第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试-培优卷）高一数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知，均为非零实数，那么“”是“”的（     ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 7．设，均为正实数，且，则的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．8 8．若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的为（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若，则 D．若， 则 10．下列结论正确的是（    ） A．时， B．时， C．时， D．时， 11．已知关于的不等式，下列结论错误的是（　　） A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为______． 13．已知函数则的解集为______________． 14．若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 16．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 17．（1）已知均为正数，且，求的最小值. （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值. 18．已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知，均为非零实数，那么“”是“”的（     ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 7．设，均为正实数，且，则的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．8 8．若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的为（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若，则 D．若， 则 10．下列结论正确的是（    ） A．时， B．时， C．时， D．时， 11．已知关于的不等式，下列结论错误的是（　　） A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为______． 13．已知函数则的解集为______________． 14．若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 16．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 17．（1）已知均为正数，且，求的最小值. （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值. 18．已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C D B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集是.------------------------6分 （2）由得或， 由得，即；由得，即. 所以该不等式的解集为.------------------------3分 16．(15分) 【详解】（1）不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得： ，解得；------------------------7分 （2）当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是.------------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）， ， 当且仅当，即取等号. 最小值为；------------------------5分 （2），则 ， 当，即取等号，最大值为；------------------------10分 （3） ， 当，即取等号，最大值为.------------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以或， 则不等式的解集为.------------------------5分 （2） 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：，------------------------8分 当时，有，则此时不等式解集为 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为，------------------------11分 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或.------------------------12分 （3），恒成立， 化简可得：，恒成立， 等价在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 则，，------------------------15分 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为.------------------------17分 19．(17分) 【详解】（1）由题意知，和是方程的两根，且， 所以解得.------------------------5分 （2）因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为.------------------------11分 （3）因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得， 则不等式的解集为.------------------------12分 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为．------------------------14分 当时，不等式可化为， 而，则不等式的解集为或.------------------------16分 综上所述，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或.------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一元二次不等式，即， 即，解得， 所以原不等式的解集为． 2．已知，则的最小值为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 因此该式的最小值为0. 3．已知，均为非零实数，那么“”是“”的（     ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，，而，故即， 取，则，但不成立， 故“”是“”的充分且不必要条件. 4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由命题“，”是假命题， 则其命题的否定“，”是真命题， 即，成立，即，解得， 所以实数的取值范围是． 5．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合二次函数的性质可得则是的两个不等实根，且， 解不等式和方程组求出范围后即可判断各选项. 【详解】设，若不等式的解集为， 则是的两个不等实根，且. 所以，解得， 因此 所以ABC错误，D正确. 6．若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，函数值无上界，必然存在使得，不符合题意； 当时，二次函数开口向下，要使不等式对一切实数恒成立，需二次函数图象恒在轴下方，与轴无交点， 即判别， 解得. 综上，实数的取值范围为. 7．设，均为正实数，且，则的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．8 【答案】D 【分析】通过配凑构造适用“1的代换”的结构，结合基本不等式求解的最小值. 【详解】因为均为正实数，故，由已知，， 展开得， ， 根据基本不等式得 ，当且仅当，即时等号成立， 代入得，验证等号成立条件，将代入， 得，解得，均为正实数，符合条件， 因此的最小值为8. 8．若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过二次函数在区间端点和中点的取值构造绝对值不等式推导的下界，再验证等号可取得出最小值. 【详解】设，， 分别代入得： 所以， 由绝对值不等式性质得 则，即，解得. 验证等号成立条件：取，此时， 当时，的取值范围为，满足，故可取. 因此的最小值为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的为（   ） A．若， 则 B．若， 则 C．若，则 D．若， 则 【答案】AC 【详解】对于A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个实数，不等号方向不变. 已知，两边同时减，可得，故A正确； 对于B，同向不等式仅可相加，不可直接相减， 可举反例：取，满足， 但，，不满足，故B错误； 对于C，已知，则，不等式两边同时乘正数， 不等号方向不变，可得，即，故C正确； 对于D，仅同向正数不等式可相乘，本题未说明为正， 可举反例：取，满足， 但，，不满足，故D错误. 10．下列结论正确的是（    ） A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】ACD 【详解】A项： 时，，当且仅当时取等号，A选项正确. B项： 时，，当且仅当时取等号，B选项错误. C项： 时，，当且仅当时取等号，C选项正确. D项： 时，，当且仅当时取等号，D选项正确. 11．已知关于的不等式，下列结论错误的是（　　） A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 【答案】ABC 【分析】利用一元二次不等式的解法求解不等式，即可判断选项A；在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线、直线，由图象分析，即可判断选项B；由题意得到，且，求出的值，分析或两种情况是否符合题意，即可判断选项C、D. 【详解】令，则． 选项A：因为，已知，则，故的解集为，即A错误； 选项B：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象以及直线、. 由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误； 选项C：由不等式的解集恰为，可知，即， 因为，，所以是的两个解，故. 由，解得或. 当时，，解得或，均不满足，不合题意，故C错误； 选项D：当时，，解得或，满足，此时，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为______． 【答案】 【详解】，解得. 13．已知函数则的解集为______________． 【答案】 【详解】当时，，解得，故； 当时，，解得或，故； 综上可得． 14．若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 【答案】 【详解】“存在，使得成立”是假命题， 等价于其否定“对任意，恒成立”为真命题. 由，将不等式变形为 根据基本不等式，时， ， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 要使对所有恒成立，只需， 故实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式求得正确答案. （2）由等价于或，把绝对值不等式化为两个一次不等式，分别求解后取并集. 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集是. （2）由得或， 由得，即；由得，即. 所以该不等式的解集为. 16．已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由不等式的解集为，得到和是方程的两个根，结合韦达定理求解； （2）对分，进行分类，利用恒成立的不等式列式求解. 【详解】（1）不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得： ，解得； （2）当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是. 17．（1）已知均为正数，且，求的最小值. （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值. 【答案】（1）16；（2）1；（3） 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换进行求解；（2）和（3）变形后利用基本不等式进行求解 【详解】（1）， ， 当且仅当，即取等号. 最小值为； （2），则 ， 当，即取等号，最大值为； （3） ， 当，即取等号，最大值为. 18．已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. (3) 【分析】（1）由题意可得，利用一元二次不等式的解法解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以或， 则不等式的解集为. （2） 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. （3），恒成立， 化简可得：，恒成立， 等价在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 则，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19．已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而求解即可； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，和是方程的两根，且， 所以解得. （2）因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得， 则不等式的解集为. 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 当时，不等式可化为， 而，则不等式的解集为或. 综上所述，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $