第2章·有理数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第2章·有理数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数四则混合运算、乘方运算的法则与运算律，能快速准确计算 · 理解绝对值的几何意义与代数定义，会化简含字母的绝对值式子 · 能借助数轴比较有理数大小，解决数轴上两点距离、动点与翻折问题 · 会从程序流程图、图形与算式中发现数字规律，进行规律探究 · 能用有理数运算解决实际应用问题，建立数学模型意识 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内 加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律都适用于有理数运算 乘方an表示n个a相乘，底数是否带括号意义不同（如(-2)2与-22） 概念辨析例题：计算：-12+(-2)2×(-) 答案：-3 解析：先算乘方：-12=-1，(-2)2=4；再算乘法：4×(-)=-2；最后-1+(-2)=-3 ☆ 2.绝对值 代数定义：当a≥0时|a|=a，当a<0时|a|=-a 绝对值的非负性：|a|≥0，若几个非负数的和为0，则它们都为0 绝对值的几何意义：|a-b|表示数轴上表示a、b的两点之间的距离 概念辨析例题：若|a+2|+|b-3|=0，求a+b的值 答案：1 解析：由非负性得a+2=0，b-3=0，解得a=-2，b=3，所以a+b=1 ☆ 3.数轴与有理数的大小比较 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，0大于负数 多个有理数相乘：负因数的个数为偶数时积为正，为奇数时积为负 概念辨析例题：在数轴上表示-3、0、2、-1.5四个数，并用“<”把它们连接起来 答案：-3<-1.5<0<2 解析：数轴上从左到右依次为-3、-1.5、0、2，所以-3<-1.5<0<2 ☆ 4.数字规律探究 程序流程图题：按流程图逐步计算，观察输出结果的循环周期 图形规律：数图形的个数或点阵，先列表找增量，再用代数式表示第n个 周期问题：用总数除以周期取余数，确定第n项对应循环中的哪一项 概念辨析例题：按程序输入某个数，第1次输出4，第2次输出2，以后每次输出都在4、2之间循环，求第2026次输出的结果 答案：4 解析：从第2次起4、2循环，周期为2；2026-1=2025，2025÷2=1012余1，对应循环第1个，输出4 ☆ 5.数轴上的距离、动点与翻折 数轴上两点A、B对应的数为a、b，则AB=|a-b|，中点对应的数为 动点问题：设运动时间为t，用含t的代数式表示点的位置，再列方程求解 翻折问题：折痕为对称轴，对应点关于折痕对称，满足中点关系 概念辨析例题：数轴上点A表示-2，点B表示4，求线段AB中点在数轴上表示的数 答案：1 解析：中点对应的数为=1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数混合运算 先乘方，再乘除，后加减 有括号先算括号内；善用运算律简算 乘方 an表示n个a相乘 -an≠(-a)n，底数不同 绝对值 |a|=a(a≥0)，|a|=-a(a<0) 非负性；|a-b|表示两点间距离 数轴 原点、正方向、单位长度 右大左小；与距离、动点结合 大小比较 正数>0>负数 结合数轴位置判断；负因数个数定积的符号 规律探究 观察→猜想→验证→表示 程序流程找循环周期；图形规律用代数式 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的运算（第1-6题） · 混合运算严格按顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内 · 善用加法交换律、结合律与乘法分配律简化计算 · 除法转化为乘法（乘以倒数），结果化为最简形式 1．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）取一个自然数，若它是奇数，则加上，若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数，经过下面步运算可得，如图所示．如果自然数恰好经过步运算可得到，则所有符合条件的的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知二进制数与十进制数之间的换算关系如下表所示： 十进制数 二进制数 观察上表中二进制数分别为位数、位数、位数时，对应的十进制数．当二进制数为位数时，对应的十进制数中的最大数为______． 4．（24-25七年级上·北京·期中）有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 5．（24-25七年级上·江苏南通·期中）十二进制是一种逢12进1的计数制，采用数字0～9和字母，共12个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十二进制 十进制 例如，用十二进制表示，用十进制表示也就是， (1)将十二进制数转化为十进制数，写出转化过程； (2)用十二进制数表示的结果． 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 【考点2】运算的实际应用（第7-11题） · 认真审题，把实际问题转化为有理数运算模型 · 方案选择类问题分类讨论各种购买组合，取最省/最优 · 程序流程图按步骤逐步计算，每一步都检验运算正确性 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．（2024八年级·全国·竞赛）乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 11．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【考点3】乘方与数字规律探究（第12-15题） · 先写出前几次计算结果，观察循环周期或递推关系 · 用总数除以周期取余数，确定第n项对应循环中的哪一项 · 图形规律先列表找增量，再用代数式表达第n个图形的特征 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 13．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）观察下面三行数： ；① 设分别为第①②③行的第100个数，则的值为（   ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 15．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【考点4】数轴上的有理数与大小比较（第16-18题） · 数轴位置定大小：右边的数总比左边的大 · 结合乘法符号法则判断原点位置与各点符号 · 画数轴直观分析，避免纯代数推导出错 16．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 17．（25-26七年级上·江苏南京·期中）下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【考点5】绝对值（第19-27题） · 几何意义：|a-b|是数轴上两点间距离，常与距离之和最小结合 · 代数化简：先判断绝对值内式子的符号，再脱去绝对值符号 · 非负性：几个非负数之和为0，则每个都为0 19．（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则；若，则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（），则 D．已知，，均为非零有理数，若，则的值为4或 22．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）的最小值是________ 23．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的和为______． 24．（2025·重庆渝中·中考真题）若a、b、c均为整数，且满足，则_______． 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． (1)如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． (2)如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： (3)如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 26．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：． 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________， 数轴上表示3和的两点的距离是_________， 数轴上表示和4的两点之间的距离是____________， 数轴上表示和的两点之间的距离是____________； (2)写出时的取值范围是_______________； (3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值． 27．（23-24七年级上·湖南永州·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3个代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【考点6】数轴动点与距离综合（第28-42题） · 熟练运用两点距离公式与中点坐标公式 · 动点问题设时间为t，用代数式表示点的位置，列绝对值方程求解 · 翻折即对称：对应点关于折痕中点对称，用中点关系列式 28．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 29．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在数轴上，点表示的数是，现将点做如下移动：第次将点向左移动个单位长度至点，第次将点向右移动个单位长度至点，第次将点向左移动个单位长度至点，．按照这种移动方式进行下去，点表示的数是（     ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 31．（2024七年级·全国·竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么____________． 32．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 33．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）满足方程的整数的和为__________． 34．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上有一点，将点向右移动4个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．若、、三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为______． 35．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 36．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 37．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）下列说法中，正确的是_______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为； ③若，则是负数； ④，，三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则． 38．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 39．（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度．设点所表示的数的和是，该数轴的原点为，向右为正方向． (1)若点所表示的数是，则点所表示的数是_____； (2)若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为_____ (3)若点之间的距离为4，求的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点． ①将原点沿数轴向右移动1厘米，的值为_____，再将原点向右移动1厘米，的值为_____； ②猜想原点沿着数轴每向右移动1厘米，的值将会如何变化． 40．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 41．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）【问题背景】我们知道，数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，若将数轴折叠，使点与点重合，解答下列问题： 【问题再现】（）求折叠后与表示数重合的点所表示的数； 【问题推广】（）若折叠后，数轴上的两点也重合，且折叠前两点之间的距离为个单位长度（点在点的左侧），求两点所表示的数； 【拓展提升】（）在（）的条件下，将折叠后的数轴展开，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动．设当运动时间为秒时，两点相距个单位长度，求的值． 42．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A 重合），将线段与线段的长度之比定义为点 P 的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以 ． (1)如图，点 为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即 ）． ①=_______； ②比较 的大小(用“<”连接)； (2)数轴上的点 M满足，求M表示的数； (3)数轴上的点P 表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 【考点7】带字母的绝对值化简（第43-45题） · 先由数轴位置判断各字母与式子的正负 · 绝对值内为负取相反数，为正保持不变 · 脱绝对值后合并同类项，完成整式加减 43．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c的位置如图，化简：___________ 44．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 45．（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 运算过关：每天限时训练有理数混合运算与乘方，先练法则再练简便运算 · 画数轴：养成数形结合的习惯，距离、大小、动点问题先画图再列式 · 整理错题：绝对值化简、含字母运算、乘方符号等易错题归类复盘 · 规律题通法：程序流程先算几步找周期，图形规律列表找增量 · 应用建模：结合购物、电影、行程等情境练习应用题，学会设未知数建模 【作业1】．（24-25七年级上·天津和平·期中）小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【作业2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票桶爆米花张主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ）元． A．530 B．540 C．550 D．590 【作业3】．（23-24七年级上·广东广州·期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数a的个位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业4】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【作业5】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为________． 【作业6】．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为__________． 【作业7】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【作业8】．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）表示不大于的最大整数，计算______． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果是有理数，那么的最小值为______． 【作业10】．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【作业11】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【作业12】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元） 根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题： 【问题探究】 （1）若将数轴折叠，使点与点重合． ①则点与数______表示的点重合； ②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数． 【举一反三】 （2）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、的距离之和为10，求的值； ②若点到点、、的距离之和最小，则______． 【问题解决】 （3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？ 【作业13】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图在数轴上点A，表示的数分别为，，且满足． (1)点A表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？ 【作业14】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【作业15】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·有理数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握有理数四则混合运算、乘方运算的法则与运算律，能快速准确计算 · 理解绝对值的几何意义与代数定义，会化简含字母的绝对值式子 · 能借助数轴比较有理数大小，解决数轴上两点距离、动点与翻折问题 · 会从程序流程图、图形与算式中发现数字规律，进行规律探究 · 能用有理数运算解决实际应用问题，建立数学模型意识 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算 有理数混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内 加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律都适用于有理数运算 乘方an表示n个a相乘，底数是否带括号意义不同（如(-2)2与-22） 概念辨析例题：计算：-12+(-2)2×(-) 答案：-3 解析：先算乘方：-12=-1，(-2)2=4；再算乘法：4×(-)=-2；最后-1+(-2)=-3 ☆ 2.绝对值 代数定义：当a≥0时|a|=a，当a<0时|a|=-a 绝对值的非负性：|a|≥0，若几个非负数的和为0，则它们都为0 绝对值的几何意义：|a-b|表示数轴上表示a、b的两点之间的距离 概念辨析例题：若|a+2|+|b-3|=0，求a+b的值 答案：1 解析：由非负性得a+2=0，b-3=0，解得a=-2，b=3，所以a+b=1 ☆ 3.数轴与有理数的大小比较 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，0大于负数 多个有理数相乘：负因数的个数为偶数时积为正，为奇数时积为负 概念辨析例题：在数轴上表示-3、0、2、-1.5四个数，并用“<”把它们连接起来 答案：-3<-1.5<0<2 解析：数轴上从左到右依次为-3、-1.5、0、2，所以-3<-1.5<0<2 ☆ 4.数字规律探究 程序流程图题：按流程图逐步计算，观察输出结果的循环周期 图形规律：数图形的个数或点阵，先列表找增量，再用代数式表示第n个 周期问题：用总数除以周期取余数，确定第n项对应循环中的哪一项 概念辨析例题：按程序输入某个数，第1次输出4，第2次输出2，以后每次输出都在4、2之间循环，求第2026次输出的结果 答案：4 解析：从第2次起4、2循环，周期为2；2026-1=2025，2025÷2=1012余1，对应循环第1个，输出4 ☆ 5.数轴上的距离、动点与翻折 数轴上两点A、B对应的数为a、b，则AB=|a-b|，中点对应的数为 动点问题：设运动时间为t，用含t的代数式表示点的位置，再列方程求解 翻折问题：折痕为对称轴，对应点关于折痕对称，满足中点关系 概念辨析例题：数轴上点A表示-2，点B表示4，求线段AB中点在数轴上表示的数 答案：1 解析：中点对应的数为=1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数混合运算 先乘方，再乘除，后加减 有括号先算括号内；善用运算律简算 乘方 an表示n个a相乘 -an≠(-a)n，底数不同 绝对值 |a|=a(a≥0)，|a|=-a(a<0) 非负性；|a-b|表示两点间距离 数轴 原点、正方向、单位长度 右大左小；与距离、动点结合 大小比较 正数>0>负数 结合数轴位置判断；负因数个数定积的符号 规律探究 观察→猜想→验证→表示 程序流程找循环周期；图形规律用代数式 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的运算（第1-6题） · 混合运算严格按顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内 · 善用加法交换律、结合律与乘法分配律简化计算 · 除法转化为乘法（乘以倒数），结果化为最简形式 1．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）取一个自然数，若它是奇数，则加上，若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如，取自然数，经过下面步运算可得，如图所示．如果自然数恰好经过步运算可得到，则所有符合条件的的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的运算，首先根据题意，应用逆推法，判断出所有符合条件的的值为多少即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：进行逆推得， ∴符合条件的的值为，，，，，共个， 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知二进制数与十进制数之间的换算关系如下表所示： 十进制数 二进制数 观察上表中二进制数分别为位数、位数、位数时，对应的十进制数．当二进制数为位数时，对应的十进制数中的最大数为______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的计算，根据表可以得到二进制的数转化十进制的数的换算关系：，，，，当表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是，根据规律即可求得十进制表示的数，理解二进制的数写成十进制的数的方法是解题的关键． 【详解】解：当二进制数为位数时，表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是，能表示十进制是：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·北京·期中）有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】(1)15 (2) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】（1）解：任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏南通·期中）十二进制是一种逢12进1的计数制，采用数字0～9和字母，共12个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十二进制 十进制 例如，用十二进制表示，用十进制表示也就是， (1)将十二进制数转化为十进制数，写出转化过程； (2)用十二进制数表示的结果． 【答案】(1)28 (2)92 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握十进制和十二进制之间的换算是解题的关键， （1）根据题意，将十二进制数24转化为十进制数，即； （2）根据题意，将十二进制数转化为十进制数，即，再用十二进制数表示即可． 【详解】（1）解：， 十二进制数转化为十进制数为28． （2）解：． 再用十二进制数表示为92 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，都取0或1，称A是一个n元完美数组（且n为整数）． 例如：都是2元完美数组，都是4元完美数组，但不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，， 新运算2：对于任意两个n元完美数组和， ，例如对于3元完美数组和， 有． (1)在中是3元完美数组的为：___________； (2)设，则________； (3)已知完美数组求出所有4元完美数组N，使得; (4)对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有，则m的最大值为___________． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)2025 【知识点】有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的运算，关键在于阅读理解新运算的含义，灵活运用有理数的运算技能技巧，逐步提高符合意识素养． （1）根据元完美数组的定义判断即可； （2）依据新运算定义进行计算即可； （3）依据新运算定义，尝试使得的计算结果即可； （4）根据新运算定义，则可知数组，中对应位置不能同时为1，由数组，的任意性可知：完美数组中元素最多只能有一个1，即可推出的最大可能值是． 【详解】（1）解：在中不是完美数组，是4元完美数组， 所以3元完美数组的有：， 故答案为：； （2）解：∵，， ； 故答案为：2； （3）解：， 当时，，当时，，当时，， 综上即或0， ， ， ∵， 或 或 或 ； （4）解：∵， 、中对应位置的元不能同时为1， 每个数组有个元，1可以出现在个位置，或者全部为0， 的最大值为 故答案为：2025． 【考点2】运算的实际应用（第7-11题） · 认真审题，把实际问题转化为有理数运算模型 · 方案选择类问题分类讨论各种购买组合，取最省/最优 · 程序流程图按步骤逐步计算，每一步都检验运算正确性 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 8．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键； 通过计算发现，每次输出的结果循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， 第七次计算输出的结果是， 第八次计算输出的结果是， 第九次计算输出的结果是， 第十次计算输出的结果是，…， ∴从第二次开始，每次输出的结果循环出现， ， ∴第次计算输出的结果是， 故选：A． 9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够通过运算找出规律是解题关键．根据题意依次求出每次输入结果，发现规律为从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环，据此即可求解． 【详解】解：当第1次输入x的值是2，输出的结果为； 第2次输入的x的值是1，输出的结果为； 当第3次输入x的值是6，输出的结果为； 第4次输入的x的值是3，输出的结果为； 当第5次输入x的值是8，输出的结果为； 第6次输入的x的值是4，输出的结果为； 第7次输入的x的值是2，输出的结果为； ……， 由此可得，从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环， 因为， 所以第2025次输出的结果是3． 故选：A 10．（2024八年级·全国·竞赛）乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案． 【详解】计算的末两位数字是45， 的末两位数字是95， 的末两位数字是35， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25， 所以乘积的末两位数字是25． 故选A． 11．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】(1)24 (2)56 (3)元 (4)，或，或，． 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； （3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （4）解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 【考点3】乘方与数字规律探究（第12-15题） · 先写出前几次计算结果，观察循环周期或递推关系 · 用总数除以周期取余数，确定第n项对应循环中的哪一项 · 图形规律先列表找增量，再用代数式表达第n个图形的特征 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，由的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，，结合已知条件和，，，，可得出一共有5种情况，则5种． 【详解】解：的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，， ∵为互不相等的正整数，且，，，，且， ∴当取1时， y取3，则， y取5，则， y取15，则， 当取5时， y取3，则， y取1，则， 综上，一共有5种情况，则5种， 故选：A． 13．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）观察下面三行数： ；① 设分别为第①②③行的第100个数，则的值为（   ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律的探索，掌握数字成固定倍数增长变化是解题的关键． 通过观察可知第①行后面一个数是前面一个数的倍，第②行是第①行对应数加2，第③行是第②行对应数除以3，根据规律求出第100个数a、b、c的值，代入表达式计算得到结果． 【详解】解： 第①行第n个数为 ， ； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，； 第三行第n个数为第二行第n个数除以3，； 代入得 ． 故选：D． 15．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②8432 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算法则和数字规律探索，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）先对式子提一个，再运用所得规律即可求解； （3）①根据题意即可得出结果；②先将原式变为，再提一个4，最后运用所得规律求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）由题意可得， （3）①由题意可得，， 故答案为：； ②由题意可得， ． 【考点4】数轴上的有理数与大小比较（第16-18题） · 数轴位置定大小：右边的数总比左边的大 · 结合乘法符号法则判断原点位置与各点符号 · 画数轴直观分析，避免纯代数推导出错 16．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法．根据数轴上点A、B、C的位置得出，结合得出，或，再结合可得出原点的位置在线段上． 【详解】解：∵，， ∴，或， ∵， ∴， ∴，， ∴原点的位置点与点之间． 故选：D． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期中）下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义、数轴的性质．根据绝对值的定义得出，即可得出或，再结合数轴判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 故选：B． 18．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】(1)算筹所表示的数是3875． (2) 用算筹表示下列各数： (3) 用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【知识点】有理数的定义 【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【详解】（1）略 （2） 略 （3）略 【考点5】绝对值（第19-27题） · 几何意义：|a-b|是数轴上两点间距离，常与距离之和最小结合 · 代数化简：先判断绝对值内式子的符号，再脱去绝对值符号 · 非负性：几个非负数之和为0，则每个都为0 19．（2026七年级上·全国·专题练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 20．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性、绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键．结论通过解绝对值方程验证；结论根据的范围进行化简；结论利用绝对值非负性求和；结论通过绝对值表示的几何意义求最小值即可． 【详解】解：， 或， 解得或，故正确； ， ，， ，故正确； ， ，， ，， ，故正确； ，该式表示数轴上表示数的点到表示数和的两点的距离之和， 当时，最小值为，故错误； 综上，正确的结论有． 故选：A． 21．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则；若，则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（），则 D．已知，，均为非零有理数，若，则的值为4或 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数除法的应用 【分析】本题考查绝对值与有理数的性质．根据绝对值的性质，结合已知条件，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵对于A：，；同理，，，故A正确． 对于B：，当时为，当时为，故不可能为负数，B正确． 对于C：由且，得，，，故C正确． 对于D：设 （每个值为），（值为）． 当时： 若两正一负，则，，； 若一正两负，则，，； 若三负，则，，． 该式子的值可能为或，故D不正确，符合题意． 故选：D． 22．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）的最小值是________ 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 23．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的和为______． 【答案】2 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的加法法则，先将进行转化，再将x的表达式进行化简，分析a，b，c的正负性，再分情况讨论x的值，最终求出x的最大值与最小值之和即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴a，b，c中为一负二正或三负， 又∵， ∴a，b，c不可能为三负，只能为一负二正， ∴当，，时， ， 当，，时， ， 当，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴两数之和为：． 故答案为：2． 24．（2025·重庆渝中·中考真题）若a、b、c均为整数，且满足，则_______． 【答案】2 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． (1)如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． (2)如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： (3)如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 【答案】(1)，， (2)4或8 (3)；、、、 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据点到线段距离的定义，判断点与线段的位置关系，计算距离； （2）根据，结合线段长度，分情况确定点对应的数； （3）设点表示的数为，则点表示的数为，设，再分阶段表示的位置，并求出此时S的最小值，进而即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，，，； （2）解：∵线段长度为． ∴当点在左侧时，对应的数为； 当点在右侧时，对应的数为； （3）解：设点表示的数为，则点表示的数为． ∴线段覆盖范围为至， 设， 当在左侧时，此时，即， ∴ ， 则当时，取最小值，； 当点A在上时，此时， ∴ ， 则当时，取最小值：； 当在之间时，此时， ， 则当时，取最小值：； 当点在上时，此时， ∴ ， 则当时，取最小值：； 当在之间时，此时， ∴ ； 当点C在上时，此时， ∴ ， 则当时，取最小值：； 当在右侧时，即， 同理可计算，当时，，最小值为15； 当时，，最小值为17； 当时，，最小值为23； ∴右侧阶段的最小值均大于13． 综上所述，距离和的最小值为13，此时点的取值范围， ∴点可以取的整数为：． 26．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：． 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________， 数轴上表示3和的两点的距离是_________， 数轴上表示和4的两点之间的距离是____________， 数轴上表示和的两点之间的距离是____________； (2)写出时的取值范围是_______________； (3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)4，，，； (2)； (3)取值范围为，最小值为． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）当、、时，分别讨论求解即可； （3）表示的几何意义，数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两点之间的距离为：． ∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是， 数轴上表示3和的两点之间的距离是， 数轴上表示和4的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：4，，，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． ∴当代数式时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：∵表示的几何意义是：数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， ∴当时，代数式取最小值，最小值为． 27．（23-24七年级上·湖南永州·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3个代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【答案】(1)5 (2)7 (3)实验室建在点和点（包括B、C）之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （2），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值； （3）根据题意列出式子，求其最小值，即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和， 当时， 即当可以取整数，，，0，1，共5个； 故答案为：5； （2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和， 则当时，的值最小，最小值为； 故答案为：7； （3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为， 根据题意可得，芯片的运输成本为：， 表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和， 则当时，取得最小值， 此时， 实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元． 【点睛】本题考查绝对值，数轴上两点之间的距离，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【考点6】数轴动点与距离综合（第28-42题） · 熟练运用两点距离公式与中点坐标公式 · 动点问题设时间为t，用代数式表示点的位置，列绝对值方程求解 · 翻折即对称：对应点关于折痕中点对称，用中点关系列式 28．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、乘方的应用 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得，推出，进而得点表示的数为；即可求解； 【详解】解：∵点表示的数为4，点表示的数为， ∴； ∵， ∴； ∴点表示的数为； ∵， ∴数对应的点所在线段是； 故选：A 29．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在数轴上，点表示的数是，现将点做如下移动：第次将点向左移动个单位长度至点，第次将点向右移动个单位长度至点，第次将点向左移动个单位长度至点，．按照这种移动方式进行下去，点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的规律探究 【分析】观察点移动规律，奇数次向左，偶数次向右，移动距离为次数的倍，归纳出每次移动向右前进个单位，据此计算及． 【详解】解：由题意可知，点表示的数为， 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 每次移动，点向右移动个单位长度， ， 前次移动后，点表示的数为， 第次向左移动个单位长度， 点表示的数为． 30．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 31．（2024七年级·全国·竞赛）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么____________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键． 由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵点表示的数分别为， ∴ ∴ ． 故答案为：． 32．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【答案】3037 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴、数字规律，依次求得每次移动后点所对应的数，根据总结的规律求解即可． 【详解】解：由题知，第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度，移动后点所对应的数为1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； ⋯， 移动n次后该点对应的数为个单位长度； ∴移动5次后对应的点数为，n为奇数时，向右移动；n为偶数时，向左移动； ∴第2025次向右移动个单位长度， ∵， 即前2024次移动后表示的数为， ∴， ∴移动2025次后表示的数为3037，移动2025次后该点到原点的距离为3037， 故答案为：3037． 33．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）满足方程的整数的和为__________． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】由题意知，为数轴上表示的点到数轴上表示和1的点之间的距离和为6，由，可知表示的点在数轴上表示和1的点之间，则的取值为，即整数的值为，然后求和即可． 【详解】解：由题意知，为数轴上表示的点到数轴上表示和1的点之间的距离和为6， ∵， ∴表示的点在数轴上表示和1的点之间， ∴的取值为， ∴整数的值为， ∴整数的和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算，有理数的除法运算等知识．熟练掌握绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，有理数的加减运算，有理数的除法运算是解题的关键． 34．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上有一点，将点向右移动4个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．若、、三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为______． 【答案】或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数加法运算 【分析】解题思路是先通过数轴移动表示出，再分“和等于、和等于、和等于”三种情况列方程，最后验证每种情况的乘积符号，筛选出符合条件的值．本题的关键是全面分类讨论“和与其中一个数相等”的所有可能，同时严格验证“乘积为负数”的条件，避免遗漏符合要求的解．易错点是忽略部分分类情况，导致解不完整． 【详解】设的值为，则，． 三个数的和． 当时，即，解得，此时，，，乘积，不符合题意． 当时，即，解得，此时，，，乘积，符合题意． 当时，即，解得，此时，，，乘积，符合题意． 故的值为或； 故答案为：或． 35．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 36．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 37．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）下列说法中，正确的是_______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为； ③若，则是负数； ④，，三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则． 【答案】①②/②① 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质、代数式的最大值、数轴上点的位置关系等知识，需要逐一分析每个说法的正确性． 【详解】解：①由绝对值的非负性可知，，则， ， 又 ， ，故① 正确； ② ， ， 当时取最大值，故②正确； ③ ， 或， ，或，， 为正数，不是负数，故③错误； ④数轴上三点 、、 相邻距离相等时，可能为、 或 ，不一定只有 ，故④错误； 故答案为：① ②． 38．（25-26七年级上·陕西延安·期中）已知，两点在数轴上表示的数分别为，，用符号“”表示，两点间的距离． 如图1，． 如图2，在数轴上，把原点记作点，表示数2的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的两倍特征值，记作，即．例如：时，点的两倍特征值． (1)①若点表示的数为1，则的值为__________； ②若点表示的数的倒数为，则的值为__________． (2)如图3，点，，为数轴上从左往右依次排列的三个点，点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数，点表示的数是3． ①求的值； ②请通过计算比较，，的大小．（用“”连接） (3)若点满足，求的值． 【答案】(1)①2；② (2)①；② (3)或10 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义、倒数、线段的和与差 【分析】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意． （1）①根据新定义计算即可； ②根据倒数的性质和新定义计算即可； （2）①根据绝对值和相反数的性质和新定义计算即可； ②根据新定义求出，，的值，再比较大小即可； （3）分两种情况，点P在点O的右侧，点P在点O的左侧进行求解即可； 【详解】（1）解：①若点表示的数为1，则， ∴， 故答案为：2； ②∵点表示的数的倒数为， ∴表示的数， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点在原点O的左侧，且点的绝对值为，点与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴； ②∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数是3， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： ①当点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴； ②当点P在O点右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴的值为或10． 39．（24-25六年级上·山东淄博·期中）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度．设点所表示的数的和是，该数轴的原点为，向右为正方向． (1)若点所表示的数是，则点所表示的数是_____； (2)若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为_____ (3)若点之间的距离为4，求的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点． ①将原点沿数轴向右移动1厘米，的值为_____，再将原点向右移动1厘米，的值为_____； ②猜想原点沿着数轴每向右移动1厘米，的值将会如何变化． 【答案】(1)5 (2)6 (3)8或 (4)①；；②原点沿着数轴每向右移动1厘米，的值减小3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点表示是的数为，点表示的数为，由图中点所在的位置为，即可得出原点对应直尺上的刻度为； （3）分当在点的左边和右边两种情况讨论即可求解； （4）①将原点沿数轴向右移动1厘米，则则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是，根据有理数的加法进行计算即可得出的值；同理计算再将原点向右移动1厘米，即可得出的值；②根据原点沿着数轴每向右移动1厘米，点对应的数都减小1，即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵，点所表示的数互为相反数， ∴则点表示是的数为，点表示的数为， ∵图中点所在的位置为， ∴数轴的原点对应直尺上的刻度为， 故答案为：． （3）解：∵点之间的距离为4，点对着直尺上的刻度8， ①当在点的左边时，即点对着直尺上的刻度4， ∴点表示的数为4， ∵， ∴此时点表示的数为，点表示的数为6， ∴ ②当在点的右边时，即点对着直尺上的刻度， ∴点表示的数为， ∵， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴ 综上所述，的值为或． （4）解：由（2）可知原点对应的刻度为6，即点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ①将原点沿数轴向右移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ∴， 再将原点向右移动1厘米，则点表示是的数为，点表示的数为，点表示的数是， ∴， 故答案为：，． ②猜想原点沿着数轴每向右移动1厘米，的值减小． ∵原点沿着数轴每向右移动1厘米，点对应的数都减小1， ∴的值减小． 40．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 【答案】(1)13 (2)4 (3)6或9 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了数轴及有理数的混合运算，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）根据题意可得整个过程乙一平两输两赢，利用规则，结合数轴进行计算便可； （3）由题意可得刚开始两人的距离为，分①若两人尚未相遇，②若两人已经相遇两种情况分析即可得解． 【详解】（1）解：完成了次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； ∴第一局后甲乙两人相距个单位长度 故答案为：13； （2）因为从前五局来看，甲一平两胜两负， 整个过程看：甲一平两胜两负，而乙一平两负两胜，向东为正， 根据规则五局之后甲对应的数为：， 根据规则五局之后乙对应的数为：， 故乙离原点个单位， 故答案为：； （3）的值为或，理由如下： 刚开始甲乙两人相距个单位长度， ①若两人尚未相遇， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小个单位， 最终甲与乙的位置相距个单位， 则共需缩小个单位 ②若两人已经相遇， 按照相遇前的距离缩小规律，第七局甲与乙的位置相距1个单位， 同理分析可得：第八局甲与乙的相对位置交换，且相距1个单位， 继续则甲乙的距离每局增加个单位，第九局甲与乙的位置相距个单位 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 41．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）【问题背景】我们知道，数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，若将数轴折叠，使点与点重合，解答下列问题： 【问题再现】（）求折叠后与表示数重合的点所表示的数； 【问题推广】（）若折叠后，数轴上的两点也重合，且折叠前两点之间的距离为个单位长度（点在点的左侧），求两点所表示的数； 【拓展提升】（）在（）的条件下，将折叠后的数轴展开，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动．设当运动时间为秒时，两点相距个单位长度，求的值． 【答案】（）；（）点表示的数为，点表示的数为；（）或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的翻折 【分析】（）利用中点坐标公式求出折叠点表示的数，设折叠后与表示数重合的点所表示的数为，根据折叠点列出方程解答即可求解； （）由题意可得点到折叠点的距离为个单位长度，再根据数轴上两点间距离解答即可求解； （）由题意可得点运动秒时表示的数为，点运动秒时表示的数为，再分点在点左侧和右侧两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴折叠点表示的数为， 设折叠后与表示数重合的点所表示的数为， 则， 解得， ∴折叠后与表示数重合的点所表示的数为； （）∵折叠前两点之间的距离为个单位长度， ∴点到折叠点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为； （）由题意可得，点运动秒时表示的数为，点运动秒时表示的数为， 当点在点左侧时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，当两点相距个单位长度时，的值为或． 42．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A 重合），将线段与线段的长度之比定义为点 P 的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以 ． (1)如图，点 为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即 ）． ①=_______； ②比较 的大小(用“<”连接)； (2)数轴上的点 M满足，求M表示的数； (3)数轴上的点P 表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 【答案】(1)①；② (2)2或 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，数字类的规律探索，倒数，有理数加减简便计算等，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出点表示的数为，再根据特征值的定义进行求解即可；②分别求出三个特征值即可得到答案； （2）先求出，再根据分情况求解即可； （3）根据题意可知是整数，即，分情况求出对应特征值下p的值，由此找到规律求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点与关于原点对称（即 ）， ， ∴点表示的数为， ； ②由题意得：， ， ， ， ， ； （2）解：∵点A表示的数为1， ∴， ∴， ∴当点M在点A右侧时，，即点A为中点， 则M表示的数是2； 当点M在点A左侧时，，即 则M表示的数是； 综上所述，M表示的数是2或； （3）解：∵且为整数， ∴为整数， 当时，即点P为中点， ， 当时，点P在之间时，则， ， 当点P在点A右边时，则， ， ，p的值为或2， 同理，当时，p的值为或， 当时，p的值为或， 当时（n为大于1的整数），p的值为或， 则所有满足条件的p的倒数之和为 ． 【考点7】带字母的绝对值化简（第43-45题） · 先由数轴位置判断各字母与式子的正负 · 绝对值内为负取相反数，为正保持不变 · 脱绝对值后合并同类项，完成整式加减 43．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c的位置如图，化简：___________ 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，数轴的应用与绝对值的性质，关键是判断出绝对值符号里面的式子的正负．结合数轴可得，，从而可去掉绝对值计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 44．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的加减法，整式的加减；数形结合是解题的关键；根据数轴求出，，然后根据绝对值的性质将所求式子化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，， ， 故答案为：． 45．（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 运算过关：每天限时训练有理数混合运算与乘方，先练法则再练简便运算 · 画数轴：养成数形结合的习惯，距离、大小、动点问题先画图再列式 · 整理错题：绝对值化简、含字母运算、乘方符号等易错题归类复盘 · 规律题通法：程序流程先算几步找周期，图形规律列表找增量 · 应用建模：结合购物、电影、行程等情境练习应用题，学会设未知数建模 【作业1】．（24-25七年级上·天津和平·期中）小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的除法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则，能够通过推理求出x、y的值是解题的关键． 由题意可知，则，再根据，，，有三个结果恰好相同，则或，分两种情况：（1）当时，由可得，解得，从而求得，代入计算即可求解；当时，由可得，解得，从而求得当时，则，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ∵，，，有三个结果恰好相同， 或， 因此，分以下两种情况： （1）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； （2）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； 综上，的值为， 故选：B． 【作业2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票桶爆米花张主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ）元． A．530 B．540 C．550 D．590 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，至少需要5份套餐B以满足5个纪念币需求，但通过调整购买组合使总金额达到600元可享受更优惠的满减，从而最小化支付金额． 【详解】解：∵需要5个纪念币， ∴至少购买5份套餐B， 若购买5份套餐B和5张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元， 若购买6份套餐B和4张单票：总金额元，享受优惠后的费用为元， 若购买5份套餐B、2份套餐A和3张单票：总金额元，优惠后为元， ∵一份套餐B的费用>一份套餐B的费用>一张单票的费用， ∴其他所有满足要求的买法，最终的总费用一定超过上述情况的花费， ∵， ∴最少支付540元， 故选：B． 【作业3】．（23-24七年级上·广东广州·期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数a的个位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，发现连续正整数立方的和的运算和连续正整数和的平方的运算规律是解题的关键．利用求解即可． 【详解】解：， 即， ， ， ， 的个位数字为9，的个位数字为4， 的个位数字为6， 故的个位数为6， 故选：． 【作业4】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 【作业5】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为________． 【答案】5 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把数据代入验证，可得，，，的值，并代入计算可得结论． 【详解】解：由题意可得： ， 所以有，，， 由图中可知，，，的值，由，，5，，6，8中取得， 由于，且只有， ，， 这时，的值从，，中取得， 当和，计算验证，都不符合题意， 所以时，符合题意． 具体数值如下图所示， 所以，，，， 则． 故答案为：5． 【作业6】．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为__________． 【答案】9 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了速度路程的问题，有理数的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 分三种情况讨论，画出示意图分析即可． 【详解】解：①高速列车和低速列车第1次相遇，如图： 时间为， ②高速列车到达C站需要，此时低速列车距离C站，高速列车要追到它需要，而，大于低速列车到达B站的时间，显然低速列车先到达B站，而高速列车没有追到它，如图， 此时高速列车距离C站：，距离B站：，低速列车1小时后离开B站，此时高速列车距离B站：，则追到低速列车需要时间为：，显然此时低速列车还没有到达A站，如图： 此后低速列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与低速列车共相遇3次； ③高速列车与低速列车第1次相遇，如图， ， 高速列车先出发1小时，距离B站：，两车此时都向C站走，高速列车需要追到普通列车；④高速列车到达C站返回后与普通列车第2次相遇，如图： ， 高速列车到达C站需要，此时普通列车距离C站，两车还需要相遇，此后高速列车向A站走，此后普通列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与普通列车共相遇3次； ⑤普通列车与低速列车第1次相遇，如图： 普通列车出发时，两车相距，两车相遇需，⑥低速列车第1次出B站的时间是，此时普通列车在距离B站处，要追到低速列车需要大于低速列车到达A站的时间，低速列车从A站返回后与普通列车相遇，如图： 低速列车从A站返回时，普通列车距离A站：，两车还需要第2次相遇，⑦普通列车到达A站用时：，低速列车到达A站需要：，故此时低速列车从A站离开了，走了，则它第2次离开B站还需要，此时普通列车距离B站，则刚好到达B站，两车第3次相遇，此后普通列车不再行驶，故普通列车与低速列车相遇3次，故共相遇9次， 故答案为：9． 【作业7】．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的规律，乘方的应用， 先分别表示出，根据变化特点得出，再求出差即可． 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 【作业8】．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）表示不大于的最大整数，计算______． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数大小的比较，根据规定表示不大于的最大整数，分别取得和的值，再进行加法运算即可．理解表示不大于的最大整数是解题的关键． 【详解】解：∵是表示不大于的最大整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果是有理数，那么的最小值为______． 【答案】/2.25 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 【作业10】．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数的定义，用绝对值的定义去判断是解题的关键. 根据数轴得出，再逐个判断即可. 【详解】解：①根据数轴可知：，    ， ，符合题意，故①正确； ②， ， ，符合题意，故②正确； ③ ， ， ，符合题意，故③正确； ④， ， ，符合题意，故④正确； 故答案为：①②③④. 【作业11】．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 【作业12】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元） 根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题： 【问题探究】 （1）若将数轴折叠，使点与点重合． ①则点与数______表示的点重合； ②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数． 【举一反三】 （2）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、的距离之和为10，求的值； ②若点到点、、的距离之和最小，则______． 【问题解决】 （3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？ 【答案】（1）①；    ②点表示的数为，点表示的数为1010.5；（2）①或；    ②；（3）点建在处；18元 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、整式的加减运算、数轴上的翻折 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）①先由折叠确定线段的中点为，则由数轴上两点距离公式即可求解； ②由数轴上两点距离公式即可求解； （2）①由题意得，然后分类讨论求解即可； ②点到点、、的距离之和表示为，然后分类讨论，化简绝对值求解； （3）总运输成本为，然后分类讨论，化简绝对值求解． 【详解】解：（1）①∵若将数轴折叠，使点与点重合， ∴线段的中点为， ， ∴点与数表示的点重合； 故答案为：； ②∵数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合， ∴N表示的数为：；M表示的数为：； （2）①由题意得，， 当时，则， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解，舍； ②点到点、、的距离之和表示为， 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和等于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； ∴当到点、、的距离之和最小时，； （3）由题意得，总运输成本为， 当时，， 此时成本最低为（元）； 当时，， 此时成本最低为（元）； 当时，； 此时成本均大于元； 当时，， 此时成本最低为（元）， 综上：当时，成本最低且为元． 【作业13】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图在数轴上点A，表示的数分别为，，且满足． (1)点A表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？ 【答案】(1)，12 (2)2或4 (3)当或时，小蚂蚁与点的距离和不是最短的；当或时，小蚂蚁与点的距离和是最短的 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数乘除混合运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）结合非负数的性质确定答案即可； （2）分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别确定点表示的有理数，然后计算折点表示的数即可； （3）首先求得的中点表示的有理数以及之间的距离；再分小蚂蚁未到挡板和过挡板两种情况讨论，然后分类计算的值；根据两点距离表示出它们的距离之和，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． 故答案为：，12； （2）由（1）可知，点表示的有理数为12，点A表示的有理数为， 当点在点左侧时，点表示的有理数为10， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为； 当点在点右侧时，点表示的有理数为14， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为， 综上所述，折点表示的数为2或4． 故答案为：2或4； （3）解：∵点A表示的有理数为，点表示的有理数为12， 则的中点表示的有理数为，， 当小蚂蚁没有从挡板回来时，即时，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 当小蚂蚁从挡板回到点B时，即，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 设点M在数轴上表示的数为，则点M到点（是的中点）的距离和为， ∴由题意可知点M是在上运动，则当时， ， 当时， ，无最小值； 当时， ，无最小值； 综上所述：点M与点的距离和为最小值，即为21，此时， ∴当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； ∴综上所述：当或时，小蚂蚁与点的距离和不是最短的；当或时，小蚂蚁与点的距离和是最短的． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 【作业14】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 【作业15】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、有理数加法运算律、有理数的减法运算 【分析】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【点睛】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $