精品解析：天津市杨村第六中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年度杨村六中第一学期第一次练习九年级数学·试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程需同时满足：是整式方程，只含1个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0. 与均含有2个未知数，不符合“一元”的要求，故选项AC不合题意. 只含1个未知数，且的最高次数为2，是整式方程，符合所有条件，故选项B符合题意. 未明确，当时不是二次方程，故选项D不合题意. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，直接计算判别式，确定符号即可确定答案． 【详解】解：一元二次方程， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根是解决问题的关键． 3. 某校去年投资2万元购买实验器材，预期明年的投资额为8万元．若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x，则下面所列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程． 【详解】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x， 今年的投资金额为：2（1+x）； 明年的投资金额为： ； 根据题意得： ． 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 4. 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：点、是二次函数图象上的两点， ，． ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上的特征，利用二次函数图象上的坐标特征求出，的值是解题的关键． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式：的顶点坐标为即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是求二次函数图象的顶点坐标，掌握二次函数顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键． 6. 某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛.如果全队有名队员，根据题意下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两名队员间进行一场比赛，x名队员比赛总场数=，即可列方程求解． 【详解】解：设有x名队员，每个队员都要赛（x-1）场，但两人之间只有一场比赛， 故， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系为：比赛场数=人数×（人数-1）÷2，进而得出方程是解题关键． 7. 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　) A. m＞1 B. m＞0 C. m＞－1 D. －1＜m＜0 【答案】B 【解析】 【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组． 【详解】顶点坐标（m，m+1）在第一象限，则有 解得：m>0， 故选：B． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，进行计算即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次为程有实数根，，且， ∴ 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 9. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象判断．熟练掌握二次函数和一次函数的性质，是解题的关键．根据，直线与轴交于负半轴，根据时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下，进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴直线与轴交于负半轴； 当时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，当时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 10. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 11. 对于抛物线与，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 抛物线是由抛物线向上平移1个单位长度得到的 D. 顶点的坐标相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的知识分别求出两抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标判定A、B、D，根据根据二次函数平移的规律，结合抛物线的解析式，即可判断C． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为；抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为；抛物线是由抛物线向上平移1个单位长度得到的． ∴选项A、B、C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象性质和二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 12. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ，即，解得， 即且， 综上，的取值范围是． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14. 若二次函数的图象过点，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，掌握待定系数法是解题的关键．直接将代入二次函数表达式即可求出a的值． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， 故答案为：． 15. 如果二次函数（为常数）的图像有最高点，那么的值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图像有最高点， ∴， 解得：m=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大． 16. 已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程的解的定义得到，再由根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根． ∴，即． 由根与系数的关系，方程的两根、满足． 对所求代数式拆分变形：． ∴原式． 17. 已知实数a、b满足，则的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】设a2＋b2＝x，则原方程变为x2−2x−15＝0，解这个方程即可求得的的值． 【详解】解：设a2＋b2＝x， 原方程变为：x2−2x−15＝0， （x−5）（x＋3）＝0， 解得：x1＝5，x2＝−3， 因为平方和是非负数， 所以的值为5； 故答案为：5 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是掌握换元法解方程的技巧． 18. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 三、解答题（本大题共8小题，共46分） 19. 用适当的方法解方程． （1）； （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 ， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 21. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，求每个月生产成本的下降率． 【答案】5% 【解析】 【分析】设每个月生产成本的下降率为x，则2月份的成本为万元，3月份的成本为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键． 22. 某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm． （1）填空：养鸡场DE边的长为 　 　m（用含x的代数式表示）； （2）请你列出方程，求出问题的解． 【答案】（1）（26﹣2x）；（2）养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m 【解析】 【分析】根据题意表示出矩形的长与宽，进而利用面积为80m2，得出等式求出答案． 【详解】解：（1）设CD＝xm，则DE＝（26﹣2x）m， 故答案是：（26﹣2x）； （2）根据题意可得： x（26﹣2x）＝80， 解得：x1＝5，x2＝8． 因为26﹣2x≤15，所以2x≥11，故x≥5.5． 所以x＝8， 则DE＝26﹣16＝10． 答：养鸡场CD边和DE边的长分别为8m，10m． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出矩形的长与宽是解题关键． 23. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利800元，每件应降价多少元． 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，设每件服装应降价元，每天能盈利800元．根据题意建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：设应降价元，根据题意，得 解得或 要尽快较少库存，舍去，取． 答：应降价10元． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C． （1）求的面积； （2）点P是抛物线上一动点，当的面积为6时，求所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1）面积为8 （2）符合条件的点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标． （1）求得点的坐标即可求得的面积； （2）设点的坐标为，由的面积为6得到，从而求得，即，求得的值后即可求得点的坐标. 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C， ，点C到x轴的距离为， ∴当时，，解得，， ，， ， ， 的面积为8． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 的面积为6， ， ． ∵点在抛物线上， ， 或， 解得，，，， ∴符合条件的点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度杨村六中第一学期第一次练习九年级数学·试卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 某校去年投资2万元购买实验器材，预期明年的投资额为8万元．若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x，则下面所列方程正确的是(     ) A. B. C. D. 4. 已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛.如果全队有名队员，根据题意下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　) A. m＞1 B. m＞0 C. m＞－1 D. －1＜m＜0 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 11. 对于抛物线与，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 抛物线是由抛物线向上平移1个单位长度得到的 D. 顶点的坐标相同 12. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______． 14. 若二次函数的图象过点，则的值是____． 15. 如果二次函数（为常数）的图像有最高点，那么的值为_________． 16. 已知方程的两个根是和，则代数式的值是_________． 17. 已知实数a、b满足，则的值为_______． 18. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 _____． 三、解答题（本大题共8小题，共46分） 19. 用适当的方法解方程． （1）； （2） 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，求每个月生产成本的下降率． 22. 某农场要建一个面积为80m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙AB长为15m），另外三边用木栏围成，木栏总长26m，求养鸡场CD边和DE边的长分别是多少？设养鸡场CD边的长为xm． （1）填空：养鸡场DE边的长为 　 　m（用含x的代数式表示）； （2）请你列出方程，求出问题的解． 23. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利800元，每件应降价多少元． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C． （1）求的面积； （2）点P是抛物线上一动点，当的面积为6时，求所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $