期中复习专题2——综合运算与应用- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （苏科版七年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：有理数混合运算中的运算律巧算（分配律、凑整、裂项） 2 题型2：数轴上的点与距离综合（含绝对值分类讨论） 3 题型3：绝对值非负性求值（|a-1|+(b+2)=0型） 4 题型4：整式先化简再求值（含整体代入） 5 题型5：整体加减无关型问题（综合） 5 题型6：解一元一次方程（综合） 6 题型7：含参数一元一次方程（已知解求参数或参数系数方程） 7 题型8：一元一次方程错解辨析与纠正 7 题型9：一元一次方程行程问题 9 题型10：一元一次方程分段计费与方案选择问题 10 题型11：图形与数字找规律（火柴棒、点阵，用代数式表示） 12 题型12：简单新定义运算 14 题型13：整式与方程结合综合 14 题型14：数轴动点问题 15 一、专题定位 本专题面向江苏地区苏科版七年级上册期中第二轮中档复习，在夯实基础之上，聚焦第2章有理数、第3章代数式、第4章一元一次方程四章的核心综合能力。整合有理数混合运算的运算律巧算、数轴与绝对值结合的综合求值、整式的化简与整体代入求值、含参数一元一次方程、一元一次方程实际应用（行程、分段计费等）等中档难点，对应江苏各地期中试卷中档解答题与填空压轴。重点训练运算技巧的选择与运用、分类讨论意识、方程建模能力，解决运算跳步、漏分类、方程列错、整体思想缺失等高频失分问题。适配课堂中档讲练、限时专题训练与阶段性检测组卷，是提升期中解答题中档得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 有理数混合运算的运算律巧算（加法结合律、乘法分配律、凑整、裂项）；数轴上的点与距离综合；绝对值非负性求值；含绝对值的式子的化简与求值 代数式 整式的加减与先化简再求值；整体代入求值；含参数的整式问题 一元一次方程 解含参数的一元一次方程；利用方程的解求参数；一元一次方程实际应用（行程、分段计费、方案选择等）；错解辨析与纠正 跨章节中档综合 数轴与绝对值、整式与方程结合的综合；运算律与巧算综合；列方程解较复杂实际问题 三、必考、常考题型 题型1：有理数混合运算中的运算律巧算（分配律、凑整、裂项） 1.（25-26七年级上·山东济南·期末）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：； （1）根据上述规律写出第个等式； （2）第个等式：________ （用含的式子表示）； （3）计算：． 2.（河南省商丘市永城市2026-2027学年七年级上学期数学第一次学情自测卷）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 3.（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 4.（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）计算下列各题，能简便运算的要简便运算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型2：数轴上的点与距离综合（含绝对值分类讨论） 1.（25-26七年级上·全国·周测）一个动点M从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动，到达点A后立即返回，向左运动到达点B．若动点M的运动速度为每秒2.5个单位长度，求此时点B表示的数的相反数． 2.（24-25七年级上·河北张家口·期末）某动点从数轴上的点P出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点Q，且点P，Q所表示的数的绝对值相同，则点Q表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 3.（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）如图，数轴的单位长度为，点，表示的数互为相反数，若数轴上有一点到点的距离为个单位，则点表示的数是_________． 4.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，数轴上的点，，对应的数分别表示，，，点是数轴上一动点．数轴上一个刻度表示一个单位长度． （1）求，的值； （2）若点到点的距离是到点距离的三倍，求点对应的数； （3）点先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，移动后点与点之间的距离和点与点之间的距离相等，则移动前点表示的数是多少？ 题型3：绝对值非负性求值（|a-1|+(b+2)=0型） 1.（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）若与是互为相反数，求： （1）的值； （2）的值． 2.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 3.（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）已知，则______． 4.（24-25七年级上·四川达州·期中）已知． （1）求，的值； （2）求的值． 题型4：整式先化简再求值（含整体代入） 1.（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 2.（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（     ）． A．或 B． C．或 D． 3.（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 4.（25-26七年级上·江西南昌·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）若，，求的值． 题型5：整体加减无关型问题（综合） 1.（2026七年级上·全国·专题练习）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． （1）若，，化简； （2）若的值与的取值无关，求代数式的值． 2.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 3.（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 4.（26-27七年级上·全国·周测）已知多项式． （1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； （2）在（1）的条件下，求多项式的值． 题型6：解一元一次方程（综合） 1.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 2.（25-26七年级上·全国·期末）把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（25-26六年级下·山东泰安·期中）我们知道 ，因此关于x的方程 的解是_______． 4.（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型7：含参数一元一次方程（已知解求参数或参数系数方程） 1.（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 2.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 4.（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 题型8：一元一次方程错解辨析与纠正 1.（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：________，得 ，…………第一步 去括号，得，…………第二步 移项、合并同类项，得，…………第三步 方程的两边都除以，得．…………第四步 （1）珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填________________； （2）珍珍的解答过程在第________步开始出现错误，出现错误的原因是违背了________（填字母）； A．等式的基本性质 B．去括号法则 （3）若方程的解与方程的解相同，求a的值． 2.（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 4.（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程． 解：……第①步 ………………第②步 ……………………第③步 ……………………第④步   ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 小华同学： 解方程． 解：…………第①步 ………………第②步   ……………………第③步 ………………………第④步 ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 （1）选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； （2）该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______． （3）请写出正确的解答过程． 题型9：一元一次方程行程问题 1.（2026七年级上·全国·专题练习）老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时，后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时．乙出发多长时间后能追上甲？ 为了更好地理解题意，老师设出未知数，并画出了如图所示的线段图． 请你按照老师的思路写出完整的解答过程． 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米？ 2.（2026·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·陕西咸阳·模拟预测）极端天气下，输电线路覆冰是电网安全的“心腹大患”，飞行除冰机器人的应用，使电网运维从“人海战术”转向“科技制胜”．已知一台除冰机器人清理一段覆冰线路，前一半路程以的速度清理，后一半路程为了加快进度，速度提高到，全程共用了，则这段线路的总长是___________m． 4.（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． （1）经过多长时间，甲乙老人相遇？ （2）一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 题型10：一元一次方程分段计费与方案选择问题 1.（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 （1）根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． （2）根据上表数据，求A型节能灯的单价． （3）若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 2.（24-25九年级下·全国·二轮复习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 4.（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． （1）表中 ； ． （2）李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 题型11：图形与数字找规律（火柴棒、点阵，用代数式表示） 1.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式，回答问题： ，，…． 按上述规律填空： （1）______×______，______×______． （2）______×______． （3）计算：． 2.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）按如图所示的规律拼图案，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条…按照这一规律，则拼第个图案需要（     ）根小木条． A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面一列数是按照某种规律排列的，，，，…，则第8个数为______． 4.（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 题型12：简单新定义运算 1.（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：． （1）计算的值； （2）若a，b在数轴上的位置如图所示，，，求的值． 2.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 3.（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则的值为__________． 4.（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 （1）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； （2）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 题型13：整式与方程结合综合 1.（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）若一个等式“”，其右边一部分被墨水污染． （1）若“”表示一个不能再化简的多项式，求“”； （2）若“”表示3，求这个方程的解． 2.（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）如果单项式与可以合并，则关于的方程的解为（　　）． A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·河北邢台·期末）某小型工厂生产酸枣面和黄小米，两种产品每天合计生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 成本（元/袋） 售价（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 （1）每天黄小米的生产成本是______元（用含x的整式表示并化简）； （2）若每天销售这两种产品所获得的总利润是5000元，则______． 4.（25-26七年级上·重庆·阶段检测） （1）关于x的方程与的解相同，求m的值． （2）已知方程，求整式的值． 题型14：数轴动点问题 1.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，已知数轴上点、分别表示有理数、，且与互为相反数，为原点． （1）________，________； （2）若点、分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点表示的数是________；点表示的数是________； ②求为何值时，； ③求为何值时，点与相距个单位长度． 2.（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 3.（25-26六年级下·上海·期末）已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 4.（26-27七年级上·四川广安·阶段检测）如图，在数轴上有两个长方形和，2个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是m，且E、D两点之间的距离为n个单位长度．若，回答下列问题． （1）填空：点E在数轴上表示的数是________；点D在数轴上表示的数是________． （2）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． （3）若线段上一点M，线段长度是线段的一半，线段上一点N，线段长度是线段长度的，点M以每秒3个单位的速度向右匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （苏科版七年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：有理数混合运算中的运算律巧算（分配律、凑整、裂项） 2 题型2：数轴上的点与距离综合（含绝对值分类讨论） 8 题型3：绝对值非负性求值（|a-1|+(b+2)=0型） 11 题型4：整式先化简再求值（含整体代入） 13 题型5：整体加减无关型问题（综合） 17 题型6：解一元一次方程（综合） 19 题型7：含参数一元一次方程（已知解求参数或参数系数方程） 26 题型8：一元一次方程错解辨析与纠正 30 题型9：一元一次方程行程问题 34 题型10：一元一次方程分段计费与方案选择问题 38 题型11：图形与数字找规律（火柴棒、点阵，用代数式表示） 42 题型12：简单新定义运算 47 题型13：整式与方程结合综合 50 题型14：数轴动点问题 53 一、专题定位 本专题面向江苏地区苏科版七年级上册期中第二轮中档复习，在夯实基础之上，聚焦第2章有理数、第3章代数式、第4章一元一次方程四章的核心综合能力。整合有理数混合运算的运算律巧算、数轴与绝对值结合的综合求值、整式的化简与整体代入求值、含参数一元一次方程、一元一次方程实际应用（行程、分段计费等）等中档难点，对应江苏各地期中试卷中档解答题与填空压轴。重点训练运算技巧的选择与运用、分类讨论意识、方程建模能力，解决运算跳步、漏分类、方程列错、整体思想缺失等高频失分问题。适配课堂中档讲练、限时专题训练与阶段性检测组卷，是提升期中解答题中档得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 有理数混合运算的运算律巧算（加法结合律、乘法分配律、凑整、裂项）；数轴上的点与距离综合；绝对值非负性求值；含绝对值的式子的化简与求值 代数式 整式的加减与先化简再求值；整体代入求值；含参数的整式问题 一元一次方程 解含参数的一元一次方程；利用方程的解求参数；一元一次方程实际应用（行程、分段计费、方案选择等）；错解辨析与纠正 跨章节中档综合 数轴与绝对值、整式与方程结合的综合；运算律与巧算综合；列方程解较复杂实际问题 三、必考、常考题型 题型1：有理数混合运算中的运算律巧算（分配律、凑整、裂项） 1.（25-26七年级上·山东济南·期末）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：； （1）根据上述规律写出第个等式； （2）第个等式：________ （用含的式子表示）； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）（为正整数）；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，正确地得出规律是解题的关键． （1）观察前几个等式的特点，写出第个等式即可； （2）根据给定的等式，得到规律即可； （3）利用规律进行计算即可． （1）解：观察可知：第个等式为：； （2）解：第个等式为：（为正整数）． 故答案为：（为正整数）； （3）解：原式 ． 2.（河南省商丘市永城市2026-2027学年七年级上学期数学第一次学情自测卷）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】甲去括号的符号变化错误，乙应用运算律时的符号处理错误． 解： ， 甲错误将变形为，计算错误； ， 乙在计算时，错误遗漏的负号，计算错误． 3.（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． （1）解： ． （2）解： ． 4.（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）计算下列各题，能简便运算的要简便运算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，在运算过程中可以运用运算律进行简便计算． 去掉绝对值符号，再根据有理数的加法法则进行计算； 根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再运用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合起来进行计算； 把拆成，再利用乘法结合律进行简便计算； 利用乘法分配律，把与括号里面的各数分别相乘再相加； 把拆成，再利用乘法分配律进行简便计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 题型2：数轴上的点与距离综合（含绝对值分类讨论） 1.（25-26七年级上·全国·周测）一个动点M从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动，到达点A后立即返回，向左运动到达点B．若动点M的运动速度为每秒2.5个单位长度，求此时点B表示的数的相反数． 【答案】点B表示的数的相反数为6或14 【分析】本题考查了求数轴上数的表示、数轴上点的坐标变化和平移规律，根据点在数轴上移动的规律“左加右减”，列出算式，进行计算即可求出答案． 解：由题意得，动点M先向右运动（个）单位长度， 再向左运动（个）单位长度， 所以动点M实际向左运动（个）单位长度． 因为动点M运动前距离原点4个单位长度， 所以分两种情况讨论： ①当动点M运动前表示的数为4时，点B表示的数为，所以点B表示的数的相反数为6； ②当动点M运动前表示的数为时，点B表示的数为，所以点B表示的数的相反数为14． 综上所述，点B表示的数的相反数为6或14． 2.（24-25七年级上·河北张家口·期末）某动点从数轴上的点P出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点Q，且点P，Q所表示的数的绝对值相同，则点Q表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考査了数轴上的点表示有理数、相反数、绝对值、一元一次方程的应用等知识，理解相反数的定义是解题关键．根据题意，点在点左侧，且点P，Q所表示的数的绝对值相同，即点P，Q所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数，设点所表示的数为，则点所表示的数为，列出关于的方程并求解，即可获得答案． 解：根据题意，点在点左侧，且点P，Q所表示的数的绝对值相同， 所以点P，Q所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数， 设点所表示的数为，则点所表示的数为， 则，解得， 即点表示的数为． 故选：D． 3.（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）如图，数轴的单位长度为，点，表示的数互为相反数，若数轴上有一点到点的距离为个单位，则点表示的数是_________． 【答案】 或 【分析】根据点，之间的距离为，点，表示的数互为相反数，可知点表示的数为，根据点到点的距离为个单位，分两种情况求出点表示的数． 解：由图可知点，之间的距离为， 又点，表示的数互为相反数， 点表示的数为，点表示的数为， 点到点的距离为个单位， 当点在点的右侧时，点表示的数为， 当点在点的左侧时，点表示的数为， 点表示的数为或． 4.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，数轴上的点，，对应的数分别表示，，，点是数轴上一动点．数轴上一个刻度表示一个单位长度． （1）求，的值； （2）若点到点的距离是到点距离的三倍，求点对应的数； （3）点先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，移动后点与点之间的距离和点与点之间的距离相等，则移动前点表示的数是多少？ 【答案】（1），；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上的两点距离，有理数的加减法，乘法，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据题目给出的数轴进行求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）根据数轴上两点移动方式，求出两点间的距离求解即可． （1）解：由题图可得，． （2）点，之间的距离为， ①当点在点，之间时，点到点的距离 此时点对应的数为； ②当点在点左侧时，点到点的距离， 此时点对应的数为； （3）点先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，相当于向右移动2个单位长度，点与点之间的距离为3． 因为移动后点与点之间的距离和点与点之间的距离相等分两种情况， ①移动后点在点左侧，表示的数为， 所以移动前点表示的数为； ②移动后点在点右侧，表示的数为， 所以移动前点表示的数为． 综上所述，移动前点表示的数是或． 题型3：绝对值非负性求值（|a-1|+(b+2)=0型） 1.（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）若与是互为相反数，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相反数的性质，非负数的性质，代数式求值，掌握互为相反数的两个数的和为0，平方和绝对值的非负性是解题关键． （1）根据相反数的性质结合平方和绝对值的非负性可求出x和y的值，再代入中求值即可； （2）将x和y的值代入中求值即可． （1）解：∵与是互为相反数， ∴． ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：当，时，． 2.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性可直接进行求解． 解：∵， ∴， ∴当时，有最小值9． 3.（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）已知，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出的值． 解：∵，，， ∴， ∴． 4.（24-25七年级上·四川达州·期中）已知． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值； （1）根据绝对值和平方的非负性即可得出，即可求解； （2）把代入得出，进而裂项计算即可求解． （1）解：∵． ∴ 解得： （2）解：当时 原式 题型4：整式先化简再求值（含整体代入） 1.（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 【答案】化简结果：;  值： 【分析】先去括号、合并同类项把式子化为最简形式，再代入数值计算．注意先化简再代入可避免复杂计算；代入负数或分数时要加括号，按运算顺序计算． 解：先合并同类项：． 去括号并合并： 代入、： 当，时： 2.（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（     ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】将看成一个整体，整个式子就相当于一个一元二次方程，未知数是，只要求解这个一元二次方程，即可求出的值． 解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴，， ∴或， ∵， ， ∴， ∴要舍去， ∴的值为3． 3.（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【答案】4013 【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值．先去括号和合并同类项将式子化简，再整体代入即可. 解： ∵， ∴ ∴原式. 故答案为： 4.（25-26七年级上·江西南昌·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）如果，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值以及整体思想： （1）先整理，再把代入，即可作答； （2）先整理，再把，代入，即可作答. 解：（1）原式 （2）. 题型5：整体加减无关型问题（综合） 1.（2026七年级上·全国·专题练习）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． （1）若，，化简； （2）若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先合并同类项化简，再将、代入即可解答； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出、的值，然后代入代数式求值即可． （1）解：∵，是关于，的多项式， ∴， ∵，， ∴． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，，解得，， ∴． 2.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 解：∵多项式不含项和项， ∴，． 解得，． 3.（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先利用整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，求出a，b的值代入计算即可． 解： ∵关于的代数式的值与的取值无关 ∴， ∴， ∴． 4.（26-27七年级上·全国·周测）已知多项式． （1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； （2）在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先根据整式加减运算法则进行计算，将原整式化简为，根据多项式的值与字母x的取值无关，求出，； （2）先去括号，合并同类项，将原整式化简为，然后代入数据计算即可． （1）解： ， 因为多项式的值与字母的取值无关， 所以，， 所以，． （2）解： ． 把，代入， 原式． 题型6：解一元一次方程（综合） 1.（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10） 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （10）先化简方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可． （1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （4）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （5）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （6）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （7）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （8）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （9）解：， 去分母，得 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （10）解：， 原方程可化为． 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 2.（25-26七年级上·全国·期末）把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出方程所有分母的最小公倍数，给方程每一项都乘最小公倍数去掉分母，再对比选项得到正确结果． 解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 3.（25-26六年级下·山东泰安·期中）我们知道 ，因此关于x的方程 的解是_______． 【答案】 【分析】把方程化为，再进一步求解即可. 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 4.（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）先把分母化成整数，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （4）先化简方程，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． （1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 题型7：含参数一元一次方程（已知解求参数或参数系数方程） 1.（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，代入后得，求解后可得答案． 解：解方程， 得：， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴， 即， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 即的值为． 2.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 3.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）关于x的方程的解是方程的解的3倍，则a的值为______． 【答案】3 【分析】先求出方程的解，再根据题意得到方程的解，代入求解的值． 解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因为方程的解是方程的解的倍， 所以方程的解为， 将代入方程， 得， 即， 解得． 4.（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知关于的方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先解两个方程得出，，再根据两方程的解互为相反数得出，解方程求出的值即可． 解：， 去分母得，， 移项得，， ， 去分母得， 去括号得，， 合并同类项得， ∵两个方程的解互为相反数 ∴， 解得，， ∴的值为． 题型8：一元一次方程错解辨析与纠正 1.（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：________，得 ，…………第一步 去括号，得，…………第二步 移项、合并同类项，得，…………第三步 方程的两边都除以，得．…………第四步 （1）珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填________________； （2）珍珍的解答过程在第________步开始出现错误，出现错误的原因是违背了________（填字母）； A．等式的基本性质 B．去括号法则 （3）若方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】（1）去分母；（2）一，A；（3）a的值为 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母遵循等式的基本性质是解题的关键． 三问均利用去分母遵循等式的基本性质，来判断哪一步重新错误以及解方程，最终将方程的解代入的解中，即可求解出a的值． （1）解：解含分母的方程时，第一步应为去分母， 故答案为：去分母． （2）解：珍珍的解答过程在第一步去分母时，常数项未乘以最简公分母10，导致错误， ∴在第一步开始出现错误，错误原因是违背了等式的基本性质， 故答案为：一，A； （3）解： ∵，解得：， ∴， ∴， ∴a的值为． 2.（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按照小明的解法可得：，从而可得的值，再把代入原方程，再解方程即可；掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键． 解：按照小明的解法可得去分母后为： ， 将代入方程后， ， ∴， 解得． 将代入方程，得 ， 去分母得：， 整理得：， 解得：． 3.（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【答案】7 【分析】先根据小明错误的解法求出，从而可得原方程为，再解一元一次方程即可得出结果． 解：∵小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解， ∴， ∴将代入可得， 解得：， ∴原方程为， 去分母可得：， 解得：． 4.（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程． 解：……第①步 ………………第②步 ……………………第③步 ……………………第④步   ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 小华同学： 解方程． 解：…………第①步 ………………第②步   ……………………第③步 ………………………第④步 ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 （1）选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； （2）该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______． （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）小明或小华；（2）选择小明同学时，解答过程从第③步开始出现错误，错误原因是去括号时，未变号，应为； 故答案为：③，括号内的项没有变号； 选择小华同学时，解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是利用等式的性质等式右边漏乘； 故答案为：①，利用等式的性质等式右边漏乘； （3）正确的解答过程： ， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，尤其注意去括号时的符号变化”是解题的关键． （1）选择一名同学（如小明），分析其解题过程的错误； （2）找出该同学解题中出错的步骤，说明错误原因； （3）按照一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）正确求解． （1）解：答案一，小明；答案二，小华； （2）略 （3）略 题型9：一元一次方程行程问题 1.（2026七年级上·全国·专题练习）老师在黑板上出了一道题：A，B两地相距，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时，后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时．乙出发多长时间后能追上甲？ 为了更好地理解题意，老师设出未知数，并画出了如图所示的线段图． 请你按照老师的思路写出完整的解答过程． 追问：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距A地多少千米？ 【答案】解：设乙出发后能追上甲， 根据题意，得， 解得， 答：乙出发后能追上甲． 追问答案： 返回途中与甲相遇的地点距A地 【分析】根据上面的线段图列出一元一次方程，解方程即可． 追问分析 根据“乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇时，两人走的路程之和等于的倍”列出方程，解方程即可． 解：详解见答案． 追问： 解：设乙出发小时后在返回途中与甲相遇， 根据题意，得， 解得， ． 答：返回途中与甲相遇的地点距A地． 2.（2026·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减去淇淇的路程等于1圈”列方程即可． 解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． 3.（2026·陕西咸阳·模拟预测）极端天气下，输电线路覆冰是电网安全的“心腹大患”，飞行除冰机器人的应用，使电网运维从“人海战术”转向“科技制胜”．已知一台除冰机器人清理一段覆冰线路，前一半路程以的速度清理，后一半路程为了加快进度，速度提高到，全程共用了，则这段线路的总长是___________m． 【答案】 【分析】设这段线路的总长为 ，根据“前一半路程的用时加上后一半路程的用时等于总用时 ”，列一元一次方程求解即可. 解：设这段线路的总长为 ， 由题意得： ， 整理得： ， 去分母得： ， 合并同类项得： ， 系数化为得：， 这段线路的总长是． 4.（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． （1）经过多长时间，甲乙老人相遇？ （2）一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 【答案】（1）经过300秒，甲乙老人相遇.；（2）狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． （1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 题型10：一元一次方程分段计费与方案选择问题 1.（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 （1）根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． （2）根据上表数据，求A型节能灯的单价． （3）若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】（1）50元/个；（2）A型节能灯的单价为100元/个；（3）售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． （1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 2.（24-25九年级下·全国·二轮复习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 3.（25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 4.（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． （1）表中 ； ． （2）李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】（1）；；（2）李老师家5月份用电度 （1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 题型11：图形与数字找规律（火柴棒、点阵，用代数式表示） 1.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式，回答问题： ，，…． 按上述规律填空： （1）______×______，______×______． （2）______×______． （3）计算：． 【答案】（1），；，；（2），；（3） 【分析】（1）根据所提供算式所呈现的规律，可得出答案； （2）观察可知，1减去一个正整数的平方分之一的结果为两个分数的乘积，其中一个分数的分子为该正整数减去1，分母为该正整数，另一个分数的分子为该正整数加1，分母为该正整数，据此可得答案； （3）根据（2）的规律求解即可． （1）解：由题意得， ； （2）解：，，…， 以此类推，可知； （3）解：由（2）得 ． 2.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）按如图所示的规律拼图案，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条，拼第个图案需要根小木条…按照这一规律，则拼第个图案需要（     ）根小木条． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形及数据，发现第个图案的小木条数为从加到的和，归纳出通项公式代入计算即可． 解：第个图案需要根，即， 第个图案需要根，即， 第个图案需要根，即， ， 第个图案需要根， 当时，， ∴第个图案需要根小木条 3.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面一列数是按照某种规律排列的，，，，…，则第8个数为______． 【答案】 【分析】分别找出这列数的符号、分子、分母的变化规律，再代入计算即可得到第8个数． 解：观察这列数可知： 符号规律：第个数的符号，为奇数时是正，为偶数时是负； 分子规律：第个数的分子为； 分母规律：，，，，可得第个数的分母为； 当时： ∵ 是偶数， ∴ 符号为负，分子为； 分母为； ∴ 第8个数为． 4.（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】本题考查图形规律的探究及代数式的应用，关键是根据给出的前几个图案的数量，归纳出第个图案中两种图形的数量表达式． （1）根据前4个图案的规律，第个图案中“★”的数量为，“▲”的数量为，将代入即可； （2）根据前几个图案的数量规律，提炼出第个图案中两种图形数量的代数式； （3）先分别表示出第个图案中“★”和“▲”的数量，再计算两者的差值，可通过代数式化简简化计算． （1）解：根据题目给出的规律，第1个图案对应，第2个对应，，第个图案对应，所以“★”有个；“▲”有个； 故答案为：；； （2）解：由前4个图案的规律可知，第个图案中，“★”的数量是个，“▲”的数量是个； 故答案为：；； （3）解：第个图案中，“★”的个数为，“▲”的个数为； ； 答：在第个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少个 题型12：简单新定义运算 1.（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：． （1）计算的值； （2）若a，b在数轴上的位置如图所示，，，求的值． 【答案】（1）8；（2）10 【分析】（1）根据新运算规定计算即可； （2）先根据a，b在数轴上的位置和绝对值求出a，b的值，再根据新运算规定计算即可． （1）解： （2）解：由数轴可知：，，且，， 所以，， ∴． 2.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据定义运算代入计算即可． 解： 3.（25-26七年级上·湖北荆门·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算及解一元一次方程，解题关键是弄清题中的新定义．已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出答案． 解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 4.（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 （1）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； （2）若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】（1）15；（2） 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． （1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 题型13：整式与方程结合综合 1.（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）若一个等式“”，其右边一部分被墨水污染． （1）若“”表示一个不能再化简的多项式，求“”； （2）若“”表示3，求这个方程的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）先将原式化为，再利用整式的加减运算法则化简即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． （1）解：∵ ∴ （2）解： 2.（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）如果单项式与可以合并，则关于的方程的解为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项与一元一次方程的解法，熟练掌握同类项的概念是解题关键． 两个单项式可以合并的条件是它们为同类项，即相同字母的指数相等，由此求出a和b的值，再代入方程求解． 解：∵ 单项式 与 可以合并， ∴ 它们为同类项，相同字母的指数相等， 对于x：，即， 对于y：，即 ， 代入方程得， ， 解得，， 因此，方程的解为． 故选：D． 3.（25-26七年级上·河北邢台·期末）某小型工厂生产酸枣面和黄小米，两种产品每天合计生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产酸枣面袋． 成本（元/袋） 售价（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 （1）每天黄小米的生产成本是______元（用含x的整式表示并化简）； （2）若每天销售这两种产品所获得的总利润是5000元，则______． 【答案】 / 500 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据单价乘以数量等于总价，列出代数式即可； （2）根据两种产品的总利润为5000元，列出方程进行求解即可． 解：（1）每天黄小米的生产成本是元； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； 故答案为：500． 4.（25-26七年级上·重庆·阶段检测）（1）关于x的方程与的解相同，求m的值． （2）已知方程，求整式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）先求解方程可得，再把代入得到关于m的方程求解即可； （2）由方程可得，然后整体代入求解即可． 解：（1）解关于x的方程可得， 把代入可得， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型14：数轴动点问题 1.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，已知数轴上点、分别表示有理数、，且与互为相反数，为原点． （1）________，________； （2）若点、分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点表示的数是________；点表示的数是________； ②求为何值时，； ③求为何值时，点与相距个单位长度． 【答案】（1）；；（2）①：；．②当或时，．③当或时，点与相距个单位长度 【分析】（1）根据绝对值，平方的非负性，求出，，进行解答，即可； （2）①根据题意，得到，即可得到点表示的数为：；同理，得到，可得点表示的数为：；②分类讨论：当点在点，点之间时，；当点在点左边时，；求出，即可；③由题意可得，解出，即可． （1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：由（1）可得，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：； ①∵点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴，点表示的数为：； ∵点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数为：； 故答案为：；． ②当点在点，点之间时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在点左边时，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：当或时，． ③ 整理可得：， 解得：， 综上所述，当或时，点与相距个单位长度． 2.（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】先由题意得出，，点表示的数为，设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，此时点表示的数为，点表示的数为，根据题意得出，分情况求解即可． 解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 3.（25-26六年级下·上海·期末）已知线段．点、是线段上的两个动点，点从点出发，点从点出发，两个点同时出发相向而行．如果点的速度为，点的速度为，那么经过________秒时线段的长为． 【答案】 或 【分析】分相遇前、相遇后两种情况讨论，设运动时间为秒，根据线段长度关系列方程求解。 解：设经过秒时线段的长为，分两种情况计算： 当点，相遇前，时， ∵，，， ∴，即， 解得； 当点，相遇后，时， ∵的总长度比多出的长度 ∴， 解得； 综上，经过秒或秒时线段的长为． 4.（26-27七年级上·四川广安·阶段检测）如图，在数轴上有两个长方形和，2个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是m，且E、D两点之间的距离为n个单位长度．若，回答下列问题． （1）填空：点E在数轴上表示的数是________；点D在数轴上表示的数是________． （2）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． （3）若线段上一点M，线段长度是线段的一半，线段上一点N，线段长度是线段长度的，点M以每秒3个单位的速度向右匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． 【答案】（1）4；；（2）秒或秒；（3）2秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可得到答案； （2）根据题意可得两个长方形在数轴上重叠部分的长度为3，分两种情况：当点D与点E之间的距离为3时，当点A与点H之间的距离为3时，分别建立方程求解即可； （3）求出运动前点M和点N表示的数，设出运动时间，表示出运动后点M和点N表示的数，再根据两点间的距离公式建立方程求解即可． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴点E表示的数为4， ∴点D表示的数为； （2）解：设运动的时间为t秒 ∵重叠部分的面积为6，且两个长方形的宽都为2， ∴两个长方形在数轴上重叠部分的长度为3， 当点D与点E之间的距离为3时， 则， 解得； 当点A与点H之间的距离为3时， 则， 解得； 综上所述，长方形运动的时间为秒或秒； （3）解：由题意得，， ∴运动前点M表示的数为，点N表示的数为， 设运动时间为x秒， ∵， ∴， 解得或 ∴经过2秒或秒后，． 学科网（北京）股份有限公司 $