专题03 反比例函数的图象性质及k的几何意义（专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以题型分类构建反比例函数专项训练体系，覆盖图象性质与k的几何意义，逻辑从基础到综合，突出知识应用与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数的图象及性质|4题型（比较大小、判断图象性质、求参数、综合）|基础辨析与参数计算结合，综合题涉及函数平移与交点问题|从函数概念到性质应用，逐步提升推理能力与运算能力| |k的几何意义|5题型（三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、阴影面积）|结合不同几何图形，高频考查面积计算，体现模型意识|从简单图形到复杂阴影，深化k值与图形面积关系，培养空间观念|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03反比例函数的图象性质及k的几何意义 常考题型精准突破 。考点一反比例函数的图象及性质。一 ◆题型1比较反比例函数值或自变量的大小 1.【答案】D 【详解1解：点4似）+院兴小C(m为)在y-的图象上。 6 m,乃 6 66 为= m2+m,为= -mm .m>0. ∴.m+m=m(m+1)>m>0 -6<0<6<6 m Km2+mm,即y>为>⅓ 2.【答案】C 2026 【详解】解：在函数y=x中，2026>0 ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， x<0, ∴点A(x乃)在第三象限，y<0, x3>0 点B(x)在第一象限，>0， ∴.<y3. 3.【答案】D 【详解】解：点A,9,Bx,2,C(5,9)都在反比例函数y=-的图象上 ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入1点得9=-18 无，解得x=2 代入。点得2=18 x’解得5=9： 1/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入C点得9=-18 飞，解得飞=-2 ·-2<2<9, .x3<x<x2. 4.【答案】c<a<b 【详解】解：k2+2k+2=(k+1)+1≥1， 反比例函数y=+2k+2 (其中是任意实数)的图象位于一、三象限，且在每个象限内y随的增大 而减小， :点A(-3,),C(-2,c)在第三象限，点B(1,b)在第-象限， .a<0,c<0,b>0, -3<-2, .C<a, ∴.c<a<b ◆题型2判断反比例函数的图象和性质 5.【答案】C 【详解】解：反比例函数y=一中k=1<0 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C 6.【答案】A 【详解】解：，n>0, ÷函数y=的图象位于一、三象限， m<0 “函数y一的图象向右平移网个单位得到函数y一x4m的图象。 心函数y=” x+m的图象为 2/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.【答案】A 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即-2x+4≠0，解得x≠2， 因此函数的图像无限接近直线x=2,但不与直线x=2相交，排除选项B、D: 11 判断y轴交点符号：代入x=0,得y=0+44>0,说明函数与y轴交于正半轴，选项C中x=0时 y<0,排除C; 当x<2时：-2x+4>0因此y=-2x+4>0,图像在x轴上方： 当x>2时，-2x+4<0,因此y<0,图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征. 8.【答案】C 【详解】解：：反比例函数y=的图像经过点(2，-3)： 六k=2×(-3)=-6<0即该函数解析式为y=6 x ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当x-2叶，)-令=3，即点(23)在该函数图像上 ∴选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意 9.【答案】D 【详解】解：：反比例函数y=经过点(a,b) k .将点(a,b)代入得b= a 解得k=ab」 :ab=-6,∴k=-6,A选项说法正确，不符合要求： :k=一6<0，∴.反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求： :k<0时，反比例函数在每个象限内y随x增大而增大，当x>O时，图象在第四象限，满足'随x增大 而增大，∴.C选项说法正确，不符合要求： :对点(-b,a),计算横纵坐标乘积得(-b)a=-b=6≠k,不满足反比例函数y=k的关系，点不在图象 3140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，∴D选项说法错误，符合要求. 10.【答案】D 2 【详解1解：A、在y中，当2时 =-1, -2 :.点(-2，-)在它的图象上，原说法正确，故此选项不符合题意； 2 B、“在y=x中，2>0 ∴双曲线经过第一、三象限，不经过第二、四象限，，原说法正确，故此选项不符合题意； C、反比例函数的函数图象是双曲线，该图象既是中心对称图形又是轴对称图形，原说法正确，不符合题 意： D、:在y=x中2>0 2 ∴双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，函数值少随x的增大而减小，原说法错误，符合题意， ◆题型3根据反比例函数图象和性质求参数 11.【答案】A 【详解】解：点A(-2,1)、B(3,3). 的中点坐标为： AB ,反比例函数y=k≠O)的图象经过B的中点，可得k= .k=-×2=1 2 12.【答案】m<-3 【详解】解：反比例函数y=m+3 中，比例系数k=m+3 :当x>0时，y随x的增大而增大， k<0,即m+3<0,解得m<-3 13.【答案】m=2 【详解】解：反比例函数的形式为y=x(k≠0)，也就是x的次数必须为-1，同时比例系数不能为 0: 令m-3=-1,解得m=2,即m=2或m=-2: 要求比例系数不为0： 4/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+1≠0，即m≠-1，上述两个候选值都满足该条件. 反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时，比例系数k>0, 也就是：m+1>0,解得m>l. 在m=2和m=-2中，只有m=2符合m>-l的要求. ∴.最终m的值为2. 14.【答案】20.5 【详解】解：在y=2x中，当y=2x=2时，x=1, ·反比例函数y=x经过点(1,2) 把(2)代入y中得：2 =,解得k=2 六反比例函数解析式为y=? x 2 21 在y=中，当x=4时，y4 42: 1 故答案为：2· 15.【答案】-18 【详解】解：如图，设AC与BD交于点E,延长BD,交x轴于点F,连接OB,OD, 万y X A ,四边形ABCD是正方形， ∴，AE=BE=CE=DE,AC⊥BD, AC‖x轴，x轴1y轴， .BD⊥x轴，BDIy轴， AE=BE=CE=DE=m(m>0),DF=a(a>0). 5/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BF BE+DE+DF =2m+a,EF DE+DF=m+a, 点D的横坐标为3， .A(3-m,-m-a）,B(3,-2m-a）,C(3+m,-m-a),D(3,-a）, :点人D都在反比例函数y-(>0)的图象上 :.k=-3a=(3-m)-m-a）, .m(m+a-3)=0 ,m≠0， .m+-3=0, .m=3-a, .B(3,-6+a),C(6-a,-3), :点B在反比例函数y=(>0)的图象上， .k2=3(-6+a)=-18+3a, ∴.k+k3=-3a+(-18+3a)=-18」 故答案为：-18， 16.【答案】B 【详解】解：如图，设AD与y轴交于点E, A D 四边形 是矩形，点、在轴上， B ABCD B Cx AB⊥x轴，DC⊥x轴，AD∥x轴， ∴.四边形ABOE和四边形DCOE均为矩形. 4 ~点4在反比例函数》=文的图象上， S矩形HB0E=4=4. 点D在反比例函数y=下的图象上，且图象在第一象限， 6140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k>0, ·SE形DcOE=M=k. :S矩形ABCD=S矩形ABOE+S矩形DCOE=6, .4+k=6, k=2 ◆题型4反比例函数的图象和性质综合（难） 17.【答案】-4 4 【详解】解：：将y=x向右平移两个单位，向下平移1个单位， 4 ∴平移后所得函数解析式为V=x一21， 4 ,反比例函数y= x一21的图象关于点(2，)中心对称，y=在-2k-1恒过点(2，-)， 点(a,m）,(n,b)关于(2，-)中心对称， a+n=2, . .a+n=4. .n=4-a, ..b=- 4 -1= 4。-1=4-1. n-2 4-a-2 2-a 故答案为：-4. 6 18.【答案】（山）y= (2)x≥2或x<0 k=18 (3)1m=10 【分析】 【详解】(1)解：：函数4的图象经过点A(3,2), 2-夸，解得：k=6 7/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 .y= (②解：“53，y-6 、点(2,3)在函数的图象上，且当x>0时，y>0且y随x的增大而减小：当x<0时，y<0且y随x的增大 而减小： :当乃≤3，且片≠0时，x的取值范围为x≥2或x<0. )解0爵数男草⅓ x的图象在第一、三象限， k ·当x=3时，函数=有最小值m-4即=m-4: k+2 当x=2时，函数为2有最大值m,即生 =m k =m-4 所以 k+2,解得k=18. =m 2 m=10 19 【答案】(1)-4；2： -4 6 5 3 (2)上土 5-4-3-21912345 5 8/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 4 3 3 (3) -5-4-3-210】 4支 或 -2 x<-40<x<4 【分析】 【详解】(1)解：：x=2时，y=-2 :.k=2×(-2)=-4 当x=-2时，m= =2, -2 -4 当x=1时，n= 1=-4； 1 (2)略 (3)直线y=r+b图略 当低+b>时自变量的取值范国为：-4或0<：<4 20.【答案】)y=-6 x (2)如图即为所求： 9/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 6 5 2 7654321,023456 78 6 由图可知，当y<y2时，-2<x<0或x>3 3)2.5 【分析】 【详解】(1)解：把点A(-2,a)代入=-x+1,得a=-(-2)+1=3, A(-2,3), 把点4A(-2,3)代入=文得3=2，解得k=6 6 .反比例函数的表达式为2=一 6 (2)解：函数2= -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y2 2 6 -6 -3 -2 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： (-6,1)、（-3,2)、（-2,3)、（-1,6)、(1,-6)、(2,-3)、(3,-2)、(6-1) 用平滑的曲线分别连接第二象限内的4个点、第四象限内的4个点，即可得到反比例函数的图象： 次函数与反比例函数的交点为A(-2,3)、B(3,-2),当y<时，即一次函数图象位于反比例函数图象 下方时，x的取值范围是：-2<x<0或x>3: (3)解：如图，设一次函数与x轴交于点C, 101/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -8 6 5 C 7654321 2345678x 3 令=0，则-x+1=0,解得x=1, .C(1,0) 又A(-2,3)、B(3,-2, 1 .S.om=S.oc+S.oc= +2×1x2=2.5 ×1x3+ 21 【答案】(I)x≠1 (2)1: (3)如图， 4 1-- - 2 -5-4-3-2-1Q 13456 6 11/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)0减小：②0<x<1或x>2 【分析】 【详解】(1)解：由题意可得x-1≠0， 解得x≠1， ∴.自变量x的取值范围是x≠1， -3=1 2 m=y= (2)解：当x=3时， 21: 3 2 (3)略 (4)解：①由图可知该函数当x>1时，y随x的增大而减小： ②如图，过点A(0,-5),B(2,-)作一次函数马=x+b, 为 3 2 5-4-3-2-19 3456 由图可知，当<y2时，x的取值范围：0<x<1或x>2. 一·考点二k的几何意义。 ◆题型5利用k值求三角形的面积 22.【答案】B 【详解】解：作AD⊥BC于点D,连接OB、OC, 设等边三角形的边长为a,则B=BC=aBD=CD=4 ÷AD=VAB2-BD=5。 2, 12/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC平行于辅，点B在反比例函数y=-Y（x<0)的图象，点C在反比例函数y 3W3 2W3 x>0 ）的图象上， c=5ac325-5 2 BC.AD-134-513 20-20 = 2 .a=V10(负数舍去)， ∴.等边△ABC的边长为V10. 23.【答案】2 【详解】解：设A(:,片)，B(x,2), :正比例函数y=心的图象经过点A,B, 为=，2=x2, :正比例函数y=太的图象与反比例函数y=4,y x,y=的图象分别交于点A,B, 1 xy=c2=4,x2y2=c22=1, :点A在第一象限，点B在第三象限， .x,x2异号， X=-2x2, 同理可得，乃=-2y2, :过点A,B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C, 13/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(x,2) AC⊥BC, .AC=-y2=-2y2-y2=-3y2, 、BC=x-为=-2x-=-3x2, .5.w-cc) ,x23=1, 9 :.S.40C 24.【答案】(1)12 (2)42 【分析】 【详解】(1)解：BD1y轴，垂足为D,△BOD面积为6 K=2S0D=12 ,反比例函数图象在第一象限 .k>0 k=12: (2)解：由(4)可得反比例函数解析式为y=3 12 :4(m,2),BL,n)在y=元图像上， .m×2=12,1×n=12. 解得：m=6,n=12 .A(6,2),B(1,12) 设直线AB的解析式为y=:+b(k≠0)，代入A(6,2),B(,12)得 [2=6k+b k=-2 12=k+b,解得： b=14 ∴直线AB的解析式为y=-2x+14 当y=0时，0=-2x+14 解得：x=7 ∴.C(7,0) 14/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0C=7 5.we-OCxax 7x12=42 25.【答案】1 【详解】解：设点的坐标为}x>0。 则点B的坐标为(k,0),AB=4 x'OB=x' 则S△4OB=BO·AB=2 2 BO=2C0 1 :.SMOC ==1. 2 26. 【答案】2 k+1 【详解】解：设点g的坐标为m, m 其中m<0 ~过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C, ∴.BC⊥y轴，AB⊥x轴， :点c的坐标为 k+1 0, m, 点4的坐标为(m,0): .BC的长度为0-m=-m, 点D在线段BC上，且BD:CD=1:2, :cD=2BC=2（←m）= 2 2 二m 3 3 3 22 :点D的横坐标为0-mm, :点D在反比例函数的图象上，且点D的纵坐标与点。相同 2k+1 :点D的坐标为3m,m)月 1m, .k+1k m 2 3, 3 整理得：k+1= 15/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：k=2, = 3 :AB⊥BC, △ABC为直角三角形， 号ac-+ k=2, .5.uc 27.【答案】4 【详解】解：连接AO, 设AB交x轴于点H, ,点C与点B关于原点对称， ∴.O为BC的中点，即OB=OC, .S.o. 2 :S△4Bc=6, S40B=3, ,BA∥y轴， .AB⊥x轴， S.408=Som+S.Bom 2 “点B在反比例函数y=长的图象上， &5mmp=1, S.AOH=S.408-S.BOM=3-1=2, 16/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点4在反比例函数y=的图象上， 5a=2, .k=4, :反比例函数V=的图象在第二象限， k<0, k=-4 ◆题型6利用k值求等腰三角形的面积 28.【答案】3 【详解】解：如图，作BC⊥OA于点C, 在反比例函数 的图象上， x.B 3 S60c=2x3=2 3 2 BC=BA,BC⊥OA, 3 ·SAA0B=2 SABOC=2×5=3 故答案为：3 29.【答案】y=-4 【分析】 【详解】解：作BD⊥x轴，垂直为点D, 17/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是等腰三角形，底边在轴上， ,△OAB OA x S△A0B=4 k=2SA0aD=2×2=4 反比例函数图象在第四象限， ∴k=-4, 4 故反比例函数解析式为：y=- 4 故答案为：y=- x 30.【答案】C 【详解】解：如下图所示，过点A作AE⊥BC于点E, 设点的坐标起0)则点g的坐标足（合） k ∴.BE=2a' AF=2k a :△ABC是等腰三角形， .BC=2BE =4a, :BC‖x轴 :.点c的横坐标是4a-a=3a,纵坐标是-a ~CD川y轴交双曲线于点D, ∴.点D的横坐标是3a, k :点D的纵坐标是3a DC=←k状 3a a-3a S.BCD=8, 18/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.wco-BC.DC-x4ax k_8k=8, 2 3a3 k=3. B 31.【答案】-32 【详解】解：设0A=a,BC=b(a>0,b>0), :△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=90°， .AB=OA=a. ∴5a-0A:B=d, 2 29 :△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°， .CD=BC=b S.wco-BC-CD- S.O4R-S.BCD=16, 2-8=16,即。-6=2 2 由图可知，点A的坐标为(-a,0),点B的坐标为(-a,a), 点C在AB上，BC=b, ∴.点C的纵坐标为a-b,横坐标为-a, :DC⊥AB,CD=b,且点D在第二象限， ∴.点D的横坐标为-a-b,纵坐标为a-b, .D(-a-b,a-b), 点D在反比例函数y=的图象上， .k=(-a-b(a-b)=-(a+b(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2, 19/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-b2=32, ∴k=-32 32.【答案】0-次函数的解析式：y=-2x+2:反比例函数的解析式：y=-4 (2)> 3)0<x≤2 (4V5或2 【分析】 【详解】(1)解：对于一次函数y=+2, 令x=0,得y=2, 因此B(0,2),OB=2 由0B=20A,得OA=1, 又，A在x轴正半轴， .A1,0) 把4,0)代入y=x+2,得0=k+2, 解得k=-2, 因此一次函数解析式为y=-2x+2. 把C2,0)代入y=-2x+2,得a=-2×2+2=-2, 即C(2,-2) 把C(2,-2)代入y= =x,得m=2x(-2)=-4, 因此反比例函数解析式为y=-4（x>0)】 2)解：把DLb代入y=-t,得b=4 4 已知a=-2,-2>-4, 因此a>b」 飞)解：不等式x+2:表示x>Q时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点） 两个函数交点为C(2,-2). 结合图象可得解集为0<x≤2. (4)解：设P(p,0)(p>0), 201/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知A1,0),C(2,-2), 计算得AC=V(2-1)2+(-2-0)2=5, △ACP以AC为腰，分两种情况： AC=AP:AP=AC=5. 即lp-=√5. p>0, 得P=1+V5(负根舍去)， .AP=5 △ACP的高为C到x轴的距离2， 面积s=5x2=5. AC=CP:CP=AC=5, 即Vp-2y2+(0+22=V5, 解得P=3(p=1与A重合，舍去)， .AP=3-1=2」 面积S=2×2x2=2 因此△ACP的面积为2或V5. ◆题型7利用k值求平行四边形的面积 33.【答案】-9 【详解】解：延长AB交y轴于点D,如图， 珠 C ,四边形ABCO是平行四边形， ..ADlOC. ∴.∠BD0=∠D0C=90°， .AD1y轴， 21/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点B的坐标是(（-1,5)， .OD=5,BD=1, ,平行四边形ABCO的面积是4， ∴.SSABCO=0D.0C=4. .AB=OC=0.8, ∴.AD=AB+BD=1.8, .点A的坐标是（-1.8,5)， 东 ∴.k=-9, 故答案为：-9 34.【答案】4 【详解】解：如图，作BD⊥x轴于D,延长BA交y轴于E, 四边形 是平行四边形， CD OABC AB∥OC,OA=BC, .BE⊥y轴， ..OE BD, ∴.Rt△AOE≌Rt△CBD(HL), 1 根据系数k的几何意义可知：SE形B0oe=6,S4oE=2×2=1, 2 ∴四边形OABC的面积为：6-1-1=4。 35.【答案】6 ，k 【详解】解：设Cb,6,其中b>0· ,边BC经过原点0：且B,C在反比例函数y=图象上， ∴.点B与点C关于原点对称， 8)且O为C中点 22/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC, 设A(a,0),其中a<0, .'XD-XA=Xc -XB'yD-yA=Yc-yB, a=b-(%0=会() 2k xp=a+2b,yo= b Da+262 b 点D在反比例函数少-套图象上， 2k-k, :(a+2b) k>0. .2(a+2b)=b 2a=-36,即b=-号0 连接OD, 四边形 是平行四边形 ABCD .AD∥BC,AD=BC .点O到AD的距离等于平行四边形ABCD边BC上的高，设为h, 2 2 SABCD=18 ∴.S4OD=9 23/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ak =9 b ak 将6=-名。代入上式得2。=9 3 3 k=9 k=6 36.【答案】2 【详解】解：，四边形OABC是平行四边形， .OC∥AB,OC=AB. :平行四边形OABC的面积为6，点B的坐标为(2,4)， .OC×xg=6 则0C×2=6, ∴0C=3, 则AB=3, ,点B的坐标为(2,4)， 六点A的坐标为(2,1)， 把2，)代入y=(>0). ∴m=1×2=2, 故答案为：2. ◆题型8利用k值求矩形的面积 37.【答案】A 【详解】解：设点D的坐标为（化，y) 2 “点D在反比例函数y=元的图象上 ∴.y=2 由图可知OA=x,AD=y ∴.OA·AD=2 ,D是AB的中点 .AB=2AD 24/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.S绳形0HBc=0A·AB=0A:2AD=2(OA:AD)=2×2=4 38.【答案】3 【详解】解：设矩形OABC的边OA=a,OC=b, 则点B的坐标为(a,b),S矩形o4Bc=OAOC=ab=12, :点D是矩形OABC的对称中心， ∴点D是对角线OB的中点， (a b ·点D的坐标为2’2 :反比例函数y=x的图象经过点D, b k .2a, 3 “k=ab、12 3 44 39.【答案】3 【详解】解：连接OD, B D ,矩形 的面积为6， A OABC AB×OA=6, ,D为边AB的中点， .AD=14B 2 5w-340-01= 2X24Bx04-3 2 .k=2S40D=3, :y=《(c>0)的图象在第一象限， ” k>0, 25/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=3 40. 【答案】①y=4 (2)2 【分析】 【详解】(1)解：点A(2,2)在反比例函数y=的图象上， 2 21 k=4, :反比例函数的解析式为少=4 (2)解：由题意可知，AB=1, ∴，点C的纵坐标为2-1=1， 代入y可得4 点C的坐标为(4，)， .BC=4-2=2 故S矩形1BCD=2×1=2 41.【答案】12 【详解】解：如图， 分别过点A,C作y轴的垂线，分别交y轴于点D,E,则：∠BEC=∠ADO=90°， 2 点A在反比例函数乃=-(x<0)的图象上， 2 ~点C在反比例函数片=10 x>0的图象上， 26/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴.SAOCE= 25, :四边形OABC是矩形， ..BC=0A,BCIIOA,AB=OC. .∠CBE=∠AOD :∠BEC=∠ADO=90°，BC=OA,∠CBE=∠AOD, .△AOD≌aCBE(AAS) ∴.S△AOD=S△BCE,AD=CE,BE=OD, .BD=OB-OD,OE=OB-BE .BD=OE, .AB=OC,AD=CE,BD=OE. ∴.ACOE≌△ABD(SSS), .S△coE=S△BAD, :.S矩形OABC=S△AoD+S△BCE+S△coE+S△BAD=2×(I+5)=12, ∴.矩形OABC的面积为12 ◆题型9利用k值求阴影部分的面积 42.【答案】B 2 【详解】解：：A、B两点在反比例函数y=的图象上，且A、B两点关于原点对称，设A(a,b): B(-a,-b),ab=2, 作BE⊥x轴交AN的延长线于点E,作BF⊥y轴交AM的延长线于点F, :AM⊥x轴于点M,AW1y轴于点N, ∴.四边形AEBF为矩形， .'AE=BF=2a,BE=AF 2b. 27/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22a-b- 一阴影部分的面积为=2a2b- 2a.2b-ab-ab-2. Y o M B 43.【答案】4 【详解】由图象可知反比例函数y与)=一的图象和正方形BCD具有中心对称性， 可知图中y轴左侧正方形内部非阴影等于右侧正方形内阴影部分的面积， 所以正方形ABCD的面积=AB2=2×阴影部分面积=2×8， 解得AB=4. 故答案为：4 44.【答案】2 【详解】解：图1中，阴影面积为4： 1 图2中，阴影面积为2×4=2： 1 图3中，阴影面积为2×)×4=4： 2 图4中，阴影面积为4×亏×4=8： 2 则阴影面积为4的有2个. 故答案为：2 【点晴】本题考查了反比例函数V-x中k的几何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积，解题的关键 是掌握反比例函数y,中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k: 45.【答案】20 12 【详解】解：·y= x,且S期=2， .S+S阴影=12，S,+S阴影=12， 28/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S,=12-2=10.S2=12-2=10 ∴.S1+S2=2020. 46.【答案】4 【详解】解：由题意得，S阴影+S=3,S阴影+S2=3, ∵S阴影=1， .S1=2,S2=2, S+S2=4, 故答案为：4. 47,《第6章2反比例函数的图象和性质)如图，点A,B在反比例函数y-(x<0)的图象上，过4，B 两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D,连接OA,OB,若S+S=2(S,S2分别为△BDO和△AC0中空 白部分的面积)，S阴影=1，则k的值为 B S2 D 0 【答案】-4 【详解】解：由题意，知△ACO和△BDO都是直角三角形， SACO=S.BDO= 2 :S+S2=S。4co+S,BD0-2S阴影， 因+因-2=2. 22 k=4, 由图，可知k<0, .k=-4 故答案为：4 29140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 1.【答案】B 【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F, 设BD=a,则OC=3a. :△OAB为边长为5的等边三角形， ∠AOB=∠ABO=60°OB=5. 在RtAOCE中，∠COE=60°，OC=3a, -3v3 ·oE=号a,cE2a :点C在第三象限， 3.35） .c-a,- -a 21 2“ 在RtDBF中，∠DBF=6O°，BD=a, .OF 2" :B(-5,0),点D在第三象限， 点C、D在反比例函数y=一图象上， =5s5 :95=5y5。-5a 4 2 30/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a≠0， 951 24. -a= :5-5 2 ,解得a=1 k=9 x1-95」 4 2.【答案】B 【详解】解：：点在反比例函数=兰（>0)上，AD⊥y轴。 =5m分 :点6C在反比例画数-k>0)上，BELx箱，CF1x辅 Γx 1 .S.=S.COF=2k, 又S2=SBOE-SoME,S,=S四边形CMBr=S.coF-SoME S2=S3, SOME>0, 1 8=8<2, .S>S2=S3, A、S=S2+S,题目条件无法得出，故本选项不符合题意： B、S2=S,本选项符合题意： C、S>S,>S,由题意得S>S,=S,故本选项不符合题意： D、SS2<S;2,因为S,2=S,S<SS,则SS>S;,故本选项不符合题意. 3.【答案】C 【详解】解：作AM⊥x轴于M, 31/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B M C衣 :.AM∥y轴， :BC⊥x轴于点C,AD⊥y轴于点D, ..OM AD,AM =OD. .OD=3BC=3. .OD=3,BC=1, .AM=3. ~点AB在反比例函数y=图象上， )B) .AO=AB )+=6-传 解得k=5(负数舍去)· 4.【答案】C 【详解】解：：RtAAOB≌RtADBC, ∴.∠AOB=∠CBD,OB=CB,OA=BD, .AOB=∠BCO, .∠BCO=∠CBD, .OA∥BD, ∴.四边形OADB是平行四边形， ∴.AD=OB」 设OB=a,则AD=a, ∴AD=OB,点D的横坐标为2a, 84 当x=2a时，y 2a a' 32/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 na) k-4 a a' .k=4 5.【答案】2 +1 【详解】解：设点B的坐标为m,m m 其中m<0 ~过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C ∴.BC⊥y轴，AB⊥x轴 :点c的坐标为 。k+1 0, m 点4的坐标为(m,0) ∴.BC的长度为0-m=-m ~点D在线段BC上，且BD:CD=1:2 c0-号c-m-m 3 3 (2)2 点的横坐标为0-5m3 -m=-m K ~点D在反比例函数片=的图象上，且点D的纵坐标与点B相同 2k+1 点D的坐标为 -m, m k+1 k m 2 3 整理得：k+1= 解得k=2」 2025 6.【答案】 4052 【详解】解：0A=A4,=A4=…=An-1An=1, ∴点4,4,4，An的坐标分别为(1,0)，(2,0)，(3,0)，…，(n,0), 33/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又“点B,B,B,…,Bms'B在反比例函数y=x>0)的图象上， 六点B’B,’B,:…,Bs·B6的坐标分别为(1，) （2》..….(22520s ∴.PB2=PB3=PB4=…=P024B2025=P202sB2026=1, Ra=1日RaRa-写子e驾6 ++*+-报非》) 1 1 20252026: 1）1.20252025 整理得：S+S2+S,+…+Ss 2120262×20264052: 【点睛】通过各点坐标求出相关线段长度是解题的关键. 7 7.【答案】y= x 【详解】解：在矩形OABC中，OA=6,OC=5, ∴.OC=AB=5,OA=BC=6,∠OCF=∠EBF=∠OAE=90°， 设此反比倒画数为y->0叭，厕(6).F传】 6 &F=6C-CF=6-等g服=AB-A=5 61 =-,5wcr-5-86) oS.om+S.ocr 161 S.OLE-S.EF=30 me+5-6-)5-6-)0=0a0c=0, 整理得k2-30k+161=0, 34140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得k=7或23， “CF<FB 即64 k 5: .k<15 7 反比例函数为y= 8.【答案】4 【详解】解：过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,连接OA,OB, B DO∥AB, SA4OC=SAADC=6, .AB=BC. ∴.S4B0=S.BCO= -S.40c-S.40E-S.FC S.408=S.40C-S.BOF-S.BFC 1 又S,4o=S,no=2k, 、.S格形HBFB=SAB0=3, k 设Aa, aa而AB=BC' ·B的纵坐标为2a, ,k） :.B\2a,2a .EF=a, 1(kk .22aa a=3, 35/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得k=4。 9.【答案】)y=8 ② 【分析】 【详解】(1)解：把点A(2,a)代入y=2x得，a=4, .A(2,4) ,反比例函数y=x>0)图象过点4 .k=2×4=8, 8 ,反比例函数解析式为y= 8 y=- (2)解：由 y=-x+6 x=2 x=4 解得1y=4或y=2: .B(4,2) 作A点关于x轴的对称点A',连接AB,与x轴的交点即为P点， VA A(2,4) (2,4) 设直线A'B的解析式为y=mx+n, [2m+n=-4 则14m+n=2‘ m=3 解得1n=-10' 36/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .直线AB的解析式为y=3x-10, 把y=0代入得，3x-10=0, 解得x10 3, 把y=0代入y=-x+6得，-x+6=0, 解得x=6, .C(6,0), PC=6-108 33 =1x8x2=8 :S.PBC=23 3 :.当PA+PB的值最小时△PBC的面积为3 10.【答案】(1)0<x<2或x>4 (②F(0,-4.5) 【分析】 【详解】(1)解：点A和B的横坐标分别为4和2. 根据函数图象可得：一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围为0<x<2或x>4； （2四解，点4和，的横坐标分别为4和2且46在y=只上 x上， 当x=4时，y=-3,当x=2时，y=-6, .A(4,-3),B(2,-6), [-3=4k+b 代入y=+b得，-6=2k+b 3 解 b=-9 :直线4B的解析式为y 2-9, 当x=0时，y=-9, .C(0,-9). 37/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点D作DG‖y轴交AB于点G, D E 直线沿轴向上平移个单位长度， G AB y .CF=DG=t, A(4,-3) a5m5mt5aw号0G9, 1 小214=9解得1=45 ∴.CF=4.5 C(0,-9), ∴F(0-9+4.5),即F(0,-4.5) 1.【答案10y-2,y=+2 (2)x<-3或0<x<1 4 【分析】 【解】解：将3=)代入y套得，1 k=3, 反比例函数的解析式为y= 将B(m)代入y=得，3=。 =m,则m=1 点B的坐标为(1,3)」 将点A和点B的坐标代入y=ar+b(a≠0)得， 38/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3a+b=-1 a+b=3￥ a=1 解得1b=2’ 一次函数的解析式为y=x+2: (2)解：根据所给函数图象可知， 当x<-3或0<x<1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即r+b<冬 ,不等式ax+h<的解集为：x<-3或0<x<1 (3)解：将x=0代入y=x+2得，y=2, 点D的坐标为(0,2)，则0D=2, S0m-2x2x1=1, .S△o0n=4SA08D=4 将y=0代入y=x+2,得x=-2, :点C的坐标为(-2,0)，则0C=2, 5am-2x4, 解得yp=4 ,点P在第三象限， yp=-4, 将y=4代入y=3得，=3 49 点P坐标为（ 12. 【答案】（四y=8 x (2)6 【分析】 【详解】(I)解：~点D是菱形OABC的对角线的交点， ,点D是OB的中点， 39140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点O(0,0),点B(8,4), 0+80+4 :点D的坐标为： 2,2 即D(4,2) 将点D.2)代入反比例面数y=c>0)中得2=年 解得：k=8: 8 i.y=x (2)解：四边形OABC是菱形， ∴.BCIIOA,OD=BD, .∠BFO=∠AOF=90° ∴.点E的纵坐标为4， 当y=4时，4=8 x=2, 点E的坐标为(2,4) .BE=8-2=6」 1 11 1 ∴S△oDE=)S△0BE=)×)×BE×0F=4×6x4=6. 2 22 40/40西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3反比例函数的图象性质及k的几何意义 内容概览 目常考题型精准突破 考点一反比例函数的图象及性质 题型1比较反比例函数值或自变量的大小 题型2判断反比例函数的图象和性质 题型3根据反比例函数图象和性质求参数： 题型4反比例函数的图象和性质综合（难） 考点二k的几何意义 题型5利用k值求三角形的面积（高频） 题型6利用k值求等腰三角形的面积 题型7利用k值求平行四边形的面积 题型8利用k值求矩形的面积 题型9利用k值求阴影部分的面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ●考点一反比例函数的图象及性质●一 ◆题型1比较反比例函数值或自变量的大小 1.已知点A(m,y),B(m2+m,),C(←m,⅓)(m>0)都在反比例函数y=x的图象上，则，，y的大小关 系为() A.2>y>y3 B.3>2>y C.y>y3>y2 D.>y2>3 【答案】D 6 【详解】解：“点A(m,乃)B(m2+m,)C(-m,乃)在y=的图象上， 1/57 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,m>0, .m+m=m(m+l)>m>0 -6<0<6<6 m <m+mm,即y>为2>⅓ 2若点A〔5，y)8,)都在西数y=2026 的图象上，且x<0<5,则() A.y=y2 B.y=-y2 C.y<y2 D.y>y2 【答案】C 【详解】解：在函数y=2026。 x中，2026>0 .该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， :<0 ∴点A(x,乃)在第三象限，乃<0， 2>0 点B(x2,2)在第一象限，2>0， ∴y<y2. 18 3.若点A(,-9),B(,-2),C(:,9)都在反比例函数y=-元的图象上，则x’'x,的大小关系是 () A.X<x3<X2 B.x2<x3<x C.x2<x<x D.x3<x1<x2 【答案】D 【详解】解：：点4G,-9),B5,2),C(飞，9)都在反比例函数=-的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入1点得9=18 x，解得5=2 代入。点得-2=-18 ,解得为=9： 代入c点得9=-18 6,解得x=-2 -2<2<9, ∴.X3<x<X2. 2/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k2+2k+2 4.已知反比例函数y= x (其中k是任意实数)图象上三点A(-3,a)B(1,b)C(-2,c)则a' b,c的大小关系是 (用“<”连接) 【答案】c<a<b 【详解】解：k+2k+2=(k+1)+1≥1， 反比例函数y=+2k+2 (其中，是任意实数)的图象位于一、三象限，且在每个象限内v随，的增大 而减小， :点A(-3,a),C(-2,c)在第三象限，点B(1,b)在第一象限， .a<0,c<0,b>0, -3<-2, .c<a, ∴.c<a<b ◆题型2判断反比例函数的图象和性质 1 5.反比例函数y=的图象大致是(） 【答案】C 1 【详解】解：…反比例函数y=一中k=1<0 .该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C 6.y关于x的函数y=”m>0,m<0)的图象可能是（) x+m 3/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：，n>0, ∴函数y=的图象位于一、三象限， .m<0。 西数)=是的图象向右平移m个单位得到函数y= n 一的图象， 函数y= n x+m 的图象为 7.函数y=-2x+4的大致图像为（） 【答案】A 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即-2x+4≠0，解得x≠2， 因此函数的图像无限接近直线x=2,但不与直线x=2相交，排除选项B、D: 11 判断y轴交点符号：代入x=0,得y=0+44>0,说明函数与y轴交于正半轴，选项C中x=0时 4/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y<0,排除C: 当x<2时，-2x+4>0因此y=2x+4>0,图像在x轴上方： 当x>2时，-2x+4<0,因此y<0,图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征. k 8。己知反比例函数y=元的图像经过点(2，-3)，则下列结论正确的是（） A.k=6 B.图像在第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.点(-2,3)不在该图像上 【答案】C 【详解】解：“反比例函数y=的图像经过点(2-3) 六k=2×(-3)=-6<0,即该函数解析式为y=6 ∴该函数图像在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当x:-2时，少令3，甲点（23在该质数图保上。 ∴，选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意 9.反比例面数y产的阁象经过点(a小，且b=-6,则下列说注错误的是（） A.k=-6 B.图象位于二、四象限 C.当x>0时，y随x增大而增大 D.点（-b,a)也在该图象上 【答案】D 【详解】解：：反比例函数y=x经过点(a,b) ·将点(a,b)代入得b= a 解得k=ab, ,b=-6,∴.k=6,A选项说法正确，不符合要求： :k=一6<0，∴反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求： :k<0时，反比例函数在每个象限内y随x增大而增大，当x>O时，图象在第四象限，满足'随x增大 而增大，，C选项说法正确，不符合要求： :对点(-b,a),计算横纵坐标乘积得(-b)小a=-ab=6≠k,不满足反比例函数y=k的关系，点不在图象 5/57 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，∴D选项说法错误，符合要求. 2 10.已知反比例函数y=,下列说法中不正确的是() A.点（-2，)在它的图象上 B.双曲线不经过第二、四象限 C.它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形D.函数值'随x的增大而减小 【答案】D 【1解：A在中，当2时，=号， ∴点(-2，)在它的图象上，原说法正确，故此选项不符合题意： 2 B、:在y=x中，2>0 双曲线经过第一、三象限，不经过第二、四象限，，原说法正确，故此选项不符合题意： C、反比例函数的函数图象是双曲线，该图象既是中心对称图形又是轴对称图形，原说法正确，不符合题 意； 2 D、在y=中，2>0 ∴双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意 ◆题型3根据反比例函数图象和性质求参数 11.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(-2,1)、B(3,3),若反比例函数y=x（k≠0)的图象经过AB 的中点，则K的值为() B A.1 B.-2 C.3 D.-4 【答案】A 【详解】解：点4(-2，)、B(3,3), 6/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的中点坐标为： AB 反此例函数y=k0)的图象经过4B的中点，可得K三 ∴.k= 5×2=1 12.己知反比例函数y=m+3, x，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 【答案】m<-3 【详解】解：反比例函数y=m+3 中，比例系数k=m+3 ,当x>0时，y随x的增大而增大， ∴k<0,即m+3<0,解得m<-3 13.己知y=(m+)x是关于x的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限，求m的值. 【答案】m=2 【详解】解：反比例函数的形式为y=kc(k≠0)，也就是x的次数必须为-1，同时比例系数不能为 0: 令m-3=-1,解得ml=2,即m=2或m=-2: 要求比例系数不为0： m+1≠0，即m≠-1，上述两个候选值都满足该条件. 反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时，比例系数k>0, 也就是：m+1>0,解得m>1. 在m=2和m=-2中，只有m=2符合m>-1的要求. ∴，最终m的值为2 14,反比例函数少(k为常数，人0)的图象与正比例函数y二2x的图象的一个交点的纵坐标为2，目 反比例函数y=的图象经过点A(4,m)小，则m的值为一 【答案】20.5 【详解】解：在y=2x中，当y=2x=2时，x=1, .反比例函数y=经过点(1,2) 7/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k 把(1,2)代入y=x中得：2=，解得k=2 六反比例函数解析式为y= x' 2 21 在y=中，当x=4时，y= 42 m 2 故答案为：2 15。如图，正方形ABCD的项点分别在反比例函数y-点x>0)和y=(x>0)的图象上，已知ACr输。 点D的横坐标为3，则k+k2的值为 DY= 【答案】-18 【详解】解：如图，设AC与BD交于点E,延长BD,交x轴于点F,连接OB,OD, DY= B :四边形ABCD是正方形， ∴AE=BE=CE=DE,AC⊥BD, ,AC‖x轴，x轴1y轴， ∴BD⊥x轴，BDIly轴， AE=BE=CE=DE=m(m>0),DF=a(a>0). .'BF BE+DE+DF=2m+a,EF=DE+DF=m+a, 点D的横坐标为3， 8/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A3-m,-m-a）,B(3,-2m-a),C(3+m,-m-a),D(3,-a), :点么D都在反比例函数y=华(x>0)的图象上， .k=-3a=(3-m)(-m-a）, .m(m+a-3)=0, ,m≠0 .m+a-3=0, .m=3-a, .B(3,-6+a),C(6-a,-3), :点g在反比例函数少=(x>0)的图象上， .k2=3(-6+a)=-18+3a .k+k3=-3a+(-18+3a)=-18. 故答案为：-18， 16,东图，在矩形ABCD中，点g~C在，箱上，点D分别在反比例西数y=兰和y奈上，者矩形 k ABCD的面积为6，则k的值是() D B A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】B 【详解】解：如图，设AD与y轴交于点E, 9157 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形 是矩形，点、在轴上， B ABCD B C x .AB⊥x轴，DC⊥x轴，AD∥x轴， ∴四边形ABOE和四边形DCOE均为矩形. ,点4在反比例函数y=元的图象上， S矩形B0E=4=4」 ~点D在反比例函数少=x的图象上，且图象在第一象限， .k>0 ·SE形DcOE=k=k」 S矩形HBCD=S矩形BOE+S矩形DC0E=6, .4+k=6, .k=2 ◆题型4反比例函数的图象和性质综合（难） 4 17.将y=向右平移两个单位，向下平移1个单位，与y=:-2k-1有两个交点，分别为(a,m),(m,b), 则(a-2)(b+1)= 【答案】-4 【详解】解：”将少=向右平移两个单位，向下平移，个单位 4 ∴.平移后所得函数解析式为y= -1. x-2 4 “反比例函数y=x-21的图象关于点(2，)中心对称，y=-2k-1恒过点(2，-)， 点(a,m),(n,b)关于(2，-)中心对称， a+n=2 .2 10157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a+n=4, ∴n=4-a, 4 4 ..b=- -1= -1= n-2 4-a-2 41, 2- a-26+-a-22.1*-6-22.4 故答案为：-4 18.己知反比例函数y=(化≠0). ()若函数的图像经过点A(3,2),求片的函数表达式： (②)在(1)的条件下，当≤3，且y≠0时，直接写出x的取值范围. (3)设函数5=2+k」 x,若k>0:当2≤x≤3？函数y的最小值为m-4函数5，的最大值为m,求m与k的 值. 6 【答案】(1)出= (2)x≥2或x<0 「k=18 (6)1m=10 【分析】 【详解】(1)解：：函数的图象经过点A(3,2), 2-有解得：人-6 6 当= (②解：：y≤3，y-6 、点(2,3)在函数的图象上，且当x>0时，y>0且y随x的增大而减小：当x<0时，y<0且y随x的增大 而减小： :当≤3，且≠0时，x的取值范围为x≥2或x<0. kk+2 (3)解：“k>0函数y=x:片=x的图象在第一、三象限， 11/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一当x=3时，函数y=元有最小值m-4,即3=m-4: k+2 k+2 当x=2时，函数乃=￥有最大值m,即2 =m-4 所以 k+2，解得k=18 2 =m m=10 19.下面表格信息反映的是反比例函数y=,的几组自变量与对应的函数值. 4 -2 -1 1 2 4 1 m -2 -1 6 5 1-4 -3 3 -5-4-3.-219 12345元 -- -5 -6 (1)直接写出各字母表示的数值：k= 1m= ；n= (②)根据表中各数值和(1)中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数y=x的图象； (3)已知直线y=ax+b经过(-4,1)与(4，-)两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出 当+h>时自变量x的取值范围. 【答案】(1)-4；2；-4 12/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 5 4 3 (2) -5-4-3-2-19 345x 1-2 6 6 3 (3) 或 5-4-3-2 2345 3 x<-40<x<4 【分析】 【详解】(1)解：：x=2时，y三-2 :.k=2×(-2)=-4」 -4 当x=-2时，m= -2 =2 当x=1时，n= (2)略 (3)直线y=ar+b图略 当ar+b x时自变量x的取值范围为，x<-4或0<x<4 20.如图为一次函数y=-x+1的图象，它与反比例函数=的图象交于点A(-2,)小，B(3,b)· 13/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 6 5 43 2 76543210入2345678x 2 3 6 (1)求反比例函数的表达式. (②)在平面直角坐标系中画出反比例函数=，的图象，并直接写出当，<为，时，x的取值范围. (3)连接OA,OB,求出△OAB的面积. 6 【答案】(1)y=- (2)如图即为所求： 8 6 5 3 7654321,02345678x 7升 由图可知，当y<y2时，-2<x<0或x>3 3)2.5 14157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：把点A(-2,0)代入片=-x+1,得a=-(-2)+1=3, .A(-2,3), 把点4(-23)代入马-得3= =2,解得k=-6 6 .反比例函数的表达式为2=一 6 (2)解：函数y2=- -6 -3 -2 2 6 y2 2 3 6 -6 -3 -2 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： (6,1)、（-3,2)、(-2,3)、（-1,6)、(1,-6)、(2,-3)、(3,-2)、(6,-1), 用平滑的曲线分别连接第二象限内的4个点、第四象限内的4个点，即可得到反比例函数的图象： 一次函数与反比例函数的交点为A(-2,3)、B(3,-2),当片<片时，即一次函数图象位于反比例函数图象 下方时，x的取值范围是：-2<x<0或x>3; (3)解：如图，设一次函数与x轴交于点C, 8 6 5 2 C 7654321 2345678 3 B 4 令=0，则-x+1=0,解得x=1, .C1,0). 15157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又A(-2,3)、B(3,-2). ∴.S0aB=S,04c+S.0ac= 21w2=25 21. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数y= =x一一3的图象和性质进行探究.下面是他们 的探究过程，请按要求补充完整： 2 (1)函数y= x-1 一3的自变量，的取值范围是 (2)下列表格是y与x几组对应值： …… -3 -2 1 0 3 2 3 7 11 m 个 -5 _7 -2 5 -1 2 3 2 直接写出m的值 (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： 3 2 -5-4-3-219 1 2 3456 -4上 SA 6 -7 (④)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当x>1时，y随x的增大而」 (填增大或减小)： ②若函数y= 3与一次函数，=：+b相交于点40，-5)，B(2,-刂，结合函数图象直接写出使不等式 2 x-1 <y2成立的x的取值范围. 【答案】(1)x≠1 (2)1: (3)如图， 16/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 54-32-191g3456大 4 6 (4)①减小；②0<x<1或x>2 【分析】 【详解】(1)解：由题意可得x-1≠0， 解得x≠1， ∴.自变量x的取值范围是x≠1. 2 (②)解：当x=3时， m=y=3 --3=1 ) (3)略 (4)解：①由图可知该函数当x>1时，y随x的增大而减小： ②如图，过点A(0,-5),B(2,-)作一次函数=c+b, 3 2 5-4-3-2-1 3456x 由图可知，当<2时，x的取值范围：0<x<1或x>2. 17157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点二k的几何意义● ◆题型5利用k值求三角形的面积 22.在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点落在x轴的负半轴上，BC平行于x轴，点B在反比例函数 23 （x<0)的图象上，点C在反比例函数y=x（x>0)的图象上，则等边。ABC的边长为 A.3 B.10 C.15 D.5 【答案】B 【详解】解：作AD L BC于点D,连接OB、OC, 设等边三角形的边长为a,则AB=AC=a:BD=CD 32 AD=AB-BD= a, 2 c行下：新、点B在反比刻通数：5（<0>的图家上一点C有安比制数-2 （x>0 )的图象上 c=5a-325 2 C4D=g5。-5 -a= 2 2 29 .a=V10(负数舍去)， ∴.等边△ABC的边长为V10. 18/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B 23.如图，正比例函数y=:的图象与反比例函数y x,y=的图象分别交于点A,B,过点A,B分别 向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C,则△ABC的面积为 【答案】2 【详解】解：设A(x,),B(x2,y2) ,正比例函数y=的图象经过点A,B, y=x1,2=lx2, 4 “正比例函数y=众的图象与反比例函数y=,y=的图象分别交于点4，B, xy=k2=4,x2y2=22=1, 小安=4 ,点A在第一象限，点B在第三象限， .x2异号， .=-2x3, 19/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得，=-2y2, :过点A,B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点C, .C(x,y2) .AC⊥BC, .AC=月-y2=-2y2-y2=-3y2, 、BC=X-=-2x2-为=-3x3, &S-54c8c--3j-3)-35 :x2y3=1, 9 :.S.ABC= 24.如图，直线4B与反比例函数y=x的图象交于A(m,2)B(1,n)两点，与x轴交于点C:若BD⊥y轴， 垂足为D,△BOD面积为6. B (1)求k值： (2)求△BOC的面积. 【答案】(1)12 (2)42 【分析】 【详解】(1)解：：BD1y轴，垂足为D,△BOD面积为6 .=2S.BOD =12 ',反比例函数图象在第一象限 ∴.k>0 k=12: 12 (2)解：由(1)可得反比例函数解析式为y= x 20157 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 :A(m,2),BL,n）在y=元图像上， .m×2=12,1xn=12, 解得：m=6,n=12 .A(6,2),B(1,12) 设直线4B的解析式为y=x+b(k≠0)，代入A(6,2),B(1,12)得 [2=6k+b [k=-2 12=k+b,解得： b=14 ∴.直线AB的解析式为y=-2x+14 当y=0时，0=-2x+14 解得：x=7 .C(7,0) ∴.0C=7 1 .SB0c=70C×ya=)×7x12=42 4 25.如图，已知点A是反比例函数y=图象上的一点，过点A作ABy轴，交x轴于点B,点C在x轴负 半轴上，连接AC交y轴于点D,若BO=2CO,则S△4oc= 【答案】1 4 【详解】解：设点的坐标为>0)，。 则点B的坐标为(x,0),AB= x'OB=x' 则SA4oB=2 B0-AB=2. B0=2C0. SMOE=7AO=1. 21/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k+1 26.如图，点B为反比例函数= (x<O)的图像上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别 因C,线段AC被反此函数x<0的图像上点D分成两部分，D:CD=1:2连接AC 则△ABC的面积为. 3 【答案】2 ,k+1 【详解】解：设点。的坐标为m,m m 其中m<0 ~过点B分别向x轴，少轴作垂线，垂足分别为A,C, ∴.BC⊥y轴，AB⊥x轴， :点c的坐标为04+】 m 点4的坐标为(m,0): ∴.BC的长度为0-m=-m, 点D在线段BC上，且BD:CD=1:2, 3m, :点D的横坐标为0- 3m卡m 2 2 3 ~点D在反比例函数4=的图象上，且点D的纵坐标与点B相同， 2k+1 :点D的坐标为3mm :+1k m 2 3n, 3 整理得：k+1=, 解得：k=2, 3 ∴y= x' 22/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB⊥BC, ∴△ABC为直角三角形， k=2, 5e方p+= 27.如图，点B在反比例函数y= (x<0)的图象上，点C与点B关于原点对称，过点B作BAy轴，交反 k 比例函数y= (x<0)于点A连接AC,BC:若A4BC的面积为6，则k的值为一· 【答案】-4 【详解】解：连接AO, 设AB交x轴于点H, :点C与点B关于原点对称， ∴O为BC的中点，即OB=OC, 5..wc. S△ABc=6, .SA0B=3, BA∥y轴， .AB⊥x轴， 23/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.408=S.om+SBon 2 “点g在反比例函数y=元的图象上， ÷5mg=1, S40H=SA0B-SB0H=3-1=2, k “点4在反比例函数y=元的图象上， a=2. .|k=4 ,反比例函数y= x的图象在第二象限， .k<0, k=-4 ◆题型6利用k值求等腰三角形的面积 28,如图。若反比例函数2的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等膜三角形，则。10B的 面积是 0 A 【答案】3 【详解】解：如图，作BC⊥OA于点C, B 在反比例函数 的图象上， C X.B 3 24/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x3=3 :SABOC=2 29 BC=BA,BC⊥OA, So=2S0=2X3 故答案为：3. 29.如图，△OAB是面积为4的等腰三角形，底边OA在x轴上，若反比例函数图象过点B,则该反比例函 数的表达式为 【答案】y=-4 【分析】 【详解】解：作BD⊥x轴，垂直为点D, D 州 是等腰三角形，底边在轴上， B .'△OAB OA x SA40B=4 kF2SAoD=2×2=4, 反比例函数图象在第四象限， ∴k=-4 故反比例函数解析式为：y=- 25157 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 故答案为：y=- 0,如图，A4BC是等腰三角形，B过原点O底边BCx轴，双曲线yX过4'B两点，过点c CDI‖y轴交双曲线于点D,若S&BCD=8,则k的值是() 3 A.4 B. C.3 D.6 【答案】C 【详解】解：如下图所示，过点A作AE⊥BC于点E, 设点的坐标是4。】 a/, 则点。的坐标是 2k ∴.BE=2a, AE= :△ABC是等腰三角形， .:BC=2BE =4a, BC‖x轴 :点c的横坐标是4a-a=3a: 纵坐标是 a :CD‖y轴交双曲线于点D, ∴.点D的横坐标是3a, k :点D的纵坐标是3a, Dc=k-_k）_4 3a a)3a' S.BCD=8, 2 3a3 26/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=3 3L,如图，反比例函数V=<0),△OAB和。BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若 S△oAB-S△BCD=16,则k= 【答案】-32 【详解】解：设OA=a,BC=b(a>0,b>0), :△OAB为等腰直角三角形，∠OAB=90°， ∴.AB=OA=a. .S.Ou=04.AB :aBCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°， ∴.CD=BC=b 1 2 S.om-S.aCp=16, 02-=16,即。-分=2 由图可知，点A的坐标为(-a,0),点B的坐标为(-a,), 点C在AB上，BC=b, ∴.点C的纵坐标为a-b,横坐标为-a, :DC⊥AB,CD=b,且点D在第二象限， 27/57 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点D的横坐标为-a-b,纵坐标为a-b, ..D(-a-b,a-b) 长 ~点D在反比例函数y=,的图象上， ∴k=(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2, a2-b2=32, .k=-32 32.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+2(k为常数，k≠0)的图象与x轴，'轴分别交于A, 月两点，与反比例函数y吃：x0)的图象交于点C(2,a),OB-20L B (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (因点DLb)在反比例函数)-贺(x>0)的图象上.则。 一b(填“><一")； 3)直接写出不等式：+2≥ x（x>,0)的解集； (④)点P在x轴的正半轴上，连接CP,若△ACP是以AC为腰的等腰三角形，直接写出△ACP的面积. 【答案】0一次函数的解析式：y=-2x+2:反比例函数的解析式：y=-4 (2)> (3)0<x≤2 ④5或2 【分析】 【详解】(1)解：对于一次函数y=a+2, 令x=0,得y=2, 因此B(0,2),0B=2. 由OB=20A,得OA=1, 又，A在x轴正半轴， 28157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A1,0) 把A1,0)代入y=x+2,得0=k+2, 解得k=-2, 因此一次函数解析式为y=-2x+2 把C(2,a)代入y=-2x+2,得a=-2×2+2=-2, 即C(2-2). 把C(2,-2)代入y=m ,得m=2×(-2)=-4, 因此反比例函数解析式为y=-4x>0) (2)解：把DL)代入y=-4 ,得b=-4 已知a=-2,-2>-4, 因此a>b. (3)解：不等式c+2≥表示x>0时，一次函数图象在反比例函数图象上方《含交点). 两个函数交点为C(2,-2), 结合图象可得解集为0<x≤2. (4)解：设P(p,0(p>0) 己知4,0)，C(2,-2), 计算得AC=V(2-1)2+(-2-0)2=√5， △ACP以AC为腰，分两种情况： AC=AP:AP=AC=5. 即lp-1=5, p>0, 得P=1+V5(负根舍去)， .AP=5 △ACP的高为C到x轴的距离2， 面积S=)×5x2=5】 2 AC=CP:CP=AC=5. 29157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即√p-22+(0+2y=5, 解得p=3(p=1与A重合，舍去)， .AP=3-1=2 1 面积S=。×2×2=2 2 因此△ACP的面积为2或5 ◆题型7利用k值求平行四边形的面积 33.如图，反比例函数y=(x<0)的图象经过平行四边形8CO的顶点4'己知OC在x轴上，若点B的 坐标是（一1,5），平行四边形ABC0的面积是4，则实数k的值为 【答案】-9 【详解】解：延长AB交y轴于点D,如图， ,四边形ABCO是平行四边形， .ADIOC, ∠BD0=∠DOC=90°， AD1y轴， 点B的坐标是(-1,5)， ∴OD=5,BD=1, :平行四边形ABCO的面积是4， ∴.S.Bco=0D.OC=4, .AB=OC=0.8. 30157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AD=AB+BD=1.8, 点A的坐标是(18,5)， :5=k -1.8 ∴k=-9, 故答案为：-9 34,图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，平行四边形O4B8C的顶点4在反比例西数y 上， .6 顶点B在反比例函数y=x上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是 y 【答案】4 【详解】解：如图，作BD⊥x轴于D,延长BA交y轴于E, yA B 四边形 是平行四边形， OABC ∴AB∥OC,OA=BC, .BE1y轴， ∴OE=BD, ∴.Rt△AOE≌RtACBD(HL) 根据系数大的几何意义可知：Sems=6:Se 5×2=1, .四边形OABC的面积为：6-1-1=4. 35.如图，平行四边形ABCD的项点4在x袖的负半轴上，顶点BC·D部在反比例函数y>0)的 图象上，且边BC经过原点O,若平行四边形ABCD的面积为18，则k= 31/57 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y 【答案】6 【详解】解： 设. 其中6>0 边BC经过原点O:且B,C在反比例函数y=x图象上， ∴点B与点C关于原点对称， 且o为BC中点· :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC. 设A(a,0),其中a<0, .'XD-XA=Xc-XB,YD-yA =Yc-yB, a-6(%0专（月 2k ∴n=a+2b,%=6, 2k ∴.Da+2b, b ~点D在反比例函数y=图象上， a+20装=6 k>0, ∴.2(a+2b)=b 2a=-3b,即b=-号a. 连接OD, 32/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形 是平行四边形 ABCD AD∥BC,AD=BC ∴点O到AD的距离等于平行四边形ABCD边BC上的高，设为h, ∴.SAOD= AD.h=BCh=Seancp 2 S4BCD=18 ..S.OD=9 :、 b =9 ak =9 将6=-2a代入上式得2a 3k=9 ∴.k=6 36.如图，四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，点C在'的正半轴上，点A在反比例函数 y=(c>0)的图象上，点D是线段BC与反比例函数图象的交点，若点B的坐标为(2,4)，平行四边形 OABC的面积为6，则实数m的值为 D C 【答案】2 【详解】解：，四边形OABC是平行四边形， 33/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC∥AB,OC=AB “平行四边形OABC的面积为6，点B的坐标为(2,4)， ∴0C×xg=6, 则0C×2=6, 0C=3, 则AB=3, :点B的坐标为(2,4)， ·点4的坐标为(2,1)， 把(2，)代入y=m(>0), .m=1×2=2, 故答案为：2. ◆题型8利用k值求矩形的面积 37.如图，反比例函数'=元的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为（） B D 0 A A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】A 【详解】解：设点D的坐标为(x,y) “点D在反比例函数y=的图象上 ∴.y=2 由图可知OA=x,AD=y ∴.OAAD=2 ,D是AB的中点 ∴.AB=2AD .S矩形0ABc=OA·AB=OA:2AD=2(OA·AD)=2×2=4 34157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 38.如图，矩形OABC的顶点A'C分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，反比例函数y=x的图象经过 矩形OABC的对称中心D.若矩形OABC的面积为12，则k的值为 【答案】3 【详解】解：设矩形OABC的边OA=a,OC=b, 则点B的坐标为(a,b),S矩形owBc=OA·OC=ab=12, :点D是矩形OABC的对称中心， ∴点D是对角线OB的中点， a b :点D的坐标为22 :反比例函数y=的图象经过点D, b k .2a, :k=ab、12 =3 44 39.如图，反比例西数y-冬(x>0)的图象经过矩形O1BC的边4B的中点D,若矩形0ABC的面积为6， 则k的值为 C 【答案】3 【详解】解：连接OD, 35/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B 矩形 的面积为6， --- A OABC AB×OA=6, D为边AB的中点， .AD=14B, 2 Γ2 .k=2S.40p=3, :y=(x>0)的图象在第一象限， k>0, .k=3 40.如图，己知矩形A8CD的顶点A(2,2),C都在反比例函数y-元的图象上，AB=1?求： 0 (1)反比例函数的解析式： (2)矩形ABCD的面积. 【答案】(1)y= (22 【分析】 【详解】(1)解：点4(2,2)在反比例函数y=x的图象上， 2 k=4, 36157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :反比例函数的解析式为y=4 (2)解：由题意可知，AB=1, ∴点C的纵坐标为2-1=1， 代入=4 ,可得=4 ∴点C的坐标为(4，)， ∴BC=4-2=2」 故S矩形ABcD=2×1=2 2 41.如图，点P是矩形OABC的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数y=一x<O)的图象经过点 A,反比例函数-”：>0)的图象经过点C,求矩形O1BC的面积。 B P 【答案】12 【详解】解：如图， 分别过点A,C作y轴的垂线，分别交y轴于点D,E,则：∠BEC=∠ADO=90°， 点A在反比例函数片=-二x<0)的图象上. 2 -2=1, .SAOAD=2 :点C在反比例函数%9c>0的图象上， 37/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∴.SAOCE= 25, 四边形OABC是矩形， ..BC=0A,BCIIOA,AB=OC. .∠CBE=∠AOD, :∠BEC=∠ADO=90°，BC=OA,∠CBE=∠AOD, .△AOD≌aCBE(AAS) ∴.S△AOD=S△BCE,AD=CE,BE=OD, .BD=OB-OD,OE=OB-BE .'BD=OE. .AB=OC,AD=CE,BD=OE. ∴.△COE≌△ABD(SSS), .S△coE=S△BAD, :.S矩形OABc=S△AoD+S△BCE+SACOE+S△B4D=2×(I+5)=12, ∴.矩形OABC的面积为12 ◆题型9利用k值求阴影部分的面积 42.如图，A、B两点在反比例函数y=的图象上，且A、B两点关于原点对称，AM⊥x轴于点M, AN⊥y轴于点N,连接BM,BN,则图中阴影部分的面积为() 38/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N 4 M B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 2 【详解】解：A、B两点在反比例函数y=的图象上，且A、B两点关于原点对称，设A(a,b): :.B(-a,-b),ab=2, 作BE⊥x轴交AW的延长线于点E,作BF1y轴交AM的延长线于点F, :AM⊥x轴于点M,AW1y轴于点N, .四边形AEBF为矩形， .'AE=BF =2a,BE=AF =2b. 阴影高分的面积为=2a20号2山642沙-a的=6=2 Eu M B 43.在平面直角坐标系中，有反比例函数y=与y=一元的图象和正方形ABCD,原点O与对角线AC, BD的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB= 39157 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】4 【详解】由图象可知反比例函数y=与y=-的图象和正方形ABCD具有中心对称性， 可知图中y轴左侧正方形内部非阴影等于右侧正方形内阴影部分的面积， 所以正方形ABCD的面积=AB2=2×阴影部分面积=2×8， 解得AB=4」 故答案为：4 4 4.若图中函数的表达式均为y= x,则阴影面积为4的有个。 1 【答案】2 【详解】解：图1中，阴影面积为4： 1 图2中，阴影面积为2×4=2： 40/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3中，阴影面积为2×5×4=4， 2 图4中，阴影面积为4×)×4=8： 则阴影面积为4的有2个 故答案为：2. 本题考查了反比例函数少中的儿何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积， k 是掌握反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k, 12 45.如图，AB两点在双曲线y=关(x>0)上，分别经过4B两点向坐标轴作垂线段，己知S影=2， 则S+S2= S B 0 【答案】20 详解1解：y=C2, .S,+S阴影=12，S2+S阴影=12， ∴S1=12-2=10,S2=12-2=10 .S1+S2=2020 46.如图，点A、B在反比例函数y=的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的 面积等于1，则S+S2= S B S2 0 【答案】4 41/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意得，S阴影+S1=3,S阴影+S2=3, S阴影=1， .S1=2,S2=2, S,+S2=4, 故答案为：4 4,《第6章2反比例函数的图象和性质)如图，点4，B在反比例函数y=冬(x<0)的图象上，过4，B 两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D,连接OA,OB,若S+S,=2(S,S分别为△BD0和△ACO中空 白部分的面积)，S阴彩=1，则k的值为 B S2 S 0 【答案】-4 【详解】解：由题意，知△ACO和△BDO都是直角三角形， ..oS.0- S+S2=S。4co+S,B00-2S阴影， 因，因-2=2， 22 k=4, 由图，可知k<0, ∴.k=-4 故答案为：-4 综合攻坚·知能拔高 42157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，等边。O1B的边长为5，反比例函数)=(：<0)的图象交O4于点C,交AB于点D且 OC=3BD,则k的值为(） A.5 a C. D.15 4 【答案】B 【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F. 设BD=a,则OC=3a :aOAB为边长为5的等边三角形， ∠AOB=∠AB0=60°，OB=5. 在RIAOCE中，∠COE=60°，OC=3a, 0E=3。 a,CE=35 2 点C在第三象限， 在RtADBF中，∠DBF=60°，BD=a, 2. B(-5,0),点D在第三象限， 43157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点C、D在反比例函数y=图象上， =s 95255-3,2 a" 4 2 4 a≠0， 951 4 240. a= 55 “2a=2,解得a=1 :k=95xP=95 4 4 2.如图所不，在平面直角华标系O中，点4、B、C为反比例函数y->0)上不同的三点，连接04 OB、OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B、C分别作BE,CF垂直x轴于点E、F,OC与BE相交于 点M,记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S、S、S,则() A.S=S2+S3 B.S2=S3 C.S3>S2>S D.SS2<S2 【答案】B 【详解1解：点4在反比例函数>0上。AD上y前。 .S=S..oD=zk, :点君八C在反比例脑数=>0)上，BE1:轴，CF⊥x轴， .S.=S.coF-k, 又S2=S.BOE-SOME,S,=S四边形CMEF=S,cOF-S,oME 44157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S2=S3, SOME>0 1 S,=8,<2k, .S>S2=S3, A、S=S,+S,题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、S2=S,本选项符合题意： C、S>S,>S,由题意得S>S=S,故本选项不符合题意： D、SS,<S,因为S2=SS<SS,则SS2>S2,故本选项不符合题意. 3。如图，在平面直角坐标系中，点A'B在反比例函数y=图象上，BC⊥r轴于点C,AD1y轴于点 D,连结A0,AB,若OD=3BC=3,A0=AB,则k的值为() D B C A.vis 3 B.3 C.5 D.4 【答案】C 【详解】解：作AM⊥x轴于M, D B OM C衣 、AM∥y轴， :BC⊥x轴于点C,AD1y轴于点D, ..OM AD,AM =OD 45/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OD=3BC=3, .OD=3,BC=1, AM=3, ~点A'B在反比例函数)=图象上， 4台 B(k,1) .AO=AB. -修小 解得k=V5(负数舍去). 4.如图，在平面直角坐标系xO少中，已知RtAAOB≌RtADBC,∠ABO=∠DCB=90°，OB边在x轴的正 8 半轴上，点A在第一象限，点C在斜边O4上，点D在反比例函数y=的图象上（点D在直线B的右 侧)，反比例函数y=k≠0)的图象过点4，则的值为() B A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【详解】解：~RtAAOB≌Rt△DBC, ∴∠AOB=∠CBD,OB=CB,OA=BD, .∠AOB=∠BCO, ∴.∠BCO=∠CBD, ∴.OA∥BD, ∴.四边形OADB是平行四边形， .AD=OB, 设OB=a,则AD=a, 46157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AD=OB,点D的横坐标为2a, 84 当x=2a时，y=2aa :.D 2d.a) .4 k4 a a' ….k=4 5如倒，反比例商数%=<0.为=兰（x<0)的图象在平面直角坐标系，点6为-生<0 的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A?C,线段BC被以=<0)的图象上一 点D分成两部分，且BD:CD=I:2,连接AC,则k的值为 D 【答案】2 k+1 【详解】解：设点g的坐标为m,m m, 其中 m<0 ~过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A,C ∴.BC⊥y轴，AB⊥x轴 :点c的坐标为0,4+】 、m 点4的坐标为(m,0) ∴.BC的长度为0-m=-m ~点D在线段BC上，且BD:CD=1:2 3 3m 点D的横坐标为0- m 3 ,点D在反比例函数乃=的图象上，且点D的纵坐标与点B相同 47/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2k+1 :点D的坐标为 m,1 m .k+1k m-2 整理得：k+1=36 解得k=2, 6.如图，已知4,4,4，A是x轴正半轴上的点，且04=A4,=44==A4,=1,分别过点 4,4,4,A作x轴的垂线交反比例函数y=x>0)的图象于点B,B,B,…,B,作 B,R1AB于点，作BB1A,B,于点B,,依次连接BB,B,B,,记△BB的面积为S, △B,B的面积为S2,,△B2sP2B026的面积为S25.则S+S2+S,+…+S025= B B2 B3✉ A A2 A3… 2025 【答案】4052 【详解】解：OA=A4,=A4=…=An1An=1, ∴点4,4,4，A的坐标分别为，0)，(2,0)，(3,0），…，(n,0), 又：点B?品，县，BsB在反比例函数=(c>0)的图象上， ·点BB’B,’…,B0s’B%的坐标分别为(1,1) 〔2》.(3.〔2ws05) 2026,2026} 1 ∴.B2=PB3=PB4=…=Po24B2o2s=P02sB2026=1, a=1日a=ae5 11 11 ++s*+w日到提指乱s6 48/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即S+S2+S+…+S025 20252026 整理得：S+S+S+…+Ss×1- -12025_2025 22026220264052 【点睛】通过各点坐标求出相关线段长度是解题的关键. 7.如图，在矩形OABC中，OA=6,OC=5,反比例函数的图像与AB、BC分别交于点E、F,且 11 CF<FB'△0EF与ABFE的面积之差等于530，则此反比例函数的解析式为 A 【路1y 【详解】解：，在矩形OABC中，OA=6,OC=5, .OC=AB=5,OA=BC=6,∠OCF=∠EBF=∠OAE=90°， 设t反比例唇数为-兰k>0,则(6)。F传】 6 BF BC-CF=6-BE=AB-AE=5-K 6 osac+5m-支+=k,SmE8F-引5-86-) 22 161 S.OEF-S.EF=30 e=5e+品--6}0 e=+5-6-刳56+=01.0c=30, 整理得k2-30k+161=0, 解得k=7或23， 49157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF<FB' 即c6-← 5, ∴.k<15 7 ∴反比例函数为y= 8.如图，在平面直角坐标系中，么B两点在反比例函数yk>0x>0)的图象上，延长B交，轴于点 X C,且AB=BC,D是第二象限一点，且DO∥AB,若△ADC的面积是6，则k的值为一 【答案】4 【详解】解：过A作AE1x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,连接OA,OB, DO∥AB, .S△A0c=S△ADc=6, AB=BC. 6 .S。AB0=SaBc0= 2=3, :S佛形AEFB=SAOc-S,AOE-SBrC, S.408=S.40c-S.BOF-S.BFC 1 又S.o=S.m=2大， ∴.S梯形BFB=SAB0=3, 50/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 而AB=BC' ∴g的纵坐标为2a, ,k） 2a2a ..EF=a, 1(k,k) -+a=3, ·2l2aa) 解得k=4. 2x(0≤x≤2) 9知图，反比例函数y=x>0与的数)x+6>2)交于A日丙点，射线B交，轴丁点c已知 点A的坐标为(2，a)」 (1)求反比例函数解析式： (2)若点P在x轴上，连接PA,PB,求当PA+PB的值最小时△PBC的面积. 8 【答案】(1)y= 【分析】 【详解】(1)解：把点A(2,a)代入y=2x得，a=4, A(2,4), k 反比例函数y=>0)图象过点A” k=2×4=8, 反比例函数解析式为y=8 51/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 V= (2)解：由 y=-x+6 [x=2「x=4 解得y=4或y=2 .B(4,2), 作A点关于x轴的对称点A',连接AB,与x轴的交点即为P点， A A(2,4) .A(2,-4) 设直线A'B的解析式为y=mr+n, 2m+n=-4 则4m+n=2’ [m=3 解得1n=-10' .直线AB的解析式为y=3x-10, 把y=0代入得，3x-10=0, 10 解得r= 3” o. 把y=0代入y=-x+6得，-x+6=0, 解得x=6, ∴.C(60) PC=6-108 33 =1x8×2=8 :.S.=23 3 52157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.当PA+PB的值最小时△PBC的面积为3 10,如图，一次函数y=+6〈k:0)与反比例函数少=-2 （x≠0)的图象交于A?B两点，与y轴交 于点C,将直线沿'轴向上平移1个单位长度后与反比例函数的图象分别交于D,E两点，直线DE与'轴 交于点F.已知点A和B的横坐标分别为4和2， (1)求一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围； (2)连接AD,CD,若△ACD的面积为9，求点F的坐标. 【答案】(1)0<x<2或x>4 (2)F(0,-4.5) 【分析】 【详解】(1)解：点A和B的横坐标分别为4和2. 根据函数图象可得：一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围为0<x<2或x>4: 2②解：，点4和公的横华标分别为4和2且4g在少是 上， 当x=4时，y=-3,当x=2时，y=-6, .A(4,-3),B(2,-6) -3=4k+b 代入y=:+b得，-6=2k+b k= 解得2 b=-9 :直线4B的解析式为y 2-9, 当x=0时，y=-9, ∴.C(0-9), 53157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点D作DG‖y轴交AB于点G, D E 直线沿轴向上平移个单位长度， G AB y ..CF=DG=t, A(4,-3) .S.ACD=S.4DG+SCDG=DG9 1 小214=9，解得1=45” ∴.CF=4.5, C(0,-9), ∴F(0-9+4.5),即F(0,-4.5) 11.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别是(-3，-)，(m,3),过A,B两点的直线 y=+ba±0)与x轴：y轴分别交于点C.D,双曲线y=≠0)与该直线交于AB两点. (I)求直线和双曲线的函数的表达式； (②根据图象直接写出不等式ax+b<,的解集： (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点卫，满足S△ocn=4S△oD,求点P的坐标. 【答案10y=2y=x+2 (2)x<-3或0<x<1 54157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 【分析】 【详解】山解：将43-)代入=得，-1奇 -3 ∴.k=3, 3 :.反比例函数的解析式为y= 将8m3)代入y得，3 =m,则m=1? 点B的坐标为(1,3)】 将点A和点B的坐标代入y=ar+b(a≠0)得， -3a+b=-1 a+b=3, 「a=1 解得b=2' .一次函数的解析式为y=x+2: (2)解：根据所给函数图象可知， 当x<-3或0<r<1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即ax+b<冬 :不等式+h<文的解集为：x<-3或0<r<1 (3)解：将x=0代入y=x+2得，y=2, :.点D的坐标为(0,2)，则0D=2, 1 SAow=x2x1-1, .S△ocp=4S△0sD=4 将y=0代入y=x+2,得x=-2, :点C的坐标为(-2,0)，则0C=2, S.ocr-x2kvdd. 解得yp=4」 55/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点P在第三象限， yp=-4, 将=4代入少=3得，，=3 4 点P标为（4） 12.如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，对角线OB,AC相交于点D,已知点B(⑧，4)，反比例 函数y-(>0)的图象经过点D B (1)求反比例函数的解析式： (2)延长BC交反比例函数的图象于点E,交y轴于点F,连接DE,求△ODE的面积. 8 【答案】(1)y= x (2)6 【分析】 【详解】(I)解：？点D是菱形OABC的对角线的交点， ∴.点D是OB的中点， :点O(0,0),点B(8,4, 0+80+4 ,点D的坐标为： 2,2即D(4,2) 将点D4,2)代入反比例函数y=(>0)中得2= 解得：k=8: 8 .y=x (2)解：~四边形OABC是菱形， ∴.BCIOA,OD=BD, .∠BFO=∠AOF=90°. 56157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点E的纵坐标为4， 当y=4时，4=8 x=2, 点E的坐标为(2,4)， ∴.BE=8-2=6. m=5X×BEx0F=x6x4=6. 1 :.SODE=2S△oBE22 57/57 专题03 反比例函数的图象性质及k的几何意义 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数的图象及性质 题型1 比较反比例函数值或自变量的大小 题型2 判断反比例函数的图象和性质 题型3 根据反比例函数图象和性质求参数. 题型4 反比例函数的图象和性质综合（难） 考点二 k的几何意义 题型5 利用k值求三角形的面积（高频） 题型6 利用k值求等腰三角形的面积 题型7 利用k值求平行四边形的面积 题型8 利用k值求矩形的面积 题型9 利用k值求阴影部分的面积（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 反比例函数的图象及性质 ◆题型1 比较反比例函数值或自变量的大小 1．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） ◆题型2 判断反比例函数的图象和性质 5．反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 6．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 8．已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 9．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 10．已知反比例函数，下列说法中不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．双曲线不经过第二、四象限 C．它的图象既是中心对称图形又是轴对称图形 D．函数值随的增大而减小 ◆题型3 根据反比例函数图象和性质求参数. 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 12．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 13．已知是关于x的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限，求m的值． 14．反比例函数（k为常数，）的图象与正比例函数的图象的一个交点的纵坐标为2，且反比例函数的图象经过点，则m的值为_____． 15．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，已知轴，点的横坐标为3，则的值为______ ． 16．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． ◆题型4 反比例函数的图象和性质综合（难） 17．将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 18．已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 19．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 20． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 21．数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________： (2)下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； (3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： (4)结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 考点二 k的几何意义 ◆题型5 利用k值求三角形的面积 22．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 23．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 24．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 25．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 26．如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 27．如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． ◆题型6 利用k值求等腰三角形的面积 28．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是______． 29．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为_____________．    30．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 31．如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． ◆题型7 利用k值求平行四边形的面积 33．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 34．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 35．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 36．如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为_____． ◆题型8 利用k值求矩形的面积 37．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 38．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 39．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 40．如图，已知矩形的顶点，C都在反比例函数的图象上，，求： (1)反比例函数的解析式； (2)矩形的面积． 41．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． ◆题型9 利用k值求阴影部分的面积 42．如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点O与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则______ 44．若图中函数的表达式均为，则阴影面积为4的有 _____个．      45．如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 46．如图，点A、B在反比例函数的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段，已知阴影部分的面积等于1，则__________． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，边在x轴的正半轴上，点A在第一象限，点C在斜边上，点D在反比例函数的图象上（点D在直线的右侧），反比例函数的图象过点A，则k的值为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 6．如图，已知，，,…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，,…，作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．则＝ ______________________ ． 7．如图，在矩形中，，，反比例函数的图像与、分别交于点E、F，且，与的面积之差等于，则此反比例函数的解析式为_________． 8．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 9．如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 10．如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数的图象分别交于，两点，直线与轴交于点．已知点和的横坐标分别为和． (1)求一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围； (2)连接，，若的面积为，求点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，过两点的直线与轴， 轴分别交于点，双曲线与该直线交于两点． (1)求直线和双曲线的函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 12．如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $