精品解析：江苏南通市启东市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次质检检测数学试题

启东市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦AB的长为5，那么的周长是　　 A. 12 B. 16 C. 21 D. 26 6. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线过点，在轴和轴上的截距相反，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 关于曲线：，下列说法正确的是（ ） A. 曲线围成图形的面积为 B. 曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C. 曲线所表示的图形是中心对称图形 D. 曲线是以为圆心，为半径的圆 11. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ） A. 存在无数个点P，使得为定值 B. 存在无数个点P，使得为定值 C. 仅存在2个点P，使得 D. 仅存在4个点P，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为实数，若点在圆的内部，求的取值范围___________． 13. 已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 四、解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：；：n为常数. （1）若，求m的值； （2）若，且它们的距离为，求m，n的值. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 17. 已知动点满足方程． （1）试将上面的方程化简为标准方程； （2）类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中，分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，如得到动点的轨迹为椭圆，则求该椭圆的面积.如不是椭圆，请写出点的轨迹图形． 18. 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程； （2）若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； （3）过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． ①证明：直线过定点； ②设直线与直线交于点，记直线的斜率为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值. 【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为； 若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为. 综上所述，双曲线的离心率为或. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题. 3. 过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于直线的方向向量为，故直线的斜率， 所以该直线的方程为，即. 4. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解. 【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图， 若甲为真命题，则； 若乙为真命题：则的周长为，即； 若丙为真命题，则离心率为； 若丁为真命题，则四边形的面积为； 当甲乙都为真时，有，解得，则， 此时，，则丙和丁都是假命题； 所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真； 若甲、丙和丁为真，则，解得， 此时满足，且，符合题意； 若乙、丙和丁为真，则，解得， 此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立； 综上，乙命题为假命题. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，进而分析得解. 5. 双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦AB的长为5，那么的周长是　　 A. 12 B. 16 C. 21 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，利用双曲线的定义可求得，，从而可求得的周长． 【详解】解：依题意，，， ，又， ． ． 即的周长是26． 故选D． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线定义的灵活应用，属于中档题． 6. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知椭圆的短轴长为圆柱的直径，即， 由图形可知椭圆的长轴为， 所以. 故选：D 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解. 【详解】设，则， 因为，可得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足， 即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 8. 如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求点到直线的距离，表示出的最大面积. 【详解】如图： ， 故. 显然当点在半圆上且时，面积最大. 因为点到直线：的距离为：. 所以点到直线的距离 故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线过点，在轴和轴上的截距相反，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程求解即可. 【详解】当直线过原点时，则斜率， 所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 10. 关于曲线：，下列说法正确的是（ ） A. 曲线围成图形的面积为 B. 曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C. 曲线所表示的图形是中心对称图形 D. 曲线是以为圆心，为半径的圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可. 【详解】曲线：如图所示： 对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为,故A正确； 对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误； 对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确； 对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误. 故选：AC 11. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ） A. 存在无数个点P，使得为定值 B. 存在无数个点P，使得为定值 C. 仅存在2个点P，使得 D. 仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】曲线代表的是椭圆和椭圆，进而逐项判断即可. 【详解】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为实数，若点在圆的内部，求的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【详解】若点在圆的内部， 则， 得， 得， 故的取值范围为： 13. 已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入直线方程，可得点，都在直线上，由两点确定一条直线即可得出直线方程. 【详解】由题知直线和都过点，则和， 所以点，都在直线上，又两点确定一条直线，所以直线方程为. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：；：n为常数. （1）若，求m的值； （2）若，且它们的距离为，求m，n的值. 【答案】（1） ；（2），或 . 【解析】 【分析】（1）由，故，解出答案. （2）由，故，解得m的值，再由它们的距离为，求出. 【详解】(1)直线：；：，若， 则，求得. (2)若，则，求得，， 故直线：；：. 再根据它们的距离为，，或. 综上可得，，或. 【点睛】本题考查根据两条直线平行和垂直求参数的值，属于基础题. 16. 在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论即可； （2）根据面积公式得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为圆  ，所以  ， 所以圆  的圆心为  ，半径为                           设圆心  到直线  的距离为  ，则  ，所以        当直线  的斜率不存在时，  ，此时                      当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为  ，则  ， 所以  ，所以  ，所以  ，即  ， 综上可知：直线  的方程为  或   【小问2详解】  的面积  ，                   由  的性质可知  ，        所以  ，                        当且仅当  时，即  时等号成立， 所以  的面积的最大值是   17. 已知动点满足方程． （1）试将上面的方程化简为标准方程； （2）类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中，分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，如得到动点的轨迹为椭圆，则求该椭圆的面积.如不是椭圆，请写出点的轨迹图形． 【答案】（1）. （2）为椭圆，． 【解析】 【小问1详解】 由，得， 两边平方得， 化简整理得， 两边平方得， 化简整理得，即. 【小问2详解】 由（1）知，动点的轨迹为椭圆，且，， 由所给椭圆面积公式得. 18. 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程； （2）若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； （3）过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在满足条件的，且坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心， （2）根据四点共圆可得圆方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程， （3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解. 【小问1详解】 设圆心的坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 则,半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法2：设，设直线上任意不同于点的点为， 根据,可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； 【小问3详解】 设存在点满足条件，由题可设直线，， 由，得， ∵点在圆内部，∴恒成立，则， 因为，所以，即， 即是，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． ①证明：直线过定点； ②设直线与直线交于点，记直线的斜率为，求的值． 【答案】（1）. （2）①证明：如图， 根据题意直线斜率存在，设，，， ，， 联立可得， 则， 由可得，即， 即 因不恒为0，则， 即直线，显然经过定点. ②； 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程可求解； （2）①设直线方程，根据的关系化简可得m，即可证；②求出交点，代入可计算的值. 【小问1详解】 由题意，四边形的对角线互相垂直， 故，解得， 又和，解得， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由上知，，联立解得， 因，故，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $