第1～2章·数学同行和有理数·期中复习·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第1~2章·数学同行和有理数·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用正负数表示生活中具有相反意义的量，能对有理数进行正确分类 · 能借助数轴理解相反数、绝对值的意义，会比较有理数的大小 · 掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，能正确进行混合运算 · 会用科学记数法表示绝对值大于1的数，能完成程序运算与数字规律探索 · 能运用有理数运算解决生活中的实际问题，发展运算能力与数学应用意识 📚 知识梳理 ☆ 1.正负数与有理数的分类 像3、0.2这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号得到的数叫做负数；0既不是正数也不是负数 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；按符号分为正有理数、0、负有理数 具有相反意义的量可用正、负数表示，如收入记为正、支出记为负，上升记为正、下降记为负 π、等无限不循环小数是无理数，不属于有理数 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．0是最小的有理数　B．正整数和负整数统称为整数　C．π是分数　D．−3既是负数也是整数 答案：D 解析：0不是最小的有理数（还有负数更小）；整数包括正整数、0和负整数；π是无理数不是分数；−3是负数也是负整数，故选D ☆ 2.数轴、相反数与绝对值 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；a与−a互为相反数，两相反数之和为0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|，且|a|≥0 求绝对值：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 概念辨析例题：若|x|=3，则x的值为______ 答案：±3（3或−3） 解析：绝对值等于3的点在数轴上到原点距离为3，对应−3和3两个数，故x=3或x=−3 ☆ 3.有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 正数大于0，0大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 乘积为1的两个数互为倒数；互为相反数的两个数之和为0，倒数与相反数要分清 概念辨析例题：比较大小：−□−（填“＞”“＜”或“＝”） 答案：＞ 解析：两个负数比大小看绝对值：|−|=＜=|−|，绝对值大的反而小，故−＞− ☆ 4.有理数的运算 加法法则：同号相加取相同的符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数和为0 减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，即a−b=a+(−b) 乘法法则：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0；多个数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负 除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；乘方：求n个相同因数a的积的运算，记作an 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 概念辨析例题：计算：(−2)3+(−3)×4 答案：−20 解析：先算乘方与乘法：(−2)3=−8，(−3)×4=−12，再算加法：−8+(−12)=−20 ☆ 5.科学记数法与近似数 把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 科学记数法中指数n等于原数的整数位数减1，即小数点向左移动的位数 近似数：与实际接近的数；精确度表示近似数与准确数的接近程度，如精确到十分位、百分位 一个近似数从左边第一个不为0的数字起，到末位数字止，所有数字都叫做这个数的有效数字 概念辨析例题：2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功，飞船距地球约400000米，用科学记数法表示为______米 答案：4×105 解析：400000的整数位有6位，n=6−1=5，且4×105=400000，故表示为4×105 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数与负数 大于0的数是正数；正数前面加负号得到负数 0既不是正数也不是负数 数轴 原点、正方向、单位长度 数轴上右边的数总比左边的大 相反数 a与−a互为相反数，a+(−a)=0 0的相反数是0；0的相反数是0 绝对值 |a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0） 绝对值具有非负性：|a|≥0 有理数运算 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号 同级运算从左到右依次计算 科学记数法 a×10n（1≤|a|＜10） n=原数整数位数−1 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-10题） · 有理数分类有两大角度：按定义分为整数和分数，按符号分为正有理数、0、负有理数 · 判断说法正误时，注意0既不是正数也不是负数，但0是有理数且是整数，0没有倒数 · 倒数：乘积为1的两个数互为倒数；相反数：只有符号不同的两个数，倒数与相反数要区分 · 正负数表示相反意义的量时，先确定基准（0），再规定正方向 1．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）2024的倒数是（   ） A．2024 B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法：①零是最小的有理数；②正整数、负整数统称为整数；③任意一个有理数都可在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②的倒数是；③若互为相反数，则1；④；⑤单项式的系数是2；⑥多项式是关于的三次多项式，其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下面说法中①一定是负数；②是二次单项式；③倒数等于它本身的数是；④若，则；⑤是四次三项式，其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）在下列各数中，，＋5，0，，，－4，负数的数是______． 6．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）已知x、y互为相反数，a、b互为倒数，则________． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知某人的身份证号是：321282201109081221，那么他出生的月份是____月． 8．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法：①若，则；②若a、b互为倒数，则；③若，则；④若，则a、b互为相反数，其中错误的有______（请填序号）． 9．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则______． 10．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【考点2】数轴与有理数的大小比较（第11-19题） · 数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，利用数轴直观比较大小 · 比较两个负数：先求绝对值，绝对值大的反而小 · 数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值|a−b|；中点对应的数为 · 先根据数轴位置判断式子的正负，再进行化简或求值 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上四个点对应的数分别是，，，，下列选项中值最大的是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点表示的数是1，则点表示的数是______． 16．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为9，则点B表示的数是____． 17．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示2，，，的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有下列5个数：． (1)在数轴上将各数表示出来，并按从大到小的顺序用“”号连接起来． (2)这5个数中，绝对值等于它的相反数的数有_______________个． 19．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【考点3】绝对值与符号化简（第20-29题） · 绝对值非负性：|a|≥0，常用“绝对值之和为0则各项均为0”求值 · 化简多重符号：看负号的个数，奇数个负号结果为负，偶数个为正 · 含字母的绝对值化简：先确定字母在数轴上的位置（正负），再脱去绝对值符号 · 绝对值与平方偶次幂联立时（如|a−2|+(b+3)2=0），分别令各项为0求解 20．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若有理数a、b满足等式，则有理数a、b在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）若有理数满足，且，则的值是（    ） A．或5 B．1或5 C．1或 D．5或 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值大于1且不大于4的正整数有______个． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）化简：______． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知有理数a，b，c，d都不等于0，且的最大值是m，最小值是n，则_______． 26．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①；②；③；④中一定成立的是___________．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）． 27．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则_______． 28．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简_____________． 29．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，若，求的值． 【考点4】有理数的混合运算（第30-44题） · 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面（先小括号再中括号） · 简便运算：加法用交换律、结合律凑整（相反数结合、同号结合），乘法用分配律展开或合并 · 新定义运算：严格按照定义给出的规则代入计算，注意运算顺序和括号 · 含乘方计算分清(−a)n与−an：(−2)4=16，而−24=−16 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①④ B．①② C．②④ D．③④ 31．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·江苏常州·阶段检测）一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则C点表示的数是（   　　） A．2 B． C．或2 D．3或 33．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将,换算成十进制数应为： ； . 按此方式，将二进制换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为  (    ) A．17， B．17， C．11， D．11， 34．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列内容：，如果有理数满足． 试求：的值为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）按如图所示的程序计算，若输入的数为，则输出的结果为___________． 36．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）若，均为整数，且，则的最小值为____________． 37．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则记，例如，于是．若，，，则的值为______． 38．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 39．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）已知，，且，求的值． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 41．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 43．（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法计算： (1) (2) 44．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点5】科学记数法（第45-47题） · 科学记数法形式a×10n，必须满足1≤|a|＜10 · 指数n等于原数整数位数减1，或小数点向左移动的位数 · 带单位的数（亿、万等）先换算成普通数再确定a与n，或利用1亿=108直接表示 · 将科学记数法还原成原数：把a的小数点向右移动n位 45．（2024·湖北武汉·模拟预测）为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”.将亿用科学记数法表示为，则n的值为______. 46．（2023·江苏南京·三模）据统计，全国义务教育学校共有万名学生参加了课后服务，将万用科学记数法表示为______ ． 47．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）到2026年前后，我国“中国巡天空间望远镜”将发射升空，作为新一代空间天文观测设备，其搭载的主焦面CCD探测器需捕捉极暗弱天体信号，包含约2500000000个高灵敏度像素．这个数据用科学记数法表示为______． 【考点6】有理数运算的实际应用（第48-51题） · 先读懂题意，用正负数表示具有相反意义的量（如向南为正、向北为负） · 位移问题：求最终位置用代数和（直接相加）；求总路程用绝对值之和 · 表格统计类问题：以标准量为基准，超过记正、不足记负，再计算总量 · 方案比较类问题：分别按各方案列出算式计算，再比较选择 48．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）快递员小李下午骑电动车在南北走向的大街上送快递，规定向南为正，向北为负，当天下午行程如下（单位：）：． (1)小李送完最后一件快递时距离出发点多远？在出发点的哪个方向？ (2)若电动车每千米耗电度，这天下午共耗电多少度？ 49．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）七袋白糖以每袋40千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：，，，，，，．这几袋白糖共超过或不足标准重量多少千克？总重量是多少千克？ 50．（24-25七年级上·江苏常州·期中）2024年，常州持续大力实施“常有安居”民生实事工程，一批老旧小区焕然一新．某社区为有效解决老百姓“停车难”问题，计划将一块长、宽的长方形空地改造为一个停车场，如图是停车场的设计方案，其中的阴影部分是四个完全相同的长方形停车区域，空白部分均为宽度相等的通道，设通道的宽为． (1)每个长方形停车区域的长为_______，宽为_______（用含的代数式表示）； (2)当时，求四个停车区域的总面积； (3)在（2）的条件下，如果每个车位宽度为，这次“空地改造”可以为小区新增停车位_______个． 51．（24-25七年级上·江苏南京·期中）“双十一”来临，某商家促销方案如下：店铺内所有商品按标价的出售，同时，当顾客在本店消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额： 消费金额 满270元但不足450元 450元及以上 返还金额 20元 40元 根据上述促销方案，顾客在该店铺购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为360元，获得的优惠额为（元）． (1)购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2)购买一件标价为元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ 【考点7】数轴的折叠与动点综合（第52题） · 折叠数轴：折点是对称中心，折叠后重合的两点关于折点对称，满足x1+x2=2×折点 · 求折叠后某点位置：用中点公式或对称关系列方程求解 · 动点问题：用含时间t的代数式表示点的位置（起点±速度×t），再根据等量关系列方程 · 数轴平移：整体加上（或减去）同一个数，相对位置与距离不变 52．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 💯 课后巩固 复习建议 · 建立数轴模型：画数轴理解相反数、绝对值和大小比较，养成数形结合分析问题的习惯 · 运算过关：每天限时训练有理数混合运算，先练法则再练简便运算，提高准确率与速度 · 整理错题：把绝对值化简、含字母运算、乘方符号等易错题归类整理，找出错误根源反复练习 · 应用建模：结合快递、促销、温度、路程等生活情境练习正负数应用题，学会提炼数量关系 · 规律探索与科学记数法：总结新定义运算与数字规律题的通法，注意单位换算和指数规律 【作业1】．（2024·四川遂宁·二模）的倒数的相反数是（   ） A．2020 B． C． D． 【作业2】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）个城市的国际标准时间单位：时在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是(   ) A．纽约时间年月日时 B．巴黎时间年月日时 C．汉城时间年月日时 D．伦敦时间年月日时 【作业3】．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【作业4】．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）计算：（    ） A．4 B． C．8 D． 【作业5】．（24-25七年级上·广东惠州·期中）2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示应是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： ，，，，，，，，，． (1)正数集合：{________…}； (2)负有理数集合：{________…}； (3)非正整数集合：{________…}． 【作业7】．（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【作业8】．（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知满足，则式子的值是_____． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）为了计算简便，把写成省略加号和括号的和的形式为__________． 【作业10】．（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为______． 【作业11】．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）截至2025年6月底，我国基站总数达到4550000个，数据4550000用科学记数法表示为____． 【作业12】．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是______． 【作业13】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是________． 【作业14】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 【作业15】．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 【作业16】．（重难点提优2有理数的简便计算（5题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024））运用运算律计算： (1)； (2)． 【作业17】．（23-24六年级上·山东泰安·期中）某景区旅游观光小火车从起点站出发途中停靠、、、四站，到达终点后，乘客全部下车，某小火车从起点站到终点站，每一站乘客上、下车人数（单位：个）如表 起点站 站 站 站 站 终点站 上车的人数 下车的人数 (1)直接将表格填写完整 (2)本趟小火车行驶在 之间，车上的乘客人最多 A． 起点站与站     B． 站与站     C． 站与站     D． 站与站 (3)若观光小火车的收费标准为每人每站元，这趟小火车能收入多少元？ 【作业18】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1~2章·数学同行和有理数·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用正负数表示生活中具有相反意义的量，能对有理数进行正确分类 · 能借助数轴理解相反数、绝对值的意义，会比较有理数的大小 · 掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，能正确进行混合运算 · 会用科学记数法表示绝对值大于1的数，能完成程序运算与数字规律探索 · 能运用有理数运算解决生活中的实际问题，发展运算能力与数学应用意识 📚 知识梳理 ☆ 1.正负数与有理数的分类 像3、0.2这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号得到的数叫做负数；0既不是正数也不是负数 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；按符号分为正有理数、0、负有理数 具有相反意义的量可用正、负数表示，如收入记为正、支出记为负，上升记为正、下降记为负 π、等无限不循环小数是无理数，不属于有理数 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．0是最小的有理数　B．正整数和负整数统称为整数　C．π是分数　D．−3既是负数也是整数 答案：D 解析：0不是最小的有理数（还有负数更小）；整数包括正整数、0和负整数；π是无理数不是分数；−3是负数也是负整数，故选D ☆ 2.数轴、相反数与绝对值 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；a与−a互为相反数，两相反数之和为0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|，且|a|≥0 求绝对值：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 概念辨析例题：若|x|=3，则x的值为______ 答案：±3（3或−3） 解析：绝对值等于3的点在数轴上到原点距离为3，对应−3和3两个数，故x=3或x=−3 ☆ 3.有理数的大小比较 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 正数大于0，0大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 乘积为1的两个数互为倒数；互为相反数的两个数之和为0，倒数与相反数要分清 概念辨析例题：比较大小：−□−（填“＞”“＜”或“＝”） 答案：＞ 解析：两个负数比大小看绝对值：|−|=＜=|−|，绝对值大的反而小，故−＞− ☆ 4.有理数的运算 加法法则：同号相加取相同的符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数和为0 减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，即a−b=a+(−b) 乘法法则：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0；多个数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时积为负 除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；乘方：求n个相同因数a的积的运算，记作an 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 概念辨析例题：计算：(−2)3+(−3)×4 答案：−20 解析：先算乘方与乘法：(−2)3=−8，(−3)×4=−12，再算加法：−8+(−12)=−20 ☆ 5.科学记数法与近似数 把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 科学记数法中指数n等于原数的整数位数减1，即小数点向左移动的位数 近似数：与实际接近的数；精确度表示近似数与准确数的接近程度，如精确到十分位、百分位 一个近似数从左边第一个不为0的数字起，到末位数字止，所有数字都叫做这个数的有效数字 概念辨析例题：2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功，飞船距地球约400000米，用科学记数法表示为______米 答案：4×105 解析：400000的整数位有6位，n=6−1=5，且4×105=400000，故表示为4×105 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数与负数 大于0的数是正数；正数前面加负号得到负数 0既不是正数也不是负数 数轴 原点、正方向、单位长度 数轴上右边的数总比左边的大 相反数 a与−a互为相反数，a+(−a)=0 0的相反数是0；0的相反数是0 绝对值 |a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0） 绝对值具有非负性：|a|≥0 有理数运算 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号 同级运算从左到右依次计算 科学记数法 a×10n（1≤|a|＜10） n=原数整数位数−1 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-10题） · 有理数分类有两大角度：按定义分为整数和分数，按符号分为正有理数、0、负有理数 · 判断说法正误时，注意0既不是正数也不是负数，但0是有理数且是整数，0没有倒数 · 倒数：乘积为1的两个数互为倒数；相反数：只有符号不同的两个数，倒数与相反数要区分 · 正负数表示相反意义的量时，先确定基准（0），再规定正方向 1．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）2024的倒数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键； 乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可； 【详解】解：2024的倒数是， 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法：①零是最小的有理数；②正整数、负整数统称为整数；③任意一个有理数都可在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的相关概念和有关计算；①根据没有最小的有理数，进行判断即可；②根据有理数的分类进行判断；③根据每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，进行判断；④根据绝对值的性质进行判断即可；⑤根据多个数相乘法则进行判断，即可． 【详解】解：①没有最小的有理数；①说法错误； ②正整数、负整数和0统称为整数，②说法错误； ③每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，③说法正确； ④若，则或，④的说法错误； ⑤几个有理数相乘，当几个有理数中含有因数0时，无论负因数有几个，其乘积都为0，例如，⑤的说法不正确； 综上可知：说法正确的有1个， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②的倒数是；③若互为相反数，则1；④；⑤单项式的系数是2；⑥多项式是关于的三次多项式，其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】相反数的定义、倒数、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了有理数，乘方，整式的相关知识点．根据负整数的定义，倒数的定义，相反数的定义，乘方的运算，单项式和多项式，逐个判断即可． 【详解】解：①最大的负整数是；故①正确，符合题意； ②当时，a的倒数是；故②不正确，不符合题意； ③若a，b互为相反数，且，则；故③不正确，不符合题意； ④；故④正确，符合题意； ⑤单项式的系数是；故⑤不正确，不符合题意； ⑥多项式是关于x，y的三次多项式，故⑥正确，符合题意； 综上：正确的有①④⑥，共3个， 故选：C． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）下面说法中①一定是负数；②是二次单项式；③倒数等于它本身的数是；④若，则；⑤是四次三项式，其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了正数和负数，绝对值，单项式，倒数，多项式，根据负数的意义，单项式，多项式的定义，倒数的意义，绝对值的意义逐一判断即可，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【详解】解：①当时，不是负数，故说法错误； ②是二次单项式，原说法正确； ③倒数等于它本身的数是，原说法正确； ④若，则，原说法错误； ⑤是三次三项式，原说法错误； 所以正确的个数有2个， 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）在下列各数中，，＋5，0，，，－4，负数的数是______． 【答案】 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了负数的定义：在正数的前面加“”号的数是负数，根据定义判断即可 【详解】解：在下列各数中，，＋5，0，，，－4，负数的数是 故答案为 6．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）已知x、y互为相反数，a、b互为倒数，则________． 【答案】2 【知识点】相反数的应用、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查相反数的性质，倒数的性质，代数式求值．根据相反数和倒数的性质得到，，代入式子求值即可． 【详解】解：∵x、y互为相反数，a、b互为倒数， ∴，， ∴． 故答案为：2 7．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知某人的身份证号是：321282201109081221，那么他出生的月份是____月． 【答案】9 【知识点】正负数的实际应用、数学常识 【分析】此题考查了用数字表示事件．身份证前六位为所在地的编号，接下来四位是出生年份，后边两位为出生的月份，即第十一、十二位． 【详解】解：第十一、十二位为09，所以他出生的月份是9月． 故答案为：9． 8．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法：①若，则；②若a、b互为倒数，则；③若，则；④若，则a、b互为相反数，其中错误的有______（请填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的概念与性质，正确理解相反数、倒数、绝对值的概念与性质是解题的关键．根据相反数、倒数、绝对值的概念与性质，即可得到答案． 【详解】， 或， ①错误； 若a、b互为倒数， 则， ②错误； 若， 则， ③错误； 若， 则a、b互为相反数， ④正确； 其中错误的有①②③． 故答案为：①②③． 9．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则______． 【答案】 【知识点】倒数、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，倒数的定义及代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据互为倒数的定义，即乘积是1的两个数互为倒数进行解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“1”是相对面， “”与“2”是相对面， “”与“”是相对面， 相对的面上的两个数互为倒数， ，，， ． 故答案为． 10．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，正确理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类求解即可． 【详解】解：正数集合： ，，，，，； 负数集合： ，，，，，； 整数集合： ，，，，，，； 分数集合： ，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 【考点2】数轴与有理数的大小比较（第11-19题） · 数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，利用数轴直观比较大小 · 比较两个负数：先求绝对值，绝对值大的反而小 · 数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值|a−b|；中点对应的数为 · 先根据数轴位置判断式子的正负，再进行化简或求值 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较以及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的计算和负数比较大小的方法． 分别对每个选项进行分析，根据绝对值的性质化简式子，再比较大小． 【详解】解：A、，因为，所以错误； B、，所以错误； C、，因为，所以错误； D、，因为，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以正确． 故选：D． 12．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【知识点】数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】本题考查的是新定义运算，理解新定义，按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上四个点对应的数分别是，，，，下列选项中值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的大小，由数轴可知，，，，进而可判断，，，，再得出，即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：，，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故最大的是， 故选D 15．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点表示的数是1，则点表示的数是______． 【答案】2 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数． 【详解】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B， 点表示的数是1， ， 点表示的数是2， 故答案为：2． 16．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为9，则点B表示的数是____． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的应用 【分析】根据相反数的意义可得A，B两点到原点的距离相等，即可求解． 【详解】解：A，B表示互为相反数的两个数， ∴A，B两点到原点的距离相等， ∵A在B的右侧，并且这两点的距离为9， ∴点B表示的数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，数轴上两点间的距离，根据题意得到A，B两点到原点的距离相等是解题的关键． 17．（23-24七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示2，，，的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来． 【答案】 解：， 把各数表示在数轴上如下， ∴． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较，先化简各数，然后把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】略 18．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有下列5个数：． (1)在数轴上将各数表示出来，并按从大到小的顺序用“”号连接起来． (2)这5个数中，绝对值等于它的相反数的数有_______________个． 【答案】(1) 将各数表示在数轴上如图所示： (2)3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数、绝对值、数轴，将各数正确表示在数轴上是解答的关键． （1）先化简各数，再将各数表示在数轴上，然后根据数轴上右边的数总比左边的数大求解即可； （2）根据非正数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：在所给数中，非正数有，，0，它们的绝对值分别为，2，0，故满足条件的数有3个， 故答案为：3． 19．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)4 (2) 有理数，，，在数轴上表示如图： 【知识点】用数轴上的点表示有理数、求一个数的绝对值、有理数大小比较、数轴上找原点 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点A与原点的距离为3，那么从点A的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示， 点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：，，，， 由数轴可知：． 【考点3】绝对值与符号化简（第20-29题） · 绝对值非负性：|a|≥0，常用“绝对值之和为0则各项均为0”求值 · 化简多重符号：看负号的个数，奇数个负号结果为负，偶数个为正 · 含字母的绝对值化简：先确定字母在数轴上的位置（正负），再脱去绝对值符号 · 绝对值与平方偶次幂联立时（如|a−2|+(b+3)2=0），分别令各项为0求解 20．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化简多重符号、绝对值的几何意义 【分析】本题考查化简绝对值和化简多重符号，根据绝对值的意义和相反数的意义逐项计算即可判断，掌握绝对值的意义和相反数的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项中的化简错误； B、，故选项中的化简错误； C、，故选项中的化简正确； D、，故选项中的化简错误． 故选：C 21．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若有理数a、b满足等式，则有理数a、b在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查数轴和绝对值，由可知，，，所以，然后根据数轴上a和b的位置判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 只有选项C符合． 故选：C． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）若有理数满足，且，则的值是（    ） A．或5 B．1或5 C．1或 D．5或 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、有理数的减法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查有理数的加减法和绝对值，代数式求值，根据题意分析出与的值再代入进行计算即可． 【详解】解：，， ，， ， 为非负数， 则，， 故或5． 故选：B． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值大于1且不大于4的正整数有______个． 【答案】3 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是求出绝对值大于1且不大于4的所有整数． 绝对值大于1且不大于4的所有整数的绝对值是2、3、4，据此求出绝对值大于1且不大于4的所有正整数个数即可． 【详解】解：绝对值大于1且不大于4的所有整数的绝对值是2、3、4， 绝对值大于1且不大于4的所有整数有6个：、2、、3、、4． ∴绝对值大于1且不大于4的正整数有2，3，4，共3个． 故答案为：3． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行解题． 由去括号法则进行运算，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知有理数a，b，c，d都不等于0，且的最大值是m，最小值是n，则_______． 【答案】784 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、多个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】首先由正数大于零大于负数得到当，，，时有最大值，进而求出m，得到当，，，时有最小值，进而求出n，然后代入求解即可． 此题考查了绝对值的意义，有理数的乘法和乘方等运算，解题的关键是掌握绝对值的意义． 【详解】解：∵正数大于零大于负数 ∵ ∴当，，，时， ∴ ∴有最大值， 此时， ∴； ∴当，，，时， ∴， ∴有最小值， 此时 ∴； ∴． 故答案为：784． 26．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①；②；③；④中一定成立的是___________．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）． 【答案】①②④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，绝对值的运用，根据数轴得到，，然后结合数的运算法则进行计算即可得出结果． 【详解】解：根据数轴得，． ①中，，故①正确； ②中，，故②正确； ③中，由于b的符号无法确定，所以不一定成立，故③错误； ④中，，故④正确． 所以一定成立的有①②④． 故答案为：①②④． 27．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则_______． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的加减．熟练掌握绝对值的非负性是解决问题的关键．根据绝对值的非负数性质列方程求出a、b、c的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】∵，且，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简_____________． 【答案】0 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】根据数轴的性质可得，从而可得，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 所以 ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 29．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，，若，求的值． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】由绝对值的性质可得出，．再根据，进行分类讨论①当，时和②当，时，分别代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴可分类讨论：①当，时， ∴； ②当，时， ∴． 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查绝对值的性质，代数式求值．利用分类讨论的思想是解题关键． 【考点4】有理数的混合运算（第30-44题） · 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面（先小括号再中括号） · 简便运算：加法用交换律、结合律凑整（相反数结合、同号结合），乘法用分配律展开或合并 · 新定义运算：严格按照定义给出的规则代入计算，注意运算顺序和括号 · 含乘方计算分清(−a)n与−an：(−2)4=16，而−24=−16 30．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①④ B．①② C．②④ D．③④ 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数乘除混合运算、整式的加减运算 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过逐一计算每个算式，判断其正确性即可． 【详解】解：① ，正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确； ∴ 正确的是①④， 故选：A． 31．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 32．（23-24七年级上·江苏常州·阶段检测）一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则C点表示的数是（   　　） A．2 B． C．或2 D．3或 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，有理数混合运算．分类讨论，根据对折得到是解题的关键．分当在线段的延长线上和线段上，两种情况分别求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，分点在线段的延长线上，点在线段上两种情况求解； ①当在线段的延长线上时， ， 点表示的数为， ， ∴点C表示的数为； ②当在线段上时， ， 点表示的数为， ， ∴点C表示的数为； 解得：； ∴点表示的数是3或． 故选：D． 33．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将,换算成十进制数应为： ； . 按此方式，将二进制换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为  (    ) A．17， B．17， C．11， D．11， 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，首先理解十进制的含义，然后结合有理数运算法则计算出结果，然后根据题意把13化成按2的整数次幂降幂排列，即可求得二进制数． 【详解】， ， 故选：C． 34．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）阅读下列内容：，如果有理数满足． 试求：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的混合运算，先由非负数的性质求出和的值，代入所求式子，利用裂项相消法化简计算． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 解得，， ． 故选：D． 35．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）按如图所示的程序计算，若输入的数为，则输出的结果为___________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将输入程序流程图，按程序流程图进行计算判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴输出， 故答案为：． 36．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）若，均为整数，且，则的最小值为____________． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】先找出乘积等于25的全部整数因数对，再分别代入式子算出每一组的结果，对比所有计算结果，从中找出最小的数值． 【详解】解：， 同号， ， 列出全部整数组合，分别计算： ，，,，， ； 对比以上六个结果，的最小值为． 37．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则记，例如，于是．若，，，则的值为______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出的值，进而可求出的值，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 39．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】的值为或． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘方，代数式求值，找出满足条件的、的值是解题关键．根据绝对值和有理数的乘法，求出、的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值为或． 40．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算，将除法转化为乘法进行计算即可求解； （2）根据乘法分配律进行计算即可求解； （3）化为，然后根据乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据有理数的运算顺序，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 41．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）利用加法交换结合律，分组凑整，简化加减运算； （2）先去绝对值符号，再计算绝对值内的加减，最后求和； （3）将小数、带分数化为假分数，用乘法交换结合律分组凑整计算； （4）运用乘法分配律，分别相乘再加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 42．（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算及加法运算律的应用，解题的关键是利用加法交换律和结合律，将互为相反数或同分母的数结合简化计算． （1）结合互为相反数的数与同分母分数计算； （2）结合互为相反数的数简便计算； （3）将小数化分数后，结合同分母分数计算； （4）拆分带分数，结合整数部分与分数部分分别计算． 【详解】（1） （2）解： （3） （4） 43．（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键． （1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得； （2）将改写成，再利用有理数乘法的分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 44．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解；原式 ； （3）解；原式 ； （4）解：原式 ． 【考点5】科学记数法（第45-47题） · 科学记数法形式a×10n，必须满足1≤|a|＜10 · 指数n等于原数整数位数减1，或小数点向左移动的位数 · 带单位的数（亿、万等）先换算成普通数再确定a与n，或利用1亿=108直接表示 · 将科学记数法还原成原数：把a的小数点向右移动n位 45．（2024·湖北武汉·模拟预测）为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”.将亿用科学记数法表示为，则n的值为______. 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：亿， 等于 故答案为：． 46．（2023·江苏南京·三模）据统计，全国义务教育学校共有万名学生参加了课后服务，将万用科学记数法表示为______ ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将万用科学记数法表示为． 故答案为：． 47．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）到2026年前后，我国“中国巡天空间望远镜”将发射升空，作为新一代空间天文观测设备，其搭载的主焦面CCD探测器需捕捉极暗弱天体信号，包含约2500000000个高灵敏度像素．这个数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是确定科学记数法形式中与的值（满足，为整数）． 将原数表示为的形式，先把原数转化为的数，再根据原数小数点移动的位数确定的值． 【详解】解：原数为2500000000， 将其转化为的形式（），原数的小数点从末尾移到后面，共移动了位，故， 因此该数用科学记数法表示为 故答案为：． 【考点6】有理数运算的实际应用（第48-51题） · 先读懂题意，用正负数表示具有相反意义的量（如向南为正、向北为负） · 位移问题：求最终位置用代数和（直接相加）；求总路程用绝对值之和 · 表格统计类问题：以标准量为基准，超过记正、不足记负，再计算总量 · 方案比较类问题：分别按各方案列出算式计算，再比较选择 48．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）快递员小李下午骑电动车在南北走向的大街上送快递，规定向南为正，向北为负，当天下午行程如下（单位：）：． (1)小李送完最后一件快递时距离出发点多远？在出发点的哪个方向？ (2)若电动车每千米耗电度，这天下午共耗电多少度？ 【答案】(1)小李送完最后一件快递时距离出发点，在出发点的南边 (2)度 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把所给的行程记录相加，所得结果的绝对值为与出发地点的距离，若结果为正，则在出发点的南边，若结果为负，则在出发点的北边； （2）把所给行程记录取绝对值相加，所得结果乘以即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：小李送完最后一件快递时距离出发点，在出发点的南边； （2）解： 度， 答：这天下午共耗电度． 49．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）七袋白糖以每袋40千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：，，，，，，．这几袋白糖共超过或不足标准重量多少千克？总重量是多少千克？ 【答案】这几袋白糖共不足标准重量0.5千克，总重量是279.5千克 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数的加减混合运算应用，根据题意列式计算是解题关键．将所有有理数相加即可得到超标的千克数，由七袋白糖的总质量加上超标的千克数即为总质量． 【详解】解： ， ， 答：这几袋白糖共不足标准重量0.5千克，总重量是279.5千克． 50．（24-25七年级上·江苏常州·期中）2024年，常州持续大力实施“常有安居”民生实事工程，一批老旧小区焕然一新．某社区为有效解决老百姓“停车难”问题，计划将一块长、宽的长方形空地改造为一个停车场，如图是停车场的设计方案，其中的阴影部分是四个完全相同的长方形停车区域，空白部分均为宽度相等的通道，设通道的宽为． (1)每个长方形停车区域的长为_______，宽为_______（用含的代数式表示）； (2)当时，求四个停车区域的总面积； (3)在（2）的条件下，如果每个车位宽度为，这次“空地改造”可以为小区新增停车位_______个． 【答案】(1)， (2) (3)80 【知识点】有理数乘除混合运算、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，正确列出代数式，熟练掌握代数式求值的方法是解题关键． （1）利用长方形空地的长减去2个通道的宽即可得每个长方形停车区域的长，利用长方形空地的宽减去2个通道的宽，再除以4即可得每个长方形停车区域的宽； （2）将代入，求出每个长方形停车区域的长与宽，再根据长方形的面积公式计算即可得； （3）求出每个长方形停车区域的长，再除以每个车位的宽度，然后乘以4即可得． 【详解】（1）解：由题意得：每个长方形停车区域的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：当时，每个长方形停车区域的长为，宽为， 则四个停车区域的总面积为， 答：四个停车区域的总面积为． （3）解：由（2）可知，当时，每个长方形停车区域的长为， ∵每个车位宽度为， ∴小区新增停车位（个）， 故答案为：80． 51．（24-25七年级上·江苏南京·期中）“双十一”来临，某商家促销方案如下：店铺内所有商品按标价的出售，同时，当顾客在本店消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额： 消费金额 满270元但不足450元 450元及以上 返还金额 20元 40元 根据上述促销方案，顾客在该店铺购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为360元，获得的优惠额为（元）． (1)购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2)购买一件标价为元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ 【答案】(1)顾客获得的优惠额是元 (2)当时，顾客获得的优惠额是元，当，顾客获得的优惠额是元，顾客获得的优惠额是元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，列代数式： （1）根据优惠方案，列出代数式进行计算即可； （2）分，，三种情况，列出代数式即可． 【详解】（1）解：（元）； 答：顾客获得的优惠额是元； （2）当时，顾客获得的优惠额是元， 当时，顾客获得的优惠额是元， 当时，顾客获得的优惠额是元． 【考点7】数轴的折叠与动点综合（第52题） · 折叠数轴：折点是对称中心，折叠后重合的两点关于折点对称，满足x1+x2=2×折点 · 求折叠后某点位置：用中点公式或对称关系列方程求解 · 动点问题：用含时间t的代数式表示点的位置（起点±速度×t），再根据等量关系列方程 · 数轴平移：整体加上（或减去）同一个数，相对位置与距离不变 52．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 建立数轴模型：画数轴理解相反数、绝对值和大小比较，养成数形结合分析问题的习惯 · 运算过关：每天限时训练有理数混合运算，先练法则再练简便运算，提高准确率与速度 · 整理错题：把绝对值化简、含字母运算、乘方符号等易错题归类整理，找出错误根源反复练习 · 应用建模：结合快递、促销、温度、路程等生活情境练习正负数应用题，学会提炼数量关系 · 规律探索与科学记数法：总结新定义运算与数字规律题的通法，注意单位换算和指数规律 【作业1】．（2024·四川遂宁·二模）的倒数的相反数是（   ） A．2020 B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查相反数和倒数的定义，掌握定义是解题的关键．根据相反数和倒数的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵2020的倒数为， 的相反数为 ∴2020的倒数的相反数是． 故选C． 【作业2】．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）个城市的国际标准时间单位：时在数轴上表示如图所示，那么北京时间年月日时应是(   ) A．纽约时间年月日时 B．巴黎时间年月日时 C．汉城时间年月日时 D．伦敦时间年月日时 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】按照图示，将其他四个地区时间依次求出即可判断． 【详解】解：由图得：当北京时间年月日时， 由于，故纽约时间应为年月日时； 由于，故伦敦时间应为年月日时； 由于，故巴黎时间应为年月日时； 由于，故汉城时间应为年月日时； 所以B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴及有理数的加减的应用，理解时区的含义是解题关键． 【作业3】．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．根据，，得出，，然后分情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为1或3． 故选：C． 【作业4】．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）计算：（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【分析】此题考查了有理数的加法，根据异号两数相加的法则计算即可． 【详解】解： 故选：B 【作业5】．（24-25七年级上·广东惠州·期中）2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了本题主要考查科学记数法的运用，理解并掌握运用科学记数法表示数的方法，正确确定取值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此表示即可． 【详解】解：， 故选：A ． 【作业6】．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： ，，，，，，，，，． (1)正数集合：{________…}； (2)负有理数集合：{________…}； (3)非正整数集合：{________…}． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查有理数的分类， （1）正数是大于0的数，由此即可求解； （2）负有理数是小于0的数，由此即可求解； （3）非正整数，即0和负整数，由此即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴正数集合：{}； （2）解：负有理数集合：{}； （3）解：非正整数集合：{}． 【作业7】．（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上找原点 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 【作业8】．（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知满足，则式子的值是_____． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，代数式的求值，乘方运算，解题的关键是两个非负数和为0的条件是它们都是0．由出来，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 解，得， ， 故答案为：． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）为了计算简便，把写成省略加号和括号的和的形式为__________． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了有理数的减法运算，原式利用减法法则变形即可得到结果，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业10】．（2024·河南南阳·一模）数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为______． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】根据题意得，当时， ∵ ∴ ． 故答案为：． 【作业11】．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）截至2025年6月底，我国基站总数达到4550000个，数据4550000用科学记数法表示为____． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业12】．（2025·江苏南京·二模）根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，从年月日起，男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月，逐步从周岁延迟至周岁． 男职工延迟法定退休年龄对照表（部分） 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 出生时间 改革后法定 退休年龄 改革后退休 时间 年月 岁个月 年月 年月 岁个月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 年月 王强，李斌两位男职工谈论自己的法定退休年龄．王强说：“我可以在周岁前退休．”李斌说：“我比你小个月，要延迟至周岁退休，”则李斌的出生年月是______． 【答案】年月 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，由题意可得王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月，即得王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月，进而根据李斌比王强小个月即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，王强的退休年龄是周岁个月，李斌的退休年龄是周岁， 即王强延迟退休了个月，李斌延迟退休了个月， ∵男职工法定退休年龄每四个月延迟一个月， ∴王强的出生年月是年月月，李斌的出生年月是年月月， ∵李斌比王强小个月， ∴李斌的出生年月是年月， 故答案为：年月． 【作业13】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是________． 【答案】或1 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或1， 故答案为：或1． 【作业14】．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)17 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则：“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． （1）先计算有理数乘法，再按有理数加减法法则计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 【作业15】．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)-20 (2)-12 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确的运用运算法则是解题的关键． （1）先乘方，再乘除，最后算加减； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解： ． 【作业16】．（重难点提优2有理数的简便计算（5题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024））运用运算律计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)23 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的运算律，运算法则和运算顺序． （1）先把减法转化为加法，然后根据加法的交换律和结合律即可解答本题； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业17】．（23-24六年级上·山东泰安·期中）某景区旅游观光小火车从起点站出发途中停靠、、、四站，到达终点后，乘客全部下车，某小火车从起点站到终点站，每一站乘客上、下车人数（单位：个）如表 起点站 站 站 站 站 终点站 上车的人数 下车的人数 (1)直接将表格填写完整 (2)本趟小火车行驶在 之间，车上的乘客人最多 A． 起点站与站     B． 站与站     C． 站与站     D． 站与站 (3)若观光小火车的收费标准为每人每站元，这趟小火车能收入多少元？ 【答案】(1) (2)C (3)这趟小火车能收入元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）根据表格数据，，按照上加下减的法则计算，求得终点站下车的人数，即可求解． （2）按照起点到站，到站，到站，到站，站到终点站，按照上加下减的法则计算即可． （3）根据（2）的过程，计算车上人数的和，乘以单价即可． 【详解】（1）解： 起点站 站 站 站 站 终点站 上车的人数 下车的人数 16 （2）由题意得，起点到站车上是人， 到站车上是人， 到站车上是人， 到站车上是人， 站到终点站车上是人， 小火车行驶在站和站之间时，车上的乘客最多． 故选：C． （3）（元）， 答：这趟小火车能收入元． 【作业18】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加减混合运算的应用 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $