2026-2027学年湘教版七年级上册数学（（考查范围：第一章至第二章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期七年级数学期中测试卷（第三套） 湘教版七年级上册数学（2024 秋版新教材） 考查范围：第一章　有理数　第二章　代数式　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某班数学测试以 80 分为标准，超过的分数记为正，不足的分数记为负。小明考了 76 分，他的成绩应记作（　　） A. －4 分　　　　B. ＋4 分　　　　C. －76 分　　　　D. ＋76 分 2. 下列关于数轴的说法中，正确的是（　　） A. 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 B. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上所有的点也都表示有理数 C. 数轴上离原点越远的点表示的数越大 D. 数轴上原点左边的点表示的数都是正数 3. 若一个数的倒数是它本身，则这个数是（　　） A. 1　　　　B. －1　　　　C. 0　　　　D. ±1 4. 下列计算正确的是（　　） A. －7＋3＝－10　　　　B. －2×(－3)×(－1)＝－6 C. (－6)÷()＝－18　　　　D. －5－(－5)＝－10 5. 天文学家测得某恒星与地球的距离约为 42 000 000 000 000 千米，将 42 000 000 000 000 用科学记数法表示为（　　） A. 4.2×10¹²　　　　B. 4.2×10¹³　　　　C. 42×10¹²　　　　D. 0.42×10¹⁴ 6. 下列各式中，不是整式的是（　　） A. 2x　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. －7 7. 有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A. a＋b＞0　　　　B. |a|＞|b|　　　　C. a－b＞0　　　　D. ab＞0 8. “x 的 2 倍与 y 的差的平方”用代数式表示为（　　） A. 2x－y²　　　　B. (2x－y)²　　　　C. 2(x－y)²　　　　D. 2x²－y² 9. 化简 (3x²－2x＋1)－(x²＋x－3) 的结果是（　　） A. 2x²－3x＋4　　　　B. 2x²－x－2　　　　C. 4x²－3x＋4　　　　D. 2x²－3x－2 10. 观察下列等式：1×3＝3＝2²－1；2×4＝8＝3²－1；3×5＝15＝4²－1；…，按此规律，则 9×11＝（　　） A. 98　　　　B. 99　　　　C. 100　　　　D. 101 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 在数轴上，与表示 －2 的点的距离为 3 的点表示的数是＿＿＿＿。 12. 若 |x|＝2，y²＝9，且 xy＞0，则 x－y＝＿＿＿＿。 13. 单项式 －2x²y³ 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿。 14. 某书店的某种图书原价为 a 元，现在按原价的八折出售，若付款时再使用一张 5 元的优惠券，则购买一本这种图书实际需要付款＿＿＿＿元（用含 a 的代数式表示）。 15. 当 x＝2 时，代数式 ax³＋bx－1 的值为 7；则当 x＝－2 时，代数式 ax³＋bx＋3 的值为＿＿＿＿。 16. 观察下列一列数：－1，4，－9，16，－25，…，按此规律，第 10 个数是＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 17.（6 分）计算： (1) －3²＋(－2)²×2－(－1)²⁰²⁷； (2) (－36)×(＋－)（要求使用运算律简便计算）。 18.（8 分）已知 A＝3x²－2xy＋y²，B＝－x²＋xy－2y²。 (1) 求 A＋B； (2) 求 A－2B； (3) 当 x＝－1，y＝2 时，求 A－2B 的值。 19.（8 分）如图，数轴上已标出刻度，点 A 表示的数是 －4，点 B 表示的数是 3。 (1) 在数轴上标出点 A 关于原点的对称点 C，并写出点 C 表示的数； (2) 在数轴上标出所有与点 B 的距离为 2 个单位长度的点，并写出它们表示的数； (3) 若点 M 也在数轴上，且点 M 到点 A 的距离与到点 B 的距离之和恰好等于 A、B 两点间的距离，请指出点 M 的位置范围； (4) 写出 (3) 中点 M 表示的数里的最大整数值与最小整数值。 20.（9 分）某超市仓库周一早晨库存某种商品 200 箱，一周内每天的进出库记录如下表（记进库为正，出库为负，单位：箱）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出库量 ＋120 －85 －40 ＋60 －110 ＋75 －30 (1) 周日结束营业时，仓库里这种商品还有多少箱？ (2) 这一周中，哪一天结束营业时的库存量最多？最多是多少箱？ (3) 若每进库 1 箱需要运费 2 元，每出库 1 箱需要仓储费 1 元，求这一周的总费用。 21.（9 分）对任意有理数 a、b，规定两种新的运算：a※b＝a²－b；a＃b＝2a＋b²。 (1) 求 3※(－2) 的值； (2) 求 (－1＃2)※3 的值； (3) 小明计算得到 2※1＝3，1※2＝－1，于是他认为“a※b 与 b※a 的结果总是互为相反数”。你认为他的判断正确吗？请举例说明。 22.（10 分）已知一个长方形的长为 (3a＋2b) 厘米，宽比长少 (a－b) 厘米。 (1) 用含 a、b 的代数式表示这个长方形的宽； (2) 求这个长方形的周长（用含 a、b 的代数式表示，结果化为最简）； (3) 当 a＝2，b＝1 时，求这个长方形的周长与面积。 23.（10 分）用大小相同的小正方形按下面的方式搭成阶梯形图案： (1) 搭第 6 个图形需要多少个小正方形？ (2) 搭第 n 个图形需要多少个小正方形（用含 n 的代数式表示）？ (3) 是否存在恰好由 55 个小正方形搭成的图形？若存在，求出它是第几个图形；若不存在，请说明理由。 24.（12 分）已知数轴上两点 A、B，它们表示的数分别是 －9 和 6。动点 P 从点 A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒 2 个单位长度；同时动点 Q 从点 B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒 3 个单位长度。设运动的时间为 t 秒。 (1) A、B 两点之间的距离是多少？ (2) ①经过多少秒，P、Q 两点相遇？②求当 P、Q 两点相距 5 个单位长度时 t 的值； (3) 当点 P 到达点 B 后立即以原来的速度返回（向左运动），点 Q 到达点 A 后也立即以原来的速度返回（向右运动）。求从出发到 P、Q 第二次相遇经过的时间，并写出第二次相遇点表示的数。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】A 【详解】以 80 分为标准，超过记正、不足记负。小明 76 分，比标准少 80－76＝4 分， 所以应记作 －4 分（注意是“与标准的差”，不是“－76 分”）。故选 A。 2．【答案】A 【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向、单位长度，数轴是一条直线，正确； B：所有有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上还存在表示无理数（如后面要学的无限不循环小数）的点，后半句错误； C：原点左边离原点越远，数反而越小（如 －5 比 －1 离原点远但更小），错误； D：原点左边的点表示的数都是负数，错误。故选 A。 3．【答案】D 【详解】乘积为 1 的两个数互为倒数。设这个数为 x，则 x×x＝1，x²＝1。 因为 1×1＝1，(－1)×(－1)＝1，所以 x＝±1。 易错：0 的倒数不存在（0 乘任何数都是 0，不等于 1），所以不能选 C。故选 D。 4．【答案】B 【详解】A：－7＋3＝－4（异号相加，取绝对值较大的符号），错误； B：－2×(－3)×(－1)＝6×(－1)＝－6，负因数有奇数个，积为负，正确； C：(－6)÷()＝6×3＝18（负除以负得正），错误； D：－5－(－5)＝－5＋5＝0（任何数与它的相反数之和为 0），错误。故选 B。 5．【答案】B 【详解】42 000 000 000 000 是 14 位数，小数点向左移动 13 位得 4.2， 所以 42 000 000 000 000＝4.2×10¹³（千米）。 检验：C 中 42 不在 1～10 之间，D 中 0.42 小于 1，都不符合科学记数法的要求。故选 B。 6．【答案】C 【详解】单项式与多项式统称整式，整式中分母不能含字母。 C 中 的分母含字母 x，它是后面要学的分式，不是整式； A、D 是单项式，B 中 可写成 与 的和，分母是数字 3，是多项式，都是整式。故选 C。 7．【答案】A 【详解】由数轴可知 a＝－2，b＝3，所以 |a|＝2，|b|＝3。 A：a＋b＝－2＋3＝1＞0，正确；B：|a|＝2＜3＝|b|，错误； C：a－b＝－2－3＝－5＜0，错误；D：ab＝(－2)×3＝－6＜0，错误。故选 A。 8．【答案】B 【详解】“x 的 2 倍与 y 的差”先写成 2x－y，再对“差”求平方， 所以是 (2x－y)²。A 表示“x 的 2 倍与 y 的平方的差”； C 表示“x 与 y 的差的平方的 2 倍”；D 表示“x 的平方的 2 倍与 y 的平方的差”，都与题意不符。故选 B。 关键：抓住“谁的平方”——本题是“差的平方”，要把差先括起来。 9．【答案】A 【详解】原式＝3x²－2x＋1－x²－x＋3（去括号：括号前是“－”，括号内各项都变号） ＝(3－1)x²＋(－2－1)x＋(1＋3)＝2x²－3x＋4。故选 A。 10．【答案】B 【详解】规律：两个因数的和都是 12，且 1×3＝2²－1，2×4＝3²－1，3×5＝4²－1， 即 n×(12－n)＝(n＋1)²－1。9×11 中 9＋11＝12，对应 10²－1＝99。 检验：10²－1＝100－1＝99，而 9×11＝99，一致。故选 B。 二、填空题 11．【答案】1 或 －5 【详解】与表示 －2 的点的距离为 3 的点有两个： 在它右边：－2＋3＝1；在它左边：－2－3＝－5。 注意：这类题不要漏掉左边（负方向）的点。 12．【答案】1 或 －1 【详解】|x|＝2，则 x＝±2；y²＝9，则 y＝±3。 由 xy＞0 知 x、y 同号：① x＝2，y＝3，x－y＝－1；② x＝－2，y＝－3，x－y＝－2－(－3)＝1。 所以 x－y＝1 或 －1。 13．【答案】系数是 －2，次数是 5 【详解】单项式中的数字因数是系数，为 －2； 所有字母的指数之和是次数：2＋3＝5。 提醒：系数包含符号，是“－2”而不是“2”。 14．【答案】(0.8a－5) 【详解】按原价的八折出售，售价为 a×0.8＝0.8a（元）； 再使用一张 5 元优惠券，实际付款 0.8a－5＝(0.8a－5)（元）。 提醒：先打折、后减券，顺序不能颠倒；结果作为代数式要加括号再带单位。 15．【答案】－5 【详解】当 x＝2 时，ax³＋bx－1＝7，所以 8a＋2b＝8（即 a×2³＋b×2＝8）。 当 x＝－2 时，ax³＋bx＋3＝a×(－2)³＋b×(－2)＋3＝－8a－2b＋3 ＝－(8a＋2b)＋3＝－8＋3＝－5。 技巧：x 取相反数时，ax³＋bx 的值也变为相反数，把 8a＋2b 看作一个整体代入。 16．【答案】100 【详解】这列数的规律：第 n 个数的绝对值是 n²，且奇数项为负、偶数项为正。 10 是偶数，所以第 10 个数是 10²＝100。 三、解答题 17．【答案】(1) 0；(2) 16 【详解】(1) 原式＝－9＋4×2－(－1)（先算乘方：－3²＝－9（注意不是 (－3)²），(－2)²＝4，(－1)²⁰²⁷＝－1） ＝－9＋8＋1（减去 －1 即加 1） ＝0。 (2) 利用分配律：原式＝(－36)×()＋(－36)×＋(－36)×() ＝9－8＋15＝16。 提醒：36 是 4、9、12 的公倍数；负数乘负数得正，两项都要变号处理，别漏乘。 18．【答案】(1) A＋B＝2x²－xy－y²；(2) A－2B＝5x²－4xy＋5y²；(3) 值为 33 【详解】(1) A＋B＝(3x²－2xy＋y²)＋(－x²＋xy－2y²) ＝(3－1)x²＋(－2＋1)xy＋(1－2)y²＝2x²－xy－y²。 (2) A－2B＝(3x²－2xy＋y²)－2(－x²＋xy－2y²) ＝3x²－2xy＋y²＋2x²－2xy＋4y²（“－2”乘括号内每一项，注意变号） ＝(3＋2)x²＋(－2－2)xy＋(1＋4)y²＝5x²－4xy＋5y²。 (3) 当 x＝－1，y＝2 时，A－2B＝5×(－1)²－4×(－1)×2＋5×2² ＝5＋8＋20＝33。 注意：代入负数要加括号：(－1)²＝1，2²＝4；－4×(－1)×2＝＋8。 19．【答案】(1) C 表示 4；(2) D、E 表示 1 和 5；(3) M 在表示 －4 到 3 的点之间（含两端）；(4) 最大整数 3，最小整数 －4 【详解】(1) 点 A 表示 －4，A 关于原点的对称点到原点的距离与 A 相等、方向相反， 所以点 C 在原点右侧 4 个单位处，表示的数是 4（也就是 －4 的相反数）。在数轴上原点右侧 4 个单位处描点并标上 C。 (2) 与点 B（表示 3）距离为 2 的点有两个： 右边的点：3＋2＝5；左边的点：3－2＝1。在数轴上表示 1 和 5 的位置描点。 (3) A、B 两点间的距离为 3－(－4)＝7。 若点 M 在 A、B 之间（含端点），M 到 A 与到 B 的距离之和恰好等于 7； 若点 M 在 A 的左边或 B 的右边，距离之和会大于 7（多走了“折返”的路）。 所以点 M 在表示 －4 的点到表示 3 的点之间的部分（包括两端点），即线段 AB 上的所有点。 (4) 这段范围内的整数有 －4、－3、－2、－1、0、1、2、3， 所以最大整数值是 3，最小整数值是 －4。 小结：“距离之和等于两点间距离”当且仅当点在两点之间，这是数轴上的重要结论。 20．【答案】(1) 190 箱；(2) 周一最多，为 320 箱；(3) 总费用为 775 元 【详解】(1) 一周进出库的总量：＋120－85－40＋60－110＋75－30 ＝(120＋60＋75)－(85＋40＋110＋30)＝255－265＝－10（箱）。 周日结束营业时库存：200－10＝190（箱）。 (2) 逐日累计库存：周一 200＋120＝320；周二 320－85＝235；周三 235－40＝195； 周四 195＋60＝255；周五 255－110＝145；周六 145＋75＝220；周日 220－30＝190（箱）。 所以周一结束营业时库存量最多，为 320 箱。 (3) 进库总量：120＋60＋75＝255（箱），运费 255×2＝510（元）； 出库总量：85＋40＋110＋30＝265（箱），仓储费 265×1＝265（元）。 总费用＝510＋265＝775（元）。 提醒：运费与仓储费都按“实际搬运的箱数”（绝对值）计算，与库存的增减无关。 21．【答案】(1) 11；(2) 1；(3) 小明的判断不正确 【详解】(1) 3※(－2)＝3²－(－2)＝9＋2＝11。 (2) 先算小括号：－1＃2＝2×(－1)＋2²＝－2＋4＝2； 再算 2※3＝2²－3＝4－3＝1。 (3) 小明的判断不正确。举反例： 3※1＝3²－1＝9－1＝8；1※3＝1²－3＝1－3＝－2。 8 与 －2 不互为相反数（互为相反数应满足 8＋(－2)＝0，但 8＋(－2)＝6≠0）， 所以“a※b 与 b※a 的结果总是互为相反数”这个结论不成立。 说明：验证一个结论，一个反例就足够推翻它；小明只验证了 2※1 与 1※2 这一组巧合的数据。 22．【答案】(1) 宽为 (2a＋3b) 厘米；(2) 周长为 (10a＋10b) 厘米；(3) 周长 30 厘米，面积 56 平方厘米 【详解】(1) 宽比长少 (a－b) 厘米，所以宽＝(3a＋2b)－(a－b) ＝3a＋2b－a＋b（去括号，注意变号）＝(2a＋3b)（厘米）。 (2) 长方形周长＝2×(长＋宽)＝2×[(3a＋2b)＋(2a＋3b)] ＝2×(5a＋5b)＝(10a＋10b)（厘米）。 (3) 当 a＝2，b＝1 时： 周长＝10×2＋10×1＝30（厘米）； 长＝3×2＋2×1＝8（厘米），宽＝2×2＋3×1＝7（厘米）， 面积＝8×7＝56（平方厘米）。 检验：宽比长少 (a－b)＝1 厘米，8－7＝1，与题设相符。 23．【答案】(1) 21 个；(2) n(n＋1)÷2 个；(3) 存在，第 10 个图形 【详解】(1) 第 1 个图形由 1 个小正方形组成；第 2 个由 1＋2＝3 个组成； 第 3 个由 1＋2＋3＝6 个组成。每往下一层多 1 个。 第 6 个图形需要 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个）。 (2) 第 n 个图形需要 1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)÷2（个）小正方形。 验证：n＝1 时 1 个，n＝2 时 3 个，n＝3 时 6 个，与图形相符。 (3) 假设存在，则 n(n＋1)÷2＝55，所以 n(n＋1)＝110。 因为 10×11＝110，所以 n＝10，是正整数， 所以存在，第 10 个图形恰好由 55 个小正方形搭成。 技巧：遇到 n(n＋1)＝一个数时，把积拆成两个相邻正整数的乘积来试验。 24．【答案】(1) 15；(2) ①3 秒；②t＝2 秒或 t＝4 秒；(3) 9 秒，第二次相遇点表示 3 【详解】(1) A、B 两点间的距离＝6－(－9)＝15。 (2) ① P、Q相向而行，每秒共走 2＋3＝5 个单位长度， 相遇时间为 15÷5＝3（秒）（此时 P 走了 2×3＝6 个单位，－9＋6＝－3，相遇在表示 －3 的点）。 ② 相遇前相距 5 个单位长度：距离需要缩短 15－5＝10，用时 10÷5＝2（秒）； 相遇后继续运动再拉开 5 个单位长度：P、Q 共走 15＋5＝20，用时 20÷5＝4（秒）。 所以当 t＝2 秒或 t＝4 秒时，P、Q 两点相距 5 个单位长度。分类讨论：相遇前、相遇后各一种，不要漏解。 (3) P 从 A 到 B 需要 15÷2＝7.5 秒；Q 从 B 到 A 需要 15÷3＝5 秒。 t＝5 秒时，Q 到达点 A（表示 －9）并立即返回向右；此时 P 的位置为 －9＋2×5＝1。 Q 从 －9 向右，每秒 3 个单位；P 继续向右，每秒 2 个单位。Q 在 P 的左侧且速度更快，属同向追及， 两者相距 1－(－9)＝10，每秒拉近 3－2＝1 个单位。但 P 到达点 B 只需 7.5 秒， 到 t＝7.5 秒时，Q 爬到 －9＋3×(7.5－5)＝－1.5，两者相距 6－(－1.5)＝7.5，还没有追上。 t＝7.5 秒后，P 到达点 B（表示 6）并立即返回向左；Q 在 －1.5 继续向右。两点相向而行， 相距 6－(－1.5)＝7.5 个单位，每秒共走 2＋3＝5 个单位，还需 7.5÷5＝1.5（秒）。 所以从出发到第二次相遇共经过 7.5＋1.5＝9（秒）。 第二次相遇点：P 的总路程为 2×9＝18 个单位，先走 15 个单位到 B，再返回 18－15＝3 个单位， 位置为 6－3＝3；检验 Q：总路程 3×9＝27 个单位，先走 15 个单位到 A，再返回 27－15＝12 个单位， 位置为 －9＋12＝3，两种算法一致，正确。 小结：折返问题先算“各自到达端点的时间”，再逐段判断运动方向：相向用“速度和”，同向追及用“速度差”。 学科网（北京）股份有限公司 $