期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （苏科版七年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、压轴与拓展 2 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论 2 题型2：绝对值零点分段化简与含绝对值方程分类讨论 10 题型3：绝对值最值问题（求|x-a|+|x-b|的最小值） 15 题型4：图形规律探究（火柴棒、点阵、几何图形规律） 23 题型5：数字与周期规律探究 29 题型6：新定义运算与方程结合 33 题型7：含参数方程解的讨论（无解、唯一解、无数解） 38 题型8：整体思想求值（利用已知等式求高次代数式） 44 题型9：一元一次方程与实际结合的综合探究 49 题型10：数轴动点+绝对值+方程链式综合压轴大题（多小问） 54 一、专题定位 本专题面向江苏地区苏科版七年级上册期中优生培优冲刺，针对选择填空压轴与解答最后两道大题，整合第2章有理数、第3章代数式、第4章一元一次方程三章的拓展难点。侧重数轴动点分类讨论、绝对值零点分段与最值、图形与数字规律探究、新定义运算、含参数方程解的讨论、整体思想求值等拉分题型，训练分类讨论、数形结合、方程思想与逻辑推理能力，攻克江苏各地期中试卷中的压轴填空与解答大题。适配期中第三轮培优、压轴专项讲评与优生限时训练，助力突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 数轴动点相遇、追及与距离分类讨论；绝对值零点分段化简；绝对值最值问题；含绝对值方程分类讨论求解 代数式 整体思想求高次代数式的值；含参数的整式恒等与求值 一元一次方程 含参数一元一次方程解的讨论（无解/唯一解/无数解）；绝对值方程与含参方程的探究 跨章节压轴综合 数轴动点+绝对值+方程链式综合压轴大题；图形/数字规律探究；新定义运算与方程结合；多小问链式探究（猜想—证明—应用） 三、压轴与拓展 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论 1.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”，例如，如图，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为． （1）计算：______________，______________； （2）若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； （3）若动点从点处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）2或10或0；（3）或或或 【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0可得和的值； （2）分别表示出点和的长度，根据点是点，点的“联盟点”，得到不同的方程，求得合适的解即可； （3）画出图形，分类探讨点和点相遇前；相遇后点在点的左边；相遇后点在点的右边，点是点，点的“联盟点”时的值即可． （1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：由题意得：，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴或， ①，解得：； ②， 解得：， ③，解得：； ④， 解得：（不合题意，舍去）． 综上所述，点在数轴上对应的数为2或10或0． （3）解：、两点相遇需要时间为：（秒）， 两点相遇的点为：． ①点和点未相遇前，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得： ； ②点和点相遇后，点在点的左边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； ③点和点相遇后，点在点的右边，点是点，点的“联盟点”． 由题意得：点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点，点的“联盟点”， ∴， 即， 解得：． 综上所述：的值为或或或． 2.（25-26七年级上·北京·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点. ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，②④正确． 故选：A． 3.（26-27七年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点，在数轴上表示的数分别为和，，两点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度同时向右运动，当，，三个点中的某个点恰好为另两个点所组成的线段的中点时，点表示的数为________． 【答案】 或 或 【分析】设运动时间为 秒，分别表示出 秒后点 、点 在数轴上对应的数，根据中点公式分三种情况（ 为 中点、 为 中点、 为 中点）列方程求解 ，进而求出点 表示的数. 解：设运动时间为 秒 （） 点 初始位置为，速度为每秒个单位长度，点初始位置为，速度为每秒个单位长度，且均向右运动 秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 当点 为线段的中点时 解得 此时点表示的数为 当点为线段的中点时 解得 此时点表示的数为 当点为线段的中点时 解得 此时点表示的数为 综上所述，点表示的数为或或 4.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． （1）如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） （2）【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． （3）【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 【答案】（1）P，E；（2）0或或5或25；（3）或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式，结合“双伴点”的定义进行判断； （2）分和两种情况，结合数轴上两点间距离公式分别列方程求解； （3）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，分或两种情况， 分别列方程求解． （1）解：点，，，分别表示，，0，3， ，，，， ，， 点P是点，的“双伴点”，点E不是点，的“双伴点”； 同理，，，， ，， 点E是点，的“双伴点”，点G不是点，的“双伴点”； （2）解：设点C表示的数为x，分两种情况： 当时，点C位于点，中间，或点C位于点左侧， 可得或， 解得或； 当时，点C位于点，中间，或点C位于点B右侧， 可得或， 解得或； 综上可知，点在数轴上表示的数为0或或5或25． （3）解：， 由题意知，点Q先到达终点，用时（秒）． 运动的时间为秒时，点Q表示的数为，点P表示的数为， ，， 点是点，点的“双伴点”， 或，即或， 或， 解得或． 题型2：绝对值零点分段化简与含绝对值方程分类讨论 1.（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 2.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用将原式分子替换为对应字母的相反数，结合判断，，的正负个数，代入计算即可． 解：∵， ∴，，， ∴原式， ∵， ∴，，中负数的个数为或， ∵， ∴，，不可能全为正数或全为负数， ∴，，中有个负数，个正数， ∴， ∴原式． 3.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知是非零的有理数，且，则的值为___________． 【答案】或 【分析】利用已知条件，将所求式子每一项的分子替换为相反数．由可知，，结合，确定中一负两正，再分类讨论代入原式求解即可． 解：， ，，． ， ， ， 又， 中一负两正， 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上所述，的值为或． 4.（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． （2）已知，，是有理数，，，求的值． （3）如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． （1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 题型3：绝对值最值问题（求|x-a|+|x-b|的最小值） 1.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． （2）若数轴上表示点的数满足，那么_____． （3）的最小值为_____． （4），则的值为_____． （5）的最小值为____． 【答案】（1）6；（2）4或；（3）2026；（4）或；（5）7 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离． 运用了数形结合和分类讨论的思想．理解和掌握求数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题中结论解答即可； （2）的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在和2025之间和x不在和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，写出的含义，再根据2在和之间， 且和的距离等于，得出当时，的值最小，最小值等于7． （1）解：由题得，， 数轴上表示1和的两点之间的距离是6． 故答案为：6． （2）解：由得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． 或． 故答案为：4或． （3）解：表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在和2025之间时，； 当x不在和2025之间，的值大于与2025两点的距离，又， 当x不在和2025之间，的值大于2026； 综上可知，当x在和2025之间时，的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026． （4）解：由（3）知，若， 则数x在的左侧或在2025的右侧，即或， 当时，， 由，解得； 当时，， 由，解得； 综上可知，的值为或． （5）解：表示x与两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和， 因为2在和之间，且和的距离等于， 所以当时，的值最小，最小值等于7． 故答案为：7． 2.（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 3.（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 4.（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． （2）数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． （3）若式子有最小值，则该最小值为 ． （4）无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2），或；（3）；（4）． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的性质得到当时最小，求解即可； （4）根据绝对值的性质得到表示x到1，，2，这四个点的距离之和，令，分析得到，即可得出答案． 当时，， 时，， 时，， 时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， （1）解：数轴上表示5和2的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：数轴上表示x和两点之间的距离为， ∵若数轴上表示x和2两点之间的距离为3， ∴， ∴或 故答案为：，或； （3）解：∵式子有最小值， ∴当时最小，最小值为， 故答案为：； （4）解：由数轴可知，表示x到1，，2，这四个点的距离之和， 令， 当时，， 时，， 时，， 时，， 可以观察知：当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上：， ∴ ， ∴a的取值范围是． 题型4：图形规律探究（火柴棒、点阵、几何图形规律） 1.（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． （1）探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． （2）探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． （3）【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】（1）①5；②；（2）①6，30；②；（3）还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. （1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 2.（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 3.（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 4.（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）当有层时，图中共有__________个圆圈； （2）如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] （3）如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）已知层的总圆圈个数公式，将时，代入公式即可解答； （）要求第层最左边的数，先通过公式算出前层的总圆圈数为，再用前层总圆圈数加，得到第层最左边的数是； （）先算出层的总圆圈数，确定其中负数、和正数的数量，再计算所有数的绝对值之和，最终结果为． （1）解：已知层的总圆圈个数公式为：， 当时，代入公式得： ； （2）解：最底层第层最左边的数前层总圆圈数， 先算前层总圆圈数：； ∴第11层最左边的数是； （3）解：先算层总圆圈数：， 其中个负数，个，个正数， 按题图方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 题型5：数字与周期规律探究 1.（25-26七年级下·重庆·开学考试）有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… （1）第100个数是几？ （2）到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 【答案】（1）第100个数是3.；（2）到第14847个数时正好有100个3排在一起. 【分析】（1）将数列按连续的1、2、3分组，得出每组的数字个数规律，计算前若干组总个数以确定第100个数的位置，进而得到结果； （2）根据每组中3的个数规律，求出对应100个连续3的组号，再计算该组结束时的总个数即可得到结果． （1）解：将每一段“连续的1、连续的2、连续的3”记为一组， 第1组有1个1，2个2，3个3， 第2组有2个1，3个2，4个3， 第3组有3个1，4个2，5个3， ， 以此类推，可知第组有个1，个2，个3， ∴第组有个数， ∴前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， ∵第7组一共有个3，且，， ∴第100个数是3； （2）解：∵， ∴第98组有100个3排在一起， ∵前98组一共有个数， ∴到第14847个数时正好有100个3排在一起． 2.（26-27七年级上·全国·周测）将从开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第行、第列的数为，则位于第行、第列的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到方阵对角线上（第行、第列）的数的数学公式，再区分奇数行、偶数行数字增减规律，计算即可． 解：观察数字的变化，发现规律：第行、第列的数据为， ∴第行、第列的数据为， ∵根据数据的排列规律，偶数行：从对角线向左，每往左列，数值增加， 奇数行：从对角线向右，每往右列，数值增加， ∴第行、第列的数据为． 3.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）个数排成一列，除了首尾的两个数以外，每个数的倍都恰好等于它两边两个数的和，这一列数最左边的几个数是这样的：、、、、…，那么最右边的一个数被除的余数是________． 【答案】 【分析】通过计算各项除以的余数寻找循环规律，利用周期求解． 解：根据题意，可知这列数依次为：、、、、，，，，…， 计算前若干项除以的余数，依次得到：，，，，，，，，，，，，，…， 可见余数每个为一个循环，周期是， ， 即第个数的余数是一个循环中的第个余数，对应余数为． 4.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： （1）猜想： ； （2）计算： ① ② 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． （1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 题型6：新定义运算与方程结合 1.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． （1）若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． （2）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． （3）若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】（1）12，或3；（2）；（3） 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． （1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 2.（25-26七年级上·天津南开·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 解：， 解得：， ， 方程与是“美好方程”， ∴方程的解是， 可化为：， ， ， 故选：B． 3.（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” （1）下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． （2）若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】（1）①和②，①和③；（2）或 【分析】本题考查了新定义问题的应用，一元一次方程求解及解绝对值方程． （1）先分别求解三个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义，计算两个方程解的差的绝对值，若绝对值为1，则这两个方程为“值1方程”；若绝对值为6，则这两个方程为“值6方程”； （2）先分别求解方程和的解，根据题意，两个方程解的差的绝对值为2，可列出关于a的绝对值方程，求解即可得到a的值． （1）解：方程①：，解得； 方程②：，解得； 方程③：，解得， ∵，， ∴①和②为“值1方程”，①和③为“值6方程”， 故答案为：①和②，①和③． （2）解：由方程，解得， 由方程，解得， 由题意得，即， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，或． 题型7：含参数方程解的讨论（无解、唯一解、无数解） 1.（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． （1）如果该方程无解，则k的值一定为多少？ （2）如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查解一元一次方程与一元一次方程的解，正确理解方程无解与有解是解题的关键． （1）将方程整理后由方程无解可求出k的值． （2）根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值． （1）解：整理方程，得 ， ∵该方程无解， ∴， 解得：； （2）解：把代入方程，得， 化简，得， ∵k可以取任意值， ∴， 解得． 2.（25-26七年级上·安徽·周测）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 3.（2025七年级上·江苏·专题练习）（1）已知关于的一次方程无解，则的值为 _____． （2）如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么_______，____________________． （3）若关于的方程有无数个解，则的值为 _______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 4.（25-26七年级上·北京海淀·阶段检测）已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： （1）方程只有一个解； （2）方程无解； （3）方程有无数个解． 【答案】（1），m为任意实数；（2）；（3） 【分析】本题主要考查含参数的方程解的讨论，解题的关键是将方程化为形如的形式，即，然后对系数（即）是否为0进行分类讨论，以确定方程解的情况． （1）先化简得，再根据方程只有一个解，列式求解即可； （2）根据方程无解，列式求解即可； （3）根据方程有无数个解，列式求解即可． （1）解：由，得 ， ∵方程只有一个解， ∴， 即，此时m可取任意实数， ∴当时，m为任意实数，方程只有一个解，即． （2）解：∵方程无解， ∴且， 解得． ∴当时，方程无解． （3）解：∵方程有无数个解 ∴且， 解得， ∴当时，方程有无数个解． 题型8：整体思想求值（利用已知等式求高次代数式） 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 2.（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式，当时的值为，则当时，原代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，由时的值可得，再代入计算表达式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵当时，代数式值为， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴原式， 故选：． 3.（2026·重庆·模拟预测）已知，则__________． 【答案】27 【分析】本题可利用已知条件将所求代数式中的高次项逐步降次，通过代入、化简，最终转化为含的形式，再代入计算求解． 解：已知，则，，， 对所求代数式进行变形化简： ． 4.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）化简：； （2）已知，求代数式的值． 【拓展探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整体思想在代数式化简与求值中的应用，熟练掌握将代数式中的某一部分看作一个整体进行运算，是解题的关键． （1）将看作一个整体，利用合并同类项的方法化简； （2）观察到，将整体代入计算； （3）先对代数式去括号变形，再将已知条件对应的式子作为整体代入求值． 解：（1） ； （2）∵ ∴ ； （3） 当，，时，原式． 题型9：一元一次方程与实际结合的综合探究 1.（26-27七年级·全国·小升初衔接）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． （1）该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ （2）该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】（1）第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元；（2）30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． （1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 2.（25-26七年级下·河南周口·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 【答案】C 【分析】第一次付款80元，未超过100元，不享受优惠，因此第一次商品原价为80元；第二次付款252元，存在两种优惠情况，需分情况计算第二次商品原价，再计算两次商品总原价后，按优惠方案算出一次性购买的应付款即可. 解：∵ 第一次购物付款元，不超过元，不享受优惠， ∴ 第一次购买商品的原价为元， 分两种情况讨论第二次购物： 情况1：若第二次购物原价超过元但不超过元，按九折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，得，解得， 两次商品总原价为元，，可享受八折优惠， ∴ 应付款为元； 情况2：若第二次购物原价超过元，按八折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，解得， 两次商品总原价为元，可享受八折优惠 ∴ 应付款为元 综上，应付款为288元或316元. 3.（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有__________人． 【答案】或 【分析】本题考查了方案选择（一元一次方程的应用），解题关键是正确列出方程求解． 设A团人数为x，则B团人数为．A团节假日购票，付款按分段函数计算；B团非节假日购票，按8折计算付款．根据总付款元，分和两种情况列方程求解． 解：设A团有x人，则B团有人． B团非节假日购票款为：． A团节假日购票款： 当时，为元； 当时，为元． 总付款为元， 因此：当时，， 解得：，符合． 当时，， 解得：，符合． 故A团有人或人． 故答案为：或． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． （1）问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ （2）由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】（1）A单价为36元/个，B单价为27元/个；（2）①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． （1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 题型10：数轴动点+绝对值+方程链式综合压轴大题（多小问） 1.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的2倍，则称点C是的2倍点．例如：如图1，点C是的2倍点，点D不是的2倍点，但点D是的2倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点A是______的2倍点，点B是______的2倍点；（选用A、B、C、D表示，不能添加其他字母）； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4，若点E是的2倍点，则点E表示的数是______；若点E是的2倍点，则点E表示的数是______； （3）若P、Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且，一动点H从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，点H恰好是P和Q两点的2倍点？ 【答案】（1）；；（2）或；或；（3）或或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式得出，，，，再根据新定义“2倍点”即可解答； （2）先设点E表示的数为，再根据数轴上两点间的距离公式，结合题意得出绝对值方程，再解方程即可； （3）先设点P表示的数为，则点Q表示的数为，点H表示的数为，再分两种情况讨论，再利用数轴上两点间的距离公式得出绝对值方程，最后解方程即可． （1）解：，， ， 点A是的2倍点； ，， ， 点B是的2倍点． （2）解：设点E表示的数为， 点E是的2倍点， ， ， 或， 解得或， 即点E表示的数是或； 点E是的2倍点， ， ， 或， 解得或， 即点E表示的数是或． （3）解：设点P表示的数为，则点Q表示的数为，点H表示的数为， 点H恰好是P和Q两点的2倍点， 当点H是的2倍点时，则， ， 化简得． ， ， 或， 解得或（舍去）； 当点H是的2倍点时，则， ， 化简得． ， ， ， 或， 解得或． 综上，或或． 2.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【答案】D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 3.（25-26七年级下·河南郑州·开学考试）A、B分别为数轴上的两个点，A点对应的数为，B点对应的数为40，当电子蚂蚁P从B点出发时，以每秒3个单位的速度向左运动，同时，另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，经过____秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【答案】3或17 【分析】设运动时间为t秒，则P点在数轴上表示的数为，Q点在数轴上表示的数为，由题意可得，求出t的值即可． 解：设运动时间为t秒，则P点在数轴上表示的数为，Q点在数轴上表示的数为， ∵两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， ∴， 解得或． 4.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 如图，数轴上有、、三点，每相邻两点之间的距离为个单位长度，点、表示的数分别为、，点表示的数为，且满足． （1）请直接写出、两点之间的距离________； 【深入探究】 （2）动点从出发，以个单位/秒的速度沿数轴向终点运动，同时动点从出发，以个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，当、相距个单位时，求点表示的数． （3）在（2）的条件下，当点出发秒后，动点从出发，以个单位/秒的速度向数轴负方向运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．当点停止运动时，点也停止运动，设点运动时间为，当为何值时，点到点的距离等于点到点的距离？ 【答案】（1）16；（2）或；（3）当为时，点到点的距离等于点到点的距离 【分析】（1）先根据绝对值的非负性确定a、c的值，再根据绝对值的几何意义求解即可； （2）设运动t秒时，、相距个单位，点P表示的数为，点Q表示的数为，易得；再根据题意列绝对值方程求解即可； （3）设点运动时间为，则K的运动时长为且，点P表示，，然后分点K从点C到点B的运动、点K从点B到点O的运动过程、点K过点O继续向左运动三种情况，分别确定t的取值范围、点K表示的数，并根据列绝对值方程求解即可． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴、两点之间的距离； （2）解：设运动t秒时，、相距个单位， 由题意可知：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵动点从出发，以个单位/秒的速度沿数轴向终点运动， ∴点从到C所需时间为，即， 当、相距个单位时，，解得：或， 当时，点P表示的数， 当时，点P表示的数， 综上，点表示的数为或； （3）解：设点运动时间为，则K的运动时长为且，点P表示，， ①当点K从点C到点B的运动过程，运动距离为，速度为2个单位/秒，耗时秒，点K运动时长，即，点K的位置为， ∴， 令，即， 当时，解得，检验符合题意； 当时，，解得，此时点K还没有出发，不符合题意； ②当点K从点B到点O的运动过程，运动距离为，速度为4个单位/秒，耗时秒，点K运动时长，即，点K从点C到点B已用时间3秒，则剩余时间为，点K的位置为， ∴， 令，即， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； ③当点K过点O继续向左运动，速度恢复2个单位/秒，点K运动时长，解得：， ∵, ∴该区间超出点P停止时间，不符合题意． 综上，当为时，点到点的距离等于点到点的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （苏科版七年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论 2 题型2：绝对值零点分段化简与含绝对值方程分类讨论 4 题型3：绝对值最值问题（求|x-a|+|x-b|的最小值） 5 题型4：图形规律探究（火柴棒、点阵、几何图形规律） 6 题型5：数字与周期规律探究 9 题型6：新定义运算与方程结合 9 题型7：含参数方程解的讨论（无解、唯一解、无数解） 11 题型8：整体思想求值（利用已知等式求高次代数式） 11 题型9：一元一次方程与实际结合的综合探究 13 题型10：数轴动点+绝对值+方程链式综合压轴大题（多小问） 14 一、专题定位 本专题面向江苏地区苏科版七年级上册期中优生培优冲刺，针对选择填空压轴与解答最后两道大题，整合第2章有理数、第3章代数式、第4章一元一次方程三章的拓展难点。侧重数轴动点分类讨论、绝对值零点分段与最值、图形与数字规律探究、新定义运算、含参数方程解的讨论、整体思想求值等拉分题型，训练分类讨论、数形结合、方程思想与逻辑推理能力，攻克江苏各地期中试卷中的压轴填空与解答大题。适配期中第三轮培优、压轴专项讲评与优生限时训练，助力突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 数轴动点相遇、追及与距离分类讨论；绝对值零点分段化简；绝对值最值问题；含绝对值方程分类讨论求解 代数式 整体思想求高次代数式的值；含参数的整式恒等与求值 一元一次方程 含参数一元一次方程解的讨论（无解/唯一解/无数解）；绝对值方程与含参方程的探究 跨章节压轴综合 数轴动点+绝对值+方程链式综合压轴大题；图形/数字规律探究；新定义运算与方程结合；多小问链式探究（猜想—证明—应用） 三、压轴与拓展 题型1：数轴双动点相遇、追及与距离分类讨论 1.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“联盟点”，例如，如图，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为． （1）计算：______________，______________； （2）若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； （3）若动点从点处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位长度/秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，请直接写出的值． 2.（25-26七年级上·北京·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 3.（26-27七年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点，在数轴上表示的数分别为和，，两点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度同时向右运动，当，，三个点中的某个点恰好为另两个点所组成的线段的中点时，点表示的数为________． 4.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）【阅读理解】定义：在数轴上的三点中，如果其中一个点与另外两个点的距离之比为，那么这个点叫做其它两个点的“双伴点”． 例如，如图①，数轴上点分别表示0，1，2，那么点是点的“双伴点”． （1）如图②，数轴上点，，，分别表示，，0，3，那么点_____是点，的“双伴点”；点_____是点，的“双伴点”；（只能填写图②中的字母） （2）【问题解决】如图③，点和在数轴上表示的数分别是和10，点是点，的“双伴点”，求点在数轴上表示的数． （3）【应用拓展】在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动．点同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为秒，当为何值时，点是点，点的“双伴点”？ 题型2：绝对值零点分段化简与含绝对值方程分类讨论 1.（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 2.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 3.（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知是非零的有理数，且，则的值为___________． 4.（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． （2）已知，，是有理数，，，求的值． （3）如果，，是有理数且，那么的值是______． 题型3：绝对值最值问题（求|x-a|+|x-b|的最小值） 1.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． （2）若数轴上表示点的数满足，那么_____． （3）的最小值为_____． （4），则的值为_____． （5）的最小值为____． 2.（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 4.（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离为 ． （2）数轴上表示x和两点之间的距离为；若数轴上表示x和2两点之间的距离为3，那么 ． （3）若式子有最小值，则该最小值为 ． （4）无论x取何值，都成立，则a的取值范围是 ． 题型4：图形规律探究（火柴棒、点阵、几何图形规律） 1.（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． （1）探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． （2）探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． （3）【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 2.（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 3.（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 4.（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）当有层时，图中共有__________个圆圈； （2）如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] （3）如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 题型5：数字与周期规律探究 1.（25-26七年级下·重庆·开学考试）有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… （1）第100个数是几？ （2）到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 2.（26-27七年级上·全国·周测）将从开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第行、第列的数为，则位于第行、第列的数是（     ）． A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）个数排成一列，除了首尾的两个数以外，每个数的倍都恰好等于它两边两个数的和，这一列数最左边的几个数是这样的：、、、、…，那么最右边的一个数被除的余数是________． 4.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： （1）猜想： ； （2）计算： ① ② 题型6：新定义运算与方程结合 1.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． （1）若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． （2）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． （3）若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 2.（25-26七年级上·天津南开·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3.（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________． 4.（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）新定义：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”．例如：方程的解是，方程的解是．因为，所以方程与方程是“值3方程” （1）下列方程中：①；②；③ _____和_____为“值1方程”，_____和_____为“值6方程”（填写序号）． （2）若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 题型7：含参数方程解的讨论（无解、唯一解、无数解） 1.（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． （1）如果该方程无解，则k的值一定为多少？ （2）如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 2.（25-26七年级上·安徽·周测）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 3.（2025七年级上·江苏·专题练习）（1）已知关于的一次方程无解，则的值为 _____． （2）如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么_______，____________________． （3）若关于的方程有无数个解，则的值为 _______． 4.（25-26七年级上·北京海淀·阶段检测）已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： （1）方程只有一个解； （2）方程无解； （3）方程有无数个解． 题型8：整体思想求值（利用已知等式求高次代数式） 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 2.（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式，当时的值为，则当时，原代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·重庆·模拟预测）已知，则__________． 4.（25-26七年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）化简：； （2）已知，求代数式的值． 【拓展探索】 （3）已知，，，求的值． 题型9：一元一次方程与实际结合的综合探究 1.（26-27七年级·全国·小升初衔接）一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． （1）该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ （2）该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 2.（25-26七年级下·河南周口·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 3.（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有__________人． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． （1）问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ （2）由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 题型10：数轴动点+绝对值+方程链式综合压轴大题（多小问） 1.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的2倍，则称点C是的2倍点．例如：如图1，点C是的2倍点，点D不是的2倍点，但点D是的2倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点A是______的2倍点，点B是______的2倍点；（选用A、B、C、D表示，不能添加其他字母）； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4，若点E是的2倍点，则点E表示的数是______；若点E是的2倍点，则点E表示的数是______； （3）若P、Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且，一动点H从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，点H恰好是P和Q两点的2倍点？ 2.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 3.（25-26七年级下·河南郑州·开学考试）A、B分别为数轴上的两个点，A点对应的数为，B点对应的数为40，当电子蚂蚁P从B点出发时，以每秒3个单位的速度向左运动，同时，另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，经过____秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 4.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 如图，数轴上有、、三点，每相邻两点之间的距离为个单位长度，点、表示的数分别为、，点表示的数为，且满足． （1）请直接写出、两点之间的距离________； 【深入探究】 （2）动点从出发，以个单位/秒的速度沿数轴向终点运动，同时动点从出发，以个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，当、相距个单位时，求点表示的数． （3）在（2）的条件下，当点出发秒后，动点从出发，以个单位/秒的速度向数轴负方向运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．当点停止运动时，点也停止运动，设点运动时间为，当为何值时，点到点的距离等于点到点的距离？ 学科网（北京）股份有限公司 $