精品解析：云南曲靖市第一中学2026-2027学年高三上学期教学质量检测(三)数学试卷

曲靖一中2027届高三年级教学质量检测三 数学试卷 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为“”的充要条件为“”， 而“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 向量，在单位正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 5 B. -5 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】建立如图的平面直角坐标系，则，所以. 4. 在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 则 ， 设上的高为，则，得. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 6. 已知函数.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用参变分离可求参数的取值范围，注意结合基本不等式和导数求新函数的最值. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立即为： 且 ， 因为时， 恒成立，此时； 当时，故原不等式即为 且 ， 当时， ， 当且仅当时等号成立，故； 当时，设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，故 ，故， 综上 . 7. 设且则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，构造，整理可得，结合单调性分析判断选项ABD，并举反例说明选项C错误. 【详解】因为，且，可得， 又因为，且， 即， 构造，可得， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可知B正确，AD错误； 令，则，可得， 构造，则，， 可知在内存在零点，即方程有根， 所以符合题意，但不成立，故C错误； 故选：B. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，多选或者错选不得分，部分选对得部分分） 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简，根据正弦型三角函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由条件可得， 选项A：的最小正周期为，故A正确； 选项B：令，解得， 所以无论k取任何整数，x都不能为，故B错误； 选项C：的最大值为，故C正确； 选项D：令，解得， 令，解得， 所以直线为的一条对称轴，故D正确. 故选：ACD 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，且为钝角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合三角恒等式和三角形的正弦定理的边角转化、余弦定理，分别对每个选项进行化简计算从而进行解答. 【详解】选项A：因为， 所以由三角恒等式可得， 即， 所以由正弦定理可得，故选项A正确； 选项B：由余弦定理可得， 由A可知，代入可得 ，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，故选项B正确； 选项C：由余弦定理可得， 由A可知， 所以，由正弦定理可得， 所以，故选项C错误； 选项D：由A可知， 因为， 所以， 因为， 所以． 因为为钝角， 所以，即， 因为， 所以，故选项D正确. 11. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. ， D. 若的值域为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误. 【详解】，， ，， 关于对称，， ，，， ，故C正确； 关于对称，，，为偶函数， ，，，，，为偶函数，故A错误； ，图象关于点中心对称， 存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ， ，故D正确； 由得，又，所以， 由得，所以，故B正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项： （1）赋值法使用，注意和题目条件作联系； （2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若集合，，则集合的所有子集的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算集合的元素，进而可得集合的子集个数. 【详解】因为，且， 所以当时，；当时，；当时，. 因此， 所以集合的所有子集的个数为. 13. 已知向量满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得，有， 则， 故答案为： 14. 已知函数在上是增函数，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在是增函数得到的取值范围，根据得到和的值，进而得到的表达式，从而分类讨论即可得解. 【详解】由题意得：， 所以或， 因为，所以，， 因为和， 所以，则， 所以，则， 故，得， 因为或， 所以或，解得或， 当时，，此时，，其在上单调递增，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，此时，其在上单调递减，不满足题意； 当时，，不满足题意； 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于在是增函数得到的取值范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，甲同学从这门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修门． （1）甲同学恰好选修门体育类选修课的概率； （2）在已知甲同学首选门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用排除法确定满足“每类至少选修门”的选法总数，再由分步乘法计数原理求出“门体育、门艺术”的选法数，最后代入古典概型公式求概率. （2）把条件转化为“从剩余体育类与艺术类课程中选足门数且至少含门艺术”的计数问题，用排除法求出条件总选法数，再分别计数 各取值对应的选法数并求出相应概率，最后代入数学期望公式求解. 【小问1详解】 满足“每类至少选修门”的选法总数为． 恰好选修门体育类、门艺术类的选法数为． 所以甲同学恰好选修门体育类选修课的概率． 【小问2详解】 满足“已知甲同学已选篮球，则还需从剩余门体育类、门艺术类共门中选门， 且至少选门艺术类．”的选法总数为． 依题意，的可能取值为1，2，3． 则， ， ． 所以． 16. 如图，在正三棱柱中，为线段的中点，为线段上的动点． （1）求证：； （2）若，，二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】（1）连接， 在正三棱柱中，为等边三角形， 又因为M为的中点，所以． 又因为平面，平面，所以 又因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． （2）1； 【解析】 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性质可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系， 求出相关平面的法向量，再利用面面角的空间向量表示即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）若角的平分线长为1，且，求． （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】（1）6； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，再利用辅助角公式并结合的范围即可得到答案； （2）根据余弦定理得到，再根据其为锐角三角形和余弦定理求出的范围，最后根据二次函数性质即可求出平方和范围. 【小问1详解】 由正弦定理可知 ， 因为，所以，所以 ， 即，即， 即，即， 因为 ，所以 ， 由此得 ，即 . 因为是角 的平分线，所以 ， 根据三角形面积公式，有 ， 即， 即，所以， 由余弦定理 ， 则. 【小问2详解】 由题意得， 即， 因为为锐角三角形，则，即，解得. 则，其中， 设，则在上单调递增， 则，即， 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． （1）若的面积是的面积的倍，求的值； （2）设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在第一象限时，若的面积是的面积的倍，求点的纵坐标（用表示）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（，）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化为两顶点到直线的水平距离之比，进而得，代入椭圆方程得到，进而算出. （2）(i)设交点，写出直线、的点斜式，联立方程解得，，再利用椭圆方程消去参数，得到关系式；结合题意舍去，得到的轨迹（双曲线）； (ii)将面积比转化为轴上线段长度之比，解出；再利用(i)中两直线比值关系求出点横坐标；将代入双曲线轨迹方程，结合第一象限，解出纵坐标（用表示）. 【小问1详解】 解：由题意知，，， 由的面积是的面积的倍可得， 即，解得， 再代入椭圆方程解得， 所以． 【小问2详解】 （i）直线的方程为①， 直线的方程为②， 设交点，由①得，由②得 ， 两式相除消去得 交叉相乘得：， 展开：， 化简得：， 由①式得 ，将 代入得 因为点在椭圆上，满足， 代入得 整理得：，即 ， 因为 是不同的动点，所以，从而， 所以，点的轨迹的方程为（，）． （ⅱ）当的面积是的面积的倍时，可得， 即，解得， 又点坐标满足，即， 代入的轨迹方程得， 解得（舍负），即点的纵坐标为定值． 19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）证明：假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）（ⅰ）证明：由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， 先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以. （ⅱ）证明：由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证， 只需证， 即， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键主要有三点：一是理解新定义“切合函数”；二是利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2027届高三年级教学质量检测三 数学试卷 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 向量，在单位正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 5 B. -5 C. 0 D. 1 4. 在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 7. 设且则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，多选或者错选不得分，部分选对得部分分） 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 曲线关于直线对称 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，且为钝角，则 11. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. ， D. 若的值域为，则 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 若集合，，则集合的所有子集的个数是______． 13. 已知向量满足，则________． 14. 已知函数在上是增函数，且，则的值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，甲同学从这门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修门． （1）甲同学恰好选修门体育类选修课的概率； （2）在已知甲同学首选门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数的数学期望． 16. 如图，在正三棱柱中，为线段的中点，为线段上的动点． （1）求证：； （2）若，，二面角的余弦值为，求的长度． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， （1）若角的平分线长为1，且，求． （2）若为锐角三角形，，求的取值范围． 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． （1）若的面积是的面积的倍，求的值； （2）设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在第一象限时，若的面积是的面积的倍，求点的纵坐标（用表示）． 19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $