第4章 相似三角形 单元自测卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第4章《相似三角形》单元自测卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） ,2-n 1.若m5,则mn=（） 5 A.10 B.7 C.2 D.5 2.明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现 存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间.人物面部表情丰富，被游戏《黑 神话·悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称.古人在设计造像时，使造像 的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度3，则腰 部以下约为() A.1.854m B.1.584m C.1.416m D.1.236m 3.下列条件中，不能判定△4BC△4B,G的是() AB AC BC A.∠A=∠A,∠B=∠B B.AB AC BC C.484G,1=∠4 AB AC AB AC D.AB AC ,∠B=∠B 4.如图，在测量小玻璃管内径的量具上，AC被分为50等份.如果玻璃管的内径DE正对量 具的30等分处DE),量得4B长为5m,则DE的长为《）mm. B 因 30 40 50 山山山山山 D A 5 3 A.3 B.5 C.3 D.30 5.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》·图 1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望 井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H.图2中，四分仪为正方形ABCD,方井为矩 形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为2，BH为1，实地测得BE为5，则井深BG为 、HC G 图1 图2 A.8 B.9 C.10 D.11 6。如图，在平百直角坐标系中，么01B与△0CD是以0为位似中心的位似图形，若4(32)， B(-20D(40),则点C的坐标是(） A.(4-6) B.(6,-4) C.(6-5) D.（64) 7.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠DAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC 相似的是() D A AB BC AB BC A.CA平分∠BCDB.∠BCA=∠D C.AC CD D.AC AD 8.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90,DE垂直平分AC,交AC于点O,交AB于点E 若BE=3,CD=5,则AC的长为() D A.5 B.8 C.4v5 D.4V5 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B: AD AE ②DE∥BC;③AC=AB;④ADBC=DE.AC;⑤∠ADE=∠C,能使得以A:D,E为顶点的 三角形与△ABC相似的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC,CD1AB,垂足为点D. 以点B为圆心，以BC的长为半径作弧，交AB于点E;以点A为圆心，以AE的长为半径作弧， 交AC于点F.设BC=a,AC=b,CD=h,AD=m,BD=n,有下列结论：①m+n≥2h;② AF 5+1 d2+m≤3h;③若b=2a,则CF=2;④(m+n-a,0)是二次函数y=x+2a-b2的图象与x 43 轴的一个交点：⑤若F为AC的中点，则)4.以上结论正确的有（) EO D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.已知△ABC△AB'C,顶点A、B、C分别与A水B八C'对应，ADAD分别是△ABC和 AD 3 △ABC的角平分线，AD=2,AB=9,则AB= 12.如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE,AE=4,EB=1,则BC的长为 D E B AD AM DM 13.如图，四边形ABCD为矩形，AB=AN=BN，则∠MAN的度数为 D 14.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如 图，正方形ABCD的边长为2.以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形AB'CD', 若AB':AB=2:1,则四边形ABCD'的外接圆半径为 Y D A B OB 2 15.如图，△ABC与ADEF位似，其位似中心为点0，且BE-3,若A4BC的周长为5，则 △DEF 的周长为 16.如图，在矩形ABCD中，AB=10Cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2Cm/s的 速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度移动，如果P、同时出发，当以点 QA P 、 P为顶点的三角形与△1BC 相似时，所需时间为 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分， 共72分.) 17.已知线段a,b的长满足2a=3b, 2a-b (1)求b的值； (2)当线段m是a,b的比例中项，且a=6时，求m的值. 18.如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，口ABCD的顶，点均为格点 (网格线的交点). D (1)将ABCD向上平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到口4B,CD,画出 DABCD (2)以点A为位似中心，画出口AB,CD,与口ABCD位似，相似比为2. 19.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且AE·AB=AD·AC,连接DE,BD E D (1)求证：△ADE∽△ABC. (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长 20.如图所示，已知AB∥EF∥CD,AC、BD相交于点E,BF=2cm,CF=4cm. B (1)若BE=3，求ED. (2)若AB=3,求CD. 21.开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家 重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场 测量开封铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和 ,两标杆间阴2m,并且开封铁誉MB、标杆BF和G1在同一竖直平面内，从标杆F后退 GH 2m到D处，从D处观察A点，A、人D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点， GH 3m A、H、C三点也成一线. 独立思考： (1)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但 未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： (2)请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度， E D 22.已知AB=BD,AE=EF,∠ABD=∠AEF. M E (1)找出与∠DBF相等的角并证明； (2)求证：∠BFD=∠AFB: AE (3)AF=kDF,∠EDF+∠MDF=180°，求MF. 23.如图，在△ABC中，P是边AB上一点，四边形P'QMN'是正方形，点g,M'在边BC上， 点N'在△ABC内.连结BN',并延长交AC于点N,NM⊥BC于点M,NP⊥MN交AB于点P, PQ⊥BC 于点Q. B OO MM B C 备用图 (1)求证：四边形POMN为正方形： (2)若∠A=90°，AC=1.5m,△ABC的面积=1.5m2.求PN的长. 24.矩形MBCD中 ,BC=1B(k≥1），0为对角线4C的中点，M为边4B上一点，连楼OM 过点O作OM的垂线，交BC于点N,连接MN. D A D D M M B 图1 图2 图3 (1)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为 ；用等式 表示线段AM,MN,NC的数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与OW的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系，并证明； (③)如图3，当k=3,AB=6时，连接OB,过点N作NH⊥OB,垂足为点H,E为AD上一点， 连接EC,将线段EC绕点E逆时针旋转9O°得到线段EF,连接MF,DF,当NO平分∠CNH时， 求MF+DF的最小值. 参考答案 一、选择题 1.A 0品 ∴.mn=10 故选：A. 2.A 解：根据题意，得造像的腰部以下的高度为 .618×3≈1.854(m) 故选：A. 3.D 解：：两角分别相等的两个三角形相似，选项A中∠A=∠A,∠B=∠B,△ABC~AABC,A选 项能判定 AB AC BC :三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中AB AC BC,△MBC~△4BG,B选项能 判定 AB AC :两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中ABAG,且∠A是AB与AC的 夹角，∠A是AB与AC的夹角，∠A=∠A,△ABC ~AABC,C选项能判定. AB AC :选项D中ABAG,但LB不是AB与AC的夹角，∠B不是AB与AC的夹角，不满足相似 三角形的判定定理，不能判定△ABC~△ABC,D选项符合题意. 故选D. 4.C 解：DE∥AB, ∴.△ABCr△DEC, CD DE ∴.CAAB, 30 DE …505’ ∴.DE=3mm, 故选：C 5.A 解：由题知，AB∥EF, ∴.△ABH∽△FEH AB BH ‘EFEH, “从四分仪中读得1B为2，明为1，实地测得BE为5， ∴.EH=BE-BH=5-1=4 21 EF 4, 解得EF=8, ”四边形BEP 为矩形， ..BG=EF=8 故选：A. 6.B 解：：aOAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形， B(-2,0),D(4,0） .△OAB∽△OCD且相似比为l:2, -3,2) 点A的坐标为 :点C的坐标是3x(-22x(2刃，即64) 故选：B. 7.C (解：在△BAC和△ADC中，∠B=∠DAC, A CA ∠BCD ∠BCA=∠ACD △ABC∽△DAC 平分 ,则 ,则 故该选项不符合题意； B∠BCA=∠D,则AABC∽aCAD 故该选项不符合题意； AB BC C.ACCD不是∠B和∠DAC对应的比例，不能判断AADC和ABAC相似，故该选项符合题意； AB BC AB AC D·ACAD即BC-AD,则△ADCABCA,故该选项不符合题意； 8.D 解：如图，连接CE, D :DC∥AB ∴.△DOC∽△EOA DC_cO ∴.AEAO, .DE 垂直平分C ∴CO=AOCE=AE DC CO =1 AE AO, .AE=DC=CE=5 :.BC=VCE2-BE2=V52-32=4 ..AC=BC2+4B2=4+82=45 9.D 解：∠AED=∠B,∠A=∠A, .∴.△ADE∽△ACB ，故①符合题意； DE∥BC ∴.△ADE∽△ABC 故②符合题意； AD AE ③.AC=AB,且夹角∠A=∠4， ∴.△ADEAACB ，故③符合题意； ④AD.BC=DE·AC, AD DE .AC BC, “不确定∠4DE=∠C 不能确定△ADEACB, 故④不符合题意； ⑤：∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴.△ADEP△ACB ,故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有4个， 故选：D. 10.C 解：AB为半圆O的直径， ∴.∠ACB=90°， 在Rt△MBC中，由勾股定理得AB=AC2+BC2,即(m+m=+d .CD⊥AB, .∠ADC=∠BDC=90°， .∠CAD=∠BAC,∠ACB=∠ADC=90°， ∴.△ADC∽△ACB, AC AD .AB AC, :AC=ABAD,即b b2=m(m+n) ,∠CBD=∠ABC,∠ACB=∠CDB=90°， ∴.△CBD∽△ABC, BC BD ··ABBC, :BC=BDB,即=n(m+m, ,∠ACD+∠BCD=∠CAD+∠ACD=90°， ∴.∠BCD=∠CAD, .∠ADC=∠BDC=90°， ∴.△ACD∽△CBD, AD CD ··CDBD, ∴CD2=ADBD,即=mn, ..h=mn ①：对于正数m,n,有m-同=m-2mn+n≥0，则m+n≥2、m, ∴.m+n之2h,故①正确； ②.c2=n-(m+m）=m a+m2=n(m+n)+m2=m2+mn+n 3h2=3mn :.d+m-3访=m+mn+-3mm=m2-2mm+r2=(m-m}≥0 .a2+m2≥3h2,故②错误； ③.b=2a, .b=4a2, .=m(m+）a2=n-(m+n) m(m+n)=4n(m+m） m+n≠0， ∴.m=4n, ∴.AB=m+n=5n, 由作图过程可得BE=BC=a,AF=AE, AE=AB-BE=(m+n)-a=5n-a ∴.AF=AE=5n-a, CF=AC-AF=b-(5n-a)=2a-5n+a=3a-5n :BC=B08,即心=nm+月 .a=n:5n=5n2, ..a=5n, :4F=5n-5m=5-5)n,CF=35m-5n=(5-5n 4F(5-5)n_5-5_5-5)35+5）_155+25-15-55_105+10-5+1 .cF(35-5n35-5(35-5)3W5+5) 45-25 20 =2,故③正确： ④当x=m+n-a时， y=(m+n-a)+2a(m+n-a)-b2 =(m+n-2a(m+n+a2+2a(m+n)-2a2-b2 =(m+n2-d2-b2 AB=m+n,AB2=AC2+BC2, :(m+n=a2+B y=ad+b2-a2-b2=0, :(m+m-m0)是二次函数y=+2ax- 的图象与轴的一个交点，故④正确； ⑤.F为AC的中点， .AF=AC=1b 1 -2 2, 由作图可得E==B-BE=(m+m)-a 、b三m+ma,g即m+n=a+ 2 .AB=m+n, 1 .AB=a+b .AB2=AC2+BC2, .a+号b=a+2 3 整理得b 4 .b≠0， a_3 .b4,故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共4个. 二、填空题 11.6 解：，△ABC∽aAB'C',ADA'D'分别是△ABC和△AB'C的角平分线， AD AB ·AD'AB, 93 AB'2, .AB=6 故答案为：6. 12.5 解，四边形ABCD和四边形BCFE都是矩形， ∴.AD=BC,EF=BC, ∴.AD=EF=BC, AE=4,EB=1, ∴.AB=AE+BE=5, 矩形ABCD∽矩形BCFE, AB AD 5 BC ·BC=BE,即BC=1, .BC=5(负值舍去)， 经检验，BC=5是原方程的解， 故答案为：V5. 13.90° AD AM DM 解：：ABAN BN’ ∴.△DAMBAN, ∴.∠DAM=∠BAN, ,四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°， ∴.∠DAM+∠MAB=90°， ∴.∠BAN+∠MAB=90°，即∠MAN=90°. 故答案为：90° 14.22 解：如图，连接AC, D B 正方形BC 与四边形1B'CD 是位似图形， 四边形ABCD 正方形， ∴.∠ABC=90°， .A'C A'B'CD' 是四边形 的外接圆直径， “正方形 BCD 2AB':AB=2:1 的边长为 .AB=4 .C=V42+42=42, 四边形4BCD 2W2 的外接圆半径为 故答案为：22 15.12.5 0B-2 解：：AABC与ADEF位似，且BE3, OB 2 ·△ABC△DEF,OE5, 2 ·△ABC与ADEF的相似比为：5， 2 ∴△ABC与ADEF的周长比为： .△ABC的周长为5， ∴.△DEF的周长为12.5； 故答案为：12.5. 1830 16.13或1i3 解；根据题意，AP=2L,QA=6-1, 在矩形ABCD中，∠DAB=90°，则∠QAP=∠ABC=90° OA AP 6-t2t ①当BBC时，△0MPn△MBC,有：106，解得I, 18 即当1=13时，△OAP∽△MBC: QA AP 6-1_21 2当BCB,AP40AABC,有：610：解得1= 即当1=时，△P4O4BC号 18 30 所以，当=3或(=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与。ABC相似. 1830。 故答案为：13或1心， 三、解答题 17.(1)解：2a=3b, 2a-b_3b-b=2」 ··bb (2)解：线段m是a,b的比例中项， .'.m2=ab. 2a=3b,a=6, 6=26-4 3 .m2=4×6=24, .m>0, .m=2√6 18.(1)如图，aAB,CD即为所求. (2) 如图，aAB,CD即为所求. B B2 19.(1)证明：AE·AB=AD·AC, AE AD ·ACAB, 又.∠A=∠A, .△ADE∽△ABC; (2)解：点E为AB中点，AB=20, &6-号B=0 .AD:AE=6:5, ∴.AD=12, AE AD 根据解析(1)可知：ACAB, 1012 .AC20, 解得：AC=50 3, ..CD=AC-AD=50_ 2=14 3 3. 20.(1)解：EF∥CD, ∴△BEF∽aBDC, BE BF 32 .DECF,即DE4, ∴.DE=6cm; (2)解：：BF=2cm,CF=4cm, ∴.BC=6cm .ABI EF CD ∴.ACEF∽ACAB△BEF∽ABDC EFCF EF BF AB BC'CD BC, EF 4 36, ∴.EF=2 2_2 “CD6, .CD =6cm 21. (1)未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量；（答案不唯一） (2)设塔的高度为x米， 由题意知∠ABD=LFED=90°，LADB=∠FDE .·ADFE∽ADAB FE AB DE BD 2 x 即2BD' .BD=x, :∠ABC=∠HGC=90°，∠C=∠C ∴.ACHG∽ACAB HG AB CG BC, 2 x 即3BC, EG-BC-BE-CG-BC-BD+ED-CG-3x-x+2-3-27 2 1 即2x=28」 ∴.x=56, ∴.开封铁塔的高度为56米. 22.(1)与∠DBF相等的角是∠BAE. 证明：：∠ABD=∠AEF,∠AEF=∠ABF+∠BAE,∠ABD=∠ABF+∠DBF, .∠DBF=∠BAE (2)证明：如图，在BF上截取BP,使AE=BP,连接DP, M E 由(1)得∠DBF=∠BAE,即∠DBP=∠BAE, 在△ABE和△BDP中， AB=BD ∠BAE=∠DBP AE=BP ∴.AABE≌ABDP(SAS) ∴.BE=DP,∠AEB=∠BPD .BP=AE ∴.BP=EF ∴.BP-EP=EF-EP 即E=PF ..PF=PD .∠PFD=∠PDF, .∴.∠BPD=∠BFD+∠PDF=2∠BFD, AE=EF .∴.∠EAF=∠AFE ∴.∠AEB=∠EAF+∠AFB=2∠AFB, :∠AEB=∠BPD ∴.∠BFD=∠AFB (3)解：由(2)可知：∠EAF=∠EFA=∠PFD=∠PDF, ∴.△AEFAFPD, AF=kDF .AFEF =k DF PF 设PF=PD=a,则AE=EF=ka, :∠EDF+∠MDF=180° ∠MDF=∠MDP+∠PDF ∠EDF=18O°-∠FED-∠PFD 则180°=∠MDP+∠PDF+180°-∠FED-∠PFD, 又∠PDF=∠PFD, ∴.∠MDP=∠FED .∠EPD=∠DPM .∴.△PMD∽△PDE PD PM PE=PD,即PD=PMPE, .a2=PM-(k-1)a, .PM=a k-1, AE ka -=k-1 ..MF a a+- k-1 23.(1)证明：WM⊥BC,NP⊥MW,P9⊥BC, .四边形POMN为矩形， ..PN II BC. :四边形P'MN'是正方形， .P'N'IBC,MN⊥BC, .PN∥PN' PN'BN' PNBN· MN⊥BC,MN'⊥BC, ∴.MNIIMN' MN'BN' MN BN P'N'MN PN MN, 在正方形POMN'中，PW'=MN, .PN=MN .四边形POMN为正方形； (2)解：作AD⊥BC于点D,AD交PN于点E, ò B O SBc=1.5m2∠BAC=90° :4B.4C=1.5 AC=1.5m, ..AB=2m BC=V22+1.52=2.5(m) BC.AD=1.5 2 D-215-g@, 2.5 设PW=m, 圆P0=E=m,46-号侧， .·PN∥BC .△APN∽AABC 6 -x 5 =_Y AE_PW,即62.5， AD BC 30 解得= 37, 30 即PwW的长为37m. 24.(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,连接OB, D E O M FN C k=1, BC=AB,即此时矩形ABCD是正方形， 又.O为对角线AC的中点， ..OB=AO=OC,OB⊥AC, 又，OE⊥AB,OF⊥BC, ∴E为AB中点，F为BC中点， 1 ∴.OE=OF, .OE⊥AB,OF⊥BC,矩形ABCD是正方形， ∴.OE⊥OF, .OM LON, ∴.∠EOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°， (当AM<AE时，∠EOM+∠EON=90°，∠FON+∠EON=90°) ∴.∠EOM=∠FON, 在△EOM与△FON中 ∠MEO=∠NFO EO=FO ∠EOM=∠FON ,△EOM≌△FON(ASA) ∴.OM=ON; .OB⊥AC,OM⊥ON, ∴.∠MOB+∠BOW=90°，∠NOC+∠BON=90°， .∴.∠MOB=∠NOC, 在△MOB与△NOC中 MO=NO ∠MOB-∠NOC BO=CO △MOB≌△NOC(SAS) .MB=NC, .AB=BC, ∴.AB-BM=BC-NC,即MA=NB, .在Rt△MBN中，MB2+NB2=MN2, ∴.AM2+NC2=MW2 (2)①OM=kON, 证明如下： 如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O卫1AB,垂足为点O, A D M B PN O9⊥ABBC⊥AB ..00lBC A0 1 又：点0为4AC中点，即AC2, :49-40-1 AB=AC=2,即Q为AB的中点，OQ为a4BC的中位线， 00=BC 2 1 同理可得：OP= 00 BC OP AB k ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=90° 又：OO⊥AB,OP⊥BC, ∴.四边形BP0为矩形，即∠QOP=90°， :∠MOQ+∠MOP=90°∠NOP+∠MOP=90° （当AM<24B时，∠M0g+∠00N=9r,∠0P+∠00N=90） 2 .∠MO9=∠NOP 又'∠02M=∠0PW=90° ∴.△OOM∽△OPN 3 .OM_O9=k,即OM=kON· ON OP ②AM2+NC2=MW2, 证明如下： 如图，延长NO,交AD于点N',连接MW', N ”四边形1BCD 矩形， .AD‖BC .∠OCN=∠OAN' 又∠CON=∠AON',OA=OC, :△OCN≌△OAW'(ASA) ∴.ON=ON'CN=AN' OM⊥NW' MO ，即 垂直平分MW ∴.MW=MW' 在Rt△MAN'中，由勾股定理得AM2+AW2=MN2, ∴.AM2+NC2=MN2 (3)解：如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作O0⊥AB,垂足为点， F D P D Fo M G 由题意得，BC=号4B=8,OP=B0=A0=3,00=BP=4,OB=3+年=5： '平分∠CNH,OP⊥BCOH⊥HN .NO ∴.OH=OP=3BH=5-3=2 又.ON=ON, :Rt△ON≌Rt△OPN(HL) 六设M=P=xN=4-x 在RaBN中，由勾殷定理得2+=4-，解得x= 2 由(2)得：AOOMAOPN, MO OM 4 ··NPON3, MO=4NP=2 3 .AM =A0-MO=1 当点E与点D重合时，点F落在点B的位置， 此时DC=DF=6,∠CDE。=90 CE=2」 :∠DFC=∠DCE=45°，CD 连接FC,FE。, .EF=EC,∠FEC=90°， ∠BCF=45,CE=5,∠DCR,=∠BCF, CF :.∠DCF。-∠DCF=∠ECF-∠DCF (当AE<2时，∠DCE。+∠DCF=∠ECF+∠DCF) 即∠ECD=∠FCF, C5_CF=2, CD CE ·.△EDC∽△FF,C .∠FFC=∠EDC=90° “点F在过点并且垂直于CR的射线 F FF⊥CF ”上运动，即 .∠FF,D=LFFC-∠DF,C=45o 当点E与点A重合时，点F落在点的位置， FoF 小点F的轨迹是线段 作D关于F的对称点D,连接MD,过点M作MG1DE,交DE的延长线于点G, .MF+DF=MF+DF≥MD',∠DFD'=2∠DFF=90°=∠GFA,D'E。=DE=6 ∴.当M,F,D'三点共线时，MF+DF取最小值， ·∠G=∠GFA=∠MAF。=90° ·四边形 AMGF 是矩形， ..MG=AF=14 AM=FG=1 D'G=D'F。+FG=6+1=7 , .MD'=MG2+D'G2=15 “MF+DF的最小值为 5