精品解析：山东滨州市沾化区泊头镇实验学校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段检测数学试题

九年级数学第一次月考测试题 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A. 任意实数 B. m≠1 C. m≠﹣1 D. m＞1 2. 若m是方程的根，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4，0，81 B. ﹣4，0，81 C. 4，0，﹣81 D. ﹣4，0，﹣81 4. 设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( ) A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009 5. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中两根之和为-4的是（　　） A. B. C. D. 7. 某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（　　） A. 100（1+x）2＝364 B. 100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 C. 100（1+2x）＝364 D. 100+100（1+x）+100（1+2x）＝364 8. 如果长方形的宽增加，长减少1，那么其面积增加．已知原长方形的面积为，则原长方形的长和宽分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 10. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 二．填空题（共5小题，每题4分） 11. 在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有_____人． 12. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程_______ 13. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 14. 若，则_______． 15. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 三．解答题（共7小题） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于的方程有实数根． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，求点P运动的时间． 19. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门， （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ （2）猪舍面积能围成面积为吗？为什么？ 20. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若此方程的一个根是，求方程的另一根； （2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 22. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120 元？ （3）这种背包的销售利润有可能达到3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价； 若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次月考测试题 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A. 任意实数 B. m≠1 C. m≠﹣1 D. m＞1 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解：一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m+1≠0，即可求得m的值． 【详解】解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题关键． 2. 若m是方程的根，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值． 【详解】∵m是方程x2−2x−1＝0的根， ∴m2−2m−1＝0， ∴m2−2m＝1， ∴＝， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 3. 方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4，0，81 B. ﹣4，0，81 C. 4，0，﹣81 D. ﹣4，0，﹣81 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】方程整理得：4x2﹣81＝0， 二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为﹣81， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4. 设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( ) A. 2006 B. 2007 C. 2008 D. 2009 【答案】C 【解析】 【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解． 【详解】解：∵a是方程x2+x-2009=0的根， ∴a2+a=2009； 由根与系数的关系得：a+b=-1， ∴a2+2a+b =（a2+a）+（a+b） =2009-1=2008． 故选C． 5. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 先移项，再配方，即可得出答案． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 故选：C． 6. 下列一元二次方程中两根之和为-4的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，， ∴该方程有实根， ∴，不符合题意； B． ，， ∴该方程有实根， ∴，不符合题意； C． ，， ∴该方程有实根， ∴，符合题意； D． ，， ∴该方程无实根，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． 7. 某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（　　） A. 100（1+x）2＝364 B. 100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 C. 100（1+2x）＝364 D. 100+100（1+x）+100（1+2x）＝364 【答案】B 【解析】 【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1＋x）万元，三月份的营业额为100（1＋x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1＋x）万元，三月份的营业额为100（1＋x）2万元， 依题意，得：100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝364． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如果长方形的宽增加，长减少1，那么其面积增加．已知原长方形的面积为，则原长方形的长和宽分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设长方形的长为，则长方形的宽为，根据长方形的面积公式结合“长方形的宽增加，长减少，那么其面积增加”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设长方形的长为，则长方形的宽为， 依题意，得：＝， 整理，得：＝， 解得：＝，＝（不合题意，舍去）， ∴ ， 即原长方形的长和宽分别为， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 10. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可． 试题解析：分两种情况： （1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程， 得：32-12×3+k=0 解得:k=27 将k=27代入原方程， 得：x2-12x+27=0 解得x=3或9 3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去； （2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0， 此时：144-4k=0 解得：k=36 将k=36代入原方程， 得：x2-12x+36=0 解得：x=6 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故k的值为36． 故选B． 考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解． 二．填空题（共5小题，每题4分） 11. 在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有_____人． 【答案】11 【解析】 【分析】设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x-1）件礼品，根据晚会上共送出礼物110件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品， 依题意，得：x（x﹣1）＝110， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程_______ 【答案】 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据每瓶零售价由168元降为108元且两次降价的百分率相同，即可列出方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解的关键． 13. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式．然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 故答案为：3． 14. 若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】令，得到一个关于m的一元二次方程，解此一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：设，则有， 即，． ∴，． ∵，∴不合题意，舍去． ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法，需要注意不能是负数． 15. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 三．解答题（共7小题） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 整理，得， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 【小问2详解】 解：， 变形为， 因式分解，得， 即， 所以或， 解得，． 【小问3详解】 解：， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 【小问4详解】 解：， 因为，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ， 所以，． 17. 已知关于的方程有实数根． （1）若方程的一个根为，求的值； （2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为或. （2）存在，的值为. 【解析】 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为，∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 18. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，求点P运动的时间． 【答案】3秒 【解析】 【分析】根据题意，得出BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，根据三角形面积为，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为， 则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （4﹣t）×t＝， 解得，（舍去，不合题意）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 19. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门， （1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ （2）猪舍面积能围成面积为吗？为什么？ 【答案】（1）所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由题意得出方程，求出，，然后根据题意列不等式，得到，进而得到，然后求解即可； （2）根据题意列方程，通过判定一元二次方程的判别式，得到方程无解，进而得到不能围成面积围． 【小问1详解】 解：矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 由题意得 ， 解得：，， ∵猪舍的一边利用长为的住房墙， ∴，解得 ∴应舍去， ∴ ∴． ∴所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 整理得， ∴ ∴方程无解， ∴猪舍面积不能围成面积围． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 20. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 【答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可． 【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意， 得：1280（1+x）2=1280+1600， 解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍）， 答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%； （2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意， 得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000， 解得：a≥1900， 答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用. 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若此方程的一个根是，求方程的另一根； （2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】（1）5； （2）b2-4ac =（m+5）2-20m =m2-10m+25 =（m-5）2≥0， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，，求出m值，可得另一个根； （2）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0； （3）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题． 【详解】解：（1）∵方程的一个根是， ∴，， ∴， 解得：m=2， ∴； 所以另一个根为5 （2）略． （3）原方程可变为（x-m）（x-5）=0， 则方程的两根为x1=m，x2=5， ∴直角三角形三边为2，5，m； ∴m＞0， ①若m为直角三角形的斜边时，则： ∴22+52=m2， 解得：m=（负值舍去）， ②若5为直角三角形的斜边时，则： ∴22+m2=52， 解得：m=（负值舍去）． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，利用根的判别式b2-4ac探讨根的情况，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透． 22. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为 40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130 个，每个背包售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120 元？ （3）这种背包的销售利润有可能达到3700 元吗？若能，请求出此时的销售单价； 若不能，请说明理由． 【答案】（1）55元； （2）42元； （3） 这种书包的销售利润不能达到3700元，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴这种书包的销售利润不能达到3700元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及根的判别式， （1）设每个背包售价为x元，根据这种背包的月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围； （2）利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）这种书包的销售利润不能达到3700元，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即这种书包的销售利润不能达到3700元； 解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”． 【小问1详解】 设每个背包售价为x元， 依题意得：， 解得：， ∴x的最大值为55， ∴每个背包售价应不高于55元． 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． ∴当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $