第一章一元二次方程（期中知识清单）九年级数学上学期新教材苏科版

第一章 一元二次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 一元二次方程的概念 1.1 一元二次方程的定义 像方程 ，， 这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 的方程叫作一元二次方程。一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根。 示例：，， 都是一元二次方程； 中未知数的最高次数是 ，不是一元二次方程。 1.2 一元二次方程的一般形式 关于 的一元二次方程的一般形式是 （，， 是常数，）。其中，，， 分别叫作二次项、一次项和常数项，， 分别叫作二次项系数、一次项系数。 示例：方程 化为一般形式是 ，二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ，，。 注意：一般形式中必须限定 ，否则二次项消失，方程就不再是一元二次方程。 示例：当 时， 变为 ，是一元一次方程。 2. 一元二次方程的解法 2.1 直接开平方法 方程 的根的情况 一般地，根据平方根的意义，对于方程 ： 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 示例： 的两个实数根为 ，； 的根为 ； 没有实数根。 方程 的根的情况 一般地，根据平方根的意义，方程 （， 为常数，）的两个实数根为 。 示例： 的两个实数根为 ，。 2.2 配方法 把一元二次方程通过移项、配方写成 的形式，当 时，就可以根据平方根的意义求出方程的解。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 示例：解 ：移项得 ，两边都加上一次项系数 的一半的平方 ，得 ，即 ，开平方得 ，所以 ，。 注意：配方的关键是”方程两边都加上一次项系数一半的平方”；二次项系数不是 时，先化为 再配方。 2.3 因式分解法 当一个一元二次方程的一边是 ，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 示例：解 ：左边分解因式得 ，所以 或 ，即 ，。 2.4 求根公式与公式法 求根公式 一元二次方程 （）的求根公式为 示例： 中 ，，，代入求根公式得 ，即 ，。 公式法 在一元二次方程的一般形式下，当 时，把各项系数 ，， 的值直接代入求根公式，求方程的根的方法称为公式法。 注意：确定 ，， 的值时要注意它们的符号。 2.5 根的判别式 式子 可以判别一元二次方程的根的情况，我们把式子 叫作一元二次方程 （）的根的判别式，通常用希腊字母”“表示，即 。 示例： 中，。 判别式与根的情况的关系 对于一元二次方程 （）： 的取值 根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 示例： 中 ，有两个不相等的实数根； 中 ，有两个相等的实数根； 中 ，没有实数根。 3. 一元二次方程的根与系数的关系 3.1 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 （）有两个实数根 ，，则 上述根与系数的关系也称为韦达定理。 示例： 中，，，不必解方程即可求出。 注意：应用根与系数的关系时，须先确认方程有两个实数根（）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 特殊值根判定： 与 方程 （）化为一般形式后：若 ，则有一根 ，另一根为 ；若 ，则有一根 ，另一根为 。 1.2 缺项方程的根的特征 且 时， 的两根互为相反数； 时， 有一根为 ，另一根为 。 1.3 两根对称式速算公式 设 ，，则 ；；；。 【使用提醒】使用前先验证 ，方程确有两个实数根。 1.4 两根符号判定 两正根： 且 且 ；两负根： 且 且 ；一正一负：。 【使用提醒】判两正根、两负根时， 与和、积的符号条件缺一不可；一正一负只看 （此时 恒正，不必再验证）。 1.5 逆用根与系数构造方程 以 ， 为两根的一元二次方程可取 。 1.6 配方求二次三项式的最值 ： 时在 处取最小值 ， 时取最大值。如 ，最小值为 ，此时 。 【使用提醒】若题目限定了 的取值范围，最值点需结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解法选择四步法 依次观察：①缺常数项先提公因式，形如 的直接开平方；②能十字相乘（见”十字相乘法”）先分解；③不易分解用公式法，先算 再代入；④配方法只在题目指定或推导时使用。如解 ：，，，不必用公式法。 2.2 判别式求参数范围的规范流程 化一般形式（系数含参数时先写明二次项系数 ）→ 算 → 按”根的情况”列等式或不等式 → 解出参数并回检系数 。特例：题目只说”有实数根”且二次项系数含参，须分系数为 （一次方程）与不为 （）两类，取并集。如 有实数根： 或 ，综上 。 2.3 不解方程求对称式的值 化一般形式 → 确认 → 由根与系数的关系写出 与 → 把目标式变形为只含 、 的对称式（用 1.3），整体代入。如 ：，，则 。 2.4 利用根的定义降次求值 把根 代入方程得 ，即 ，逐次替换降次后整体代入。如 是 的根，则 。 2.5 根据定义求参数（“一元二次方程”双条件） 含参方程是”一元二次方程”须同时满足：最高次数为 ，且二次项系数 。先令指数等于 ，再排除使系数为 的值。如 是一元二次方程： 且 ，故 。 2.6 换元法解复杂方程 同一代数式（如 ）重复出现两次以上时，设其为 ，先解 的一元二次方程，再逐个回代解 。如 ：设 ，得 或 ； 时 或 ； 时无实数解，舍去。 【使用提醒】回代后无实数解的 值一律舍去。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方速记 ，即加”一次项系数一半的平方”；二次项系数不是 先化为 ； 型整体配成 避免分数 十字相乘法分解 找 ， 使 且 ，则 ，解方程时令每个因式为 ，根为 ， 计算防错顺序 先化一般形式、确认系数符号再算 ： 为负时 加括号， 先定符号再乘 ： 夹逼法估算无理数根 （ 为非负整数）时，，据此确定根的整数部分或区间 的正根 ，由 得 配方法比较大小 / 判断非负性 比较 、 就看 的符号：作差后配方写成”平方 常数”判定正负，并单独说明取等条件 ，故 ，当 时取等号 黄金分割数 叫作黄金分割数；线段比例问题 可设 ，，化为 求解 时较长段 4. 常见考试模型 4.1 平均增长率 / 下降率模型 公式：两期 ，推广 期为 （ 为基量， 为变化率，增长用加、下降用减）。 限定：下降率须 ，负根舍去。 示例：如 ，（舍负），。 【使用提醒】年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数），比较”哪个下降得快”应算下降率而非下降额。 4.2 单循环 / 双循环与传播模型 公式：单循环（每两队赛 场）总场次 ；双循环 ； 人两两握手同单循环；传播问题从 人开始每轮每人传染 人，两轮后共 人（起始 人则为 ）。 限定：队数、人数为正整数，负根舍去。 示例：如单循环共 场：，（舍 ）。 【使用提醒】双循环总场数 必为两个连续正整数的乘积，如 可以、 不可以，可先据此判断真伪再解方程。 4.3 面积类模型（边框、道路、围栏） 公式：四周镶等宽 的边框：；内部修等宽 的道路：；一面靠墙、篱笆长 ：（ 为垂直于墙的边）。 限定：解出的 须使每条边长为正，否则舍去。 示例：如挂图长 、宽 四周镶等宽纸边后总面积 ：，（舍 ）。 4.4 数字问题模型 公式：连续整数设 ，，；连续奇数、偶数设 ，，；两位数 十位数字 个位数字。 限定：解出的 须使每个数位符合实际（如十位数字不为 ）。 示例：如两个连续奇数之积为 ：，（舍 ），即 ，。 4.5 营销利润模型 公式：总利润 （原单件利润 变价 ）（原销量 每变价 元的销量变化 ），即 型（涨价则 ）。 限定： 受实际限制：售价高于进价、销量非负，不合题意的根舍去；问”最大利润”用 1.6 配方求最值。 示例：如 ，即 ，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参方程是”一元二次方程”，漏了二次项系数 ≠ 0 典例：若 是关于 的一元二次方程，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“一元二次方程”的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 2、二次项系数不为 0。学生只盯着”次数”这个显性条件列式，把”系数不为 0”当成理所当然，忽略了 时二次项消失、方程退化为一元一次方程。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 0。 易错点 2：“方程有实数根”不等于”二次方程有实数根”，漏讨论二次项系数为 0 典例：关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 错解：方程有实数根，则 ，即 ，所以 或 。 正解：① 当 即 时，方程为 ，不成立，无实数根；② 当 时，，得 或 ，且 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”有实数根”直接翻译成”“，默认方程已经是二次方程；当二次项系数含参数时，必须先讨论系数为 的退化情形——此时方程可能是一次方程（有根），也可能是矛盾方程（无根）。本题恰好是矛盾方程， 必须剔除；而”有两个不相等的实数根”类题目则必须强调系数 ，两种问法的隐含条件不同。 易错点 3：两边约去含未知数的因式，丢根 典例：解方程：。 错解：两边同除以 ，得 。 正解：移项得 ，即 ，所以 或 ，即 ，。 原因：思维层面的解法错误——把解一元一次方程时”两边同除以同一个非零数”的习惯，迁移到了含未知数的式子上。 的值随 变化， 时它恰为 ，两边同除导致失根。因式分解法解方程的依据是”两个因式之积为 ，则至少一个因式为 “，必须先移项使一边为零，再分解降次，绝不能随意约去含未知数的因式。 易错点 4：完全平方式只配正的一次项系数，漏负值 典例：若 是完全平方式，求 的值。 错解：因为 ，所以 ，即 。 正解：完全平方式要求一次项系数为 ，即 或 ，解得 或 。此时原式分别为 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”完全平方式”默认为” 的形式”，忽略了 也是完全平方式，一次项系数可以取负。根源是对完全平方公式 中”“只记了”＋“。凡”待定系数 常数的两倍”构造完全平方式，都要成对取值。 易错点 5：实际问题的解不检验，保留不合题意的根 典例：一幅长 、宽 的矩形风景画四周镶等宽金色纸边，要使整个挂图面积为 ，求金色纸边的宽。 错解：设纸边宽 ，则 ，解得 ，。所以纸边宽为 或 。 正解：解得 ，。检验：纸边宽度不能为负， 不合题意，舍去。所以金色纸边的宽为 。 原因：忽略隐含条件。列方程只保证了”面积等于 “这一数量关系，但根必须回到实际情境检验：宽度为正。学生潜意识认为”方程解出来就是对的”，缺少”解方程 → 检验 → 作答”的完整意识；一元二次方程有两个根，应用题舍根是常态而不是例外。 易错点 6：用根与系数的关系前不验证 典例：已知一元二次方程 的两根为 ，，求 的值。 错解：由根与系数的关系得 ，，所以 。 正解：先看根是否存在：，方程没有实数根，因此 ， 不存在， 的值无从谈起。 原因：忽略使用前提。根与系数的关系成立的前提是方程有实数根（），学生一看到含 、 的题目就直接套公式求值，跳过了”方程是否有实数根”的验证。这类题目正是围绕这个前提设坑：系数凑出 ，错的不是计算而是第一步。 学科网（北京）股份有限公司 $