第1章一元二次方程期中复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

九年级一元二次方程期中复习讲义 苏科版学生版 班级 姓名 本讲义系统复习一元二次方程的概念、四种解法、根的判别式、韦达定理及方程应用。先理解 条件与方法，再完成60道练习；含参数或实际情境的题目，应把求得的结果放回原条件中检 验。 一知识详解 1一元二次方程的定义和一般形式 只含有一个未知数，整理后未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。它的一般 形式是ax2+bx+c=0,其中a,b,c是实数，且a≠0。a是二次项系数，b是一次项系数，c是 常数项。b、c可以为0，a不能为0。 判断时要抓住“一个未知数”“整式方程”“整理后最高次数为2”三个条件。例如x=(x+12整理后 为2x+1=0,不是一元二次方程；是+x=3的分母含未知数，不是整式方程，不能直接称为一 元二次方程。 例：把3x(x-2)=x2+5化为一般形式。展开、移项、合并后得2x2-6x-5=0,所以a=2, b=-6,c=-5。辨认系数时，应先整理，且必须连同前面的符号一起看。 关于x的方程(m-2)x2+3x-1=0,在m≠2时是一元二次方程；在m=2时变成3x-1=0。 字母m是参数，判断的是未知数x的次数。 当二次项系数为0时，要看剩下的式子：bx+c=0在b≠0时是一次方程；若b=0,c≠0，如 0x+2=0,没有解；若b=c=0,则等式为0=0，每个实数都是解。因此“二次项消失”不总是“变 成一次方程”。 2根的定义与代入的作用 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，也叫方程的根。如果r是ax+bx+c=0的 根，就有ar2+br+c=0。代入不是只用来验算，也能帮助求参数和简化式子。 例：若2是方程x2-5x+k=0的一个根，则2-5×2+k=0,得k=6。若r是x-4x+1=0的 根，则r2-4r=-1,求这个式子的值，不必先算出r。 “求方程的根”应写出所有满足方程的实数。一个数代入不成立，就不是根；只找到一个根，并 不能保证已经解完方程。 3降次与不漏根 解一元二次方程的基本想法是降次：把二次方程转化为可以求解的一次方程或平方关系。因式 分解法的依据是：AB=0~A=0或B=0。这里的“或”表示任意一个因式为0，乘积就为0，并 不要求两个因式同时为0。 等式两边加减同一个式子，或乘除同一个非零数，不改变方程的解。但是两边除以含有未知数 的式子时，必须先考虑这个式子能否为0。 例：解2xx-1)=3(1-x)。因为1-x=-（x-1,所以移项后得到2x(x-1)+3(x-1)=0,即 x-12x+3=0。于是X-1=0或2x+3=0,得x1,X-2 第1页共33页 若在原方程两边直接约去x-1,只会得到2x=-3,从而漏掉X=1。正确的简法是提取公因 式，而不是把可能为0的因式约掉。 4先看结构再选方法 看到平方形式，先考虑直接开平方；看到共同因式、平方差或明显可以分解的二次三项式，先 考虑因式分解。结构不明显时，再考虑配方或求根公式。能够整体处理的式子，不必急着展 开。 例如(2x-1)2=5宜直接开平方；x2-6x+8=0可分解为(x-2)(x-4)=0,3x2+2x-2=0用公 式法较方便。x-6x+8=0的一次项系数虽为偶数，也不意味着必须先配方。 几种解法都可能正确，选择时比较的是书写是否简洁、计算是否稳妥，以及是否能保留原式的 结构。 5直接开平方法 把方程化为(ux+v=w,其中u≠0，再根据平方根的意义求解。若w>0,则ux+v=±Vw,有 两个不同的实数根；若w=0,则ux+V=0,有两个相等的实数根；若w<0,则没有实数根。 例：解(2x-3=7。直接开平方，得2x-3=±V7,所以X3532 327.其中正、负 两个平方根都不能漏。 特别注意，√X=x,而不是对所有实数都等于x。例如x=9的根是x=3或x=-3。 6配方法及其理由 配方的依据是x2+2hx+h=(x+h2。因此，要把x+px配成完全平方，应在两边同时加上 (号尸。若二次项系数不是1，应先把它化为1。 例：解2X-8x+3=0。移项并把二次项系数化为1，得X-4X=- 。一次项系数是-4，它的 一半是-2，平方为4，所以两边同加4，得X-4x+4=号，即(x-2P=号 直接开平方，得x2-±悟-四。所以X2+四 x,=2-0 配方时要检查三点：二次项系数是否已为1；所加的数是否为一次项系数一半的平方；等式两 边是否同时加了这个数。不能只把左边改成完全平方而不改变右边。 7求根公式从配方得到 对aN+bx+c=0,其中a≠0，先除以a并移项，得X+x=-二。两边同 b a 40,得 (x+bp=b2-4ac 2a 4a2 记△=b2-4ac。把上式写成(2ax+b)2=△。若△≥0，则2ax+b=±V☑，从而 X=-b±6-4C,这就是一元二次方程的求根公式。 2a 这样推导既说明公式为什么成立，也避免把√4a错写成2a;实际上V4a=2a。公式中的分 母仍是2a,因为从2ax+b=±√么解一次方程即可得到。 第2页共33页 例：解3x2+2x-2=0。这里Q=3,b=2,c=-2,△=22-4×3×(-2)=28。所以 x=-2±V28=-1±V7 6 8判别式与根的情况 由(2ax+b)2=△可知，在a≠0的前提下：△>0时有两个不相等的实数根；△=0时有两个相等 的实数根。均为品4<0时没有实数根。 “两个相等的实数根”只对应一个不同的数。例如（x-2=0的两个根均为2。题目若问不同实 数根的个数，这种情形应计为1个，而不是2个。 公式法的顺序是：整理成一般形式，辨认带符号的a,b,c,计算△，判断有没有实根，再代入 公式并化简。不要在△<0时继续写实数范围内的平方根。 要证明“无论参数取何实数值，方程总有实根”，可把判别式配成平方与常数之和。例如 x2-(m+1)x+m-3=0的判别式为(m+12-4(m-3)=(m-1)2+12>0。由于平方非负，所以任 意实数m都使方程有两个不相等的实数根。 9因式分解法的四种常见结构 使用因式分解法，先把方程的一边化为0，再把另一边分解为两个一次因式的积，最后令每个 因式分别为0。若乘积不等于0，不能直接令各因式为0。 提公因式：4x2-12x=0可化为4x(x-3)=0,所以x1=0,X2=3。不要除以x而漏掉零根。 完全平方：x+6x+9=0可化为(x+3)2=0,所以x1=2=-3。完全平方也可以与直接开平方结 合使用。 平方差：(3x-1)2=(x+52可化为[(3x-1)-(x+5)][(3x-1)+(x+5)]=0,即 (2x-6)(4x+4)=0,得x1=3,x2=-1。保留两个整体比分别展开更短。 十字相乘：2x+7x+3=(2x+1)(x+3),因为二次项来自2x·x,常数项来自13，一次项来自 交叉乘积2x3+1X=7x。因此方程2X+7x+3=0的根为和-3。 10十字相乘法与分组分解 一般地，（px+r)(qx+s)=pqx2+(ps+qr)x+rs。要把ax2+bx+c分解成这种形式，需要同时满 足pq=a,ps+qr=b,s=c。十字相乘就是先看首项与末项的乘积，再检验交叉乘积之和是否 等于一次项。 2x 6x+x=7x 同一个式子也可以写成2x2+7x+3=2x2+6x+x+3=2x(x+3)+(x+3)=(2x+1)〔(x+3)。这是拆 项后分组提公因式的写法。它与十字相乘的结果相同，但过程和名称应分清。 有公因式时通常先提公因式；有平方差时先保留整体；试分解没有明显结果时，可以改用配方 或公式法，不需要盲目试很多组数。 第3页共33页 找不到整数因式，不等于没有实数根。例如x-2=0不能分解成两个整数系数的一次因式，但 由直接开平方仍得x=±√2。有无实数根应依据平方关系或判别式，不应依据是否容易十字相 乘。 11韦达定理及其证明 若ax+bx+c=0有两个实数根x,x,其中a0,则X+x,=-b x日这称为元二次 方程的根与系数的关系，也叫韦达定理。 由求根公式，可取X=b+西， ,X,=二b△。两式相加，根号项相消，得X+X,=-。两式 2a 2a 7 相乘，得X%=b440e=S。 4a2 4a2 a 因此，在已经有实根的前提下，可写成ax2+bx+c=a(x-x)(x-x2)。这个等式既能用于因式分 解，也能帮助理解某个数在两根之间还是两根之外。 例：方程2-5x+1=0的两根和为，积为不能把根和写成-5，也不能漏掉二次项系数 2。 12用根和根积整理对称式 记S=x1+x,P=xx2。由完全平方公式，x2+x2=S2-2P,（x1-X,2=S2-4P=4 若P50,则之+号月之之$.分得不为0是使用这式子的条件 X1 X2 P' 对2X-5x+1=0,有x2+x-25-1=2头，1+=5。这些量不需要分别求出两个带根号的 4 4’X1X2 根。 由合只能先得到风X酒 若没有说明X1>X2或X1<x2,求X1-X2时不能擅自 只取正号。 13先降次再整体求值 如果r是ax+bx+C=0的根，就可以用r2=-br-￡替换二次项。含根的式子看起来次数较 a 高，不代表一定要把根求出来再代入。这种替换还可以继续。例如α=4-1时， a3=4a2-a=15-4,仍然只需保留根的一次式。 例：设a,B是x2-4x+1=0的两个根，求(a2-3(B2-3B)。由根的定义，a2=4-1, B2=4B-1,所以原式等于(a-1(B-1=c邱-(a+B)+1=1-4+1=-2。 再如a2+4B=4a-1+4B=4(a+B)-1=15。虽然原式中两根所处的位置不对称，降次后仍可能 组成根和。 但a+B=3α+3仍保留单个根a,不能只凭根和、根积确定一个数值。若题目不限定a是较 大根还是较小根，它有两种可能值9+3V3、9-3V3。 14从两根反过来构造方程 若两个数的和为S、积为P,则以它们为根、二次项系数为1的方程是x2-Sx+P=0。若要求 二次项系数为非零数k,就把各项同时乘以k。 第4页共33页 已知原方程的两根和为S、积为P,新根为X1+h,x2+h,则新根和为S+2h,积为P+hS+h2。 新根为是，时，必须先有P≠0，其和为吕，积为日 X1 X2 例：原方程为2x2-5x+1=0。以x1+1,x2+1为根的方程可写成2y2-9y+8=0,以两根的倒 数为根的方程为y2-5y+2=0。两次都只计算新根的和与积，不必先求原根。 15公共根与隐藏的同一方程 两个方程有公共根时，可把这个根同时代入，再将两个等式相减，消去共同的二次项。相减只 是找到公共根必须满足的条件，求出候选后仍要代回原方程。 例：x2+px+q=0与x2+qx+p=0有公共根r,且p≠q。相减得（p-q)(r-1)=0,所以r=1。 代回得1+p+q=0,即p+q=-1。条件p≠q在这里保证可以推出r-1=0。 若VW-2u-2+Vv2-2v-2=0,由于两项均非负，可得2-2u-2=0、v2-2v-2=0。因此u,V 都是同一个方程的根。但只有进一步知道≠v,才可以直接认定它们是两个不同根并使用 u+v=2,uv=-2,否则也可能取同一个根。 16倒数变形先检查非零与不同 有时两个数满足的式子外观不同，经过取倒数、平移等变形，会变成同一个方程。变形后先检 查两个数是否不同，再用韦达定理。 例：s,t满足2s2-3s+1=0.t2-3t+2=0,且st≠1。第二个方程说明t≠0。两边除以t2,得 2-3)*1=0. 所以s与是都是2z2-32+1=0的根。由st1可知s≠，故它们是两个不同根，于是 ,1_3s_1 S+ t2,t2 若去掉st≠1，两数可能相等，上面的根和根积就不一定能直接使用。“非零"”和“不同”都应解 释，不应只作为题面上看似多余的条件。 17实数条件也能反过来限制参数 若实数u,V的和、积含有参数，可以构造以u,V为根的一元二次方程。因为两个根都是实数， 所以判别式必须非负。等价地，也可以直接利用(u-v2=(u+v2-4uv≥0。 例：实数u,V,c满足u+V=2c、uv=c2+c-3。以u,V为根的方程为z2-2c2+c2+c-3=0,其 判别式为12-4c,所以c≤3。也可直接算得（u-v2=12-4c≥0。 如果题目问c的最大值，还要检查c=3时是否真的有符合条件的u,V。此时取u=V=3,确实 满足两个等式，所以最大值为3。不能只算出一个形式上的上界就结束。 例如，若声称存在实数u,v满足u+v=2、uv=2,则（u-v2=22-4×2=-4，,与平方非负矛 盾，因此这样的实数不存在。这也说明给定任意两个数作“根和、根积”，并不一定有实根。 18含参方程的检查顺序 先检查方程类型，再检查实根条件，接着使用题目给出的根关系，最后检查分母、根的顺序与 实际限制。由根关系算出的参数只是候选，必须符合原题全部条件。 例：求（m-2)x2+2x-1=0有实数根时m的范围。若m=2,方程为2x-1=0,有实根；若 m≠2，判别式为4m-1),有实根要求m≥1。合起来得到m≥1。 第5页共33页 若题目改成“该一元二次方程有实数根”，就还必须满足m≠2，答案改为m≥1且m≠2。这两个 问法的差别来自题目是否已经规定它是二次方程。 出现倒数、分式或平方两边的步骤时，要额外检查分母是否为0、平方前两边的符号是否符合 要求。不能把必要条件误当成已经足够的条件。 19根的符号与平移后的根 在已知有实根的前提下，设两根和为S、积为P。若P<0,两根异号；若P>0且S>0,两根 都为正；若P>0且S<0,两根都为负。若P=0,至少有一个根为0，需要单独判断另一根。 要求两根不相等时，还应有△>0。 要判断两根是否都大于一个数r,可以判断x1-”,x2-r是否都为正。它们的和为S-2r,积为 P-S+r2。这样就把比较大小的问题转成了判断两个新数的正负。 例：方程x-(m+3)x+2m=0的判别式为(m-1)2+8>0,总有两个不同实根。若要求两根都 大于1，则x1-1,X2-1的和为m+1,积为m-2。两者都为正当且仅当m+1>0且m-2>0, 所以m>2。 再看(r-x1)(r-x2):它小于0时，两个因式异号，说明r夹在两根之间；大于0时，说明r 在两根同一侧，但还不能单凭这个正号断言两根都在哪一边，需要结合根和等条件。 20整数根问题怎样完整分类 若两根都是整数，可结合根和、根积找整数条件。乘积是确定的非零整数时，可以列因数对； 乘积为0应单独讨论。正负因数、根的交换、参数的原有范围都要检查。 例：方程x-(m+2)x+2m-7=0的两根u,v都是整数。由韦达定理，u+v=m+2 uv=2m-7,所以(u-2)(v-2)=uw-2(u+v)+4=-7。 整数u-2,v-2的乘积为-7，不计交换，只有（-7,1)或（-1,7)两组。分别得到 {u,v}={-5,3}或{1,9}，再由m=u+v-2得m=-4或m=8。代回原方程，两组均成立。 这里的关键是先把含参数的和积变成固定乘积，再列整数因数，不是先盲试许多。遇到可直 接分解的方程，也可先求根再判断整数条件。例如（x-2)(x-1)=0在m≠0时可得到根1和 2 ,再根据题目要求检查2是否为整数。 m m 21增长下降与计数中的等量关系 设原量为A,连续两次按相同增长率r增长，第一次后的量为A(1+r),第二次后的量为 A(1+r)2。若按相同下降率下降，则为A(1-r2。每次变化的基数不同，不能写成A(1+2r) 或A(1-2r)。若数量始终为正且确实下降，下降率应满足0<r<1,从而1-r>0;解方程时不 能保留超过100%的下降率。 例：某数量由100经过两次相同增长达到121。设每次增长率为r,则100(1+r2=121,得 1+r=±1.1。结合增长率非负及数量为正，取r=0.1,即10%；另一个代数结果-2.1不符合题 意。 单循环比赛中，每支队伍与其他-1支各赛一次，但每场会被计算两遍，因此总场数为 nn-1。若共有28场，则n(n-1)=56,得n=8或n=-7队数须为正整数，所以取8支。 数字、人数、件数等问题除了等式，还可能要求正数或整数。把这些限制写在设未知数或检验 步骤中，不能只解完方程就给出不合理答案。 第6页共33页 22面积与围栏先写长度限制 边框、道路和围栏问题，应先在图上标清每条长度。等宽边框通常要从长和宽两端分别减去宽 度；交叉道路要避免重复扣除面积；靠墙的一边是否用围栏、分隔用了几条，都应按题意判 断。 例：长12、宽8的矩形纸板，四周留等宽边框，内部面积为60。设边框宽为X,则 (12-2x)(8-2x)=60,并且0<x<4。整理得x2-10x+9=0,候选x=1或x=9,只有x=1符 合长度限制。 围栏题若已列出面积A=x(L-k心)，仍要保留各边长为正、靠墙边不超过墙长等条件。两个代 数根都满足面积方程，也可能只有一个能画成题目要求的场地。 应用题的检验包括两个不同问题：这个数是否满足所列方程；这个数是否符合实际条件。后一 种不合适的数应说明“不符合题意，舍去”，不要把所有舍去的根一概称为运算造成的增根。 23利润模型与能否达到目标 总利润等于“单件利润乘以销量”，即（售价-单件成本）×销量。销量与价格的变化关系要先写 清；销售收入不等于利润。还要检查售价范围、销量非负、库存上限等条件。 例：商品进价20元，原售价30元，每天售100件，每降价1元多售20件。设降价x元，在 不考虑库存限制且0≤x≤10时，利润为L=(10-x)(100+20x)=1000+100x-20x2。若目标为 1080元，则x2-5x+4=0,得x=1或4，两者均符合范围；要降价较少取1，要销量较多取 4。 配方得L=125-20(x-?≤125。由于X=号在允许范围内，最大利润确能取到1125元。若 额外条件排除了这个x,就不能直接把1125作为实际最大值，应根据范围比较平方的大小。 例如国栏面积写为A-四-2x-号F,但墙长限制要求75x<13,则×-号过，所以 2 A≤84，并在x=7时取到。这里用的是平方大小比较。 24动点与速度问题的检查 动点题先找运动的起点、终点和到端点的时间，再用“速度乘以时间”写线段长。若有转弯或折 返，转弯前后的线段关系可能不同，要分别列式；每段解出的根必须落在相应的时间范围内。 例：在直角的两条边上，AB=8厘米，BC=12厘米。点P从A向B以每秒1厘米的速度运动， 点Q从B向C以每秒2厘米的速度运动，任一点到终点时同时停止。设运动时间为t秒，则 0≤t≤6，BP=8-t厘米，BQ=2t厘米，△PBQ的面积为(8-t小2t=t(8-t)平方厘米。面积 为12平方厘米时，解得t=2或6，分别为2秒和6秒，都在运动范围内。若题目改为折返， 就不能继续把BP一直写成8-t。 速度题若最初列出的是分式方程，去分母后虽可能得到二次方程，仍必须检查原分母不为0。 例：水流速度为每小时2千米，船顺流、逆流各航行24千米，总用时5小时。设船在静水中 的速度为每小时v千米，则v>2,且24+24=5。 v+2v-2 分母得5v2-48v-20=0,解得v=10或v=。结合v>2,取v=10,即静水速度为每 时10千米。代回后顺流用时2小时，逆流用时3小时，总用时5小时，答案成立。 第7页共33页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列方程是一元二次方程的是（)。 A.X+1=2 B.x2+y=1 X C.（x+12=x2 D.x(x+1)=6 2.把方程2x(x-3)=5-x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为 (）。 A.2,-6,5 B.2,-5,-5 C.2,-7,-5 D.2,-5,5 3.关于x的方程(m-2)x+3x-1=0是一元二次方程，则（)。 A.m=2 B.m>2 C.m≠2 D.m≠0 4.已知t是方程2x2-3x-4=0的一个根，则4t2-6t+1的值为（)。 A.9 B.5 C.-7 D.-3 5.方程(2x-12=9的解为（)。 A.X=2 B.X=-1 C.x=±2 D.X=2或x=-1 第8页共33页 6.用配方法解方程x-6x+2=0,正确的变形是（)。 A.(x-32=2 B.（x-32=7 C.（x+3)2=7 D.（x-3)2=11 7.小明解方程xx-4)=2x时，两边同除以x,得x-4=2,所以x=6。他的解答（）。 A.完全正确 B.多得了根6 C.丢失了根0 D.丢失了根4 8.将3x2-5x-2分解因式，正确的是（)。 A.（3x+1)(x-2） B.(3x-1)(x+2 C.（3x-2)(x+1) D.(3x+2)(x-1) 9.不解方程，判断3x2+2x+1=0的实数根情况(）。 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根且不是重根 D.没有实数根 10.已知方程2x-5x-3=0的两个根为x1,x2,则X1+x2与x1X2分别为（)。 5.3 B.22 C.5,-3 53 D.22 第9页共33页 11.某校图书馆电子阅读资源由200种增加到两年后的288种。设这两年的年平均增长率为 ”,则可列方程（)。 A.200(1+r2=288 B.2001+2r)=288 C.200r2=288 D.200(1-r2=288 12.已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则a3-3a2+a的值为（)。 A.1 B.0 C.-1 D.与所取的根有关 13.关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为()。 A.k<2 B.k≤2且k≠1 C.1<k<2 D.k<2且k≠1 14.用28米围栏和一面可用长度为12米的墙围成矩形，靠墙的一边不用围栏，也不留门。若 矩形面积为96平方米，则垂直于墙的一边长为（)。 可用墙长12m 三边围栏总长28m A.6米 B.6米或8米 C.8米 D.12米 第10页共33页 15.方程(3x-1)2=(x+3)2的所有实数解为（)。 A.X=2 BX-2或x=一号 C.x=3或x=-2 DX=号 16.实数u,v满足V2-4u+1+-4v+1=0,则+的所有可能值为()。 A.2 B.14 C.2或14 D.-2或14 17.若无论实数m取何值，关于x的方程x-2mx+(k-1)m2+2m-1=0都有实数根，则k 的取值范围为（)。 A.k<1 B.k≤1 C.k≤2 D.k≥1 第11页共33页 18.阅读材料：解含有相同代数式的方程时，可以把这个代数式看作一个整体。例如设 y=|x2-4|,求出y后，还须解|x2-4=y,不能把y的个数当作x的个数。 关于x的方程（x2-42-4x2-4|+k=0中，k取下列哪个值时，方程恰有5个不同的实数根 （)? A.-5 B.0 C.3 D.4 19.关于x的方程x2-（m+1)x+m-2=0的两个根都是整数，则m的所有可能值为 ()。 A.0 B.2 C.-2或2 D.0或2 20.a,b,c是一个直角三角形的三边长。方程x2-2Va+cx+2b=0有两个相等的实数根，且 a,c是方程x2-8x+m=0的两个根，则m的值为（）。 A.15 B.16 C.12 D.20 第12页共33页 三填空题 21.关于x的一元二次方程（m+2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m=。 22.方程3(x+2)2=12的解为 23.方程（x-3)2=2(x-3)的解为 24.方程2x+x-6=0的解为。 25.方程（x+1)2-16=0的解为 26.方程2x+8x-3=0配方后可写成(x+2)2=a,则a=。 第13页共33页 27.关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k=一。 28.方程x2-5x+3=0的两个根为X1,x2,则 1+1= X1 X2 29.两个实数的和为-3、积为-4，以这两个实数为根且二次项系数为1的一元二次方程是 30.一种商品原价250元，经两次相同百分比的降价后售价为160元，则每次降价的百分比为 31.某次篮球比赛采用双循环赛制，每两队之间比赛两场，共比赛72场，则参赛队数为 32.方程X-4x1=0的两个根为ab,则。十6一 第14页共33页 33.关于x的一元二次方程（m-1)x2-2x+3=0的两个实数根异号，则m的取值范围是 34.方程x2-7x+k=0的两个实数根为X1,X2,且X1=2x2+1,则k=一。 35.在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm。点P从A沿AB以1cm/s 的速度运动，点Q同时从B沿BC以1c/S的速度运动，任一点到达所在边的终点时两点 同时停止。当△PBQ的面积为6cm时，运动时间为 0 C BC =6 cm 个 A AB =8 cm 第15页共33页 36.实数s,t分别满足3s2-5s+1=0.2-5t+3=0,且5t≠1。以s+1和+1为两根、二次 项系数为3的一元二次方程为 —。 37.方程x2-(m+2)x+2m=0的两个实数根为a,b,且a>b。若a2+3b=18,则m= 38.关于x的方程x2+px+q=0的两个根为p-1与q,则p的所有可能值为 第16页共33页 39.已知a>0,b为整数，方程ax2+bx+2=0的两个实数根相差2，则a的最小值为 40,关于x的一元次方程(&-1=X有两个实数根a,6(允许相等)，则号+5的最小值 为 第17页共33页 四解答题 写出必要的计算、推理或列方程过程，并检查结果是否符合题意。 41.用直接开平方法解下列方程。 (1)4x2=255 (2）2(3x-12-10=0。 42.用配方法解下列方程，并写出配成完全平方的过程。 (1)x2-8x+5=0, (2)3x2+6x-2=0。 第18页共33页 43.用公式法解下列方程。 (1)3x2-2x-2=0, (2）2x2+4x+5=0. 44.用因式分解法解下列方程，并指出每题分解因式所用的方法。 (1)3x(x+1)=6(x+1) (2)(2x-3}2-x2=0 (3)4x+12x+9=0, (4)6x2-7x-3=0。 第19页共33页 45.已知x=-2是方程x2+x-6=0的一个根。 (1)求k的值； (2)解这个方程，并把求得的另一个根代入原方程检验。 46.关于x的方程x2+2x+m=0,分别在下列情况下求m的取值范围。 (1)有两个不相等的实数根； (2）有两个相等的实数根； (3)没有实数根。 第20页共33页 47.已知方程x2-6x+4=0的两个根为a,b。不直接求根，求下列各式的值。 )+8;2a-bP53)8*合 48.某社区第一年回收废纸20吨，第三年回收28.8吨。假设从第一年到第二年、从第二年到 第三年的增长率相同。 (1)求年平均增长率； (2)第二年回收废纸多少吨？ 第21页共33页 49.如图，矩形场地ABCD中，AD=14m,AB=12m。把一根长28m的绳子依次拉直为 BP、PC两段，其中P在线段AD上，两段绳长之和等于28m。 14m 0 12m B (1)求所有符合条件的AP的长，并检验所得位置； (2)若换成一根长26m的绳子，能否仍按上述方式连接？请说明理由。 第22页共33页 50.已知关于x的两个方程x2+mx+n=0和x+nx+m=0有一个公共根，且m≠n。 (1)求这个公共根，并求m+n, (2)若其中一个方程的另一个根为-4，求mn。 第23页共33页 51.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2=0。分别回答下列问题。 (1)求方程有两个不相等实数根时k的取值范围； (2)若两个根都为正数（允许相等)，求k的取值范围。 第24页共33页 52.一个矩形的长和宽分别为4cm、1cm。现要设计另一个矩形，使它的周长和面积都为原 矩形的2倍。 （1)求新矩形的长和宽； (2)原矩形的两边长为任意正数u,V,k>1。是否一定存在周长和面积都为原矩形的k倍的矩 形？请用一元二次方程说明理由； (3)若把第(2)问中的k>1改为k=),上述结论是否仍对任意原矩形成立？请举例说明。 第25页共33页 53.关于x的方程x-(m+3)x+2m+1=0的两个根为a,b。 (1)证明：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2）求1<a<4且1<b<4时m的取值范围； @)在第②问的条件下，若品=m+3,求m: 第26页共33页 54.实数a,b,c满足a+b=2c,ab=c2+2c+2。 (1)求c的取值范围； (2)求a2+b2的最小值，并求此时a,b,c的值。 第27页共33页 55.方程x2-2mx+m2-4=0的两个根分别为a,b,其中a<b。 (1)求a,b,并求两根都为正数时m的范围； (2）若a,b,6是一个直角三角形的三边长，求m及这个三角形的面积。 第28页共33页 56.如图，用总长32米的围栏，借一段长14米的直墙围成矩形场地，并用一道垂直于墙的围 栏将场地分成两部分。围栏均用尽，不留门。设垂直于墙的一边长为X米。 可用墙长14m ZZ0 n☑ A 围栏总长32m (1)若场地面积为80平方米，求所有合适的边长； (2)能否围出面积为84平方米的场地？求能围成的最大面积及相应边长。 第29页共33页 57.某商品每件进价20元，原售价30元。调查显示，售价每降低1元，每日需求量就从100 件增加20件；在本题范围内按此关系计算。商店每天最多可供160件，实际销量等于需求量 与160件中的较小者。设降价x元，0≤x≤10，不计其他费用。 (1)每天利润为1000元时，有哪些定价方案？ (2）求每天利润的最大值及相应售价。 第30页共33页 58.某活动室要给一个长24cm、宽19cm、高5cm的长方体仪器制作纸盒。仪器必须按长 对长、宽对宽的方向平放，不能旋转；忽略纸板厚度及粘接边，不留装配空隙。现有两种方 案。 方案一：用长40cm、宽30cm的纸板，从四角各剪去边长为xcm的正方形，折成无盖盒； 盒底面积要求为504cm2。 方案二：用长60cm、宽30cm的纸板，按图中的折线折成一个有平盖的盒子。盒高为h cm,盒底与盒盖的长、宽分别相等，盒底面积要求为500cm。图中L,W分别表示盒底的 长、宽，灰色部分剪去，虚线为折线。 40 cm 60cm h 30 cm 盒底 侧 盒底 i侧1 盒盖 30 cm h b h L 方案 方案一 (1)先用含h的式子表示方案二中的L,W,再分别求两种纸盒的盒高及盒底长、宽； (2)小明认为“方案一的容积更大，所以一定能放入仪器”。你同意吗？应选择哪种方案？说明 理由。 第31页共33页 59.如图，矩形ABCD中，AB=10cm,BC=6cm。点P从A沿AB以1cm/s的速度运 动；点Q从B沿BC以2c/s的速度到达C后，立即以原速沿CD向D运动。两点同时 出发，Q到达D时同时停止。设运动时间为ts,△DPQ的面积为Scm。 D D Q B P 到达C前 到达C后 (1)求运动的总时间，并分别用含t的式子表示Q到达C前、后的S, (2）求S=28时所有的t。 第32页共33页 60.关于x的一元二次方程(m2-1)x2-2mx+1=0中，m是实数。 (1)求m必须满足的条件，并证明该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若两个根均为整数，求m。 第33页共33页 九年级一元二次方程期中复习讲义 苏科版 学生版 班级____________ 姓名____________ 本讲义系统复习一元二次方程的概念、四种解法、根的判别式、韦达定理及方程应用。先理解条件与方法，再完成60道练习；含参数或实际情境的题目，应把求得的结果放回原条件中检验。 一 知识详解 1 一元二次方程的定义和一般形式 只含有一个未知数，整理后未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。它的一般形式是 其中 是实数，且 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。 可以为0， 不能为0。 判断时要抓住“一个未知数”“整式方程”“整理后最高次数为2”三个条件。例如 整理后为 不是一元二次方程； 的分母含未知数，不是整式方程，不能直接称为一元二次方程。 例：把 化为一般形式。展开、移项、合并后得 所以 辨认系数时，应先整理，且必须连同前面的符号一起看。 关于 的方程 在 时是一元二次方程；在 时变成 字母 是参数，判断的是未知数 的次数。 当二次项系数为0时，要看剩下的式子： 在 时是一次方程；若 如 没有解；若 则等式为 每个实数都是解。因此“二次项消失”不总是“变成一次方程”。 2 根的定义与代入的作用 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，也叫方程的根。如果 是 的根，就有 代入不是只用来验算，也能帮助求参数和简化式子。 例：若2是方程 的一个根，则 得 若 是 的根，则 求这个式子的值，不必先算出 “求方程的根”应写出所有满足方程的实数。一个数代入不成立，就不是根；只找到一个根，并不能保证已经解完方程。 3 降次与不漏根 解一元二次方程的基本想法是降次：把二次方程转化为可以求解的一次方程或平方关系。因式分解法的依据是：这里的“或”表示任意一个因式为0，乘积就为0，并不要求两个因式同时为0。 等式两边加减同一个式子，或乘除同一个非零数，不改变方程的解。但是两边除以含有未知数的式子时，必须先考虑这个式子能否为0。 例：解 因为 所以移项后得到 即 于是 或 得 若在原方程两边直接约去 只会得到 从而漏掉 正确的简法是提取公因式，而不是把可能为0的因式约掉。 4 先看结构再选方法 看到平方形式，先考虑直接开平方；看到共同因式、平方差或明显可以分解的二次三项式，先考虑因式分解。结构不明显时，再考虑配方或求根公式。能够整体处理的式子，不必急着展开。 例如 宜直接开平方； 可分解为 用公式法较方便。 的一次项系数虽为偶数，也不意味着必须先配方。 几种解法都可能正确，选择时比较的是书写是否简洁、计算是否稳妥，以及是否能保留原式的结构。 5 直接开平方法 把方程化为 其中 再根据平方根的意义求解。若 则 有两个不同的实数根；若 则 有两个相等的实数根；若 则没有实数根。 例：解 直接开平方，得 所以 其中正、负两个平方根都不能漏。 特别注意，而不是对所有实数都等于 例如 的根是 或 6 配方法及其理由 配方的依据是 因此，要把 配成完全平方，应在两边同时加上 若二次项系数不是1，应先把它化为1。 例：解 移项并把二次项系数化为1，得 一次项系数是 它的一半是 平方为4，所以两边同加4，得 即 直接开平方，得 所以 配方时要检查三点：二次项系数是否已为1；所加的数是否为一次项系数一半的平方；等式两边是否同时加了这个数。不能只把左边改成完全平方而不改变右边。 7 求根公式从配方得到 对 其中 先除以 并移项，得 两边同加 得 记 把上式写成 若 则 从而 这就是一元二次方程的求根公式。 这样推导既说明公式为什么成立，也避免把 错写成 实际上 公式中的分母仍是 因为从 解一次方程即可得到。 例：解 这里 所以 8 判别式与根的情况 由 可知，在 的前提下： 时有两个不相等的实数根； 时有两个相等的实数根，均为 时没有实数根。 “两个相等的实数根”只对应一个不同的数。例如 的两个根均为2。题目若问不同实数根的个数，这种情形应计为1个，而不是2个。 公式法的顺序是：整理成一般形式，辨认带符号的 计算 判断有没有实根，再代入公式并化简。不要在 时继续写实数范围内的平方根。 要证明“无论参数取何实数值，方程总有实根”，可把判别式配成平方与常数之和。例如 的判别式为 由于平方非负，所以任意实数 都使方程有两个不相等的实数根。 9 因式分解法的四种常见结构 使用因式分解法，先把方程的一边化为0，再把另一边分解为两个一次因式的积，最后令每个因式分别为0。若乘积不等于0，不能直接令各因式为0。 提公因式： 可化为 所以 不要除以 而漏掉零根。 完全平方： 可化为 所以 完全平方也可以与直接开平方结合使用。 平方差： 可化为 即 得 保留两个整体比分别展开更短。 十字相乘：因为二次项来自 常数项来自 一次项来自交叉乘积 因此方程 的根为 和 10 十字相乘法与分组分解 一般地，要把 分解成这种形式，需要同时满足 十字相乘就是先看首项与末项的乘积，再检验交叉乘积之和是否等于一次项。 同一个式子也可以写成 这是拆项后分组提公因式的写法。它与十字相乘的结果相同，但过程和名称应分清。 有公因式时通常先提公因式；有平方差时先保留整体；试分解没有明显结果时，可以改用配方或公式法，不需要盲目试很多组数。 找不到整数因式，不等于没有实数根。例如 不能分解成两个整数系数的一次因式，但由直接开平方仍得 有无实数根应依据平方关系或判别式，不应依据是否容易十字相乘。 11 韦达定理及其证明 若 有两个实数根 其中 则 这称为一元二次方程的根与系数的关系，也叫韦达定理。 由求根公式，可取 两式相加，根号项相消，得 两式相乘，得 因此，在已经有实根的前提下，可写成 这个等式既能用于因式分解，也能帮助理解某个数在两根之间还是两根之外。 例：方程 的两根和为 积为 不能把根和写成 也不能漏掉二次项系数2。 12 用根和根积整理对称式 记 由完全平方公式， 若 则 分母不为0是使用这些式子的条件。 对 有 这些量不需要分别求出两个带根号的根。 由 只能先得到 若没有说明 或 求 时不能擅自只取正号。 13 先降次再整体求值 如果 是 的根，就可以用 替换二次项。含根的式子看起来次数较高，不代表一定要把根求出来再代入。这种替换还可以继续。例如 时，仍然只需保留根的一次式。 例：设 是 的两个根，求 由根的定义，所以原式等于 再如 虽然原式中两根所处的位置不对称，降次后仍可能组成根和。 但 仍保留单个根 不能只凭根和、根积确定一个数值。若题目不限定 是较大根还是较小根，它有两种可能值 14 从两根反过来构造方程 若两个数的和为 积为 则以它们为根、二次项系数为1的方程是 若要求二次项系数为非零数 就把各项同时乘以 已知原方程的两根和为 积为 新根为 则新根和为 积为 新根为 时，必须先有 其和为 积为 例：原方程为 以 为根的方程可写成 以两根的倒数为根的方程为 两次都只计算新根的和与积，不必先求原根。 15 公共根与隐藏的同一方程 两个方程有公共根时，可把这个根同时代入，再将两个等式相减，消去共同的二次项。相减只是找到公共根必须满足的条件，求出候选后仍要代回原方程。 例： 与 有公共根 且 相减得 所以 代回得 即 条件 在这里保证可以推出 若 由于两项均非负，可得 因此 都是同一个方程的根。但只有进一步知道 才可以直接认定它们是两个不同根并使用 否则也可能取同一个根。 16 倒数变形先检查非零与不同 有时两个数满足的式子外观不同，经过取倒数、平移等变形，会变成同一个方程。变形后先检查两个数是否不同，再用韦达定理。 例： 满足 且 第二个方程说明 两边除以 得 所以 与 都是 的根。由 可知 故它们是两个不同根，于是 若去掉 两数可能相等，上面的根和根积就不一定能直接使用。“非零”和“不同”都应解释，不应只作为题面上看似多余的条件。 17 实数条件也能反过来限制参数 若实数 的和、积含有参数，可以构造以 为根的一元二次方程。因为两个根都是实数，所以判别式必须非负。等价地，也可以直接利用 例：实数 满足 以 为根的方程为 其判别式为 所以 也可直接算得 如果题目问 的最大值，还要检查 时是否真的有符合条件的 此时取 确实满足两个等式，所以最大值为3。不能只算出一个形式上的上界就结束。 例如，若声称存在实数 满足 则 与平方非负矛盾，因此这样的实数不存在。这也说明给定任意两个数作“根和、根积”，并不一定有实根。 18 含参方程的检查顺序 先检查方程类型，再检查实根条件，接着使用题目给出的根关系，最后检查分母、根的顺序与实际限制。由根关系算出的参数只是候选，必须符合原题全部条件。 例：求 有实数根时 的范围。若 方程为 有实根；若 判别式为 有实根要求 合起来得到 若题目改成“该一元二次方程有实数根”，就还必须满足 答案改为 且 这两个问法的差别来自题目是否已经规定它是二次方程。 出现倒数、分式或平方两边的步骤时，要额外检查分母是否为0、平方前两边的符号是否符合要求。不能把必要条件误当成已经足够的条件。 19 根的符号与平移后的根 在已知有实根的前提下，设两根和为 积为 若 两根异号；若 且 两根都为正；若 且 两根都为负。若 至少有一个根为0，需要单独判断另一根。要求两根不相等时，还应有 要判断两根是否都大于一个数 可以判断 是否都为正。它们的和为 积为 这样就把比较大小的问题转成了判断两个新数的正负。 例：方程 的判别式为 总有两个不同实根。若要求两根都大于1，则 的和为 积为 两者都为正当且仅当 且 所以 再看 它小于0时，两个因式异号，说明 夹在两根之间；大于0时，说明 在两根同一侧，但还不能单凭这个正号断言两根都在哪一边，需要结合根和等条件。 20 整数根问题怎样完整分类 若两根都是整数，可结合根和、根积找整数条件。乘积是确定的非零整数时，可以列因数对；乘积为0应单独讨论。正负因数、根的交换、参数的原有范围都要检查。 例：方程 的两根 都是整数。由韦达定理，所以 整数 的乘积为 不计交换，只有 或 两组。分别得到 或 再由 得 或 代回原方程，两组均成立。 这里的关键是先把含参数的和积变成固定乘积，再列整数因数，不是先盲试许多 遇到可直接分解的方程，也可先求根再判断整数条件。例如 在 时可得到根1和 再根据题目要求检查 是否为整数。 21 增长 下降与计数中的等量关系 设原量为 连续两次按相同增长率 增长，第一次后的量为 第二次后的量为 若按相同下降率下降，则为 每次变化的基数不同，不能写成 或 若数量始终为正且确实下降，下降率应满足 从而 解方程时不能保留超过100%的下降率。 例：某数量由100经过两次相同增长达到121。设每次增长率为 则 得 结合增长率非负及数量为正，取 即10%；另一个代数结果 不符合题意。 单循环比赛中，每支队伍与其他 支各赛一次，但每场会被计算两遍，因此总场数为 若共有28场，则 得 或 队数须为正整数，所以取8支。 数字、人数、件数等问题除了等式，还可能要求正数或整数。把这些限制写在设未知数或检验步骤中，不能只解完方程就给出不合理答案。 22 面积与围栏先写长度限制 边框、道路和围栏问题，应先在图上标清每条长度。等宽边框通常要从长和宽两端分别减去宽度；交叉道路要避免重复扣除面积；靠墙的一边是否用围栏、分隔用了几条，都应按题意判断。 例：长12、宽8的矩形纸板，四周留等宽边框，内部面积为60。设边框宽为 则 并且 整理得 候选 或 只有 符合长度限制。 围栏题若已列出面积 仍要保留各边长为正、靠墙边不超过墙长等条件。两个代数根都满足面积方程，也可能只有一个能画成题目要求的场地。 应用题的检验包括两个不同问题：这个数是否满足所列方程；这个数是否符合实际条件。后一种不合适的数应说明“不符合题意，舍去”，不要把所有舍去的根一概称为运算造成的增根。 23 利润模型与能否达到目标 总利润等于“单件利润乘以销量”，即 销量与价格的变化关系要先写清；销售收入不等于利润。还要检查售价范围、销量非负、库存上限等条件。 例：商品进价20元，原售价30元，每天售100件，每降价1元多售20件。设降价 元，在不考虑库存限制且 时，利润为 若目标为1080元，则 得 或4，两者均符合范围；要降价较少取1，要销量较多取4。 配方得 由于 在允许范围内，最大利润确能取到1125元。若额外条件排除了这个 就不能直接把1125作为实际最大值，应根据范围比较平方的大小。 例如围栏面积写为 但墙长限制要求 则 所以 并在 时取到。这里用的是平方大小比较。 24 动点与速度问题的检查 动点题先找运动的起点、终点和到端点的时间，再用“速度乘以时间”写线段长。若有转弯或折返，转弯前后的线段关系可能不同，要分别列式；每段解出的根必须落在相应的时间范围内。 例：在直角的两条边上，厘米，厘米。点P从A向B以每秒1厘米的速度运动，点Q从B向C以每秒2厘米的速度运动，任一点到终点时同时停止。设运动时间为 秒，则 厘米，厘米， 的面积为 平方厘米。面积为12平方厘米时，解得 或6，分别为2秒和6秒，都在运动范围内。若题目改为折返，就不能继续把 一直写成 速度题若最初列出的是分式方程，去分母后虽可能得到二次方程，仍必须检查原分母不为0。例：水流速度为每小时2千米，船顺流、逆流各航行24千米，总用时5小时。设船在静水中的速度为每小时 千米，则 且 去分母得 解得 或 结合 取 即静水速度为每小时10千米。代回后顺流用时2小时，逆流用时3小时，总用时5小时，答案成立。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）。 A. B. C. D. 2. 把方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（　　）。 A. B. C. D. 3. 关于 的方程 是一元二次方程，则（　　）。 A. B. C. D. 4. 已知 是方程 的一个根，则 的值为（　　）。 A. B. C. D. 5. 方程 的解为（　　）。 A. B. C. D. 或 6. 用配方法解方程 正确的变形是（　　）。 A. B. C. D. 7. 小明解方程 时，两边同除以 得 所以 他的解答（　　）。 A. 完全正确 B. 多得了根 C. 丢失了根 D. 丢失了根 8. 将 分解因式，正确的是（　　）。 A. B. C. D. 9. 不解方程，判断 的实数根情况（　　）。 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根且不是重根 D. 没有实数根 10. 已知方程 的两个根为 则 与 分别为（　　）。 A. B. C. D. 11. 某校图书馆电子阅读资源由 种增加到两年后的 种。设这两年的年平均增长率为 则可列方程（　　）。 A. B. C. D. 12. 已知 是方程 的一个根，则 的值为（　　）。 A. B. C. D. 与所取的根有关 13. 关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为（　　）。 A. B. 且 C. D. 且 14. 用 米围栏和一面可用长度为 米的墙围成矩形，靠墙的一边不用围栏，也不留门。若矩形面积为 平方米，则垂直于墙的一边长为（　　）。 A. 米 B. 米或 米 C. 米 D. 米 15. 方程 的所有实数解为（　　）。 A. B. 或 C. 或 D. 16. 实数 满足 则 的所有可能值为（　　）。 A. B. C. 或 D. 或 17. 若无论实数 取何值，关于 的方程 都有实数根，则 的取值范围为（　　）。 A. B. C. D. 18. 阅读材料：解含有相同代数式的方程时，可以把这个代数式看作一个整体。例如设 求出 后，还须解 不能把 的个数当作 的个数。 关于 的方程 中， 取下列哪个值时，方程恰有 个不同的实数根（　　）？ A. B. C. D. 19. 关于 的方程 的两个根都是整数，则 的所有可能值为（　　）。 A. B. C. 或 D. 或 20. 是一个直角三角形的三边长。方程 有两个相等的实数根，且 是方程 的两个根，则 的值为（　　）。 A. B. C. D. 三 填空题 21. 关于 的一元二次方程 有一个根为 则 ________。 22. 方程 的解为________。 23. 方程 的解为________。 24. 方程 的解为________。 25. 方程 的解为________。 26. 方程 配方后可写成 则 ________。 27. 关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ________。 28. 方程 的两个根为 则 ________。 29. 两个实数的和为 积为 以这两个实数为根且二次项系数为 的一元二次方程是________。 30. 一种商品原价 元，经两次相同百分比的降价后售价为 元，则每次降价的百分比为________。 31. 某次篮球比赛采用双循环赛制，每两队之间比赛两场，共比赛 场，则参赛队数为________。 32. 方程 的两个根为 则 ________。 33. 关于 的一元二次方程 的两个实数根异号，则 的取值范围是________。 34. 方程 的两个实数根为 且 则 ________。 35. 在直角三角形 中， cm， cm。点 从 沿 以 cm/s 的速度运动，点 同时从 沿 以 cm/s 的速度运动，任一点到达所在边的终点时两点同时停止。当 的面积为 时，运动时间为________。 36. 实数 分别满足 且 以 和 为两根、二次项系数为 的一元二次方程为________。 37. 方程 的两个实数根为 且 若 则 ________。 38. 关于 的方程 的两个根为 与 则 的所有可能值为________。 39. 已知 为整数，方程 的两个实数根相差 则 的最小值为________。 40. 关于 的一元二次方程 有两个实数根 （允许相等），则 的最小值为________。 四 解答题 写出必要的计算、推理或列方程过程，并检查结果是否符合题意。 41. 用直接开平方法解下列方程。 （1） （2） 42. 用配方法解下列方程，并写出配成完全平方的过程。 （1） （2） 43. 用公式法解下列方程。 （1） （2） 44. 用因式分解法解下列方程，并指出每题分解因式所用的方法。 （1） （2） （3） （4） 45. 已知 是方程 的一个根。 （1）求 的值； （2）解这个方程，并把求得的另一个根代入原方程检验。 46. 关于 的方程 分别在下列情况下求 的取值范围。 （1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根。 47. 已知方程 的两个根为 不直接求根，求下列各式的值。 （1）（2）（3） 48. 某社区第一年回收废纸 吨，第三年回收 吨。假设从第一年到第二年、从第二年到第三年的增长率相同。 （1）求年平均增长率； （2）第二年回收废纸多少吨？ 49. 如图，矩形场地 中， m， m。把一根长 m 的绳子依次拉直为 两段，其中 在线段 上，两段绳长之和等于 m。 （1）求所有符合条件的 的长，并检验所得位置； （2）若换成一根长 m 的绳子，能否仍按上述方式连接？请说明理由。 50. 已知关于 的两个方程 和 有一个公共根，且 （1）求这个公共根，并求 （2）若其中一个方程的另一个根为 求 51. 已知关于 的方程 分别回答下列问题。 （1）求方程有两个不相等实数根时 的取值范围； （2）若两个根都为正数（允许相等），求 的取值范围。 52. 一个矩形的长和宽分别为 cm、 cm。现要设计另一个矩形，使它的周长和面积都为原矩形的 倍。 （1）求新矩形的长和宽； （2）原矩形的两边长为任意正数 是否一定存在周长和面积都为原矩形的 倍的矩形？请用一元二次方程说明理由； （3）若把第（2）问中的 改为 上述结论是否仍对任意原矩形成立？请举例说明。 53. 关于 的方程 的两个根为 （1）证明：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）求 且 时 的取值范围； （3）在第（2）问的条件下，若 求 54. 实数 满足 （1）求 的取值范围； （2）求 的最小值，并求此时 的值。 55. 方程 的两个根分别为 其中 （1）求 并求两根都为正数时 的范围； （2）若 是一个直角三角形的三边长，求 及这个三角形的面积。 56. 如图，用总长 米的围栏，借一段长 米的直墙围成矩形场地，并用一道垂直于墙的围栏将场地分成两部分。围栏均用尽，不留门。设垂直于墙的一边长为 米。 （1）若场地面积为 平方米，求所有合适的边长； （2）能否围出面积为 平方米的场地？求能围成的最大面积及相应边长。 57. 某商品每件进价 元，原售价 元。调查显示，售价每降低 元，每日需求量就从 件增加 件；在本题范围内按此关系计算。商店每天最多可供 件，实际销量等于需求量与 件中的较小者。设降价 元，不计其他费用。 （1）每天利润为 元时，有哪些定价方案？ （2）求每天利润的最大值及相应售价。 58. 某活动室要给一个长 cm、宽 cm、高 cm 的长方体仪器制作纸盒。仪器必须按长对长、宽对宽的方向平放，不能旋转；忽略纸板厚度及粘接边，不留装配空隙。现有两种方案。 方案一：用长 cm、宽 cm 的纸板，从四角各剪去边长为 cm 的正方形，折成无盖盒；盒底面积要求为 方案二：用长 cm、宽 cm 的纸板，按图中的折线折成一个有平盖的盒子。盒高为 cm，盒底与盒盖的长、宽分别相等，盒底面积要求为 图中 分别表示盒底的长、宽，灰色部分剪去，虚线为折线。 （1）先用含 的式子表示方案二中的 再分别求两种纸盒的盒高及盒底长、宽； （2）小明认为“方案一的容积更大，所以一定能放入仪器”。你同意吗？应选择哪种方案？说明理由。 59. 如图，矩形 中， cm， cm。点 从 沿 以 cm/s 的速度运动；点 从 沿 以 cm/s 的速度到达 后，立即以原速沿 向 运动。两点同时出发， 到达 时同时停止。设运动时间为 s， 的面积为 （1）求运动的总时间，并分别用含 的式子表示 到达 前、后的 （2）求 时所有的 60. 关于 的一元二次方程 中， 是实数。 （1）求 必须满足的条件，并证明该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若两个根均为整数，求 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级一元二次方程期中复习讲义 苏科版教师版 本讲义系统复习一元二次方程的概念、四种解法、根的判别式、韦达定理及方程应用。先理解 条件与方法，再完成60道练习；含参数或实际情境的题目，应把求得的结果放回原条件中检 验。 一知识详解 1一元二次方程的定义和一般形式 只含有一个未知数，整理后未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。它的一般 形式是ax+bx+c=0,其中a,b,c是实数，且a≠0。a是二次项系数，b是一次项系数，c是 常数项。b、c可以为0，a不能为0。 判断时要抓住“一个未知数”“整式方程”“整理后最高次数为2”三个条件。例如x2=(x+12整理后 为2x+1=0,不是一元二次方程：+x=3的分母含未知数，不是整式方程，不能直接称为一 元二次方程。 例：把3x(x-2)=x2+5化为一般形式。展开、移项、合并后得2x-6x-5=0,所以a=2, b=-6,c=-5。辨认系数时，应先整理，且必须连同前面的符号一起看。 关于x的方程(m-2)x2+3x-1=0,在m≠2时是一元二次方程；在m=2时变成3x-1=0。 字母m是参数，判断的是未知数x的次数。 当二次项系数为0时，要看剩下的式子：bx+c=0在b≠0时是一次方程；若b=0,c≠0，如 0x+2=0,没有解；若b=c=0,则等式为0=0，每个实数都是解。因此“二次项消失”不总是“变 成一次方程”。 2根的定义与代入的作用 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，也叫方程的根。如果r是ax+bx+c=0的 根，就有ar2+br+c=0。代入不是只用来验算，也能帮助求参数和简化式子。 例：若2是方程x2-5x+k=0的一个根，则22-5×2+k=0,得k=6。若r是x2-4x+1=0的 根，则r2-4r=-1,求这个式子的值，不必先算出r。 “求方程的根”应写出所有满足方程的实数。一个数代入不成立，就不是根；只找到一个根，并 不能保证已经解完方程。 3降次与不漏根 解一元二次方程的基本想法是降次：把二次方程转化为可以求解的一次方程或平方关系。因式 分解法的依据是：AB=0一A=0或B=0。这里的“或”表示任意一个因式为0，乘积就为0，并 不要求两个因式同时为0。 等式两边加减同一个式子，或乘除同一个非零数，不改变方程的解。但是两边除以含有未知数 的式子时，必须先考虑这个式子能否为0。 例：解2xx-1)=3(1-x)。因为1-x=-(x-1),所以移项后得到2x(x-1)+3(x-1)=0,即 x-12x+3=0.于是x-1-0或2+3=0，得为=1，名=- 若在原方程两边直接约去X-1,只会得到2x=-3,从而漏掉x=1。正确的简法是提取公因 式，而不是把可能为0的因式约掉。 第1页共33页 4先看结构再选方法 看到平方形式，先考虑直接开平方；看到共同因式、平方差或明显可以分解的二次三项式，先 考虑因式分解。结构不明显时，再考虑配方或求根公式。能够整体处理的式子，不必急着展 开。 例如（2x-12=5宜直接开平方；x2-6x+8=0可分解为（x-2)(x-4)=0,3x2+2x-2=0用公 式法较方便。x2-6x+8=0的一次项系数虽为偶数，也不意味着必须先配方。 几种解法都可能正确，选择时比较的是书写是否简洁、计算是否稳妥，以及是否能保留原式的 结构。 5直接开平方法 把方程化为（ux+v}P=w,其中u≠0，再根据平方根的意义求解。若w>0,则ux+v=±Vw,有 两个不同的实数根；若w=0,则ux+V=0,有两个相等的实数根；若w<0,则没有实数根。 例：解2x-37-7。直接开平方，得2x-3=±7，所以X=3,%=37,其中正、负 两个平方根都不能漏。 特别注意，√X=x,而不是对所有实数都等于x。例如x2=9的根是x=3或X=-3。 6配方法及其理由 配方的依据是x2+2hx+h=(x+h2。因此，要把x+px配成完全平方，应在两边同时加上 (卫2。若二次项系数不是1，应先把它化为1。 、2 例：解2X-8x+3=0。移项并把二次项系数化为1，得×-4x=-多。一次项系数是-4，它的 一半是-2，平方为4所以两边同加4，得父-4x*4=号，即(x-2 直接开平方。得x-2生侵±四，所以X2+ ,x,=2- 2 2 配方时要检查三点：二次项系数是否已为1；所加的数是否为一次项系数一半的平方；等式两 边是否同时加了这个数。不能只把左边改成完全平方而不改变右边。 7求根公式从配方得到 对a+bx+c=0,其中a0,先除以a并移项.得+白x=-,两边同加 40,得 (x+b=b2-4ac 2a 4a2 记△=b2-4ac。把上式写成（2ax+b)2=△。若△≥0，则2ax+b=±V公，从而 X=-b±vb-4ac,这就是一元二次方程的求根公式。 2a 这样推导既说明公式为什么成立，也避免把V4a2错写成2a实际上√4a'=2a。公式中的分 母仍是2a,因为从2ax+b=±V△解一次方程即可得到。 例：解3x2+2x-2=0。这里a=3,b=2,c=-2,△=22-4×3×(-2)=28。所以 X=-2±28--1±V7 6 3 第2页共33页 8判别式与根的情况 由(2ax+b)2=△可知，在a≠0的前提下：△>0时有两个不相等的实数根；△=0时有两个相等 的实数根。均为一品A<0时没有实数根。 “两个相等的实数根”只对应一个不同的数。例如（x-2=0的两个根均为2。题目若问不同实 数根的个数，这种情形应计为1个，而不是2个。 公式法的顺序是：整理成一般形式，辨认带符号的α，b,c,计算△，判断有没有实根，再代入 公式并化简。不要在△<0时继续写实数范围内的平方根。 要证明“无论参数取何实数值，方程总有实根”，可把判别式配成平方与常数之和。例如 x2-(m+1)x+m-3=0的判别式为(m+12-4(m-3)=(m-12+12>0。由于平方非负，所以任 意实数m都使方程有两个不相等的实数根。 9因式分解法的四种常见结构 使用因式分解法，先把方程的一边化为0，再把另一边分解为两个一次因式的积，最后令每个 因式分别为0。若乘积不等于0，不能直接令各因式为0。 提公因式：4x2-12x=0可化为4xx-3)=0,所以x1=0,x2=3。不要除以X而漏掉零根。 完全平方：x+6x+9=0可化为(x+3)2=0,所以x1=x2=-3。完全平方也可以与直接开平方结 合使用。 平方差：(3x-1)2=(x+52可化为[(3x-1)-(x+5)][(3x-1)+(x+5)]=0,即 (2x-6)(4x+4)=0,得x1=3,x2=-1。保留两个整体比分别展开更短。 十字相乘：2x+7x+3=(2x+1)(x+3),因为二次项来自2x·x,常数项来自13，一次项来自 交又乘积2x3+1x=7x。因此方程2X+7x+3=0的根为-号和-3。 10十字相乘法与分组分解 一般地，(px+r)(qx+s)=pqx2+(ps+qr)x+rs。要把ax2+bx+c分解成这种形式，需要同时满 足pq=a,ps+qr=b,s=c。十字相乘就是先看首项与末项的乘积，再检验交叉乘积之和是否 等于一次项。 2x 6x+x=7x 同一个式子也可以写成2x2+7x+3=2x2+6x+x+3=2x(x+3)+(x+3)=(2x+1)(x+3)。这是拆 项后分组提公因式的写法。它与十字相乘的结果相同，但过程和名称应分清。 有公因式时通常先提公因式；有平方差时先保留整体；试分解没有明显结果时，可以改用配方 或公式法，不需要盲目试很多组数。 找不到整数因式，不等于没有实数根。例如x-2=0不能分解成两个整数系数的一次因式，但 由直接开平方仍得X=±V2。有无实数根应依据平方关系或判别式，不应依据是否容易十字相 乘。 第3页共33页 11韦达定理及其证明 若心+bx+c0有两个实数根X1,X,其中a0厕X+X,名XX,。这称为一元已次 a 方程的根与系数的关系，也叫韦达定理。 由求根公式，可取X,-b+☑，X,二b。两式相加，根号项相消，得X+X,=-白两式 2a 2a a 相乘，得xX,=b-A-4ac=S 4a2 4a2 a 因此，在已经有实根的前提下，可写成ax2+bx+c=a(x-X1)(x-x2)。这个等式既能用于因式分 解，也能帮助理解某个数在两根之间还是两根之外。 例：方程2×2-5x+1=0的两根和为号，积为不能把根和写成-5，也不能漏掉二次项系数 2。 12用根和根积整理对称式 记S=x1+为，P=Xx。由完全平方公式，x2+x2=S2-2P,(x1x尸=S2-4P=4 若P≠0，则1+L-S,+为=S2-2P X名p'元xP。分母不为0是使用这些式子的条件。 对2X-5x+1=0,有X2+x2-25-1=2,+1=5。这些量不需要分别求出两个带根号的 4 4'X1x2 根。 ®出，一水，君只腿先得到%广名/。 若没有说明X1>X2或X1<2,求X1-X2时不能擅自 只取正号。 13先降次再整体求值 如果r是aX+bx+c=0的根，就可以用2=-br-仁替换二次项。含根的式子看起来次数较 a 高，不代表一定要把根求出来再代入。这种替换还可以继续。例如α=4《-1时， a3=4a2-=15a-4,仍然只需保留根的一次式。 例：设a,B是x2-4x+1=0的两个根，求(a2-3a)(B2-3B)。由根的定义，a2=4a-1, β2=4B-1,所以原式等于(a-1)(B-1)=aβ-(a+B)+1=1-4+1=-2。 再如aα2+4B=4a-1+4B=4(a+B)-1=15。虽然原式中两根所处的位置不对称，降次后仍可能 组成根和。 但a+B=3a+3仍保留单个根α，不能只凭根和、根积确定一个数值。若题目不限定α是较 大根还是较小根，它有两种可能值9+3V3、9-3V3。 14从两根反过来构造方程 若两个数的和为S、积为P,则以它们为根、二次项系数为1的方程是x-Sx+P=0。若要求 二次项系数为非零数k,就把各项同时乘以k。 已知原方程的两根和为S、积为P,新根为x1+h,x2+h,则新根和为S+2h,积为P+hS+h2。 新根为时，必须先有P20,其和为吕，积为 X1 X2 第4页共33页 例：原方程为2x2-5x+1=0。以x1+1,x2+1为根的方程可写成2y2-9y+8=0,以两根的倒 数为根的方程为y-5y+2=0。两次都只计算新根的和与积，不必先求原根。 15公共根与隐藏的同一方程 两个方程有公共根时，可把这个根同时代入，再将两个等式相减，消去共同的二次项。相减只 是找到公共根必须满足的条件，求出候选后仍要代回原方程。 例：x2+px+q=0与x2+qx+p=0有公共根r,且p≠q。相减得(p-q)(r-1)=0,所以r=1。 代回得1+p+q=0,即p+q=-1。条件p≠q在这里保证可以推出r-1=0。 若Vu-2u-2+Vv2-2v-2=0,由于两项均非负，可得2-2u-2=0、v2-2v-2=0。因此u,v 都是同一个方程的根。但只有进一步知道≠v,才可以直接认定它们是两个不同根并使用 u+v=2,uv=-2,否则也可能取同一个根。 16倒数变形先检查非零与不同 有时两个数满足的式子外观不同，经过取倒数、平移等变形，会变成同一个方程。变形后先检 查两个数是否不同，再用韦达定理。 例：s,t满足2s2-3s+1=0、t2-3t+2=0,且st≠1。第二个方程说明t≠0。两边除以t2,得 2(1-3()+1=0。 所以s与都是22-32+1=0的根。由s≠1可知s严是，故它们是两个不同根，于是 5+1=39-1 t2t-2 若去掉st≠1，两数可能相等，上面的根和根积就不一定能直接使用。“非零”和“不同”都应解 释，不应只作为题面上看似多余的条件。 17实数条件也能反过来限制参数 若实数山，v的和、积含有参数，可以构造以u,V为根的一元二次方程。因为两个根都是实数， 所以判别式必须非负。等价地，也可以直接利用(u-v)2=（u+v-4uv≥0。 例：实数u,V,c满足u+V=2c、uv=c2+c-3。以u,V为根的方程为z2-2c2+c2+c-3=0,其 判别式为12-4c,所以c≤3。也可直接算得(u-v2=12-4c≥0。 如果题目问c的最大值，还要检查c=3时是否真的有符合条件的u,V。此时取u=v=3,确实 满足两个等式，所以最大值为3。不能只算出一个形式上的上界就结束。 例如，若声称存在实数u,v满足u+v=2、uv=2,则(u-v)2=22-4×2=-4,与平方非负矛 盾，因此这样的实数不存在。这也说明给定任意两个数作“根和、根积”，并不一定有实根。 18含参方程的检查顺序 先检查方程类型，再检查实根条件，接着使用题目给出的根关系，最后检查分母、根的顺序与 实际限制。由根关系算出的参数只是候选，必须符合原题全部条件。 例：求（m-2)x2+2x-1=0有实数根时m的范围。若m=2,方程为2x-1=0,有实根；若 m≠2，判别式为4(m-1),有实根要求m≥1。合起来得到m≥1。 若题目改成“该一元二次方程有实数根”，就还必须满足m≠2，答案改为m≥1且m≠2。这两个 问法的差别来自题目是否已经规定它是二次方程。 出现倒数、分式或平方两边的步骤时，要额外检查分母是否为0、平方前两边的符号是否符合 要求。不能把必要条件误当成已经足够的条件。 第5页共33页 19根的符号与平移后的根 在已知有实根的前提下，设两根和为S、积为P。若P<0,两根异号；若P>0且S>0,两根 都为正；若P>0且S<0,两根都为负。若P=0,至少有一个根为0，需要单独判断另一根。 要求两根不相等时，还应有△>0。 要判断两根是否都大于一个数r,可以判断X1-r,x2-r是否都为正。它们的和为S-2r,积为 P-rS+r2。这样就把比较大小的问题转成了判断两个新数的正负。 例：方程x2-(m+3)x+2m=0的判别式为（m-1)2+8>0,总有两个不同实根。若要求两根都 大于1，则x1-1,x2-1的和为m+1,积为m-2。两者都为正当且仅当m+1>0且m-2>0, 所以m>2。 再看(r-x1r-x2),它小于0时，两个因式异号，说明r夹在两根之间；大于0时，说明r 在两根同一侧，但还不能单凭这个正号断言两根都在哪一边，需要结合根和等条件。 20整数根问题怎样完整分类 若两根都是整数，可结合根和、根积找整数条件。乘积是确定的非零整数时，可以列因数对； 乘积为0应单独讨论。正负因数、根的交换、参数的原有范围都要检查。 例：方程x2-（m+2)x+2m-7=0的两根u,V都是整数。由韦达定理，u+v=m+2, uv=2m-7,所以(u-2)(v-2)=uw-2(u+v+4=-7。 整数u-2,v-2的乘积为-7，不计交换，只有（-7,1)或(-1,7)两组。分别得到 {u,v}={-5,3}或{1,9}，再由m=u+v-2得m=-4或m=8。代回原方程，两组均成立。 这里的关键是先把含参数的和积变成固定乘积，再列整数因数，不是先盲试许多。遇到可直 接分解的方程，也可先求根再判断整数条件。例如（x-2)(x-1)=0在m≠0时可得到根1和 m ,再根据题目要求检查2是否为整数。 21增长下降与计数中的等量关系 设原量为A,连续两次按相同增长率r增长，第一次后的量为A(1+r),第二次后的量为 A(1+r2。若按相同下降率下降，则为A(1-r。每次变化的基数不同，不能写成A(1+2r 或A(1-2r)。若数量始终为正且确实下降，下降率应满足0<r<1,从而1-r>0解方程时不 能保留超过100%的下降率。 例：某数量由100经过两次相同增长达到121。设每次增长率为r,则100(1+r2=121,得 1+r=±1.1。结合增长率非负及数量为正，取r=0.1,即10%；另一个代数结果-2.1不符合题 意。 单循环比赛中，每支队伍与其他-1支各赛一次，但每场会被计算两遍，因此总场数为 nn-1。若共有28场，则n(n-1)=56,得n=8或n=-7;队数须为正整数，所以取8支。 2 数字、人数、件数等问题除了等式，还可能要求正数或整数。把这些限制写在设未知数或检验 步骤中，不能只解完方程就给出不合理答案。 22面积与围栏先写长度限制 边框、道路和围栏问题，应先在图上标清每条长度。等宽边框通常要从长和宽两端分别减去宽 度；交叉道路要避免重复扣除面积；靠墙的一边是否用围栏、分隔用了几条，都应按题意判 断。 第6页共33页 例：长12、宽8的矩形纸板，四周留等宽边框，内部面积为60。设边框宽为x,则 12-2x)(8-2x)=60,并且0<x<4。整理得x2-10x+9=0,候选x=1或x=9,只有x=1符 合长度限制。 围栏题若已列出面积A=x(L-kx),仍要保留各边长为正、靠墙边不超过墙长等条件。两个代 数根都满足面积方程，也可能只有一个能画成题目要求的场地。 应用题的检验包括两个不同问题：这个数是否满足所列方程；这个数是否符合实际条件。后一 种不合适的数应说明“不符合题意，舍去”，不要把所有舍去的根一概称为运算造成的增根。 23利润模型与能否达到目标 总利润等于“单件利润乘以销量”，即（售价-单件成本）×销量。销量与价格的变化关系要先写 清；销售收入不等于利润。还要检查售价范围、销量非负、库存上限等条件。 例：商品进价20元，原售价30元，每天售100件，每降价1元多售20件。设降价X元，在 不考虑库存限制且0≤x≤10时，利润为L=（10-x)(100+20x)=1000+100x-20x2。若目标为 1080元，则x2-5x+4=0,得x=1或4，两者均符合范围；要降价较少取1，要销量较多取 4。 配方得1=125-20(x-≤125。由于X号在允许范围内，最大利润确能取到125元。若 额外条件排除了这个x,就不能直接把1125作为实际最大值，应根据范围比较平方的大小。 例如图栏面积写为Λ-121x空？，但培长限制要求75x<13,则×号号，所以 2 A≤84，并在x=7时取到。这里用的是平方大小比较。 24动点与速度问题的检查 动点题先找运动的起点、终点和到端点的时间，再用“速度乘以时间”写线段长。若有转弯或折 返，转弯前后的线段关系可能不同，要分别列式；每段解出的根必须落在相应的时间范围内。 例：在直角的两条边上，AB=8厘米，BC=12厘米。点P从A向B以每秒1厘米的速度运动， 点Q从B向C以每秒2厘米的速度运动，任一点到终点时同时停止。设运动时间为t秒，则 0≤t≤6，BP=8-t厘米，BQ=2t厘米，△PBQ的面积为8-t小2t=t(8-t)平方厘米。面积 为12平方厘米时，解得t=2或6，分别为2秒和6秒，都在运动范围内。若题目改为折返， 就不能继续把BP一直写成8-t。 速度题若最初列出的是分式方程，去分母后虽可能得到二次方程，仍必须检查原分母不为0。 例：水流速度为每小时2千米，船顺流、逆流各航行24千米，总用时5小时。设船在静水中 的速度为每小时v千米，则v>2,且24+24=5。 V+2V-2 去分母得5-48v-20=0,解得v=10或v=-导.结合V心2，取v=10,即静水速度为每小 时10千米。代回后顺流用时2小时，逆流用时3小时，总用时5小时，答案成立。 第7页共33页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.下列方程是一元二次方程的是（)。 A.X+1=2 B.x2+y=1 X C.（x+12=x2 D.x(x+1)=6 答案D A的分母含未知数，不是整式方程；B含有两个未知数；C整理后为2x+1=0,D整理后为 x2+x-6=0。 2.把方程2x(x-3)=5-x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为 (）。 A.2,-6,5 B.2,-5,-5 C.2,-7,-5 D.2,-5,5 答案B 移项整理得2x2-5x-5=0,故三个系数依次为2，-5，-5。 3.关于x的方程(m-2)x+3x-1=0是一元二次方程，则()。 A.m=2 B.m>2 C.m≠2 D.m≠0 答案C 必须有二次项系数m-2≠0，所以m≠2。 4.已知t是方程2x2-3x-4=0的一个根，则4t2-6t+1的值为（)。 A.9 B.5 C.-7 D.-3 答案A 由根的定义得2t-3t=4,所以4t-6t+1=2(2t2-3t)+1=9。 5.方程(2x-12=9的解为（)。 A.x=2 B.x=-1 C.x=±2 D.x=2或X=-1 答案D 2x-1=3或2x-1=-3,解得x=2或x=-1。 第8页共33页 6.用配方法解方程x-6x+2=0,正确的变形是（)。 A.(x-32=2 B.（x-32=7 C.（x+3)2=7 D.(x-3)2=11 答案B x2-6x=-2,两边都加9，得(x-32=7。 7.小明解方程xx-4)=2x时，两边同除以x,得x-4=2,所以x=6。他的解答（)。 A.完全正确 B.多得了根6 C.丢失了根0 D.丢失了根4 答案C 原方程移项得x(x-6)=0,有x=0或x=6。未经说明就除以可能为0的x,丢失了根0。 8.将3x2-5x-2分解因式，正确的是（)。 A.（3x+1(x-2)》 B.(3x-1)(x+2) C.(3x-2)(x+1 D.(3x+2)(x-1 答案A 3x与-2的交叉乘积为-6x,x与1的交叉乘积为x,和为-5x,所以 3x2-5x-2=(3x+1)(x-2)。 9.不解方程，判断3x2+2x+1=0的实数根情况（)。 A,有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根且不是重根 D.没有实数根 答案D 4=2-4×3×1=-8<0,所以没有实数根。 10.已知方程2x-5x-3=0的两个根为x1,x2,则x1+x2与X1x2分别为（）。 B受月 53 C.5,-3 D.22 答案B 由根与系救的关系。X+X-2号，X火号是 第9页共33页 11.某校图书馆电子阅读资源由200种增加到两年后的288种。设这两年的年平均增长率为 r,则可列方程（)。 A.200(1+r)2=288 B.200(1+2r)=288 C.200r2=288 D.200(1-r2=288 答案A 第一年后为200(1+r)种，第二年后为200(1+r2种，所以200(1+r)2=288。 12.已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则a3-3a2+a的值为（)。 A.1 B.0 C.-1 D,与所取的根有关 答案C a=2a+1,所以a3=2a2+a=5a+2。 原式=(5a+2)-3(2a+1)+a=-1。 13.关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（)。 A.k<2 B.k≤2且k≠1 C.1<k<2 D.k<2且k≠1 答案D 先有k-1≠0，即k≠1，再由△=4-4k-1)=8-4k>0,得k<2。合并得k<2且k≠1。 第10页共33页 14.用28米围栏和一面可用长度为12米的墙围成矩形，靠墙的一边不用围栏，也不留门。若 矩形面积为96平方米，则垂直于墙的一边长为()。 可用墙长12m 三边围栏总长28m A.6米 B.6米或8米 C.8米 D.12米 答案C 设垂直于墙的一边为x米，则靠墙边长为28-2x米。由x(28-2x)=96,得 x-6)(x-8)=0。 x=6时靠墙边为16米，超过墙长；x=8时靠墙边为12米，符合条件。 15.方程(3x-1)2=(x+32的所有实数解为（)。 A.X=2 BX-2或X=号 C.x=号或x=-2 Dx=号 答案B 移项并用平方差公式，得[(3x-1)-(x+3)][(3x-1)+(x+3)]=0,即(2x-4)(4x+2)=0。所以 X=2或x= 16.实数u,v满足2-4u+1+√W-4v+1=0,则4+出的所有可能值为()。 A.2 B.14 C.2或14 D.-2或14 答案C 两个根式均非负，和为0，所以u2-4u+1=0,v2-4v+1=0,且u,V都不为0。 若u=v,原式为2。若u≠v,它们是方程x2-4x+1=0的两个不同实数根，所以 u+v=4,w=1,原式=u+v-2wW=14. V 该方程有两个不相等的实数根，上述同取一根、分取两根的情况都能发生。 第11页共33页 17.若无论实数m取何值，关于x的方程x-2mx+(k-1)m2+2m-1=0都有实数根，则k 的取值范围为(）。 A.k<1 B.k≤1 C.k≤2 D.k≥1 答案B 当m=1时，判别式为4(1-k)。题意要求此时也有实数根，所以必须有k≤1。 当k≤1时，对任意实数m,△=4[(2-k)m2-2m+1]=4[(m-1)2+(1-k)m2]≥0。所以k≤1的 每个值都符合题意。 18.阅读材料：解含有相同代数式的方程时，可以把这个代数式看作一个整体。例如设 y=x2-4,求出y后，还须解|x2-4=y,不能把y的个数当作x的个数。 关于x的方程(x2-4)2-4x2-4|+k=0中，k取下列哪个值时，方程恰有5个不同的实数根 ()? A.-5 B.0 C.3 D.4 答案B 设y=|x2-4|≥0，原方程变为y2-4y+k=0。 当k=-5时，y=5或-1，只能取5，由x2=9或-1，得2个实数根。 当k=0时，y=0或4。前者给x=±2，后者给x=0,±2V2,共有5个不同实数根。 当k=3时，y=1或3，分别给x2=5,3及x2=7,1,共8个不同实数根。 当k=4时，只有y=2一个值，给x=6或2，共4个不同实数根。 第12页共33页 19.关于x的方程x2-(m+1)x+m-2=0的两个根都是整数，则m的所有可能值为 (）。 A.0 B.2 C.-2或2 D.0或2 答案D 设两个整数根为a,b,则a+b=m+1,ab=m-2。两式相减消去m,得ab-a-b=-3,所以 (a-1)b-1)=-2。 两个整数因数不计次序只能为1，-2或2，-1，所以{a,b}={2,-1}或{3,0}。由m=a+b-1, 得m=0或m=2。 代回两个参数值，分别得到根2，-1及3,0，均为整数。 20.a,b,c是一个直角三角形的三边长。方程x2-2Va+cx+2b=0有两个相等的实数根，且 a,c是方程x2-8x+m=0的两个根，则m的值为（）。 A.15 B.16 C.12 D.20 答案A 第一个方程有重根，所以4(a+c)-8b=0,即a+c=2b。由第二个方程知a+c=8,所以 b=4。 b是α，c的平均数；直角三角形不可能三边相等，因此斜边是α，c中较大的一边。由勾股定 理，a2-c2引=b2=16。 |a-c(a+c)=16,得1a-c=2。结合a+c=8,得两边为3,5，因此m=ac=15。三边3,4,5符 合条件。 第13页共33页 三填空题 21.关于x的一元二次方程(m+2)x2+x+m2-4=0有一个根为0，则m= 答案2 代入x=0得m2-4=0,故m=2或m=-2。又m+2≠0，排除m=-2,所以m=2。 22.方程3(x+22=12的解为 答案X=0或x=-4 (x+2}2=4,所以x+2=±2，解得x=0或x=-4。 23.方程(x-32=2(x-3)的解为一。 答案x=3或x=5 (x-3)2-2(x-3)=0,即(x-3)(x-5)=0,所以x=3或x=5。 24.方程2x+x-6=0的解为 0 答来x-2或x号 十字相乘：2x×2+x×-3=x,故2x-3x+2=0,解得x=或x=-2。 25.方程（x+12-16=0的解为。 答案x=3或x=-5 (x+1-4)(x+1+4)=0,即(x-3)(x+5)=0,所以x=3或x=-5。 26.方程2x2+8x-3=0配方后可写成（x+2)2=a,则a=。 答案号 两边同除以2，得X+4x=弓两边同加4，得(x+2=号 第14页共33页 27.关于x的方程x-4x+k=0有两个相等的实数根，则k= 答案4 △=16-4k=0,所以k=4。 28.方程X-5x+3=0的两个根为x1,x,则是+ X1 X2 答案号 X+X,=5,xx,=30,故1+1-+=5 X1x2X1X239 29.两个实数的和为-3、积为-4，以这两个实数为根且二次项系数为1的一元二次方程是 答案x2+3x-4=0 以和S、积P构造方程x2-Sx+P=0,代入S=-3,P=-4,得x2+3x-4=0。 30.一种商品原价250元，经两次相同百分比的降价后售价为160元，则每次降价的百分比为 0 答案20% 设每次降价的百分比为r,其中0<r<1.250(1-r2=160,所以（1-r)2=0.64。由1-r>0得 1-r=0.8,所以r=20%。 31.某次篮球比赛采用双循环赛制，每两队之间比赛两场，共比赛72场，则参赛队数为 0 答案9 设参赛队数为n,则n(n-1)=72,即(n-9)(n+8)=0。n为正整数，所以n=9。 32.方程x2-4x+1=0的两个根为a,b,则1十1，二 a-1b-1 0 答案-1 a+b=4,ab=1,(a-1)b-1)=ab-(a+b)+1=-2≠0。 原我名号-1 第15页共33页 33.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0的两个实数根异号，则m的取值范围是 -0 答案m<1 异号根的积为负数，即3<0，所以m<1。此时二次项系数不为0，且 m-1 △=4-12(m-1)=16-12m>0,符合题意。 34.方程x2-7x+k=0的两个实数根为x1,X2,且X1=2X2+1,则k= 0 答案10 X1+X2=7,联立X1=2X2+1,得X2=2,X1=5,所以k=X1X2=10。 35.在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm。点P从A沿AB以1cm/s 的速度运动，点Q同时从B沿BC以1c/s的速度运动，任一点到达所在边的终点时两点 同时停止。当△PBQ的面积为6cm2时，运动时间为 BC =6 cm AB =8 cm 答案2s或6s 设运动时间为ts,由停止条件知0≤t≤6。BP=8-tcm,BQ=tcm。 8-tt=6,即-8t+12=0。分解得(t-21(t-6=0,故t=2或t=6。两者都在范围内。 第16页共33页 36.实数s,t分别满足352-55+1=0.2-5t+3=0,且s≠1。以s+1和+1为两根、=次 项系数为3的一元二次方程为一。 答案3x2-11x+9=0 第二个等式表明t≠0，两边除以2，得3尸-5(+1=0。 g与是都是32-5z+1=0的根：由st1,知s*,所以它们恰为该方程的两个不同根。 s+1-5,三=。新两根的和为号，积为号++1=3。故所求方程为3X-11x+9=0。 t3't3 3 33 37.方程x2-(m+2)x+2m=0的两个实数根为a,b,且a>b。若a+3b=18,则m= 0 答案2V3 原方程为（x-2)(x-m)=0,所以两个根为2，m。由a>b,知m≠2。 若m>2,则a=m,b=2,故m2+6=18,得m=±2√3，只取m=2V3。 若m<2,则a-2,b=m,放4+3m=18,得m-号，与m<2矛盾。含去。 38.关于x的方程x2+px+q=0的两个根为p-1与q,则p的所有可能值为 答案号或2 由根与系数关系，（p-1)+q=-p,即2p+q=1,又(p-1)q=q,所以q(p-2)=0。 若q=0,得p,根为0若p=2,得q=-3,根为1，-3。两组均符合题意。不能直接 除以q,否则会漏掉第一组。 第17页共33页 39.已知a>0,b为整数，方程ax+bx+2=0的两个实数根相差2，则a的最小值为 答案6-2 2 设两根为r,5.由-5=r+s}-4s=4,得8=4，所以62=4a+8a。 aa 4Q+1}=b2+4。由于a>0,有b>0,又b为整数，所以b≥1。故a+1≥Y5 a≥5-2 2 取a=52b=1(或-1)，有4=b-8a=4d>0,两根之差的绝对值为A2。所以该最 2 0 小值确能取到。 40,关于X的一元三次方程似-1=x有两个实数根a,b(允许相等)，则。+的最小值一 为 答案君 k=0时方程变成一次方程x=1,不符合题设，所以k≠0。整理得kx2-(2k+1)x+1=0, 4=4k+1≥0，故k≥-号且k20. b-0,所以日+合-2k+1,品=R.原式-2k+1-2-2k+1P-1 a b 由于k+1号，原式2×是-1日当k=号时.原方程为X-4=0,0=b=4,确得日 16 第18页共33页 四解答题 写出必要的计算、推理或列方程过程，并检查结果是否符合题意。 41.用直接开平方法解下列方程。 (1)4x2=25, (2)2(3x-12-10=0。 答案()x=±；2)=1+5或x-15】 3 3 ，所以X±号 (1)x2=25 (2)(3x-1P=5,所以3x-1=±V5,解得x=1+5或x=1-5 3 3 42.用配方法解下列方程，并写出配成完全平方的过程。 (1)x2-8x+5=0 (2)3x2+6x-2=0。 答案(1)x=4±V五；(2)x=-1± 3。 (1)x2-8x=-5,两边同加16，得(x-42=11,所以x=4±V11。 2)》两边同除以3，得+2x号两边同加1，得x+1号所以×=-1±四 3 43.用公式法解下列方程。 (1)3x2-2x-2=0 (2)2x2+4x+5=0。 答案()x1±7；(2)没有实数根。 3 (1)a=3,b=-2,c=-2,△=(-22-4×3×(-2)=28。 x=--2)±v281±V7 2×3 3 (2)△=42-4×2×5=-24<0，所以方程没有实数根。 第19页共33页 44.用因式分解法解下列方程，并指出每题分解因式所用的方法。 (1)3x(x+1)=6(x+1), (2)(2x-32-x2=0, (3)4x2+12x+9=0; (4)6x-7x-3=0。 答案(0X=-12;2)x=135(3)x=x=是；④x=号是 (1)提公因式：3(x+1)(x-2)=0,所以x=-1或x=2。 (2)平方差公式：[(2x-3)-x][(2x-3)+x]=0,即(x-3)(3x-3)=0,所以x=3或x=1。 (3)完全平方公式：(2x+3P=0,所以x1=X=2 3 (④十字相乘：3x(-3+2x×1=-7x,所以(3x+102x-3=0,解得X=号或x=号 45.已知x=-2是方程x2+x-6=0的一个根。 (1)求k的值； (2）解这个方程，并把求得的另一个根代入原方程检验。 答案k=-1,另一个根为3。 (1)代入x=-2,得4-2k-6=0,所以k=-1。 (2)原方程为x2-x-6=0,即(x-3)(x+2)=0,解得x=3或x=-2。 检验x=3,左边=32-3-6=0，等于右边，所以3是原方程的根。 46.关于x的方程x2+2x+m=0,分别在下列情况下求m的取值范围。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根。 答案（1)m<1,(2)m=1;(3)m>1。 二次项系数为1≠0，判别式为△=2-4m=4-4m。 (1)△>0，得m<1)(2)△=0，得m=1(3)△<0，得m>1。 第20页共33页 47.已知方程x2-6x+4=0的两个根为a,b。不直接求根，求下列各式的值。 )d+8;2②a-b；3)8+2 答案（1)28，(2）20(3)7。 由根与系数的关系，a+b=6,ab=4≠0。 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28。 (2）(a-b)2=(a+b2-4ab=36-16=20。 (3)9+b-0+b-28=7. b a ab 4 48.某社区第一年回收废纸20吨，第三年回收28.8吨。假设从第一年到第二年、从第二年到 第三年的增长率相同。 (1)求年平均增长率； (2)第二年回收废纸多少吨？ 答案年平均增长率为20%，第二年为24吨。 （1)设年平均增长率为r,由增长的意义知r>0。列方程20(1+r2=28.8,得（1+r2=1.44。 1+r>0,所以1+r=1.2,得r=0.2=20%。另一个代数解r=-2.2不合题意，舍去。 (2）20(1+20%)=24(吨)。答：年平均增长率为20%，第二年回收24吨。 第21页共33页 49.如图，矩形场地ABCD中，AD=14m,AB=12m。把一根长28m的绳子依次拉直为 BP、PC两段，其中P在线段AD上，两段绳长之和等于28m。 14m A D 12m B (1)求所有符合条件的AP的长，并检验所得位置； (2)若换成一根长26m的绳子，能否仍按上述方式连接？请说明理由。 答案（1)AP=5m或9m;(2）不能。 (1)设AP=xm,BP=ym,则0≤x≤14，PC=28-ym。由勾股定理，y2=x2+144, 28-y)2=(14-x2+144。 两式相减得794-56y=196-28x,所以y2。代入了-+14，整理得 x2-14x+45=0,解得x=5或x=9。 x=5时，BP=13m、PC=15m;x=9时，BP=15m、PC=13m,两者之和均为28m,且两 点均在线段AD上，故均符合题意。 (2）设BP=ym、AP=xm。若绳长为26m,同理有y=x2+144, 26=yP14=x+144。相减得yX1120 代入并整理得5x2-70x+414=0。其判别式△=(-702-4×5×414=-3380<0，不存在实数 解，所以不能按要求连接。 第22页共33页 50.已知关于x的两个方程x+mx+n=0和x+x+m=0有一个公共根，且m≠n。 (1)求这个公共根，并求m+n, (2）若其中一个方程的另一个根为-4，求mn。 答案公共根为1，m+n=-1,mn=-12。 (1)设公共根为t,则t+mt+n=0,t+nt+m=0。两式相减，得(m-n)(t-1)=0。由 m≠n,得t=1。代回得m+n=-1。 (2）两个方程分别可写成(x-1)(x-n)=0与（x-1)(x-m)=0,所以两个方程各自的另一个 根分别为n,m。 其中一个方程的另一个根为-4，另一个为3，故mn=-12。 第23页共33页 51.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2=0。分别回答下列问题。 (1)求方程有两个不相等实数根时k的取值范围； (2)若两个根都为正数（允许相等），求k的取值范围。 答案(1)k>子；(2)k2-子且k0。 ()4=4k+1P-4k2=42k+1。由4>0，得k>- (2）“两个根都为正数”允许两个根相等，需同时满足△≥0、根和2(k+1)>0、根积k2>0。 分别得k之-号k>-1.k0。合并得k2-且k子0。当k=-号时为两个相等的正根，也应保 留。 第24页共33页 52.一个矩形的长和宽分别为4cm、1cm。现要设计另一个矩形，使它的周长和面积都为原 矩形的2倍。 (1)求新矩形的长和宽； (2）原矩形的两边长为任意正数u,v,k>1。是否一定存在周长和面积都为原矩形的k倍的矩 形？请用一元二次方程说明理由； (3)若把第(2)问中的k>1改为k=),上述结论是否仍对任意原矩形成立？请举例说明。 答案（1)(5+V17)cm、(5-V17)cm;(2)一定存在；(3)不一定。 (1)设新矩形两边为a,bcm,则a+b=10,ab=8。所以两边是x2-10x+8=0的两根，解得 a,b=5±V√17。两数均为正，符合矩形边长要求。 (2)所求两边应满足a+b=k(u+v),ab=kuv。构造方程x2-k(u+v)x+uv=0。 △=k2(u+v2-4uv=k2(u-v2+4k(k-1)uv>0,所以有两个不同实数根。又根和为正、根积为 正，所以两根都为正，能作为矩形的两边。因而一定存在。 (3)不一定。例如原矩形是边长2cm的正方形；新矩形若同时满足要求，应有两边和为2 cm、积为2cm2。对应方程x2-2x+2=0的判别式为-4<0，故这样的矩形不存在。 第25页共33页 53.关于x的方程x2-(m+3)x+2m+1=0的两个根为a,b。 (1)证明：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)求1<a<4且1<b<4时m的取值范围； ③)在第（②）问的条件下，若。品品m+3,求m: 答案(2)1<m<号；(3)m=2. (1)4=(m+32-4(2m+1)=m2-2m+5=(m-1)2+4>0,故结论成立。 (2）a+b=m+3,ab=2m+1。两根都大于1，等价于a-1,b-1都为正；其和为m+1,积为 m-1,所以同时要求m+1>0,m-1>0,即m>1。 两根都小于4，等价于4-a,4-b都为正；其和为5-m,积为5-2m,所以同时要求 5-m>05-2m>0,即m号合并得1<m (3)在此范围内两个分母均不为0。左边=2ab-a-b=3m-1 ab-a-b+1 m-1 由3m-1=m+3,得m2-m-2=0,所以m=-2或m=-1。只有m=2满足第(2)问的范围， m-1 故m=2。 第26页共33页 54.实数a,b,c满足a+b=2c,ab=c2+2c+2。 (1)求c的取值范围； (2)求a+b2的最小值，并求此时a,b,c的值。 答案（1)c≤-1，(2)最小值2，此时a=b=c=-1。 (1)a,b可看作方程t2-2ct+c2+2c+2=0的两个实数根。故 △=4c2-4(c2+2c+2)=-8c-8≥0，得c≤-1。 反过来，当c≤-1时，该方程确有实数根a,b,它们的和、积恰好满足原条件，因此所得范围 完整。 (2)a2+b2=(a+b}2-2ab=4c2-2(c2+2c+2)=2(c-1)2-6。 因为c≤-1，所以c-1≤-2，有（c-12≥4，故a2+b2≥2。注意不能取配方中的c=1,因为它 不在允许范围内。 当c=-1时，a+b=-2,ab=1,得到a=b=-1。代入原条件均成立，所以最小值为2。 第27页共33页 55.方程x2-2mx+m2-4=0的两个根分别为a,b,其中a<b。 (1)求a,b,并求两根都为正数时m的范围； (2)若α，b,6是一个直角三角形的三边长，求m及这个三角形的面积。 答案(1)Q=m-2,b=m+2,m>2;(2)m=4时面积为5，m号时面积为号。 (1)配方得(x-m2=4,所以a=m-2,b=m+2。两根都正等价于m-2>0,故m>2。 (2)由b>a>0,斜边只可能是6或b。 若6为斜边，则(m-22+(m+2=36,得m2=14。由m>2,取m=√14。此时两边正且满足 勾股关系，面积为m-2m+2=5。 若b为斜边，则(m-2+36=m+2,得8m=36,所以m号三边为号6，号，符合题意。 面积为分×号×6=只。 2 第28页共33页 56.如图，用总长32米的围栏，借一段长14米的直墙围成矩形场地，并用一道垂直于墙的围 栏将场地分成两部分。围栏均用尽，不留门。设垂直于墙的一边长为x米。 可用墙长14m A 0 围栏总长32m (1)若场地面积为80平方米，求所有合适的边长； (2)能否围出面积为84平方米的场地？求能围成的最大面积及相应边长。 答案(1)9米与12米；(2)能，最大面积84平方米，边长6米与14米。 靠墙边长为32-3x米，由墙长和边长条件，X>0且0<32-3x≤14，所以6≤x<3 。 (1)x(32-3x)=80,即3X2-32x+80=0,解得x=4或x=20 3 x=4时，靠墙边为20米，超过墙长；X=29时，靠墙边为12米，符合条件。所以边长为20 3 米、12米。 2设面积为A平方米，则A=x2-3x25-3x-曾子， 3 由于X26,有×号，故As-3×号84。当X=6时，室墙边为14米，全部条件均满 3 足，面积恰为84平方米。 不能只根据平方非负取X=6:它对应的靠墙边为16米，超过墙长。 3 第29页共33页 57.某商品每件进价20元，原售价30元。调查显示，售价每降低1元，每日需求量就从100 件增加20件；在本题范围内按此关系计算。商店每天最多可供160件，实际销量等于需求量 与160件中的较小者。设降价x元，0≤x≤10，不计其他费用。 (1)每天利润为1000元时，有哪些定价方案？ (2）求每天利润的最大值及相应售价。 答案（1)售价30元或26.25元；(2）最大利润1125元，售价27.5元。 需求量为100+20x件，达到160件时x=3。 当0≤x≤3时，利润L=(10-x)(100+20x)=1000+100x-20x2,当3≤x≤10时，实际只能售 出160件，利润L=160(10-x)。 (1)第一种情况下，1000+100x-20x2=1000,得x=0或x=5,但5不在本段范围内，舍 去。 第二种情况下，160(10-x)=1000,得x=5=3.75,符合3≤x≤10。所以售价可为30元或 30-3.75=26.25元。 (2)第一种情况下，1=125-20(x-P≤125，当x=时需求为150件，不超过库存，利 润能取到1125元。 第二种情况下，x≥3，所以L=160(10-x)≤1120。比较可知，每天最大利润为1125元，售价 应为30-2.5=27.5元。 第30页共33页 58.某活动室要给一个长24cm、宽19cm、高5cm的长方体仪器制作纸盒。仪器必须按长 对长、宽对宽的方向平放，不能旋转；忽略纸板厚度及粘接边，不留装配空隙。现有两种方 案。 方案一：用长40cm、宽30cm的纸板，从四角各剪去边长为xcm的正方形，折成无盖盒； 盒底面积要求为504cm2。 方案二：用长60cm、宽30cm的纸板，按图中的折线折成一个有平盖的盒子。盒高为h cm,盒底与盒盖的长、宽分别相等，盒底面积要求为500cm2。图中L,W分别表示盒底的 长、宽，灰色部分剪去，虚线为折线。 40 cm 60 cm h T 盒底 盒底 侧 盒盖 30 cm 30 cm h 方案二 方案 (1)先用含h的式子表示方案二中的L,W,再分别求两种纸盒的盒高及盒底长、宽； (2)小明认为“方案一的容积更大，所以一定能放入仪器”。你同意吗？应选择哪种方案？说明 理由。 答案方案一：高6cm,底长28cm、底宽18cm;方案二：高5cm,底长25cm、底宽 20cm。应选方案二。 (1)方案一要求0<x<15,底长、宽为40-2x、30-2x。列方程(40-2x)(30-2x)=504,整 理得x2-35x+174=0,即(x-6)(x-29)=0。 只有x=6符合0<x<15,所以盒高6cm,盒底长28cm、宽18cm。 方案二中，沿纸板长边有2L+2h=60,沿宽边有W+2h=30,所以L=30-h、W=30-2h。由 各长度为正，得0<h<15。列方程(30-h)(30-2h)=500,整理得h-45h+200=0,即 h-5)h-40)=0。 只有h=5符合范围，所以盒高5cm,盒底长25cm、宽20cm。 (2）不同意。方案一容积为504×6=3024cm3,虽大于仪器体积24×19×5=2280cm3,但盒 底宽18<19，仪器不能按要求平放。 方案二的底长25≥24、底宽20≥19、盒高5≥5，三项尺寸均符合要求。因此应选择方案二；只 比较体积不能判断是否放得下。 第31页共33页 59.如图，矩形ABCD中，AB=10cm,BC=6cm。点P从A沿AB以1cm/s的速度运 动；点Q从B沿BC以2cm/s的速度到达C后，立即以原速沿CD向D运动。两点同时 出发，Q到达D时同时停止。设运动时间为ts,△DPQ的面积为Scm。 D C D Q 到达C前 到达C后 (1)求运动的总时间，并分别用含t的式子表示Q到达C前、后的S, (2)求S=28时所有的t。 答案(0总时间8s;0s1s3时5=f-3+30,3≤1≤8时S=48-61;(2)t=12,9. ()Q到C用时5-3s,沿CD用时9-5s,所以总时间为8s。此时P尚未到B。 当0≤t≤3时，AP=t,PB=10-t,BQ=2t,CQ=6-2t。用矩形面积减去三个角上的直角三角 形面积： s=60-}x6t-10-ix2t-x106-2tj--3t+30 当3≤t≤8时，CQ=2(t-3),DQ=10-2(t-3)=16-2t。点P到CD的距离始终为6cm,所 以S=216-2t)×6=48-6t。 (2）第一阶段，t2-3t+30=28,得(t-1)(t-2)=0,所以t=1或2，均在[0,3]内。 第=阶段，48-61=28，得t=9,在3,81内。故所有时刻为1s、26、号s 10 第32页共33页 60.关于x的一元二次方程(m2-1)x2-2mx+1=0中，m是实数。 (1)求m必须满足的条件，并证明该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若两个根均为整数，求m。 答案（1)m≠±1，且总有两个不等实根；(2）m=0。 (1)二次项系数不为0，故m2-1≠0，即m≠±1。△=(-2m2-4(m2-1)=4>0,所以总有两 个不相等的实数根。 (2）原方程可分解为[(m-1x-1][(m+1)x-1]=0,两根分别为a=1,.b=1 m-1 m+1’ 均不为0。 由1-1=2，得a-b=2ab,从而(2a+1)(2b-1)=4ab-2a+2b-1=-1。 b a a,b为整数，所以2a+1、2b-1为乘积为-1的两个整数。若它们分别为1，-1，则a=b=0, 与根不为0矛盾；若分别为-1,1，则a=-1,b=1。 由m一-1，得m=0。代回原方程为-+1=0，两根为-11，符合题意。不能因两根为整 数就预先假定实数参数m是整数。 第33页共33页 九年级一元二次方程期中复习讲义 苏科版 教师版 本讲义系统复习一元二次方程的概念、四种解法、根的判别式、韦达定理及方程应用。先理解条件与方法，再完成60道练习；含参数或实际情境的题目，应把求得的结果放回原条件中检验。 一 知识详解 1 一元二次方程的定义和一般形式 只含有一个未知数，整理后未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。它的一般形式是 其中 是实数，且 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。 可以为0， 不能为0。 判断时要抓住“一个未知数”“整式方程”“整理后最高次数为2”三个条件。例如 整理后为 不是一元二次方程； 的分母含未知数，不是整式方程，不能直接称为一元二次方程。 例：把 化为一般形式。展开、移项、合并后得 所以 辨认系数时，应先整理，且必须连同前面的符号一起看。 关于 的方程 在 时是一元二次方程；在 时变成 字母 是参数，判断的是未知数 的次数。 当二次项系数为0时，要看剩下的式子： 在 时是一次方程；若 如 没有解；若 则等式为 每个实数都是解。因此“二次项消失”不总是“变成一次方程”。 2 根的定义与代入的作用 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解，也叫方程的根。如果 是 的根，就有 代入不是只用来验算，也能帮助求参数和简化式子。 例：若2是方程 的一个根，则 得 若 是 的根，则 求这个式子的值，不必先算出 “求方程的根”应写出所有满足方程的实数。一个数代入不成立，就不是根；只找到一个根，并不能保证已经解完方程。 3 降次与不漏根 解一元二次方程的基本想法是降次：把二次方程转化为可以求解的一次方程或平方关系。因式分解法的依据是：这里的“或”表示任意一个因式为0，乘积就为0，并不要求两个因式同时为0。 等式两边加减同一个式子，或乘除同一个非零数，不改变方程的解。但是两边除以含有未知数的式子时，必须先考虑这个式子能否为0。 例：解 因为 所以移项后得到 即 于是 或 得 若在原方程两边直接约去 只会得到 从而漏掉 正确的简法是提取公因式，而不是把可能为0的因式约掉。 4 先看结构再选方法 看到平方形式，先考虑直接开平方；看到共同因式、平方差或明显可以分解的二次三项式，先考虑因式分解。结构不明显时，再考虑配方或求根公式。能够整体处理的式子，不必急着展开。 例如 宜直接开平方； 可分解为 用公式法较方便。 的一次项系数虽为偶数，也不意味着必须先配方。 几种解法都可能正确，选择时比较的是书写是否简洁、计算是否稳妥，以及是否能保留原式的结构。 5 直接开平方法 把方程化为 其中 再根据平方根的意义求解。若 则 有两个不同的实数根；若 则 有两个相等的实数根；若 则没有实数根。 例：解 直接开平方，得 所以 其中正、负两个平方根都不能漏。 特别注意，而不是对所有实数都等于 例如 的根是 或 6 配方法及其理由 配方的依据是 因此，要把 配成完全平方，应在两边同时加上 若二次项系数不是1，应先把它化为1。 例：解 移项并把二次项系数化为1，得 一次项系数是 它的一半是 平方为4，所以两边同加4，得 即 直接开平方，得 所以 配方时要检查三点：二次项系数是否已为1；所加的数是否为一次项系数一半的平方；等式两边是否同时加了这个数。不能只把左边改成完全平方而不改变右边。 7 求根公式从配方得到 对 其中 先除以 并移项，得 两边同加 得 记 把上式写成 若 则 从而 这就是一元二次方程的求根公式。 这样推导既说明公式为什么成立，也避免把 错写成 实际上 公式中的分母仍是 因为从 解一次方程即可得到。 例：解 这里 所以 8 判别式与根的情况 由 可知，在 的前提下： 时有两个不相等的实数根； 时有两个相等的实数根，均为 时没有实数根。 “两个相等的实数根”只对应一个不同的数。例如 的两个根均为2。题目若问不同实数根的个数，这种情形应计为1个，而不是2个。 公式法的顺序是：整理成一般形式，辨认带符号的 计算 判断有没有实根，再代入公式并化简。不要在 时继续写实数范围内的平方根。 要证明“无论参数取何实数值，方程总有实根”，可把判别式配成平方与常数之和。例如 的判别式为 由于平方非负，所以任意实数 都使方程有两个不相等的实数根。 9 因式分解法的四种常见结构 使用因式分解法，先把方程的一边化为0，再把另一边分解为两个一次因式的积，最后令每个因式分别为0。若乘积不等于0，不能直接令各因式为0。 提公因式： 可化为 所以 不要除以 而漏掉零根。 完全平方： 可化为 所以 完全平方也可以与直接开平方结合使用。 平方差： 可化为 即 得 保留两个整体比分别展开更短。 十字相乘：因为二次项来自 常数项来自 一次项来自交叉乘积 因此方程 的根为 和 10 十字相乘法与分组分解 一般地，要把 分解成这种形式，需要同时满足 十字相乘就是先看首项与末项的乘积，再检验交叉乘积之和是否等于一次项。 同一个式子也可以写成 这是拆项后分组提公因式的写法。它与十字相乘的结果相同，但过程和名称应分清。 有公因式时通常先提公因式；有平方差时先保留整体；试分解没有明显结果时，可以改用配方或公式法，不需要盲目试很多组数。 找不到整数因式，不等于没有实数根。例如 不能分解成两个整数系数的一次因式，但由直接开平方仍得 有无实数根应依据平方关系或判别式，不应依据是否容易十字相乘。 11 韦达定理及其证明 若 有两个实数根 其中 则 这称为一元二次方程的根与系数的关系，也叫韦达定理。 由求根公式，可取 两式相加，根号项相消，得 两式相乘，得 因此，在已经有实根的前提下，可写成 这个等式既能用于因式分解，也能帮助理解某个数在两根之间还是两根之外。 例：方程 的两根和为 积为 不能把根和写成 也不能漏掉二次项系数2。 12 用根和根积整理对称式 记 由完全平方公式， 若 则 分母不为0是使用这些式子的条件。 对 有 这些量不需要分别求出两个带根号的根。 由 只能先得到 若没有说明 或 求 时不能擅自只取正号。 13 先降次再整体求值 如果 是 的根，就可以用 替换二次项。含根的式子看起来次数较高，不代表一定要把根求出来再代入。这种替换还可以继续。例如 时，仍然只需保留根的一次式。 例：设 是 的两个根，求 由根的定义，所以原式等于 再如 虽然原式中两根所处的位置不对称，降次后仍可能组成根和。 但 仍保留单个根 不能只凭根和、根积确定一个数值。若题目不限定 是较大根还是较小根，它有两种可能值 14 从两根反过来构造方程 若两个数的和为 积为 则以它们为根、二次项系数为1的方程是 若要求二次项系数为非零数 就把各项同时乘以 已知原方程的两根和为 积为 新根为 则新根和为 积为 新根为 时，必须先有 其和为 积为 例：原方程为 以 为根的方程可写成 以两根的倒数为根的方程为 两次都只计算新根的和与积，不必先求原根。 15 公共根与隐藏的同一方程 两个方程有公共根时，可把这个根同时代入，再将两个等式相减，消去共同的二次项。相减只是找到公共根必须满足的条件，求出候选后仍要代回原方程。 例： 与 有公共根 且 相减得 所以 代回得 即 条件 在这里保证可以推出 若 由于两项均非负，可得 因此 都是同一个方程的根。但只有进一步知道 才可以直接认定它们是两个不同根并使用 否则也可能取同一个根。 16 倒数变形先检查非零与不同 有时两个数满足的式子外观不同，经过取倒数、平移等变形，会变成同一个方程。变形后先检查两个数是否不同，再用韦达定理。 例： 满足 且 第二个方程说明 两边除以 得 所以 与 都是 的根。由 可知 故它们是两个不同根，于是 若去掉 两数可能相等，上面的根和根积就不一定能直接使用。“非零”和“不同”都应解释，不应只作为题面上看似多余的条件。 17 实数条件也能反过来限制参数 若实数 的和、积含有参数，可以构造以 为根的一元二次方程。因为两个根都是实数，所以判别式必须非负。等价地，也可以直接利用 例：实数 满足 以 为根的方程为 其判别式为 所以 也可直接算得 如果题目问 的最大值，还要检查 时是否真的有符合条件的 此时取 确实满足两个等式，所以最大值为3。不能只算出一个形式上的上界就结束。 例如，若声称存在实数 满足 则 与平方非负矛盾，因此这样的实数不存在。这也说明给定任意两个数作“根和、根积”，并不一定有实根。 18 含参方程的检查顺序 先检查方程类型，再检查实根条件，接着使用题目给出的根关系，最后检查分母、根的顺序与实际限制。由根关系算出的参数只是候选，必须符合原题全部条件。 例：求 有实数根时 的范围。若 方程为 有实根；若 判别式为 有实根要求 合起来得到 若题目改成“该一元二次方程有实数根”，就还必须满足 答案改为 且 这两个问法的差别来自题目是否已经规定它是二次方程。 出现倒数、分式或平方两边的步骤时，要额外检查分母是否为0、平方前两边的符号是否符合要求。不能把必要条件误当成已经足够的条件。 19 根的符号与平移后的根 在已知有实根的前提下，设两根和为 积为 若 两根异号；若 且 两根都为正；若 且 两根都为负。若 至少有一个根为0，需要单独判断另一根。要求两根不相等时，还应有 要判断两根是否都大于一个数 可以判断 是否都为正。它们的和为 积为 这样就把比较大小的问题转成了判断两个新数的正负。 例：方程 的判别式为 总有两个不同实根。若要求两根都大于1，则 的和为 积为 两者都为正当且仅当 且 所以 再看 它小于0时，两个因式异号，说明 夹在两根之间；大于0时，说明 在两根同一侧，但还不能单凭这个正号断言两根都在哪一边，需要结合根和等条件。 20 整数根问题怎样完整分类 若两根都是整数，可结合根和、根积找整数条件。乘积是确定的非零整数时，可以列因数对；乘积为0应单独讨论。正负因数、根的交换、参数的原有范围都要检查。 例：方程 的两根 都是整数。由韦达定理，所以 整数 的乘积为 不计交换，只有 或 两组。分别得到 或 再由 得 或 代回原方程，两组均成立。 这里的关键是先把含参数的和积变成固定乘积，再列整数因数，不是先盲试许多 遇到可直接分解的方程，也可先求根再判断整数条件。例如 在 时可得到根1和 再根据题目要求检查 是否为整数。 21 增长 下降与计数中的等量关系 设原量为 连续两次按相同增长率 增长，第一次后的量为 第二次后的量为 若按相同下降率下降，则为 每次变化的基数不同，不能写成 或 若数量始终为正且确实下降，下降率应满足 从而 解方程时不能保留超过100%的下降率。 例：某数量由100经过两次相同增长达到121。设每次增长率为 则 得 结合增长率非负及数量为正，取 即10%；另一个代数结果 不符合题意。 单循环比赛中，每支队伍与其他 支各赛一次，但每场会被计算两遍，因此总场数为 若共有28场，则 得 或 队数须为正整数，所以取8支。 数字、人数、件数等问题除了等式，还可能要求正数或整数。把这些限制写在设未知数或检验步骤中，不能只解完方程就给出不合理答案。 22 面积与围栏先写长度限制 边框、道路和围栏问题，应先在图上标清每条长度。等宽边框通常要从长和宽两端分别减去宽度；交叉道路要避免重复扣除面积；靠墙的一边是否用围栏、分隔用了几条，都应按题意判断。 例：长12、宽8的矩形纸板，四周留等宽边框，内部面积为60。设边框宽为 则 并且 整理得 候选 或 只有 符合长度限制。 围栏题若已列出面积 仍要保留各边长为正、靠墙边不超过墙长等条件。两个代数根都满足面积方程，也可能只有一个能画成题目要求的场地。 应用题的检验包括两个不同问题：这个数是否满足所列方程；这个数是否符合实际条件。后一种不合适的数应说明“不符合题意，舍去”，不要把所有舍去的根一概称为运算造成的增根。 23 利润模型与能否达到目标 总利润等于“单件利润乘以销量”，即 销量与价格的变化关系要先写清；销售收入不等于利润。还要检查售价范围、销量非负、库存上限等条件。 例：商品进价20元，原售价30元，每天售100件，每降价1元多售20件。设降价 元，在不考虑库存限制且 时，利润为 若目标为1080元，则 得 或4，两者均符合范围；要降价较少取1，要销量较多取4。 配方得 由于 在允许范围内，最大利润确能取到1125元。若额外条件排除了这个 就不能直接把1125作为实际最大值，应根据范围比较平方的大小。 例如围栏面积写为 但墙长限制要求 则 所以 并在 时取到。这里用的是平方大小比较。 24 动点与速度问题的检查 动点题先找运动的起点、终点和到端点的时间，再用“速度乘以时间”写线段长。若有转弯或折返，转弯前后的线段关系可能不同，要分别列式；每段解出的根必须落在相应的时间范围内。 例：在直角的两条边上，厘米，厘米。点P从A向B以每秒1厘米的速度运动，点Q从B向C以每秒2厘米的速度运动，任一点到终点时同时停止。设运动时间为 秒，则 厘米，厘米， 的面积为 平方厘米。面积为12平方厘米时，解得 或6，分别为2秒和6秒，都在运动范围内。若题目改为折返，就不能继续把 一直写成 速度题若最初列出的是分式方程，去分母后虽可能得到二次方程，仍必须检查原分母不为0。例：水流速度为每小时2千米，船顺流、逆流各航行24千米，总用时5小时。设船在静水中的速度为每小时 千米，则 且 去分母得 解得 或 结合 取 即静水速度为每小时10千米。代回后顺流用时2小时，逆流用时3小时，总用时5小时，答案成立。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）。 A. B. C. D. 答案 D A 的分母含未知数，不是整式方程；B 含有两个未知数；C 整理后为 D 整理后为 2. 把方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（　　）。 A. B. C. D. 答案 B 移项整理得 故三个系数依次为 3. 关于 的方程 是一元二次方程，则（　　）。 A. B. C. D. 答案 C 必须有二次项系数 所以 4. 已知 是方程 的一个根，则 的值为（　　）。 A. B. C. D. 答案 A 由根的定义得 所以 5. 方程 的解为（　　）。 A. B. C. D. 或 答案 D 或 解得 或 6. 用配方法解方程 正确的变形是（　　）。 A. B. C. D. 答案 B 两边都加 得 7. 小明解方程 时，两边同除以 得 所以 他的解答（　　）。 A. 完全正确 B. 多得了根 C. 丢失了根 D. 丢失了根 答案 C 原方程移项得 有 或 未经说明就除以可能为 的 丢失了根 8. 将 分解因式，正确的是（　　）。 A. B. C. D. 答案 A 与 的交叉乘积为 与 的交叉乘积为 和为 所以 9. 不解方程，判断 的实数根情况（　　）。 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根且不是重根 D. 没有实数根 答案 D 所以没有实数根。 10. 已知方程 的两个根为 则 与 分别为（　　）。 A. B. C. D. 答案 B 由根与系数的关系， 11. 某校图书馆电子阅读资源由 种增加到两年后的 种。设这两年的年平均增长率为 则可列方程（　　）。 A. B. C. D. 答案 A 第一年后为 种，第二年后为 种，所以 12. 已知 是方程 的一个根，则 的值为（　　）。 A. B. C. D. 与所取的根有关 答案 C 所以 原式 13. 关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为（　　）。 A. B. 且 C. D. 且 答案 D 先有 即 再由 得 合并得 且 14. 用 米围栏和一面可用长度为 米的墙围成矩形，靠墙的一边不用围栏，也不留门。若矩形面积为 平方米，则垂直于墙的一边长为（　　）。 A. 米 B. 米或 米 C. 米 D. 米 答案 C 设垂直于墙的一边为 米，则靠墙边长为 米。由 得 时靠墙边为 米，超过墙长； 时靠墙边为 米，符合条件。 15. 方程 的所有实数解为（　　）。 A. B. 或 C. 或 D. 答案 B 移项并用平方差公式，得 即 所以 或 16. 实数 满足 则 的所有可能值为（　　）。 A. B. C. 或 D. 或 答案 C 两个根式均非负，和为 所以 且 都不为 若 原式为 若 它们是方程 的两个不同实数根，所以 原式 该方程有两个不相等的实数根，上述同取一根、分取两根的情况都能发生。 17. 若无论实数 取何值，关于 的方程 都有实数根，则 的取值范围为（　　）。 A. B. C. D. 答案 B 当 时，判别式为 题意要求此时也有实数根，所以必须有 当 时，对任意实数 所以 的每个值都符合题意。 18. 阅读材料：解含有相同代数式的方程时，可以把这个代数式看作一个整体。例如设 求出 后，还须解 不能把 的个数当作 的个数。 关于 的方程 中， 取下列哪个值时，方程恰有 个不同的实数根（　　）？ A. B. C. D. 答案 B 设 原方程变为 当 时， 或 只能取 由 或 得 个实数根。 当 时， 或 前者给 后者给 共有 个不同实数根。 当 时， 或 分别给 及 共 个不同实数根。 当 时，只有 一个值，给 或 共 个不同实数根。 19. 关于 的方程 的两个根都是整数，则 的所有可能值为（　　）。 A. B. C. 或 D. 或 答案 D 设两个整数根为 则 两式相减消去 得 所以 两个整数因数不计次序只能为 或 所以 或 由 得 或 代回两个参数值，分别得到根 及 均为整数。 20. 是一个直角三角形的三边长。方程 有两个相等的实数根，且 是方程 的两个根，则 的值为（　　）。 A. B. C. D. 答案 A 第一个方程有重根，所以 即 由第二个方程知 所以 是 的平均数；直角三角形不可能三边相等，因此斜边是 中较大的一边。由勾股定理， 得 结合 得两边为 因此 三边 符合条件。 三 填空题 21. 关于 的一元二次方程 有一个根为 则 ________。 答案 代入 得 故 或 又 排除 所以 22. 方程 的解为________。 答案 或 所以 解得 或 23. 方程 的解为________。 答案 或 即 所以 或 24. 方程 的解为________。 答案 或 十字相乘：故 解得 或 25. 方程 的解为________。 答案 或 即 所以 或 26. 方程 配方后可写成 则 ________。 答案 两边同除以 得 两边同加 得 27. 关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ________。 答案 所以 28. 方程 的两个根为 则 ________。 答案 故 29. 两个实数的和为 积为 以这两个实数为根且二次项系数为 的一元二次方程是________。 答案 以和 积 构造方程 代入 得 30. 一种商品原价 元，经两次相同百分比的降价后售价为 元，则每次降价的百分比为________。 答案 设每次降价的百分比为 其中 所以 由 得 所以 31. 某次篮球比赛采用双循环赛制，每两队之间比赛两场，共比赛 场，则参赛队数为________。 答案 设参赛队数为 则 即 为正整数，所以 32. 方程 的两个根为 则 ________。 答案 原式 33. 关于 的一元二次方程 的两个实数根异号，则 的取值范围是________。 答案 异号根的积为负数，即 所以 此时二次项系数不为 且 符合题意。 34. 方程 的两个实数根为 且 则 ________。 答案 联立 得 所以 35. 在直角三角形 中， cm， cm。点 从 沿 以 cm/s 的速度运动，点 同时从 沿 以 cm/s 的速度运动，任一点到达所在边的终点时两点同时停止。当 的面积为 时，运动时间为________。 答案 s 或 s 设运动时间为 s，由停止条件知 cm， cm。 即 分解得 故 或 两者都在范围内。 36. 实数 分别满足 且 以 和 为两根、二次项系数为 的一元二次方程为________。 答案 第二个等式表明 两边除以 得 与 都是 的根；由 知 所以它们恰为该方程的两个不同根。 新两根的和为 积为 故所求方程为 37. 方程 的两个实数根为 且 若 则 ________。 答案 原方程为 所以两个根为 由 知 若 则 故 得 只取 若 则 故 得 与 矛盾，舍去。 38. 关于 的方程 的两个根为 与 则 的所有可能值为________。 答案 或 由根与系数关系，即 又 所以 若 得 根为 若 得 根为 两组均符合题意。不能直接除以 否则会漏掉第一组。 39. 已知 为整数，方程 的两个实数根相差 则 的最小值为________。 答案 设两根为 由 得 所以 即 由于 有 又 为整数，所以 故 即 取 （或 有 两根之差的绝对值为 所以该最小值确能取到。 40. 关于 的一元二次方程 有两个实数根 （允许相等），则 的最小值为________。 答案 时方程变成一次方程 不符合题设，所以 整理得 故 且 所以 原式 由于 原式 当 时，原方程为 确得 四 解答题 写出必要的计算、推理或列方程过程，并检查结果是否符合题意。 41. 用直接开平方法解下列方程。 （1） （2） 答案 （1）（2） 或 （1）所以 （2）所以 解得 或 42. 用配方法解下列方程，并写出配成完全平方的过程。 （1） （2） 答案 （1）（2） （1）两边同加 得 所以 （2）两边同除以 得 两边同加 得 所以 43. 用公式法解下列方程。 （1） （2） 答案 （1）（2）没有实数根。 （1） （2）所以方程没有实数根。 44. 用因式分解法解下列方程，并指出每题分解因式所用的方法。 （1） （2） （3） （4） 答案 （1）（2）（3）（4） （1）提公因式：所以 或 （2）平方差公式：即 所以 或 （3）完全平方公式：所以 （4）十字相乘：所以 解得 或 45. 已知 是方程 的一个根。 （1）求 的值； （2）解这个方程，并把求得的另一个根代入原方程检验。 答案 另一个根为 （1）代入 得 所以 （2）原方程为 即 解得 或 检验 左边 等于右边，所以 是原方程的根。 46. 关于 的方程 分别在下列情况下求 的取值范围。 （1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根。 答案 （1）（2）（3） 二次项系数为 判别式为 （1）得 （2）得 （3）得 47. 已知方程 的两个根为 不直接求根，求下列各式的值。 （1）（2）（3） 答案 （1）（2）（3） 由根与系数的关系， （1） （2） （3） 48. 某社区第一年回收废纸 吨，第三年回收 吨。假设从第一年到第二年、从第二年到第三年的增长率相同。 （1）求年平均增长率； （2）第二年回收废纸多少吨？ 答案 年平均增长率为 第二年为 吨。 （1）设年平均增长率为 由增长的意义知 列方程 得 所以 得 另一个代数解 不合题意，舍去。 （2）（吨）。答：年平均增长率为 第二年回收 吨。 49. 如图，矩形场地 中， m， m。把一根长 m 的绳子依次拉直为 两段，其中 在线段 上，两段绳长之和等于 m。 （1）求所有符合条件的 的长，并检验所得位置； （2）若换成一根长 m 的绳子，能否仍按上述方式连接？请说明理由。 答案 （1） m 或 m；（2）不能。 （1）设 m， m，则 m。由勾股定理， 两式相减，得 所以 代入 整理得 解得 或 时， m、 m； 时， m、 m，两者之和均为 m，且两点均在线段 上，故均符合题意。 （2）设 m、 m。若绳长为 m，同理有 相减得 代入并整理得 其判别式 不存在实数解，所以不能按要求连接。 50. 已知关于 的两个方程 和 有一个公共根，且 （1）求这个公共根，并求 （2）若其中一个方程的另一个根为 求 答案 公共根为 （1）设公共根为 则 两式相减，得 由 得 代回得 （2）两个方程分别可写成 与 所以两个方程各自的另一个根分别为 其中一个方程的另一个根为 另一个为 故 51. 已知关于 的方程 分别回答下列问题。 （1）求方程有两个不相等实数根时 的取值范围； （2）若两个根都为正数（允许相等），求 的取值范围。 答案 （1）（2） 且 （1）由 得 （2）“两个根都为正数”允许两个根相等，需同时满足 根和 根积 分别得 合并得 且 当 时为两个相等的正根，也应保留。 52. 一个矩形的长和宽分别为 cm、 cm。现要设计另一个矩形，使它的周长和面积都为原矩形的 倍。 （1）求新矩形的长和宽； （2）原矩形的两边长为任意正数 是否一定存在周长和面积都为原矩形的 倍的矩形？请用一元二次方程说明理由； （3）若把第（2）问中的 改为 上述结论是否仍对任意原矩形成立？请举例说明。 答案 （1） cm、 cm；（2）一定存在；（3）不一定。 （1）设新矩形两边为 cm，则 所以两边是 的两根，解得 两数均为正，符合矩形边长要求。 （2）所求两边应满足 构造方程 所以有两个不同实数根。又根和为正、根积为正，所以两根都为正，能作为矩形的两边。因而一定存在。 （3）不一定。例如原矩形是边长 cm 的正方形；新矩形若同时满足要求，应有两边和为 cm、积为 对应方程 的判别式为 故这样的矩形不存在。 53. 关于 的方程 的两个根为 （1）证明：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）求 且 时 的取值范围； （3）在第（2）问的条件下，若 求 答案 （2）（3） （1）故结论成立。 （2）两根都大于 等价于 都为正；其和为 积为 所以同时要求 即 两根都小于 等价于 都为正；其和为 积为 所以同时要求 即 合并得 （3）在此范围内两个分母均不为 左边 由 得 所以 或 只有 满足第（2）问的范围，故 54. 实数 满足 （1）求 的取值范围； （2）求 的最小值，并求此时 的值。 答案 （1）（2）最小值 此时 （1） 可看作方程 的两个实数根。故 得 反过来，当 时，该方程确有实数根 它们的和、积恰好满足原条件，因此所得范围完整。 （2） 因为 所以 有 故 注意不能取配方中的 因为它不在允许范围内。 当 时，得到 代入原条件均成立，所以最小值为 55. 方程 的两个根分别为 其中 （1）求 并求两根都为正数时 的范围； （2）若 是一个直角三角形的三边长，求 及这个三角形的面积。 答案 （1）（2） 时面积为 时面积为 （1）配方得 所以 两根都正等价于 故 （2）由 斜边只可能是 或 若 为斜边，则 得 由 取 此时两边正且满足勾股关系，面积为 若 为斜边，则 得 所以 三边为 符合题意，面积为 56. 如图，用总长 米的围栏，借一段长 米的直墙围成矩形场地，并用一道垂直于墙的围栏将场地分成两部分。围栏均用尽，不留门。设垂直于墙的一边长为 米。 （1）若场地面积为 平方米，求所有合适的边长； （2）能否围出面积为 平方米的场地？求能围成的最大面积及相应边长。 答案 （1） 米与 米；（2）能，最大面积 平方米，边长 米与 米。 靠墙边长为 米，由墙长和边长条件， 且 所以 （1）即 解得 或 时，靠墙边为 米，超过墙长； 时，靠墙边为 米，符合条件。所以边长为 米、 米。 （2）设面积为 平方米，则 由于 有 故 当 时，靠墙边为 米，全部条件均满足，面积恰为 平方米。 不能只根据平方非负取 它对应的靠墙边为 米，超过墙长。 57. 某商品每件进价 元，原售价 元。调查显示，售价每降低 元，每日需求量就从 件增加 件；在本题范围内按此关系计算。商店每天最多可供 件，实际销量等于需求量与 件中的较小者。设降价 元，不计其他费用。 （1）每天利润为 元时，有哪些定价方案？ （2）求每天利润的最大值及相应售价。 答案 （1）售价 元或 元；（2）最大利润 元，售价 元。 需求量为 件，达到 件时 当 时，利润 当 时，实际只能售出 件，利润 （1）第一种情况下，得 或 但 不在本段范围内，舍去。 第二种情况下，得 符合 所以售价可为 元或 元。 （2）第一种情况下，当 时需求为 件，不超过库存，利润能取到 元。 第二种情况下，所以 比较可知，每天最大利润为 元，售价应为 元。 58. 某活动室要给一个长 cm、宽 cm、高 cm 的长方体仪器制作纸盒。仪器必须按长对长、宽对宽的方向平放，不能旋转；忽略纸板厚度及粘接边，不留装配空隙。现有两种方案。 方案一：用长 cm、宽 cm 的纸板，从四角各剪去边长为 cm 的正方形，折成无盖盒；盒底面积要求为 方案二：用长 cm、宽 cm 的纸板，按图中的折线折成一个有平盖的盒子。盒高为 cm，盒底与盒盖的长、宽分别相等，盒底面积要求为 图中 分别表示盒底的长、宽，灰色部分剪去，虚线为折线。 （1）先用含 的式子表示方案二中的 再分别求两种纸盒的盒高及盒底长、宽； （2）小明认为“方案一的容积更大，所以一定能放入仪器”。你同意吗？应选择哪种方案？说明理由。 答案 方案一：高 cm，底长 cm、底宽 cm；方案二：高 cm，底长 cm、底宽 应选方案二。 （1）方案一要求 底长、宽为 列方程 整理得 即 只有 符合 所以盒高 cm，盒底长 cm、宽 cm。 方案二中，沿纸板长边有 沿宽边有 所以 由各长度为正，得 列方程 整理得 即 只有 符合范围，所以盒高 cm，盒底长 cm、宽 cm。 （2）不同意。方案一容积为 虽大于仪器体积 但盒底宽 仪器不能按要求平放。 方案二的底长 底宽 盒高 三项尺寸均符合要求。因此应选择方案二；只比较体积不能判断是否放得下。 59. 如图，矩形 中， cm， cm。点 从 沿 以 cm/s 的速度运动；点 从 沿 以 cm/s 的速度到达 后，立即以原速沿 向 运动。两点同时出发， 到达 时同时停止。设运动时间为 s， 的面积为 （1）求运动的总时间，并分别用含 的式子表示 到达 前、后的 （2）求 时所有的 答案 （1）总时间 s； 时 时 （2） （1） 到 用时 s，沿 用时 s，所以总时间为 s。此时 尚未到 当 时，用矩形面积减去三个角上的直角三角形面积： 当 时，点 到 的距离始终为 cm，所以 （2）第一阶段，得 所以 或 均在 内。 第二阶段，得 在 内。故所有时刻为 s、 s、 s。 60. 关于 的一元二次方程 中， 是实数。 （1）求 必须满足的条件，并证明该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若两个根均为整数，求 答案 （1）且总有两个不等实根；（2） （1）二次项系数不为 故 即 所以总有两个不相等的实数根。 （2）原方程可分解为 两根分别为 均不为 由 得 从而 为整数，所以 为乘积为 的两个整数。若它们分别为 则 与根不为 矛盾；若分别为 则 由 得 代回原方程为 两根为 符合题意。不能因两根为整数就预先假定实数参数 是整数。 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $