专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解一元二次方程的概念，能够识别一元二次方程，会将方程整理为一般形式，准确找出二次项、一次项、常数项及各项系数。 2.理解一元二次方程根的意义，会检验一个数是否是一元二次方程的根。 3.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程结构特点灵活选择解法。 4.了解求根公式的推导思路，熟记求根公式，规范运用公式法解方程。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.由一元二次方程的定义求参数 题型4.判断是否是一元二次方程的解 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.一元二次方程的解的估算 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 题型8.解一元二次方程——配方法 题型9.配方法的应用 题型10.因式分解法解一元二次方程 题型11.公式法解一元二次方程 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 题型15.解分式方程（化为一元二次） 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 【知识点一、一元二次方程的概念】 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0。 其中：ax2 为二次项，a是二次项系数；bx为一次项，b是一次项系数；c为常数项。 提示：a≠0是一元二次方程必备条件；b、c可以为 0。 经过整理后，才能判断一个方程是不是一元二次方程。 【知识点二、一元二次方程的根】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也称为方程的解。 检验方法：将数值代入方程左右两边，若两边的值相等，则该数是方程的根。 【知识点三、一元二次方程的解法】 1.直接开平方法： 适用形式：(x+m)2=n (n≥0)，依据平方根的意义直接开平方求解。 当n>0，方程有两个不相等的实数根；当n=0，方程有两个相等的实数根；当n<0，方程无实数根。 2.配方法： 基本思路：通过变形把方程转化为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。 步骤：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→写成完全平方式→开平方求解。 3.公式法： 对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当-4ac≥时，求根公式：x=。 步骤：（1）化为一般形式，确定a,b,c的值（2）计算判别式Δ=b2-4ac；（3）若Δ≥0，代入公式求根；若Δ<0，无实数根。 4.因式分解法：基本思路：移项使方程右边为0，将左边分解成两个一次因式的乘积，转化为两个一元一次方程求解。 依据：若A·B=0，则A=0或B=0。 ✵要点提示 1.判断一元二次方程，需要先整理化简，核心条件是二次项系数a≠0。 2.写各项系数时，要连同前面的符号一起确定，注意负号。 3.配方法配方前，先将二次项系数化为1；配方时两边同加一次项系数一半的平方。 4.运用公式法解方程，必须先化为一般形式，再确定a、b、c。 5.因式分解法解方程，方程右侧必须为0；不要直接约去含未知数的因式，防止丢根。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 3．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．0 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是_________． 3．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．已知是方程的根，则代数式的值为（     ） A．7 B． C．5 D． 2．已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．已知一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A． B．3 C．0 D．0或3 2．若m是方程的一个根，则的值为__________ 3．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（     ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 2．根据下表的对应值，可估算方程的一个根的范围是__________． 3．小颖在探索一元二次方程的近似解时列表如下：观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是_____． 0 1 2 5 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 1．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 3．已知关于的一元二次方程的两根为，其中一个根为 (1)求k的值； (2)求另一个根，并求的值． 题型8.解一元二次方程——配方法 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 3．若m是非负整数，且关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的值及这时方程的根． 题型9.配方法的应用 1．无论为何实数，二次三项式的值均不小于某数，则这个数是（     ） A． B． C． D． 2．实数，，满足，． （1）当时，则__________； （2）实数的取值范围是__________． 3．阅读材料：我们可以利用配方法解决最值问题 例如：， ， 最小值为． (1)填空∶__________； (2)求代数式的最大值； (3)已知长方形周长为，求长方形面积的最大值． 题型10.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根为______． 3．解方程： (1)； (2)． 题型11.公式法解一元二次方程 1．方程的一个根是（     ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的根，则的值为_________． 3．解下列方程： (1)； (2)． 题型12.换元法解一元二次方程 1．若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（     ） A．或 B． C．或 D． 2．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 3．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____．（填序号）①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根． 3．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有一个根为2，求代数式的值． 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 1．定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．若关于x的方程有两个相等的实数根，则________ 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 题型15.解分式方程（化为一元二次） 1．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A．B． C． D． 2．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 3．阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 2．为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算其根的判别式，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 4．根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（     ） 0 1 2 3 4 11 A． B． C． D． 二、填空题 5．代数式的最大值为_____________ ． 6．如果方程是一元二次方程，那么m的值为____________． 7．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 三、解答题 8．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的一个根为1，求m的值及另一个根． 9．阅读下面的材料，回答问题： 方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解得：， 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)上面这种解方程的方法叫________． (2)方程的解是________． (3)解方程 10．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解一元二次方程的概念，能够识别一元二次方程，会将方程整理为一般形式，准确找出二次项、一次项、常数项及各项系数。 2.理解一元二次方程根的意义，会检验一个数是否是一元二次方程的根。 3.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程结构特点灵活选择解法。 4.了解求根公式的推导思路，熟记求根公式，规范运用公式法解方程。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.由一元二次方程的定义求参数 题型4.判断是否是一元二次方程的解 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.一元二次方程的解的估算 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 题型8.解一元二次方程——配方法 题型9.配方法的应用 题型10.因式分解法解一元二次方程 题型11.公式法解一元二次方程 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 题型15.解分式方程（化为一元二次） 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 【知识点一、一元二次方程的概念】 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0。 其中：ax2 为二次项，a是二次项系数；bx为一次项，b是一次项系数；c为常数项。 提示：a≠0是一元二次方程必备条件；b、c可以为 0。 经过整理后，才能判断一个方程是不是一元二次方程。 【知识点二、一元二次方程的根】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也称为方程的解。 检验方法：将数值代入方程左右两边，若两边的值相等，则该数是方程的根。 【知识点三、一元二次方程的解法】 1.直接开平方法： 适用形式：(x+m)2=n (n≥0)，依据平方根的意义直接开平方求解。 当n>0，方程有两个不相等的实数根；当n=0，方程有两个相等的实数根；当n<0，方程无实数根。 2.配方法： 基本思路：通过变形把方程转化为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。 步骤：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→写成完全平方式→开平方求解。 3.公式法： 对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当-4ac≥时，求根公式：x=。 步骤：（1）化为一般形式，确定a,b,c的值（2）计算判别式Δ=b2-4ac；（3）若Δ≥0，代入公式求根；若Δ<0，无实数根。 4.因式分解法：基本思路：移项使方程右边为0，将左边分解成两个一次因式的乘积，转化为两个一元一次方程求解。 依据：若A·B=0，则A=0或B=0。 ✵要点提示 1.判断一元二次方程，需要先整理化简，核心条件是二次项系数a≠0。 2.写各项系数时，要连同前面的符号一起确定，注意负号。 3.配方法配方前，先将二次项系数化为1；配方时两边同加一次项系数一半的平方。 4.运用公式法解方程，必须先化为一般形式，再确定a、b、c。 5.因式分解法解方程，方程右侧必须为0；不要直接约去含未知数的因式，防止丢根。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据形如的方程是一元二次方程，判断解答即可. 【详解】解：对选项A．∵ 展开等式左边得，右边得，移项合并得，最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程. 对选项B．∵ 方程含，是分式方程， ∴ 不是一元二次方程. 对选项C．∵ 未明确，若则方程最高次数不为2， ∴ 不一定是一元二次方程. 对选项D．∵ 方程是整式方程，只含未知数，二次项系数为，最高次数为2， ∴ 一定是一元二次方程. 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将一元二次方程转化为，再一元二次方程可化为的形式，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，． 2．把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 【答案】 【详解】解：利用平方差公式展开方程左侧， 得， 将所有项移到方程左侧，整理得： ． 3．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 【答案】当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（     ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 解，得或． ∵，即， ∴． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， 解，得或，即或， 又∵，即， ∴． 3．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．已知是方程的根，则代数式的值为（     ） A．7 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 2．已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．已知一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A． B．3 C．0 D．0或3 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得，即， 解得． 2．若m是方程的一个根，则的值为__________ 【答案】2024 【分析】是方程的根，满足方程，可得，将所求代数式变形后整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ 将代入方程得 整理得 对所求代数式变形可得： 将代入上式得：原式． 3．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．根据表中的对应值，判断方程的一个解x的取值范围是（     ） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合表格中代数式的取值变化确定解的区间． 【详解】解：方程的解对应代数式的值为3时的值， ∵当时，； 当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 2．根据下表的对应值，可估算方程的一个根的范围是__________． 【答案】 【分析】结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴可估算方程的一个根的范围是． 3．小颖在探索一元二次方程的近似解时列表如下：观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是_____． 0 1 2 5 【答案】1 【分析】设，一元二次方程 的解就是使的x值．观察表格中对应的的取值，因为当时y值为负，时y值为正，所以在内存在一个使得y值为0．该区间内的数的整数部分为1，即可得到对应解的整数部分． 【详解】令 ， 一元二次方程 的解就是使的x值． 根据表格数据： 当时，； 当时，． 说明在1和2之间一定存在一个x使得， 也就是方程的这个解在， 解的整数部分为1． 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 1．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程求的值，再根据一元二次方程的定义进一步确定a的值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 2．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．已知关于的一元二次方程的两根为，其中一个根为 (1)求k的值； (2)求另一个根，并求的值． 【答案】(1) (2)另一个根为，的值为 【分析】（1）把代入一元二次方程，即可求出k的值． （2）由（1）可知，得出关于x的一元二次方程，利用开平方法解出方程的另外一个根，然后再求的值． 【详解】（1）解：把代入中， 解得：． （2）解：由（1）可知， 则一元二次方程为， ， ， 解得：，， ∴． 则另一个根为，的值为． 题型8.解一元二次方程——配方法 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 2．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 【答案】14 【详解】解：，一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 3．若m是非负整数，且关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的值及这时方程的根． 【答案】m的值为0，这时方程的两根为， 【分析】根据方程的二次项系数不为0即可得，再根据有两个实根可得，结合m是非负整数可得出m的值，然后将m的值代入方程，利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，解得， 又∵该方程有实数根， ∴，即， 整理，得， 解得， ∴且， ∵m是非负整数， ∴，代入原方程，得， ∴，则， 解得，， 综上，m的值为0，这时方程的两根为，． 题型9.配方法的应用 1．无论为何实数，二次三项式的值均不小于某数，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原代数式配方，然后利用偶次方的非负性列出不等式即可解答． 【详解】解：， ∵ ． ∴ ，即无论为何实数，二次三项式的值均不小于1． 2．实数，，满足，． （1）当时，则__________； （2）实数的取值范围是__________． 【答案】 3 【分析】（1）把代入等式，求解即可； （2）通过两个等式的变换以及等量代换得到，利用配方法求出的范围即可. 【详解】解：（1）∵，， ∴当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴. 3．阅读材料：我们可以利用配方法解决最值问题 例如：， ， 最小值为． (1)填空∶__________； (2)求代数式的最大值； (3)已知长方形周长为，求长方形面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）利用配方法原式变形为，即可求解； （3）利用配方法解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为； （3）解：设长方形的一边长为，则另一边长为， 则长方形面积 ， ∵， ∴， ∴长方形面积的最大值为． 题型10.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 将方程左边因式分解，得， 所以或， 解得． 2．方程的根为______． 【答案】， 【分析】把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得，即， ∴或， ∴，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解：． 则或 解得，． 题型11.公式法解一元二次方程 1．方程的一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程中 ∴ ∴ ∴ 2．若是一元二次方程的根，则的值为_________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的求根公式得到，，，然后代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，，， ∴． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先确定一元二次方程各项系数，运用公式法求解． （2）先提取公因式，转化为一次方程再求解． 【详解】（1）解： ∵，，， ∴ ∴ ∴，． （2） 或 ∴， 题型12.换元法解一元二次方程 1．若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义，通过整体代换求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵的两个实数根为和， ∴或， 解得或． 2．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【分析】利用换元思想，将方程中的整体对应已知方程的，结合已知的解求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∵已知方程的解是：，， ∴，， 当时，， 移项得， 解得； 当时，， 移项得， 解得， 综上，原方程的解为，． 3．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断一元二次方程根的情况，由根的判别式来判断，，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 【详解】解：A选项，方程有两个不等实根； B选项，方程有两个不等实根； C选项，方程有两个不等实根； D选项，方程有两个相等实根． 2．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____．（填序号）①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根． 【答案】② 【分析】先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论. 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 3．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有一个根为2，求代数式的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴， 又∵， ∴，即， ∴ 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）把代入原方程推出，再根据代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵该方程有一个根为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型14.根据一元二次方程根的情况求参数 1．定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据“合理”方程的定义得到，再根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后联立利用代入消元法消去，得到关于的一元二次方程，解方程即可求出，的值． 【详解】解：∵方程是“合理”方程， ∴①， ∵方程有两个相等的实数根， ∴②， 由①得，代入②得， 展开得， 即， ∴， 将代入①，得． 2．若关于x的方程有两个相等的实数根，则________ 【答案】 【分析】方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，代入方程系数列方程求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ∵方程有两个相等的实数根， ∴． 代入系数得． 整理得． 解得． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）求方程的根，计算两根差的绝对值，对照“差根方程”定义判断． （2）求方程的两根，根据“差根方程”的定义列方程求解的值． 【详解】（1）解：①， ， ，． ． ①是“差根方程”． ②， ， 或， ，． ． ②不是“差根方程”． （2）解：．， ，． 该方程是“差根方程”， ， ∴， 解得或． 综上所述，的值为． 题型15.解分式方程（化为一元二次） 1．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 2．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 3．阅读以下材料： 能用换元法求解的分式方程中一般分母比较复杂且各部分有相同的形式，这时可采用换元法，达到简化运算的目的． 例如：用换元法解方程． 解：设，则原方程可变形为， 整理，得．解得． ，即．解得． 经检验，是原方程的根．原方程的根为． (1)用上述方法解方程时，如果设，则原方程可化为_____； (2)请你按上述方法补全解方程的步骤． 【答案】(1) (2) 解：由（1）得，原方程可变形为， 整理，得.解得，． 当时，方程可整理为． ， 方程无解． 当时，方程可整理为， 解得．经检验，是原方程的根． 原方程的根为． 【分析】本题主要考查了解分式方程，换元法解分式解方程， （1）根据换元法思想，令，则，即可得到关于的方程； （2）利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程求出的值，再解关于的分式方程即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：如果设，则原方程可化为， 故答案为：； （2）略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将代入方程求得的候选值，再结合一元二次方程二次项系数不为的条件排除不符合的解． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ，即， ∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 2．为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算其根的判别式，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 整理得：， ∵， ∴， 故B选项符合题意． 3．关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 【答案】D 【分析】移项提取公因式求解，避免直接除以含未知数的式子丢根． 【详解】解：A、未考虑的情况，故计算错误； B、不是，故计算错误； C、配方时，等式两边应该加，故计算错误； D、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴，，该解法与选项D完全一致，故计算正确． 4．根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（     ） 0 1 2 3 4 11 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格当时，；当时，，即的一个根在和之间． 【详解】解：由表格可知，的值随的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是． 二、填空题 5．代数式的最大值为_____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用；完全平方公式，利用完全平方公式配方后判断即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为， 故答案为：． 6．如果方程是一元二次方程，那么m的值为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式求解即可． 【详解】解：原方程是一元二次方程， 则，且， 解， ， ， 解得或， 又， 所以舍去，得． 7．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 三、解答题 8．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的一个根为1，求m的值及另一个根． 【答案】(1) (2)；另一个根为1 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，进而解不等式即可求解； （2）先将代入方程求得．此时方程为，然后利用配方法解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得； （2）解：将代入方程，得，解得． 此时方程为，即， 解得，所以另一个根为1． 9．阅读下面的材料，回答问题： 方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解得：， 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)上面这种解方程的方法叫________． (2)方程的解是________． (3)解方程 【答案】(1)换元法 (2)， (3)， 【分析】（1）把一个方程中含有某个未知数的整体利用另一个未知数表示的方法叫换元法； （2）令，则，用换元法解方程即可； （3）仿照例题中的解法用换元法解方程． 【详解】（1）解：材料中解方程的方法叫“换元法”； （2）解：， 令，则， 则原方程可变为， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 经检验可知，是原分式方程的解， 方程的解是，； （3）解：， 令，则， 则原方程可变为， 解得：，， 当时， 可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， ， 方程无实数根， 原方程有个根：，． 10．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程不是“纠缠方程”， 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； (2) 证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； (3)或 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $