第10讲 数阵图与简单幻方（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学苏教版

第10讲 数阵图与简单幻方 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 用到各一次组成三阶幻方，求幻和。 答案 九个数字总和。 三行没有重复地包含全部九格，且三行和相同。 幻和。 方法提示 从没有重叠的三行入手求总和。 跟踪1 【模拟练习】 用到各一次组成三阶幻方，每列的和是多少？ 答案 解析 到的和是，三列不重叠且列和相同，每列的和是。 例2 【模拟练习】 一个三阶幻方的第行是、、，第行是、、。求第行。 答案 、、 每一列的和也必须是。 左下格；中下格。 右下格，所以第行为、、。 检查第行和为，两条对角线、也都为。 方法提示 按列补数，最后逐线检查。 跟踪2 【模拟练习】 一个到三阶幻方的第行是、、，第行是、、，求第行。 答案 、、 解析 按列补到：，，。两条对角线也都为。 例3 【模拟练习】 证明用到各一次组成的三阶幻方，中心只能是。 答案 中心是 四条过中心的线总和为。 这四条线把八个外格各算次，中心算次。 与全部九数总和比较，多算了个中心。 所以中心＝（。 方法提示 统计重叠处被算了几次。 跟踪3 【模拟练习】 使用到各一次组成三阶幻方，证明中心只能是。 答案 中心是 解析 每格都减后得到使用到各一次的三阶幻方，中心必须是；原幻方的中心因此是。 例4 【模拟练习】 把、、、、分别填在一个十字形的中心、上、下、左、右五个位置，各用一次。若横线和竖线的和都是，中心是多少？请给出一种填法。 答案 中心；上下左右 五个数的总和为。 两条线的和合计，四个外数各算一次，中心多算一次。 所以中心。剩下、、、须分成和为的两对。 可取上、下、左、右、中心，横竖都为。 方法提示 线和相加后扣除无重叠总和。 跟踪4 【模拟练习】 把、、、、填进十字形五个位置，各用一次。横、竖两条线的和都是，求中心，并给出一种填法。 答案 中心；上下左右 解析 两条线合计，全体总和，中心多计一次，所以中心。余下分为与，两对和都为。 分层训练 A组 基础巩固 A2 【模拟练习】 到三阶幻方中，中心是，一对相对位置已有，另一个数是多少？ 答案 解析 过中心的线和，所以另一个数。 A3 【模拟练习】 某行三格的数字为、、，要求这一行和为，是多少？ 答案 解析 。 A4 【模拟练习】 一个行列数表三行都是、、，每行和都是。它是不是到幻方？说明一个理由。 答案 不是 解析 数字、、被重复使用，没有把到各用一次；而且第列和为，也不符合列和。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 将三阶幻方“ ／ ／ ”整体向右转度，写出新的三行。 答案 ／ ／ 解析 旋转后原来的每列从下到上成为新的一行。逐行相加仍为，列与对角线也保持原来的对应关系。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 把、、、、、、填在中心及周围点，三条直线各经过中心和一对外点，且三条线和都为。求中心，并把外点配成三对。 答案 中心；与、与、与 解析 总和，三线合计，中心额外计了次，所以中心（。每对外点和，按、、配对。 C2 【模拟练习】 有一个使用到各一次的三阶幻方，小红把每个数都改成“减去原数”。新数阵还是幻方吗？新的幻和和中心各是多少？ 答案 仍是；幻和，中心 解析 到被成对交换后仍各用一次。每条线新和为－原线和＝；中心变为。所有行、列、对角线都满足。 真题拓展 Z05 【袋鼠数学 2024年 Ecolier 三四年级组 原卷第11题】 把、、、、分别填进两条交叉线上的个圆圈，每条线有个圆圈，共用中央圆圈。每条线上的个数之和都是。中央圆圈应填几？ 答案 解析 个数的和是。两条线的和相加是，其中中央数多算一次，因此中央数是。其余可配成与、与。 D12 【科学创新能力实践活动 华数系列 2026年 初级组 2026年4月25日卷 原卷第11题 PDF第3页】 把至各用一次填入数阵。三列的和从左到右为、、，三行的积从上到下为、、。请列出种不同填法。 右侧为各行之积，下方为各列之和。 答案 见解析中的个数阵 先拆行积：第一行可用、、或、、；第三行可用、、或、、。用数字不能重复及第二行积继续筛选。 第一列和最小，先试较小数字，再逐一排列并核对三列和。以下个数阵都使用至各一次，行积为、、，列和为、、。 以下四种填法逐项满足行积与列和。 1 7 8 3 6 4 5 2 9 1 7 8 6 3 4 2 5 9 1 8 7 2 4 9 6 3 5 2 4 7 1 8 9 6 3 5 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 数阵图与简单幻方 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 数阵图与简单幻方 求总和与每条线的和 数清中心重复次数 按相对位置补全并检验 情境探路 把到填进九宫格，每行、每列和两条对角线的和都相同，这样的数阵称为三阶幻方。随意试填很费力，先研究总和、中心和对称位置，许多格子的数字就会自动确定。 观察下面的数阵，先把每一行相加，再检查每一列和两条对角线。你能从总和推断出每条线的和吗？ 观察示意 知识梳理 本讲三阶幻方专指到各用一次填入行列方格，三行、三列及两条对角线的和相等；共同的和叫幻和。只要求行和相同，不一定是幻方。 到的总和为，三行合计也为，所以每行的幻和是。 过中心的中行、中列与两条对角线，共条线的和为。八个外格各计一次，中心计次，比总和多计中心次，因此中心为（。 每条过中心的线总和，减去中心后，相对的两个外格和为。可配成与、与、与、与。 辐射型数阵也用计数次数分析：若几条线共用中心，直接把各线和相加会多算中心，必须补回或减去重复次数。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 用到各一次组成三阶幻方，求幻和。 跟踪1 【模拟练习】 用到各一次组成三阶幻方，每列的和是多少？ 例2 【模拟练习】 一个三阶幻方的第行是、、，第行是、、。求第行。 跟踪2 【模拟练习】 一个到三阶幻方的第行是、、，第行是、、，求第行。 例3 【模拟练习】 证明用到各一次组成的三阶幻方，中心只能是。 跟踪3 【模拟练习】 使用到各一次组成三阶幻方，证明中心只能是。 例4 【模拟练习】 把、、、、分别填在一个十字形的中心、上、下、左、右五个位置，各用一次。若横线和竖线的和都是，中心是多少？请给出一种填法。 跟踪4 【模拟练习】 把、、、、填进十字形五个位置，各用一次。横、竖两条线的和都是，求中心，并给出一种填法。 分层训练 A组 基础巩固 A2 【模拟练习】 到三阶幻方中，中心是，一对相对位置已有，另一个数是多少？ A3 【模拟练习】 某行三格的数字为、、，要求这一行和为，是多少？ A4 【模拟练习】 一个行列数表三行都是、、，每行和都是。它是不是到幻方？说明一个理由。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 将三阶幻方“ ／ ／ ”整体向右转度，写出新的三行。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 把、、、、、、填在中心及周围点，三条直线各经过中心和一对外点，且三条线和都为。求中心，并把外点配成三对。 C2 【模拟练习】 有一个使用到各一次的三阶幻方，小红把每个数都改成“减去原数”。新数阵还是幻方吗？新的幻和和中心各是多少？ 真题拓展 Z05 【袋鼠数学 2024年 Ecolier 三四年级组 原卷第11题】 把、、、、分别填进两条交叉线上的个圆圈，每条线有个圆圈，共用中央圆圈。每条线上的个数之和都是。中央圆圈应填几？ D12 【科学创新能力实践活动 华数系列 2026年 初级组 2026年4月25日卷 原卷第11题 PDF第3页】 把至各用一次填入数阵。三列的和从左到右为、、，三行的积从上到下为、、。请列出种不同填法。 右侧为各行之积，下方为各列之和。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $