2026-2027学年北师大版七年级上册数学期中测试卷（第一套）（考查范围：第一章至第三章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期七年级数学期中测试卷（第一套） 北师大版七年级上册数学（2024 秋版新教材） 考查范围：第一章　丰富的图形世界　第二章　有理数及其运算　第三章　整式及其加减　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果向东走 3 km 记作 ＋3 km，那么 －5 km 表示（　　） A. 向东走 5 km　　　　B. 向西走 5 km　　　　C. 向南走 5 km　　　　D. 向北走 5 km 2. 将一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是（　　） A. 圆柱　　　　B. 圆锥　　　　C. 球　　　　D. 棱柱 3. 下列各组数中，互为相反数的是（　　） A. －(－3) 与 －|－3|　　　　B. ＋(－3) 与 －3 C. |－3| 与 |3|　　　　D. －(－3) 与 3 4. 2026 年春节期间，全国国内旅游出游约 4.74×10⁸ 人次。用原数表示 4.74×10⁸，正确的是（　　） A. 474 000 000　　　　B. 47 400 000　　　　C. 4 740 000 000　　　　D. 4 740 000 5. 如图是一个正方体的表面展开图，每个面上都标注了一个汉字，则在原正方体中，与“数”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A. 真　　　　B. 美　　　　C. 世　　　　D. 界 6. 下列说法中，正确的是（　　） A. 单项式 －2x³y² 的系数是 －2，次数是 5 B. 单项式 x 的系数是 0，次数是 1 C. 多项式 x²y－3xy²＋y³ 是二次三项式 D. －5 是多项式，且它的次数为 0 7. 有理数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A. a＞b　　　　B. |a|＜|c|　　　　C. b＋c＜0　　　　D. b－a＞0 8. 下列各组单项式中，是同类项的是（　　） A. －2a²b 与 3a²b　　　　B. 4ab²c 与 4abc C. x²y 与 x²y²　　　　D. 3x 与 3y 9. 用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（　　） A. 三角形　　　　B. 四边形　　　　C. 五边形　　　　D. 七边形 10. 如图是从正面、左面、上面看到的由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的形状图，则搭成这个几何体最少需要的小正方体个数是（　　） A. 6 个　　　　B. 7 个　　　　C. 8 个　　　　D. 9 个 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 用“＞”或“＜”填空：＿＿＿＿。 12. 若 |a－2|＋|b＋3|＝0，则 a＋b＝＿＿＿＿。 13. 据统计，2026 年上半年我国某型号新能源汽车产量约为 12 800 000 辆，将 12 800 000 用科学记数法表示为＿＿＿＿。 14. 一个两位数，它的十位数字为 a，个位数字为 b，则这个两位数可以表示为＿＿＿＿。 15. 若一个 n 棱柱有 30 条棱，则这个棱柱共有＿＿＿＿个面。 16. 若多项式 x²＋kxy－3xy＋y² 中不含 xy 项，则 k 的值为＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 17.（8 分）计算： (1) －1²⁰²⁶＋(－3)²÷3×2－|－2|； (2) (－36)×(－＋)（要求使用运算律简便计算）。 18.（8 分）先化简，再求值：2(x²y＋xy²)－3(x²y－xy²)－xy²，其中 x＝－1，y＝2。 19.（8 分）如图，是用一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体。请按要求完成下列各题： (1) 在给定的网格中，分别画出从正面看、从左面看、从上面看到的这个几何体的形状图； (2) 若每个小正方体的棱长为 1 cm，求这个几何体的体积； (3) 求这个几何体的表面积。 20.（8 分）某仓储中心上周一早晨库存货物 100 吨，一周内每天的进出货记录如下表（记进货为正，出货为负，单位：吨）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进出货量 ＋32 －18 －24 ＋50 －36 ＋12 －20 (1) 上周日营业结束后，库存货物比周一早晨增加还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2) 已知进货每吨需要运费 8 元，出货每吨需要运费 6 元，求这周总运费。 21.（9 分）数学老师在黑板上写了一道化简求值题：先化简，再求值：3x²－[7x－(4x－3)－2x²]，其中 x＝－2。小明的解答过程如下： 第一步：原式＝3x²－7x－(4x－3)－2x²； 第二步：＝x²－11x＋3； 第三步：当 x＝－2 时，原式＝4＋22＋3＝29。 (1) 小明的解答从第几步开始出现错误？并说明错误的原因； (2) 请写出正确的化简与求值过程。 22.（9 分）已知数轴上点 A 表示的数是 －3，点 B 表示的数是 5。 (1) A、B 两点之间的距离是＿＿＿＿；若点 C 也在数轴上，且点 C 到点 A 的距离为 6，则点 C 表示的数是＿＿＿＿； (2) 若 |x＋3|＋|x－5| 取最小值，写出所有符合条件的整数 x； (3) 一动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动。经过多少秒，P、Q 两点相距 2 个单位长度？ 23.（10 分）如图，用牙签按规律摆成一排的正六边形： (1) 搭第 4 个图形需要多少根牙签？ (2) 搭第 n 个图形需要多少根牙签（用含 n 的代数式表示）？ (3) 是否存在某个图形恰好用了 2026 根牙签？若存在，求出它是第几个图形；若不存在，请说明理由。 24.（12 分）已知数轴上有 A、B 两点，它们表示的数分别为 a、b，且 |a＋2|＋(b－6)²＝0。 (1) 求点 A、点 B 表示的数； (2) 动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动。求经过多少秒，点 P 与点 Q 相遇； (3) 当点 P 到达点 B 后立即以原来的速度返回（沿数轴向左运动），点 Q 继续按原来的速度和方向运动。求从出发到 P、Q 第二次相遇经过的时间，并写出第二次相遇点所表示的数。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】B 【详解】正数与负数表示具有相反意义的量。向东走记为正，那么向西走就记为负。 所以 －5 km 表示向西走 5 km。故选 B。 2．【答案】B 【详解】直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，斜边扫过的痕迹形成一个曲面， 得到的几何体是圆锥（这条不动的直角边就是圆锥的高）。绕一边旋转，面动成体。故选 B。 3．【答案】A 【详解】先化简每个数：A 中 －(－3)＝3，－|－3|＝－3，3 与 －3 互为相反数，正确； B 中 ＋(－3)＝－3 与 －3 相等，不是相反数；C 中 |－3|＝3 与 |3|＝3 相等； D 中 －(－3)＝3 与 3 相等。故选 A。 4．【答案】A 【详解】科学记数法 a×10ⁿ 中，n 等于原数的整数位数减 1。4.74×10⁸ 说明原数是9 位数， 小数点向右移动 8 位，得 474 000 000。故选 A。 5．【答案】D 【详解】正方体展开图中，同一行中隔一个正方形的两个面是相对面，“真”与“美”分别在“数”的上下两侧，上下隔行也互为相对面。 所以“学”与“世”相对，“数”与“界”相对，“真”与“美”相对。故选 D。 6．【答案】A 【详解】A：单项式 －2x³y² 的数字因数是系数，为 －2；所有字母的指数之和是次数，3＋2＝5，正确； B：单项式 x 的系数是 1（省略不写），次数是 1，错误； C：x²y－3xy²＋y³ 中各项的最高次数是 3，所以它是三次三项式，错误； D：－5 是单项式（单独一个数也是单项式），不是多项式，错误。故选 A。 7．【答案】D 【详解】由数轴可知 a＝－4，b＝－1，c＝3。 A：a＜b，错误；B：|a|＝4＞|c|＝3，错误；C：b＋c＝－1＋3＝2＞0，错误； D：b－a＝－1－(－4)＝3＞0，正确。故选 D。结论：减去一个数等于加上它的相反数。 8．【答案】A 【详解】同类项必须同时满足：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同（与系数、字母顺序无关）。 A：－2a²b 与 3a²b 所含字母相同，a、b 的指数也分别相同，是同类项； B：4ab²c 与 4abc 中 b 的指数不同，不是同类项；C：x²y 与 x²y² 中 y 的指数不同，不是同类项； D：3x 与 3y 所含字母不同，不是同类项。故选 A。 9．【答案】D 【详解】正方体最多有 6 个面，截面最多与 6 个面相交，所以截面最多是六边形，不可能是七边形。 三角形、四边形、五边形、六边形都可以截出。故选 D。 10．【答案】C 【详解】俯视图有 6 个格子，所以至少要 6 个小正方体。由正视图知：第 1、3 列最高 2 层，第 2 列最高 1 层； 由左视图知：靠前排（对应左视图第 1 列）最高 2 层，靠后排最高 1 层。 所以第 2 列两个格子都只能放 1 个；高 2 层的位置只能放在第 1 列、第 3 列的靠前排。 最少需要：2＋1＋2＋1＋1＋1＝8（个）。故选 C。技巧：先满足俯视图的“格子数”，再逐列满足正视图、左视图的最大高度。 二、填空题 11．【答案】＞ 【详解】两个负数比较大小，绝对值大的反而小。||＝＝，||＝＝。 因为 ＜，所以 ＞ 。 12．【答案】－1 【详解】绝对值具有非负性：|a－2|≥0，|b＋3|≥0。两个非负数的和为 0，则每一个都是 0。 所以 a－2＝0 且 b＋3＝0，即 a＝2，b＝－3。所以 a＋b＝2＋(－3)＝－1。 13．【答案】1.28×10⁷ 【详解】12 800 000 是8 位数，小数点向左移动 7 位得到 1.28，所以 12 800 000＝1.28×10⁷。 科学记数法中 1≤|a|＜10，n＝整数位数－1。 14．【答案】10a＋b 【详解】十位数字为 a 表示有 a 个十，个位数字为 b 表示有 b 个一， 所以这个两位数＝a×10＋b×1＝10a＋b。注意：不能写成 ab。 15．【答案】12 【详解】n 棱柱有 3n 条棱（上底 n 条、下底 n 条、侧棱 n 条）。由 3n＝30 得 n＝10， 它是十棱柱，共有 n＋2＝12 个面（10 个侧面＋2 个底面）。 16．【答案】3 【详解】合并同类项：x²＋kxy－3xy＋y²＝x²＋(k－3)xy＋y²。 不含 xy 项，即 xy 项的系数为 0，所以 k－3＝0，k＝3。 三、解答题 17．【答案】(1) 3；(2) －19 【详解】(1) 原式＝－1＋9÷3×2－2（先算乘方：1²⁰²⁶＝1，(－3)²＝9；|－2|＝2） ＝－1＋6－2（乘除运算从左到右：9÷3×2＝3×2＝6） ＝－1＋6－2＝3。 (2) 利用分配律去掉括号：原式＝(－36)×＋(－36)×()＋(－36)× ＝－18＋20－21＝－19。 提醒：负数乘正数得负，负数乘负数得正；分母 9、12 都能整除 36，分配律使计算简便。 18．【答案】化简结果为 －x²y＋4xy²，值为 －18 【详解】原式＝2x²y＋2xy²－3x²y＋3xy²－xy²（去括号：括号前是“－”，括号内各项都变号） ＝(2－3)x²y＋(2＋3－1)xy²（合并同类项：系数相加，字母与指数不变） ＝－x²y＋4xy²。 当 x＝－1，y＝2 时，原式＝－(－1)²×2＋4×(－1)×2²＝－1×2－16＝－18。 注意：代入负数时要加括号，(－1)²＝1，2²＝4，符号不能出错。 19．【答案】(1) 见详解图；(2) 8 cm³；(3) 表面积为 28 cm² 【详解】(1) 从正面看有 3 列，各列最高层数从左到右为 1、2、1； 从左面看有 2 列，前后两排的最高层数都是 2，所以画成 2×2 的正方形； 从上面看有 2 行 3 列，6 个格子全部都有小正方体，画成 3×2 的长方形。（画图时用实线画出格线并涂出相应格子） (2) 几何体共由 8 个小正方体搭成（前排 1＋2＋1＝4 个，后排同样 4 个）。 每个小正方体体积为 1×1×1＝1 cm³，所以体积 V＝8×1＝8 cm³。 (3) 先数三个方向的面积：从正面看 1＋2＋1＝4 个面，从左面看 2＋2＝4 个面，从上面看 3×2＝6 个面。 几何体的前与后、左与右、上与下看到的面积分别相等，所以表面积 S＝2×(4＋4＋6)＝28 cm²。 20．【答案】(1) 减少了 4 吨；(2) 总运费为 1340 元 【详解】(1) 把一周的进出货量相加：＋32－18－24＋50－36＋12－20 ＝(32＋50＋12)－(18＋24＋36＋20)＝94－98＝－4（吨）。 结果为负，说明库存减少了，减少了 4 吨（周日库存为 100－4＝96 吨）。 (2) 进货吨数：32＋50＋12＝94（吨）；出货吨数：|－18|＋|－24|＋|－36|＋|－20|＝98（吨）。 总运费＝94×8＋98×6＝752＋588＝1340（元）。 提醒：运费只与“进货用单价 8 元、出货用单价 6 元”有关，出货量要取绝对值，与库存变化无关。 21．【答案】(1) 从第一步开始错误；(2) 正确结果为 23 【详解】(1) 小明从第一步就错了。去中括号时，括号前是“－”号，括号内各项都要变号： －[7x－(4x－3)－2x²] 应该得到 －7x＋(4x－3)＋2x²，而不是 －7x－(4x－3)－2x²。 (2) 正确过程：原式＝3x²－[7x－4x＋3－2x²]（先把小括号去掉） ＝3x²－(3x＋3－2x²)＝3x²－3x－3＋2x²（去中括号，各项变号） ＝5x²－3x－3。 当 x＝－2 时，原式＝5×(－2)²－3×(－2)－3＝20＋6－3＝23。 方法总结：多层括号去括号时，一般由内到外，每一步都要注意符号变化。 22．【答案】(1) 8；－9 或 3；(2) －3、－2、－1、0、1、2、3、4、5 共 9 个；(3) 秒或 2 秒 【详解】(1) 数轴上两点间的距离＝较大数减较小数：5－(－3)＝8。 点 C 到点 A 的距离为 6：若点 C 在 A 左侧，－3－6＝－9；若在 A 右侧，－3＋6＝3。所以点 C 表示 －9 或 3。 (2) |x＋3| 表示 x 到 －3 的距离，|x－5| 表示 x 到 5 的距离，两者之和的最小值就是 A、B 两点间的距离 8， 当 x 在 －3 与 5 之间（含端点）时取得。符合条件的整数 x 有：－3、－2、－1、0、1、2、3、4、5，共 9 个。 (3) P、Q 相向而行，每秒共走 2＋3＝5 个单位长度。初始距离 8。 ① 相遇前相距 2 个单位长度：需要缩短 8－2＝6，用时 (8－2)÷5＝（秒）； ② 相遇后继续运动，再拉开 2 个单位长度：共需走 8＋2＝10，用时 (8＋2)÷5＝2（秒）。 所以经过 秒或 2 秒，P、Q 两点相距 2 个单位长度。分类讨论：相遇前、相遇后各一种情况，不要漏解。 23．【答案】(1) 21 根；(2) (5n＋1) 根；(3) 存在，第 405 个图形 【详解】(1) 第 1 个图形 6 根；每多搭一个六边形，只增加 5 根（共用一条边）。 所以第 4 个图形需要 6＋5×3＝21 根。 (2) 第 n 个图形需要 6＋5(n－1)＝5n＋1 根牙签。 验证：n＝1 时 6 根，n＝2 时 11 根，n＝3 时 16 根，与图形相符。 (3) 假设存在，则 5n＋1＝2026，所以 5n＝2025，n＝(2026－1)÷5＝405。 n 为正整数，所以存在，是第 405 个图形恰好用了 2026 根牙签。 24．【答案】(1) 点 A 表示 －2，点 B 表示 6；(2) 秒；(3) 8 秒，相遇点表示的数是 －10 【详解】(1) |a＋2|≥0，(b－6)²≥0（平方具有非负性），两个非负数的和为 0，则每一个都为 0。 所以 a＋2＝0，b－6＝0，即 a＝－2，b＝6。 (2) A、B 两点间的距离为 6－(－2)＝8。P、Q 相向而行，每秒共走 3＋2＝5 个单位长度， 所以相遇时间为 8÷5＝（秒）。 (3) 点 P 从 A 到 B 需 8÷3＝（秒），此时点 Q 已向左走了 2×＝ 个单位， 点 Q 的位置为 6－＝，在原点右侧，而点 P 恰好在点 B（表示 6）处，在点 Q 的右侧。 此后 P 向左、Q 也向左，P 的速度比 Q 快，属同向追及：两者相距 6－＝， 每秒拉近 3－2＝1 个单位长度，追上还需 ()÷(3－2)＝（秒）。 所以从出发到第二次相遇共经过 ＋＝8（秒）。 第二次相遇点：点 Q 从 6 向左共走 2×8＝16 个单位，6－16＝－10，即相遇在表示 －10 的点。 检验：点 P 的位置为 －2＋3×－3×(8－)＝6－16＝－10，一致，正确。 学科网（北京）股份有限公司 $