精品解析：山东省滨州市沾化区育才实验学校2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试卷

滨州市沾化区育才实验学校核心素养综合测评 九年级数学（1） 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（ ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A. 1.09 B. 1.19 C. 1.29 D. 1.39 7. 若一个菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明同学为了研究物体在太阳光照射下影子的长度与时间的变化，某天在学校操场上测量了一根垂直于地面的直杆的影子长度，发现影子长度y与时间t之间近似二次函数关系，并在当天，，时分别测得直杆影子的长度为1.31米、1.1米和1.25米．则下列判断正确的是（ ） A. 前，直杆的影子长度逐渐变长 B. 后，直杆的影子长度逐渐变短 C. 在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度达到当日最短 D. 在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度也为1.1米 9. 柳喧丝绸是指茧绸，即柞绸，又称山东绸或鲁绸，是一种古老的中国传统织造工艺，是山东省省级非物质文化遗产．在某丝绸网店，6月份柳喧丝绸销售量为200件，8月份销售量为288件，设月份柳喧丝绸销售量的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是______． 12. 已知m是方程的一个根，则___________． 13. 已知点是二次函数图象上不同的两点，则与的大小关系是___________．（用“>”连接） 14. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 15. 已知抛物线（是常数，）过点，且，该抛物线与直线（是常数，）相交于两点（点在点左侧）．下列说法：①；②；③点是点关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论是___________（填序号） 三、解答题：本题共8个小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图是抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）___________，___________； （2）方程的根是什么？ （3）当x取何值时，？ 18. 芳芳用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下： 解：移项，得（第一步） 化简，得（第二步） 方程两边同时除以，得（第三步） 解得（第四步） （1）芳芳的方法___________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，她是从___________步开始错的； （2）请你写出正确的解题过程． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ． 20. 山东省菏泽市东明县是全国最大的县级西瓜种植基地，面积和产量高居全国第一，是“中国西瓜之乡”．图1是某瓜农建的西瓜大棚，其横截面为抛物线形，图2是西瓜大棚横截面的示意图，西瓜大棚在地面上的宽度是，最高点C与的距离为．以为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）一位身高的瓜农想要在西瓜大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否可以超过． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 22. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）【观察探究】 方程的解为：___； （2）【问题解决】 若方程有四个实数根，分别为、、、． ①a的取值范围是___； ②计算___； （3）【拓展延伸】 ①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程： ②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___． 23. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨州市沾化区育才实验学校核心素养综合测评 九年级数学（1） 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．需逐一判断每个选项是否符合要求即可． 【详解】解：A项：含有两个未知数，不符合题意； B项：含有分式，不是整式方程，不符合题意； C项：含有两个未知数，不符合题意； D项：只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据顶点式求顶点坐标． 直接根据抛物线的顶点式特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可．配方法的一般步骤为：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】∵ 故选：A． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的一般步骤为：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为， 故选：B． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得出原方程有两个相等的实数根． 【详解】解： 所以方程有两个相等的实数根， 故选：B． 6. 如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（ ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A. 1.09 B. 1.19 C. 1.29 D. 1.39 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 7. 若一个菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解一元二次方程求得菱形的两条对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算边长即可． 【详解】解：∵ ， ∴ , ， 即菱形的两条对角线长分别为 2 和 4， 设菱形的边长为 ， ∵ 菱形的对角线互相垂直平分， ∴ 半对角线长分别为 1 和 2， ∴ ， 故选： C． 8. 小明同学为了研究物体在太阳光照射下影子的长度与时间的变化，某天在学校操场上测量了一根垂直于地面的直杆的影子长度，发现影子长度y与时间t之间近似二次函数关系，并在当天，，时分别测得直杆影子的长度为1.31米、1.1米和1.25米．则下列判断正确的是（ ） A. 前，直杆的影子长度逐渐变长 B. 后，直杆的影子长度逐渐变短 C. 在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度达到当日最短 D. 在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度也为1.1米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，结合题意按照二次函数的性质判断结论是本题的解题关键． 由题意可得影子长度先减小再增大，逐项判断即可． 【详解】解：由题意可得在到之间，影子长度先减小再增大，即二次函数图象开口向上， 又∵在以后，还需要一定时间影子长度为米， 所以对称轴位在还过大于时长，即以后．即对称轴位于到之间， A、前，直杆的影子长度逐渐变短，故A错误，不符合题意； B、后，直杆的影子长度逐渐变长，故B错误，不符合题意； C、在到之间，不会有某个时刻直杆的影子长度达到当日最短，故C错误，不符合题意； D、在到之间，会有某个时刻直杆的影子长度也为1.1米，根据二次函数的性质可得D正确，符合题意， 故选：D． 9. 柳喧丝绸是指茧绸，即柞绸，又称山东绸或鲁绸，是一种古老的中国传统织造工艺，是山东省省级非物质文化遗产．在某丝绸网店，6月份柳喧丝绸销售量为200件，8月份销售量为288件，设月份柳喧丝绸销售量的月平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率的应用．从6月到8月经过两个月增长，每月增长率相同，因此使用几何增长模型列方程． 【详解】解：设月平均增长率为x， ∴ 7月销售量为，8月销售量为， 又∵ 8月销售量为288， ∴． 故选：B． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后再根据数的性质可得出答案． 【详解】二次函数的对称轴为： 又， 当时，随的增大而增大， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12. 已知m是方程的一个根，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义．把代入方程即可得到答案． 【详解】解：由条件可知， ， 故答案为：． 13. 已知点是二次函数图象上不同的两点，则与的大小关系是___________．（用“>”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数对称性和增减性即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 15. 已知抛物线（是常数，）过点，且，该抛物线与直线（是常数，）相交于两点（点在点左侧）．下列说法：①；②；③点是点关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论是___________（填序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据抛物线过点和，可设交点式，从而得到系数关系，再逐一分析各结论，①由和的符号判断；②代入表达式计算；③考虑点横坐标的两种情形，判断距离范围；④当时，推导不等式解集，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②错误， ∵对称轴，点是点关于的对称点， ∴点为抛物线与直线交点，方程的根为和， 当点横坐标时， ∴， ∵， ∴， 当点横坐标时， 则，其值不一定在3到4之间，结论③不一定成立，故错误； 当时，点横坐标为4， ∴，即， ∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 结论④正确， 故答案为：①④． 三、解答题：本题共8个小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 17. 如图是抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）___________，___________； （2）方程的根是什么？ （3）当x取何值时，？ 【答案】（1）1；2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，体现数形结合的思想解决问题． （1）代入与x轴的交点坐标，建立b、c的二元一次方程组，求得答案即可； （2）观察图象抛物线与x轴交于和两点，所以方程的解为，； （3）若，则函数的图象在x轴的上方，找到对应的自变量取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：与x轴的交点坐标为，， 代入得， 解得， ∴抛物线． 故答案为：1；2； 【小问2详解】 解：观察图象可知抛物线与x轴交于和两点， ∴方程的根是，， ∴方程的根是，； 【小问3详解】 解：由图象得，当时．． 18. 芳芳用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下： 解：移项，得（第一步） 化简，得（第二步） 方程两边同时除以，得（第三步） 解得（第四步） （1）芳芳的方法___________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，她是从___________步开始错的； （2）请你写出正确的解题过程． 【答案】（1）不正确，三 （2） 解：， ， ， ， ， 即或， ∴，． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． （1）两边除以时，要考虑其是不是0即可判断； （2）先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：芳芳的方法不正确；当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误； 故答案为：不正确，三； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程． （1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ． 【答案】（1）证明：=， ∴方程总有两个实数根； （2）n=4，m=2，方程的根为x1=x2=1 【解析】 【分析】（1）先计算判别式得到=，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程． 【详解】（1）略 （2）由题意可知，m≠0， ； 即； 以下答案不唯一，如：当n=4，m=2时，方程为x2-2x+1=0， 解得x1=x2=1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与=b-4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根． 20. 山东省菏泽市东明县是全国最大的县级西瓜种植基地，面积和产量高居全国第一，是“中国西瓜之乡”．图1是某瓜农建的西瓜大棚，其横截面为抛物线形，图2是西瓜大棚横截面的示意图，西瓜大棚在地面上的宽度是，最高点C与的距离为．以为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）一位身高的瓜农想要在西瓜大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否可以超过． 【答案】（1） （2）不可以超过 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图像与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分析题干的条件，得抛物线的顶点C的坐标为，且过点，故设抛物线的解析式为．然后运用待定系数法进行求解，即可作答； （2）理解题意，则把代入，得出， ，再求出，即可作答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， ， ， 将代入，得：， 此抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：该瓜农站直行走的横向距离不可以超过， 理由如下：令，即， 解得：， 瓜农站直行走的横向距离为， 瓜农站直行走的横向距离不可以超过． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）【观察探究】 方程的解为：___； （2）【问题解决】 若方程有四个实数根，分别为、、、． ①a的取值范围是___； ②计算___； （3）【拓展延伸】 ①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程： ②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___． 【答案】（1） （2）①；②0 （3） ①由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示： ； ② 【解析】 【分析】（1）由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解； （2）①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，即可求解； （2）①由函数图象平移可直接进行求解；②结合函数图象可求解x的范围问题． 【小问1详解】 解：由题意及图象可看作直线与函数的图象交点问题，如图所示： ∴方程的解为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示： ∴由图象可得若方程有四个实数根，则a的取值范围是； 故答案为：； ②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称， 假设方程有四个实数根，从小到大分别为、、、， ∴， ∴； 故答案为：0 【小问3详解】 解：①略 ②由图象可得：当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 23. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． 【小问3详解】 解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：， 当时，， ∴． 【小问4详解】 解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $