专题02 相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

专题02 相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三类综合题型 题型一 平行模型 题型二 一线三等角模型 题型三 手拉手模型 题型一：平行模型 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 【答案】证明：， ， ． 【分析】根据“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”，证明即可． 【详解】略 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴． 【分析】分析题意，由“”，利用“同位角相等，两直线平行”可得到； 然后结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证明结论． 【详解】证明：略 4．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，，相交于点P，则的值为 ； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2，在线段AB上找一点P，使AP＝4； ②如图3，在线段BC上找一点P，使． 【答案】(1) (2) ①如图， ②如图， 【分析】本题考查了网格中的作图题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过作图构造相似三角形是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）①格点C，D满足：，，，连接，交于点P，根据相似三角形的判定与性质求解即可； ②格点D，E满足：，，，连接，交于点P，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：格点C，D满足：，，，连接，交于点P， 则，理由如下： ， ， ， ， ； ②格点D，E满足：，，，连接，交于点P，则，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 5， ． 6．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段上时，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2） ，理由如下： ， ， ； （3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型二：一线三等角模型 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 9．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       【答案】问题1：5；问题2：点P的坐标为或或或或或．；问题3：证明过程见解析 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ①过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 12．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 题型三：手拉手模型 13．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 14．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 15．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 16．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2) 证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）略 17．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过证明，得到对应角相等，再结合对顶角与三角形内角和，推导出； （2）连接，根据正方形对角线与边长的关系，得到与的比例关系，同时推出，从而证明(相似比为)，进而得出与的比值为； （3）连接，交于点，作过的，证明，在中，当越小越大，又， 即越小时，越大，接着证明当时，最小，此时圆与射线相切于点，达到最大，延长交于点，连接，证明，利用三角形相似求得答案． 【详解】（1）解：设交于点， ∵正方形与正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接、， ∵正方形与正方形， ∴，，， ∴，且， ∴，相似比为​， ∴； （3）解：存在，，理由如下： 连接，交于点， ∵正方形的边长， ∴，，， ∴， ∵， ∴所在的直线垂直平分， 作的垂直平分线直线，作直线的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴都在上，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当达到最大值时，最大， ∵在中，， ∴随的减小而越大， 又∵， ∴即当取最小值时，最大， 过点作于，如图所示： ∵， ∴当与重合时，即时，最小， 此时圆与射线相切于点，最小，此时达到最大， 如图所示，，延长交于点，连接： ∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故存在点，． 18．（2026·山东德州·一模）在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． (1)如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ， ___， ∴ (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)；；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 (2) (3)①证明：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，旋转角相等即，则，根据两边对应成比例且夹角相等，可证； （2）由推得，在中由勾股定理得，即，结合相似比与勾股定理，即可求解； （3）①由旋转性质得，，结合推得，满足全等条件，可证；②设，则、，由等腰三角形三线合一得，证得，再根据证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， 又， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， 在直角中，， ， 解得，； （3）①略 ②解：如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ， ， 在直角中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形，且， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以直角三角形的旋转为核心载体，融合旋转性质、相似与全等三角形判定、勾股定理等知识，通过角度与线段的转化推导结论，体现了转化化归与逻辑推理的核心数学思想． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三 类综合题型 题型归纳 题型一平行模型 题型二一线三等角模型 题型三手拉手模型 题型专练 题型一：平行模型 1.D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质.熟练掌握中位线定理是解题的关键. 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2MW=24m,NW∥AB，再根据相似 三角形的判定解答， 【详解】解：：AC,BC的中点M,N,MN的长为12m, 、.AB=2MW=24m,MW∥AB,CM:CM=1:2,故A,B,C选项正确，不符合题意： :.△CMN∽△CAB,故D选项错误，符合题意： 故选：D 2.证明：AB⊥BD,CD⊥BD AB∥CD, ∴.△ABOACDO 【分析】根据“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形 相似”，证明即可. 【详解】略 3.∠ADE=∠B, .'DEllBC. .△ADEAABC 1/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分析题意，由“∠ADE=∠B”,利用“同位角相等，两直线平行”可得到DEBC;然后结合 “平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可 证明结论， 【详解】证明：略 4.(1) 证明：：DE‖AC,EF‖AB」 ∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, ∴△BDE∽AEFC; (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线 所截线段成比例是解题的关键： (1)由题意易得∠C=∠DEB,∠B=∠CEF,然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； BE AF 1 (②)由题意易得EC-FC2,则有BE=3BC,然后问题可求解 3 【详解】(1)略 AF 1 (2)解：：FC=2:EF‖AB, BE AF 1 ·ECFC2' .BE=BC, 3 BC=6, 1 .BE=5×6=2 5.(1)4 (2) ①如图， 2/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图， 【分析】本题考查了网格中的作图题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通 过作图构造相似三角形是解题的关键。 (1)根据相似三角形的判定与性质求解即可： (2)①格点C,D满足：AC=2,BD=3,AC∥BD,连接CD,交AB于点P,根据相似三角形的判定 与性质求解即可： ②格点D,E满足：CD=1,BE=3,CD//BE,连接DE,交BC于点P,根据相似三角形的判定与性质 求解即可. 【详解】(1)解：由图可知，AB=4,CD=1, :AB∥CD, .ADCP△ABP PC CD 1 PB AB 4' 1 故答案为：4： (2)解：格点C,D满足：AC=2,BD=3,AC∥BD,连接CD,交AB于点P, 则AP=4,理由如下： :AC∥BD, .△APCn△BPD, .AP_AC 2 ·BPBD3' AB=V62+82=10, .AP=10× 2=4: 2+ ②格点D,清足：CD=B服=3”CD/BE:连接DE文BC于点R,则SoA,理由如下： .CD BE ∴CDPABEP, 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CP CD 1 BP BE 3' CP 1 BC=4, :AB=AC=V10,BC=V22+42=25 :.4B2+4c2=(0)+(10)=20=BC2, .∠BAC=90°， 1 8=2xWi02=5, 5 6.(1)60,60: (2)AB=CD+CE,理由如下： △ABD≌△CBE, ∴.AD=CE, ..AB=AC=AD+CD=CE+CD: 164 (3)3或3 【分析】()由旋转的性质可得BD=BE,∠DBE=60°，可得ABDE是等边三角形，可求∠BDE=60°，由 SAS可证△ABD≌△CBE,可得∠BCE=∠A=60°： (2)由全等三角形的性质可得AD=CE,即可求解： (③)分点D在线段AD上和点D在线段AD的延长线上两种情况讨论，通过证明△CDH∽△CAB,可得 CD CH DH 1 DH HF 1 AC-CB-AB4,通过证明ADFHAEFC:可得CECF-3,即可求解. 【详解】解：()：△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=60° ·将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE, ∴.BD=BE,∠DBE=60°. ABDE是等边三角形， .∠BDE=60°， ∠ABC=∠DBE=60°， 4/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABD=∠CBE. 又：AB=BC,BD=BE, :AABD≌△CBE(SAS), .∠BCE=∠A=60°， 故答案为：60,60： (2)略 (③)如图，当点D在线段AC上时，过点D作DH∥AB,交CB于H, D H .CE=3CD AD=CE .AD=CE=3CD ...AC=CB=AB=4CD, DHI‖AB ..△CDH∽△CAB .CD CH DH 1 AC CB AB 4' ∴设CD=CH=DH=x, .AD=CE=3x,AC=CB=AB=4x, ∠ABC=∠BCE=60°， ∴.AB II CE :DHI‖AB, :..DHCE, ADFH∽△EFC, DH HF 1 CE CF3, ..CF =3HF, 3 CF=4, 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=4x= CF 3 -x 3； 如图，当点D在线段AC的延长线上时，过点D作DH∥AB,交CB于H, B E H-- -- D BC 4 同理可求： CF3 BC .164 综上所述： F的值为3或3· 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形 的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键。 题型二：一线三等角模型 7.D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,然后根据三角形的外角得到∠CDE=∠BAD,即可得到 △ABD∽aDCE,根据相似三角形的性质即可得答案。 【详解】解：，BC=9,BD=4, .'CD=BC-BD=5, ,AB=AC=10, .∠B=∠C, :∠ADE=∠C,∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD, ∴.∠CDE=∠BAD ∴.△ABDADCE, BD AB 4 10 ·CE=CD,即CE5, 解得：CE=2. 6/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.6 【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，根据邻补角的定义得到∠PCE=90°，根据 余角的性质得到∠ABE=∠DEP,根据相似三角形的判定定理即可得到结论， 【详解】四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°， .∠PCF=90° BE⊥EF, .∠BEF=90°， .∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEP=9O°， .∠ABE=∠DEP ADl/BC, .∠DEP=∠F, .∠ABE=∠DEP=∠F, ∴△ABE△DEP, △ABE∽△EFB, △ABEACFP, △DEPEFB, ADEPACFP, △EFBACFP, .共有6对相似三角形. 故答案为：6 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理 是解题的关键， 9.(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键. (1)先说明∠ADE=∠CEB,再结合∠DAB=∠CBA=90°，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证 明结论： AD AE (2)由相似三角形的性质可得EBBC,再结合AE=EB即可证明结论. 【详解】(1)证明：~EC⊥DE, 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DEC=90°， ∠DAB=∠CBA=90°， ∴.∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠CEB=90°， .∠ADE=∠CEB .△AED∽△BCE (2)解：由(1)得△AED∽△BCE, AD AE EB BC' .AE=EB, AE2=AD·BC 10.(1)AB=DE o 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵 活运用相关判定和性质定理成为解题的关键 (I)先证明△ABC≌aEBD(AAS),然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证： (2)先证明△DEF∽△CAF,再根据相似三角形的性质列比例式求得EF长度，然后运用三角形的面积 公式求出△BDF的面积即可. 【详解】(1)解：，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, .BC=BD,∠CBD=90°， .∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC, .∠A=∠E=90°， .△ABC≌aEBD(AAS). .'AB=DE. 故答案为：AB=DE. (2)解：，△ABC≌△EBD, .DE=AB,BE=AC」 AB=1,AC=3, .DE=1,BE=3. ∴.AE=AB+BE=4, :∠DEB+∠A=180°， 8/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE∥AC, .△DEF∽△CAF, DE EF 1 EF ACAF,即EF+4, 解得：EF=2, .'BF BE+EF=5, ·S.r=)BFXDE= 2 11.问题1：5：问题2：点P的坐标为(6,9)或(6,3)或(-9,3)或(3，-3)或(4.5,4.5)或1.5,1.5).：间题 3:证明过程见解析 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判 定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 问题1：利用等量代换得∠ABE=∠CAF,证明△ABE≌aCAF(MAS),可得AE=CF=2,BE=AF=7, 再根据EF=AF-AE求解即可； 问题2：由题意可得A0=3,B0=6,分类讨论：当∠ABP=90°时，当∠BAP=90°时，当∠BPA=90°时， 根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，再利用等量代换可得∠DEB=∠FDC,证得 △EBD2aDCF(AAS),可得ED=DF,再根据等边三角形的判定定理即可得证. 【详解】解：问题1：由题意得，∠BAC=∠BEA=∠AFC=90°， :∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠CAF, 在△ABE和△CAF中， ∠BEA=∠AFC ∠ABE=∠CAF, AB=AC .△ABE≌△CAF(AAS), .AE=CF=2,BE=AF=7, EF=AF-AE=7-2=5: 问题2：如图，：A(-3,0),B(0,6), .AO=3,BO=6. 当∠ABP=90°时， 9/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①过点B作PC1y轴于点C, ,△ABP是等腰直角三角形， .PB=AB :∠BPC+∠PBC=90°，∠PBC+∠AB0=90°， .∠BPC=∠ABO .·∠PCB=∠BOA=90° .△BPC≌aABO(AAS), ∴.BC=AO=3,PC=BO=6 ∴.CO=BC+B0=9, .B(-6,9) ②过点B作BD1y轴于点D, ,△ABP是等腰直角三角形， .PB=AB :∠AB0+∠PBD=90°，∠AB0+∠BAO=90°， .∠PBD=∠BAO 又：∠BDB=∠BOA=90, .△BDB≌△BOA(AAS), .BD=AO=3,PD=BO=6. .0D=3. B(6,3), 当∠BAP=90°时， ③过点乃作E1x轴于点E, 同理可证，△AEP≌△BOA(AAS). AE=B0=6,E=AO=3, ∴.EO=OA+AE=9, .B(-9,3) ④过点P作PF1x轴于点F, 10/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可证，△AFP≌△BOA(AAS), .AF=BO=6,PF=A0=3. .OF=3, P(3,-3), Pi---------uC B P Dh_ A 当∠APB=90°时， ⑤当PA=PB,∠APB=90°时，如图， 过点B作PC⊥x轴，PD1y轴于点D, .∠PCA=∠PDB=∠APB=∠AOB=PDO=90°， ∴.∠BPD+∠PBD=90°，∠CPD=90° .∠ACC+∠APD=90°： ∴.∠APC=∠BPD ∠PCA=∠PDB=90,EA=PB, .△ACR≌aBDP, .PC=PD,AC=BD 设B-m,m),则 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC=OD=m,OB=6,AO=3 .AC=m-3,BD=6-m, ∴.m-3=6-m,解得m=4.5 .P(-4.5,4.5), ⑥当点B与B关于直线AB对称时，△ABP为等腰直角三角形，且点M为AB、PP的中点，设R(:,), .M -3+00+6 (2,2: 即M(-1.5,3) 45+x-1545+y=3 ∴. 2 解得x=1.5y=1.5, ∴P(1.5,1.5) 综上所述，点P的坐标为(6,9)或(6,3)或(-9,3)或(3，-3)或(4.5,4.5)或1.5,1.5). 问题3：，△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°， .∠EDF=∠B=60°， .∠EDB+∠FDC=180°-∠EDF=120°， 又：∠EDB+∠DEB=180°-∠B=120°， ∴.LDEB=∠FDC, 在△EBD和△DCF中， ∠DEB=∠FDC ∠B=∠C BD=CF .△EBD≌aDCF(AAS), .ED=DF, 又：∠EDF=60°， ∴.△DEF是等边三角形 6 12.(1)DE=5AG:(2)BG=83-6:(3)i 【分析】(I)先利用含30°角的直角三角形的性质得到EF=V5GE,再通过证明△AGE~△DEF得到 12123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG GE 1 DEEF万，即可得出结论： AE GE (2)过点F作FH⊥AD于H'通过证明。AEGHFE得到FHEF,求出FH的长，通过证明四边形 ABFH是矩形得到AB=FH,即可求出BG的长： EG AE (3)利用平行四边形和等腰三角形的性质推出AEGPAMFE,CD=FM=AB,得到EF-FM,利用比 EG 例的性质即可求出EF的值. 【详解】解：(1)DE=V3AG,理由如下： 四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90° .∠GEA+∠AGE=90°」 ∠GEF=90°，∠GFE=30°， ∴.∠GEA+∠DEF=90°，GF=2GE, .∠AGE=∠DEF,EF=VGF2-GE2=V3GE, ∴.AAGEADEF, AGGE GE 1 DE EF3GE√5， .DE=3AG. (2)如图，过点F作FH⊥AD于H, E HD:FH⊥AD, .∠EHF=90° ∴.∠FEH+∠EFH=90°， .∠FEG=90°， .∠FEH+∠AEG=90°， .∠AEG=∠EFH, :∠A=∠EHF=90°， ∴.△AEG∽△HFE, 13123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE GE FH EF' 由(1)知，EF=3GE, GEGE 1 ‘EF3GE√5， 81 FH3 FH=85, :∠A=∠B=∠AHF=90°， ∴.四边形ABFH是矩形， :.AB=FH=83, ..BG=AB-AG=83-6, EG 6 (3)EFi,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， ∴.BCIIAD,AB=CD,∠C=∠A, ∴∠CFP=∠M,∠PDM=∠C=∠A, 又'∠CFM=∠C, .∠A=∠M=∠PDM=∠C=∠CFP, ..PC=PF,PD=PM, :∠FEG=∠BAD,∠FEG+∠AGE+∠FEM=180°， ∠BAD+∠AEG+∠AGE=180°， .∠AEG+∠AGE=∠AGE+∠FEM, ∴.∠AGE=∠FEM. ∠A=∠M, .△AEG∽△MFE, EG AE EF FM .PD=PM,PC=PF. ∴.PC+PD=PF+PM,即CD=FM=AB, EG AEAE 6 EF=FMAB11· 14123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】添加适当的辅助线构造“K”型相似是解题的关键。 题型三：手拉手模型 13.C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可. 【详解】解：∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, AB AC A、添加ADAE,根据两边对应成比例及夹角相等，则△ABC△ADB: B、添加∠B=∠D,根据两角对应相等，则△ABCAADE: AB BC C、添加ADDE,虽然两边对应成比例，但∠BAC和∠DAE不是它们的夹角，则。ABC和AADE不一定 相似： D、添加∠ACB=∠E,根据两角对应相等，则△ABC∽aADE 14.①②或①③ 【分析】由∠I=L2可得∠DAE=∠BAC.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得 △ABC∽△ADE 【详解】解：，∠1=∠2， ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠BAC AD AE 当∠B=∠D或AB=AC时，△ABC∽AADE·E 即①②或①③符合题意. 15.(1)i证明：∠BAC=∠FAD, .∠BAC-∠FAE=∠FAD-∠FAE,即∠BAF=∠CAD, AB AC AFAD' AB AF ·AC=AD, ∴，△ABF∽△ACD: (2)50 【分析】(1)根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可： (2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可. 【详解】(1)略 15123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：△ABF△ACD, :.SACD ,△ACD的面积为8， 25 25 S.4BF ×8=50 16.(1)02,60°；②2V5 (2) 证明：：△ABC经过B(k,a)得到△EBD, ∴.△ABC∽△EBD BE BD ∴∠ABC=∠EBD'ABBC :AABC经过C(k,P)得到△FDC, .△ABC∽AFDC 、ABBC :FD DC AB DF ·BCDC9 .∠ABC=∠EBD ∴.∠ABC+∠DBA=∠EBD+∠DBA即∠EBA=∠DBC, BE BD ABBC' .△EBA∽△DBC AB AE BC DC' AE DF ·DCDC: .AE=DF. 【分析】(4)①直接根据定义作答即可：②根据旋转相似变换A(V2,90),得到∠B1D=90°，再通过勾 股定理解答即可； BE BD (2)根据AABC经过B(k,a)得到AEBD:得到△4BC△EBD'得到∠ABC=∠EBD:ABBC:根据 16123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC AB DF △ABC经过C(k,-P)得到△FDC,得到ABCAFDC,得到FD=DC从而得到BC=DC;由 BE BD ∠ABC=∠EBD得∠ABC+∠DBA=∠EBD+∠DBA即∠EBA=∠DBC结合AB-BC得到EBAPADBC得到 AB AE AE DF BC=DC,继而得到DC=DC得到AB=DF· 【详解】(1)解：①根据新定义的意义，得答案为A(2,60): ②根据旋转相似变换A(V2,90),得到∠BAD=90°，AD=2AB, :△ABC是边长为2cm的等边三角形， .AB=2,AD=24B=22, :BD=AB2+AD2=23(cm). (2)略 17.(1)90 (2)V2 (3)存在，DP=2V5 【分析】(1)利用正方形的性质得到边相等、角相等，通过SAS证明△DAE≌△BAG,得到对应角相等， 再结合对顶角与三角形内角和，推导出∠EMG=90°： (2)连接ACAF,根据正方形对角线与边长的关系，得到ACAF与ABAG的比例关系，同时推出 ∠CAF=∠BAG,从而证明△CAF∽△BAG(相似比为V2),进而得出CF与BG的比值为V2; (3)连接EG,AF交于点H,作过A,P,F的⊙0，证明∠APF=∠AOH,在Rt△AOH中，当AO越小 ∠AOH越大，又OA=OP,即OP越小时，∠AOH越大，接着证明当OP⊥DB时，OP最小，此时圆O 与射线DB相切于点P,∠APF达到最大，延长PO交OO于点Q,连接AQ,证明△DAP∽aDPF,利用三 角形相似求得答案. 【详解】(1)解：设AE、BG交于点W, B ,正方形ABCD与正方形AEFG, 17/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°， .∠BAD+∠BAE=∠EAG+∠BAE, .∠DAE=∠BAG, .△DAE≌aBAG(SAS). .∠AED=∠AGB, ,∠AGB+∠ANG=180°-90°=90°，∠BNE=∠ANG. ∴.∠AED+∠BWE=90°」 .∠EMG=180°-（∠AED+∠BNE)=180°-90°=90°： (2)解：连接AC、AF, B G ,正方形ABCD与正方形AEFG, AC=V2AB,AF=V2AG,∠BAC=∠FAG=45°， AC-AE=N反 ·∠CAF=∠BAG且ABAG △CAFABAG,相似比为√2， CF =2； :.BG (3)解：存在，DP=2V3,理由如下： 连接EG,AF交于点H, ·正方形AEFG的边长AG=2√2， .AE=EF=2N2,∠AEF=90°，EG⊥AF,AH=HF, .AF=VAE+EF=22+22=4, ·EG⊥AF,AH=HF ∴.EG所在的直线垂直平分AF, 作AF的垂直平分线直线EG,作直线AP的垂直平分线交EG于点O,连接OA,OF,OP, 18123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OA=OF=OP, .A,F,P都在⊙0上，如图所示： D B G ..OH=OH,OA=OF,AH=FH, .△OAH≌aOFH, .∠AOH=∠FOH. .∠AOH+∠FOH=∠AOF, :∠A0H=∠4OF 2 r-0r, .∠APF=∠AOH, ∴当∠AOH达到最大值时，∠APF最大， :在R△AOH中，∠AH0=90,H=2AF=2, .∠AOH随AO的减小而越大， 又：OA=OP, ∴即当OP取最小值时，∠AOH最大， 过点O作OU⊥DB于U,如图所示： D B A H G 19123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OU≤OP, .当P与U重合时，即OP⊥DB时，OP最小， 此时圆O与射线DB相切于点P,OP最小，此时∠APF达到最大， 如图所示，∠OPD=90°，延长PO交⊙0于点Q,连接AQ: D .P2是⊙0的直径， .∠PAQ=90° 又∠OPD=90°， .∠DPA+LAP9=∠AP9+∠POA=90°， .∠DPA=∠PQA」 .·∠POA=∠PFA ∠DPA=∠PFA, ,∠PDA=∠PDF, :.△DAPADPF, DA DP DPDF' .DA=2,AF=4 .DF=DF+AF=2+4=6, ,2=DP :DP6' DP=23: 故存在点P,DP=2V3 CD 18.(I)∠4CD=∠BCE;CE; 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 (2)AC=V5 (3)①证明：由旋转的性质可知，CA=CD,CB=CE,∠ACB=∠DCE=90°， 20123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAD=∠CDA, EF∥AB, ∴.∠CFE+∠CAD=180°， ·.'∠CDB+∠CDA=180°， .∠CDB=∠CFE」 ·.'∠BCF=∠BCE+∠ECF=90°，∠DCE=∠BCE+∠BCD=90°， .∠BCD=∠ECF, 在△EFC和△BDC中， [∠ECF=∠BCD ∠CFE=∠CDB CE=CB ∴△EFC2aBDC(AAS). DK 7 ②FK25 CA CD 【分析】(I)由旋转的性质可得CM=CD'CB=CE,旋转角相等即∠ACD=∠BCE,则CB-CE,根 据两边对应成比例且夹角相等，可证△ACD∽aBCE: (2)由△ACD∽ABCE推得∠DBE=90°，在RtADBE中由勾股定理得ED=V4+32=5,即AB=5,结合 相似比与勾股定理，即可求解： (3)①由旋转性质得CE=CB,∠ECF=∠BCD,结合EFI‖AB推得∠CFE=∠CDB,满足AAS全等条件， 7 可证△ErC≌△BDC:②设AC=3x,则BC=4rAB=5x'由等腰三角形三线合一得BD=5x,证 △ABC≌△FHC得FH=5x,再根据EF‖AB证明△BDK∽AHFK,进而即可求解. 【详解】(1)证明：由旋转的性质可知，CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, ..C4_CD CB CE' .△ACDr△BCE: (2)解：由(1)可知，△ACD∽△BCE, CA AD .∠CBE=∠A'CBEB· 又：'∠A+∠ABC=90° :∠ABC+∠CBE=90°， 21123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBE=90°， 在直角ADBE中，ED=VEB2+DB2=V42+3=5, :AB=ED=5, ∴AD=AB-BD=5-3=2, AC_AD_2_1 BC EB 4 2' :BC=2AC, 在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2, AC2+(2AC}=52, 解得，AC=V5: (3)①略 ②解：如图，作CG⊥AB,垂足为G,延长EF、BC交于点H,设AC=3x, BC 4 H AC 3 BC=44C=4x, 3 在直角AABC中，AB=VAC2+BC2=5x, CG⊥AB .∠AGC=90°=∠ACB」 .'∠BAC=∠CAG .△ACG∽△ABC, :4G4C AC AB' AG=4C2_9x9 B5x3, CD=CA. ∴.ACDA是等腰三角形，且CG⊥AB 22123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 46=DG=9 ÷BD=AB-AG-DG= 5x, ,△EFC2△BDC, BD=E=CF=CD=CA EF∥AB, ∴.∠H=∠ABC,∠AFH=∠BAC, 在△ABC和△FHC中， ∠H=∠ABC ∠AFH=∠BAC」 CF=CA ∴△ABC≌△FHC(AAS). :FH=AB=5x, :EF∥AB, ∴.△BDK∽△HFK, 7 x7 DK_BD5* FK FH 5x 25 【点睛】本题以直角三角形的旋转为核心载体，融合旋转性质、相似与全等三角形判定、勾股定理等知识， 通过角度与线段的转化推导结论，体现了转化化归与逻辑推理的核心数学思想. 23123 专题02 相似三角形中平行模型、一线三等角模型、手拉手模型的三类综合题型 题型一 平行模型 题型二 一线三等角模型 题型三 手拉手模型 题型一：平行模型 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，，相交于点P，则的值为 ； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2，在线段AB上找一点P，使AP＝4； ②如图3，在线段BC上找一点P，使． 6．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段上时，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 题型二：一线三等角模型 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 9．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 11．（25-26八年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       12．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 题型三：手拉手模型 13．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 15．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 16．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 17．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 18．（2026·山东德州·一模）在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D在边上，连接． (1)如图1，求证：； 将下列探究过程补充完整： 解：由旋转的性质可知，，， ， ___， ∴ (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，过点E作的平行线交的延长线于点F，连接交于K． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $