精品解析：广东东莞市东莞中学、东莞外国语学校联考2025-2026学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026年广东省东莞联考 九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D． 3. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 4. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 6. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 8. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数，得到抛物线开口向下，并有最大值，根据抛物线顶点坐标公式得到顶点坐标的纵坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 最大值为． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 14. 二次函数的部分图象如图所示，若图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的一个正根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据图象过点，对称轴为直线，结合二次函数对称性即可求解． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线， ∴与点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴关于的一元二次方程的一个正根为， 故答案为： ． 15. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为，则把纵向路平移到最左侧、横向路平移到最下方后， 整个草坪可看作一个长为、宽为的矩形． 再利用长和宽得到面积的表达式，求出x的长度. 【详解】解：设道路的宽为, 由题意得:． 整理，得，解得，（舍去）． 故道路的宽为． 故答案为:2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用长度和面积的关系列出表达式是解题的关键. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程． （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 17. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】（1） 证明： ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 20. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． （1）求点的坐标； （2）不等式的解集为_____； （3）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 21. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题： （1）在第n个图中，第一横行共　 　 块瓷砖，第一竖列共有　 　 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　 　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形） （2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值； （3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明． 【答案】（1） n+3，n+2，n2+5n+6或（n+2）（n+3）；（2）20；（3）不存在 【解析】 【分析】（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，通过观察即可求出在第n个图中，第一横行共n+3块瓷砖，第一竖列共有n+2块瓷砖；第n个图形用的正方形的个数=（n+2）（n+3）个； （2）根据题意可得（n+2）（n+3）=506，解关于n的一元二次方程即可； （3）第一个图形中白色瓷块有1×2=2，黑色瓷块=2×5=10，第二个图形中白色瓷块有2×3=6，黑色瓷块=2×7=14，第三个图形中白色瓷块有3×4=12，黑色瓷块=2×9=18…那么依此类推第n个图形中有白色瓷块=n（n+1），黑色瓷块=2（2n+3），根据题意可得n（n+1）=2（2n+3），解关于n的方程即可． 【详解】解：（1）通过观察得：n=1时，横行有1+3块，竖列有1+2块， n=2时，横行有2+3块，竖列有2+2块， n=3时，横行有3+3块，竖列有3+2块， …， 所以在第n个图中，每一横行共有n+3块，每一竖列共有n+2块， 第一个图形用的正方形的个数=3×4=12,第二个图形用的正方形的个数=4×5=20,第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推, 在第n个图中，第n个图形用的正方形的个数=(n+2)(n+3)个； 故答案为n+3，n+2，n2+5n+6或（n+2）（n+3）； （2）根据题意得：n2+5n+6=506， 解得n1=20，n2=﹣25（不符合题意，舍去）； （3）第一个图形中白色瓷块有1×2=2，黑色瓷块=2×5=10， 第二个图形中白色瓷块有2×3=6，黑色瓷块=2×7=14， 第三个图形中白色瓷块有3×4=12，黑色瓷块=2×9=18… 那么依此类推第n个图形中有白色瓷块=n（n+1），黑色瓷块=2（2n+3）， 根据题意可得n（n+1）=2（2n+3）； 解得n=（不符合题意，舍去）， ∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，规律型：图形的变化类，解题关键在于根据题意找到规律. 五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． （2）如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】（1）①②米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【小问1详解】 解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． 【小问2详解】 解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 23. 综合与实践． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是x轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． 【操作与发现】 （1）当M为时，点P的坐标为____；当M为时，点P的坐标为___； 【猜想与证明】 （2）在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想图像L为我们学过的____图象；（请填序号：①一次函数；②二次函数） （3）设点P的坐标是，根据与的关系，求x、y满足的关系式； 【实践与运用】 （4）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2）② （3） （4）且 【解析】 【分析】（1）由题意可知当M为时，线段的垂直平分线为直线，当M为时，得出图象，然后问题可求解； （2）由（1）可得当M为时，可得点P的坐标为，然后问题可求解； （3）由两点间距离公式可得：，，则有，进而问题可求解； （4）由题意可得当时，点，此时，四边形是正方形，则可画出函数图象，然后可得当时，可知，则，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：当M为时，线段的垂直平分线为直线，过点M垂直于x轴的垂线即为y轴， ∴点P的坐标为； 当M为时，如图1，点P的坐标为， 【小问2详解】 解：∵线段的垂直平分线， ∴当M为时，同理可得点P的坐标为， ∵当点M为时，点P的坐标为， ∴点和关于y轴对称， ∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数； 【小问3详解】 解：由两点间距离公式可得：，， ∵， ∴， ∴x、y满足的关系式为； 【小问4详解】 解：x的取值范围为且．理由如下： 如图2，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 由（1）可知当M为时，点P的坐标为，点A、M、P三点共线构成不了三角形， ∴， 综上所述，要使为钝角三角形，x的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省东莞联考 九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 4. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的最大值是_____． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 14. 二次函数的部分图象如图所示，若图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的一个正根为______． 15. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程． （1）； （2） 17. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求a的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 20. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． （1）求点的坐标； （2）不等式的解集为_____； （3）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 21. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题： （1）在第n个图中，第一横行共　 　 块瓷砖，第一竖列共有　 　 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　 　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形） （2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值； （3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明． 五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． （2）如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 23. 综合与实践． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是x轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． 【操作与发现】 （1）当M为时，点P的坐标为____；当M为时，点P的坐标为___； 【猜想与证明】 （2）在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想图像L为我们学过的____图象；（请填序号：①一次函数；②二次函数） （3）设点P的坐标是，根据与的关系，求x、y满足的关系式； 【实践与运用】 （4）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $