16.2.3 多项式与多项式相乘课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.2.3 多项式与多项式相乘 第十六章　整式的乘法（第 5 课时） 学科：数学（人教版·八年级上册） 主讲人：____________ 学校：____________ 终极一步：多项式×多项式。方法就是把上节的'逐项去乘'再用一次——今天学'四个乘积相加'。 学习目标 1. 借助四格面积模型，理解多项式乘多项式就是两次分配律； 2. 掌握多项式与多项式相乘的法则：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn； 3. 计算时注意不漏项、符号、合并同类项； 4. 能进行相关计算与简单的几何应用。 重点：法则与'四项'的由来。难点：漏项（最经典错误）、符号、合并同类项。 一 情境引入 一块分成四部分的长方形 问题：长方形长 (a+b)、宽 (m+n)，面积？ 整体：S = (a+b)(m+n) 分四块：S = am+an+bm+bn 所以：(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn。 面积四格图是本节灵魂。让学生指着四块说出各块代表哪一项，印象最深。 二 探究新知 探究：多项式怎么乘多项式？ 思路：把 (a+b) 看成整体，用分配律： (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) 再用一次分配律展开： =am+an+bm+bn 记忆：一个多项式的每一项，分别去乘另一个多项式的每一项，再把积相加。 强调'两次分配律'。也可用'FOIL'（第一、外、内、最后）帮助记忆两项相乘，但本质是逐项乘。 多项式与多项式相乘的法则 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 提醒：项数：两项×两项，最多得 4 项，能合并的再合并。 板书把四个乘积 am,an,bm,bn 与四格图一一对应，避免纯符号抽象。 三 例题示范 例1：基础计算 例1　计算： (1) (3x+1)(x+2)=3x·x+3x·2+1·x+1·2=3x²+6x+x+2=3x²+7x+2 (2) (x-8y)(x-y)=x²-xy-8xy+8y²=x²-9xy+8y² (3) (x+y)(x²-xy+y²)=x³+y³　（立方和，拓展） 第(1)题四步写出再合并；第(2)题负号带入，-8xy+8y^2 注意符号；第(3)题是立方和公式雏形，学有余力可记。 四 实际应用 例2：扩建后的操场面积 厦门某操场原长 (2x+3) 米、宽 (x+1) 米，求面积。 解：S=(2x+3)(x+1) 　　 = 2x·x+2x·1+3·x+3·1=2x²+2x+3x+3=2x²+5x+3 答：面积为 2x²+5x+3 平方米。 本地'操场扩建'情境，呼应四格图。合并时 2x+3x=5x 要提醒学生别漏。 规律：乘积最多有几项？ · 两项 × 两项 → 先得 4 项，再合并同类项； · 三项 × 两项 → 先得 6 项，再合并； · 一般地，p 项 × q 项 → 先得 p×q 项。 易错：不是所有项都能合并——没有同类的就原样留下。 帮学生建立'项数预判'意识：算之前先想'该有4项'，少一项就是漏乘了。 拓展提升：含三项与逆向 例题：计算 (x+2)(x²-3x+1)。 解：=x·x²+x·(-3x)+x·1+2·x²+2·(-3x)+2·1 　　 = x³-3x²+x+2x²-6x+2=x³-x²-5x+2 点拨：两项×三项先得 6 项，再合并；按降幂排列更清晰。 两项×三项训练项数预判（6项）。厦门学生可对比四格图扩展为六格。 五 巩固练习 巩固练习：计算 1. (x+3)(x-2)=x²+x-6 2. (2a+1)(a-4)=2a²-7a-4 3. (y-5)(y-5)=y²-10y+25 4. (3m-n)(m+2n)=3m²+5mn-2n² 第3题是完全平方雏形 (y-5)^2；第4题交叉项 3m·2n + (-n)·m = 6mn - mn = 5mn，符号要算对。 巩固练习（二）：分层提升 1. (2x+3)(x-2)=2x²-x-6 2. (a-3)(a+5)=a²+2a-15 3. (3x-1)(3x+1)=9x²-1 4. (2m+n)(m-2n)=2m²-3mn-2n² 巩固（二）含平方差雏形（第3题）、三项交叉。第4题交叉项 2m·(-2n)+n·m = -4mn+mn=-3mn。 课堂检测 1. (x+2)(x-3)=______。（答案：x²-x-6） 2. (2x-1)(x+1)=______。（答案：2x²+x-1） 3. 若 (x+a)(x+b)=x²+5x+6，则 a+b=__，ab=__。（答案：5、6） 4. 计算并合并：(x-1)(x²+x+1)=______。（答案：x³-1） 第3题逆向看系数对应，是因式分解的伏笔；第4题立方差雏形。 易错辨析：这几处最容易丢分 错1：(x+2)(x-3)=x²-6　正：漏了交叉项 → x²-x-6 错2：(x-1)²=x²-1　正：完全展开 → x²-2x+1 错3：(2x+1)(x-1)=2x²-1　正：交叉项 2x·(-1)+1·x=-x → 2x²-x-1 口诀：四项写全再合并，交叉项最容易漏，符号跟着每一项走。 错2是经典：(x-1)^2 不等于 x^2-1，必须四项展开。让学生现场展开验证。 方法归纳：四步成式 第一步：一个多项式的每一项 × 另一个多项式的每一项； 第二步：先写出 p×q 项（项数预判，防漏乘）； 第三步：合并同类项，按降幂排列； 口诀：四项写全再合并，交叉项与符号最容易漏。 把'先想几项、再写全、后合并'固化，降低漏项率。 六 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个法则：多项式×多项式——逐项相乘、再相加：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 两个注意：① 先写全 4 项（p×q 项）再合并；② 符号和交叉项别漏。 一个本质：仍是乘法分配律，连续用了两次。 小结时回顾四格面积图，让公式有'形'可依。全章整式乘法到此学完，下节学除法。 课后作业 1. 基础题：教材习题 16.2 第 3、4 题——多项式乘多项式计算； 2. 提高题：计算 (x+2y)(x²-2xy+4y²)，并指出它等于什么立方公式； 3. 应用题：厦门一矩形地块长 (3a+2) m、宽 (a+1) m，写出面积并求 a=2 时的值； 4. 思考题：若 (x+p)(x+q)=x²-3x-10，求 p、q。 提高题指向立方和公式；思考题是因式分解（十字相乘）的逆向，为后面埋伏笔。 $