山东烟台市招远市2026-2027学年高二上学期期中月考检测数学试题

2026～2027学年度第一学期高二期中月考检测 数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知点，，则直线的斜率等于 A． B． C． D．不存在 2．直线的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则的斜率为 A． B． C． D． 3．空间任意四个点，，，，则 A． B． C． D． 4．已知正方体中，，若，则 A．， B．， C．， D．， 5．已知向量，，若，则实数等于 A． B． C． D． 6．已知点与点关于直线对称，则直线的方程为 A． B． C． D． 7．三角形的边在平面内，点在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为 A． B． C． D． 8．已知平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则与所成角的正弦值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，直线，，的倾斜角和斜率分别是，，，，，，则 A． B． C． D． 10．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为．若，则 A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 11．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，点为棱的中点，点是线段上的动点，则 A．直线与所成角的余弦值为 B．四面体的体积为 C．无论点在线段上如何移动，都有 D．直线与平面所成最大角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 13．已知点，．若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 14．已知正方形与正方形构成一个大小为的二面角，将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的三个顶点是，，，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 16．（15分）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 17．（15分）如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18．（17分）如图，在菱形中，已知，为的中点，现将四边形沿折起至（其中点为折叠后点的位置）． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求平面与平面所成角的余弦值． 19．（17分）如图，在三棱锥中，，，，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值； （3）在线段上有一点，，，求的值，使得平面和平面所成的角的大小为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期高二期中月考检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 二、选择题 9．AC 10．ABD 11．BCD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）设的中点为，因为，，所以的坐标为 2分 又因为，所以， 4分 所以边上的中线所在直线的方程为： 整理得： 5分 （2）因为，，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 7分 设边上的高所在直线的方程为，将点代入得，， 9分 所以边上的高所在直线的方程为：． 11分 （3）由（1）（2）知，的中点的坐标为，与垂直的直线的斜率为 所以边的垂直平分线的方程为：，整理得： 13分 16．解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，， 2分 所以，，，， ，，． 5分 （1）取，，则，． 所以点到直线的距离为． 8分 （2）因为，所以，面，所以平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 10分 设平面的法向量为，则，所以，所以， 取，则，，所以是平面的一个法向量． 13分 又因为，所以点到平面的距离为． 即直线到平面的距离为． 15分 17．解：（1）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建系． 2分 由题意容易写出以下点的坐标： ，，，，． 3分 所以， 4分 所以 6分 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 7分 （2），，设面的一个法向量为 8分 由得，，令，则． 10分 易知面的一个法向量是， 11分 设平面与平面夹角的大小为，所以 13分 所以，所以平面与平面夹角的正弦值为． 15分 18．解：（1）原图中四边形为菱形，且，所以为正三角形， 1分 因为为的中点，所以，，折叠后垂直关系仍然成立且，所以面 4分 （2）如图，以点为坐标原点，分别以线段，所在直线为轴，轴，再以过点且垂直于平面且向上的直线为轴，建立空间直角坐标系． 6分 因为面，所以为二面角的平面角，所以 8分 设，则点，，， 10分 由得点，所以， 12分 设平面的一个法向量为，则，整理得 令，则 14分 又易得平面的一个法向量， 15分 所以设平面与平面所成角为，， 16分 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17分 19．解：在平面中作于点， 因为平面平面，平面平面 所以平面． 过点作的平行线，交于点． 如图，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 2分 设．因为，所以，． 因为，，所以． 所以，，，，， 5分 （1）因为，， 6分 所以，所以， 7分 又，，所以面 8分 （2）因为，， 所以，所以直线与所成角的余弦值为． 10分 （3）因为，所以， 11分 所以， 12分 设平面的一个法向量，则， 所以，令， 13分 平面的一个法向量为， 15分 所以， 16分 整理得，，解得或，又因为点在线段上，， 所以 17分 学科网（北京）股份有限公司 $