第11讲 图形计数一（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学

第11讲 图形计数一 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 图形计数一 确定计数对象 固定端点或按长度分类 检查有无重复和遗漏 情境探路 同一条直线上有若干标记点，两名同学数出的线段条数却不同。怎样确定计数对象，并按固定顺序做到不重复、不遗漏？本讲从固定一个端点开始学习有序计数。 从最左边的点出发，依次连向右边的点；然后换下一个点继续连。已经数过的线段不要反向再数。 观察示意 ●────● ────● （示意：端点位置应先标清） 知识梳理 线段由两个端点确定。同一直线上有若干个不同点时，可固定左端点，从左到右逐个数；最左点的搭配最多，最右点没有右侧搭配。这样每条线段只数一次。 若各小段长度相等，还可以按所跨小段数分类。五个小段连成的大线段中，跨一小段的有五条，跨两小段的有四条，依此减少。 一个小于°的角由两条不同射线确定。若射线都在同一个小于°的角内，可以固定一边逐条配对。若出现反向射线，必须另行判断平角是否计入。 三角形扇形分割中，若所有小三角形共用顶点，底边上的任意两个不同标记点都能与组成三角形。只有相邻底边点组成的才是最小三角形。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 同一直线上从左到右依次标出、、、、、六个不同的点。以这些点为端点，共有多少条线段？ 跟踪1 【模拟练习】 同一直线上有个不同的标记点，以这些点为端点共有多少条线段？ 例2 【模拟练习】 从点发出条不同射线，全部位于一个小于°的角内。任取其中两条作边，可组成多少个小于°的角？ 跟踪2 【模拟练习】 从发出条不同射线，均在一个小于°的角内，可组成多少个小于°的角？ 例3 【模拟练习】 三角形的底边上依次有两个内部点、，画出、。只数由已画线段组成的三角形，共有多少个？ 跟踪3 【模拟练习】 三角形的底边被分成个小段，与所有分点相连。所有已画线段围成的三角形共有多少个？ 例4 【模拟练习】 圆周上标出五个不同的点，只允许选这五个点作顶点。连接任意两点后，可以组成多少个不同的三角形？交点不能作新顶点。 跟踪4 【模拟练习】 两条平行线上，第一条有个标记点，第二条有个标记点。只选这些点作顶点，共能组成多少个三角形？ 分层训练 A组 基础巩固 A2 【模拟练习】 一条直线上按顺序标出个不同的点，以这些标记点为端点的线段有多少条？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 同一直线上依次有、、、、五点，相邻两点相距厘米。以这五点为端点的所有线段，长度相加是多少厘米？ B3 【模拟练习】 先画一条经过点的直线，它在的两侧形成两条反向射线；再在直线同一侧画出以为端点的条不同射线，且都不在直线上。任取这条射线中的两条作边，只数小于°的角，共有多少个？ B4 【模拟练习】 三角形的底边被等分成段，连接全部分点。底边恰好跨两个小段的三角形有多少个？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 同一直线上有个等距的标记点，相邻点相距厘米。以标记点为端点，长度至少厘米的线段有多少条？ C2 【模拟练习】 一条直线上原有个不同标记点，现在再增加两个新的不同标记点，且不与原点重合。线段总数比原来增加多少条？ 真题拓展 D09 【科学创新能力实践活动 华数系列 2026年 初级组 2026年4月25日卷 原卷第2题 PDF第1页】 从一条直线开始，依次画垂直、平行、垂直、平行，再按“垂直前一条、平行前一条”的顺序继续，直到有条互不重合的直线。共有多少个交点？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 图形计数一 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 同一直线上从左到右依次标出、、、、、六个不同的点。以这些点为端点，共有多少条线段？ 答案 条。 固定左端点，可以连向、、、、，共条。 固定左端点、、、，分别有、、、条；不能再向右搭配。 相加：（条）。线段和是同一条，不再反向数。 方法提示 固定左端点，逐个配对。 跟踪1 【模拟练习】 同一直线上有个不同的标记点，以这些点为端点共有多少条线段？ 答案 条。 解析 依次固定左端点，有、、条，共条。 例2 【模拟练习】 从点发出条不同射线，全部位于一个小于°的角内。任取其中两条作边，可组成多少个小于°的角？ 答案 个。 把条射线按转动顺序编为至号。 以号为第一边，可与后面条配对；以号为第一边，有种。 继续得到种、种，共（个）。因为全部在同一个小于°的角内，无须扣除平角。 方法提示 按第一条边分类。 跟踪2 【模拟练习】 从发出条不同射线，均在一个小于°的角内，可组成多少个小于°的角？ 答案 个。 解析 按第一边顺序数：个。 例3 【模拟练习】 三角形的底边上依次有两个内部点、，画出、。只数由已画线段组成的三角形，共有多少个？ 答案 个。 底边上共有、、、四个可作端点的点。所有三角形的第三个顶点都是。 最小三角形有个；底边跨两个小段的有个；跨三个小段的有个。 总数为（个）。较大的三角形也要计入。 方法提示 按底边跨越的小段数分类。 跟踪3 【模拟练习】 三角形的底边被分成个小段，与所有分点相连。所有已画线段围成的三角形共有多少个？ 答案 个。 解析 底边跨、、、、个小段的三角形分别有、、、、个，共个。 例4 【模拟练习】 圆周上标出五个不同的点，只允许选这五个点作顶点。连接任意两点后，可以组成多少个不同的三角形？交点不能作新顶点。 答案 个。 给五个点按顺序编为、、、、号，每个三角形按顶点号码从小到大记录。 最小号码为时，其余两个号码从、、、中选，得到、、、、、，共种。 最小号码为时有、、，共种；最小号码为时只有一种。 合计（个）。圆周上任意三点不共线，所以这些组合都有效。 方法提示 固定最小编号，有序列举。 跟踪4 【模拟练习】 两条平行线上，第一条有个标记点，第二条有个标记点。只选这些点作顶点，共能组成多少个三角形？ 答案 个。 解析 第一条选点、第二条选点，有种；第一条选点、第二条选点，有种，共种。 分层训练 A组 基础巩固 A2 【模拟练习】 一条直线上按顺序标出个不同的点，以这些标记点为端点的线段有多少条？ 答案 条。 解析 从左到右固定端点：条。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 同一直线上依次有、、、、五点，相邻两点相距厘米。以这五点为端点的所有线段，长度相加是多少厘米？ 答案 厘米。 解析 长厘米的条，长厘米的条，长厘米的条，长厘米的条；总长厘米。 B3 【模拟练习】 先画一条经过点的直线，它在的两侧形成两条反向射线；再在直线同一侧画出以为端点的条不同射线，且都不在直线上。任取这条射线中的两条作边，只数小于°的角，共有多少个？ 答案 个。 解析 先数全部配对：组。只有边界两条组成平角，扣除这一组，得个。 B4 【模拟练习】 三角形的底边被等分成段，连接全部分点。底边恰好跨两个小段的三角形有多少个？ 答案 个。 解析 底边两个端点之间恰隔一个分点。左端点可依次选前个标记点，每次向右跨两段，共个。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 同一直线上有个等距的标记点，相邻点相距厘米。以标记点为端点，长度至少厘米的线段有多少条？ 答案 条。 解析 按长度分：、、、、、、厘米的线段分别有、、、、、、条，共条。“至少”包括厘米。 C2 【模拟练习】 一条直线上原有个不同标记点，现在再增加两个新的不同标记点，且不与原点重合。线段总数比原来增加多少条？ 答案 条。 解析 加第个点时，与原来点分别形成条新线段；加第个点时，与已有点形成条；共增加条。 真题拓展 D09 【科学创新能力实践活动 华数系列 2026年 初级组 2026年4月25日卷 原卷第2题 PDF第1页】 从一条直线开始，依次画垂直、平行、垂直、平行，再按“垂直前一条、平行前一条”的顺序继续，直到有条互不重合的直线。共有多少个交点？ 答案 个 把看成横向，前几条的方向是横、竖、竖、横、横、竖、竖、横……。每条含条横向、条竖向，因此各有条。 每条横线与条竖线各交一次，所有交点不重合，故共有个。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $