第06讲 反比例函数的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 第06讲 反比例函数的应用 （新教材北师大版） 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 2 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 2 【题型1 物理问题】 3 【题型2 几何问题】 6 【题型3 工程问题】 10 【题型4 行程问题】 13 【题型5 分段函数问题】 17 【探究式学习】 23 【课后检测】 25 【复盘笔记】 40 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【题型1 物理问题】 【例1】如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 【变式1-1】汽车油箱内的油量多少主要根据如图所示的电路进行转化后显示，在不考虑其他因素影响的条件下，油箱内油的体积V与电路中总电阻是反比例函数关系，已知测得当体积V为时，电路中总电阻为，则V与的函数解析式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的定义设出与的反比例关系式，再将已知的、代入求出比例系数，即可得到对应的函数解析式． 【详解】解：设函数解析式为()，依题意得： ， 解得：， 因此与的函数解析式为． 【变式1-2】如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 【答案】B 【分析】计算表格的数据可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由表格的数据可得， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 由此可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于， 当时，， ∴， ∴当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是． 【变式1-3】当压力一定时，物体所受的压强与它的受力面积之间的函数解析式为，下列说法不正确的是（     ） A．当压力，受力面积S为时，物体所受压强为 B．p关于S的函数图象位于第一、第三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．函数图象不可能与坐标轴相交 【答案】B 【分析】根据题意，确定函数的解析式，结合实际问题，解答即可. 【详解】解：由题意得，，且受力面积，压强. 当，时，， ∴A正确； ∵函数自变量，函数值， ∴图象仅位于第一象限，不经过第三象限， ∴B错误； ∵当压力一定时，，， ∴随的增大而减小， ∴C正确； ∵，， ∴函数图象不可能与坐标轴相交， ∴D正确. 【题型2 几何问题】 【例2】面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 【详解】解：的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 【变式2-1】设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理得出与的函数关系式，结合自变量的取值范围及反比例函数的性质判断图象即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于，且正多边形的每一个外角都相等， ∴， ∵表示正多边形的边数，则为大于等于的整数， ∴与是反比例函数关系，且图象在第一象限， ∴随的增大而减小，且图象是双曲线上的离散点， 只有D选项图象为反比例函数上的点且随增大而减小，符合题意． 【变式2-2】假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，灵活运用圆锥体积公式及反比例函数的增减性是解题的关键．根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积，进而得到底面积关于高的反比例函数表达式，再结合反比例函数的性质及的取值范围，求出底面积的取值范围． 【详解】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的底面积：， ∴圆锥体积：， 圆锥体积不变， ， 整理得， 是关于的反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最大值，为， 此底面积的取值范围为． 【变式2-3】函数是刻画现实世界的有效模型，函数和现实情境之间的转换可以帮助我们简化问题的处理． (1)下列情境中，可以用反比例函数刻画的是______； A．甲、乙两地相距，行驶时间和行驶速度之间的关系； B．单价为3元的练习本，购买数量和总价的关系； C．面积为8的矩形，长和宽的关系． (2)求函数的最小值时，直接求解困难较大，我们可以给函数赋予这样的数学情境：如图，线段，，，，，则可表示为______，（用含有的代数式表示）请你结合图形，继续完成求解过程． (3)如图，四边形为矩形，，，为矩形内（不包含边界）一点，过分别向、作垂线，垂足为，，若四边形的面积为6，则称点为“美丽点”，在矩形中，，，过点的直线交直线于点，若直线上存在“美丽点”，求的取值范围． 【答案】(1)AC (2)；最小值为 (3) 【分析】（1）分别列出各问题中的关系式，根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用勾股定理表示出，得到当A，P，D三点共线时，的值最小，即，利用勾股定理求出，即可得到最小值； （3）以点B为原点，分别为x轴，y轴建立直角坐标系，作反比例函数与分别交于点M，N，求出最大及最小值即可． 【详解】（1）解：A.∵甲，乙两地相距，∴， 故时间×速度＝路程，即， ∴行驶时间和行驶速度之间的关系是，故A属于反比例函数； B．单价为3元的练习本，购买数量和总价的关系为：数量，故B不属于反比例函数； C．面积为8的矩形，长a和宽b的关系为：，故C属于反比例函数． 故答案为：AC； （2）设，则， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 由图形可知，当A，P，D三点共线时，的值最小，即， 过点D作，交延长线于点E，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为； （3）如图，以点B为原点，分别为x轴，y轴建立直角坐标系， ∵点为“美丽点”，过点P作的垂线，所得矩形面积为6，故点P在反比例函数上， 作反比例函数与分别交于点M，N， 当时，，故，此时点P与点M重合， 设直线的解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故， ∴，此时最大； 当点Q与点G重合时，，此时最小， ∴的取值范围是． 【点睛】此题考查了实际问题与反比例函数的关系，反比例函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定和性质，最值的确定，正确理解实际问题与反比例函数的关系是解题的关键． 【题型3 工程问题】 【例3】政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意并列出函数解析式是解决本题的关键． （1）根据题意即可列函数解析式； （2）根据“这个运输公司每天可运送土石方”进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：∵这个运输公司每天可运送土石方， ∴ 解得， 答：公司完成全部运输任务需要9天． 【变式3-1】某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 【变式3-2】某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1)； (2)提前8天完成此项工程． 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． （2）解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 【变式3-3】如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】(1)所求函数关系式为 (2)需要5台这样的挖掘机 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要5台这样的挖掘机． 【题型4 行程问题】 【例4】今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 【变式4-1】甲乙两地路程固定，若车速为，4小时可以到达．设车速为 ，时间为 ． (1)求 与 的函数关系式； (2)若要求小时到达，求车速的取值范围． 【答案】(1) (2)车速应控制在之间 【分析】（1）根据“路程、速度、时间”之间的关系可得 与 的函数关系式； （2）分别求出时间是2小时、3小时对应的速度，可得车速的取值范围． 【详解】（1）解：总路程：，． （2）解：，， 随 增大而减小， 当时，； 当时，； 得 ． 即车速应控制在之间． 【变式4-2】李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 【答案】(1)函数解析式为，自变量的取值范围是； (2)四边形的面积为． 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围； （2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：千米米， 根据路程公式：路程速度时间，可得， 整理得函数解析式为， 由题意可知， 当时，， 当时，， ∵反比例函数在时，随增大而减小， ∴的取值范围是； （2）解：设点的坐标为， 由轴，轴，可得四边形是矩形， 矩形面积， ∵点在函数的图象上， ∴， 即四边形的面积为． 【变式4-3】丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【答案】(1)300 (2) (3)不能， 理由如下：∵10-7.5=2.5（小时）， ∴t=2.5时，， ∵120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． 【分析】（1）根据即可得s的值； （2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可； （3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵ ∴s = 300， ∴该公司到杭州市场的路程为300千米； 故答案为：300； （2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设， ∵v=75时，t= 4， ∴k=75×4=300， ∴； （3）略 【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键． 【题型5 分段函数问题】 【例5】通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求这个分段函数的表达式； （2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）0-10分钟的函数解析式为，20-40分钟的函数解析式为；（2）杨老师的教学设计能实现，理由见解析 【分析】（1）设0-10分钟的函数解析式为，20-40分钟的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）将代入中得，代入中得，由此求解即可． 【详解】解：（1）设0-10分钟的函数解析式为，20-40分钟的函数解析式为， ∴，， ∴，， ∴0-10分钟的函数解析式为，20-40分钟的函数解析式为； （2）将代入中得， 将代入中得， ∵， ∴杨老师的教学设计能实现． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求函数解析式． 【变式5-1】小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 【变式5-2】【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)___________，___________； 【问题探究】 (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 (3)结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 【答案】(1)；； (2)①如图： ②减小； (3)①如图： ②或． 【分析】（1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象；②找出当时，结合函数图象，找出满足函数的图象在函数的图象上方（包括相交）部分对应的的取值范围． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得． （2）①作图：略； ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． （3）①作图：略 ②由函数图象知，当或时，函数的图象在函数的图象的上方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为或． 【变式5-3】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图象解决实际问题是中考的常考题型。 【探究式学习】 1．探究 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：）与体积V（单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式（），即如图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 【答案】(1)以往所学函数，变量对应值都精确满足解析式，对应点全部在函数图像上；本题是实验采集的实际数据，存在实验误差，数据仅近似符合函数关系，点不会完全落在函数图像上，函数是用来近似刻画变量的变化规律的 (2)建立函数模型解决实际问题一般步骤： ①收集实际问题中的变量对应数据； ②画出散点图，观察散点分布，判断变量间函数类型； ③确定函数模型，求出函数解析式； ④检验模型，看解析式和实际数据的吻合程度； ⑤利用这个函数模型分析、预测实际问题 【分析】（1）对比理论函数与实际实验数据的差别，理论题的数据严格满足式子，实际实验存在误差，只能近似符合函数； （2）按照本题从采集实验数据，画散点图，选函数类型，求解析式，检验，应用的完整流程，归纳建立函数模型的通用步骤． 【详解】（1）略 （2）略 【课后检测】 1．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，变形即可得答案. 【详解】解：由得：， ∴当压力F一定时，变量与满足反比例函数，图象是反比例函数图形，故D正确. 2．下列关系中，成反比例函数关系的是（     ） A．圆的面积S与它的半径r之间的关系 B．小芳从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系 C．电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系 D．小明的身高h与年龄x之间的关系 【答案】C 【分析】抓住反比例函数的本质特征：两个变量的乘积为非零定值，以此判断各选项． 【详解】解：A.圆的面积，S与成正比例关系，不符合反比例函数关系，本选项不符合题意； B.剩下的路程随行走时间变化，s与速度的乘积不是定值，不符合反比例函数关系，本选项不符合题意； C.电压一定时，由得，与的乘积为定值（），符合反比例函数关系，本选项符合题意； D.身高与年龄的乘积不是定值，不符合反比例函数关系，本选项不符合题意． 3．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 4．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为 图象过点 ，故 A 说法正确； 当 时，，故 B 说法正确； 当 时，，解得 ，故 C 说法错误； 当 时， 随 的增大而减小，且 ，故 D 说法正确. 5．清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（     ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】D 【分析】结合总鲜叶量固定的实际背景，验证与的乘积是否近似为定值． 【详解】解：分别计算表中每组与的乘积： ． ． ． ． ． ． 与的乘积近似为定值，符合反比例函数关系． 6．菱形两条对角线的长分别为x，y，当该菱形的面积一定时，选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，设菱形的固定面积为（，是定值），推导得到与的反比例函数关系，结合对角线长度为正的实际约束，判断5组点的分布特征． 【详解】解：设菱形的固定面积为（，是定值），可得：变形后得到． ∵，， ∴第一象限内的反比例函数关系，当增大时，会随之减小． A、D的点呈现越大越大的上升趋势，不符合反比例关系； B的点呈现越大对应的越小，在一条直线上，不符合反比例关系； C的点呈现越大对应的越小，符合第一象限反比例函数上的点的分布特征． 7．某农户计划利用已有的一堵长的墙，围成一个面积为的矩形园子，现有可用的篱笆总长为．若园子的长、宽都是整数米，则一共有几种围法?（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】先由矩形面积为且长、宽为整数，确定所有可能的正整数边长组合，再结合墙长限制和篱笆总长限制筛选符合条件的围法． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，、为正整数， 矩形园子的面积为， 则， ∵墙长为， ∴，解得， ∵为正整数， ∴， ∵可用篱笆总长为， ∴， ∵是的正约数， ∴的可能取值为，，，，，， 结合， 验证：当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，均不符合， 综上，符合条件的围法有种． 8．某热带鱼缸的恒温系统启动时，加热棒每分钟使水温上升，当水温升至时，系统停止加热，水温开始自然下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温下降至时，恒温系统再次自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．水温从加热到时，需要 B．水温不低于的时间为 C．水温从降至，所需时间为 D．水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是 【答案】A 【分析】根据加热棒每分钟使水温上升，可判断A选项；求出水温下降过程中，y与x之间的函数解析式，可判断B，C，D选项． 【详解】解：∵加热棒每分钟使水温上升， ∴水温从加热到时，需要，故A选项正确； ∴点在反比例函数图象上， 设水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是， 把代入得：， ∴水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是，故D选项错误； 当时，， ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∴水温不低于的时间为，故B选项错误； 9．在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 【答案】24 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 10．在对某物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上移动的距离（米）与力（牛）成反比例函数关系，其图象如图所示．当物体在力的方向上移动的距离不超过米时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的关系式，再根据列不等式解答即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，图象经过点， ， 解得， ∴函数关系式为， ∵ ∴， 解得． 11．在压力一定的情况下，压强与受力面积是反比例函数关系，某木块竖直放置在水平地面上，受力面积时，；若受力面积为，则它对地面的压强为_________． 【答案】 【分析】与成反比例函数关系，先设出反比例函数解析式，代入已知条件求出定值，再代入所求受力面积计算压强． 【详解】解：∵压强与受力面积是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 即反比例函数解析式为， 当时，代入得． 12．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 【答案】300 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时，， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到． 13．在对物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上发生的位移单位：与力单位：成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的作用下的位移是__________________ 【答案】12 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力单位：与此物体在力的作用下的位移单位：成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力的作用下的位移是． 14．某一农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆圈成一个面积为的矩形花园，现在可用的篱笆总长为．设，． (1)请写出y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； (2)若要使的篱笆全部用完能否围成符合标准的矩形花园？若能，请求出和的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，为,为． 【分析】（1）根据长方形的面积公式列出y与x的关系式即可； （2）设,则,列出方程求出即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵墙长为, ∴， ∴， 可用的篱笆总长为， ， 可得， 设， 令， 解得：， ， 二次函数图象的开口向上， 结合二次函数的图象可得原不等式的解集为， 即y关于x的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 设,则, 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 则， 即能围成面积为的花园，为,为． 15．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出函数的表达式． (2)求出当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，直接写出气体的体积V（）的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设反比例函数关系式为：，将坐标代入计算即可； （2）令，计算出即可； （3）根据题意列出不等式即可作答． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为：，将坐标代入有：， ∴， ∴反比例函数关系式为：， （2）解：当时，， 即气压是； （3）解：∵要保证气球不破， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴要保证气球不破，气体的体积不得小于， 即气体的体积V（）的取值范围是 16．合肥马拉松赛事组委会安排后勤保障车，从骆岗公园后勤基地出发，匀速前往物资补给点，往返总行驶里程为千米．设后勤车行驶全程的时间为（单位：小时），汽车行驶速度为（单位：千米/小时），出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式； (2)后勤车辆上午8点从骆岗公园后勤基地出发，要求车辆行驶的时间不超过5小时，求后勤车行驶速度的取值范围． 【答案】(1) (2)后勤车行驶速度的取值范围是（千米/小时）． 【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系列出函数解析式，再求出自变量的取值范围即可； （2）求出当时，（千米/小时），出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时．即可求出后勤车行驶速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵往返总行驶里程为千米．设后勤车行驶全程的时间为（单位：小时），汽车行驶速度为（单位：千米/小时）， ∴， 当行驶速度为千米/小时， ， 解得， ∵出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时 ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：当时，（千米/小时） ∵中，， ∴随着的增大而减小， ∴， 又∵出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时． ∴后勤车行驶速度的取值范围是（千米/小时）． 17．在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 【答案】(1)反比例，． (2)不安全（此时电流为安培，超过安培）；接入的电阻最小应为欧姆． 将代入， 得（安培）． ， 接入欧姆电阻时电流超过电路允许的最大值，不安全． 若电流不超过安培，则， 解得． 接入的电阻最小应为欧姆． 【分析】（1）由与的乘积为定值判断二者成反比例函数关系，并用表中数据求出，得解析式； （2）将代入解析式算出电流，与安培比较判断安全性，再由反求最小电阻． 【详解】（1）解：电压保持不变， 电流与电阻的乘积为定值，即与成反比例函数关系． 取表中时，得（伏特）． 函数解析式为． （2）略 18．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 【答案】(1)线段的函数解析式为；段的函数解析式为 (2)12小时 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点C的横坐标即可得到答案； （2）把分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得， 解得， 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， ∴双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， （小时）， 答：温度不低于的时长为12小时． 19．为应对华南地区台风季的强降雨，广州市某区建有一个地下雨水调蓄池，雨季时蓄水防涝，旱季时排空清淤．已知一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若要排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 【答案】(1) (2) (3)水池中的水至少要小时排完 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）把代入反比例函数，即可求解； （3）根据题意可知，再根据反比例函数的性质解不等式即可． 【详解】（1）解：根据图象可知是反比例函数，设，点在函数图象上， ∴， 解得， ∴函数的解析式． （2）解：当时，， ∴每小时的排水量应该是． （3）解：∵， ∴， 由函数图象可得，随着的增大而减小， ∴解得， ∴水池中的水至少要小时排完． 20．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第06讲 反比例函数的应用 （新教材北师大版） 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 2 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 2 【题型1 物理问题】 3 【题型2 几何问题】 4 【题型3 工程问题】 5 【题型4 行程问题】 7 【题型5 分段函数问题】 9 【探究式学习】 13 【课后检测】 14 【复盘笔记】 20 知识点一、用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点二、反比例函数实际应用常考题型解题方法 1.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 2.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 3.利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【题型1 物理问题】 【例1】如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】汽车油箱内的油量多少主要根据如图所示的电路进行转化后显示，在不考虑其他因素影响的条件下，油箱内油的体积V与电路中总电阻是反比例函数关系，已知测得当体积V为时，电路中总电阻为，则V与的函数解析式是（） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 【变式1-3】当压力一定时，物体所受的压强与它的受力面积之间的函数解析式为，下列说法不正确的是（     ） A．当压力，受力面积S为时，物体所受压强为 B．p关于S的函数图象位于第一、第三象限 C．压强随受力面积的增大而减小 D．函数图象不可能与坐标轴相交 【题型2 几何问题】 【例2】面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 【变式2-3】函数是刻画现实世界的有效模型，函数和现实情境之间的转换可以帮助我们简化问题的处理． (1)下列情境中，可以用反比例函数刻画的是______； A．甲、乙两地相距，行驶时间和行驶速度之间的关系； B．单价为3元的练习本，购买数量和总价的关系； C．面积为8的矩形，长和宽的关系． (2)求函数的最小值时，直接求解困难较大，我们可以给函数赋予这样的数学情境：如图，线段，，，，，则可表示为______，（用含有的代数式表示）请你结合图形，继续完成求解过程． (3)如图，四边形为矩形，，，为矩形内（不包含边界）一点，过分别向、作垂线，垂足为，，若四边形的面积为6，则称点为“美丽点”，在矩形中，，，过点的直线交直线于点，若直线上存在“美丽点”，求的取值范围． 【题型3 工程问题】 【例3】政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式3-1】某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【变式3-2】某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【变式3-3】如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【题型4 行程问题】 【例4】今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【变式4-1】甲乙两地路程固定，若车速为，4小时可以到达．设车速为 ，时间为 ． (1)求 与 的函数关系式； (2)若要求小时到达，求车速的取值范围． 【变式4-2】李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟． (1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围； (2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作轴于点A，轴于点B，求四边形的面积． 【变式4-3】丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【题型5 分段函数问题】 【例5】通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求这个分段函数的表达式； （2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由． 【变式5-1】小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【变式5-2】【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2 … (1)___________，___________； 【问题探究】 (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象： ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是___________；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 (3)结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图像； ②当时，的解集为___________ 【变式5-3】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【探究式学习】 1．探究 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：）与体积V（单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式（），即如图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 【课后检测】 1．压力F、压强p、受力面积S之间的关系为，当压力F一定时，另外两个变量的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．下列关系中，成反比例函数关系的是（     ） A．圆的面积S与它的半径r之间的关系 B．小芳从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系 C．电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系 D．小明的身高h与年龄x之间的关系 3．在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 4．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 5．清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（     ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 6．菱形两条对角线的长分别为x，y，当该菱形的面积一定时，选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（） A． B． C． D． 7．某农户计划利用已有的一堵长的墙，围成一个面积为的矩形园子，现有可用的篱笆总长为．若园子的长、宽都是整数米，则一共有几种围法?（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．某热带鱼缸的恒温系统启动时，加热棒每分钟使水温上升，当水温升至时，系统停止加热，水温开始自然下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温下降至时，恒温系统再次自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．水温从加热到时，需要 B．水温不低于的时间为 C．水温从降至，所需时间为 D．水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是 9．在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 10．在对某物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上移动的距离（米）与力（牛）成反比例函数关系，其图象如图所示．当物体在力的方向上移动的距离不超过米时，的取值范围为______． 11．在压力一定的情况下，压强与受力面积是反比例函数关系，某木块竖直放置在水平地面上，受力面积时，；若受力面积为，则它对地面的压强为_________． 12．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 13．在对物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上发生的位移单位：与力单位：成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的作用下的位移是__________________ 14．某一农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆圈成一个面积为的矩形花园，现在可用的篱笆总长为．设，． (1)请写出y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； (2)若要使的篱笆全部用完能否围成符合标准的矩形花园？若能，请求出和的值；若不能，请说明理由． 15．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出函数的表达式． (2)求出当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，直接写出气体的体积V（）的取值范围是______． 16．合肥马拉松赛事组委会安排后勤保障车，从骆岗公园后勤基地出发，匀速前往物资补给点，往返总行驶里程为千米．设后勤车行驶全程的时间为（单位：小时），汽车行驶速度为（单位：千米/小时），出于安全规定，全程行驶速度不得超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式； (2)后勤车辆上午8点从骆岗公园后勤基地出发，要求车辆行驶的时间不超过5小时，求后勤车行驶速度的取值范围． 17．在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 18．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 19．为应对华南地区台风季的强降雨，广州市某区建有一个地下雨水调蓄池，雨季时蓄水防涝，旱季时排空清淤．已知一蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间成反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)若要排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ (3)如果每小时排水量不超过，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？ 20．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $