2026-2027学年湘教版数学九年级上册期中测试卷（第三套）（考查范围：第一章至第三章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期九年级数学期中测试卷（第三套） 湘教版九年级上册数学（2026 秋版新教材） 考查范围：第一章　反比例函数　第二章　一元二次方程　第三章　图形的相似　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（　　） A. y＝2x＋3　　　　B. y＝　　　　C. y＝　　　　D. y＝ 2. 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 (1, －2)，则 m 的值为（　　） A. －5　　　　B. －1　　　　C. 1　　　　D. 5 3. 方程 x²＝4x 的解是（　　） A. x＝4　　　　B. x＝0　　　　C. x₁＝0，x₂＝4　　　　D. x₁＝0，x₂＝－4 4. 若一元二次方程 x²＋bx＋9＝0 的两个根相等，则 b 的值为（　　） A. 6　　　　B. －6　　　　C. ±6　　　　D. 3 5. 若 3a＝5b（a、b 均不为 0），则 的值为（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 6. 在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC。若 AD＝2，DB＝3，AE＝1.8，则 EC 的长为（　　） A. 1.2　　　　B. 2.7　　　　C. 3　　　　D. 4.5 7. 下列说法中，正确的是（　　） A. 位似图形一定是全等图形　　　　B. 位似图形一定是相似图形 C. 相似图形一定是位似图形　　　　D. 位似中心一定在两个位似图形之间 8. 如图，正比例函数 y＝ax 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A、B 两点，若点 A 的坐标为 (2, 3)，则点 B 的坐标为（　　） A. (－2, 3)　　　　B. (2, －3)　　　　C. (－2, －3)　　　　D. (－3, －2) 9. 两个连续奇数的积为 143，设较小的奇数为 x，则可列方程为（　　） A. x(x＋1)＝143　　　　B. x(x＋2)＝143 C. x²＋2＝143　　　　D. 2x(x＋2)＝143 10. 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上，矩形 OABC 的面积为 24。反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过 BC 的中点 D，则 k 的值为（　　） A. 6　　　　B. 12　　　　C. 24　　　　D. 48 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 已知反比例函数 y＝，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是＿＿＿＿。 12. 若反比例函数 y＝ 的图象与一次函数 y＝x＋1 的图象的一个交点为 (2, 3)，则 k＝＿＿＿＿。 13. 若关于 x 的一元二次方程 (a－1)x²＋x＋a²－1＝0 的一个根为 0，则 a 的值为＿＿＿＿。 14. 在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，AD＝1，DB＝2，则 △ADE 与 △ABC 的面积比为＿＿＿＿。 15. 在比例尺为 1∶5000 的地图上，量得 A、B 两地的图上距离为 4 cm，则 A、B 两地的实际距离为＿＿＿＿ m。 16. 若关于 x 的一元二次方程 x²－5x＋6＝0 的两根恰好是直角三角形 ABC 的两条直角边的长，则该直角三角形斜边的长为＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤） 17.（8 分）(1) 用因式分解法解方程：3x(x－1)＝2－2x。 (2) 用公式法解方程：2x²－4x－1＝0。 18.（8 分）已知反比例函数 y＝。 (1) 若该函数的图象位于第一、三象限，求 m 的取值范围； (2) 在 (1) 的条件下，若点 A(－2, y₁)、B(3, y₂) 都在该函数的图象上，试比较 y₁ 与 y₂ 的大小，并说明理由； (3) 若该函数的图象经过点 (1, 5)，求 m 的值。 19.（8 分）如图，在每个小正方形的边长均为 1 的网格中，点 A、B 都在格点上，连接 AB。 (1) 请仅用无刻度直尺，在图中作出线段 AB 上的一点 P，使 AP∶PB＝2∶3（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2) 写出你这样作图的依据； (3) 若线段 AB 的实际长为 15 cm，求 AP 与 PB 的长。 20.（8 分）如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量旗杆的高度。在同一时刻，测得直立在地面的标杆 CD 的长为 1.5 m，其影长 CE 为 1.2 m，旗杆 AB 的影长 BC 为 9.6 m。A、B、C、E 在同一条直线上，太阳光线 AC 与 DE 平行。 (1) 求证：△ABC∽△DCE； (2) 求旗杆 AB 的高度； (3) 若在同一时刻测得该校教学楼的影长为 20 m，求教学楼的高度。 21.（9 分）某电商平台 7 月份的销售额为 200 万元，8、9 月份销售额持续增长，且月增长率相同，9 月份销售额达到 288 万元。 (1) 求 8、9 月份销售额的月平均增长率； (2) 若 10 月份保持同样的增长率，求 10 月份的销售额； (3) 若 11、12 月份仍保持该增长率，请判断第四季度（10、11、12 月）的总销售额能否超过 1200 万元，并说明理由。 22.（9 分）如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A(1, 6)、B(3, 2) 两点，与 x 轴交于点 C。 (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 求点 C 的坐标及 △AOB 的面积； (3) 根据图象，直接写出不等式 kx＋b＜ 的解集。 23.（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，AE 交对角线 BD 于点 F，且 BE∶EC＝2∶3。 (1) 求证：△ADF∽△EBF； (2) 若 AD＝10，求 BE 的长； (3) 求 AF∶FE 的值。 24.（12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm。点 P 从点 C 出发沿 CA 方向向点 A 运动，点 Q 同时从点 B 出发沿 BC 方向向点 C 运动，两点速度均为每秒 1 cm。设运动时间为 t s（0＜t＜6）。 (1) 用含 t 的代数式表示 CP 与 CQ 的长； (2) 当 t 为何值时，△PCQ 的面积为 4 cm²？ (3) △PCQ 的面积能否等于 5 cm²？请说明理由。 参考答案与详解 1．【答案】C 【详解】反比例函数的一般形式是 y＝（k≠0），特征是两个变量的乘积为定值， 且分母中不能含自变量的加减项，也不能是 x 的二次式。 A 是一次函数；B 中 y＝ 是正比例函数；C 符合反比例函数的定义 ✓； D 中分母是 x²，不是反比例函数。故选 C。 2．【答案】A 【详解】点 (1, －2) 在图象上，所以 m＋3＝1×(－2)＝－2，解得 m＝－5。故选 A。 核心性质：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积恒等于比例系数。 3．【答案】C 【详解】不能两边直接除以 x（x 可能为 0，这样会丢根）。移项得 x²－4x＝0， 因式分解得 x(x－4)＝0，所以 x₁＝0，x₂＝4。故选 C。 易错点：两边除以 x 得 x＝4，漏掉 x＝0，这是解这类方程最常见的错误。 4．【答案】C 【详解】两个根相等 ⟺ Δ＝0，即 b²－4×1×9＝0，b²＝36， 开平方得 b＝±6。故选 C。 易错点：b²＝36 时 b＝±6，只取 6 会漏解。 5．【答案】B 【详解】由 3a＝5b，等式两边同时除以 3b（b≠0），得 ＝。故选 B。 方法总结：比例式的变形依据是等式的基本性质，变形时注意除数不为 0。 6．【答案】B 【详解】因为 DE∥BC，由平行线分线段成比例得 ＝， 即 ＝，解得 EC＝1.8×3÷2＝2.7。故选 B。 7．【答案】B 【详解】位似图形是特殊的相似图形：位似一定相似，相似不一定位似。 A 错：位似图形可以放大或缩小，不一定全等； C 错：对应顶点连线不交于同一点的相似图形不是位似图形； D 错：位似中心可以在两图形之间，也可以在同侧，还可能在图形内部。故选 B。 8．【答案】C 【详解】正比例函数与反比例函数的图象都是中心对称图形，对称中心都是原点， 所以它们的两个交点关于原点对称。 点 A(2, 3) 关于原点的对称点是 (－2, －3)，所以点 B 的坐标为 (－2, －3)。故选 C。 验证：b＝2×3＝6，(－2)×(－3)＝6 ✓；a＝3÷2＝1.5，(－3)÷(－2)＝1.5 ✓。 9．【答案】B 【详解】相邻两个奇数相差 2。设较小的奇数为 x，则另一个奇数为 x＋2， 由“积为 143”得 x(x＋2)＝143。故选 B。 （解得 x＝11 或 x＝－13，对应的两数为 11 和 13 或 －13 和 －11。） 10．【答案】B 【详解】设 OA＝a、OC＝b，则 ab＝24（矩形面积）。 BC∥x 轴且到 x 轴的距离为 b，D 为 BC 的中点，所以 D 的横坐标为 ， 即 D(, b)。把 D 代入 y＝，得 k＝()×b＝ab÷2＝24÷2＝12。故选 B。 关键：先用设字母的办法把“面积 24”与“中点”翻译成坐标关系，再整体求 k。 11．【答案】m＜1 【详解】“在每个象限内，y 随 x 的增大而增大”⟺ 比例系数为负，即 m－1＜0， 解得 m＜1。 12．【答案】6 【详解】把 (2, 3) 代入 y＝，得 k＝2×3＝6。 （检验：把 (2, 3) 代入 y＝x＋1，2＋1＝3 ✓，说明该点确为交点。） 13．【答案】－1 【详解】把 x＝0 代入方程，得 a²－1＝0，解得 a＝±1。 又方程是一元二次方程，二次项系数 a－1≠0，即 a≠1， 所以 a＝－1。 易错点：由根求字母后，必须检验二次项系数是否为 0。 14．【答案】1∶9 【详解】DE∥BC，所以 △ADE∽△ABC，相似比为 AD∶AB＝1∶(1＋2)＝1∶3。 相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以 S△ADE∶S△ABC＝1∶9。 15．【答案】200 【详解】比例尺＝图上距离∶实际距离＝1∶5000， 所以实际距离＝4×5000＝20000（cm）＝200（m）。 易错点：单位换算，1 m＝100 cm，最后要化成米作单位。 16．【答案】√13 【详解】x²－5x＋6＝0，因式分解得 (x－2)(x－3)＝0，两根为 2 和 3， 所以直角三角形的两条直角边长分别为 2 和 3。 由勾股定理，斜边长＝√(2²＋3²)＝√13，即斜边的长为 √13。 17．(1)【答案】x₁＝1，x₂＝ 【详解】3x(x－1)＝2－2x，先移项：3x(x－1)＋2x－2＝0， 即 3x(x－1)＋2(x－1)＝0，提公因式 (x－1) 得 (x－1)(3x＋2)＝0， 所以 x－1＝0 或 3x＋2＝0，即 x₁＝1，x₂＝。 易错点：不能两边直接约去 (x－1)，那样会丢掉 x＝1 这个根。 (2)【答案】x＝ 【详解】a＝2，b＝－4，c＝－1， Δ＝(－4)²－4×2×(－1)＝16＋8＝24＞0， 所以 x＝＝，约分得 x＝。 注意：求根公式代入后，分子分母的公因数要约简。 18．【答案】 (1) 图象位于第一、三象限 ⟺ 2m－3＞0，解得 m＞。 (2) y₁＜y₂。理由如下：由 (1) 知比例系数 2m－3＞0，双曲线两支分别在第一、三象限。 点 A(－2, y₁) 的横坐标为负，它在第三象限的分支上，所以 y₁＜0； 点 B(3, y₂) 的横坐标为正，它在第一象限的分支上，所以 y₂＞0。 因为 y₁＜0＜y₂，所以 y₁＜y₂。 (3) 把 (1, 5) 代入 y＝，得 5＝2m－3，解得 m＝4。 19．【答案】 (1) 作法（如图中痕迹）： ① 过点 A 沿网格横线作射线，在射线上依次截取 5 个格距的点，记第 2 个为 C、第 5 个为 D； ② 连结 DB； ③ 过点 C 作 DB 的平行线（利用网格：DB 从 C 数起横向跨 1 格、纵向跨 4 格， 从 C 出发找横向跨 1 格、纵向跨 4 格的格点连线即可），它与 AB 的交点即为 点 P。 (2) 依据是平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 由作图知 AC 占 2 个格距、AD 占 5 个格距，所以 AP 与 AB 的比等于 2∶5，即 AP∶PB＝2∶3。 (3) AP＝15×＝6（cm），PB＝15－6＝9（cm）。 点拨：点 P 不在格点上，必须借助平行线分线段成比例来作图，不能靠数格子。 20．【答案】 (1) 因为 AB⊥地面于 B，CD⊥地面于 C，所以 ∠ABC＝∠DCE＝90°。 因为光线 AC∥DE，所以 ∠ACB＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）， 所以 △ABC∽△DCE（两角对应相等的两个三角形相似）。 (2) 由 △ABC∽△DCE 得 ＝， 即 ＝，解得 AB＝1.5×8＝12（m）， 所以旗杆的高度为 12 m。 (3) 设教学楼的高度为 h m。同一时刻，物高与影长成正比： ＝，解得 h＝25，所以教学楼的高度为 25 m。 方法总结：同一时刻的太阳光线下，物高之比等于影长之比，这是相似三角形的典型应用。 21．【答案】 (1) 设月平均增长率为 x。由题意得 200(1＋x)²＝288， 即 (1＋x)²＝1.44，开平方得 1＋x＝±1.2， 所以 1＋x＝1.2 或 1＋x＝－1.2，x₁＝0.2＝20%，x₂＝－2.2（不合题意，舍去）， 所以月平均增长率为 20%。 (2) 10 月份销售额为 288×(1＋20%)＝288×1.2＝345.6（万元）。 (3) 能超过。11 月份销售额为 345.6×1.2＝414.72（万元）， 12 月份销售额为 414.72×1.2＝497.664（万元）， 第四季度总销售额为 345.6＋414.72＋497.664＝1257.984（万元）， 因为 1257.984＞1200，所以第四季度的总销售额能超过 1200 万元。 易错点：开平方有两个根，负根要结合“增长率的实际意义”舍去。 22．【答案】 (1) 把 A(1, 6) 代入 y＝，得 m＝1×6＝6， 所以反比例函数的表达式为 y＝（把 B(3, 2) 代入检验：6÷3＝2 ✓）。 把 A(1, 6)、B(3, 2) 代入 y＝kx＋b，得 k＋b＝6，3k＋b＝2， 两式相减得 2k＝－4，k＝－2，b＝8， 所以一次函数的表达式为 y＝－2x＋8。 (2) 令 y＝0，得 －2x＋8＝0，x＝4，所以 C(4, 0)，OC＝4。 S△AOC＝×4×6＝12，S△BOC＝×4×2＝4， 所以 S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝12－4＝8。 (3) 由图象可知，当直线落在双曲线下方时，对应的 x 满足 0＜x＜1 或 x＞3。 提示：以两个交点的横坐标 1 和 3 为分界分段观察；本题中 x＜0 时直线在双曲线上方，不符合。 23．【答案】 (1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC，AD＝BC。 因为 AD∥BE，所以 ∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF（两直线平行，内错角相等）， 所以 △ADF∽△EBF（两角对应相等的两个三角形相似）。 (2) 由 BE∶EC＝2∶3 得 BE＝·BC＝×10＝4。 (3) 由 △ADF∽△EBF 得 ＝＝＝，即 AF∶FE＝5∶2。 关键：平行四边形给出“平行＋对边相等”两个条件，一个是角、一个是比。 24．【答案】 (1) 点 P、Q 的速度均为每秒 1 cm，运动时间为 t s， 所以 CP＝t（cm）；BC＝6 cm，BQ＝t，所以 CQ＝6－t（cm）。 (2) S△PCQ＝·CP·CQ＝·t(6－t)。 由 S△PCQ＝4 得 ·t(6－t)＝4，即 t²－6t＋8＝0， 因式分解得 (t－2)(t－4)＝0，所以 t₁＝2，t₂＝4，都满足 0＜t＜6， 所以当 t＝2 或 t＝4 时，△PCQ 的面积为 4 cm²。 (3) 不能。理由一：CP＋CQ＝t＋(6－t)＝6 为定值， 两数和一定时，两数相等时积最大，即 CP＝CQ＝3 时乘积最大， 此时 S△PCQ＝×3×3＝4.5，而 4.5＜5，所以 △PCQ 的面积不能等于 5 cm²。 理由二：若 S△PCQ＝5，则 ·t(6－t)＝5，即 t²－6t＋10＝0， Δ＝(－6)²－4×1×10＝－4＜0，方程无实数根，所以不能。 方法总结：动点面积问题，先建立面积与时间的方程（或函数），再用判别式或配方说明能否取到。 学科网（北京）股份有限公司 $