第2章·反比例函数·期中综合复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第2章·反比例函数·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，能判断并由定义求字母参数 · 掌握反比例函数的图象（双曲线）与性质，会判断象限、比较函数值大小 · 会用待定系数法求反比例函数解析式 · 理解比例系数k的几何意义，能解决面积与几何综合问题 · 能综合一次函数与反比例函数解决交点、不等式及实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 定义：形如 y=（k为常数，k≠0）的函数 三种表达：y==kx-1=xy=k 自变量x≠0，函数值y≠0 由定义求参数：x的指数为-1且系数k≠0 概念辨析例题：若函数 y=(m-1)xm^{2}-2 是反比例函数，求m的值 答案：m=-1 解析：需m2-2=-1且m-1≠0，由m2=1得m=±1，又m≠1，故m=-1 ☆ 2.图象与性质 图象是双曲线，k>0时在一、三象限，k<0时在二、四象限 k>0时在每个象限内y随x增大而减小；k<0时相反 图象无限接近两坐标轴但永不相交 比较大小：同一象限内按增减性，不同象限看正负 概念辨析例题：点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在 y= 上，比较y1,y2,y3大小 答案：y3<y1<y2 解析：k=6>0，A、B在第三象限且y随x增大而减小，故0>y2>y1；C在第一象限y3>0，综上y3最大 ☆ 3.解析式与k的几何意义 待定系数法：由图象上一点坐标代入 y= 求k k的几何意义：过双曲线上一点作两坐标轴垂线，围成矩形面积=|k| 直角三角形面积= 面积求k时注意图象所在象限定符号 概念辨析例题：反比例函数 y= 图象上一点P，过P作x轴垂线垂足为A，△POA面积为3，求k 答案：k=6或k=-6 解析：三角形面积==3，故|k|=6，k=±6，由图象所在象限定符号 ☆ 4.与一次函数综合及实际应用 交点问题：联立两函数解析式解方程组求交点坐标 不等式解集：看图象，反比例在一次函数上方（下方）的x范围 实际应用：行程、压强、电流电阻、近视度数等总量为定值的关系 分段函数：注意不同区间对应不同函数模型 概念辨析例题：一次函数y=x+b与反比例函数y=交于点A(1,m)，求m,b及另一交点 答案：m=4，b=3，另一交点(-4,-1) 解析：A在反比例上m==4；代入一次函数4=1+b得b=3；联立x+3=解得x=1或x=-4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数 y=(k≠0) x≠0，k≠0 图象象限 k>0一三象限，k<0二四象限 增减性在每个象限内讨论 待定系数法 代入一点求k 只需一个点 k的几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 交点问题 联立方程组求解 注意不等式看图象 实际应用 两量乘积为定值成反比 结果符合实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念（第1-6题） · 先看是否能化为y=形式 · 求参数时指数为-1且系数k≠0 · xy=k是判定反比关系的快捷方式 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有___________（填序号） 【答案】②⑤ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 【答案】当时，该函数为反比例函数． 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义计算即可． 【详解】解：函数为反比例函数， ，且，解得． 故当时，该函数为反比例函数． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质、根据反比例函数的定义求参数、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 6．（2025九年级·全国·专题练习）已知是反比例函数，且正比例函数的图象经过第一、三象限．求的值． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、根据反比例函数的定义求参数 【分析】先根据反比例函数的定义列出关于的方程和不等式，求出的可能值，再结合正比例函数的性质确定最终的值． 【详解】解：是反比例函数， 解得． 正比例函数的图象经过第一、三象限， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数的定义与性质，掌握根据反比例函数的指数和系数条件列方程、不等式，结合正比例函数的象限性质确定参数值是解题的关键． 【考点2】图象与性质（第7-13题） · 由k的符号定象限，由象限反推k符号 · 比较函数值：同象限用增减，异象限看正负 · 注意『在每个象限内』这一前提 7．（2025·天津和平·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 将点，，分别代入反比例函数，求得的值后，再来比较一下它们的大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，即； ，即； ，即； ∵， ∴； 故选：A． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第二、第四象限 C．第一、第三象限 D．第三、第四象限 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据题意求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限. 9．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质．根据一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质判断选择即可．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小；对于反比例函数，当时，y的值随x的增大而减小．当时，y的值随x的增大而增大；对于二次函数，当时，图象开口向上，在对称轴左侧，y的值随x的增大而减小．在对称轴右侧，y的值随x的增大而增大．当时，图象开口向下，在对称轴左侧，y的值随x的增大而增大．在对称轴右侧，y的值随x的增大而减小． 【详解】①，其中，故y的值随x的增大而减小，不符合题意； ②，其中，故y的值随x的增大而增大，符合题意； ③，其中，故当时，y的值随x的增大而增大，符合题意； ④，其中，即其图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y的值随x的增大而减小，不符合题意． 综上可知y的值随x的增大而增大的函数为②③． 故选：D． 10．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 11．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 12．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 13．（24-25九年级上·山东济宁·期末）反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点3】待定系数法求解析式（第14-19题） · 只需图象上一个点即可求k · 一次与反比例综合分别设解析式联立 · 求交点后再求不等式解集 14．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若反比例函数经过点，则该函数必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．根据反比例函数的图象经过点可求出，再逐一验证坐标是否符合该解析式即可得解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得 反比例函数为， 满足，而，，都不满足， 图象必经过点． 故选：B． 15．（24-25九年级上·广东惠州·期末）若函数的图象经过点和，则的值为______． 【答案】2 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将代入，求得该函数的解析式，再求得时，的值即可得到答案． 【详解】解：的图象经过点和， ， 该函数的解析式为， 当时，，即 故答案为：2． 16．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 17．（2024·江苏镇江·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像，直接写出时x的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【知识点】坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查反比例函数、一次函数与方程的关系，图像法求解不等式，直角坐标系内面积求解；理解函数与方程，不等式的联系是解题的关键． （1）将已知的点坐标代入反比例函数解析式，求解参数k，将点代入反比例函数解析式，求解m，由点A，B，坐标，构建二元一次访组求解，得一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求得点D坐标，进而求得的面积； （3）把不等式化为，再求解两个函数的交点的横坐标，再结合图像求解即可． 【详解】（1）解：的图像经过， ∴，则， ∴． ∵的图像经过点，则， ∴． 一次函数的图像经过，， ，解得 ∴ （2）解：∵直线， 当时，， ∴，， ∴的面积 （3）解：∵，即， ∴， 如图， 当时， ∴， 解得：，， ∴两点横坐标分别为，， ∴的解集是或． 18．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入， 可得； （2）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 19．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 【考点4】比例系数k的几何意义（第20-25题） · 过双曲线上点作坐标轴垂线，矩形面积=|k| · 直角三角形面积= · 多面积组合时先拆分再加减 20．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，易证，，从而得出．根据反比例函数的几何意义，得出，从而可求出，进而即得出经过点B的反比例函数解析式． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴． ∵为直角三角形，且，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴经过点B的反比例函数解析式为． 故选C． 21．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．    （1）_________________； （2）__________________． 【答案】 5 4 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由， ，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可； （2）由（1）可知， ，，则，，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，在函数的图象上， ∴，，，， ∴， 故答案为：5； （2）解：由（1）可知， ，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据三角形中线求面积 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 23．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为________． 【答案】/ 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．延长交轴于点，延长交轴于点，连接，利用面积关系推出点是中点，点是的中点，利用代入数据计算即可． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，连接， 点在函数图象上，点在函数， ，， 点是中点， 同理点是的中点， ， ． 故答案为：． 24．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为_____________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 25．（2024·山东东营·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是______    【答案】8 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，延长交x轴于点F， 待定系数法求直线的解析式，进而可求出点的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∵， ∴， 把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点， ∴把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点， ∴， 如图，延长交x轴于点F，    设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴ ， ∴的面积为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质是解题的关键． 【考点5】反比例函数与几何综合（第26-31题） · 结合平行四边形、正方形、矩形性质定坐标 · 用面积关系建立关于k的方程 · 翻折、旋转后抓住不变量 26．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求反比例函数值、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 27．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 28．（2024·江苏宿迁·三模）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为___________ 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形中线段的关系，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识的综合是解题的关键． 如图所示构造辅助线，可得四边形，是矩形，可证，，是等腰直角三角形，设，可得，，在等腰直角三角形中，根据其性质可得，，结合反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点作轴，过点作轴于点，作轴于点，    ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， 已知直线， 令时，，则， ∴， 令时，， ∴，则， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，，都是等腰直角三角形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴，， ∴在，中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为_____________．    【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 作轴，根据条件可得，所以，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式． 【详解】解：作轴，垂直为点，   是等腰三角形，底边在轴上，， ， ， 反比例函数图象在第四象限， ， 故反比例函数解析式为：， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为___________．    【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】由，的面积为3，得到的面积为1，则的面积为4，设点坐标为，则，，，，利用得，整理可得，即可得到的值． 【详解】解：连，如图，   ，的面积为3， 的面积为1， 的面积为4， 设点坐标为，则，， 而点为的中点， ， ， ， ， 把代入双曲线， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是关键． 31．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图象恰好过的中点，则点的坐标为__． 【答案】， 【知识点】反比例函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据折叠的性质可知，，根据矩形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可点是的中点，过点作于点，则是的中位线，过点作于点，则是的中位线，根据相似三角形的性质可得：，从而可得，可以求出，根据三角形的面积可知，根据三角形的面积公式可知，设，则，利用勾股定理可以求出，，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，，利用三角形的面积公式可以求出，即为点纵坐标的绝对值，利用勾股定理可以求出，即为点的横坐标． 【详解】解：连接交于点 将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为， ，， ， ， ，， 在和中，， ， ， 即点是的中点， 过点作于点，则是的中位线， ， ， ， ， 解得：， 点是反比例函数图象上的点， ， ， 故， 设，则， 在中，， 则， 解得（负值已舍去）， 则，， 连接，作于， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， ， 为，， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判断和性质、面积的计算以及勾股定理等，综合性强，难度较大． 【考点6】与一次函数的交点综合（第32-36题） · 联立方程求交点，注意检验 · 代数式求值用整体代入 · 不等式解集借助图象上下位置 32．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法、一次函数图象平移问题、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用待定系数法求得M的坐标，求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断①；联立方程求得交点坐标即可判断②；求得直线向下平移后的解析式，然后联立方程求得交点坐标即可判断③；根据函数的图象结合交点坐标即可判断④． 【详解】解：把代入中，得， ∴， 把代入， 则， ∴， ∵，， ∴函数值在第一象限随x的增大而减小，故A正确，不符合题意； 联立方程组， 解得：或， ∴点N的纵坐标为1，故B正确，不符合题意； 若将一次函数的图象向下平移1个单位后，则平移后的函数解析式为：， 联立方程组， 解得：， 则平移后的一次函数与反比例函数图象只有一个交点，故C正确，不符合题意． ∵，， ∴如解图，根据图象可知当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，，故D错误．符合题意． 33．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 34．（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【答案】/ 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 35．（2025·江苏连云港·一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为______． 【答案】/0.75 【知识点】分式化简求值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到，，代入分式中求解即可． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：． 36．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为_________． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)；2；； (2)或； (3)3 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、由反比例函数值求自变量 【分析】（1）将、的坐标代入中，即可求出m、n的值，再根据待定系数法求解即可； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点代入， 得，， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：根据图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴的解集为：或； （3）解：将代入，得 ∴，即， ∴． 【考点7】实际应用（反比例建模）（第37-49题） · 识别总量为定值：tP=k、IR=U、度数×焦距=k · 由图象或表格数据求解析式 · 取值范围问题结合实际限制 37．（25-26九年级上·广东深圳·期末）在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（    ）    A．以内 B． C． D．以上 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为，根据图象可知反比例函数过点，即可求出解析式，再根据每次充满电需要，可求充电时的充电功率范围． 【详解】解：设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为， 代入得，， ∴， ∴， ∵该新能源电动车每次充满电需要， ∴当时，；当时，； ∴充电时的充电功率范围是， 故选：B． 38．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 39．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 40．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求反比例函数值、判断反比例函数的增减性 【分析】将，代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当时，， 得， 解得， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 当时，， 得，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流随电阻的增大而减小，故选项D正确． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 42．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）某气球内充满了一定质量的气体，在气温不变的条件下，气球内气体的压强与气球体积之间满足反比例函数关系，当气球内的气压不超过时，气球不会爆炸，为确保气球不爆炸，气球体积V的取值范围是______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先求出当时，，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∵， ∴P随V的增大而减小， ∴当时，， ∴为确保气球不爆炸，气球体积V的取值范围是， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·湖南常德·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 44．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段检测）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】200 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， ， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了200度． 故答案为：200． 45．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 【答案】4 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出自变量为5时的函数值即可． 【详解】解：设， 由图象可知，反比例函数经过点， ， 解得：， ， 当时，， 即当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为． 46．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 47．（2024·吉林四平·二模）小明家购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，且每月偿还贷款金额数相同．若设每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)若小明家计划每月偿还贷款金额不超过3000元，求至少需要多少个月还清？ 【答案】(1) (2)至少需要200个月还清 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入解析式求出的范围即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：当万元时， 即，解得． 答：计划每月偿还贷款不超边3000元，则至少需要200个月还清． 48．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，即可解答， 熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 49．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 12 a 7.2 6 b 4 c (1)写出电流I关于电阻的函数关系式：____________（不写自变量的取值范围）； (2)将表格空格处的数值补充完整：____________，____________，____________； (3)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 【答案】(1) (2)9，4.5，3.6 (3)该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）设，根据表格选取数据代入求解即可； （2）分别将的值代入电流I关于电阻的函数关系式计算即可； （3）将代入电流I关于电阻的函数关系式求出的值，再结合反比例函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设， 根据表格可知当时，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：由（1）得， 当时，，解得， ， ∴当时，随的增大而减小， ， 即该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于． 【考点8】函数分段实际综合（第50-52题） · 不同区间分别建立一次、反比例模型 · 分段点处衔接，注意自变量范围 · 恒温、加热等场景先分阶段 50．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 51．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的性质、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 52．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3) ，理由：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征； （1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式； （2）由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可； （3）将代入反比例函数关系式中求出值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为 ， 将代入 中，得： ，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为 ． 当 时，， 图中的值为． （3）略 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：反比例定义与求参数，指数-1且系数非0 · 性质过关：k定象限、定增减，比较大小分象限 · 解析式过关：一点求k，交点联立方程组 · 几何意义过关：矩形面积|k|、三角形 · 应用过关：识别乘积定值，分段函数分区间建模 【作业1】．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键．由于反比例函数的系数是，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，， 又∵， ∴． 故选B． 【作业2】．（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 【作业3】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 【作业4】．（26-27九年级上·全国·单元复习）若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴图象在第二、四象限内， ∵， ∴一次函数为， ∴图象经过第一、三、四象限， 联立两函数解析式可得：， 则， ∵， ∴两函数图象无交点， 综上：选项D符合题意． 【作业5】．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【详解】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 【作业6】．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 【作业7】．（22-23八年级下·江苏镇江·阶段检测）已知点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点，则_______． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】把点分别代入反比例函数 与一次函数，求出与的值，将代数式根据完全平方公式变形再代入值进行计算即可． 【详解】点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，再对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可． 【作业8】．（2026·陕西西安·三模）某段视频的完整时长为，当以倍速播放时，实际播放时间（单位：）与的函数关系式为．若该视频以3倍速播放，则实际播放时间为_______． 【答案】15 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】直接把代入函数关系式求出t即可． 【详解】解：当时，， 所以实际播放时间为． 【作业9】．（21-22九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 【答案】1 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义，列出关于的指数方程与系数不等式，求解后舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 【作业10】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若点A，B，C在反比例函数的图象上，则，，的大小关系______．（用“”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， 点，，在反比例函数的图象上，且， ． 【作业11】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，根据已知条件可求，，再利用求面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、， 、两点在反比例函数的图象上，且、的横坐标分别是，， ∴，， ． 【作业12】．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，设，根据平行四边形面积计算公式可得，再由两点中点坐标公式得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵的面积为24， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵反比例函数图象经过点D， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业13】．（23-24九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数 与反比例函数 （k为常数，）的图象交于A，B两点， 其中点A 的坐标为． (1)求m和k的值； (2)当时，直接写出x的取值范围______． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）分别把点A的坐标代入两个函数解析式中进行求解即可； （2）先由对称性求出点B的坐标，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， 把代入中得：； （2）解：由对称性可知，点B的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围或， 故答案为：或． 【作业14】．（2025·贵州贵阳·二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1) (2)200度 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 【作业15】．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； （2）设与轴交于，则， 则； （3）由图可知，时，或. 【作业16】．（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2) 解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 【知识点】实际问题与反比例函数、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）略 【作业17】．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1） 在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积 的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 【作业18】．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段检测）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·反比例函数·期中综合复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，能判断并由定义求字母参数 · 掌握反比例函数的图象（双曲线）与性质，会判断象限、比较函数值大小 · 会用待定系数法求反比例函数解析式 · 理解比例系数k的几何意义，能解决面积与几何综合问题 · 能综合一次函数与反比例函数解决交点、不等式及实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 定义：形如 y=（k为常数，k≠0）的函数 三种表达：y==kx-1=xy=k 自变量x≠0，函数值y≠0 由定义求参数：x的指数为-1且系数k≠0 概念辨析例题：若函数 y=(m-1)xm^{2}-2 是反比例函数，求m的值 答案：m=-1 解析：需m2-2=-1且m-1≠0，由m2=1得m=±1，又m≠1，故m=-1 ☆ 2.图象与性质 图象是双曲线，k>0时在一、三象限，k<0时在二、四象限 k>0时在每个象限内y随x增大而减小；k<0时相反 图象无限接近两坐标轴但永不相交 比较大小：同一象限内按增减性，不同象限看正负 概念辨析例题：点A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(2,y3)在 y= 上，比较y1,y2,y3大小 答案：y3<y1<y2 解析：k=6>0，A、B在第三象限且y随x增大而减小，故0>y2>y1；C在第一象限y3>0，综上y3最大 ☆ 3.解析式与k的几何意义 待定系数法：由图象上一点坐标代入 y= 求k k的几何意义：过双曲线上一点作两坐标轴垂线，围成矩形面积=|k| 直角三角形面积= 面积求k时注意图象所在象限定符号 概念辨析例题：反比例函数 y= 图象上一点P，过P作x轴垂线垂足为A，△POA面积为3，求k 答案：k=6或k=-6 解析：三角形面积==3，故|k|=6，k=±6，由图象所在象限定符号 ☆ 4.与一次函数综合及实际应用 交点问题：联立两函数解析式解方程组求交点坐标 不等式解集：看图象，反比例在一次函数上方（下方）的x范围 实际应用：行程、压强、电流电阻、近视度数等总量为定值的关系 分段函数：注意不同区间对应不同函数模型 概念辨析例题：一次函数y=x+b与反比例函数y=交于点A(1,m)，求m,b及另一交点 答案：m=4，b=3，另一交点(-4,-1) 解析：A在反比例上m==4；代入一次函数4=1+b得b=3；联立x+3=解得x=1或x=-4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数 y=(k≠0) x≠0，k≠0 图象象限 k>0一三象限，k<0二四象限 增减性在每个象限内讨论 待定系数法 代入一点求k 只需一个点 k的几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 交点问题 联立方程组求解 注意不等式看图象 实际应用 两量乘积为定值成反比 结果符合实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念（第1-6题） · 先看是否能化为y=形式 · 求参数时指数为-1且系数k≠0 · xy=k是判定反比关系的快捷方式 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有___________（填序号） 2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 6．（2025九年级·全国·专题练习）已知是反比例函数，且正比例函数的图象经过第一、三象限．求的值． 【考点2】图象与性质（第7-13题） · 由k的符号定象限，由象限反推k符号 · 比较函数值：同象限用增减，异象限看正负 · 注意『在每个象限内』这一前提 7．（2025·天津和平·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（     ） A．第一、第二象限 B．第二、第四象限 C．第一、第三象限 D．第三、第四象限 9．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 10．（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 12．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 13．（24-25九年级上·山东济宁·期末）反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 【考点3】待定系数法求解析式（第14-19题） · 只需图象上一个点即可求k · 一次与反比例综合分别设解析式联立 · 求交点后再求不等式解集 14．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若反比例函数经过点，则该函数必过点（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·广东惠州·期末）若函数的图象经过点和，则的值为______． 16．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 17．（2024·江苏镇江·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像，直接写出时x的取值范围是________． 18．（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 19．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【考点4】比例系数k的几何意义（第20-25题） · 过双曲线上点作坐标轴垂线，矩形面积=|k| · 直角三角形面积= · 多面积组合时先拆分再加减 20．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 21．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．    （1）_________________； （2）__________________． 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 23．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为________． 24．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为_____________． 25．（2024·山东东营·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是______    【考点5】反比例函数与几何综合（第26-31题） · 结合平行四边形、正方形、矩形性质定坐标 · 用面积关系建立关于k的方程 · 翻折、旋转后抓住不变量 26．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 27．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 28．（2024·江苏宿迁·三模）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交于C，交于D，，则k的值为___________ 29．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为_____________．    30．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点A在双曲线的第一象限的图像上，垂直于y轴于点B，点C在x轴的正半轴上，且，点E在线段上，且，点D为的中点，若的面积为3，则k值为___________．    31．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图象恰好过的中点，则点的坐标为__． 【考点6】与一次函数的交点综合（第32-36题） · 联立方程求交点，注意检验 · 代数式求值用整体代入 · 不等式解集借助图象上下位置 32．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，其中点M的横坐标为1，下列结论错误的是（     ） A．函数值随x的增大而减小 B．点N的纵坐标为1 C．若将一次函数的图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象只有一个交点． D．当时， 33．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为______． 34．（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 35．（2025·江苏连云港·一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为______． 36．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； (2)观察图象，直接写出不等式的解集为_________． (3)连接，求的面积． 【考点7】实际应用（反比例建模）（第37-49题） · 识别总量为定值：tP=k、IR=U、度数×焦距=k · 由图象或表格数据求解析式 · 取值范围问题结合实际限制 37．（25-26九年级上·广东深圳·期末）在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（    ）    A．以内 B． C． D．以上 38．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 39．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 40．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 42．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）某气球内充满了一定质量的气体，在气温不变的条件下，气球内气体的压强与气球体积之间满足反比例函数关系，当气球内的气压不超过时，气球不会爆炸，为确保气球不爆炸，气球体积V的取值范围是______． 43．（25-26九年级上·湖南常德·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 44．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段检测）研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 45．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 46．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 47．（2024·吉林四平·二模）小明家购买一套商品房，首付45万元，剩余部分需贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，且每月偿还贷款金额数相同．若设每月偿还贷款金额y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)若小明家计划每月偿还贷款金额不超过3000元，求至少需要多少个月还清？ 48．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)当时，求V的值． 49．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 12 a 7.2 6 b 4 c (1)写出电流I关于电阻的函数关系式：____________（不写自变量的取值范围）； (2)将表格空格处的数值补充完整：____________，____________，____________； (3)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 【考点8】函数分段实际综合（第50-52题） · 不同区间分别建立一次、反比例模型 · 分段点处衔接，注意自变量范围 · 恒温、加热等场景先分阶段 50．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 51．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 52．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：反比例定义与求参数，指数-1且系数非0 · 性质过关：k定象限、定增减，比较大小分象限 · 解析式过关：一点求k，交点联立方程组 · 几何意义过关：矩形面积|k|、三角形 · 应用过关：识别乘积定值，分段函数分区间建模 【作业1】．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【作业3】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（26-27九年级上·全国·单元复习）若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【作业5】．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【作业6】．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【作业7】．（22-23八年级下·江苏镇江·阶段检测）已知点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点，则_______． 【作业8】．（2026·陕西西安·三模）某段视频的完整时长为，当以倍速播放时，实际播放时间（单位：）与的函数关系式为．若该视频以3倍速播放，则实际播放时间为_______． 【作业9】．（21-22九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数是反比例函数，则________． 【作业10】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若点A，B，C在反比例函数的图象上，则，，的大小关系______．（用“”连接） 【作业11】．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 【作业12】．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图象经过点B、D，若的面积为24，则k的值为______． 【作业13】．（23-24九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数 与反比例函数 （k为常数，）的图象交于A，B两点， 其中点A 的坐标为． (1)求m和k的值； (2)当时，直接写出x的取值范围______． 【作业14】．（2025·贵州贵阳·二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【作业15】．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【作业16】．（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【作业17】．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【作业18】．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段检测）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $