2026-2027学年苏科版数学七年级上册期中复习专题2（代数式必考——18大题型）

苏科版数学2026-2027学年七年级上册 期中复习专题2 （代数式必考——17大题型） 常考题型导航 题型01 用字母表示数 题型02 代数式的相关概念 题型03 已知字母的值求代数式的值 题型04 已知式子的值求代数式的值 题型05 程序流程图与代数式求值 题型06 用代数式表示数的规律 题型07 合并同类项 题型08 单项式问题 题型09 多项式问题 题型10 多项式系数、指数中字母求值 题型11 将多项式按某个字母升幂（降序）排列 题型12 整式的加减运算 题型13 整式的化简求值 题型14 整式加减中的无关型问题 题型15 整式加减的应用 题型16 新定义题型 题型17 图形类规律探索 常考题型·精准突破（试题部分） 说明：每题题号后【】内为该题所选试卷的出处（地区+年份+期中）。 题型01 用字母表示数 1．【2024江苏苏州期中】用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ） A. 2(a−b)² B. 2a−b² C. (2a−b)² D. (a−2b)² 2．【2025江苏无锡期中】某文具原价为每件m元，开学季每件降价5元，在此基础上新生还可享受九折优惠，一名新生购买一件该文具需付款（ ） A. 0.9m元 B. 0.9(m−5)元 C. (0.9m−5)元 D. (m−5×0.9)元 3．【2025江苏南京期中】“x的2倍与5的和”用代数式表示为__________。 4．【2024江苏常州期中】《九章算术》中记载：“今有女子善织，日自倍”，意思是女子每天织布的尺数是前一天的2倍。若第一天织布x尺，则第四天织布__________尺。 5．【2025江苏淮安期中】如图，正方形纸片边长为a，在一角剪去边长为b的小正方形后，把剩余部分剪拼成一个长方形。 （1）分别用含a，b的代数式表示剪拼前后阴影部分的面积； （2）利用所得结论计算2025²−2024²的值。 题型02 代数式的相关概念 1．【2024江苏扬州期中】下列式子：①3a；②3+5=8；③3a−7b<0；④0；⑤s=πr²；⑥2a²−b；⑦2a−1；⑧2x+5y。其中代数式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2．【2025江苏镇江期中】下列各式符合代数式书写规范的是（ ） A. a×3 B. 2½ab C. (a+b)÷c D. x 3．【2025江苏泰州期中】下列关于代数式“3a−b²”的意义，叙述正确的是（ ） A. a的3倍与b的差的平方 B. a与b的平方差的3倍 C. a的3倍与b的平方的差 D. 3a减去b的平方 4．【2024江苏盐城期中】下列各式：①1÷a；②2·x；③3xy；④(x+y)²；⑤m−3人，其中符合书写要求的是__________（填序号）。 5．【2025江苏徐州期中】判断下列各式哪些是代数式，哪些不是，并说明理由： （1）x+1；（2）a=2；（3）π；（4）S=ab；（5）0；（6）3>2；（7）2x−3y。 题型03 已知字母的值求代数式的值 1．【2025江苏苏州期中】当x=−2时，代数式x²−2x+1的值为（ ） A. 1 B. 9 C. −9 D. −1 2．【2024江苏南通期中】若|a|=3，|b|=1，且a<b，则a+b的值为（ ） A. 4 B. −4 C. 2或−4 D. −2或−4 3．【2025江苏连云港期中】当a=2，b=−1时，代数式a²−2ab+b²的值为__________。 4．【2024江苏宿迁期中】若x是−2的相反数，|y|=3，则x−y的值为__________。 5．【2025江苏昆山期中】已知|a−2|+(b+1)²=0，求代数式3a²b+ab²−3(a²b−2ab)+ab²−6ab的值。 题型04 已知式子的值求代数式的值 1．【2024江苏无锡期中】若代数式2x²+3x+7的值为10，则多项式6x²+9x−7的值为（ ） A. 2 B. −2 C. 1 D. −1 2．【2025江苏常州期中】已知x−2y=3，那么代数式3−2x+4y的值是（ ） A. −3 B. 0 C. 6 D. 9 3．【2025江苏苏州四市期中】已知x+2y=5，则代数式2x+4y−3的值为__________。 4．【2024江苏扬州期中】已知当x=2时，多项式ax³+bx+1的值为6，那么当x=−2时，多项式ax³+bx+1的值为__________。 5．【2025江苏镇江期中】仿照示例求代数式的值： （1）已知x−3y=8，求5−x+3y的值； （2）已知a−2b=−3，求4b−2a+7的值； （3）若x²+2xy=−4，xy−y²=−2，求x²+xy+y²的值。 题型05 程序流程图与代数式求值 1．【2025江苏淮安期中】根据如图所示的运算程序（输入x→计算y=2x−3→若y>10则输出y，否则令x=y重新计算），若输入x=4，则输出的y的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 2．【2024江苏盐城期中】按如图所示的运算程序（若x为偶数，则输出；若x为奇数，则输出x+3），开始输入x=15，第1次输出18，第2次输出9，…，则第2025次输出的结果为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 3．【2025江苏泰州期中】按如图所示的运算程序（输入x→计算y=3x−2→若y>10则输出y，否则令x=y重新计算），若输入x=3，则最后输出的结果为__________。 4．【2024江苏南通期中】按如图所示的运算程序（输入x→计算y=2x+1→若y≥20则输出y，否则令x=y重新计算），若开始输入x=1，则最后输出的结果是__________。 5．【2025江苏苏州期中】按如图所示的运算程序：若输入正整数x，当x为偶数时，输出；当x为奇数时，输出3x+1，并把输出结果作为新的输入继续运算。例如输入5，输出依次为16，8，4，2，1。 （1）输入x=7，写出前5次输出的结果； （2）输入x=6，求第2025次输出的结果。 题型06 用代数式表示数的规律 1．【2024江苏南京期中】如图是某月的月历，用一个“十”字形框在月历中任意框住5个数（形如中间数及其上、下、左、右四个相邻数），设框住的中间数为x，则这5个数之和是（ ） A. 5x B. 5x+7 C. 5x−7 D. 5x+14 2．【2025江苏无锡期中】按规律排列的一列数：1，3，7，15，31，…，则第n个数是（ ） A. 2n B. 2n+1 C. 2ⁿ−1 D. 2ⁿ+1 3．【2025江苏常州期中】按规律填数：1，6，11，16，21，…，则第n个数是__________。 4．【2024江苏徐州期中】观察等式：1×3=2²−1，2×4=3²−1，3×5=4²−1，…，则第n个等式为__________。 5．【2025江苏扬州期中】观察下列三行数： ① −2，4，−8，16，−32，… ② 0，6，−6，18，−30，… ③ −1，2，−4，8，−16，… （1）写出第①行第n个数； （2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行的第8个数，计算这三个数的和。 题型07 合并同类项 1．【2025江苏苏州期中】下列计算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab B. 5y−3y=2 C. −(a−b)=−a+b D. 3x²+2x³=5x⁵ 2．【2024江苏镇江期中】下列各组中的两项是同类项的是（ ） A. 3m²n²与−m²n³ B. xy与2yx C. 5³与a³ D. 2x与2y 3．【2025江苏淮安期中】若−4x²yᵐ与6xⁿy³是同类项，则它们的和为（ ） A. 2x²y³ B. −2x²y³ C. −10x²y³ D. 无法合并 4．【2024江苏连云港期中】计算：3a²b−5a²b+2a²b=__________。 5．【2025江苏宿迁期中】合并同类项： （1）5x−8y+5−3x+6y−2； （2）3x²y−4xy²−3+5x²y+2xy²+5。 题型08 单项式问题 1．【2024江苏无锡期中】单项式−的系数和次数分别是（ ） A. −，5 B. −，5 C. −，6 D. −，6 2．【2025江苏苏州期中】下列式子中是单项式的是（ ） A. B. C. −3 D. x+1 3．【2025江苏南京期中】单项式−的系数是__________，次数是__________。 4．【2024江苏常州期中】若−3xᵐyⁿ是六次单项式（m，n为正整数），则2(m+n)=__________。 5．【2025江苏南通期中】指出下列单项式的系数和次数： （1）−a；（2）；（3）−2²x²y³；（4）−。 题型09 多项式问题 1．【2025江苏泰州期中】多项式2x²y−3xy+1的次数和项数分别是（ ） A. 3次3项式 B. 2次3项式 C. 3次2项式 D. 5次3项式 2．【2024江苏扬州期中】下列关于多项式2a²b+ab−1的说法，正确的是（ ） A. 五次三项式 B. 二次项系数是0 C. 最高次项是2a²b D. 常数项是1 3．【2025江苏盐城期中】多项式3x²−2x−1的常数项是__________，二次项系数是__________。 4．【2025江苏徐州期中】在代数式x−y，5a，x²−y+，，xyz，−，中，整式有__________个。 5．【2024江苏淮安期中】指出下列多项式是几次几项式，并写出它们的各项： （1）3x²−2x+5；（2）a³−a²b+ab²−b³；（3）4x³y−5xy²+2x−1。 题型10 多项式系数、指数中字母求值 1．【2024江苏苏州期中】若多项式(a+2)x⁴−xᵇ+x+ab是关于x的三次三项式，则a+b的值为（ ） A. 1 B. −1 C. 5 D. −5 2．【2025江苏无锡期中】若关于x，y的多项式2x²+mx+5y−2nx²−y+5x+7的值与x的取值无关，则m+n的值为（ ） A. −4 B. −5 C. −6 D. 6 3．【2025江苏镇江期中】若−xᵐy与2x²yⁿ⁺¹是同类项，则m=__________，n=__________。 4．【2024江苏常州期中】若多项式3x³+(m+1)x²+x+2没有二次项，则m=__________。 5．【2025江苏南京期中】已知多项式−5x²ᵃ⁺¹y²−x³y³+。 （1）写出该多项式各项的系数和次数； （2）若该多项式是七次多项式，求a的值； （3）在（2）的条件下，把该多项式按x的降幂排列。 题型11 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1． 【2024江苏苏州期中】多项式x⁴y²+2x³y³−3x²−4y⁵是（ ） A. 按x的升幂排列 B. 按x的降幂排列 C. 按y的升幂排列 D. 按y的降幂排列 2．【2025江苏泰州期中】将多项式3x²y−xy²+x³y³−x⁴y⁴−1按x的降幂排列，正确的是（ ） A. −1−xy²+3x²y+x³y³−x⁴y⁴ B. −x⁴y⁴+x³y³+3x²y−xy²−1 C. −x⁴y⁴+x³y³−xy²+3x²y−1 D. −1+3x²y−xy²+x³y³−x⁴y⁴ 3．【2025江苏扬州期中】把多项式ab²−3−a²b+5a³按字母a的降幂排列是__________。 4．【2024江苏淮安期中】将多项式2y³−x²y+x³y²−7按y的升幂排列是__________。 5．【2025江苏苏州期中】已知多项式3x²y−5xy²+y³−2x³。 （1）按x的降幂排列； （2）按y的升幂排列； （3）当x=−1，y=2时，求该多项式的值。 题型12 整式的加减运算 1． 【2025江苏苏州四市期中】下列去括号正确的是（ ） A. −(a+b)=−a+b B. −(3x−2)=−3x−2 C. a−(2a−1)=a−2a+1 D. x−2(y−2)=x−2y−4 2．【2024江苏无锡期中】两个三次多项式相加，结果一定是（ ） A. 六次多项式 B. 三次多项式 C. 次数不高于三次的多项式 D. 次数不高于三次的整式 3．【2025江苏南通期中】去括号：−2(2y−x)=__________。 4．【2025江苏连云港期中】一个代数式减去x²−y²等于x²+y²，则这个代数式为__________。 5．【2024江苏常州期中】计算： （1）2x−5y−3x+y； （2）3(2a²−ab)−2(3a²−2ab)； （3）2(2a−9b)+3(−5a−4b)−3b。 题型13 整式的化简求值 1．【2025江苏苏州期中】已知M=9x²−4x+3，N=5x²+4x−2，则M与N的大小关系是（ ） A. M>N B. M=N C. M<N D. 不能确定 2．【2024江苏镇江期中】化简(3a²−2ab)−[a²−2(3ab−a²)]的结果是__________。 3．【2025江苏扬州期中】先化简，再求值：5(3a²b−ab²)−4(−ab²+3a²b)，其中a=−2，b=3。 4．【2024江苏南京期中】已知A=2x²+3xy−2x，B=x²−xy+1。 （1）求3A−6B； （2）当x=−1，y=2时，求3A−6B的值。 5．【2025江苏徐州期中】一位同学做题目“已知两个多项式A，B，计算2A+B”，误将“2A+B”看成“A+2B”，求得结果为9x²−2x+7，已知B=x²+3x−2，求正确答案。 题型14 整式加减中的无关型问题 1．【2024江苏盐城期中】若关于x的多项式2x²+mx+nx²−5x−1的值与x的取值无关，则m，n的值为（ ） A. m=5，n=−2 B. m=−5，n=2 C. m=−5，n=−2 D. m=5，n=2 2．【2025江苏淮安期中】若多项式(2x²+ax−y+6)−(2bx²−3x+5y−1)的值与x无关，则a=__________，b=__________。 3．【2025江苏泰州期中】已知A=2x²+3xy−2x，B=x²−xy+1，若3A−6B的值与x的取值无关，求y的值。 4．【2024江苏苏州期中】已知多项式(2mx²−x²+3x+1)−(5x²−4y²+3x)，是否存在m，使该多项式的值与x无关？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。 5．【2025江苏无锡期中】有一道题：“当a=2，b=−2时，求多项式3a³b³−a²b+b−(4a³b³−a²b−b²)+(a³b³+a²b)−2b²+3的值。”甲同学把a=2抄成a=−2，乙同学没抄错，但两人的结果却一样，为什么？ 题型15 整式加减的应用 1．【2025江苏昆山期中】长方形的一边长为3m+2n，另一边比它大m−n，则这个长方形的周长为（ ） A. 14m+6n B. 7m+3n C. 4m+n D. 8m+2n 2．【2024江苏南通期中】三角形的第一条边长为2a+5b，第二条边比第一条边长3a−2b，第三条边比第二条边短3a，则这个三角形的周长为__________。 3．【2025江苏常州期中】一块长方形空地，宽为3a米，长为b米，在四个顶点处各修一个半径为a米的扇形花圃，其余部分铺地砖，则铺地砖的面积为__________平方米。 4．【2024江苏扬州期中】如图，长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，点E是CD的中点，点F在BC上，设BF=x cm。 （1）当x=2时，求阴影部分（△AEF）的面积； （2）用含x的代数式表示阴影部分的面积S。 5．【2025江苏苏州四市期中】某超市推出购物优惠方案：①购物款不超过300元时，不优惠；②超过300元但不超过600元时，按九折优惠；③超过600元时，其中600元部分按九折优惠，超过600元的部分按七折优惠。 （1）若购物款a=500元，实际应付款多少元？当a>600时，用含a的代数式表示实际应付款； （2）若某人两次购物原价合计1200元，第一次购物原价为x元（600<x<900），用含x的代数式表示两次购物实际付款的总金额。 题型16 新定义题型 1．【2025江苏苏州四市期中】定义新运算：x∞y=|x+y|−|y|，则3∞(−5)的值为（ ） A. 3 B. −3 C. 5 D. −5 2．【2024江苏南京期中】定义f(x)=x²+3x−5，则f(−1)=__________。 3．【2025江苏无锡期中】定义a⊗b=a²−ab，则(−2)⊗3=__________。 4．【2024江苏镇江期中】规定一种新运算：◎．如◎． （1）求◎的值； （2）化简◎； （3）若◎的值与的取值无关，求有理数的值． 5．【2025江苏徐州期中】用求和符号“∑”表示求和，如1+2+…+100=∑ₖ₌₁¹⁰⁰k，1+3+…+99=∑ₖ₌₁⁵⁰(2k−1)。 （1）把∑ₖ₌₁⁵(k²−1)写成加法形式，并计算其结果； （2）用∑表示2+4+6+…+60； （3）计算∑ₖ₌₁¹⁰k(k+1)。 题型17 图形类规律探索 1．【2024江苏常州期中】如图，按规律用火柴棒拼正方形：第1个图形用4根火柴棒，第2个用7根，第3个用10根，…，则第10个图形用火柴棒的根数为（ ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 33 2．【2025江苏苏州期中】用火柴棒按如图规律摆三角形：第1个图形用3根，第2个用5根，第3个用7根，…，则第n个图形用火柴棒的根数为（ ） A. 2n+1 B. 2n−1 C. 3n D. 3n−1 3．【2025江苏无锡期中】一张纸片第一次撕成4片，以后每一次都将其中的一片撕成4片，则撕到第n次时共有__________张纸片。 4．【2024江苏淮安期中】如图，用黑点按一定规律排列：第1个图形有1个黑点，第2个有3个，第3个有6个，…，则第n个图形中黑点的个数为__________。 5．【2025江苏泰州期中】如图，用大小相同的黑色小正方形按一定规律拼图案：第1个图案有3个黑色小正方形，第2个有8个，第3个有15个，… （1）第4个图案有多少个黑色小正方形？ （2）用含n的代数式表示第n个图案中黑色小正方形的个数； （3）第n个图案中黑色小正方形的个数能否为2024？若能，求出n的值；若不能，说明理由。 答案与解析 说明：以下每小题均按“原题 + 答案 + 解析”的方式编排，便于对照订正。 题型01 用字母表示数 1．【2024江苏苏州期中】用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ） A. 2(a−b)² B. 2a−b² C. (2a−b)² D. (a−2b)² 【答案】C 【解析】a的2倍是2a，与b的差是2a−b，再平方得(2a−b)²。注意应先算“2a与b的差”，再对差平方，不能写成2a−b²或2(a−b)²。 2．【2025江苏无锡期中】某文具原价为每件m元，开学季每件降价5元，在此基础上新生还可享受九折优惠，一名新生购买一件该文具需付款（ ） A. 0.9m元 B. 0.9(m−5)元 C. (0.9m−5)元 D. (m−5×0.9)元 【答案】B 【解析】先降价5元，价格为(m−5)元；新生再打九折，即乘以0.9，得0.9(m−5)元。注意“先减后乘”的顺序，不能写成(0.9m−5)元。 3．【2025江苏南京期中】“x的2倍与5的和”用代数式表示为__________。 【答案】2x+5 【解析】x的2倍是2x，与5的和即2x+5。 4．【2024江苏常州期中】《九章算术》中记载：“今有女子善织，日自倍”，意思是女子每天织布的尺数是前一天的2倍。若第一天织布x尺，则第四天织布__________尺。 【答案】8x 【解析】每天织布是前一天的2倍：第一天x尺，第二天2x尺，第三天4x尺，第四天8x尺。 5．【2025江苏淮安期中】如图，正方形纸片边长为a，在一角剪去边长为b的小正方形后，把剩余部分剪拼成一个长方形。 （1）分别用含a，b的代数式表示剪拼前后阴影部分的面积； （2）利用所得结论计算2025²−2024²的值。 【答案】（1）剪拼前：a²−b²；剪拼后：(a+b)(a−b)；（2）4049 【解析】剪拼前后阴影部分的面积不变，所以a²−b²=(a+b)(a−b)。于是2025²−2024²=(2025+2024)×(2025−2024)=4049×1=4049。 题型02 代数式的相关概念 1．【2024江苏扬州期中】下列式子：①3a；②3+5=8；③3a−7b<0；④0；⑤s=πr²；⑥2a²−b；⑦2a−1；⑧2x+5y。其中代数式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】代数式中不含等号、不等号。②3+5=8、⑤s=πr²是等式，③3a−7b<0是不等式，都不是代数式；①3a、④0、⑥2a²−b、⑦2a−1、⑧2x+5y都是代数式，共5个。注意单独一个数（如0）也是代数式。 2．【2025江苏镇江期中】下列各式符合代数式书写规范的是（ ） A. a×3 B. 2½ab C. (a+b)÷c D. x 【答案】D 【解析】A应写成3a（数字写在字母前面）；B带分数应化为假分数写成ab；C除法应写成分数形式；D写成x，符合书写规范。 3．【2025江苏泰州期中】下列关于代数式“3a−b²”的意义，叙述正确的是（ ） A. a的3倍与b的差的平方 B. a与b的平方差的3倍 C. a的3倍与b的平方的差 D. 3a减去b的平方 【答案】C 【解析】3a表示a的3倍，b²表示b的平方，3a−b²表示“a的3倍与b的平方的差”。A、D把“平方”的位置弄错，B多算了一个3倍。 4．【2024江苏盐城期中】下列各式：①1÷a；②2·x；③3xy；④(x+y)²；⑤m−3人，其中符合书写要求的是__________（填序号）。 【答案】③④ 【解析】①应写成；②乘号应省略，写成2x；⑤应写成(m−3)人；只有③3xy、④(x+y)²书写规范。 5．【2025江苏徐州期中】判断下列各式哪些是代数式，哪些不是，并说明理由： （1）x+1；（2）a=2；（3）π；（4）S=ab；（5）0；（6）3>2；（7）2x−3y。 【答案】（1）（3）（5）（7）是代数式；（2）（4）是等式；（6）是不等式 【解析】用运算符号把数与字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。所以(1)x+1、(3)π、(5)0、(7)2x−3y是代数式；(2)a=2、(4)S=ab含等号，是等式；(6)3>2含不等号，是不等式，它们都不是代数式。 题型03 已知字母的值求代数式的值 1．【2025江苏苏州期中】当x=−2时，代数式x²−2x+1的值为（ ） A. 1 B. 9 C. −9 D. −1 【答案】B 【解析】把x=−2代入：(−2)²−2×(−2)+1=4+4+1=9。负数代入时一定要加括号。 2．【2024江苏南通期中】若|a|=3，|b|=1，且a<b，则a+b的值为（ ） A. 4 B. −4 C. 2或−4 D. −2或−4 【答案】D 【解析】由|a|=3得a=±3，由|b|=1得b=±1。因为a<b，所以a=−3。当b=1时a+b=−2；当b=−1时a+b=−4。所以a+b的值为−2或−4。 3．【2025江苏连云港期中】当a=2，b=−1时，代数式a²−2ab+b²的值为__________。 【答案】9 【解析】先利用完全平方公式：a²−2ab+b²=(a−b)²=［2−(−1)］²=3²=9。（也可直接代入a=2，b=−1计算。） 4．【2024江苏宿迁期中】若x是−2的相反数，|y|=3，则x−y的值为__________。 【答案】−1或5 【解析】x是−2的相反数，所以x=2；由|y|=3得y=3或y=−3。当y=3时，x−y=2−3=−1；当y=−3时，x−y=2−(−3)=5。 5．【2025江苏昆山期中】已知|a−2|+(b+1)²=0，求代数式3a²b+ab²−3(a²b−2ab)+ab²−6ab的值。 【答案】4 【解析】由绝对值与平方的非负性得a−2=0且b+1=0，即a=2，b=−1。先化简：原式=3a²b+ab²−3a²b+6ab+ab²−6ab=2ab²。当a=2，b=−1时，2ab²=2×2×(−1)²=2×2×1=4。 题型04 已知式子的值求代数式的值 1．【2024江苏无锡期中】若代数式2x²+3x+7的值为10，则多项式6x²+9x−7的值为（ ） A. 2 B. −2 C. 1 D. −1 【答案】A 【解析】由2x²+3x+7=10得2x²+3x=3。6x²+9x=3(2x²+3x)=3×3=9，所以6x²+9x−7=9−7=2。整体代入是关键。 2．【2025江苏常州期中】已知x−2y=3，那么代数式3−2x+4y的值是（ ） A. −3 B. 0 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】3−2x+4y=3−2(x−2y)=3−2×3=3−6=−3。把x−2y看作一个整体。 3．【2025江苏苏州四市期中】已知x+2y=5，则代数式2x+4y−3的值为__________。 【答案】7 【解析】2x+4y−3=2(x+2y)−3=2×5−3=10−3=7。 4．【2024江苏扬州期中】已知当x=2时，多项式ax³+bx+1的值为6，那么当x=−2时，多项式ax³+bx+1的值为__________。 【答案】−4 【解析】当x=2时，8a+2b+1=6，所以8a+2b=5；当x=−2时，ax³+bx+1=−8a−2b+1=−(8a+2b)+1=−5+1=−4。注意奇次幂的符号变化。 5．【2025江苏镇江期中】仿照示例求代数式的值： （1）已知x−3y=8，求5−x+3y的值； （2）已知a−2b=−3，求4b−2a+7的值； （3）若x²+2xy=−4，xy−y²=−2，求x²+xy+y²的值。 【答案】（1）−3；（2）13；（3）−2 【解析】(1) 5−x+3y=5−(x−3y)=5−8=−3；(2) 4b−2a+7=−2(a−2b)+7=−2×(−3)+7=6+7=13；(3) x²+xy+y²=(x²+2xy)−(xy−y²)=−4−(−2)=−4+2=−2。 题型05 程序流程图与代数式求值 1．【2025江苏淮安期中】根据如图所示的运算程序（输入x→计算y=2x−3→若y>10则输出y，否则令x=y重新计算），若输入x=4，则输出的y的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】x=4时y=2×4−3=5（5<10，继续）；把y作为新的x，x=5时y=2×5−3=7（7<10，继续）；x=7时y=2×7−3=11（11>10），输出11。 2．【2024江苏盐城期中】按如图所示的运算程序（若x为偶数，则输出；若x为奇数，则输出x+3），开始输入x=15，第1次输出18，第2次输出9，…，则第2025次输出的结果为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】A 【解析】15是奇数，加3得18；18是偶数，除以2得9；9是奇数，加3得12；12是偶数，除以2得6；6是偶数，除以2得3；3是奇数，加3得6……从第4次输出起在6、3之间交替。第2025次是奇数次序，输出3。 3．【2025江苏泰州期中】按如图所示的运算程序（输入x→计算y=3x−2→若y>10则输出y，否则令x=y重新计算），若输入x=3，则最后输出的结果为__________。 【答案】19 【解析】x=3时y=3×3−2=7（7<10，继续）；把y作为新的x，x=7时y=3×7−2=19（19>10），输出19。 4．【2024江苏南通期中】按如图所示的运算程序（输入x→计算y=2x+1→若y≥20则输出y，否则令x=y重新计算），若开始输入x=1，则最后输出的结果是__________。 【答案】31 【解析】x=1时y=2×1+1=3（<20，继续）；x=3时y=7（<20，继续）；x=7时y=15（<20，继续）；x=15时y=31（≥20），输出31。 5．【2025江苏苏州期中】按如图所示的运算程序：若输入正整数x，当x为偶数时，输出；当x为奇数时，输出3x+1，并把输出结果作为新的输入继续运算。例如输入5，输出依次为16，8，4，2，1。 （1）输入x=7，写出前5次输出的结果； （2）输入x=6，求第2025次输出的结果。 【答案】（1）22，11，34，17，52；（2）4 【解析】(1) 7是奇数→3×7+1=22；22是偶数→22÷2=11；11是奇数→34；34是偶数→17；17是奇数→52。(2) 6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→…，从第6次输出起按4、2、1循环（周期为3）。因为2025−6=2019=3×673，所以第2025次输出的结果与第6次相同，为4。 题型06 用代数式表示数的规律 1．【2024江苏南京期中】如图是某月的月历，用一个“十”字形框在月历中任意框住5个数（形如中间数及其上、下、左、右四个相邻数），设框住的中间数为x，则这5个数之和是（ ） A. 5x B. 5x+7 C. 5x−7 D. 5x+14 【答案】A 【解析】月历中同一行相邻两数相差1，同一列相邻两数相差7。设中间数为x，则上、下两数分别为x−7、x+7，左、右两数分别为x−1、x+1。五数之和为(x−7)+(x+7)+(x−1)+(x+1)+x=5x。 2．【2025江苏无锡期中】按规律排列的一列数：1，3，7，15，31，…，则第n个数是（ ） A. 2n B. 2n+1 C. 2ⁿ−1 D. 2ⁿ+1 【答案】C 【解析】1=2¹−1，3=2²−1，7=2³−1，15=2⁴−1，31=2⁵−1，所以第n个数是2ⁿ−1。 3．【2025江苏常州期中】按规律填数：1，6，11，16，21，…，则第n个数是__________。 【答案】5n−4 【解析】相邻两个数相差5，首项为1，所以第n个数为1+5(n−1)=5n−4。 4．【2024江苏徐州期中】观察等式：1×3=2²−1，2×4=3²−1，3×5=4²−1，…，则第n个等式为__________。 【答案】n(n+2)=(n+1)²−1 【解析】每个等式的左边是两个相差2的数之积（n与n+2），右边是这两个数中间数的平方减去1，即n(n+2)=(n+1)²−1。 5．【2025江苏扬州期中】观察下列三行数： ① −2，4，−8，16，−32，… ② 0，6，−6，18，−30，… ③ −1，2，−4，8，−16，… （1）写出第①行第n个数； （2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行的第8个数，计算这三个数的和。 【答案】（1）(−2)ⁿ；（2）第②行=第①行+2，第③行=第①行÷2；（3）642 【解析】(1) 第①行是首项为−2、公比为−2的等比数列，第n个数为(−2)ⁿ。(2) 第①行−2对应第②行0、4对应6，故第②行=第①行+2；第①行−2对应第③行−1、4对应2，故第③行=第①行÷2。(3) 每行第8个数：①(−2)⁸=256，②256+2=258，③256÷2=128，三数之和为256+258+128=642。 题型07 合并同类项 1．【2025江苏苏州期中】下列计算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab B. 5y−3y=2 C. −(a−b)=−a+b D. 3x²+2x³=5x⁵ 【答案】C 【解析】A中3a与2b不是同类项，不能合并；B中5y−3y=2y，而不是2；D中3x²与2x³不是同类项，不能合并；C去括号时括号前是负号，各项都变号，−(a−b)=−a+b，正确。 2．【2024江苏镇江期中】下列各组中的两项是同类项的是（ ） A. 3m²n²与−m²n³ B. xy与2yx C. 5³与a³ D. 2x与2y 【答案】B 【解析】同类项要求所含字母相同、相同字母的指数也相同，与字母的排列顺序无关，所以xy与2yx是同类项。 3．【2025江苏淮安期中】若−4x²yᵐ与6xⁿy³是同类项，则它们的和为（ ） A. 2x²y³ B. −2x²y³ C. −10x²y³ D. 无法合并 【答案】A 【解析】由同类项得n=2，m=3，两项分别为−4x²y³和6x²y³，和为(−4+6)x²y³=2x²y³。 4．【2024江苏连云港期中】计算：3a²b−5a²b+2a²b=__________。 【答案】0 【解析】各项都是同类项，系数相加：(3−5+2)a²b=0。 5．【2025江苏宿迁期中】合并同类项： （1）5x−8y+5−3x+6y−2； （2）3x²y−4xy²−3+5x²y+2xy²+5。 【答案】（1）2x−2y+3；（2）8x²y−2xy²+2 【解析】合并同类项时只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变。(1) 原式=(5x−3x)+(−8y+6y)+(5−2)=2x−2y+3；(2) 原式=(3x²y+5x²y)+(−4xy²+2xy²)+(−3+5)=8x²y−2xy²+2。 题型08 单项式问题 1．【2024江苏无锡期中】单项式−的系数和次数分别是（ ） A. −，5 B. −，5 C. −，6 D. −，6 【答案】B 【解析】π是常数，要算进系数里，所以系数是−；次数是所有字母指数之和2+3=5。 2．【2025江苏苏州期中】下列式子中是单项式的是（ ） A. B. C. −3 D. x+1 【答案】C 【解析】A是多项式；B中字母在分母上，不是整式；D是多项式；只有C单独的一个数−3是单项式。 3．【2025江苏南京期中】单项式−的系数是__________，次数是__________。 【答案】−，4 【解析】单项式的系数包括前面的符号，系数是−；次数是1+3=4。 4．【2024江苏常州期中】若−3xᵐyⁿ是六次单项式（m，n为正整数），则2(m+n)=__________。 【答案】12 【解析】单项式的次数是各字母指数之和，所以m+n=6，则2(m+n)=12。 5．【2025江苏南通期中】指出下列单项式的系数和次数： （1）−a；（2）；（3）−2²x²y³；（4）−。 【答案】（1）系数−1，次数1；（2）系数，次数2；（3）系数−4，次数5；（4）系数−，次数6 【解析】π是常数，要算进系数里；(3)中−2²=−4是系数的一部分，次数为2+3=5；(4)系数为−，次数为1+2+3=6。 题型09 多项式问题 1．【2025江苏泰州期中】多项式2x²y−3xy+1的次数和项数分别是（ ） A. 3次3项式 B. 2次3项式 C. 3次2项式 D. 5次3项式 【答案】A 【解析】2x²y的次数是2+1=3，是最高次项，多项式共3项，所以是三次三项式。 2．【2024江苏扬州期中】下列关于多项式2a²b+ab−1的说法，正确的是（ ） A. 五次三项式 B. 二次项系数是0 C. 最高次项是2a²b D. 常数项是1 【答案】C 【解析】2a²b的次数是3，故是三次三项式（A错）；二次项是ab，系数为1（B错）；最高次项是2a²b（C对）；常数项是−1（D错）。 3．【2025江苏盐城期中】多项式3x²−2x−1的常数项是__________，二次项系数是__________。 【答案】−1，3 【解析】不含字母的项−1是常数项；二次项是3x²，系数为3。 4．【2025江苏徐州期中】在代数式x−y，5a，x²−y+，，xyz，−，中，整式有__________个。 【答案】6 【解析】整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母。−的分母含字母，是分式，不是整式；其余x−y、5a、x²−y+、、xyz、都是整式，共6个。 5．【2024江苏淮安期中】指出下列多项式是几次几项式，并写出它们的各项： （1）3x²−2x+5；（2）a³−a²b+ab²−b³；（3）4x³y−5xy²+2x−1。 【答案】（1）二次三项式，各项为3x²、−2x、5；（2）三次四项式，各项为a³、−a²b、ab²、−b³；（3）四次四项式，各项为4x³y、−5xy²、2x、−1 【解析】多项式的次数是次数最高项的次数，项数是单项式的个数。注意写每项时要连同它前面的符号。 题型10 多项式系数、指数中字母求值 1．【2024江苏苏州期中】若多项式(a+2)x⁴−xᵇ+x+ab是关于x的三次三项式，则a+b的值为（ ） A. 1 B. −1 C. 5 D. −5 【答案】A 【解析】因为该多项式是关于x的三次三项式，所以x⁴项的系数为0，即a+2=0，a=−2；最高次为三次，所以b=3。此时多项式为−x³+x+(−2)×3=−x³+x−6，恰为三项。故a+b=−2+3=1。 2．【2025江苏无锡期中】若关于x，y的多项式2x²+mx+5y−2nx²−y+5x+7的值与x的取值无关，则m+n的值为（ ） A. −4 B. −5 C. −6 D. 6 【答案】A 【解析】原式整理为(2−2n)x²+(m+5)x+4y+7。要使多项式的值与x无关，则含x的项系数都为0：2−2n=0得n=1，m+5=0得m=−5，所以m+n=−4。 3．【2025江苏镇江期中】若−xᵐy与2x²yⁿ⁺¹是同类项，则m=__________，n=__________。 【答案】2，0 【解析】同类项相同字母的指数相同，所以m=2，n+1=1，解得n=0。 4．【2024江苏常州期中】若多项式3x³+(m+1)x²+x+2没有二次项，则m=__________。 【答案】−1 【解析】多项式没有二次项，说明二次项系数为0，即m+1=0，所以m=−1。 5．【2025江苏南京期中】已知多项式−5x²ᵃ⁺¹y²−x³y³+。 （1）写出该多项式各项的系数和次数； （2）若该多项式是七次多项式，求a的值； （3）在（2）的条件下，把该多项式按x的降幂排列。 【答案】（1）−5x²ᵃ⁺¹y²：系数−5，次数2a+3；−x³y³：系数−，次数6；：系数，次数5；（2）a=2；（3）−5x⁵y²+−x³y³ 【解析】(1) 各项次数分别为(2a+1)+2=2a+3、3+3=6、4+1=5，系数分别为−5、−、。(2) 该多项式是七次多项式，说明最高次项的次数为7，即2a+3=7，解得a=2（另两项次数6、5都小于7）。(3) a=2时第一项为−5x⁵y²，按x的降幂排列为−5x⁵y²+−x³y³（x的次数依次为5、4、3）。 题型11 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．【2024江苏苏州期中】多项式x⁴y²+2x³y³−3x²−4y⁵是（ ） A. 按x的升幂排列 B. 按x的降幂排列 C. 按y的升幂排列 D. 按y的降幂排列 【答案】B 【解析】各项中x的次数依次为4、3、2、0（−4y⁵不含x，看作0次），从高到低排列，所以是按x的降幂排列。 2．【2025江苏泰州期中】将多项式3x²y−xy²+x³y³−x⁴y⁴−1按x的降幂排列，正确的是（ ） A. −1−xy²+3x²y+x³y³−x⁴y⁴ B. −x⁴y⁴+x³y³+3x²y−xy²−1 C. −x⁴y⁴+x³y³−xy²+3x²y−1 D. −1+3x²y−xy²+x³y³−x⁴y⁴ 【答案】B 【解析】各项中x的次数依次为2、1、3、4、0。按x的降幂排列应把含x⁴的项排在最前面：−x⁴y⁴+x³y³+3x²y−xy²−1。移动每一项时要连同它前面的符号。 3．【2025江苏扬州期中】把多项式ab²−3−a²b+5a³按字母a的降幂排列是__________。 【答案】5a³−a²b+ab²−3 【解析】各项中a的次数依次为1、0、2、3，按a的降幂排列为5a³−a²b+ab²−3。 4．【2024江苏淮安期中】将多项式2y³−x²y+x³y²−7按y的升幂排列是__________。 【答案】−7−x²y+x³y²+2y³ 【解析】各项中y的次数依次为3、1、2、0，按y的升幂排列为−7−x²y+x³y²+2y³。 5．【2025江苏苏州期中】已知多项式3x²y−5xy²+y³−2x³。 （1）按x的降幂排列； （2）按y的升幂排列； （3）当x=−1，y=2时，求该多项式的值。 【答案】（1）−2x³+3x²y−5xy²+y³；（2）−2x³+3x²y−5xy²+y³；（3）36 【解析】(1) 按x降幂，把含x³的−2x³排在最前，得−2x³+3x²y−5xy²+y³。(2) 按y升幂，把不含y的−2x³排在最前，同样得−2x³+3x²y−5xy²+y³，与(1)结果相同。(3) 代入x=−1，y=2：−2×(−1)³+3×(−1)²×2−5×(−1)×2²+2³=2+6+20+8=36。 题型12 整式的加减运算 1．【2025江苏苏州四市期中】下列去括号正确的是（ ） A. −(a+b)=−a+b B. −(3x−2)=−3x−2 C. a−(2a−1)=a−2a+1 D. x−2(y−2)=x−2y−4 【答案】C 【解析】A应为−a−b；B应为−3x+2；D应为x−2y+4；C括号前是负号，去括号后各项变号，a−(2a−1)=a−2a+1，正确。 2．【2024江苏无锡期中】两个三次多项式相加，结果一定是（ ） A. 六次多项式 B. 三次多项式 C. 次数不高于三次的多项式 D. 次数不高于三次的整式 【答案】D 【解析】两个三次多项式相加，三次项可能抵消，结果一定是次数不高于3的整式（可能是单项式，也可能是多项式）。注意“整式”包含单项式，选D更准确。 3．【2025江苏南通期中】去括号：−2(2y−x)=__________。 【答案】2x−4y 【解析】−2(2y−x)=−4y+2x=2x−4y，注意括号内每一项都要乘−2。 4．【2025江苏连云港期中】一个代数式减去x²−y²等于x²+y²，则这个代数式为__________。 【答案】2x² 【解析】被减数=差+减数=(x²+y²)+(x²−y²)=2x²。 5．【2024江苏常州期中】计算： （1）2x−5y−3x+y； （2）3(2a²−ab)−2(3a²−2ab)； （3）2(2a−9b)+3(−5a−4b)−3b。 【答案】（1）−x−4y；（2）ab；（3）−11a−33b 【解析】(1) 原式=(2x−3x)+(−5y+y)=−x−4y；(2) 原式=6a²−3ab−6a²+4ab=ab；(3) 原式=4a−18b−15a−12b−3b=−11a−33b。 题型13 整式的化简求值 1．【2025江苏苏州期中】已知M=9x²−4x+3，N=5x²+4x−2，则M与N的大小关系是（ ） A. M>N B. M=N C. M<N D. 不能确定 【答案】A 【解析】M−N=(9x²−4x+3)−(5x²+4x−2)=4x²−8x+5=4(x−1)²+1>0，所以M>N。 2．【2024江苏镇江期中】化简(3a²−2ab)−[a²−2(3ab−a²)]的结果是__________。 【答案】4ab 【解析】原式=3a²−2ab−[a²−6ab+2a²]=3a²−2ab−3a²+6ab=4ab。注意中括号前是负号，去括号后各项都要变号。 3．【2025江苏扬州期中】先化简，再求值：5(3a²b−ab²)−4(−ab²+3a²b)，其中a=−2，b=3。 【答案】化简得3a²b−ab²，值为54 【解析】原式=15a²b−5ab²+4ab²−12a²b=3a²b−ab²。当a=−2，b=3时，3×(−2)²×3−(−2)×3²=3×4×3+2×9=36+18=54。 4．【2024江苏南京期中】已知A=2x²+3xy−2x，B=x²−xy+1。 （1）求3A−6B； （2）当x=−1，y=2时，求3A−6B的值。 【答案】（1）15xy−6x−6；（2）−30 【解析】(1) 3A−6B=3(2x²+3xy−2x)−6(x²−xy+1)=6x²+9xy−6x−6x²+6xy−6=15xy−6x−6；(2) 当x=−1，y=2时，15×(−1)×2−6×(−1)−6=−30+6−6=−30。 5．【2025江苏徐州期中】一位同学做题目“已知两个多项式A，B，计算2A+B”，误将“2A+B”看成“A+2B”，求得结果为9x²−2x+7，已知B=x²+3x−2，求正确答案。 【答案】15x²−13x+20 【解析】由“A+2B=9x²−2x+7”得A=9x²−2x+7−2B=9x²−2x+7−2(x²+3x−2)=7x²−8x+11。所以2A+B=2(7x²−8x+11)+(x²+3x−2)=14x²−16x+22+x²+3x−2=15x²−13x+20。 题型14 整式加减中的无关型问题 1．【2024江苏盐城期中】若关于x的多项式2x²+mx+nx²−5x−1的值与x的取值无关，则m，n的值为（ ） A. m=5，n=−2 B. m=−5，n=2 C. m=−5，n=−2 D. m=5，n=2 【答案】A 【解析】原式=(2+n)x²+(m−5)x−1。它与x的取值无关，说明含x的项系数都为0，即2+n=0，m−5=0，所以n=−2，m=5。 2．【2025江苏淮安期中】若多项式(2x²+ax−y+6)−(2bx²−3x+5y−1)的值与x无关，则a=__________，b=__________。 【答案】−3，1 【解析】原式=2x²+ax−y+6−2bx²+3x−5y+1=(2−2b)x²+(a+3)x−6y+7。它与x无关，则2−2b=0，a+3=0，解得b=1，a=−3。 3．【2025江苏泰州期中】已知A=2x²+3xy−2x，B=x²−xy+1，若3A−6B的值与x的取值无关，求y的值。 【答案】y= 【解析】3A−6B=15xy−6x−6=(15y−6)x−6。它与x的取值无关，则15y−6=0，解得y=。 4．【2024江苏苏州期中】已知多项式(2mx²−x²+3x+1)−(5x²−4y²+3x)，是否存在m，使该多项式的值与x无关？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。 【答案】存在，m=3 【解析】原式=2mx²−x²+3x+1−5x²+4y²−3x=(2m−6)x²+4y²+1。要使它与x无关，则2m−6=0，解得m=3。所以存在m=3。 5．【2025江苏无锡期中】有一道题：“当a=2，b=−2时，求多项式3a³b³−a²b+b−(4a³b³−a²b−b²)+(a³b³+a²b)−2b²+3的值。”甲同学把a=2抄成a=−2，乙同学没抄错，但两人的结果却一样，为什么？ 【答案】化简后结果为−b²+b+3，不含字母a，所以甲、乙的结果一样 【解析】原式=3a³b³−a²b+b−4a³b³+a²b+b²+a³b³+a²b−2b²+3。其中a³b³的系数3−4+1=0，a²b的系数−++=0，所以化简得−b²+b+3，结果与a无关。把b=−2代入得−4−2+3=−3，两人结果相同。 题型15 整式加减的应用 1．【2025江苏昆山期中】长方形的一边长为3m+2n，另一边比它大m−n，则这个长方形的周长为（ ） A. 14m+6n B. 7m+3n C. 4m+n D. 8m+2n 【答案】A 【解析】另一边长为(3m+2n)+(m−n)=4m+n。周长=2［(3m+2n)+(4m+n)］=2(7m+3n)=14m+6n。 2．【2024江苏南通期中】三角形的第一条边长为2a+5b，第二条边比第一条边长3a−2b，第三条边比第二条边短3a，则这个三角形的周长为__________。 【答案】9a+11b 【解析】第二条边为(2a+5b)+(3a−2b)=5a+3b；第三条边为(5a+3b)−3a=2a+3b。周长=(2a+5b)+(5a+3b)+(2a+3b)=9a+11b。 3．【2025江苏常州期中】一块长方形空地，宽为3a米，长为b米，在四个顶点处各修一个半径为a米的扇形花圃，其余部分铺地砖，则铺地砖的面积为__________平方米。 【答案】3ab−πa² 【解析】四个顶点处的扇形恰好拼成一个半径为a的整圆，面积为πa²；长方形空地的面积为3a·b=3ab。所以铺地砖的面积为(3ab−πa²)平方米。 4．【2024江苏扬州期中】如图，长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，点E是CD的中点，点F在BC上，设BF=x cm。 （1）当x=2时，求阴影部分（△AEF）的面积； （2）用含x的代数式表示阴影部分的面积S。 【答案】S=16−2x；（1）当x=2时，S=12 cm² 【解析】长方形ABCD的面积为8×4=32 cm²。△ADE的面积为×4×4=8 cm²；因为E是CD中点，EC=4，△CEF的面积为×4×(4−x)=8−2x；△ABF的面积为×8×x=4x。所以S=32−8−(8−2x)−4x=16−2x。当x=2时，S=16−4=12 cm²。 5．【2025江苏苏州四市期中】某超市推出购物优惠方案：①购物款不超过300元时，不优惠；②超过300元但不超过600元时，按九折优惠；③超过600元时，其中600元部分按九折优惠，超过600元的部分按七折优惠。 （1）若购物款a=500元，实际应付款多少元？当a>600时，用含a的代数式表示实际应付款； （2）若某人两次购物原价合计1200元，第一次购物原价为x元（600<x<900），用含x的代数式表示两次购物实际付款的总金额。 【答案】（1）450元；当a>600时实际应付款为(0.7a+120)元；（2）(1200−0.2x)元 【解析】(1) a=500在300到600之间，按九折付款：500×0.9=450（元）。当a>600时，应付款=600×0.9+(a−600)×0.7=540+0.7a−420=0.7a+120（元）。(2) 第一次原价x元（600<x<900）属于“超过600元”的情况，应付款0.7x+120元；第二次原价(1200−x)元，因为600<x<900，所以300<1200−x<600，按九折付款，应付款0.9(1200−x)元。两次共付(0.7x+120)+0.9(1200−x)=0.7x+120+1080−0.9x=1200−0.2x（元）。 题型16 新定义题型 1．【2025江苏苏州四市期中】定义新运算：x∞y=|x+y|−|y|，则3∞(−5)的值为（ ） A. 3 B. −3 C. 5 D. −5 【答案】B 【解析】按定义，3∞(−5)=|3+(−5)|−|−5|=|−2|−5=2−5=−3。 2．【2024江苏南京期中】定义f(x)=x²+3x−5，则f(−1)=__________。 【答案】−7 【解析】f(−1)=(−1)²+3×(−1)−5=1−3−5=−7。 3．【2025江苏无锡期中】定义a⊗b=a²−ab，则(−2)⊗3=__________。 【答案】10 【解析】(−2)⊗3=(−2)²−(−2)×3=4+6=10。 4．【2024江苏镇江期中】规定一种新运算：◎．如◎． （1）求◎的值； （2）化简◎； （3）若◎的值与的取值无关，求有理数的值． 【答案】(1)-13;(2)-11xy+8;(3)4 【解析】解：（1）◎ ； （2）◎ ； （3）◎ ， ◎的值与的取值无关， ，解得：． 5．【2025江苏徐州期中】用求和符号“∑”表示求和，如1+2+…+100=∑ₖ₌₁¹⁰⁰k，1+3+…+99=∑ₖ₌₁⁵⁰(2k−1)。 （1）把∑ₖ₌₁⁵(k²−1)写成加法形式，并计算其结果； （2）用∑表示2+4+6+…+60； （3）计算∑ₖ₌₁¹⁰k(k+1)。 【答案】（1）50；（2）∑ₖ₌₁³⁰2k；（3）440 【解析】(1) ∑ₖ₌₁⁵(k²−1)=(1²−1)+(2²−1)+(3²−1)+(4²−1)+(5²−1)=0+3+8+15+24=50。(2) 2+4+6+…+60是首项为2、公差为2的30个数之和，即∑ₖ₌₁³⁰2k。(3) ∑ₖ₌₁¹⁰k(k+1)=∑ₖ₌₁¹⁰(k²+k)=(1²+2²+…+10²)+(1+2+…+10)=385+55=440。 题型17 图形类规律探索 1．【2024江苏常州期中】如图，按规律用火柴棒拼正方形：第1个图形用4根火柴棒，第2个用7根，第3个用10根，…，则第10个图形用火柴棒的根数为（ ） A. 28 B. 30 C. 31 D. 33 【答案】C 【解析】第1个图形用4根，第2个用7根，第3个用10根，每次增加3根，所以第n个图形用(3n+1)根。第10个图形用3×10+1=31（根）。 2．【2025江苏苏州期中】用火柴棒按如图规律摆三角形：第1个图形用3根，第2个用5根，第3个用7根，…，则第n个图形用火柴棒的根数为（ ） A. 2n+1 B. 2n−1 C. 3n D. 3n−1 【答案】A 【解析】3，5，7，…每次增加2根，所以第n个图形用2n+1根火柴棒。 3．【2025江苏无锡期中】一张纸片第一次撕成4片，以后每一次都将其中的一片撕成4片，则撕到第n次时共有__________张纸片。 【答案】3n+1 【解析】每撕一次，纸片数增加3张：第1次4张，第2次7张，第3次10张，所以第n次为4+3(n−1)=3n+1（张）。 4．【2024江苏淮安期中】如图，用黑点按一定规律排列：第1个图形有1个黑点，第2个有3个，第3个有6个，…，则第n个图形中黑点的个数为__________。 【答案】 【解析】第1个图形1个黑点，第2个3个，第3个6个，每次增加的个数依次为2、3、…，所以第n个图形黑点个数为1+2+3+…+n=。 5．【2025江苏泰州期中】如图，用大小相同的黑色小正方形按一定规律拼图案：第1个图案有3个黑色小正方形，第2个有8个，第3个有15个，… （1）第4个图案有多少个黑色小正方形？ （2）用含n的代数式表示第n个图案中黑色小正方形的个数； （3）第n个图案中黑色小正方形的个数能否为2024？若能，求出n的值；若不能，说明理由。 【答案】（1）24个；（2）n(n+2)；（3）能，n=44 【解析】(1) 第4个图案是5×5的正方形去掉一个角，有25−1=24个黑色小正方形。(2) 第n个图案是(n+1)×(n+1)的正方形去掉一个角，个数为(n+1)²−1=n²+2n=n(n+2)。(3) 令n(n+2)=2024，即n²+2n−2024=0，解得n=44（44×46=2024），所以能为2024，此时n=44。 1 学科网（北京）股份有限公司 $