第3章·代数式·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第3章·代数式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解用字母表示数的意义，能把简单实际问题中的数量关系用代数式表示 · 掌握代数式的值的概念，会正确代入数值计算并能整体代入求值 · 理解单项式、多项式、整式的概念，能识别系数、次数并会升降幂排列 · 熟练掌握合并同类项与去括号法则，正确进行整式的加减运算 · 能从数字、图形中探索规律，用代数式表示一般结论并解决新定义问题 📚 知识梳理 ☆ 1.字母表示数与代数式 用字母表示数：字母可以表示任何数，使数量关系更简明、更具普遍意义 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子 列代数式：抓住关键词（和、差、积、商、倍、分），理清运算顺序 书写规范：数与字母相乘省略乘号、数字写在字母前；除法写成分数线形式 概念辨析例题：某商品原价为a元，先涨价，再降价，现价是多少元？ 答案：a元 解析：涨价后为a(1+)=a，再降价为a×(1-)=a ☆ 2.代数式的值 代数式的值：用具体数值代替代数式里的字母，按运算关系计算得出的结果 求值步骤：先代入（对号入座），再按顺序计算，注意添括号 整体代入：当已知条件不易求出单个字母时，把某一部分看作整体代入 非负性：若|a|+b2=0，则a=0且b=0 概念辨析例题：已知x-2y=3，求代数式3(x-2y)2-x+2y+1的值 答案：25 解析：把x-2y看作整体：原式=3×32-(x-2y)+1=27-3+1=25 ☆ 3.整式的有关概念 单项式：数与字母的积；数字因数叫系数，所有字母指数的和叫次数 多项式：几个单项式的和；每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式次数 整式：单项式与多项式统称整式 升降幂排列：按某一字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）排列 概念辨析例题：多项式3x2y-2xy3+x-1是几次几项式？常数项是多少？ 答案：四次四项式，常数项为-1 解析：各项次数依次为3、4、1、0，最高为4次；共有4项；不含字母的项-1是常数项 ☆ 4.合并同类项与去括号 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项 合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 去括号：括号前是「+」号，去掉括号和「+」号各项不变号；括号前是「-」号各项都变号 整式加减：先去括号，再合并同类项，结果一般按某字母降幂排列 概念辨析例题：化简：3(2a2b-ab2)-2(3a2b-2ab2) 答案：ab2 解析：去括号得6a2b-3ab2-6a2b+4ab2，合并同类项得ab2 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 代数式 数与字母用运算符号连接 除法写成分数线 代数式的值 代入数值按运算计算 代入负数、分数要加括号 单项式 数与字母的积 系数含符号，次数是指数和 同类项 字母相同且指数相同 与系数、字母顺序无关 合并同类项 系数相加字母不变 不是同类项不能合并 去括号 「-」号后各项全变号 勿漏乘括号内每一项 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字类规律探索（数列与数表）（第1-12题） · 观察相邻两项的差或比，写出第n项的通项 · 数表问题先找行、列各自规律再合并 · 用前几项代入检验通项是否正确 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指），则数到时对应的指头是（  ） A．大拇指 B．中指 C．无名指 D．小指 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律类问题的探究，处理此类问题，要仔细观察、认真分析，发现规律，最后要注意验证所找出的规律． 【详解】解：由图可知，大拇指对应的数依次是，，，，， 小拇指对应的数依次是，，，，， ， 数到时对应的指头是大拇指． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是501，则m的值是（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查规律探索问题，有理数的乘方，根据题意总结规律后即可求得答案． 【详解】解：∵，…， ∴底数是2的分裂成2个奇数，底数是3的分裂成3个奇数，底数是4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数，前个整数分裂的整数个数和为， ∵， ∴奇数501是从3开始的第250个奇数， ∴， ∵，， ∴第250个奇数是底数为22的数的立方分裂的奇数中的一个， 即， 故选：B． 3．（2026·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据操作规则可总结出每轮过后留下的编号都是的倍数，按要求计算每轮后剩余人数，直到人数少于4，即可得到最后留下的最小编号． 【详解】解：由题意得第一轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第二轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第三轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第四轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，停止报数； 最后留下的同学中，编号较小的是． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有一列按规律排列的数：，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第______个数字时，所得的和等于．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字型规律，找到该组数的规律，可得每个数的和为，求出与的商和余数，得到所加的最后一个数，继而得解． 【详解】解：由题意可得： 该列数是以，个为一循环， ， 而，， 以个数为一组，加到第组的第个数时，和为， 即加到第个数时，所得的和等于， 故选B． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种关于整数n 的“F”运算： （1 ） 当n 是奇数时，结果为； （ 2 ） 当n 是偶数时，结果是（其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经F 运算是29；第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23， 第四次经F 运算是74…；若，则第2025次运算结果是 ________ 【答案】8 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查定义新运算，数字类规律探究，根据新运算的法则，求出前几次的运算结果，得到从第二次运算开始，偶数次运算的结果是1，奇数次运算的结果是8，即可得出结果． 【详解】解：由题意时，第一次经F运算是， 第二次经F运算是， 第三次经F运算是， 第四次经F运算是 … 从第二次运算开始，偶数次运算的结果是1，奇数次运算的结果是8， ∴第2025次运算结果是8， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）有依次排列的3个数：，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串： ，，若相继依次操作，则从数串：开始操作到第次时所产生的那个新数串的所有数之和是_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算得到第n次操作后得到新数串的所有数之和的规律是解题的关键．设可得第n次操作后得到新数串的所有数之和是，当时，即为所求． 【详解】解：设， 第一次操作后得到新数串的所有数之和是：， 第二次操作后得到新数串的所有数之和是：， …， ∴第次操作后得到新数串的所有数之和是：， 故答案为：． 7．（2024·山东潍坊·模拟预测）下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 【答案】8 【知识点】数字类规律探索 【分析】先求出基础幻方，再通过基础幻方的旋转和翻转得到不同的幻方，即可． 【详解】解：如下表： a b 10 13 c d e f 12 根据题意得：， ， ， ，， ， 所以基础幻方为 6 11 10 13 9 5 8 7 12 顺时针旋转得到： 8 13 6 7 9 11 12 5 10 顺时针旋转得到： 12 7 8 5 9 13 10 11 6 顺时针旋转得到： 10 5 12 11 9 7 6 13 8 水平翻转（左右对称）得到： 10 11 6 5 9 13 12 7 8 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 12 5 10 7 9 11 8 13 6 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 8 7 12 13 9 5 6 11 10 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 6 13 8 11 9 7 10 5 12 所以用这9个数可以构造出不同幻方的种数是8种． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将自然数按如图的规律排列．如第2行、第3列的数是7，则第25行、第24列的数是____． 0 1 8 9 24 … 3 2 7 10 23 4 5 6 11 22 15 14 13 12 21 16 17 18 19 20 … 【答案】599 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的排列规律．观察表格，找到规律求得第25行的第一个数字是，据此计算即可求解． 【详解】解：观察表格， 第1行的第一个数字是， 第3行的第一个数字是， 第5行的第一个数字是， 第25行的第一个数字是， ∴第25行的第24个数字即第25行、第24列的数是， 故答案为：599． 9．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，，则________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳出一般规律是解题的关键．根据题目中变化规律找到当n为奇数时，对应点的表达式，据此来求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴当n为奇数时，， ∵2025为奇数， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．（结果用含n的式子表示） 【问题解决】 （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【问题拓展】 （5）从1，2，3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中去掉一个整数，从剩下的个整数中任取3 个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求n的值和此时去掉的数的所有可能． 【答案】（1）7；（2）142；（3）种；（4）376种；（5），此时去掉的数可能是3或4或41或42 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键是理解题意． （1）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可； （2）用最大3个数的和减去最小3个数的和再加1即可； （3）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1即可； （4）直接代入公式求解即可； （5）先表示出从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞10）这n个整数中任取3个整数之和共有：（种）结果，然后列举法去掉1、2、3等数字会发现少的结果数，列等式求解即可解： 【详解】解：问题引入： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，则这2个整数之和最小值为：， 最大值为：， 则这2个整数之和共有（种）不同情况， 故答案为：7； （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数， 则这3个整数之和最小值为：，最大值为：， 则这3个整数之和共有不同结果的种数为：（种）， 故答案为：142； （3）归纳总结：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，则这5个整数之和的最小值为：，最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种； 问题解决： （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券， 则根据前述结论，，（种）， 即这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：376种． 故答案为：376种． 问题拓展： （5）最大：，最小：， 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数之和的结果共有：种， 去掉1：最小为，最大为，少6、7、8三个结果，共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉2：最小为，最大为，少6、7两个结果，共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉3：最小为，最大为，少6一个结果，共有， 解得是整数，符合题意； 去掉4：同理，少7一个结果，共有， 解得，是整数，符合题意； 去掉5：结果并不减少， 共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉41：少一个结果， ∴共有， 解得，符合题意； 去掉42：少一个结果， ∴共有， 解得，符合题意； 去掉43：少两个结果， ∴共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 去掉44：少三个结果， ∴共有， 解得不是整数，不合题意舍去； 综上，，此时去掉的数可能是3或4或41或42． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，因为的末尾数字是1，所以的末尾数字是1，所以的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)判断能否被5整除，并说明理由． 【答案】(1)9；6 (2) 解：能被5整除 理由：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字是7，的末尾数字是9，的末尾数字是3，的末尾数字是1； 的末尾数字是9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【知识点】乘方的应用、有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字是9；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字是9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为9； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：9，6； （2）略 12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【答案】(1) (2) (3)2660 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、归纳与类比 【分析】本题主要考查了数字规律、列代数式、有理数的混合运算等知识点，发现规律是解题的关键． （1）类比前3个等式，写出第四个等式即可； （2）根据（1）归纳规律即可解答； （3）按（2）的规律变形原式，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）可归纳第n个等式为． （3）解： ． 【考点2】图形类规律探索（点阵与图案）（第13-22题） · 数图形个数，列表记录前几项找增量 · 区分不变部分与变化部分，写出通项 · 摆桌、拼图问题先找递推关系 13．（25-26七年级上·江苏·期末）图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感．例如：．图1是将从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”、“Δ”、“◇”、“□”、“☆”、“○”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案．图2是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查无限循环小数、图案的规律探索，根据图案得到循环位数是解题的关键． 首先将选项中的分数化为无限循环小数，再观察图2只含有“Δ”、“◇”、“☆”所对应的三种数字，进而判断出循环位数即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， 如图2可知，该数字只含有“Δ”、“◇”、“☆”所对应的三种数字， ∴该数字是一个三位循环数， ∴该数为， 故选：A． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，根据图形变化找出规律是解题关键．分别计算四个图案需要的铜币数量，进而得到第n个图案需要个；把代入即可求解． 【详解】解：第1个图案需要铜币个； 第2个图案需要铜币个； 第3个图案需要铜币个； 第4个图案需要铜币个； ……， 所以第n个图案需要个； 当时，． 故选：D 15．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为______． 【答案】85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为个；三角形有个，再求出第10个图案点的个数为个；三角形有个，问题得解． 【详解】解：由所给图案可得 第1个图案点的个数为个；三角形有1个； 第2个图案点的个数为个；三角形有个； 第3个图案点的个数为个；三角形有个； …… 所以第n个图案点的个数为个；三角形有个； 所以第10个图案点的个数为个；三角形有个， 所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为个． 故答案为：85 16．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，若第n个图形中白色正方形的个数记为，则____． 【答案】/ 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，先结合图形，得出第n个图形中小正方形的总个数是：；结合第n个图形中白色正方形的个数记为，则故，即可作答． 【详解】解：第1个图形：小正方形的总个数是； 第2个图形：小正方形的总个数是； 第3个图形：小正方形的总个数是； 第4个图形：小正方形的总个数是； …… 以此类推：第n个图形中小正方形的总个数是：； ∵第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴， …… 以此类推：第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ ． 故答案为：． 17．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】第个图对角线长的平方和为，第个图对角线长的平方和为第个图对角线长的平方和为，得到第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为，即可求解． 【详解】解：第个图对角线长的平方和为， 第个图对角线长的平方和为 第个图对角线长的平方和为， ， 第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是__________． 【答案】09072445 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律、数字类规律探索，根据密码准确找到数字间的运算规律是解题的关键．结合密码判断给定图形４个数的运算规律即可求解． 【详解】解：对于密码04140836， ， ， ， ， 对于密码09052136， ， ， ， … 密码的规律为：四次运算得到的两位数从左向右排列而成的八位数即为密码，如果运算结果为一位数，前面补0得到两位数．每一个图形中四个数可以看作两行，两列． 第一次运算：第1列两数相加， 第2次运算：第2列两数相加， 第3次运算：第1行两数的和与左下角的数相乘的积， 第4次运算：第1列两数的和与右下角的数相乘的积， 如图， ，记为：， ，记为：， ，记为：， ，记为：， 该图形的密码为：． 故答案为：． 19．（23-24七年级上·广东惠州·期末）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出__________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了数形结合的思想，规律题的探究．可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所可以看做面积为1正方形减去的面积， 可以看做面积为1正方形减去的面积，……，可以看做面积为1正方形减去的面积，据此即可求解． 【详解】解：可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所以； 可以看做面积为1正方形减去的面积，所以； 可以看做面积为1正方形减去的面积，所以； ……， ∴可以看做面积为1正方形减去的面积，所以． 故答案为： 20．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）桌子上若有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少3次翻转可使所有杯子的杯口全部朝下；若有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少2次翻转可使所有杯子的杯口全部朝下；若有7只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少3次翻转可使所有杯子的杯 口全部朝下； ……；若有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少_______次翻转可使所有杯子的杯口朝下． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题意推出当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为k次，当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为次，当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为次，是解题的关键． 【详解】解：∵每次只翻转3个杯子，且翻转的次数要最小， ∴在杯子足够的情况下，每次尽可能的需要把杯口朝上的杯子进行翻转， 当杯子数n满足（k为正整数），则翻转次数最少为k次， 当杯子数n满足（k为正整数），则前面每次翻转3个杯口朝上的杯子，一共翻转次，再翻转一个杯口朝下，两个杯口朝上的杯子，共1次，则剩下3个杯口朝上的杯子，最后再把3个杯口朝上的杯子翻转一次即可，即此时翻转次数最少为次， 当杯子数n满足（k为正整数），则前面每次翻转3个杯口朝上的杯子，一共翻转次，则还剩下5个杯子的杯口朝上，最少需要翻转3次，即此时翻转次数最少为次， ∵， ∴有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少 次翻转可使所有杯子的杯口朝下， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1)，画图如下，    (2) (3)，理由如下： 由图知，， ， ， ， ， ∴第个等式， 故答案为：． 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键， （1）按题意计算画图即可得解； （2）由图找到数的规律进行计算即可得解； （3）由图找到数的规律进行计算即可得解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， …； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ， ∴， 故答案为：； （3）略 22．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数 n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律．       m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； 【问题解决】 （2）将表格中的数据补充完整， ； ； （3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n，圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为： ； 【实际应用】 （4）早餐摊师傅准备用8刀分鸡蛋饼，最多能将鸡蛋饼分成 块； （5）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：最少切 刀分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？ 【答案】 （1）如图， （2）6，11；（3）；（4）37；（5）7 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意结合图形进行推导是解答本题的关键． （1）根据题意，画出图形即可； （2）由（1）中的图形即可得到答案； （3）由表格中的数据规律进行推导即可得到答案； （4）由表格中数据得出规律，再进行求解即可； （4）先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，根据分割方案写出理由即可． 【详解】解：（1） 略 （2）由（1）中图可得分割线是4条、分割线的最多交点数6个、分割出的最多区域数是11个， 所以，， 故答案为：6，11； （3）根据表格中数据可得，， 答案为：； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 将代入，得， 所以最多能将鸡蛋饼分成37块， 故答案为：37； （5）分割方案：先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，理由： ， 切1刀最多2块，切2刀最多4块，切3刀最多7块，切4刀最多11块， 将一个长方体大蛋糕竖直方向切4刀，最多可切割成11块，然后再平行于桌面切3刀得四层蛋糕，每层有11块， 共切成蛋糕有块． 故答案为：7． 【考点3】数轴与绝对值化简综合（第23-30题） · 先由数轴判断绝对值内式子的符号再去绝对值 · 数轴上两点距离=右边的数减左边的数 · 带字母绝对值化简要分类讨论 23．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴， ∴，即， ∴不是正数；故②错误； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ④若，则；故④正确； ⑤∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故⑤错误； 综上正确的④，共1个； 故选：A． 24．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、整式加减的应用 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义表示到的距离与的距离的差，进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值． 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 25．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查有理数符号的分析和绝对值的化简，判断绝对值的正负是解题的关键． 首先由和可得a，b，c中只有一个负数，再将原式化简为，再分三种情况讨论符号即可求出x的值，进而求最大值和最小值的乘积． 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 26．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若，，且a，b，c是非零有理数，则 ___________ 【答案】或3 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查利用绝对值的性质求解代数式的值，解题关键是通过分类讨论判定结果． 首先根据，，可判定a、b、c中二负一正，然后转换形式，得出，然后分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中两负一正，，，， ∴ 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 综上，的值为或3， 故答案为：或3． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知，在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算；称此为“绝对操作”．例如：，，…下列说法： ① 不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ② 存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③ 若只添加1个绝对值符号，“绝对操作”共有4种不同运算结果： ④ 所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的是_____． （填序号） 【答案】③④/④③ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算．根据“绝对操作”的定义，逐一进行判断即可．需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．难度较大． 【详解】①当前两项添加绝对值时：，运算结果与原多项式相等；故①错误； ②∵不可能变成，故不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②错误； ③若只添加1个绝对值符号：；； ； “绝对操作”共有4种不同运算结果；故③正确； ④由③知：只添加1个绝对值符号，“绝对操作”共有4种不同运算结果； 当添加个绝对值时： ∵， ∴当添加的两个绝对值有一个是 时，最终结果跟只加一个绝对值的结果相同， 当添加的两个绝对值不包含时， ； 综上：所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果．故④正确； 故答案为：③④． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如果，，那么_____________ 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，化简绝对值；根据题意可得，，．进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∵． ∴当且时，，； 当且时，，； 当且时，，； 当且时，，． 综上，的可能取值为或． 故答案为：或． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得 ，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)或 (4)有，最小值为，和为 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的意义；整式的加减、数轴、绝对值； （1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值和数轴求解即可； （3）根据表示到的和为，则分，两种情形讨论，求得最小值，即可求解． （4）|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，当在与之间的线段上时取得最小值，进而即可求解． 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、， 故答案为、、、； （3）∵的最小值是， 即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴ ∴ ②当时，即， ∴ 综上所述，或 （4）有最小值， 理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和， ∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为 ∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 30．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)的最小值是 ； (3)的最大值为 ； (4)的最小值为 ； (5)【解决问题】 有一条笔直的商业街，分布着4个商铺、、、和一个中心广场，商铺、、、分别位于中心广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该商业街上建一个外卖配送点，那么这个外卖配送点建在何处，能使到四个商铺、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离 (2)6 (3)8 (4)7 (5) 解：设外卖配送点在数轴上表示的点处， 根据题意可得，外卖配送点到四点的距离为， 根据绝对值的几何意义，表示到和的距离和，当时，距离之和最小为；表示到和的距离和，当时，距离之和最小； ∴当时，取最小值，此时， ∴外卖配送点建在线段上，能外卖配送点到四个商铺、、、总路程最短，最短距离是12． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键； （1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数的点到的点的距离与表示的点到的点的距离之和，应该在和之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是数轴上表示有理数到的距离与有理数到的距离之差，可得时取得最大值，即可求出结果； （4）的几何意义是数轴上表示的点到表示的点和到表示的点和表示6的点的距离之和，由题意即可求出结果； （5）设外卖配送点在数轴上表示的点处，由题意可得点到各点的距离之和即，根据绝对值得几何意义，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数到的距离与到的距离之和， ∴当时，取最小值， ∴； （3）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数到的距离与有理数到的距离之差， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ∴的最大值为8； （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示的点到表示的点和到表示的点和表示6的点的距离之和， 当表示的点在表示的点到表示的点的线段上，有最小值，即， 根据绝对值的几何意义，当时，， ∴最小值为7； （5）略 【考点4】整式的加减运算（合并同类项与去括号）（第31-33题） · 先去括号（注意负号全变号）再合并同类项 · 括号前有系数时，系数要乘括号内每一项 · 结果按某一字母降幂排列 31．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加法运算，熟练掌握整式的加法运算是解题的关键． 由题意知，即可判定①；由题意得到，即可求出，从而判定②；先说明，再结合可知，易得或，然后求出满足条件的，然后求和即可判断③；由，然后分五种情况，分别求出符合条件的，然后统计即可解答． 【详解】解：①由题意得∶，故①错误； ②∵， ∴， ∴，故②错误； ③由题意得： ， ∵， ∴ ∴或， ∴或， ∴所有满足条件的整式的和为，故③正确； ④∵， ∴当时，， ∴，即； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，为正整数， ∴或或或， ∴或或或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、为正整数， ∴或 ∴或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，、为正整数， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、、为正整数， ∴即此时不满足要求． ∴所有满足条件的整式有9个，即④正确． 正确的个数是2． 故选：C． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，规律探究，先依次计算每次操作后整式串的各项之和，找出和的循环周期，再根据周期计算第2026次操作后的和即可． 【详解】∵ 第1次操作后整式串各项之和：， 第2次操作后整式串各项之和：， 第3次操作新增项为，各项之和：， 第4次操作新增项为，各项之和：， 第5次操作新增项为，各项之和：， 第6次操作新增项为，各项之和：， 第7次操作新增项为，各项之和：， ∴各项之和以为周期循环，周期为6， ∵，余数为4 ∴第2026次操作后整式串各项之和与第4次操作后的和相同，即为0； 故选D． 33．（2025七年级上·全国·专题练习）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列三个单项式：①，②，③．其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知均为关于的多项式，，，．若的任意两项都是“准同类项”，求的值． (3)已知均为关于的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)； 【知识点】绝对值的几何意义、同类项的判断、整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据多项式的加减计算，根据C的任意两项都是“准同类项”，即可求解； （3）根据新定义得出的值，进而根据，，分三种情况讨论，化简绝对值，分别求得的最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：单项式，，中，与是“准同类项”的是， 故答案为：①③． （2）解：∵， ∴ ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴，且为正整数， ∴或； （3）解：∵，，与是“准同类项”， ∴，， ∴，， ∴ ∴，； ∵， ①若，   ∴，， 当取得最大值时，也取的最大值，即， ∴， ∴当取得最小值时，取得最大值，此时， ∴ 解得：，即的最大值为； ②若，   ∴，， ∵． ∴此情形不存在； ③若时   ∴，， ∴取得最大值为 ， ∵， ∴当取得最小值时，也取得最小值为， ∴， 解得：， 综上所述，最小值为，最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键． 【考点5】列代数式与几何面积（第34-37题） · 用割补法把不规则图形面积表示为代数式 · 抓住边长关系，逐层列出面积表达式 · 化简后代入数值求具体面积 34．（23-24九年级上·重庆潼南·期中）学习添括号法则后，小明所在的学习小组为了加强对法则的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：把多项式看做a，，，，五项的和，这五项可以依序循环站位，例如：当a站在第2位时，站在第一位，变为多项式．在任意相邻两个或三个字母左右添括号，再在符号不变的情况下，交换括号前后两字母的位置，则称此操作为“交换操作”，例如：在b，m两相邻字母之间先添括号得到，再交换a，n的位置得到，下列说法： ①存在一种“交换操作”后的式子与原多项式一样； ②若每次操作只在相邻两个字母变换，则这样的变换共有5种不同的结果； ③存在两个变换后多项式的差只含两个字母． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了新概念，整式的加减，根据题意，理解新概念的意思，列举出所有可能逐一分析判断是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知所有变换有：， 在b，m左右添括号得，可以化简为（1）； 在m，n左右添括号得，可以化简为（2）； 在n，e左右添括号，根据循环站位可知，即：在n，e左右添括号，得：，可以化简为（3）； 在e，a左右添括号，根据循环站位可知，即：在e，a左右添括号，得可以化简为（4）； 在a，b左右添括号，根据循环站位可知，即：在a，b左右添括号，得可以化简为（5）； （5）没变，故①对；由上可知恰好五种，故②对； 由（1）（5）得：， 故③对； 故选：D． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键． 设正方形纸片①②③④的边长为、、、；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果． 【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为、、、，如图： 左上角阴影部分的周长为：， 右下角阴影部分的周长为：， ∴两部分阴影周长值差为： ， ∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可， 故选：A． 36．（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 【答案】（1）长方形的面积为48   （2） ，，   （3） 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，属于中档题． （1）先表示长方形长和宽，代入数值计算面积； （2）通过周长公式列方程，相减得的值，再代入求各部分周长； （3）用、表示、，通过代数变形得出长方形 的周长为． 【详解】解：（1）长方形的长为：，长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， ，，代入得，面积为：， 长方形的面积为48； （2）长方形的周长为24， 即，①， 同理，长方形的周长为16， 即，②， ②①得， 如图，， ， ， ，，； （3）由（2）可知：，，， 长方形的周长为， ，， 即③，④， 用③④得，． 故长方形的周长用，表示为． 37．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【答案】(1)12；28 (2) (3)①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【知识点】列代数式、图形类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． 【详解】（1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 【考点6】整式加减的实际应用（方案与计费）（第38-41题） · 用代数式表示不同方案的费用并比较 · 抓住分段计费的临界点列式 · 方案选择问题先列式再分类讨论 38．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，由题意可知长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和，设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为，列出等式，从而有，又块阴影长方形的周长之和为，再化简代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和， 设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为， ∴可得， 解得：， ∴块阴影长方形的周长之和为 ， ， 故选：． 39．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，将三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，则图中的两个阴影部分的周长之和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】据图得到，阴影的大长方形的长为，宽为；阴影的小长方形的长为，宽为c，再用周长公式即可表示出两个阴影小长方形的周长之和． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据长与宽之间的数量关系来解答． 40．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)， (2)166 (3)两块阴影部分的周长之差为定值 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了几何图形中的代数关系及周长计算，关键在于通过图形中正方形边长的关联，准确表示各线段长度，进而利用周长公式进行计算，并通过代数运算判断两块阴影部分周长之差是否为定值． （1）通过观察图形中正方形边长的关系，结合已知和最小正方形边长，推导和的表达式； （2）先确定长方形的长和宽，再利用周长公式计算并代入求值； （3）设定平移距离，分别表示两块阴影部分的周长，再求其差判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵最小的正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴长方形的周长为：， 当时， ， ∴长方形的周长为166； （3）解：两块阴影部分的周长之差为定值，理由如下： 设正方形沿方向向右平移，则， ∴左上角阴影部分的周长为：， ∵右下角阴影部分的邻边长为和， ∴右下角阴影部分的周长为：， 则， ∴图中两块阴影部分的周长之差为定值． 41．（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【知识点】有理数加减混合运算的应用、整式加减的应用 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 【考点7】代数式的值与“无关型”问题（第42-45题） · “与字母无关”即含该字母项的系数为0 · 先化简整式，令相关系数为0求参数 · 整体代入已知式子的值简化计算 42．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【知识点】数轴上两点之间的距离、多项式的项、项数或次数、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，符合题意． 综上，设点C对应数为或． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 43．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 【答案】(1) (2) (3)②③④ 【知识点】数字类规律探索、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了数字的规律探索，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意的“伴随运算”计算即可求解． （2）根据题意的“伴随运算”计算发现四次一循环，据此即可得出，，故可得的值． （3）由（2）可得右边所有数的和为，设多个循环的数为， ∴时，右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数和是的倍数加，根据，，，，可得数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关，即可得的取值． 【详解】（1）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成， 即， 故答案为：． （2）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； ； 发现规律，经过“伴随运算”所得结果为上面四个结果依次循环出现， 又∵被整除， ∴把数对经过次“伴随运算”变成， ∴即为， ∴，， ∴． （3）解：∵数对经过“伴随运算”所得结果为，，，依次出现，即四个数对一循环， ∵， ∴一个循环内右边所有数的和为，与、的取值无关， 设多个循环的数为， ∴，，， ∴要使右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数或是的倍数加， ∵，，，， ∴数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关， ∴的取值为，，， 故答案为：②③④． 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1）；．（2）①；②，幻方和为． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了三阶幻方的性质（幻方和是中心数的3倍），解题的关键是利用幻方和与中心数的关系，结合行列和相等列算式求解． （1） 根据幻方和是中心数的3倍求幻方和，再利用列和相等求； （2） ①利用幻方和的性质，结合列与对角线和相等推导的代数式；②根据幻方和与无关，令的系数为0求及幻方和． 【详解】（1） 解：中心数为，故幻方和为； 由中间列和为，得， ． 故答案为：；． （2） ①解：幻方和为，由第1列：，代入，，，得， ，即． 由一列之和等于一对角线之和得：， ∴． ②解：设幻方和为，由题意得， 前二式相加再减去第三式得，， 上式代入，，得，， 整理得，， 因幻方和与t的取值无关，令的系数为0，得，则， 则． 即幻方和为. 45．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；，   ②是； (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的判断、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）根据先求得，，再根据C与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，求出a，b的值，结合求出c的值，即得C表达式 【详解】（1）① 略； ②是， ∵ ，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为； （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且 ， ∴， 故； （3）∵， ∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：单项式系数次数、多项式项数次数要分清 · 列式过关：抓住关键词与运算顺序，书写要规范 · 运算过关：去括号负号变号、合并同类项要熟练 · 求值过关：先化简再代入，整体代入要会观察结构 · 规律过关：数字找差、图形找增量，写出通项并验证 【作业1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形是由4块小长方形拼成，其中②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3，则小长方形④与小长方形①的周长的差是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式．熟练掌握长方形周长公式，整式的加减，是解题的关键． 设长方形②③的宽为x，则长为，设，，得长方形①的宽为x，长为，长方形④的宽为，长为，即可计算长方形④与长方形①的周长差． 【详解】解：∵②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3， ∴设它们的宽为x，则长为：， ∴， 设，如图， 则， ∴长方形①的宽为x，长为， 长方形④的宽为，长为， ∴长方形④与长方形①的周长差为 ． 故选：D． 【作业2】．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）对于4个关于x的一次二项式∶，我们定义∶取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如∶，则多项式便是一个“淬炼结果”．则下列结论中∶ ①存在一种“淬炼结果”为； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有(　　) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意，写出所有情况，计算结果，逐一进行判断即可． 【详解】解：设 由题意，共有6种情况： 第1种：； 第2种：； 第3种：； 第4种：； 第5种：； 第6种：； ∴存在一种“淬炼结果”为；故①正确； x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；故②正确； 共有5种不同的“淬炼结果”；故③错误； 故选C 【作业3】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【作业4】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一列数，满足，对任意的正整数，若，有，则等于（   ） A．397 B．398 C．399 D．400 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，由若，有，可令，可得，即可得，所以，，再求和即可． 【详解】解：∵若，有， ∴令 ，则有，满足， ∴， ∴， 故选：D． 【作业5】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，长、宽均为定值的长方形内部（不含边界）有一个边长为定值的正方形A，顺次延长正方形A的四条边，将长方形分割出B，C，D，E四个小长方形．下列结论正确的是（   ） A．若正方形A在长方形内部向左移动，则长方形C，D的周长之和变小 B．若正方形A在长方形内部向下移动，则长方形B，C的周长之和变大 C．若正方形A在长方形内部任意移动，则长方形B的周长不变 D．若正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，长方形和正方形的周长，平移的原则等知识．根据平移的原则和长方形周长的定义相加或相减分别计算可作判断． 【详解】解：A、若正方形A在长方形内部向左移动a个单位，则长方形C的周长减小，D的周长会增大，所以长方形C，D的周长之和不变，原说法错误； B、若正方形A在长方形内部向下移动b个单位，则长方形B的周长减小，C的周长会增大，长方形B，C的周长之和不变，原说法错误； C、若正方形A在长方形内部向下移动b个单位，则长方形B的周长减小，原说法错误； D、如图，设大长方形的一边，另一边，长方形B的长为x，宽为y，长方形D的长为n，宽为c，小正方形A的边长为d， ∴，， ∴， 若正方形A在长方形内部任意移动，假设将正方形A在长方形内部向下移动a个单位， 则B的周长+D的周长 ， C的周长+E的周长 ， ∴B，D的周长之和=C，E的周长之和， 同理可得：正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等， 故D原说法正确； 故选：D． 【作业6】．（2024·江苏·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为_________． 【答案】4160 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】由题意得： ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ∴，， ， ， 由规律可得每三次变换为一个循环， ∴ ∴ 故答案为：4160． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，整数可取的值有__________个． 【答案】4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】根据，画出数轴，确定取得最小值时，的取值，并找出整数解. 【详解】解： 表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离. 当x在和2之间时，的值最小， 此时 所以满足条件的整数x为，0，1，2，共4个. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，以及数轴上点的位置与距离关系及整数值的确定,重点把握几何意义，通过几何意义求最小值. 【作业8】．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数 是“数学满分数”，则为 _______，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为 _________． 【答案】 1 2376 【知识点】整式加减的应用 【分析】把所给的四位数整理成千位上的数字百位上的数字个位上的数字个位数字的形式，判断出各个数位上的数字；进而根据新定义推理得到和具体的数值，相除即可求得它们的商；根据前面得到的条件用2个未知数，表示出，进而根据能被7整除以及，的取值范围判断出和可能的值，再判断出，的值，即可得到符合题意的的最大值和最小值，相减即可． 【详解】解：， 的千位上的数字为：，百位上的数字为：，十位上的数字为：，个位上的数字为：， 是“数学满分数”， ， ， ， ， ∵，且，，，均为正整数， 当时，； 当时，； ． 最大为：， ，． ． ，， ，， ， ， 能被7整除， 为整数， ，，， 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，， ，，，时的值最大，此时； ，，，时的值最小，此时． 符合题意的最大值与最小值的差为． 故答案为：1，2376． 【点睛】本题考查整式的相关知识．理解并应用新定义是解决本题的关键；经过推理得到和具体的数值是解决本题的难点． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，切3刀最多可以将鸡蛋饼分成______块． 【答案】7/七 【知识点】图形类规律探索 【分析】通过分析切1刀、2刀时的最多分块数，推导切3刀时的分块规律，进而求解． 【详解】解：由图形分割规律可知： 切1刀最多可将圆面分成的块数为： 切2刀最多可将圆面分成的块数为： 要使切3刀时分得的块数最多，需每新增的一刀与之前的所有直线都相交，此时切3刀最多可将圆面分成的块数为：（块）． 【作业10】．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则的值为________． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 【作业11】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“退位减法”是一种逐位相减的方法．例如，十进制数的减法，当同一数位不够减时，向高一位借当，；二进制的减法，当同一数位不够减时，向高一位借当，．其它几进制的退位减法也是类似的．若，，，分别代表四进制中4个互不相同的数，且三位数比三位数大，则代表的数是________． 【答案】2 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得出且，然后分类讨论即可得出c的值． 【详解】解：∵，，，分别代表四进制中4个互不相同的数， ∴，，，只能为0，1，2，3中的任意一个， ∵三位数比三位数大， ∴，且， ∴， 当时，，，， 当时，无解， 当时，无解， 则， 故答案为：2． 【作业12】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球A、B、C，轨道两端各有一个挡板M和N，挡板间的距离为．其中C到左挡板M的距离为，B到右挡板N的距离为，A、C两球相距．现以轨道所在直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为40，解答下列问题： (1)C球表示的数为________，左挡板M表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设A、B两球同时开始运动，运动时间为t秒． 若A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动，当A、B两球相撞时停止运动． ①当B球撞到挡板N时，________； ②令，其中，表示点A、M之间的距离，表示点B、N之间的距离．请探究在运动过程中，m与t的数量关系； ③当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的球表示的数是什么？ 【答案】(1)，； (2)①秒；②；③，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、列代数式 【分析】（1）由，，可求得，即可得到答案； （2）①根据球以每秒的速度向右运动，,即可得到答案； ②由题意可得A、B两球相撞时的时间秒，此时两球停止运动，然后分、、、四种情况解答即可； ③先求出三个球运动的时间，再分别计算B球向右和A球向左撞到C球的运动路线，求出最终停止时的位置即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 球在原点， 球表示的数为，左挡板M表示的数为； （2）①球以每秒的速度向右运动，, 秒； ②由题意可得：左挡板M表示的数为，C球表示的数为，A球表示的数为0，B球表示的数为40，右挡板N表示的数为130， 当A、B两球相撞时的时间秒，此时两球停止运动， 当时，A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动， ，， ， ； 当时，A球撞C球后A球停止运动，C球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动， ，， ， ； 当时，A球停止运动，B球撞右挡板N后返回，以每秒的速度向左运动， ，， ， ； 当时，C球撞A球后C球停止运动，A球以每秒的速度向右运动，B球继续以每秒的速度向左运动， ，， ， ； 综上所述，； ③三个球运动的时间为：秒， B球：B到N时间为秒，撞到右挡板返回距离为，此时B球回到位置，B球表示的数为； A球：A球到C球时间为秒，C球到M时间为秒，撞到左挡板返回撞到A球的时间为秒，此时，C球停止， 秒，则A球继续运动秒，此时A球表示的数为． 此时正在运动的球表示的数是，． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，列代数式，掌握相关知识是解题的关键． 【作业13】．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 【作业14】．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 【作业15】．（2024·安徽合肥·一模）如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由 个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含 的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 【答案】(1)表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个． 【知识点】图形类规律探索 【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （ ）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （ ）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（ ）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数； 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个， ∴当圆环串由 个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个， ∴空心圆圈有个． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·代数式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解用字母表示数的意义，能把简单实际问题中的数量关系用代数式表示 · 掌握代数式的值的概念，会正确代入数值计算并能整体代入求值 · 理解单项式、多项式、整式的概念，能识别系数、次数并会升降幂排列 · 熟练掌握合并同类项与去括号法则，正确进行整式的加减运算 · 能从数字、图形中探索规律，用代数式表示一般结论并解决新定义问题 📚 知识梳理 ☆ 1.字母表示数与代数式 用字母表示数：字母可以表示任何数，使数量关系更简明、更具普遍意义 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子 列代数式：抓住关键词（和、差、积、商、倍、分），理清运算顺序 书写规范：数与字母相乘省略乘号、数字写在字母前；除法写成分数线形式 概念辨析例题：某商品原价为a元，先涨价，再降价，现价是多少元？ 答案：a元 解析：涨价后为a(1+)=a，再降价为a×(1-)=a ☆ 2.代数式的值 代数式的值：用具体数值代替代数式里的字母，按运算关系计算得出的结果 求值步骤：先代入（对号入座），再按顺序计算，注意添括号 整体代入：当已知条件不易求出单个字母时，把某一部分看作整体代入 非负性：若|a|+b2=0，则a=0且b=0 概念辨析例题：已知x-2y=3，求代数式3(x-2y)2-x+2y+1的值 答案：25 解析：把x-2y看作整体：原式=3×32-(x-2y)+1=27-3+1=25 ☆ 3.整式的有关概念 单项式：数与字母的积；数字因数叫系数，所有字母指数的和叫次数 多项式：几个单项式的和；每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式次数 整式：单项式与多项式统称整式 升降幂排列：按某一字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）排列 概念辨析例题：多项式3x2y-2xy3+x-1是几次几项式？常数项是多少？ 答案：四次四项式，常数项为-1 解析：各项次数依次为3、4、1、0，最高为4次；共有4项；不含字母的项-1是常数项 ☆ 4.合并同类项与去括号 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项 合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 去括号：括号前是「+」号，去掉括号和「+」号各项不变号；括号前是「-」号各项都变号 整式加减：先去括号，再合并同类项，结果一般按某字母降幂排列 概念辨析例题：化简：3(2a2b-ab2)-2(3a2b-2ab2) 答案：ab2 解析：去括号得6a2b-3ab2-6a2b+4ab2，合并同类项得ab2 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 代数式 数与字母用运算符号连接 除法写成分数线 代数式的值 代入数值按运算计算 代入负数、分数要加括号 单项式 数与字母的积 系数含符号，次数是指数和 同类项 字母相同且指数相同 与系数、字母顺序无关 合并同类项 系数相加字母不变 不是同类项不能合并 去括号 「-」号后各项全变号 勿漏乘括号内每一项 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字类规律探索（数列与数表）（第1-12题） · 观察相邻两项的差或比，写出第n项的通项 · 数表问题先找行、列各自规律再合并 · 用前几项代入检验通项是否正确 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指），则数到时对应的指头是（  ） A．大拇指 B．中指 C．无名指 D．小指 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是501，则m的值是（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 3．（2026·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有一列按规律排列的数：，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第______个数字时，所得的和等于．（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种关于整数n 的“F”运算： （1 ） 当n 是奇数时，结果为； （ 2 ） 当n 是偶数时，结果是（其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经F 运算是29；第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23， 第四次经F 运算是74…；若，则第2025次运算结果是 ________ 6．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）有依次排列的3个数：，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串： ，，若相继依次操作，则从数串：开始操作到第次时所产生的那个新数串的所有数之和是_____． 7．（2024·山东潍坊·模拟预测）下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 8．（25-26七年级上·江苏南京·期中）将自然数按如图的规律排列．如第2行、第3列的数是7，则第25行、第24列的数是____． 0 1 8 9 24 … 3 2 7 10 23 4 5 6 11 22 15 14 13 12 21 16 17 18 19 20 … 9．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，，则________． 10．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）“鹿鸣博约”数学兴趣小组探究如下问题： 【问题引入】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，50这50个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．（结果用含n的式子表示） 【问题解决】 （4）从80张面值分别为1元、2元、3元、…、80元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额． 【问题拓展】 （5）从1，2，3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中去掉一个整数，从剩下的个整数中任取3 个整数，使得取出的这些整数之和共有123种不同的结果，求n的值和此时去掉的数的所有可能． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，因为的末尾数字是1，所以的末尾数字是1，所以的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)判断能否被5整除，并说明理由． 12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【考点2】图形类规律探索（点阵与图案）（第13-22题） · 数图形个数，列表记录前几项找增量 · 区分不变部分与变化部分，写出通项 · 摆桌、拼图问题先找递推关系 13．（25-26七年级上·江苏·期末）图案设计是纺织品设计中的一个重要环节，“数”可以为纺织品图案的设计提供灵感．例如：．图1是将从上到下按蛇形排列填入方格内，然后用不同的图形“○”、“Δ”、“◇”、“□”、“☆”、“○”表示各个数字，最后将图形填入方格中所得到的图案．图2是利用某个循环小数的循环规律（不同的数字分别用不同的图形来表示），由内向外按某种顺序螺旋排列设计而成的一幅纺织品图案，则这个数可能是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 15．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为______． 16．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，若第n个图形中白色正方形的个数记为，则____． 17．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）图1中以为顶点的矩形对角线有条，对角线长的平方为；图2中以为顶点的矩形的对角线有条，对角线长的平方和为，以此类推，第个图中以为顶点的矩形对角线长的平方和为______．（注：用含的代数式表示，其中） 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是__________． 19．（23-24七年级上·广东惠州·期末）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出__________． 20．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）桌子上若有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少3次翻转可使所有杯子的杯口全部朝下；若有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少2次翻转可使所有杯子的杯口全部朝下；若有7只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少3次翻转可使所有杯子的杯 口全部朝下； ……；若有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过至少_______次翻转可使所有杯子的杯口朝下． 21．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 22．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数 n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律．       m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； 【问题解决】 （2）将表格中的数据补充完整， ； ； （3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n，圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为： ； 【实际应用】 （4）早餐摊师傅准备用8刀分鸡蛋饼，最多能将鸡蛋饼分成 块； （5）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：最少切 刀分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？ 【考点3】数轴与绝对值化简综合（第23-30题） · 先由数轴判断绝对值内式子的符号再去绝对值 · 数轴上两点距离=右边的数减左边的数 · 带字母绝对值化简要分类讨论 23．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 25．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 26．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若，，且a，b，c是非零有理数，则 ___________ 27．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知，在多项式中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算；称此为“绝对操作”．例如：，，…下列说法： ① 不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ② 存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③ 若只添加1个绝对值符号，“绝对操作”共有4种不同运算结果： ④ 所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的是_____． （填序号） 28．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如果，，那么_____________ 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得 ，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 30．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)的最小值是 ； (3)的最大值为 ； (4)的最小值为 ； (5)【解决问题】 有一条笔直的商业街，分布着4个商铺、、、和一个中心广场，商铺、、、分别位于中心广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该商业街上建一个外卖配送点，那么这个外卖配送点建在何处，能使到四个商铺、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【考点4】整式的加减运算（合并同类项与去括号）（第31-33题） · 先去括号（注意负号全变号）再合并同类项 · 括号前有系数时，系数要乘括号内每一项 · 结果按某一字母降幂排列 31．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）“回头差”游戏，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串；第2次操作后得到整式串；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差．则该“回头差”游戏第2026次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．6 C． D．0 33．（2025七年级上·全国·专题练习）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：与是“准同类项”． (1)给出下列三个单项式：①，②，③．其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知均为关于的多项式，，，．若的任意两项都是“准同类项”，求的值． (3)已知均为关于的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 【考点5】列代数式与几何面积（第34-37题） · 用割补法把不规则图形面积表示为代数式 · 抓住边长关系，逐层列出面积表达式 · 化简后代入数值求具体面积 34．（23-24九年级上·重庆潼南·期中）学习添括号法则后，小明所在的学习小组为了加强对法则的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：把多项式看做a，，，，五项的和，这五项可以依序循环站位，例如：当a站在第2位时，站在第一位，变为多项式．在任意相邻两个或三个字母左右添括号，再在符号不变的情况下，交换括号前后两字母的位置，则称此操作为“交换操作”，例如：在b，m两相邻字母之间先添括号得到，再交换a，n的位置得到，下列说法： ①存在一种“交换操作”后的式子与原多项式一样； ②若每次操作只在相邻两个字母变换，则这样的变换共有5种不同的结果； ③存在两个变换后多项式的差只含两个字母． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 35．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 36．（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 37．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【考点6】整式加减的实际应用（方案与计费）（第38-41题） · 用代数式表示不同方案的费用并比较 · 抓住分段计费的临界点列式 · 方案选择问题先列式再分类讨论 38．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，将三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，则图中的两个阴影部分的周长之和等于（   ） A． B． C． D． 40．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 41．（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【考点7】代数式的值与“无关型”问题（第42-45题） · “与字母无关”即含该字母项的系数为0 · 先化简整式，令相关系数为0求参数 · 整体代入已知式子的值简化计算 42．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 43．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 44．（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 45．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：单项式系数次数、多项式项数次数要分清 · 列式过关：抓住关键词与运算顺序，书写要规范 · 运算过关：去括号负号变号、合并同类项要熟练 · 求值过关：先化简再代入，整体代入要会观察结构 · 规律过关：数字找差、图形找增量，写出通项并验证 【作业1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形是由4块小长方形拼成，其中②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3，则小长方形④与小长方形①的周长的差是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【作业2】．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）对于4个关于x的一次二项式∶，我们定义∶取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如∶，则多项式便是一个“淬炼结果”．则下列结论中∶ ①存在一种“淬炼结果”为； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有(　　) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【作业3】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【作业4】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一列数，满足，对任意的正整数，若，有，则等于（   ） A．397 B．398 C．399 D．400 【作业5】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，长、宽均为定值的长方形内部（不含边界）有一个边长为定值的正方形A，顺次延长正方形A的四条边，将长方形分割出B，C，D，E四个小长方形．下列结论正确的是（   ） A．若正方形A在长方形内部向左移动，则长方形C，D的周长之和变小 B．若正方形A在长方形内部向下移动，则长方形B，C的周长之和变大 C．若正方形A在长方形内部任意移动，则长方形B的周长不变 D．若正方形A在长方形内部任意移动，则B，D的周长之和与C，E的周长之和始终相等 【作业6】．（2024·江苏·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为_________． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，整数可取的值有__________个． 【作业8】．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若四位数满足各位数字均不为0，千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及个位数字的和刚好等于150，则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298，，则5298是“数学满分数”，定义，对于四位数 是“数学满分数”，则为 _______，在此条件下，若能被7整除，则符合题意的最大值与最小值的差为 _________． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，切3刀最多可以将鸡蛋饼分成______块． 【作业10】．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则的值为________． 【作业11】．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“退位减法”是一种逐位相减的方法．例如，十进制数的减法，当同一数位不够减时，向高一位借当，；二进制的减法，当同一数位不够减时，向高一位借当，．其它几进制的退位减法也是类似的．若，，，分别代表四进制中4个互不相同的数，且三位数比三位数大，则代表的数是________． 【作业12】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球A、B、C，轨道两端各有一个挡板M和N，挡板间的距离为．其中C到左挡板M的距离为，B到右挡板N的距离为，A、C两球相距．现以轨道所在直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为40，解答下列问题： (1)C球表示的数为________，左挡板M表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设A、B两球同时开始运动，运动时间为t秒． 若A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动，当A、B两球相撞时停止运动． ①当B球撞到挡板N时，________； ②令，其中，表示点A、M之间的距离，表示点B、N之间的距离．请探究在运动过程中，m与t的数量关系； ③当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的球表示的数是什么？ 【作业13】．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【作业14】．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【作业15】．（2024·安徽合肥·一模）如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由 个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含 的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $