得 故 若 得 故 若 得 故 三种情况下 点 均不在水平线 上，三角形确实存在，故三个值均应保留。 39. 某装置的输出功率 （单位为瓦）随时间 （单位为分钟）的变化图象依次由线段 线段 和反比例函数图象的一部分组成，其中 在 时，图象经过点 且一直延续。若功率不低于 瓦的持续时间恰为 分钟，其中 则 ________。 答案 线段 上 线段 上 反比例阶段由 得 功率先增后减，所以不低于某正阈值的时间段只有一个。 当 时，进入时刻为 离开时刻为 此时离开时刻不早于 进入时刻不晚于 持续时间至少为 分钟，不可能是 分钟。 当 时，进入时刻为 离开时刻为 由 得 即 正根 属于所需范围。此时进入时刻为 离开时刻为 持续 分钟，故 40. 在平面直角坐标系中， 为原点，点 在反比例函数 的第一象限图象上，点 在反比例函数 的第二象限图象上。若 是等边三角形，则它的面积为________。 答案 设 其中 由两点在相应曲线上，得 设等边三角形边长的平方为 面积为 则 由 有 展开并利用前式，得到 过 向x轴作垂线，利用外接梯形减去左右两个直角三角形，可得 另一方面，等边三角形的高由勾股定理得边长的 所以 即 把 与 联立：第一式乘 第二式乘 后相加，得 第二式乘 第一式乘 后相减，得 这里用了 由 有 从而 因此 最后 面积为正，所以 四 解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41. 已知 与 成反比例，且当 时， （1）求函数表达式；（2）求 时 的值；（3）通过计算判断点 是否在该图象上。 答案 （1）（2）（3） 在， 不在。 （1）设 代入已知值得 所以 （2）由 得 （3）点 的横、纵坐标之积为 所以在图象上；点 的坐标乘积为 所以不在图象上。 42. 已知函数 （1）列表、描点，画出函数图象； （2）写出图象所在的象限及在每个象限内的变化规律； （3）判断图象与坐标轴是否相交，并写出判断依据。 答案 图象在第一、三象限；在每个象限内随 增大而减小；不与坐标轴相交。 （1）可取 分别把同一象限的点用平滑曲线连接，不能跨越原点连接两支。图见下方。 （2）图象位于第一、三象限，在每个象限内， 随 增大而减小。 （3）由于 图象不与 轴相交；由于 图象不与 轴相交。 43. 点 在函数 的图象上。 （1）比较 的大小； （2）小明说：“因为 所以 越大， 越大；由 得 ”请指出错误并改正。 答案 （1）（2）增减性只能在同一象限内使用。 （1）所以 （2）小明把同一分支内的增减性用于不同分支。点 在第二象限，点 在第四象限，故正确关系是 44. 点 在函数 的第一象限分支上，过 分别作 轴、 轴，垂足为 为原点。 （1）用 表示矩形 和三角形 的面积； （2）求这两个图形的面积； （3）分别求 位于同一函数第三象限分支时这两个图形的面积。 答案 （1）（2）（3）矩形面积为 三角形面积为 （1）第一象限中 所以矩形面积为 三角形面积为 （2）因 在图象上，故两面积分别为 （3）第三象限中 边长为 矩形面积仍为 三角形面积仍为 均不变。 45. 一辆汽车沿长 km 的道路匀速行驶，行驶速度为 km每小时，行驶时间为 h。按要求，速度不低于 km每小时且不高于 km每小时。 （1）写出 关于 的函数表达式及 的取值范围； （2）当速度为 km每小时，需行驶多少小时？ （3）求行驶时间的取值范围。 答案 （1）（2） h；（3） （1）路程等于速度乘时间，故 所以 其中 （2）（h）。 （3）因 时间随速度增大而减小； 时 时 所以 46. 直线 与反比例函数 的图象交于 两点，点 在第一象限。 （1）求 的坐标； （2）求线段 的长； （3）过 作 轴，垂足为 求 答案 （1）（2）（3） （1）联立得 故 得 所以 （2）两点关于原点对称，故 （3）故 47. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点。 （1）求这两个函数的表达式； （2）直接写出 时 的取值范围； （3）求 答案 （1）（2） 或 （3） （1）所以 把 代入直线，得 解得 （2）直线与双曲线在横坐标 处相交，还须以 为分界点。比较得 或 （3）设直线与 轴交于 在线段 上。三角形 的面积为 48. 一种简易密度计竖直漂浮时，液体密度 （单位为克每立方厘米）与浸没深度 （单位为厘米）成反比例。它在密度为 的液体中浸没 cm。 （1）求 关于 的函数表达式； （2）密度计能正常测量的浸没深度为 求可测密度范围； （3）某液体的密度比 增加了 浸没深度比原来减小了百分之几？ 答案 （1）（2）（3） （1）设 则 所以 （2）因 密度随浸没深度增大而减小。 时 时 故 （3）新密度为 新浸没深度为 （cm）。减小百分率为 49. 点 在函数 的第一象限分支上。把 向右平移 个单位、向下平移 个单位得到点 点 也在该图象上。 （1）求 的坐标； （2）过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 求 答案 （1）且 两式相减得 即 代入 得 解得 或 因 在第一象限，故 所以 （2）故 这一面积也可直接由平移距离求得，无须先算坐标。 50. 在平面直角坐标系中，将 沿直线 向右上方平移，点 的对应点 恰好落在函数 的第一象限分支上。 （1）求 的坐标； （2）求此时点 的对应点 的坐标； （3）求这次平移的距离。 答案 平移距离为 （1）沿 向右上方平移，水平、竖直方向移动的长度相等。设各移动 个单位，其中 则 由 在曲线上，得 即 由 得 所以 （2）点 也向右、向上各移动 个单位，故 （3）平移距离是对应点间的距离，不是横移量。由勾股定理， 51. 已知 与 成反比例，且当 时， （1）求 关于 的函数表达式； （2）若该关系的图象上有一点 求 的值； （3）求点 在第一象限时 的取值范围，并说明 是否与 成反比例。 答案 （1）（2）（3） 与 不成反比例。 （1）设 代入 得 所以 其中 （2）点 满足 所以 （3）第一象限要求 且 因 后式等价于 所以 与 不成反比例，因为 并非常数；成反比例的两个量是 与 52. 已知函数 的图象经过点 （1）求函数表达式； （2）当 时，求 的取值范围； （3）若函数图象上的点 满足 求 的取值范围。 答案 （1）（2）（3） （1）故 （2）在第二象限内函数随 增大而增大，两个端点函数值为 所以 （3）由 知 把关系式写成 在 内， 随 增大而增大，端点分别为 故 53. 直线 与反比例函数 的第一象限分支交于点 与 轴交于点 点 在 轴上。 （1）求 的坐标； （2）若 求点 的坐标。 答案 或 （1）由 得 因 在第一象限，所以 且 （2）设直线 与 轴交于 设 因为 在线段 内，三角形 位于三角形 内。三角形 同底 高分别为 二者面积差的绝对值就是 故 所以 得 或 故 或 54. 矩形 的顶点 为原点， 在 轴正半轴上， 在 轴正半轴上。顶点 在函数 的图象上，且矩形的周长为 （1）求矩形的两条邻边长； （2）若 求点 的坐标； （3）连接 求点 到直线 的距离。 答案 邻边长为 距离为 （1）设 则 由 得 故两邻边长为 （2）所以 得 （3）且 设所求距离为 由 得 55. 直线 与反比例函数 的第一象限分支交于 两点，点 在点 的左侧。点 在线段 上运动，过 作 轴的平行线，交该反比例函数图象于 （1）求 的坐标； （2）当 时，求点 的所有可能坐标； （3）求 的最大值，并求此时点 的坐标。 答案 （1）（2） 或 （3）最大值为 此时 （1）由 得 即 所以 （2）设 则 又 故 不在 右侧， 由 得 即 两个根均在 内，故 或 （3）令 则 且 因为 由 除以 得 所以 当且仅当 时取等。此值在 内，所以最大值为 此时 56. 直线 与反比例函数 的图象交于 两点，其中点 在第一象限。若 的面积为 为原点。 （1）说明点 所在的象限； （2）求 的所有可能值，并分别求 的坐标。 答案 在第三象限。 时 时 （1）交点横坐标满足 两根乘积为 故一正一负。因为反比例函数的系数为正，负横坐标对应负纵坐标，所以 在第三象限。 （2）设交点横坐标为 则 由 且 得 设直线与 轴交于 在线段 上，三角形 可沿 分成两个三角形。它们以 为底的高分别为 故面积为 由题意得 两边非负，平方得 令 则 即 故 时，所以 时，所以 两种情况都给出面积 均符合题意。 57. 如图，在 中，反比例函数 （的图象与线段 交于点 与线段 交于点 （1）求 的值和点 的坐标。 （2）点 在该函数图象上 之间运动，且不与 重合。过 作 交y轴于点 过 作 轴，交 于点 求 的最大值，并求此时点 的坐标。 答案 （1）（2）最大面积为9，此时 （1）D在反比例函数图象上，所以 E在线段BC上，横坐标为6，代入 得纵坐标1，所以 （2）由 求得直线AB为 设 P在D、E之间且不与两端重合，故 PM平行于AB，所以PM所在直线可设为 代入P得 于是 又因PN水平且N在BC上，得 以水平线段PN为底，M到PN所在直线的距离为 这里 所以该高度为正，M不必在y轴正半轴上。于是 配方得 当且仅当 时取等号。3在允许范围 内，所以最大面积确为9；此时 58. 点 在反比例函数 （的第一象限图象上，点 也在该图象上，且横坐标为 点 在 轴的正半轴上，三角形 是面积为 的等腰直角三角形，但未指定直角顶点。 （1）用 表示点 的坐标。 （2）求 的所有可能值，并分别写出对应的点 的坐标。 答案 （1）（2） 时 时 时 （1）由 点 的纵坐标为 故 其中 （2）设 其中 对两条等长且互相垂直的线段向坐标轴作垂线，可由直角三角形全等得到：一条线段的水平投影长度等于另一条的竖直投影长度。以下按直角所在顶点分别讨论。 若直角在 则从 指向 的方向为向右、向下，而从 指向 必须为向左、向下。由上述全等关系，故 此时 三角形面积为 所以 若直角在 则从 指向 为向左、向上，从 指向 必须为向左、向下。由全等关系，故 此时 三角形面积为 所以 若直角在 由于点 均在 轴右侧，点 的纵坐标必须在 与 之间。由全等关系，故 此时 三角形面积为 所以 验证：三类分别给出 各点乘积、对应的等腰直角条件与面积均符合要求，且三类已穷尽所有直角顶点。故全部参数及对应点为 59. 直线 与反比例函数 （的图象在第一象限交于不同的两点 点 的横坐标小于点 的横坐标。点 为这条直线与 轴的交点，点 与点 关于原点对称。已知 且 （1）求 及 的坐标； （2）求证： 平分 （3）求 的面积。 答案 （1）（2）证明见解析；（3） （1）设 则 记 由勾股定理， 左边 右边 因此 整理得 故 或 因 在 左侧，于是 （2）延长 至点 使 则 的横、纵坐标之和为 且其横坐标小于 的横坐标，所以 在射线 上。 在两个直角三角形 与 中， 是公共边，所以两三角形全等，得 由于射线 就是射线 故 平分 （3）过 作水平线交直线 于 则 直线 与水平线所成的锐角为 从 向 作垂线后得到的直角三角形为等腰直角三角形，故所作高为 所以 60. 点 在函数 的第一象限分支上，且 过 作 使 点 也在该反比例函数的图象上。 （1）说明点 不可能位于点 的右上方； （2）求 的坐标； （3）求 的面积。 答案 记 由题意 所以从 到 横向向右移动 纵向向下移动 因为 且 分别向坐标轴作平行线，可由对应的两个直角三角形全等得到：从 到 的横、纵坐标变化只有“向右 向上 ”或“向左 向下 ”两种。 （1）若 在 右上方，它的两个坐标都比 的正坐标大，乘积就大于 不可能仍在该图象上。因此只能是左下方。 （2）由 在同一图象上得 因 所以 再由 在同一图象上得 代入 整理为 由 得 点 的乘积为 所以 因 于是 故 回验：三点的坐标乘积均为 的横纵差为 的横纵差为 由对应直角三角形全等可知两边相等且垂直， 确在第三象限。 （3）而 在 处为等腰直角三角形，所以面积为 第 1 页 共 70 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级反比例函数期中复习讲义 苏科版 九年级上册 第2章 反比例函数 学生版 班级____________ 姓名____________ 本讲义围绕反比例函数的表达式、图象与性质，说明各项结论的适用条件，并用例题讲清坐标、面积、交点与实际问题之间的联系。先读知识详解，再完成选择、填空和解答题，共60题。 除题目另有说明外， 表示平面直角坐标系的原点；图形为示意图，长度与位置关系以题目条件为准。 一 知识详解 1 反比例函数的定义和三种表示 一般地，形如 的函数叫作反比例函数，其中 是不等于0的常数， 是自变量， 是函数值。这里必须同时有 和 前者保证研究的是反比例函数，后者保证分式有意义；二者不是同一个条件。 同一个反比例关系的三种表示 表示形式 保持不变的条件 阅读重点 分式形式便于代入求值 x的指数必须恰好是-1 图上每一点的横、纵坐标乘积相同 反比例函数还可以写成 或 其中 这三种表示强调的内容不同：分式形式便于代入求值，指数形式中的指数必须恰好是 乘积形式便于比较图象上两点、建立几何与实际数量关系。 例： 表示同一个反比例函数； 是正比例函数， 不是反比例函数。不能把“含有分式”“一个量变大另一个量变小”当作反比例函数的定义。 当 时， 在 的范围内只是恒等于0，不是本章定义的反比例函数。由于 反比例函数的函数值 也不可能为0。 2 反比例函数图象的象限分布与增减性 反比例函数 的图象由两条互不相连的曲线组成，称为双曲线。因为 当 时， 同号，图象分布在第一、第三象限；当 时， 异号，图象分布在第二、第四象限。横、纵坐标都不能为0，所以图象不经过原点，也不与两条坐标轴相交。 反比例函数四种分支情形 统一按x从小到大读 系数条件 横坐标范围 纵坐标符号 所在象限 在该象限内的增减性 第一象限 在该象限内，y随x的增大而减小 第三象限 在该象限内，y随x的增大而减小 第二象限 在该象限内，y随x的增大而增大 第四象限 在该象限内，y随x的增大而增大 先看 的十字坐标图。第一象限内，点从 移到 横坐标越来越大，纵坐标越来越小。第三象限内，点从 移到 横坐标同样越来越大，纵坐标也越来越小。因此 时，在第一象限分支、第三象限分支上，都是y随x的增大而减小。 具体例图 第一和第三象限各自从左向右下降 再看 的十字坐标图。第二象限内，点从 移到 横坐标越来越大，纵坐标越来越大。第四象限内，点从 移到 横坐标越来越大，纵坐标也越来越大。因此 时，在第二象限分支、第四象限分支上，都是y随x的增大而增大。 具体例图 第二和第四象限各自从左向右上升 读图时，先让x按从小到大的顺序变化，也就是从左向右看同一条分支，再判断y向上还是向下。不能在第一象限从左向右读，却在第三象限改成从右向左读。下面的具体点序与图上的箭头一一对应；表中的结论适用于相应符号的所有非零k，不只适用于6和-6。 同一分支上的具体点序 x始终从小到大 例中系数 所在分支 x依次取值 对应y依次取值 y的变化 6 第一象限 减小 6 第三象限 减小 -6 第二象限 增大 -6 第四象限 增大 “每一条分支上”是不能省略的条件。例如在 上， 分别位于第三、第一象限。虽然 却有 不能由 就断定 两点之间跨过了 而0处没有函数值；两条分支不能接成一条连续曲线使用增减性。 跨过0的两点不能直接套用同一分支上的增减性 同一分支的两点，可以用上述增减规律比较；不同分支的两点，先由象限判断函数值的正负。例如前图中 立即得到 不需要把两条分支拼在一起。 3 同一分支与不同分支的函数值比较 比较反比例函数的几个函数值，要先看各点位于哪一条分支。同一分支上，用已知的增减规律；不同分支上，先看函数值的正负。负数一定小于正数，不需要跨过0硬套增减性。 例： 都在 上。图中A、B同在第二象限，C在第四象限。 先在同一分支比较A与B 再用正负比较C与它们 对A、B，因为 而第二象限分支上y随x增大而增大，所以 对C和A、B，先由象限得 合起来为 代入检查，对应值分别为2、6、-3，顺序一致。 为什么同一分支有这样的规律？设 且二者同号，则 又有 分母为正，所以 时差为负， 时差为正。这里“二者同号”正是同一分支条件的代数依据。 若横坐标含参数而符号未定，应先确定它们所在分支，或比较差的符号。例如 只知道 还不够，还要看k与ab的符号。不能把不知道正负的式子乘到不等式两边后仍保持原不等号。 4 列表描点怎样画出两条分支 画反比例函数图象通常经过列表、描点、连线三个步骤。列表时在正、负两侧都选取若干适合计算的非零数；描点后用平滑曲线依次连接同一侧的点，不能用折线代替曲线，也不能把左右两侧穿过原点连接起来。 的描点数据 x 1 2 3 6 y 6 3 2 1 例：画 可选 对应 正、负两侧分别形成一条分支，两条分支合起来叫双曲线。靠近坐标轴处还应结合函数值变化判断走向，不能只凭少数点随意收尾。 分别连接左右两侧的数据点 得到光滑而不穿轴的两条分支 因为 图象不与任何一条坐标轴相交。当 越来越大时， 越来越小，但仍不等于0；当非零的 越来越小时， 越来越大。靠近坐标轴，不等于可以碰到或穿过坐标轴。 描点图只显示部分点，图象并不在最后一个描出的点处结束。坐标轴、原点、主要刻度、点的字母及相应曲线都应标清；只研究正半轴范围时，也应在题目或图中明确说明。 5 识别含参数的反比例函数 判断含参数的式子是不是反比例函数，要先整理成可以比较的形式，再同时检查系数与自变量的指数。参数虽然用字母表示，在一次讨论中仍视为常数，不把参数当成自变量。 例：若 是反比例函数，则必须有 且 前式给 或 后式排除 所以 只解指数条件会多出不合定义的值。 系数条件与指数条件必须同时满足 检查内容 本例条件 所得结果 x的指数 或 反比例系数 共同满足 两条件同时成立 再如 它不具有 的形式，因此 不是 的反比例函数；但 与 成反比例。若题目说“ 与 成反比例”，应设 不能直接设 化简不能遗失原式的取值限制。例如 只有在 时才能化为 即使表达式简化了，原关系中 仍不能使用；做定义识别时应把原限制写清。 6 乘积不变与成反比例的变化 若点 都在同一个反比例函数 的图象上，则 这是图象上点的坐标特征，也是两组数据属于同一反比例关系的检验依据。 由 若 其中 就有 自变量扩大到原来的3倍，函数值变为原来的 不是减少3，也不是一定减少 例：点 在同一反比例函数图象上，因 得 若点 也在图象上，则 得 负坐标照样满足乘积关系，不可把乘积都改成正数。 再取点 从A到D，横坐标扩大到3倍，纵坐标变为原来的 乘积仍然是12。 同一图象上的点用同一个乘积核对 点 横坐标 纵坐标 乘积 A 2 6 12 B 3 4 12 C 12 D 6 2 12 对实际数量来说，“成反比例”还要求乘积保持同一个常数。例如固定路程中速度与时间的乘积是路程；如果路程也发生变化，仅知道“速度越大时间越短”，仍不足以建立同一个反比例函数。 7 表达式的取值范围与图象上的点 纯数学问题中的 若没有额外限制，自变量可取一切非零实数。题目若另给 等范围，必须在这个范围内研究。表达式相同、给定范围不同，所研究的图象部分也不同。 判断一个点是否在图象上，应先确认横坐标在规定范围内，再代入或检验横、纵坐标的乘积。例： 满足 在 的完整图象上；但不在题目只研究的 的图象上。 完整图象与只取x大于0的部分不是同一个研究范围 函数图象上的点与其他几何点要分清。若 在一条直线上，过 的水平线与双曲线交于 则 的横坐标不能为0，并不说明 的横坐标也不能为0。限制跟着它所描述的对象走，不能搬到别的点身上。 例： 虽不在 上，但过 的水平线 与双曲线有交点 若 在x轴上，过它的水平线就是 则与该双曲线没有交点。 P可以在y轴上 Q仍是双曲线上的点 8 图象对称性及其坐标依据 若 在 的图象上，则 于是 所以 也在图象上；这说明完整图象关于原点成中心对称。两点到原点的距离相同，连线经过原点。 又因为 点 也在图象上。交换横、纵坐标正对应关于直线 的对称。结合中心对称，还可得到 这些性质的依据都是乘积不变，不需要凭图形猜测。 例：图象经过 则还经过 但 的坐标乘积为21，与原来的 不同，并不在同一图象上；关于x轴或y轴的对称通常会改变系数的符号。 原点对称与交换横纵坐标分别看哪两个点 完整图象关于原点对称，不等于题目只给的第一象限那一段也包含对称点。使用对称性质后，仍应检查题目是否限制了点所在象限或运动范围。 9 确定函数表达式与坐标条件 求反比例函数表达式，通常设 把一个已知图上点的坐标代入，求出 再写出表达式及题目要求的自变量范围。反比例函数只有一个待定系数，一个合格的非零横坐标点通常就能确定它。 例：图象经过 所以 表达式为 若还给点 则 把结果再代回已知点，可及时检查符号。 一个合格图上点确定k 再恢复另一点 若坐标中含字母，应把“在同一图象上”和其他数量条件联立。例如 都在图象上，且 则 与 联立，得 图上点的已知分量与坐标条件对应 若给出的点来自直线与双曲线的交点，可以先用已知直线求完整坐标，再确定 若题目给的是矩形或三角形面积，应先根据图形推出 或相关坐标，再利用象限确定 的正负。面积本身不能告诉你 是正还是负。 10 同一参数联系两个函数 一个字母同时出现在一次函数与反比例函数中时，它在两处表示同一个数。应分别把图象信息翻译成条件，再求这些条件的公共部分，而不是各选一个看起来合适的值。 例： 的图象位于第一、第三象限，且一次函数 的函数值随x增大而增大。前一条件给 后一条件给 合起来为 若另说 是整数，才进一步得到 同一个m要同时满足两种图象条件 题给条件 数学条件 化简 反比图象在第一第三象限 一次函数随x增大而增大 同时成立 取两个范围的公共部分 若题目明确称两式都是反比例函数，系数都不能为0。例如 同为反比例函数，则要有 求出其他不等式范围后，仍不能把这两个值留下。 参数的范围要既必要又充分。求出一个限制后，可取该范围内的一般数检查原图象条件是否都成立；端点是否包含取决于原条件中能否取等号，以及取等后函数类型会不会改变。 比较两条双曲线的系数时，不能只看“哪条图象更高”，必须固定相同的横坐标。若 在同一个 处有 在同一个 处，除以负数使不等号反向，故 例：取 当 时，两函数值分别为4、2，第一条图象在上方；当 时，两函数值分别为-4、-2，第一条图象反在下方。表中把固定的x、系数与对应值放在同一行，避免凭整体图形位置猜系数大小。 同一个横坐标处 比较系数还要看x的正负 固定横坐标 函数值大小 4 2 11 给定区间内的最大值与最小值 若x的范围完全位于同一分支上，函数值的大小可由变化规律判断，闭区间的最大值、最小值在两个端点取得。先确定 的符号，再决定哪一个端点对应最大值；不能永远把左端点代入当最小值。 例：因为 负半轴上y随x增大而增大，故最小值为3，最大值为6。反过来，若只知该区间最小值3、最大值6，也可由 求系数。 闭区间的两个端点在同一分支上 分别对应最小值与最大值 若范围为 函数 满足 6虽然是不断接近的上界，但 不在范围内，因此不能说最大值为6；最小值2则在 时取得。要把“能够等于”与“可以接近”区分开。 空心点不能取到 实心点可以取到 如果x的范围跨过0，不能只比较两个外端点。例如在 时， 在端点的值分别为 和6，但取 就有 取 就有 因此函数值并不局限在 内；应把正、负两段分开研究，不能照搬同一分支闭区间的结论。 跨过0时 两个外端点不能控制全部函数值 靠近0的函数值超出外端点的值 x 1 y 60 6 12 系数与垂足矩形三角形的面积 设 在 上，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B，O为原点。矩形OAPB的两边长是 所以面积为 图中底与高确实来自P的两个坐标，这个条件不能省略。 第二象限中的矩形面积为10 对应两个直角三角形各为5 例图中 位于第二象限， 是两个垂足。矩形面积为 又因 可见面积是 不是负数k。 连接OP，把矩形分成两个面积相等的直角三角形。因此 在例图中，两块面积各为 合起来恰好等于矩形面积10。 若题目给面积反求k，应先由面积求 再由象限确定正负。只有底边和高是相应坐标绝对值，或能证明与它们相等时，才能使用这个面积结论。任意一个顶点在双曲线上，并不能保证三角形面积都等于 13 两条双曲线之间怎样用同底同高求面积 设P、Q有相同的非零横坐标 分别在两条不同的反比例函数 上，其中 均不为0，且 两点竖直排列，所以 原点到PQ所在直线的距离为 竖直底PQ长2 原点到其所在直线的高为3 例：P、Q分别在 上，横坐标都是3。于是 以PQ为底，从O到这条竖直线的高为3，所以 对一般的非零a，同样有 底边随a变化，高也相应变化，两者的乘积保持不变。这个结论依赖“横坐标相同”，不是任意取两条双曲线上的点都成立。 系数一正一负时，要从实际线段长出发，不能直接做 几何图中需要两个面积相加就相加，需要从大面积扣除才相减，不能只背一个系数差口诀。 14 坐标差怎样表示线段长度 两个点横坐标相同，竖直线段长等于纵坐标差的绝对值；纵坐标相同，水平线段长等于横坐标差的绝对值。长度不能是负数；确定了左右、上下位置后，才可去掉绝对值写成“大坐标减小坐标”。 例： 在双曲线上， 在直线上，两点的横坐标相同，所以 不能在未确定上下位置时直接去掉绝对值。 t变化后上下位置交换 长度始终取坐标差的绝对值 当 时，P在上方，当 时，Q在上方，同一表达式在两个位置中都成立，绝对值正是用来保证长度非负。 两点不在同一水平线或竖直线上时，可补作平行于坐标轴的线段，构成直角三角形，再用勾股定理。若则 这个等式来自横、纵方向的两条直角边。 例：横坐标差、纵坐标差的绝对值均为6，所以 斜线段长不能直接相加为12，也不能只用其中一个坐标差作为长度。 斜线段补成直角三角形 两条直角边分别长6 15 直线与双曲线的交点 两个图象的公共点同时满足两个函数表达式。求直线 与双曲线 的交点，先联立得到 并保留 再整理为 求出横坐标，最后逐个代回求相应纵坐标。 例： 与 相交。由 得 或 分别代入直线得 或 交点为 不能交叉配成 求出横坐标后逐个配回对应纵坐标 当 时，可用本学期已学的一元二次方程方法研究交点数：判别式为 大于0、等于0、小于0分别对应两个、一个、零个不同交点。由于常数项 方程的根不可能为0。若 原式是水平直线，不能仍按二次方程套判别式： 时只有交点 时没有交点。 先看直线类型再判断交点个数 情况 所用关系 不同交点个数 2 1 0 1 与双曲线无交点 0 过原点的直线 与双曲线相交时，有 时有两个关于原点对称的交点； 时没有交点； 时也没有交点。不同系数的两条双曲线 与 若有公共点，就会推出 因此当 时没有公共点。 16 从图象求不等式的解 比较 与 就是在同一横坐标处比较两图象的高低。 对应第一条图象在第二条上方； 还包含交点的横坐标。无论是否允许取等号，双曲线没有定义的 都不能包含。 例：比较 与 两图象交于横坐标 2处，还必须以0分开。用图象或差 判断，可得 时 或 时 或 图象相对高低对应横轴区间 0始终不能包含 例如在 时差为正，在 时差为负，在 时差为正，在 时差为负。交点横坐标与0把数轴分成这些部分，在各部分内各因子的符号不变，所以不能把0两侧的两段合成一段。 交点横坐标与0把比较分成四段 x所在范围 的符号 正 负 正 负 图象位置 双曲线在上 直线在上 双曲线在上 直线在上 若用代数去分母，必须分别在 的条件下处理；当x为负时不等号要反向。若题目另外给 或某个线段的横坐标范围，最终答案还要与这个范围取公共部分。 17 一般三角形的面积要看底高与割补 不是由垂足构成的特殊直角三角形，就先找容易表示的底与高。斜底不便求高时，可补出坐标轴交点，将图形分成几个容易算的小三角形。点在线段内、外或坐标轴两侧，会决定面积应相加还是相减。 例一： 在 上，直线AB为 与y轴交于 连接OA、OB、OC。 例一 沿y轴分成两块 面积2加4 A、B在y轴两侧，C在线段AB上，所以大三角形分为左右两块。共同底为 对应的横向高分别为2和4，故 这里不是 原因就在于底与高不符合前面特殊面积结论的条件。 例二：P在 的第一象限分支上，并位于 内部。设 图中用 显示三块面积的关系。 例二 大三角形减去两块 图示t等于3 一般地，而大三角形面积为50，所以 在图示 时，两块靠坐标轴的小三角形面积分别是15、20，余下 的面积为15。 上述减法的条件是P在三角形内部，即 且 如果P走到外部，三个区域的拼合关系会改变，不能继续原样相减。求出坐标后要检查这个位置条件。 18 平移与中点怎样固定图上点 点 向右平移h个单位后为 向上平移h个单位后为 两点横坐标的中点取平均，纵坐标的中点也取平均，所以线段端点为 时，中点为 其依据可由过中点作平行于坐标轴的线，得到两组全等直角三角形来说明。 例： 在 上，向右平移t个单位得到B。 在x轴正半轴上，且B在D右侧；BD的中点C也在这条双曲线上。图中取 画一种允许的位置。 平移只改变B的横坐标 中点C的高度固定为3 由平移得 因为D的纵坐标为0，C是中点，所以 C在双曲线上，于是 即 再用横坐标的中点关系，得 所以 D在正半轴给 即 B在D右侧给 代入得 因此 这样先由中点高度确定C，再求B与D的联动和允许范围，后续的长度与面积都能在这个范围内研究。 19 等腰直角与角平分线的图形转化 等腰三角形可用两条边长相等，也可在已知底边时利用底边上的高、中线、顶角平分线重合。若未指定底边，应考虑哪两边相等；若已经说明以某一边为底，就不能再增加不合题意的其他情况。 例一：C在第一象限，且 是以BD为底的等腰三角形；C又在 上。过C作BD的垂线，垂足为H。 例一 已知底边时用底边中点确定横坐标 底边BD水平，等腰三角形底边上的高也是中线，所以H为BD中点，再由曲线得到 故 先由几何确定横坐标，再由函数确定纵坐标。 等腰直角三角形的坐标关系可以用全等推导。设A在B左上方，C在B左下方，过A作竖直线，过B作水平线，两线交于E；过B作竖直线，过C作水平线，两线交于F。这样E在B左侧，F在B下方， 下图以 为例，C在B左下方；先依据全等确定C相对B的横、竖方向长度。 例二 两个投影直角三角形的AAS对应 因为 所以 又因为 所以 因此 结合两个直角和 可用AAS判定 得到 即AB的竖向长度等于BC的横向长度，AB的横向长度等于BC的竖向长度。 在这个具体例子中，由A、B的坐标，得 由全等，得 C在B左侧2个单位、下方1个单位，所以 若C换到另一侧，坐标的正负要按新的方向重新确定，不能把“横竖交换”当作不看位置的口诀。 角平分线还可以用轴对称理解。看下面独立的几何示意图：把角一边上的点C关于角平分线AH对称得到D，则D在角的另一边上，若H是C到角平分线的垂足，则C、H、D在同一直线上，且 所以H是CD的中点。 角平分线两侧的对称点 垂足是它们连线的中点 这一步把“角平分线”转成了对称点，把“垂直”转成了中点和相等长度。坐标题中可以先求C、D的坐标，再用中点确定H；不必先引入圆或三角函数。 20 面积与乘积最值要同时看图形范围 前面的平移中点例中，且 所以 配方可把它写成 平方不小于0，说明乘积不超过 当 时能取到这个值，而且该t在允许范围内。 若另加条件 允许的t就全部在 的右侧。此时 所以乘积的最大值改为2，在 时取得。下图分别画出这两个允许范围内取得最大值时的原平移构型，并用数轴标明允许的t。图上的AB、OD与乘积逐项对应，便于看清形式上的上界是否能在题目范围内取到。 原平移构型的两个取等位置与相应允许区间 另看固定面积矩形的周长。设两边长a、b都为正，且 图左表示一般矩形，图右表示两边相等的情形。 固定面积16时 正方形达到最小周长16 由 得 又因 所以 周长 等号当且仅当 时成立，恰好对应右图的正方形。图形和代数同时给出了下界以及能取到它的具体尺寸。 21 从实际问题建立反比例模型 建立模型先找不变的乘积，再确定变量与单位。固定路程s时，速度v与时间t满足 所以 固定面积S的矩形满足 固定体积V的柱体，底面积A与高h满足 这些关系中的速度、时间、长度、面积通常都应为正。 三类固定乘积模型 各变量对应什么实际量 例：一段路程长360千米，不计中途停留，匀速行驶的时间t小时与速度v千米/时满足 若要在不超过5小时内到达，则 因 可得 若另有最高速度限制90千米/时，实际允许范围为 固定路程360千米 时间要求与速度限制共同确定可行范围 题目若给出压力、压强、密度、体积等关系式，可把它当作已知数学关系使用，不要求先掌握额外物理知识。例：某密度计的液体密度 与浸没深度h成反比例。用密度为1.5克每立方厘米的液体校准时，测得 厘米，因此 仪器只在 厘米时有效，故可测密度为 克每立方厘米。密度为 的液体在允许范围的端点上，能测；密度为2.4的液体虽然代入式子得到 却超出了仪器的有效范围，不能据此完成测量。模型能算出一个正数，不等于该仪器一定能使用。 密度计的浸没深度与有效量程 公式算出正值仍可能超量程 注意“总时间”若还包含固定停留时间 就应写 并不是T与v成反比例。同样，固定量加在函数值或自变量上之后，必须按题意建立新关系，不能因为出现分式就把它直接当作标准反比例函数。 总时间由行驶与停留两段相加 不能直接称总时间成反比例 22 图表中的分段模型与持续时间 实际图象可能由线段、水平线段与双曲线的一部分组成。每一段都有自己的表达式与适用范围：先用端点数据求关系，再说明在哪段时间内使用。某一段的式子不能越过原有阶段或题目给定的观察时段。 例：某装置进行18分钟的测试，记录效果值q。前6分钟，q从0匀速增加到6；第6至第10分钟保持为6；第10至第18分钟，q与时间t成反比例。于是第一段为 （第二段为 （第三段由衔接点 得到 但只在 时使用。 同一次测试中的三个阶段 时间范围 效果值q 阶段特点 线性增加 保持不变 反比例减小 曲线只定义到第18分钟 两个阈值各有对应的有效时间条 若效果值至少为5才算有效，第一段从第5分钟开始达到要求，第二段全部达到要求，第三段由 得 与本段范围合并为 因此有效时间从第5分钟持续到第12分钟，共 分钟。三个阶段在交界处相接，不把同一个交界时刻重复增加时间。 若标准改为至少3，则本次记录中从第3分钟开始一直到第18分钟都达到标准，共15分钟。虽然反比例式给出 时 但20已超出题目给出的测试时段，不能凭这段记录就宣布效果持续到第20分钟。“结束时刻”与“持续时长”、模型给出的值与实际允许的时间范围，必须分别判断。 23 整数点与对称配对 横、纵坐标都是整数的点叫作整点。若 是正整数，反比例函数第一象限内的整点满足 所以正整数x必须是k的因数，对应的纵坐标为 找整点就是找正因数对，同时还要检查题目规定的坐标范围。 例： 第一象限内的整点为 如果还要求 前后两点不符合，只留下中间4点。不能把乘积等于45的每一对正整数都算进有范围限制的题。 k等于45时 按交换坐标列成对整点 一组坐标配对 坐标和 是否满足 计入点数 与 46 否 0 与 18 是 2 与 14 是 2 交换横、纵坐标不改变乘积，所以 与 总同时位于同一条双曲线上。若题目范围也在交换后保持不变，例如 那么 的合格点就成对出现；在直线 上的点则与自身重合，只能计一次。这样的正整点存在时有 所以k必须是一个正整数的平方。若只限制横坐标而不限制纵坐标，交换后的点可能超出范围，就不能直接按成对计数。 例： 第一象限共有7个整点，对应正因数 其中 在直线 上，其余6点分为3对。若限制 只剩 仍是1个而不是2个。一般地，当合格点都可以按坐标交换配对且总数为奇数时，必有一个合格的对角点；反过来，k是平方数还不够，还要检查这个点以及其他因数对是否满足给定范围。 k等于64时 对角点只计一次 一组坐标配对 坐标和 是否满足 计入点数 与 65 否 0 与 34 否 0 与 20 否 0 与自身重合 16 是 1 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列函数中， 是 的反比例函数的是（    ）。 A. B. C. D. 2. 反比例函数 的图象经过点 则 的值是（    ）。 A. B. C. D. 3. 若 是 的反比例函数，则 的值是（    ）。 A. B. C. 或 D. 4. 关于反比例函数 下列说法正确的是（    ）。 A. 可以取 B. 可以取 C. 只能取正数 D. 都不能取 5. 函数 的图象位于第二、四象限，则（    ）。 A. B. C. D. 6. 点 在函数 的图象上，则（    ）。 A. B. C. D. 7. 关于函数 的增减性，下列说法正确的是（    ）。 A. 在每个象限内， 随 增大而增大 B. 对所有非零 总随 增大而增大 C. 在第四象限内， 随 增大而减小 D. 在第二象限内， 随 增大而减小 8. 已知 与 成反比例。若 由 变为 则 变为原来的（    ）。 A. 倍 B. 倍 C. D. 9. 点 在函数 的图象上，过 分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成矩形。该矩形的面积是（    ）。 A. B. C. D. 10. 点 在函数 的第一象限分支上， 轴，垂足为 为原点。则 为（    ）。 A. B. C. D. 不能确定 11. 下列点在函数 的图象上的是（    ）。 A. B. C. D. 12. 一项工程的工作总量一定，每人每天的工作效率相同。设参加工作的人数为 完成工程所需天数为 忽略其他因素，则（    ）。 A. 与 成正比例 B. 不变 C. 与 成反比例 D. 与 无关 13. 反比例函数 的图象在每个象限内， 随 增大而减小，且经过点 其中 则 的取值范围是（    ）。 A. B. C. D. 14. 反比例函数 与一次函数 的图象交点的横坐标为 则 时 的取值范围是（    ）。 A. B. 或 C. 或 D. 或 15. 矩形的四个顶点依次为 其中 点 在同一反比例函数 的图象上，点 在 的图象上，点 在 的图象上。若直线 的解析式为 则这个矩形的周长为（    ）。 A. B. C. D. 16. 已知 是反比例函数。任取其图象上的两点 其中 均有 则实数 的取值范围为（    ）。 A. B. 或 C. 或 D. 17. 某简易密度计的实际浸没深度 与液体密度 满足 深度和密度的单位分别为厘米和克每立方厘米。尺上读数 与实际深度满足 其中 为固定校准值。将密度计放入密度分别为 的标准液体中，得到的准确读数分别为 随后测量某液体，显示读数为 但实际尺上读数可能为从 到 之间的任意值。要确保该液体的密度一定满足 显示读数 应满足（    ）。 A. B. C. D. 18. 设 为正整数。反比例函数 的图象上，横、纵坐标都是正整数且满足 的点恰有5个。满足上述条件的 的个数为（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 19. 在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的直角顶点为 点 的坐标为 点 在第一象限。将这个三角形平移，得到 其中 在 的右上方，且 若 都在函数 的图象上，则 的值为（    ）。 A. B. C. D. 20. 点 是直线 上第一象限内的一点。过 作 轴的平行线，交函数 （的图象于 过 作 轴的平行线，交函数 （的图象于 若 是腰长为 的等腰直角三角形，则 的所有可能值为（    ）。 A. B. 或 C. 或 D. 三 填空题 21. 反比例函数的图象经过点 其表达式为________。 22. 在函数 中，当 时，________。 23. 若 则 关于 的函数表达式为________，其中 的取值范围为________。 24. 点 在某反比例函数图象上，则与 关于原点对称的点 的坐标为________，________（填“在”或“不在”）该图象上。 25. 反比例函数 的图象经过点 把 的横、纵坐标交换得到点 则 的坐标为________，且 ________该图象上。 26. 点 在第二象限的反比例函数图象上，过 向两坐标轴作垂线得到的矩形面积为 该反比例函数的表达式是________。 27. 点 在函数 的第四象限分支上， 轴，垂足为 若 则 ________。 28. 若 是反比例函数，则 应满足________。 29. 某长方形的面积为 其长为 cm，宽为 cm，且长不小于宽。则 关于 的表达式为________， 的取值范围为________。 30. 点 都在函数 的图象上，则 ________（填“”“”或“”）。 31. 直线 与反比例函数 的图象交点为________。 32. 点 在同一反比例函数图象上，则 ________（用 表示）。 33. 点 与 在同一反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式为________。 34. 直线 分别交函数 与 的图象于 其中 若 则 ________。 35. 点 在函数 的第二象限分支上，点 在函数 的第一象限分支上， 为原点。若 且 则点 的所有可能坐标为________。 36. 在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 轴，点 在第一象限，点 在第三象限。对角线 所在直线的表达式为 （点 都在反比例函数 （的图象上。若平行四边形 的周长为26，则 ________。 37. 点 在反比例函数 的图象上。点 也在该图象上，且三角形 的面积为 所有满足条件的点 的横坐标之和为________。 38. 直线 与 轴交于 与函数 （的图象交于 过 作 轴的平行线，交该图象于 若 是等腰三角形，则 的所有可能值为________。 39. 某装置的输出功率 （单位为瓦）随时间 （单位为分钟）的变化图象依次由线段 线段 和反比例函数图象的一部分组成，其中 在 时，图象经过点 且一直延续。若功率不低于 瓦的持续时间恰为 分钟，其中 则 ________。 40. 在平面直角坐标系中， 为原点，点 在反比例函数 的第一象限图象上，点 在反比例函数 的第二象限图象上。若 是等边三角形，则它的面积为________。 四 解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41. 已知 与 成反比例，且当 时， （1）求函数表达式；（2）求 时 的值；（3）通过计算判断点 是否在该图象上。 42. 已知函数 （1）列表、描点，画出函数图象； （2）写出图象所在的象限及在每个象限内的变化规律； （3）判断图象与坐标轴是否相交，并写出判断依据。 43. 点 在函数 的图象上。 （1）比较 的大小； （2）小明说：“因为 所以 越大， 越大；由 得 ”请指出错误并改正。 44. 点 在函数 的第一象限分支上，过 分别作 轴、 轴，垂足为 为原点。 （1）用 表示矩形 和三角形 的面积； （2）求这两个图形的面积； （3）分别求 位于同一函数第三象限分支时这两个图形的面积。 45. 一辆汽车沿长 km 的道路匀速行驶，行驶速度为 km每小时，行驶时间为 h。按要求，速度不低于 km每小时且不高于 km每小时。 （1）写出 关于 的函数表达式及 的取值范围； （2）当速度为 km每小时，需行驶多少小时？ （3）求行驶时间的取值范围。 46. 直线 与反比例函数 的图象交于 两点，点 在第一象限。 （1）求 的坐标； （2）求线段 的长； （3）过 作 轴，垂足为 求 47. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点。 （1）求这两个函数的表达式； （2）直接写出 时 的取值范围； （3）求 48. 一种简易密度计竖直漂浮时，液体密度 （单位为克每立方厘米）与浸没深度 （单位为厘米）成反比例。它在密度为 的液体中浸没 cm。 （1）求 关于 的函数表达式； （2）密度计能正常测量的浸没深度为 求可测密度范围； （3）某液体的密度比 增加了 浸没深度比原来减小了百分之几？ 49. 点 在函数 的第一象限分支上。把 向右平移 个单位、向下平移 个单位得到点 点 也在该图象上。 （1）求 的坐标； （2）过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 求 50. 在平面直角坐标系中，将 沿直线 向右上方平移，点 的对应点 恰好落在函数 的第一象限分支上。 （1）求 的坐标； （2）求此时点 的对应点 的坐标； （3）求这次平移的距离。 51. 已知 与 成反比例，且当 时， （1）求 关于 的函数表达式； （2）若该关系的图象上有一点 求 的值； （3）求点 在第一象限时 的取值范围，并说明 是否与 成反比例。 52. 已知函数 的图象经过点 （1）求函数表达式； （2）当 时，求 的取值范围； （3）若函数图象上的点 满足 求 的取值范围。 53. 直线 与反比例函数 的第一象限分支交于点 与 轴交于点 点 在 轴上。 （1）求 的坐标； （2）若 求点 的坐标。 54. 矩形 的顶点 为原点， 在 轴正半轴上， 在 轴正半轴上。顶点 在函数 的图象上，且矩形的周长为 （1）求矩形的两条邻边长； （2）若 求点 的坐标； （3）连接 求点 到直线 的距离。 55. 直线 与反比例函数 的第一象限分支交于 两点，点 在点 的左侧。点 在线段 上运动，过 作 轴的平行线，交该反比例函数图象于 （1）求 的坐标； （2）当 时，求点 的所有可能坐标； （3）求 的最大值，并求此时点 的坐标。 56. 直线 与反比例函数 的图象交于 两点，其中点 在第一象限。若 的面积为 为原点。 （1）说明点 所在的象限； （2）求 的所有可能值，并分别求 的坐标。 57. 如图，在 中，反比例函数 （的图象与线段 交于点 与线段 交于点 （1）求 的值和点 的坐标。 （2）点 在该函数图象上 之间运动，且不与 重合。过 作 交y轴于点 过 作 轴，交 于点 求 的最大值，并求此时点 的坐标。 58. 点 在反比例函数 （的第一象限图象上，点 也在该图象上，且横坐标为 点 在 轴的正半轴上，三角形 是面积为 的等腰直角三角形，但未指定直角顶点。 （1）用 表示点 的坐标。 （2）求 的所有可能值，并分别写出对应的点 的坐标。 59. 直线 与反比例函数 （的图象在第一象限交于不同的两点 点 的横坐标小于点 的横坐标。点 为这条直线与 轴的交点，点 与点 关于原点对称。已知 且 （1）求 及 的坐标； （2）求证： 平分 （3）求 的面积。 60. 点 在函数 的第一象限分支上，且 过 作 使 点 也在该反比例函数的图象上。 （1）说明点 不可能位于点 的右上方； （2）求 的坐标； （3）求 的面积。 第 1 页 共 64 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级反比例函数期中复习讲义 苏科版九年级上册第2章反比例函数教师版 本讲义围绕反比例函数的表达式、图象与性质，说明各项结论的适用条件，并用例题讲清坐 标、面积、交点与实际问题之间的联系。先读知识详解，再完成选择、填空和解答题，共60 题。 除题目另有说明外，O表示平面直角坐标系的原点；图形为示意图，长度与位置关系以题目条 件为准。 一知识详解 1反比例函数的定义和三种表示 一般地，形如y=《的函数叫作反比例函数，其中k是不等于0的常数，X是自变量，y是函 X 数值。这里必须同时有k≠0和x≠0。前者保证研究的是反比例函数，后者保证分式有意义； 二者不是同一个条件。 同一个反比例关系的三种表示 表示形式 保持不变的条件 阅读重点 飞 k≠0，x≠0 分式形式便于代入求值 X y=kx1 k≠0，X≠0 ×的指数必须恰好是-1 xy=k k≠0 图上每一点的横、纵坐标乘积相同 反比例函数还可以写成y=x1或y=k,其中k≠0。这三种表示强调的内容不同：分式形式 便于代入求值，指数形式中的指数必须恰好是-1，乘积形式便于比较图象上两点、建立几何 与实际数量关系。 例：y6y=6xy=6表示同一个反比例函数：y是正比例函数，Y三不是反比例函 6 数。不能把“含有分式”“一个量变大另一个量变小”当作反比例函数的定义。 当k=0时，y=是在x0的范围内只是恒等于0，不是本章定义的反比例函数。由于k0, 反比例函数的函数值y也不可能为O。 第1页共70页 2反比例函数图象的象限分布与增减性 反比例函数y=k的图象由两条互不相连的曲线组成，称为双曲线。因为y=k,当k>0时， X X,y同号，图象分布在第一、第三象限；当k<0时，X,y异号，图象分布在第二、第四象限。 横、纵坐标都不能为0，所以图象不经过原点，也不与两条坐标轴相交。 反比例函数四种分支情形统一按x从小到大读 系数条件 横坐标范围 纵坐标符号 所在象限 在该象限内的增减性 k>0 x>0 y>0 第一象限 在该象限内，y随×的增大而 减小 第三象限 在该象限内，y随x的增大而 k>0 x<0 y<0 减小 k<0 y>0 第二象限 在该象限内，y随×的增大而 X<0 增大 在该象限内，y随x的增大而 k<0 x>0 y<0 第四象限 增大 k>0以y=为例 D 第一象限 从左向右看： x增大，y减小 先看y的十字坐标图。第一象限 3 E 内，点从D(1,6)移到E(3,2)、 F(6,1),横坐标越来越大，纵坐标越 6 6→X 来越小。第三象限内，点从 A A(-6,-1)移到B(-3,-2) ⊙ C(-1,-6),横坐标同样越来越大， 从左向右看： 纵坐标也越来越小。因此k>0时， x增大，y减小 在第一象限分支、第三象限分支上， 第三象限 都是y随×的增大而减小。 A(-6,-1)→B(-3,-2）→C(-1,-6) D(1,6)→E(3,2)→F(6,1) 具体例图y=6第一和第三象限各自从左向右下降 第2页共70页 k<0以y=-为例 第二象限 从左向右看： x增大，y增大 再看y=-6的十字坐标图。第二象 3 B 限内，点从A(-6,1)移到 B(-3,2、C(-1,6),横坐标越来越 古>X 大，纵坐标越来越大。第四象限内， O 点从D(1,-6)移到E(3,-2)、 3 F(6,-1),横坐标越来越大，纵坐标 从左向右看： x增大，y增大 也越来越大。因此k<0时，在第二 象限分支、第四象限分支上，都是y 第四象限 D 随x的增大而增大。 A(-6,1)→B(-3,2)→C(1,6) D(1,-6)→E(3,-2)→F(6,-1) 具体例图y=-6第二和第四象限各自从左向右上升 X 读图时，先让×按从小到大的顺序变化，也就是从左向右看同一条分支，再判断y向上还是向 下。不能在第一象限从左向右读，却在第三象限改成从右向左读。下面的具体点序与图上的箭 头一一对应；表中的结论适用于相应符号的所有非零k,不只适用于6和-6。 同一分支上的具体点序×始终从小到大 例中系 数 所在分支 x依次取值 对应y依次取值 y的变化 6 第一象限 1<3<6 6>2>1 减小 6 第三象限 -6<-3<-1 -1>-2>-6 减小 -6 第二象限 -6<-3<-1 1<2<6 增大 -6 第四象限 1<3<6 -6<-2<-1 增大 第3页共70页 “每一条分支上是不能省略的条件。例如在y=6上，A(-1,-6),B(1,6)分别位于第三、第一 象限。虽然-1<1，却有-6<6，不能由k>0就断定y4>yB。两点之间跨过了x=0,而0处 没有函数值；两条分支不能接成一条连续曲线使用增减性。 y=跨分支不能套递减 B(1,6) 6 =0没有函数值 X A(-1,-6) -1<1,但-6<6。 跨过0的两点不能直接套用同一分支上的增减性 同一分支的两点，可以用上述增减规律比较；不同分支的两点，先由象限判断函数值的正负。 例如前图中yA<0<yB,立即得到yA<yB,不需要把两条分支拼在一起。 3同一分支与不同分支的函数值比较 比较反比例函数的几个函数值，要先看各点位于哪一条分支。同一分支上，用已知的增减规 律；不同分支上，先看函数值的正负。负数一定小于正数，不需要跨过0硬套增减性。 第4页共70页 例：A(-3,y、B(-1,y,).C(2,y,)都在y=-6上。图中A、B同在第二象限，C在第四象 X 限。 图①同支从左向右比较 图②跨支先比较正负 y y B(-1,6) B(-1,6) A(-3,2) A(-3,2) →X 0 0 C(2,-3） y=-yc<0<yA<yB 先在同一分支比较A与B再用正负比较C与它们 对A、B,因为-3<-1，而第二象限分支上y随×增大而增大，所以y1<y2。对C和A、B, 先由象限得y3<0<y1,y2。合起来为y3<y1<y2。代入检查，对应值分别为2、6、-3，顺序一 致。 为什么同一分支有这样的规律？设X1<x2且二者同号，则X1X2>0,又有 yy-X分母为正，X0,所以k>0时差为负，k<0时差为正。这 里“二者同号”正是同一分支条件的代数依据。 若横坐标含参数而符号未定，应先确定它们所在分支，或比较差的符号。例如 k点=kba,只知道a<b还不够，还要看k与ab的符号。不能把不知道正负的式子乘到 a b ab 不等式两边后仍保持原不等号。 4列表描点怎样画出两条分支 画反比例函数图象通常经过列表、描点、连线三个步骤。列表时在正、负两侧都选取若干适合 计算的非零数；描点后用平滑曲线依次连接同一侧的点，不能用折线代替曲线，也不能把左右 两侧穿过原点连接起来。 y=6 的描点数据 -6 -3 -2 2 6 -1 -2 -3 -6 6 3 2 第5页共70页 例：画y= ,可选x=-6,-3,-2,-1,1,23,6,对应y=-1,-2,-3,-6,63,2,1。正、负两侧分 X 别形成一条分支，两条分支合起来叫双曲线。靠近坐标轴处还应结合函数值变化判断走向，不 能只凭少数点随意收尾。 8组数据描点y= y 个 -6 .3 3 -3 分别连接左右两侧的数据点得到光滑而不穿轴的两条分支 因为0，y0,图象不与任何一条坐标轴相交。当闲越来越大时。小佟越来越小，但 仍不等于0；当非零的x越来越小时，|y越来越大。靠近坐标轴，不等于可以碰到或穿过坐 标轴。 描点图只显示部分点，图象并不在最后一个描出的点处结束。坐标轴、原点、主要刻度、点的 字母及相应曲线都应标清；只研究正半轴范围时，也应在题目或图中明确说明。 5识别含参数的反比例函数 判断含参数的式子是不是反比例函数，要先整理成可以比较的形式，再同时检查系数与自变量 的指数。参数虽然用字母表示，在一次讨论中仍视为常数，不把参数当成自变量。 例：若y=(m+1)x-2是反比例函数，则必须有m2-2=-1且m+1≠0。前式给m=1或 m=-1,后式排除m=-1,所以m=1。只解指数条件会多出不合定义的值。 系数条件与指数条件必须同时满足 检查内容 本例条件 所得结果 x的指数 m2-2=-1 m=1或m=-1 反比例系数 m+1≠0 m≠-1 共同满足 两条件同时成立 m=1 第6页共70页 再如y=2x+3-2+3 ，它不具有y长的形式。因此y不是×的反比例函数：但y-2与X 成反比例。若题目说“y+1与x成反比例”，应设y+1=k,不能直接设y=k X 化筒不能造失原式的取位限制。剑如y一二引只有在X01时才能化为子，即使衣达式简 x(x-1） 化了，原关系中x=1仍不能使用；做定义识别时应把原限制写清。 6乘积不变与成反比例的变化 若点A(X,y小、B(X,y,)都在同一个反比例函数y=《的图象上，则Xy,=Xy,=k。这是图象 上点的坐标特征，也是两组数据属于同一反比例关系的检验依据。 由X=,若为=入，其中入0，就有六。 自变量扩大到原来的3倍，函数值变为 原来的号不是减少3。也不是一定减少行 例：点A(2,6)、B(3,b)在同一反比例函数图象上，因2×6=3b,得b=4。若点C(a,-3)也 在图象上，则-3a=12,得a=-4。负坐标照样满足乘积关系，不可把乘积都改成正数。再取 点D(6,2),从A到D,横坐标扩大到3倍，纵坐标变为原来的号，乘积仍然是12。 同一图象上的点用同一个乘积核对 点 横坐标 纵坐标 乘积 2 6 12 8 3 12 -4 -3 12 6 2 12 对实际数量来说，“成反比例”还要求乘积保持同一个常数。例如固定路程中速度与时间的乘积 是路程；如果路程也发生变化，仅知道“速度越大时间越短”，仍不足以建立同一个反比例函 数。 7表达式的取值范围与图象上的点 纯数学问题中的y=长，若没有额外限制，自变量可取一切非零实数。题目若另给X>0. -4≤x≤-1等范围，必须在这个范围内研究。表达式相同、给定范围不同，所研究的图象部分 也不同。 第7页共70页 判断一个点是否在图象上，应先确认横坐标在规定范围内，再代入或检验横、纵坐标的乘积。 例：P(-2,-3满足xy=6,在y=6的完整图象上；但不在题目只研究的y=5(x>0)的图 象上。 图①y=完整图象 图②y=只取x>0 P在图象上 P不在所取部分 P(-2,-3) P(-2,-3) 完整图象与只取×大于0的部分不是同一个研究范围 函数图象上的点与其他几何点要分清。若P在一条直线上，过P的水平线与双曲线交于Q, 则Q的横坐标不能为0，并不说明P的横坐标也不能为0。限制跟着它所描述的对象走，不能 搬到别的点身上。 例：P0,2)虽不在y=4上，但过P的水平线y=2与双曲线有交点Q(2,2)。若P在x轴 上，过它的水平线就是y=0,则与该双曲线没有交点。 P不在曲线上P的横坐标可以为0 V y= P(0,2) Q(2,2) 大 x轴与曲线没有交点 P可以在y轴上Q仍是双曲线上的点 8图象对称性及其坐标依据 若a,b)在y女的图象上，则b=k。于是(-a川-b)=k,所以(-Q,-b)也在图象上；这说 明完整图象关于原点成中心对称。两点到原点的距离相同，连线经过原点。 第8页共70页 又因为ba=k,点(b,a)也在图象上。交换横、纵坐标正对应关于直线y=x的对称。结合中心 对称，还可得到(-b,-α)。这些性质的依据都是乘积不变，不需要凭图形猜测。 例：图象经过(3，-7），则还经过（-3,7)、(-7,3)、(7，-3)。但(3,7)的坐标乘积为21，与原 来的-21不同，并不在同一图象上；关于×轴或y轴的对称通常会改变系数的符号。 同一曲线y=一安上的四个对称点 B(-3,7) y=X C(-7,3) →X D(7,-3) A(3,-7) A与B关于原点对称；A与C关于直线y=x对称。 原点对称与交换横纵坐标分别看哪两个点 完整图象关于原点对称，不等于题目只给的第一象限那一段也包含对称点。使用对称性质后， 仍应检查题目是否限制了点所在象限或运动范围。 9确定函数表达式与坐标条件 求反比例函数表达式，通常设y女，把一个已知图上点的坐标代入，求出k=y,再写出表达 式及题目要求的自变量范围。反比例函数只有一个待定系数，一个合格的非零横坐标点通常就 能确定它。 第9页共70页 例：图象经过A(-4,5),所以k=-4×5=-20,表达式为y=-29。若还给点B(2,b),则 X b=-10。把结果再代回已知点，可及时检查符号。 坐标乘积同为-20点仍分属两支 y A(-4,5) y=-29 0 B(2,-10) 一个合格图上点确定k再恢复另一点 若坐标中含字母，应把“在同一图象上”和其他数量条件联立。例如A(α，3)、B(-2,b)都在图象 上，且a-b=5,则3a=-2b与a-b=5联立，得a=2,b=-3,k=6。 同一曲线上的两点另有a-b=5 A(a,3) -2 X 0 B(-2,b) 图上点的已知分量与坐标条件对应 若给出的点来自直线与双曲线的交点，可以先用已知直线求完整坐标，再确定k。若题目给的 是矩形或三角形面积，应先根据图形推出k或相关坐标，再利用象限确定k的正负。面积本 身不能告诉你k是正还是负。 10同一参数联系两个函数 一个字母同时出现在一次函数与反比例函数中时，它在两处表示同一个数。应分别把图象信息 翻译成条件，再求这些条件的公共部分，而不是各选一个看起来合适的值。 第10页共70页 例：y=m1的图象位于第一、第三象限，且一次函数y,=(3-m)x+2的函数值随×增大而 X 增大。前一条件给m-1>0,后一条件给3-m>0,合起来为1<m<3。若另说m是整数，才 进一步得到m=2。 同一个m要同时满足两种图象条件 题给条件 数学条件 化简 反比图象在第一第三象限 m-1>0 m>1 一次函数随×增大而增大 3-m>0 m<3 同时成立 取两个范围的公共部分 1<m<3 若题目明确称两式都是反比例函数，系数都不能为0。例如y、,=k+3 同为反比例函 X X 数，则要有k≠0，-3；求出其他不等式范围后，仍不能把这两个值留下。 参数的范围要既必要又充分。求出一个限制后，可取该范围内的一般数检查原图象条件是否都 成立；端点是否包含取决于原条件中能否取等号，以及取等后函数类型会不会改变。 比较两条双曲线的系数时，不能只看“哪条图象更高”，必须固定相同的横坐标。若k<k2,在同 一个x>0处有k<;在同一个x<0处，除以负数使不等号反向，故《 X X 例：取k1=-8、k2=-4。当x=-2时，两函数值分别为4、2，第一条图象在上方；当x=2 时，两函数值分别为-4、-2，第一条图象反在下方。表中把固定的x、系数与对应值放在同一 行，避免凭整体图形位置猜系数大小。 同一个横坐标处比较系数还要看x的正负 固定横坐标 s、8 函数值大小 X X=-2 4 2 y1>y2 X=2 -4 -2 y1<y2 11给定区间内的最大值与最小值 若×的范围完全位于同一分支上，函数值的大小可由变化规律判断，闭区间的最大值、最小值 在两个端点取得。先确定k的符号，再决定哪一个端点对应最大值；不能永远把左端点代入当 最小值。 第11页共70页 例：y=-12 X ,-4≤x≤-2。因为k<0,负半轴上y随×增大而增大，故最小值为3，最大值为 6。反过来，若只知该区间最小值3、最大值6，也可由k=(-4)×3=-12求系数。 y=-号闭区间端点都能取到 (-2,6) 6 (-4,3)月 →X -4 -20 闭区间的两个端点在同一分支上分别对应最小值与最大值 若范围为1<x≤3，函数y满足2≤y<6.6虽然是不断接近的上界，但X=1不在范围内， 因此不能说最大值为6；最小值2则在x=3时取得。要把“能够等于”与“可以接近”区分开。 1<X≤3所以2≤y<6 6 (1,6) 2 (3,2) X 1 3 空心点不能取到实心点可以取到 第12页共70页 如果x的范围跨过0，不能只比较两个外端点。例如在-1≤X≤1，x≠0时，y=6 在端点的值分 别为-6和6，但取X。就有y=60,取X0就有y=-60。因此函数值并不局限在 [-6,6]内；应把正、负两段分开研究，不能照搬同一分支闭区间的结论。 负半轴单独研究 正半轴单独研究 个 (0,60) (-1,-6) (-0,-60) (1,6) →X 0 X=0没有函数值；只看外端点不能确定全部函数值范围。 跨过0时两个外端点不能控制全部函数值 靠近0的函数值超出外端点的值 .1 1 + -1 10 10 1 -6 -60 60 6 第13页共70页 12系数与垂足矩形三角形的面积 设P(a,b)在y=k上，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、B,O为原点。矩形OAPB 的两边长是|a、Ib1,所以面积为|aIb=ab|=k|。图中底与高确实来自P的两个坐标，这个 条件不能省略。 矩形面积10两个三角形面积各5 y P(-2,5) 5 5 5 A 20 第二象限中的矩形面积为10对应两个直角三角形各为5 例图中P(-2,5)位于第二象限，A(-2,0)、B(0,5)是两个垂足。矩形面积为2×5=10又因 k=(-2)×5=-10,可见面积是k,不是负数k。 连接OP,把矩形分成两个面积相等的直角三角形。因此S400=SA0e。在例图中，两块面 积各为}×2×5=5，合起来恰好等于矩形面积10。 若题目给面积反求k,应先由面积求k|,再由象限确定正负。只有底边和高是相应坐标绝对 值，或能证明与它们相等时，才能使用这个面积结论。任意一个顶点在双曲线上，并不能保证 三角形面积都等于k。 2。 第14页共70页 13两条双曲线之间怎样用同底同高求面积 设P、Q有相同的非零横坐标X-“,分别在两条不同的反比例函数y女y上，其中 k1,k2均不为0，且k≠k2。两点竖直排列，所以PQ= k1kk-k。原点到PQ所在直线 aaa 的距离为a。 同横坐标以PQ为底 Q y= PO=2 0 y=员 X R 竖直底PQ长2原点到其所在直线的高为3 例：R、Q分别在y是y是上，横坐标都是3。于是P川3号、Q3,学，PQ营号=2.以 1 PQ为底，从0到这条竖直线的高为3，所以Sw2×2x3=3。 1 对一般的非零a,同样有So0=5×一xa=2。底边随a变化，高也相应变化，两 者的乘积保持不变。这个结论依赖“横坐标相同”，不是任意取两条双曲线上的点都成立。 系数一正一负时，要从实际线段长出发，不能直接做k-k2。几何图中需要两个面积相加就 相加，需要从大面积扣除才相减，不能只背一个系数差口诀。 14坐标差怎样表示线段长度 两个点横坐标相同，竖直线段长等于纵坐标差的绝对值；纵坐标相同，水平线段长等于横坐标 差的绝对值。长度不能是负数；确定了左右、上下位置后，才可去掉绝对值写成“大坐标减小坐 标”。 第15页共70页 例：Pt,)在双曲线上，Q1c,+1)在直线上，两点的横坐标相同，所以PQ=-t-1, t≠0。不能在未确定上下位置时直接去掉绝对值。 图①t=1P在上 图②t=3Q在上 y y=X+1 y=X+1 Q PQ=4 PO=2 y= y-5 X 0 3 t变化后上下位置交换长度始终取坐标差的绝对值 当t=1时，P(1,6)、Q(1,2),P在上方，PQ=6-2=4,当t=3时，P(3,2)、Q(3,4),Q在上 方，PQ=4-2=2。同一表达式在两个位置中都成立，绝对值正是用来保证长度非负。 两点不在同一水平线或竖直线上时，可补作平行于坐标轴的线段，构成直角三角形，再用勾股 定理。若A=(x1,y1小、B=(x2,y2),则AB=(x1-x22+(y1-y2。这个等式来自横、纵方向的两 条直角边。 例：A=（-2,4)、B=(4,-2),横坐标差、纵坐标差的绝对值均为6，所以AB=6V2。斜线段长 不能直接相加为12，也不能只用其中一个坐标差作为长度。 横向差6纵向差6用勾股定理求斜边 A(-2,4) 6 E 6V2 6 O B(4,-2) 斜线段补成直角三角形两条直角边分别长6 第16页共70页 15直线与双曲线的交点 两个图象的公共点同时满足两个函数表达式。求直线y=x+b与双曲线y=k的交点，先联立 得到mx+b=《,并保留X≠0；再整理为mX+bx-k=0,求出横坐标，最后逐个代回求相应纵 坐标。 例：y=x+1与y=相交。由X+x-6=0,得x=2或x=-3,分别代入直线得y=3或 y=-2。交点为(2,3)、（-3，-2)，不能交叉配成（2，-2)。 交点坐标成对代回检验 B y=X+1 y=s X A A(-3,-2),B(2,3) 求出横坐标后逐个配回对应纵坐标 第17页共70页 当m≠0时，可用本学期已学的一元二次方程方法研究交点数：判别式为b2+4k,大于0、等 于0、小于0分别对应两个、一个、零个不同交点。由于常数项-k≠0，方程的根不可能为 0。若m=0,原式是水平直线。不能仍按二次方程套判别式：b0时只有交点（合b),b=0时 没有交点。 先看直线类型再判断交点个数 情况 所用关系 不同交点个数 m≠0 △=b2+4mk>0 2 m≠0 △=0 m≠0 △<0 0 m=0,b≠0 合 m=0,b=0 y=0与双曲线无交点 0 过原点的直线y=mx与双曲线相交时，有mx=k。mk>0时有两个关于原点对称的交点； mk<0时没有交点；m=0时也没有交点。不同系数的两条双曲线y-与y=上若有公共 X X 点，就会推出k1=k2,因此当k1≠k2时没有公共点。 16从图象求不等式的解 比较y1与y2,就是在同一横坐标处比较两图象的高低。y1>y2对应第一条图象在第二条上 方；y1≥y2还包含交点的横坐标。无论是否允许取等号，双曲线没有定义的X=0都不能包含。 第18页共70页 列：比较y与y=X+1。两图象交于横坐标-3、2处，还必须以0分开。用图象或差 y-,=-x+3x-2 判断，可得y1>y2时x<-3或0<x<2y1≤y2时-3≤x<0或x≥2。 加粗曲线在直线上方注意0处分开 y2=X+1 y1= y1>y2 y1≤y2 图象相对高低对应横轴区间0始终不能包含 例如在x=-4时差为正，在x=-1时差为负，在x=1时差为正，在x=3时差为负。交点横 坐标与0把数轴分成这些部分，在各部分内各因子的符号不变，所以不能把0两侧的两段合成 一段。 交点横坐标与0把比较分成四段 x所在范围 X<-3 -3<x<0 0<x<2 X>2 y1-y2的符号 正 附 正 负 图象位置 双曲线在上 直线在上 双曲线在上 直线在上 若用代数去分母，必须分别在x>0、x<0的条件下处理；当×为负时不等号要反向。若题目另 外给x>0或某个线段的横坐标范围，最终答案还要与这个范围取公共部分。 17一般三角形的面积要看底高与割补 不是由垂足构成的特殊直角三角形，就先找容易表示的底与高。斜底不便求高时，可补出坐标 轴交点，将图形分成几个容易算的小三角形。点在线段内、外或坐标轴两侧，会决定面积应相 加还是相减。 第19页共70页 例一：A-2,4),B(4,-2)在y=-8上，直线AB为y=-x+2,与y轴交于C(0,2)。连接 X OA、OB、OCo 以0C=2为共同底面积2+4=6 y A(-2,4) 2 2 C(0,2) 4 X 4 B(4,-2) 例一沿y轴分成两块面积2加4 A、B在y轴两侧，C在线段AB上，所以大三角形分为左右两块。共同底为OC=2,对应的横 向高分别为2和4，放5弓2×2+分×2×4-6：这里不是-4，原因就在于底与高不符 合前面特殊面积结论的条件。 例二：A0,10).B10,0),P在y是的第-象限分支上，并位于△OAB内部。设 Pt,2),图中用t=3、P(3,4)显示三块面积的关系。 t=3时P(3,4)内部三块面积和为50 A(0,10) y=号 15p 15 20 →X B(10,0) P(t,) 例二大三角形减去两块图示t等于3 第20页共70页 -般地，5e=5t,50m-0,而大三角形面积为50所以5。m50-5r-0,在图示-3 时，两块靠坐标轴的小三角形面积分别是15、20，余下△APB的面积为15。 上述减法的条件是P在三角形内部，即t>0且t+2<10。如果P走到外部，三个区域的拼合 关系会改变，不能继续原样相减。求出坐标后要检查这个位置条件。 18平移与中点怎样固定图上点 点（a,b)向右平移h个单位后为（a+h,b),向上平移h个单位后为(a,b+h)。两点横坐标的中 点取平均，纵坐标的中点也取平均，所以线段端点为(x1,y1、(x2,y2)时，中点为 (X+X,y十少)。其依据可由过中点作平行于坐标轴的线，得到两组全等直角三角形来说明。 2’2 例：A1,6)在y=上，向右平移t个单位得到B。Dd,0)在x轴正半轴上，且B在D右 侧：BD的中点C也在这条双曲线上。图中取t=乏画一种允许的位置。 图示t=多C为BD中点 t A B(1+t,6) C(2,3) y=5 →X 3-t D(3-t,0) 平移只改变B的横坐标中点C的高度固定为3 由平移得B(1+t,6)。因为D的纵坐标为0，C是中点，所以y=60=3。C在双曲线上，于 是X--2,即C(2,3)。再用横坐标的中点关系，得1++d=2,所以d=3-t。 2 D在正半轴给d>0,即t<3;B在D右侧给1+t>d,代入得t>1。因此1<t<3。这样先由中 点高度确定C,再求B与D的联动和允许范围，后续的长度与面积都能在这个范围内研究。 19等腰直角与角平分线的图形转化 等腰三角形可用两条边长相等，也可在已知底边时利用底边上的高、中线、顶角平分线重合。 若未指定底边，应考虑哪两边相等；若已经说明以某一边为底，就不能再增加不合题意的其他 情况。 第21页共70页 例-：B(0,2),D(8,2),C在第一象限，且△BCD是以BD为底的等腰三角形：C又在y=12 上。过C作BD的垂线，垂足为H。 以BD为底垂足H也是底边中点 y=号 C(4,3) D(8,2) 4 4 B(0,2) H X 例一已知底边时用底边中点确定横坐标 底边BD水平，等腰三角形底边上的高也是中线，所以H为BD中点，xc=xH=4。再由曲线得 到y=12-3,故C(43)。先由几何确定横坐标，再由函数确定纵坐标。 4 等腰直角三角形的坐标关系可以用全等推导。设A在B左上方，C在B左下方，AB=BC, ∠ABC=90°。过A作竖直线，过B作水平线，两线交于E;过B作竖直线，过C作水平线，两 线交于F。这样E在B左侧，F在B下方，∠AEB=∠CFB=90°。下图以A(-1,2)、B(0,0)为 例，C在B左下方；先依据全等确定C相对B的横、竖方向长度。 两投影直角三角形对应边由全等得到 A(-1,2）) B(O) C(-2,-1) 2 例二两个投影直角三角形的AAS对应 第22页共70页 因为AB⊥BC,所以∠ABE+∠EBC=90°；又因为BE⊥BF,所以∠CBF+∠EBC=90°。因 此∠ABE=∠CBF。结合两个直角和AB=CB,可用AAS判定△ABE兰△CBF,得到 AE=CF、BE=BF,即AB的竖向长度等于BC的横向长度，AB的横向长度等于BC的竖向长 度。 在这个具体例子中，由A、B的坐标，得BE=1、AE=2,由全等，得BF=1、CF=2。C在B 左侧2个单位、下方1个单位，所以C(-2,-1)。若C换到另一侧，坐标的正负要按新的方向 重新确定，不能把“横竖交换”当作不看位置的口诀。 角平分线还可以用轴对称理解。看下面独立的几何示意图：把角一边上的点C关于角平分线 AH对称得到D,则D在角的另一边上，AC=AD。若H是C到角平分线的垂足，则C、H、D 在同一直线上，且HC=HD,所以H是CD的中点。 关于AH对称H是CD中点 D C AC=AD HC=HD 角平分线两侧的对称点垂足是它们连线的中点 这一步把“角平分线”转成了对称点，把“垂直”转成了中点和相等长度。坐标题中可以先求C、D 的坐标，再用中点确定H;不必先引入圆或三角函数。 20面积与乘积最值要同时看图形范围 前面的平移中点例中，AB=t、OD=3-t,且1<t<3,所以ABOD=t(3-t)。配方可把它写成 }-红引。平方不小于0。说明乘积不超过号当-号时能取到这个值，而且该t在允许范 围内。 第23页共70页 若另加条件2≤1≤号，允许的t航全部在号的右侧。此时子：一7≤1，所以乘积的最大值改 为2，在=2时取得。下图分别画出这两个允许范围内取得最大值时的原平移构型，并用数轴 标明允许的t。图上的AB、OD与乘积逐项对应，便于看清形式上的上界是否能在题目范围内 取到。 图Ot=多 图②t=2 y 个 AB=2 A AB=号 A D >X + 00D= O0D=1 AB·0D= AB·OD=2 35 两图均有BC=CD;下方数轴表示各自允许的t范围。 原平移构型的两个取等位置与相应允许区间 另看固定面积矩形的周长。设两边长α、b都为正，且ab=16;图左表示一般矩形，图右表示 两边相等的情形。 一般矩形 a=b=4时取等 4 5=16 6 ab=16 a 两图面积相同；右图周长为16。 固定面积16时正方形达到最小周长16 由(a-b)2≥0，得（a+b=a-b2+4ab≥64。又因a+b>0,所以a+b≥8，周长 2(a+b)≥16。等号当且仅当a=b=4时成立，恰好对应右图的正方形。图形和代数同时给出了 下界以及能取到它的具体尺寸。 第24页共70页 21从实际问题建立反比例模型 建立模型先找不变的乘积，再确定变量与单位。固定路程s时，速度V与时间t满足vt=S,所 以t=ミ，固定面积S的矩形满足y=S;固定体积V的柱体，底面积A与高h满足Ah=V。这 17 些关系中的速度、时间、长度、面积通常都应为正。 固定面积S 固定体积V 速度v时间t 固定路程s xy=S vt=s 底面积A X Ah=V 三类固定乘积模型各变量对应什么实际量 例：一段路程长360千米，不计中途停留，匀速行驶的时间t小时与速度V千米/时满足 t=360 V>0。若要在不超过5小时内到达，则360s5;因v>0,可得v≥72。若另有最高速 度限制90千米/时，实际允许范围为72≤v≤90。 不超过5小时且最高速度90 t t=360 速度v千米每小时 时间t小时不计停留 (72,5) 5 路程360千米 (90,4) ← 出发地 目的地 允许段加粗 >v O 72 90 固定路程360千米时间要求与速度限制共同确定可行范围 第25页共70页 题目若给出压力、压强、密度、体积等关系式，可把它当作已知数学关系使用，不要求先掌握 额外物理知识。例：某密度计的液体密度p与浸没深度h成反比例。用密度为1.5克每立方厘 米的液体校准时，测得h=2厘米，因比p片。仪器只在8h≤20厘米时有效，故可测密度 为品5S号克每立方厘米。密度为品的液体在允许范围的端点上，能测：窗度为2.4的液 体虽然代入式子得到h=罗，却超出了仪器的有效范围，不能据此完成测量。模型能算出一个 正数，不等于该仪器一定能使用。 有效浸没深度8至20厘米 浸没深度从密度计底端量至液面 h=艺<8不可测 p=9 (8,) 液面 (12,1.5) h (20,品) 液体密度p →h 20 横轴单位：厘米；纵轴单位：克每立方厘米。 密度计的浸没深度与有效量程公式算出正值仍可能超量程 注意“总时间若还包含固定停留时间c>0,就应写T=三+c,并不是T与V成反比例。同样，固 1】 定量加在函数值或自变量上之后，必须按题意建立新关系，不能因为出现分式就把它直接当作 标准反比例函数。 行驶时间 固定停留时间c>0 T=+c 总时间由行驶与停留两段相加不能直接称总时间成反比例 22图表中的分段模型与持续时间 实际图象可能由线段、水平线段与双曲线的一部分组成。每一段都有自己的表达式与适用范 围：先用端点数据求关系，再说明在哪段时间内使用。某一段的式子不能越过原有阶段或题目 给定的观察时段。 第26页共70页 例：某装置进行18分钟的测试，记录效果值q。前6分钟，q从0匀速增加到6；第6至第10 分钟保持为6；第10至第18分钟，q与时间t成反比例。于是第一段为q=t(0≤t≤6)，第 二段为q-6(6≤1≤10)，第三由衔接点〔106，得到9-9，但只在10≤1≤18时使用。 同一次测试中的三个阶段 时间范围 效果值q 阶段特点 0≤t≤6 q=t 线性增加 6≤t≤10 9=6 保持不变 60 10≤t≤18 q= 反比例减小 t A q=6 B q=0 5 q=t 3 C 观察截止 →t(分钟) 6 10 12 18 q≥5 有效7分钟 2 q≥3 有效15分钟 78 曲线只定义到第18分钟两个阈值各有对应的有效时间条 若效果值至少为5才算有效，第一段从第5分钟开始达到要求，第二段全部达到要求，第三段 由巴三5得t≤12，与本段范围合并为10三t≤12，因此有效时间从第5分钟持续到第12分钟。 共12-5=7分钟。三个阶段在交界处相接，不把同一个交界时刻重复增加时间。 若标准改为至少3，则本次记录中从第3分钟开始一直到第18分钟都达到标准，共15分钟。 虽然反比例式给出93时：=20，但20已超出题目给出的测试时段，不能凭这段记录就宣布 效果持续到第20分钟。“结束时刻”与“持续时长”、模型给出的值与实际允许的时间范围，必须 分别判断。 第27页共70页 23整数点与对称配对 横、纵坐标都是整数的点叫作整点。若k是正整数，反比例函数第一象限内的整点满足 y=k,所以正整数×必须是k的因数，对应的纵坐标为y=k。找整点就是找正因数对，同时 还要检查题目规定的坐标范围。 例：y复第一象限内的整点为11451、315591951.153.45。如果还要求 x+y≤20，前后两点不符合，只留下中间4点。不能把乘积等于45的每一对正整数都算进有范 围限制的题。 k等于45时按交换坐标列成对整点 一组坐标配对 坐标和 是否满足x+y≤20 计入点数 (1,45)与45,1) 46 否 0 (3,15)与(15,3) 18 是 2 (5,9)与(9,5) 14 是 2 交换横、纵坐标不改变乘积，所以（α，b)与(b,α）总同时位于同一条双曲线上。若题目范围也 在交换后保持不变，例如x+y≤L,那么Q≠b的合格点就成对出现；在直线y=x上的点则与 自身重合，只能计一次。这样的正整点存在时有x=y=m、k=m2,所以k必须是一个正整数的 平方。若只限制横坐标而不限制纵坐标，交换后的点可能超出范围，就不能直接按成对计数。 例：y=64第一象限共有7个整点，对应正因数1,248,16,32,64。其中(8,8)在直线y=x上， 其余6点分为3对。若限制x+y≤18，只剩(8,8)，仍是1个而不是2个。一般地，当合格点 都可以按坐标交换配对且总数为奇数时，必有一个合格的对角点；反过来，k是平方数还不 够，还要检查这个点以及其他因数对是否满足给定范围。 k等于64时对角点只计一次 一组坐标配对 坐标和 是否满足x+y≤18 计入点数 （1,64)与(64,1) 65 否 0 (2,32)与(32,2) 34 否 0 (4,16)与(16,4) 20 否 0 (8,8)与自身重合 16 是 第28页共70页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是()。 A.y=3x B.y=3+1 X C.y=-3 X D.y=3 答案C 反比例函数可写成y=k,其中k0。只有y=-3符合。 2.反比例函数y=k的图象经过点(-2,3)，则k的值是(）。 A.6 B.-6 c D.号 答案B k=xy=(-2)×3=-6。 3.若y=(m-1)xm-2是x的反比例函数，则m的值是（)。 A.-1 B.1 C.1或-1 D.0 答案A 指数须满足m2-2=-1,得m=1或m=-1,又m-1≠0，所以m=-1。 4,关于反比例函数y卡，下列说法正确的是()。 A.X可以取0 B.y可以取0 C.x只能取正数 D.x,y都不能取0 答案D 分母不能为0，所以x≠0；因为分子为5，故y≠0。两者都不能取0。 5.函数y=2m的图象位于第二、四象限，则(）。 X A.m<2 B.m≤2 C.m>2 D.m≥2 答案C 位于第二、四象限说明2-m<0,即m>2。 第29页共70页 6.点A(-3,a,B-1,b,C(2,c)在函数y=6的图象上，则()。 -3 -1 B A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 答案B a=-2,b=-6,c=3,故b<a<c。也可先用正负区分两支，再比较同一支。 7.关于函数y=-4的增减性，下列说法正确的是()。 X A.在每个象限内，y随x增大而增大 B.对所有非零X,y总随X增大而增大 C.在第四象限内，y随x增大而减小 D.在第二象限内，y随X增大而减小 答案A k=-4<0,在每个象限内，y都随x增大而增大；不能跨越x=0作整体单调判断。 8.已知y与x成反比例。若x由2变为6，则y变为原来的（)。 A.3倍 B.6倍 c分 D 答案D x变为原来的3倍，而y不变，所以y变为原来的3。 第30页共70页 9.点P在函数y=-10的图象上，过P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成矩形。该矩 X 形的面积是（)。 B A.-10 B.5 C.10 D.20 答案C 若P(a,b),矩形边长为|a,bl,面积为|ab1=|-10=10。 10.点P在函数y-是的第一象限分支上，m上x轴，垂足为A,0为原点。则50m为 (）。 →X 0 A A.4 B.8 C.16 D.不能确定 答案A 设Pa.6),则a,b>0ab=8。所以5aeb=4。 第31页共70页 11.下列点在函数y=-1的图象上的是（)。 A.（-3,-4) B.（3,-4) C.（2,6 D.(6,-3)】 答案B 逐一检验横、纵坐标的乘积。只有3×(-4)=-12。 12.一项工程的工作总量一定，每人每天的工作效率相同。设参加工作的人数为x,完成工程 所需天数为y,忽略其他因素，则（)。 同一项工程工作总量固定 只天天 人数 所需天数y 每人每天的工作效率相同 A.y与x成正比例 B.x+y不变 C.y与x成反比例 D.y与x无关 答案C 总工作量与每人每天工作量的比值为常量，故Xy是一个正常数，y与X成反比例；这里x应 为正整数。 13.反比例函数y=m+2的图象在每个象限内，y随x增大而减小，且经过点(a,m-1),其 X 中a<0。则m的取值范围是（）。 A.m>1 B.-2<m<1 C.m<-2 D.-2≤m≤1 答案B 由每支递减得m+2>0,即m>-2。此时图象在第一、三象限，因a<0,故m-1<0,即 m<1。所以-2<m<1。 反过来，任意-2<m<1,取a=m+2<0,即可满足点在图象上的条件，所以区间内各值都成 m-1 立。 第32页共70页 14.反比例函数y,6与一次函数y,=x-1的图象交点的横坐标为-2,3。则y>y,时x的取 X 值范围是（)。 y=-1 -2 3 y=5 A.-2<X<3 B.x<-2或x>3 C.-2<x<0或x>3 D.x<-2或0<x<3 答案D 比较图象上下位置，必须把x=0也作为分界点。 yy,=x+2x-3 ,在x<-2与0<x<3时为正，故选D。 第33页共70页 15,矩形的四个顶点依次为A(a,b)、Cc,b)、B(c,d)、D(a,d),其中0<a<c,0<d<b。点 A,B在同一反比例函数y=的图象上，点C在y=8的图象上，点D在y=8的图象 上。若直线AB的解析式为y=-2x+t,则这个矩形的周长为（)。 D →X A.4 B.6 C.8 D.12 答案B(6) 由题意，ab=cd=k,bc=18,ad=8。所以k2=(ab)(cd)=(bc)(ad)=144。各点均在第一象限， 故k=12。 矩形面积为（c-a)(b-d)=bc+ad-ab-cd=18+8-12-12=2。 由直线AB的解析式得b-d=2(c-a)。设c-a=w>0,则2w2=2,所以w=1,b-d=2。 故矩形周长为2(1+2)=6，选B。 第34页共70页 16.已知y=m-4m+3是反比例函数。任取其图象上的两点A(X,y,小、B(x,y,),其中 X -3≤x≤-1,1≤x2≤2，均有0<y2-y1≤4。则实数m的取值范围为（）。 X1的范围 X2的范围 >X 入3 -1 O 个y A.2-V3≤m≤2+V3 B.2-3<m<1或3<m<2+V3 C.2-V3≤m<1或3<m≤2+V3 D.1<m<3 答案C(2-V3≤m<1或3<m≤2+V3) 记k=m-4m+3,则y=号由于0<，括号内恒为正所以0等价 于k>0。 由给定区间，0<-1≤2，且上界在X=-1、X,=1时取得。因此任取两点均有y,y≤4等 X2 X1 价于2k≤4。 综上，0<k≤2，即0<(m-22-1≤2，所以1<m-2)2≤3。 解得2-V3≤m<1或3<m≤2+V3。注意m=1、m=3时系数为零，必须排除。选C。 第35页共70页 17.某筒易密度计的实际浸没深度h与液体密度D满足p片，深度和密度的单位分别为厘米 和克每立方厘米。尺上读数r与实际深度满足h=r+d,其中d为固定校准值。将密度计放入 密度分别为1，号的标准液体中，得到的准确读数分别为12.7。 液面处尺读数r 已知测量条件 液面 p=1r=12 液体 h p=?r=7 h=r+d 随后测量某液体，显示读数为r,但实际尺上读数可能为从r一到r+)之间的任意值。要确 保该液体的密度一定满足1≤s号，显示读数r应满足(）。 B.r受 23 A.7≤r≤12 2 答案B(r) 由两次准确校准，k=12+d多7+d),解得d=3,k=15,故p=5。 。 由于实际深度为正，密度要求1s5≤号等价于10≤h≤15。 h-2 当显示读数为，时，实际深度可能在r+号至r+子之间。要使所有可能深度均落在1015 内必须且只需r+10且r号15. 解得艺≤r≤受，选B。 第36页共70页 18.设k为正整数。反比例函数y=k的图象上，横、纵坐标都是正整数且满足x+y≤15的点 恰有5个。满足上述条件的k的个数为() y 15 第一象限整点网格 X+y=15 x+y≤15 →X 15 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案B 若（a,b)符合条件，则(b,a)也符合条件，因为两者的坐标乘积相同，坐标和也相同。当a≠b 时这是两个不同的点。因此所有不在直线y=x上的合格点都成对出现。 合格点共5个，为奇数，必须有一个满足x=y的合格点。设该点为(m,m),其中m为正整 数，则k=m2,且2m≤15，所以m=1,2,3,4,5,6,7。直线y=x上至多有一个合格点。 依次检查k=1,4,9,16,25,36,49的正因数对，同时检验坐标和不超过15。合格点数依次为1、 3、3、3、1、5、1。特别地，k=16的(1,16)与（16,1)因坐标和为17不能计入；k=36的 (2,18)与（18,2)因坐标和为20也不能计入。 当k=36时，合格点恰为（3,12)、(4,9)、(6,6)、(9,4)、（12,3)，确有5个。因此只有1个k符 合条件，选B。 第37页共70页 19.在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ACB的直角顶点为C(1,0),点A的坐标为 (0,2),点B在第一象限。将这个三角形平移，得到ACB,其中A在A的右上方，且 AA=V37。若A,B都在函数y=k的图象上，则k的值为()。 平移 A ⊙ X A.8 B.12 C.18 D.24 答案C 先求点B的坐标。过B作BF⊥X轴，垂足为F。由B在第一象限且BC⊥CA,知F在C 的右侧。∠AOC=∠CFB=90°，∠ACO=∠CBF(同为∠BCF的余角)，且AC=CB,所以 △ACO三△CBF(AAS)。于是CF=OA=2、BF=OC=1,故B(3,1)。 设向右平移u个单位、向上平移v个单位，其中u,v>0。则A(u,v+2),B(u+3,v+1)。两点 同在一条反比例曲线上，故u(v+2)=(u+3)(v+1),整理得u=3v+3。 由平移距离及勾股定理，+v2=37。代入得(3v+32+v2=37,整理为(v-1)(5V+14)=0。 因v>0,得v=1,所以u=6。于是k=u(v+2)=6×3=18。回验另一点B(9,2)的乘积也是 18,且平移距离为V62+12=√37，选C。 第38页共70页 20.点P是直线y之×+3上第一象限内的一点。过P作x轴的平行线，交函数y=冬（ k>0,x>0)的图象于M;过P作y轴的平行线，交函数y=2业(K0)的图象于N,若 X △PMN是腰长为2的等腰直角三角形，则k的所有可能值为()。 位置仅作示意 -ZK M y=5 X A.24 B.24或9-V33 C.24或9+V33 D.9-V33 答案B 设P(p,9,则p>0,q=2D+3>3。因PM水平、PN竖直，直角在P,所以PM=PN=2。 先判断M的位置。若M在P右侧，则k=(p+2)q>pq。若同时N在P下方，就有 2k=p(q-2)<pq,矛盾。若N在上方，则2k=pq+2)>2pq,推出q<2,又与q>3矛盾。 因此M必在P左侧，且p>2,k=(p-2)q。 若N在P上方，则2k=pq+2。与k=(p-2)q联立，得p9-4g-2p=0。代入9=2p+3, 得p2-2p-24=0,所以p=6（负根舍去)，q=6,k=24。 若N在P下方，则2k=p(q-2),得p9-4g+2p=0。代入直线关系得p2+6p-24=0,所以 p=-3+v3(另一根为负，舍去)，q-3+33。 21 此时p>2,q>2,两交点均在第一象限，且k=(p-2)q=9-V33>0。两种情形均满足两腰长为 2,故k=24或k=9-V33。 第39页共70页 三填空题 21.反比例函数的图象经过点(4，-3)，其表达式为. 答案y=-12 X k=4×(-3)=-12,故y=-12 22.在函数y=5中，当X=-5时，y=一。 答案-3 y=15=-3. -5 23.若xy=-7,则y关于x的函数表达式为 其中x的取值范围为. 答案y=-7;x0 由y=-7可知x0,两边同除以x得y=-乙 X 24.点A(2,-5)在某反比例函数图象上，则与A关于原点对称的点B的坐标为 B (填“在”或“不在”)该图象上。 y -5 A(2,-5) 答案（-2,5))在 关于原点对称，两坐标均变为相反数，得B(-2,5)。两点坐标乘积均为-10，所以B在同一图 象上。 第40页共70页 25.反比例函数y=二的图象经过点A(2,6)。把A的横、纵坐标交换得到点B,则B的坐标 为 ,且B该图象上。 A(2,6) 答案(6,2)，在 B(6,2),且6×2=12，所以B仍在图象上。 26.点P在第二象限的反比例函数图象上，过P向两坐标轴作垂线得到的矩形面积为18。该 反比例函数的表达式是 y B 面积18 >X 答案y=-18 X 矩形面积为k=18第二象限对应k<0,所以k=-18。 第41页共70页 27.点P在函数y=k的第四象限分支上，PA上X轴，垂足为A。若SAO=7,则k= A X 面积7 答案-14 k=7,得k=14;第四象限要求k<0,所以k=-14。 2 28.若y=m9是反比例函数，则m应满足。 答案m≠3且m≠-3 分子必须是非零常数，所以m2-9≠0，即m≠±3。 29.某长方形的面积为48cm,其长为xcm,宽为ycm,且长不小于宽。则y关于x的表 达式为一，x的取值范围为一。 48cm2 ycm x cm 答案y=8;x243 Xy=48且x2y>0。由x248得≥48，所以x≥4V5。 第42页共70页 30.点A(2,a,B5,b)都在函数y=-20的图象上，则ab(填>“<或=)。 5 答案< 第四象限分支随x增大而增大，因2<5，所以a<b。也可代入得a=-10,b=-4。 31.直线y=2x与反比例函数y=8的图象交点为—。 X y=2x y=8 答案(2,4)与（-2，-4) 2x=8,由x≠0得X=4,故x=士2代入y=2x得两点坐标。 X 32.点A(a,b),B(3a,c)在同一反比例函数图象上，则c=(用b表示)。 答案号 b=30c。因图象上点的横坐标a0,得b=3C,所以c=号 第43页共70页 33.点A(a,4)与B(a+3,1)在同一反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式为 A B 个y →X a a+3 ← 3 答案y=4 由横纵坐标积相。得4aQ+3,所以a=1,于是k=4a=4,袁达式为y是 34.直线X=3分别交函数y=与y=-6的图象于A,B,其中k>0。若S6B=8,则k= 实线y=虚线y=- y X=3 A B 答案10 A3,今，B3-2),故AB=令+2，原点到直线AB的距离为3。 1×3×+2)=8,解得k=10。 2 第44页共70页 35.点A在函数y=-8的第二象限分支上，点B在函数y=18的第一象限分支上，0为原 点。若OA⊥OB,且SAO4B=15,则点A的所有可能坐标为一。 答案（-4,2)或（-2,4) 设A(-a,b),B(c,d),其中a,b,c,d>0。由点在相应曲线上，得ab=8,cd=18。由OA⊥OB 及勾股定理，AB=OA2+OB2,即(a+cP+(b-d2=a2+b2+c2+d2,整理得ac=bd。 又(acbd)=(ab)(cd)=144,且ac,bd>0,所以ac=bd=12。与ab=8比较得c=3b,d=3 2 0。 因此0B2=c2+d=号d2+b)=90A'。两条线段长度均为正，故0B=30A。 三角形在0处为直角，由面积得0A·0B=15,即子a2+b)=15,所以d2+b=20。又 ab=8,故（a+b=20+16=36。因a,b>0,a+b=6。 由a6-a)=8得（a-2)(a-4)=0,所以(a,b)为(2,4)或(4,2)。因此A(-2,4)或 A(-4,2),对应B(6,3)或B(3,6),代入两曲线、勾股关系和面积，均符合题意。 第45页共70页 36,在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(0,1),AD‖x轴，点D在第一象限， 点B在第三象限。对角线BD所在直线的表达式为y=mx-1(m>0),点B,D都在反比例 函数y=k(k>0)的图象上。若平行四边形ABCD的周长为26，则k=一。 D 答案8 设AD=d>0。由A(0,1)、AD‖x轴且D在第一象限，得D(d,1)。D在两个函数图象上，所 以1=md-1.k=d,即m=后 把两函数联立，得 x-1=4 ,整理为2X2-dk-d2=0,即(2x+d(x-d)=0。D的横坐标为 X d,另一交点B的横坐标为号代回直线得B(-兰，-2， 人B的横向距离为号，竖向距离为3。所以由勾股定理得AB=号+9周长为26，故 d+4+9=13,并且必须有d<13。 Z方，得文+9=13-d,整理为3dP-104d+640=0,即1d-83d-80E 3 不满足d<13,舍去；d=8时AB=5,周长2(8+5)=26，且B、D所在象限均符合。因此 k=d=8。 第46页共70页 37点A2,6)、B(6,2)在反比例函数y=的图象上。点P也在该图象上，且三角形PAB 的面积为32。所有满足条件的点P的横坐标之和为 0 一种位置：竖直距离PD与实际高PH PH H PD y=号 D 答案16 直线AB的解析式为y=-X+8。设P(t,2),其中t≠0，过点P作竖直线交直线AB于 D(t,8-t)。 过点P作PH垂直于直线AB,垂足为H。因为直线AB与竖直线的夹角为45°，所以三角形 PDH是等腰直角三角形，由勾股定理得PH=二PD。又AB=4V2,故三角形AB的面积为 号x42×2PD=2PD=2It+2-81。 由面积条件得+2-8=16，所以t+2-24或t+2-8。不能只保留绝对值的一种符号。 前一方程化为t2-24t+12=0,两根为12+2V33、12-233,后一方程化为t2+8t+12=0,两 根为-2、-6。这四个根均非零且互不相同。 故全部合格点的横坐标之和为(12+2V33)+(12-2V33)-2-6=16。 第47页共70页 38.直线y=2x+4与y轴交于B,与函数y=kk>0,x>0)的图象交于C。过B作x轴的 平行线，交该图象于D。若△BCD是等腰三角形，则k的所有可能值为 答案16,30,40-8V5 图① 图② 图③ y y B B B D →X ≥X →X 设C,2+4),其中t>0,则k=2tt+2),B0,4,D(年4。令u=>0,则 C(2u,4u+4),D(2u(u+1),4),k=8u(u+1)。 由横、纵坐标差及勾股定理，BC2=202,BD2=4u2(u+12,CD2=4u2(2+4)。 若BC=CD,得5=+4，故u=1,k=16。若BC=BD,得5=(u+12,故u=V5-1, k=8(V5-1)v5=40-8V5。 若BD=CD,得(u+1P=+4,故u=弓，k=30。三种情况下u>0,点C均不在水平线BD 上，三角形确实存在，故三个值均应保留。 第48页共70页 39.某装置的输出功率p(单位为瓦)随时间t(单位为分钟)的变化图象依次由线段OA、线 段AB和反比例函数图象的一部分组成，其中O(0,0),A(8,2),B(20,8)。在t≥20时，图象经过 点B且一直延续。若功率不低于q瓦的持续时间恰为28分钟，其中0<q≤8，则q= 0 8 20 答案4 线段D1上D片线段AB上p号-2；反比制阶段由20×8=1⑩得p=10.功率先增后 减，所以不低于某正阈值的时间段只有一个。 当0<q≤2时，进入时刻为4q,离开时刻为160。此时离开时刻不早于80，进入时刻不晚于 q 8,持续时间至少为72分钟，不可能是28分钟。 当2<0≤8时，进人时刻为20+4，离开时刻为0。由16020+4E28,得 q g2+16g-80=0,即(q-4)(q+20)=0。 正根q=4属于所需范围。此时进入时刻为12，离开时刻为40，持续28分钟，故q=4。 第49页共70页 40.在平面直角坐标系中，0为原点，点A在反此例函数y=3的第一象限图象上，点B在 反比例函数y=-2的第二象限图象上。若△OAB是等边三角形，则它的面积为】 X 外接梯形减去左右两个直角三角形 B(-c,d) A(a,b) 答案√同 设A(a,b)、B(-c,d),其中a,b,c,d>0。由两点在相应曲线上，得ab=3、cd=2。设等边三角 形边长的平方为T,面积为S,则a+b2=c2+d=T。 由AB=0A=T,有(a+cP+(b-d}=T。展开并利用前式，得到bd-ac= 2 过A,B向×轴作垂线，利用外接梯形减去左右两个直角三角形，可得 s=a+cb+d-ab-cd-ad+bc,另一方面，等边三角形的高由勾股定理得边长的5，所以 2 2 s=37,即ad+bc=3r。 4 2 把-ac+bd号与bc+a-号1联立：第一式乘b,第=式乘0后相加，得d-b+yB巴；第二 2 式乘b.第一式乘a后相减，得c=3b-0,这里用了a+b2=T>0。 2 ·因此 由cd=2,b=3,有2-3b-ab+v3a_2b+v5(2-,从而6-a=2 4 Teid+6y=8-a*4d0号+36-g 3 最后S品T=7,面积为正，所以S=7。 第50页共70页 四解答题 解答应写出计算步骤或证明过程。 41.已知y与x成反比例，且当x=-3时，y=4。 (1)求函数表达式；(2)求y=6时x的值；(3)通过计算判断点A(2,-6),B(-4,-3) 是否在该图象上。 答案(0y=是；(2②)X=-2;(3)A在，B不在。 y=-12 (-3,4) B(-4,-3) A(2,-6) (1)设y=长，代入已知值得k=(-3×4=-12,所以y=-是. (2)由6=-12得x=-2. (3)点A的横、纵坐标之积为2×(-6)=-12，所以在图象上；点B的坐标乘积为 12≠-12，所以不在图象上。 第51页共70页 42.已知函数y=4。 X (1)列表、描点，画出函数图象； (2）写出图象所在的象限及在每个象限内的变化规律； (3)判断图象与坐标轴是否相交，并写出判断依据。 答案图象在第一、三象限；在每个象限内随X增大而减小；不与坐标轴相交。 （1)可取（-4，-1)，（-2，-2)，（-1，-4)，(1,4)，(2,2)，(4,1)，分别把同一象限的点用平滑曲线连 接，不能跨越原点连接两支。图见下方。 -4 -2 -1 2 y -1 -2 -4 2 1 y 5个 4 3 2 -5-4-3-2-1 1 2343× 1 -2 -3 4 (2）k=4>0,图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小。 (3)由于x≠0，图象不与y轴相交：由于y=40,图象不与x轴相交。 X 第52页共70页 43.点A-4,a,B(-1,b),C(2,c)在函数y=-8的图象上。 y B个 A 2 (1)比较a,b,c的大小； (2)小明说：“因为k<0,所以X越大，y越大；由-1<2得b<c。”请指出错误并改正。 答案（1)c<a<b;(2)增减性只能在同一象限内使用。 (1)a=2,b=8,c=-4,所以c<a<b。 (2)小明把同一分支内的增减性用于不同分支。点B在第二象限，b>0,点C在第四象限， c<0,故正确关系是b>c。 第53页共70页 44.点P(a,b)在函数y=的第-象限分支上，过P分别作PA1x轴、PB1y轴，垂足 为A,B,O为原点。 B >X 0 A (1)用a,b表示矩形OAPB和三角形OAP的面积； (2）求这两个图形的面积； (3)分别求P位于同一函数第三象限分支时这两个图形的面积。 答案(1)b,空；(2)12,6；(3)矩形面积为12，三角形面积为6。 ()第一象限中OA=Q,PA=b,所以矩形面积为ab,三角形面积为b。 (2）因P在图象上，ab=12,故两面积分别为12,6。 (3)第三象限中a,b<0,边长为|a,1b1。矩形面积仍为|ab=12,三角形面积仍为6，均不 变。 第54页共70页 45.一辆汽车沿长180km的道路匀速行驶，行驶速度为vkm每小时，行驶时间为th。按要 求，速度不低于40km每小时且不高于90km每小时。 路程180km > 起点 终点 速度V时间t 40≤V≤90 (1)写出t关于v的函数表达式及v的取值范围； (2)当速度为60km每小时，需行驶多少小时？ (3)求行驶时间的取值范围。 答案(1)t=180 10,40svs90;(2)3h:(③)2sts45. (1)路程等于速度乘时间，故t=180,所以t=180,其中40≤v≤90。 (2)t=180=3(h)。 60 (3)因v>0,时间随速度增大而减小；v=90时t=2,v=40时t=4.5。所以2≤t≤4.5。 第55页共70页 46.直线y=3x与反比例函数y=12的图象交于A,B两点，点A在第一象限。 B (1)求A,B的坐标； (2)求线段AB的长； (3)过A作AC⊥轴，垂足为C,求SAOAC 答案（1)A(2,6),B(-2,-6)(2)4V10,(3)6。 （)联立得3x是，改-4，得x=2,所以A2,61,B-2.-6 (2)OA=V2+6=2V10。两点关于原点对称，故AB=2OA=4V10。 (3)0C=2,AC=6,故S%0=×2×6=6. 第56页共70页 47.一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=上的图象交于A(-2,3,B(3,n)两点。 y B (1)求这两个函数的表达式； (2)直接写出a+b>k时x的取值范围： (3)求SAOAB· 答案()y=x+1,y=;②)x-2或0<x<3;3)三 (1)k=(-2)×3=-6,所以n=-2。把A(-2,3),B(3,-2)代入直线，得 -2a+b=3,3a+b=-2,解得a=-1,b=1。 (2)直线与双曲线在横坐标-2,3处相交，还须以0为分界点。比较得x<-2或0<x<3。 (3)设直线与y轴交于C(0,1),C在线段AB上。三角形OAB的面积为 Soc+5mx}X1×2+x1x3-号： 2 第57页共70页 48.一种简易密度计竖直漂浮时，液体密度p(单位为克每立方厘米)与浸没深度h(单位为 厘米)成反比例。它在密度为1.2的液体中浸没10cm。 密度计 已知测量条件 液面 p=1.2h=10cm 液体 h 有效浸没范围6≤h≤18 浸没深度单位：cm (1)求p关于h的函数表达式； (2)密度计能正常测量的浸没深度为6≤h≤18，求可测密度范围； (3)某液体的密度比1.2增加了25%，浸没深度比原来减小了百分之几？ 答案(Wp是；2号p≤2；(3)20%. 0)设p会，则k=12x10=12,所以p兴 (2)因h>0,容度随漫没深度增大而减小。h=6时P=2,h=18时p号，故子5ps2。 (3)新密度为1.21+25%)=1.5，新浸没深度为2=8(cm）。减小百分率为 1.5 10-8×100%=20%。 10 第58页共70页 49.点Aa,b)在函数y=8的第一象限分支上。把A向右平移4个单位、向下平移1个单 位得到点B,点B也在该图象上。 向右4 H ↓向下1 B →X (1)求A,B的坐标； (2)过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，两线交于H。求S△ABH 答案A(4,2),B(8,1);SAABH=2。 (1)ab=8,且（a+4)(b-1)=8。两式相减得4b-a-4=0,即a=4b-4。 代入ab=8得b2-b-2=0,解得b=2或b=-1。因A在第-象限，故b=2,a=4。所以 A(4,2),B(8,1)。 (2)AH=4,BH=1,故S。A=×4×1=2。这-面积也可直接由平移距离求得，无须先算坐 标。 第59页共70页 50.在平面直角坐标系中，A(0,3),B(4,0),O(0,0)。将△OAB沿直线y=x向右上方平移，点 A的对应点A恰好落在函数y=0的第一象限分支上。 A A 8 平移 >X 0 B (1)求A'的坐标； (2)求此时点B的对应点B的坐标； (3)求这次平移的距离。 答案A(2,5),B(6,2),平移距离为2V2。 (1)沿y=x向右上方平移，水平、竖直方向移动的长度相等。设各移动t个单位，其中 t>0,则A(t,t+3)。 由A在曲线上，得t(t+3)=10,即(t-2)t+5)=0。由t>0,得t=2,所以A(2,5)。 (2)点B也向右、向上各移动2个单位，故B(6,2)。 (3)平移距离是对应点间的距离，不是横移量。由勾股定理，AA=√2+2=2√2。 第60页共70页 51.已知y+2与x成反比例，且当x=2时，y=3。 (1)求y关于x的函数表达式； (2)若该关系的图象上有一点P(a,b),求ab+2a的值； (3)求点P在第一象限时a的取值范围，并说明y是否与x成反比例。 答案(1)y=10-2;(2)10;(3)0<a<5y与x不成反比例。 y=9-2 (2,3) (5,0) →X y=-2 粗线部分：第一象限内的图象(0<x<5) (5,0)在X轴上，不属于第一象限 (1)设y+2=长。代入x=2,y=3得k=2(3+2)=10,所以y=9-2,其中x≠0。 X (2）点P(a,b)满足a(b+2)=10,所以ab+2a=10。 (3)第-象限要求a>0且b=10-2>0。因a>0,后式等价于a<5,所以0<a<5。 y与x不成反比例，因为xy=10-2x并非常数；成反比例的两个量是y+2与x。 第61页共70页 52.已知函数y=k的图象经过点(2，-6)。 -6 -2 （2,-6) (1)求函数表达式； (2)当-6≤x≤-2时，求y的取值范围； (3)若函数图象上的点P(x,y)满足2≤y≤4，求x的取值范围。 答案(1)y=-,(2)2sy≤6；(3)-6≤x≤-3. (1)k=2×(-6)=-12,故y=-12 (2）在第二象限内函数随x增大而增大，两个端点函数值为2,6，所以2≤y≤6。 (3)由y>0知x<0。把关系式写成x=-吕，在2≤y4内，X随y增大而增大，端点分别 为-6，-3，故-6≤x≤-3。 第62页共70页 53.直线y=X+2与反比例函数y-8的第一象限分支交于点A,与y轴交于点B。点P在x 轴上。 A P在X轴上，图示仅为一种位置 (1)求A,B的坐标； (2)若S△Am=6,求点P的坐标。 答案A(2,4),B(0,2)P(4,0)或P(-8,0)。 (1)由x+2=8得(x-2x+4=0,因A在第-象限，所以A(2,4),且B(0,2)。 X (2）)设直线AB与x轴交于C(-2,0),设P(p,0)。因为B在线段CA内，三角形BCP位 于三角形ACP内。三角形ACP,BCP同底CP,高分别为4,2。二者面积差的绝对值就是 S△AB即，故S△ABp=2p+2|(4-2)=|p+2|。 所以|p+2|=6,得p=4或p=-8。故P(4,0)或P(-8,0)。 第63页共70页 54.矩形OABC的顶点O为原点，A在x轴正半轴上，C在y轴正半轴上。顶点B在函数 y=24的图象上，且矩形的周长为20。 B 人 X 0 A (1)求矩形的两条邻边长； (2)若OA>OC,求点B的坐标； (3)连接AC,求点B到直线AC的距离。 答集邻边长为4,6，B(6,4);距离为12E 13 (1)设0A=a,0C=b,则a,b>0,ab=24,a+b=10。由a(10-a)=24得(a-4)(a-6)=0, 故两邻边长为4,6。 (2）OA>OC,所以OA=6,OC=4,得B(6,4)。 (3)AC=6+4=2VE,且Sx登-2。设所求距离为h,由方×2正xh=2,得 h=1213 13 第64页共70页 55.直线y=-X+8与反比例函数y=1的第一象限分支交于A,B两点，点A在点B的左 侧。点P在线段AB上运动，过P作x轴的平行线，交该反比例函数图象于Q。 y A ◇ Q 0 (1)求A,B的坐标； (2）当PQ=1时，求点P的所有可能坐标； (3)求PQ的最大值，并求此时点P的坐标。 答案(1)A(2,6),B(6,2);(2)P(4,4)或P(5,3),(3)最大值为8-4V3,此时 P(8-2V3,2V3)。 (1)由-x+8=2得X-8x+12=0,即(x-2(x-6=0。所以A(2,6,B(6,2)。 ②设Pu8-,则2s6,0品8-又品--3-60，故Q不在P 右侧，PQ=t8一t 12 由t品1得-9+20-0，即14：-51-0：两个根均在26肉，故P441或 P(5,3)。 (3)令s=8-1,则2≤s≤6，且PQ=8-5-号.因为s>0,由5-2320，除以s得 s+2≥45。 所以PQ≤8-4V3,当且仅当s=2V3时取等。此值在[2,6]内，所以最大值为8-4V3,此时 P(8-2V3,2V3)。 第65页共70页 56.直线y=X+b与反比例函数y=12的图象交于A,B两点，其中点A在第一象限。若 △OAB的面积为16,0为原点。 (1)说明点B所在的象限； (2)求b的所有可能值，并分别求A,B的坐标。 答案B在第三象限。b=4时A(2,6),B(-6,-2)b=-4时A(6,2),B(-2,-6)。 图① 图② y y (1)交点横坐标满足x2+bx-12=0。两根乘积为-12<0，故一正一负。因为反比例函数的系 数为正，负横坐标对应负纵坐标，所以B在第三象限。 (2)设交点横坐标为r>0,s<0,则r+s=-b,rs=-12。由(r-s2=(r+s2-4s=b2+48,且 r-s>0,得r-s=Vb2+48。 设直线与y轴交于C(0,b)。C在线段AB上，三角形OAB可沿OC分成两个三角形。它们 以0C为底的高分别为r,-5,故面积为br-s 2 由题意得1bVb2+48=32。两边非负，平方得b2(b2+48)=1024。令u=b2≥0，则 u+48u-1024=0,即(u-16)(u+64)=0,故u=16,b=±4。 b=4时，（x-2)(x+6)=0,所以A(2,6),B(-6,-2)。b=-4时，（x-6)(x+2)=0,所以 A(6,2,B(-2,-6。两种情况都给出面积2×4×8=16，均符合题意。 第66页共70页 57.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，A(-2,0,C(6,0、B6,16)。反比例函数y=k( X k>0,x>0)的图象与线段AB交于点D(1,6),与线段BC交于点E。 y D P X M (1)求k的值和点E的坐标。 (2)点P在该函数图象上D,E之间运动，且不与D,E重合。过P作PM‖AB,交y轴于 点M,过P作PN∥x轴，交BC于点N。求SPMN的最大值，并求此时点P的坐标。 答案（1)k=6,E(6,1);（2)最大面积为9，此时P(3,2)。 (1)D在反比例函数图象上，所以k=1×6=6。E在线段BC上，横坐标为6，代入y=5得 纵坐标1，所以E(6,1)。 (2)由A(-2,0)、B(6,16),求得直线AB为y=2x+4。设P(t,6)。P在D、E之间且不与两 端重合，故1<t<6。 PM平行于AB,所以PM所在直线可设为y=2x+b.代入P得b-2t,于是M0,-2t: 又因PN水平且N在BC上，得N6,, 以水平线段PN为底，PN=6-t。M到PN所在直线的距离为-(5-2t)=2t;这里t>0,所 以该高度为正，M不必在y轴正半轴上。于是S6w=2(6-t)-2t=t(6-t)。 配方得S△w=9-(t-3?≤9，当且仅当t=3时取等号。3在允许范围1<t<6内，所以最大面 积确为9；此时P(3,2)。 第67页共70页 58.点Aa,b)在反比例函数y=k(k>0)的第一象限图象上，点B也在该图象上，且横坐 X 标为2a。点P在y轴的正半轴上，三角形PAB是面积为10的等腰直角三角形，但未指定直 角顶点。 (1)用a、b表示点B的坐标。 (2）求k的所有可能值，并分别写出对应的点P的坐标。 答案()B(20,2冫2)k=16时P0,2k=20时P0,10)k=24时P(0,8。 直角在A,k=20 直角在B,k=16 直角在P,k=24 y 0 B X 0 0 D由b=k,点B的纵坐标为2。=2，故B2Q,号)。其中a>0b (2）设P(0,p),其中p>0。对两条等长且互相垂直的线段向坐标轴作垂线，可由直角三角形全 等得到：一条线段的水平投影长度等于另一条的竖直投影长度。以下按直角所在顶点分别讨论。 若直角在A,则从A指向B的方向为向右、向下，而从A指向P必须为向左、向下。由上述全 等关系，a=号，b-p=a,故b=2ap=a。此时AB-20,三角形面积为AB=a=10,所以 a=V10,k=ab=20,P(0,V10)。 若直角在B,则从B指向A为向左、向上，从B指向P必须为向左、向下。由全等关系， 2a=bb。故h=4a.p=a。此时AB=a+(2a=5a，一用为2=10，所以 a=2,k=ab=16,P(0,2)。 若直角在P,由于点A,B均在y轴右侧，点P的纵坐标必须在号与b之间。由全等关系， b-p=20,p色a,故b=60P=4a.此时m-d+2a-50,三角形面积为5受-10，所 2 以a=2,k=ab=24,P(0,8)。 验证：三类分别给出A(V10,2V10)、B2V10,V10),A(2,8)、B(4,4);A(2,12)、B(4,6)。各点 乘积、对应的等腰直角条件与面积均符合要求，且三类已穷尽所有直角顶点。故全部参数及对应点 为k=16、P(0,2)k=20、P(0,V10))k=24、P(0,8)。 第68页共70页 59.直线y=-X+8与反比例函数y=(k>0)的图象在第一象限交于不同的两点A,B,点A 的横坐标小于点B的横坐标。点F为这条直线与y轴的交点，点C与点A关于原点对称。 已知H(-V17,V17),且∠AHC=90。 (1)求k及A,B,C的坐标； (2)求证：AH平分∠FAC, (3)求△ABH的面积。 答案(1)k=15,A(3,5),B(5,3),C(-3,-5)(2)证明见解析；(3)8。 y (1)设A(a,8-a),则C(-a,a-8)。记r=V17。由勾股定理，AH2+CH2=AC2。 左边=(a+r2+8-a-r2+(r-a2+(a-8-r2=2[a2+(8-a2]+4r2,右边=4[a2+(8-a2]。因 此a2+(8-a2=2r2=34。 整理得a2-8a+15=0,故a=3或a=5。因A在B左侧，A(3,5),于是 k=15,B(5,3),C(-3,-5)。 (2)延长CH至点D,使HD=HC,则D(3-2V17,5+2V17)。D的横、纵坐标之和为8，且 其横坐标小于A的横坐标，所以D在射线AF上。 在两个直角三角形△AHC与△AHD中，AH是公共边，HC=HD,∠AHC=∠AHD=90°，所 以两三角形全等，得∠CAH=∠HAD。由于射线AD就是射线AF,故AH平分∠FAC。 (3)AB=V2+(-2=2V2。过H作水平线交直线AB于T(8-17,V17),则HT=8。 直线AB与水平线所成的锐角为45°，从H向AB作垂线后得到的直角三角形为等腰直角三角 形，故所作高为号-4恒。所以56m×2迈×4迈-8。 第69页共70页 60.点A(a,b,Bc,d)在函数y=12的第-一象限分支上，且a<c,b-d=2c-a)。过B作 BC⊥AB,使BC=AB,点C也在该反比例函数的图象上。 (1)说明点C不可能位于点B的右上方； (2）求A,B,C的坐标； (3)求△ABC的面积。 答案A(1,12),B(6,2).C-4,-3)S6=125 2 y 记h=c-a>0,由题意b-d=2h。所以从A到B,横向向右移动h,纵向向下移动2h。 因为BC⊥AB且BC=AB,分别向坐标轴作平行线，可由对应的两个直角三角形全等得到：从B 到C的横、纵坐标变化只有“向右2h、向上h”或“向左2h、向下h"两种。 (1)若C在B右上方，它的两个坐标都比B的正坐标大，乘积就大于12，不可能仍在该图象 上。因此只能是左下方。 (2)A(a,d+2h),B(a+h,d),C(a-h,d-h)。由A,B在同-图象上得ad+2h)=(a+h)d,因 h>0,所以d=2a。 再由B,C在同一图象上得(a+h)d=(a-h)(d-h),代入d=2a,整理为h2-5ah=0。由h>0得 h=5a。 点B的乘积为(a+h)d=6a×2a=12,所以a=1。因a>0,a=1,于是d=2,h=5。故 A1,12),B(6,2),C(-4,-3)。 回验：三点的坐标乘积均为12，AB的横纵差为5，-10，BC的横纵差为-10，-5，由对应直角 三角形全等可知两边相等且垂直，C确在第三象限。 (3)AB=5+102=125,而△ABC在B处为等腰直角三角形，所以面积为AB-125。 22 第70页共70页