第4章 相似三角形【单元培优自测卷】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第4章相似三角形【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟满分：120分 适用：浙江地区九年级单元培优测试 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选 项，不选、多选、错选，均不给分)】 1.(26-27九年级上·四川成都阶段检测)成都熊猫基地观光瞭望塔因外形如破土春笋，被 市民称为“笋子塔”，塔高约0米.如图，将塔身看作线段AB(A为塔底，B为塔顶).若 观光层所在位置点C恰好是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,则AC的长为()米 AB=70米 A.70√5-70 B.210-70V5 C.35V5-35 D.105-35V5 【答案】C 【分析】直接利用黄金分割较长线段公式代入总长度计算 解：，点C恰好是线段AB的黄金分割点，且AC>BC, AC=5-1.4B .AB=70(米) 4c=5-l.70 .AC=35V5-35 2.(24-25九年级上·安徽毫州阶段检测)如图，已知∠ABC=∠ACD=90°，补充下列条件 仍不能判断△ABC与△ACD相似的是() B A.AC平分∠BAD B.AB⊥AD c. AD AC AB BC D. AC2=BC·AD 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键.A选项： 由角平分线的定义得出∠BAC=∠CAD,即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；B选项： 可证BC∥AD,得出∠CAD=∠BCA,即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；C选项： AC AD 不能证明。4BC与。ACD相似：D选项：可得出BCAC,即可由两个直角三角形的斜料边与一 条直角边对应成比例的两个三角形相似判定. 解：，'AC平分∠BAD, .∴∠BAC=∠CAD .'∠ABC=∠ACD=90° ,∴，△ABC∽△ACD,故A选项不符合题意； ,'AB⊥AD,∠ABC=90° .BC∥AD .∴，∠CAD=∠BCA .'∠ABC=∠ACD=90° ∴，△ABCADCA,故B选项不符合题意： AD AC 由ABBC,结合∠ABC=∠ACD=90· 不能证明。ABC与。ACD相似，故C选项符合题 意： .·AC2=BCAD AC AD ·BCAC ∴.△BCA△ACD(HL),故D选项不符合题意 故选C. 3.(26-27九年级上·湖南永州阶段检测)如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小 正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=2Cm,则小正方形的面积等 于() D G 9 A. cm2 B. 25 C. D. 4 【答案】B 【分析】在正方形ABCD中，由BF=2Cm,可得CF的长；再由“一线三等角”，证得 ∠BEF=∠CFD,从而推得△BEF∽△CFD;由相似三角形的性质，可得BE的长，从而根据 勾股定理可得EF的值，进而求出小正方形的面积， 解：，正方形ABCD的边长为8cm,BF=2cm, ∴.CF=BC-BF=6cm :四边形ABCD和EFGH均为正方形， .∠B=∠C=∠EFG=90° .∴∠BEF+∠BFE=90°∠CFD+∠BFE=90° .LBEF=∠CFD .∴，△BEF∽△CFD BE CF .BF CD BE6 .28 .DE-3 3 在 taBEF中BEF=VBEP2+Bn 2 (cm). +22-= 4.(2425九年级上·山东·阶段检测)如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡O发出的光 线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点O表示灯 泡).已知乒乓球的直径为4cm,如果乒乓球的球心距离地面1m(即CD=lm)，,若灯泡O 距离地面3m(即OD=3m),则地面上阴影部分的面积（即⊙D的面积）为（) D 图1 图2 A.16πcm2 B.9ucm2 C.4πcm2 D.8πcm2 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影中相似三角形的性质，根据题可知：两条光线与两圆直径构 成的两个三角形相似，根据相似三角形的性质可求出阴影部分的半径解题即可. 解：如图2所示，由图形知道CA‖BD .∴OACAOBD CA CO BD OD 而OD=3,CD=1 ∴.OC=OD-CD=3-1=2,AC=二×4=2 2 22 BD 3' .BD=3 ∴.SoD=π×32=9πcm2, 即地面上阴影部分的面积为9πcm 故选：B 5.(26-27九年级上·四川成都阶段检测)矩形ABCD中，AD=2,点E、F分别在边AD、 BC上，四边形ABFE是正方形，四边形CFED∽四边形ABCD,则线段AB的长是() F A.3-5 B.V5-2 c.V5-1 D.无法计算 【答案】C 【分析】设AB=x,根据正方形性质及相似多边形对应边成比例列方程求解 解：设AB=x, 四边形ABFE是正方形，四边形ABCD是矩形，AD=2, .AE=AB=EF=x CD=AB=x BC=AD=2 ∴.ED=AD-AE=2-x '四边形CFED∽四边形ABCD EF ED BC CD =2-x 即2x 整理得x2+2x-4=0, 解得x=V5-1,x2=-V5-1 .AB>0 .AB=V5-1. 6.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=AC,以点C 为位似中心，作△AB0的位似图形△AB0,点A与原点O重合，则SBo:SMBO=() B B (O A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:9 【答案】B 【分析】根据题意可得△A0BAA'B'O',则可得到，∠OAB'=∠OAB,证明△ABC∽△A'B'C ,得到AB:AB=AC:AC=1:2,据此可得答案 解：，以点C为位似中心，作△ABO的位似图形△ABO' .∴.△40BAA'B'O', .SAO:SBO=AB2:A'B2,∠OAB'=∠OAB, .AB与A'B平行， .△ABCAA'B'C .AB:A'B'=AC:A'C. .OA=AC,点A与原点O重合， ..AB:A'B'=AC:A'C=1:2. ∴.SMBo:S。Mgo=AB2:'B2=1:4 7.(2026九年级下·上海徐汇·专题练习)如图，EF是OO的直径，CD交⊙O于MNH为 MN的中点，EC⊥CD于点C FD LCD于点D则下列结论错误的是() M EC OH A. CM=DN B. CH=HD C. OH⊥CD D. OH FD 【答案】D 【分析】根据垂径定理，平行线分线段成比例，进行判断即可. 解：，EF是OO的直径， ..OE=OF, '.CD交⊙O于M、NH为MN的中点， '.MH=HN,OH⊥MN,即OH⊥CD .EC⊥CD,FD⊥CD, .EC∥OH∥DF, CH_OE=1. .·HDOF ..CH=HD ..CH-MH =HD-HIN,CM =DN EC OH 无法得到OHFD 故只有选项D错误. 8.(25-26九年级上·安徽毫州期中)如图，在△ABC中，AB=8,BC=7,AC=5,BD DE ，CE是AABC的两条高，连接DE:则BC等于（)） E A. 2 B 4 C. 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，运用勾股定理计算是解题的关键.设 CD=x,根据勾股定理得到BD2=AB-AD2=BC2-CD求出CD长，进而得到AD的长，证 明△AEC∽aADB,，然后证明△ADE∽△ABC计算即可 解：：AB=8,BC=7,AC=5, 设CD=x,则AD=5-x, ,'BD是△ABC的两条高，即∠ADB=∠CDB=90° .BD2=AB2-AD2=BC2-CD2,即82-(5-x)}2=72-x2, 解得x=1, .CD=1,AD=4, ,BD,CE是△ABC的两条高， .∴，∠AEC=∠ADB=90 又，'∠A=∠A, .∴，△AECP△ADB 、AEAC ·ADAB 又.∠A=∠A, .∴.△ADEn△ABC, DE AD 4 1 …BC=AB82 故选：A 9.(25-26八年级下.山东烟台期末)如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=4,D是边 BC上一动点（不与BC重合），连接AD,分别过点DC作AD,AC的垂线交于点E,连接 AB AE· 设BD的长度是XD的值是yy与X的关系图象如图2.当点D运动到BC中点时， CE的长度是() D 图1 图2 0 A.3 B.3 C.4 0.3 【答案】A 【分析】根据图2可求得AB=3;过E作EH⊥BC干H则可证明△ABD∽aDHE,同理，可 AB 3 证明ABCCHE得BC4·设CH=3xHE=4x由ABD6DHE可求得x的值.再 由勾股定理即可求得CE的长度， 架：由塑意根据图2可得当此，即0=3时.品1 .∴.AB=3 又.BC=4 ∴.当点D运动到BC中点时，则BD=CD=2. 如图，过E作EH⊥BC干H E B H ·.'∠ADB+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90° .∴.∠ADB=∠DEH. 又'.·∠ABD=∠DHE, .∴，△ABD∽ADHE 同理，△ABC∽ACHE AB CH 3 …BCHE4 设CH=3x,HE=4x .∴.DH=DC+CH=2+3x. ,'△ABD∽ADHE, AB BD …DHHE 32 .…2+3x4x 2 x=经检验，3 32 是方程2+3x4,的根。 .CH=2,EH=8 ∴.CE=VCH2+EH=10 · 10.(2026重庆·模拟预测)如图，正方形ABCD中，点F为BC边上一点，四边形AEFD为 平行四边形；点M为对角线BD边上一点，AM⊥AE,连接CM交DF于点N;已知AE=9 ,MN=3,则正方形ABCD的边长为() D B F G.9V26 D. 45V26 A.8 B. 13 26 【答案】D 【分析】延长CM、AM分别交AD、DF干点P、Q,利用平行四边形的性质和全等的性质 进行倒角，可得∠CDN=∠DAM=∠DCM,通过等角对等边得到CV=DN,进而通过证明 △PWD≌△CNF，,可得PM和CM的长度，求得△PDM和△CBM的相似比，得到PD和BC 的关系，最后通过设未知数利用勾股定理建立方程进行求解 解：如图所示，延长CM交AD于点P,延长AM交DF干点Q, EB FC ·,四边形ABCD是正方形 .∴.∠ADM=∠CDM=45°，AD=CD 在△ADM和△CDM中， AD=CD ∠ADM=∠CDM DM=DM .△ADM≌aCDM(SAS) ..∠DAM=∠DCM. ,四边形AEFD是平行四边形，AE=9, ∴，AE DF,DF=AE=9, 且∠EAM=90°， .∴.∠AQD=∠EAM=90° .∴，∠DAM+∠ADN=90°， 且∠CDN+∠ADN=90° .∴.∠CDN=∠DAM=∠DCM ..CN=DN 又，·△FCD是直角三角形 .'.CN=NF-DN=IDF=9 2 在△PWD和aCNF中， ∠PND=∠CNF NF=DN ∠DPN=∠FCN ..△PND≌aCNF(ASA). .NP=CN-9 2 PD=CF .MN=3, .PM-NP-MN-3.CM-CN+MN=15 2 又'.'△PDM∽△CBM, 3 PD PM 21 …BCCM55 2 设PD=CF=x,则BC=CD=5x, 在RtAFCD中，∠FCD=90°， .x2+(5x)}2=92 解得x=t9√26 26 (舍负)， 5x= 45V26 26 正方形边长为 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分】 a b c I 11. (2627九年级上：上海浦东新阶段检测)若。y:7,且2x+y-32≠0，那么 2a+b-3c 2x+y-3z 【答案】7 【分析】根据已知比例关系，用x,y,2表示a,b,C,代入所求分式约分即可得到结果 a b c I 解：xyz7 1 1 ∴.a=x,b=y,c=亏2 7 7 将其代入所求分式得： 11 1 2a+b-3c 2×-x+y-3×5z 77 7 2x+y-3z 2x+y-3z 之(2x+y32) 2x+y-3z 12.(24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测)如图，△ABC中，矩形EFGH的顶点F、G在 边BC上，E、H分别在边AB、AC上，2EH=BC=6,SMBC=9,则矩形EFGH的周长为 E H B 【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解 题的关键 过点A作AM⊥BC于M,根据面积求得AM=3,由△AEH∽△ABC和△BEF~△BAM分别求 出EF,EH,即可求求解周长. 解：过点A作AM⊥BC于M, E H B G 1 BCX AM=SME.S.AC=9.BC=6 ∴，AM=3 ,矩形EFGH, .'.EH∥BC,EH=FG,EF=HG,EF⊥BC .∴，△AEH∽△ABC .AE EH1 ·ABBC2 器 .EF⊥BC,AM⊥BC, .EF∥AM, .∴.△BEF~aBAM, EF BE 1 …AMBA2 ..EF=3 .:2EH=BC=6 .EH=3 矩形EG的周长为2(F+B)=2×3+引-9， 故答案为：9 13.(24-25九年级上·山东·阶段检测)菱形ABCD周长为40，对角线AC、BD交于点O, BD=l2,点E在CD上，DE:EC=2:3,BE交AC于点F,则FC的长为 B 【答案】6 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质.先根据菱形的性质得出 AC⊥BD,BO=DO=6,再用勾股定理求出AO=CO=8,再证△ABF∽△CEF,根据相似 三角形对应边长成比例，列式求解即可. 解：菱形ABCD周长为40， ∴.AB=BC=CD=AD=10 ~对角线AC、BD交于点O,BD=12, .AC⊥BDBO=DO=6 .A0=C0=V102-62=8, DE:EC=2:3.CD=10 ..DE=4 EC=6 .AB∥CD ∴.ABFACEF CE CF ABAF .3 CF 516-CF 解得：CF=6 故答案为：6. 14.(23-24九年级上·河北邢台·期中)公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测 金字塔的高度.如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为 62.8m.先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子 AB长为23m(直线AB过底面圆心)，则： D -- 木棒 影子 A影子B 图1 图2 (1)小山包的半径为m; (2)小山包的高为 m. （π取3.14) 【答案】 10 33 【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为AC的长 进行求解.根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到DC=AC,根据圆锥底面周长求 出圆锥底面圆的半径，最后推论出高 解：连接EF,过D作DC⊥AB于C, 由题意可知，△ACD∽aEGF EG AC ·FGDC 1 “,圆锥底面周长为62.8m ∴.C=2π·BC=62.8m,解得BC=10m .AB=23m, .∴.DC=AC=AB+BC=23+10=33(m) '.小山包的高为33m 故答案为：10,33」 D 木棒 影子 G A影子B 15.(24-25八年级上·陕西西安·期末)如图，在平面直角坐标系中，P为第一象限内的一 点，过点P分别作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,点C在线段PB上，且点C的横、纵坐 标相同，过点p作PDLOC干点D设长方形O1PB的周长为m·OD的长为n则% B 【答案】2V2 【分析】此题重点考查坐标与图形性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知 识，推导出OC=V2BC及PC=V2CD是解题的关键.由题意可知∠OBC=90°，OB=BC, 则∠PCD=∠BCO=∠BOC=45°，OC=√2BC,设OB=BC=r,则OC=V2r,由长方形 0M9的周长为m0D的长为n得2(08+P9到=m:CD=-2r则PC-m-2,再 证明pC=V2CD所以2m-2=v5(n-V2r).则%=22，于是得到问题的答案 解：：PB⊥y轴于点B,点C在线段PB上，且点C的横、纵坐标相同， ∴.∠OBC=90°OB=BC .∠PCD=∠BC0=∠BOC=45,OC=VOB2+BC2=V2BC, 设OB=BC=r,则OC=V2r, :长方形OAPB的周长为m,OD的长为n, :.2(OB+PB)=m,CD=n-2r. :OB+PB-2m c-m-2 :PD⊥OC于点D, .∠PDC=90° ∴.∠CPD=∠PCD=45° ∴PD=CD ..PC=PD2+CD2=2CD. m-2r=a-2】 m=2√2 n 故答案为：2√2 16.(23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图是一张矩形纸片ABCD,AB=2,AD=3, 在BC上任意取一点E,将△DEC沿DE折叠，若点C恰好落在对角线AC上的点C'处，BE= y D B E 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，设AC,DE 交于F由矩形的性质可得BC=AD=3,CD=AB=2,AD∥BC,∠BCD=∠B=90°，利用 勾股定理求出AC=V13,设CE=:,BE=3-x,则DE=Vx2+4,由折叠的性质可得 2x DF⊥AC' 里面面积法求出CF= +4,则F=3-2x 2+4证明△ADF∽△CEF· 得 3、 2x 3 Vx2+4 到 即二= AD AF 2x 解方程即可得到答案 Vx2+4 解：设AC,DE交于E D B E ·.四边形ABCD是矩形， ..BC=AD=3,CD=AB=2,AD∥BC,∠BCD=∠B=90°， ∴.AC=VAB2+BC2=V13, 设CE=x,BE=3-x, ..DE=CE2+CD2=x+4, 由折叠的性质可得DF⊥AC, ÷5amDB=DEr CF-CECD、2x DEx2+4' ∴AF=AC-CF=3-2x Vx2+4 ·,·ADII BC .△ADF∽△CEF, 13- 2x 3 AD、A即= Vx2+4 2x CECF Vx2+4 6+2x=3 J2+4 .(2x+6)}2-13(x2+4). 解得= 3 4 经检验，X=3是原方程的解 .BE=3-x= 3 5 3 故答案为： 。 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10 分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) a+2_b_c+5 17.(6分)(26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测)已知线段a'b,c满足3=46 ,且2a-b+3c=21. (1)求a,b,c的值； (2)若线段x是线段a,b的比例中项，求线段x的长. 【答案】(1)a=4,b=8,c=7:(2)线段x的长为4V2 【分析】(1)设连等式的比值为k,用含k的代数式表示a,b,c,代入2a-b+3c=21求解即 可： (2)根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可 0解：设2-合- 则a=3k-2,b=4k,c=6k-5 代入2a-b+3c=21得：2(3k-2)4k+3(6k-5)=21, 解得：k=2 .a=3×2-2=4,b=4×2=8,c=6×2-5=7 (2)解：线段x是线段a,b的比例中项， x6即x=ab a=4,b=8 .x2=4×8=32, ·线段的长度为正数， ∴x=V32=42 18.(8分)(25-26八年级下·山东淄博·期末)结合图形，解答下列各题： (I)已知：在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AD,BC和对角线AC相交于点 EF,O求证：四边形AFCE是菱形.（自己画图并完成证明） (2)如图，在△ABC中，D,EF分别是AB,AC,BC上的点，且DE∥BC, EF∥AB,AD:DB=2:3,BC=20Cm,求BF的长. 【答案】()证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∴.AE∥FC .∴.∠EAO=∠FCO .'EF垂直平分AC .A0=CO,∠AOE=∠COF=90° ..△AOE≌△COF(ASA) ∴.E0=FO ,四边形AFCE为平行四边形， 又.FE⊥AC ∴.平行四边形AFCE为菱形： (2)8cm 【分析】(I)画出图形，证明△AOE≌△COF,得EO=FO,从而得四边形AFCE为平行四边 形，再由FE⊥AC,即可得平行四边形AFCE为菱形； (2)先证明四边形BDEF是平行四边形，得BF=DE,再由平行线分线段成比例定理及相似 三角形的判定及性质即可求解 解：(1)证明：略； (2)解：.DE∥BC,EF‖AB ∴四边形BDEF是平行四边形， .'BF=DE ·.·AD:DB=2:3 .AD:AB=2:5 .'DE∥BC, .∴.△ADEAABC, .∴DE:BC=AD:AB=2:5, 即DE:20=2:5. .∴.DE=8cm, .BF=DE=8cm 19.(8分)(26-27九年级上·上海阶段检测)如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O ,E是BD上一点，EF∥AB,∠EAB=∠EBA.过点B作DA的垂线，交DA的延长线于点G (1)找出图中与△AGB相似的三角形，并证明； (2)BF的延长线交CD的延长线于点H,交AC于点M.求证：BM2=MFMH. H 【答案】(1)△AGBOAEOA,证明如下： 设∠EBA=a, .四边形ABCD是菱形 .'.∠ABC=2∠EBA=2C,AD∥IBC,AC⊥BD .∠BAG=∠ABC=2a,∠AOE=90°， ·.'∠EAB=∠EBA, .∴∠EAB=C .∴.∠AEO=∠EAB+∠EBA=2a .BG⊥DA .∠G=90° .·∠G=∠AOE,∠BAG=∠AEO, .∴.△AGBP△EOA (2)证明：四边形ABCD是菱形， .∴.ADIBC,ABIICD .∴.△AFMACBM 、MF_AM ·BMCM .ABl/CD .∴.△ABM∽aCHM BM AM ·MCM' MF BM :·BM MH' .∴，BM2=MF.MH. 【分析】(1)设∠EBA=a,由菱形的性质可得，∠ABC=∠BAG=2a,∠AOE=90°，由等 腰三角形的性质可得∠AEO=2a,进而证明△AGB∽aEOA; MF AM BM (2)由平行可判定AFM6CBM和。ABM6CHM:进而得到BMCM-M· 因此命题 得证 解：(1)略 (2)略 20.(10分)(26-27九年级上·四川成都·阶段检测)如图，AD是△ABC的角平分线，过点 D作DE∥AC,交AB于点E在AC上取-点F,连接DF,使得∠FDC=∠B (1)求证：四边形AEDF是菱形 (2)若FC=2,BE=24,AD=8,求AE的长度和四边形AEDF面积. E B 【答案】(1)证明：：∠FDC=∠B .AB∥DF :AC∥DE ∴四边形AEDF是平行四边形 :AD是△ABC的角平分线， .∠BAD=∠DAC 又：AC∥DE, .∠ADE=∠DAC ∴.∠ADE=∠BAD .EA=ED ·四边形AEDF是菱形： (2)AE=4V3,四边形AEDF面积为32√2 【分析】(1)根据平行线的判定定理得到AB∥DF,推出四边形AEDF是平行四边形，根据 角平分线的定义得到∠BAD=∠DAC,根据平行线的性质得∠ADE=∠DAC,求得 ∠ADE=∠BAD,得到EA=ED,根据菱形的判定定理得出结论即可； 2)根据菱形的性质得到OA=OD-4D=4,设菱形ABDF的边长为么则B=x+24 21 AC=x+2,根据相似三角形的性质得到AE=4W3,连接EF,交AD于点O根据勾股定理得 到OE=√AE2-OA2=4V2,求得EF=2OE=8√2，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即 可 解：(1)略 (2)解：连接EF,交AD于点Q如图： “四边形AEDF是菱形， :.OA=OD=4D=4. 2 设菱形AEDF的边长为K,则AB=x+24,AC=x+2, .AC∥DE .△BED△BAC BE DE AB AC 24 x+24x+2 24(x+2)=x(x+24) x2=48 解得x=4V3或x=-4V3(舍去)， 经检验，x=4V3是原方程的解， AE=45, 菱形AEDF的边长为4V3, 在菱形AEDF中，AD⊥EF,OE=OF, 0E=VAE-0F=43-4=4W2. .EF=20E=8√2， 5am-F.AD-x8、2x8=325 21.(10分)(2025·四川泸州·一模)如图，已知点C在圆上，PA为⊙0的-条割线， ∠PCB=∠A (1)求证：△PBC∽△PCA: (2)若PB=4,AB=6,求PC 【答案】(1)证明：∠PCB=∠A,∠P=∠P, aPBC∽aPCA: (2)2W10 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 键。 (1)由∠PCB=∠A,∠P=∠P即可直接得出结论： PC PB (2)由(1)得APBC∽△PCA于是可得pPC,即PC=PA,PB进而可得 PC=√PA·PB,由线段之间的和差关系可得PA=PB+AB=IO,然后根据PC=√PAPB即可 求出PC的长 解：(1)路 (2)解：由(1)得：△PBC∽△PCA, PC PB PA PC' .PC2 PA.PB ..PC=PA-PB. PB=4.AB=6 ∴.PA=PB+AB=4+6=10 .PC=VPA.PB=10×4=2W10 22.(12分)(2026九年级上·上海·专题练习)已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线 AC上，点F在边CD上（点F与C、D不重合），且BE⊥EF. yA D D E E B C B (O) C 图1 图2 (1)如图1，如果BE=EF,求证：CA平分∠BCD: (2)设AB=4,BC=2,△EFC为等腰三角形.如图2，以B点为坐标原点，以BC所在直线 为X轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系 ①求点E的坐标； ②如果二次函数的图象过点B、点E和点F,求这个二次函数的解析式， 【答案】(I)证明：过E作EG⊥CD交于G,作EH⊥BC交于H, D G 图1 .∠BHE=∠FGE=∠CHE=90° 四边形ABCD是矩形 .∠HCG=90° ∴四边形CGEH是矩形 ∴.∠GEH=90° ∴.∠FEG+∠FEH=90° .BE⊥EF .∴∠BEH+∠FEH=90° ∴.∠BEH=∠FEG 又.‘BE=EF :.△BEH≌△FEG(AAS). .EH=EG :EG⊥CD,EH⊥BC. .CA平分∠BCD: 2g) ②y= 25+3x 24 12 【分析】(I)过E作EG⊥CD交干G,作EH⊥BC交于H,由AAS可判定△BEH≌aFEG 得到EH=EG,由角平分线的判定定理即可得证： (2)①过E作EN⊥CD交于N,作EM⊥BC交于M,由待定系数法求得直线AC的解析式 BM BE EM 为y=-2x+4:设E(m,-2m+4),证明&BME∽AFNE,得到N-FE-EN,代人求得 FN-2m. 5 BE=2FE 由等腰三角形的性质得FE=CF=4-2m,由勾股定理得 BE2=BM2+EM2,即可求解： 68 ②由①得F(2,1) 5’5 利用待定系数法即可求解 解：(1)略 (2)解：①过E作EN⊥CD交于N,作EM⊥BC交于M, E.N 图2 AB=4 BC=2 .A(0,4).C(2,0) 设直线AC的解析式为y=c+b, 2k+b=0 b=4 [k=-2 解得b=4· ∴直线AC的解析式为y=-2x+4, 设E(m,-2m+4), ∴.BM=m.EM=-2m+4 同(1)可证，四边形EMCN是矩形 .EN CM=2-m CN=EM=-2m+4 .EN⊥CD,EM⊥BC, ∴.∠BME=∠FNE=90° 同(1)可证，∠BEM=∠FEN, ∴.ABME∽aFNE BM BE EM ·FN FE EN· m=BE=-2m+4 FN=FE2-m 2 1 :FN-2m.BE-2FE 1 BE2=4FE2 CF=CN-FN=-2m+4--m=4- 5 -m 2 :△EFC为等腰三角形， 5 .FE=CF=4-。m, 在Rt△BME中，BE2=BM2+EM2, ..BM2+EM2=4FE2, 整理得，5m2-16m+12=0, 解得：m=5,m,=2(舍去) 6 8 .-2m+4=-2×9+4= 5 g): ②由①得，C℉=4-5×6 25 1 F(2,0 68\ B(0,0) .设二次函数解析式为y=a2+bx+c, [36a+6b=8 a+ 25505 4a+2b=1, c=0 25 a=- 24 解得6=3引 12 c=0 25.2,31 y= 一二次函数解析式为 2412 23.(12分)(26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测)按要求完成以下问题 D B F 图1 图2 图3 (1)问题发现 如图1，在正方形ABCD中，若点E,FG,H分别在边AB,BC,CD,DA上，且 EG EG⊥FH' 则证的值为 (2)类比探究 如图2，在矩形ABCD中，若点E,FG,H分别在边AB,BC,CD,DA上，且EG⊥FH HF AB .求证：EGAD (3)拓展延伸 如图3，在ABCD中，∠BAD=120°，AB=9,AD=6,点EQH分别在边BC,CD,DA AQ 上，A0与FH交于点0且∠F00=120°，D0=2,直接写出Fm的值. 【答案】(1)1：(2)证明：过点H作H0⊥BC,垂足为点Q过点G作GP⊥AB,垂足为 点PH0与EG相交干点Q P G E B O F C :AB⊥BC,HQ⊥BC ∴HOII AB .∴∠HOG=∠PEG .EG⊥FH ∴.∠HOG+∠FHQ=90° HQ⊥BC ∴.∠HFQ+∠FHQ=90° :.∠HOG=∠HFQ ∴.∠HFQ=∠PEG 由HQ⊥BC,GP⊥AB可得：∠HQF=∠GPE=90°， ∴.△QHF∽△PGE HF HO EG PG 由∠A=∠B=∠BOH=90°可得四边形ABOH为矩形， :HO=AB 同理可得PG=AD HF HO AB EG PG AD (3)9 【分析】(I)过点H作HN⊥BC交于点N过点G作GM⊥BA交于点M,证明 △HFN≌aGEM(ASA)即可求解； (2)过点H作H0⊥BC交于点Q,过点G作GP⊥AB交于点R由(1)可得△QHF∽aPGE, 再结合相似三角形的性质可得结论： (3)过点H作AB的平行线交BC于点N,构造平行四边形ABNH,得到等角与等线段；在 AD上截取DM=D0,利用∠ADC=60°构造等边△DM0,得到120°角，创造相似三角形条 件，利用平行线、三角形外角定理，证出两组对应角相等，证明△FNH∽△OMA,把AM=4, AQ HN=AB=9:代入相似此直接得到 (1)解：过点H作HN⊥BC干点M过点G作GM⊥BA于点M设EG,NH交干点R, AH M山 BN F 图1 “四边形ABCD是正方形 ..BC=CD,∠B=∠C=∠D=90°=∠BMG=∠CNH, ∴四边形BCGM是矩形，四边形HNCD是矩形， .∴.MG=BC,HN=CD,BC与MG平行， ∴.HN⊥MG,MG=HN, .HF⊥EG .∠NHF+∠HRG=90°=∠MGE+∠HRG, .∴∠MGE=∠NHF, .,△HFN≌aGEM(ASA) .'.HF=EG EG HF 1: (2)路 (3)解：过点H作AB的平行线交BC于点N,交AQ于点L, 在AD上截取DM=DQ,连接MQ M BF NC :HN∥AB .∠ALH=∠BAg .∠BAQ+∠DAQ=∠BAD=120°∠FHN+∠ALH=∠FOQ=120° ∴.∠DAQ=∠FHN :四边形ABCD是平行四边形 .AH‖BN ·四边形ABNH是平行四边形 ∴.∠FNH=∠BAH=120 :AB‖CD,∠BAD=120° ∴.∠ADC=180°-∠BAD=60° 又：DM=DQ ∴△DMQ是等边三角形 ∴.∠DMQ=60° .∠AMQ=180°-∠DMQ=120° ∴.∠FNH=∠AMg ∴.FNHAOMA AO AM FH HN .DO=2 .DM=2 .∴.AM=6-DM=4 :四边形ABNH是平行四边形 .HN=AB=9 A94 FH9 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质的应用，正确地作出辅助线是解题的关键. 第4章 相似三角形【单元培优自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：浙江地区九年级单元培优测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）成都熊猫基地观光瞭望塔因外形如破土春笋，被市民称为“笋子塔”，塔高约米．如图，将塔身看作线段（为塔底，为塔顶）．若观光层所在位置点恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为（     ）米． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东·阶段检测）如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（     ） A． B． C． D．无法计算 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）如图，是的直径，交于M、N，H为的中点，于点C，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 10．（2026·重庆·模拟预测）如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（   ） A．8 B． C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）若，且，那么______． 12．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段检测）如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为____________． 13．（24-25九年级上·山东·阶段检测）菱形周长为40，对角线、交于点，，点在上，，交于点，则的长为______． 14．（23-24九年级上·河北邢台·期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为______； （2）小山包的高为______．（取） 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的一点，过点分别作轴于点，轴于点，点在线段上，且点的横、纵坐标相同，过点作于点．设长方形的周长为，的长为，则______． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是一张矩形纸片，在上任意取一点，将沿折叠，若点恰好落在对角线上的点处，______． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 18．（8分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）结合图形，解答下列各题： （1）已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边和对角线相交于点E，F，O．求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） （2）如图，在中，D，E，F分别是上的点，且，，求的长． 19．（8分）（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． （1）找出图中与相似的三角形，并证明； （2）的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 20．（10分）（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求的长度和四边形面积． 21．（10分）（2025·四川泸州·一模）如图，已知点在圆上，为的一条割线，． （1）求证：；（2）若，，求． 22．（12分）（2026九年级上·上海·专题练习）已知四边形是矩形，点E在对角线上，点F在边上（点F与C、D不重合），且． （1）如图1，如果，求证：平分； （2）设，，为等腰三角形．如图2，以B点为坐标原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． ①求点E的坐标； ②如果二次函数的图象过点B、点E和点F，求这个二次函数的解析式． 23．（12分）（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）按要求完成以下问题 （1）问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． （2）类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $