精品解析：天津市武清区杨村第十一中学2025-2026学年九年级上学期段考数学试题（12月份）

九年级（上）段考数学试题（12月份） 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等． 2. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，根据一元二次方程根的判别式和配方法得，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，解题的关键是掌握这些知识点． 3. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ） A. B. 6 C. 4或 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两实数根为， ，，， ， ，即， 解得或， ， ， 故选：A． 4. 如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 5. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 6. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率．设11月份的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别用含x的等式表示出11月和12月的营业额，即可列出所求方程． 【详解】解：由题意可得11月份的营业额为：， 12月份的营业额为：， ∴可列方程为：， 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握如何列出一元二次方程是解题关键 ． 7. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 8. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 9. 如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　） A. B. C. D. 随直线的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 设与的切点为E，与的切点为F，利用全等三角形的判定与性质，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，设与的切点为E，与的切点为F，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的周长 ． 故选：A． 10. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，得出是等边三角形，得到，即可证明；不一定能得到，，，即可得到答案 【详解】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C， ，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选项D正确，符合题意； 不一定能得到，，， 故选：D 11. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质． 过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】如图，过点作于点． 由作图过程可知：平分， ∴， 设，则有 ∴， ∵为上一动点， 则的最小值为， 故选：B． 12. 已知抛物线（，，是常数，，）对称轴为，且经过点．下列结论： ①； ②； ③关于的方程恰好有两个相等的实数根，则． 其中，正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴，判断①；根据图象过点，以及的关系，判断②；根据的方程恰好有两个相等的实数根，得到抛物线的顶点坐标为，进行求解，判断③． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵关于的方程恰好有两个相等的实数根， 即：抛物线和直线只有一个交点， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：，故③正确； 综上：正确的有个； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 13. 二次函数的图象顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式，是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 14. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化． 利用旋转的性质得，，，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：∵， ∴，， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，，，， ∴点坐标为． 故答案为：． 15. 已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 16. 圆内接正多边形的边长与圆的半径相等，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，中心角的含义，熟练的利用中心角求解多边形的边数是解本题的关键． 【详解】解：如图，圆内接正多边形的边长与圆的半径相等， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为， 故答案为：6 17. 如图，四边形为的内接四边形， ，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．直接利用圆内接四边形对角互补与邻补角的性质推导可得出答案． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，以为直径的交边、于点D、H，连接，过点C作．已知：连接、，与的交点恰好落在上，若，则弦、和围成的图形的面积是 ___ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出是的垂直平分线，证明和是等边三角形，弦、和围成的图形的面积为，进而求解． 【详解】解：当与的交点恰好落在上时，如图所示： ∵是的直径，且， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴点，是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴弦、和围成的图形的面积为， ∴． 故答案为： ． 三．解答题（共7小题，满分69分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）提公因式，利用因式分解法解方程即可． （2）方程两边都除以3， 移项， 配方，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，或 ， 【小问2详解】 解：方程两边都除以3，得 移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 ∴， 20. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，掌握一元二次方程根的判别式及根和系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式得出m的不等式，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得出，，然后把变形为，并把，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得出，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 21. 如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知． （1）求的半径． （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， 设半径， 是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； 【小问2详解】 解：由（1）得：直径， ， ， ， ． 22. 如图，AB是的直径，CD与相切于点C，与BA的延长线交于点D，连接BC，点E在线段OB上，过点E作BD的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G． （1）求证：； （2）若，点E为OB的中点，求GE的长． 【答案】（1） 连接，则， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） ． 【解析】 【分析】（1）连接，则，由切线知，而，所以，再证，所以； （2）如图，连接，由已知得，，由是直径得，进一步结合切线的性质，证得，从而，所以，可求，进一步求得，再证，所以，进一步求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及推论、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质；能够灵活运用相关定理求证等角，证明相似三角形是解题的关键． 23. 红薯富含膳食纤维，维生素（，，，，）以及钾，铁等余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以元/箱的价格进货。根据市场调查发现，批发价定为元/箱时，每天可销售箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价元，每天可增加销量箱． （1）直接写出每天的利润与降价元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为元，应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）当降价元时，每天的利润最大，最大为元； （3）要使每天的利润为元，并让利于民，应降价元． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题． （1）根据利润=销售量×（单价-成本），列出函数关系式即可； （2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可； （3）代入（2）中的函数关系式中，计算的值． 【小问1详解】 解：由题意得：， 答：每天的利润与降价元的函数关系式； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，， 答：当降价元时，每天的利润最大，最大为元； 【小问3详解】 ， ， ， ， ∵降价金额为正， ∴应降价：． 答：要使每天的利润为元，应降价元． 24. 【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 而， ∴． 【解析】 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得，，再通过旋转得，，然后证明，最后利用全等三角形的性质来求解的长度； （2）先通过旋转得，，证明是等边三角形，再结合等边三角形，证明，则，根据三角形内角和定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明根据勾股定理，即可求解； （3）在上截取，连接，证明，进而得出是等边三角形，则，进而证明是的中位线，得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，； （3）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，通过证明三角形全等是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点、． （1）求抛物线的对称轴及点D的坐标； （2）请证明：该抛物线一定经过点； （3）若，将抛物线向右平移m个单位后，使得新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的解析式． 【答案】（1）对称轴是直线， （2） 证明：∵对称轴是直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∴该抛物线一定经过点； （3）当时，或当时， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质可求出抛物线的对称轴；令可求出点D的坐标； （2）根据二次函数的对称性即可求解； （3）求出点B坐标，得出函数解析式，化为顶点式，表示出平移后的解析式，然后根据新抛物线恰好经过点C，即可求解． 【小问1详解】 解：的对称轴是直线． ∵当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴， ∵抛物线向右平移m个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新抛物线恰好经过点， ∴， 解得或， 当时，． 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的平移，矩形的性质，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）段考数学试题（12月份） 一．选择题（每小题3分，满分36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ） A. B. 6 C. 4或 D. 或6 4. 如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 6. 某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率．设11月份的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　） A. B. C. D. 随直线的变化而变化 10. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线（，，是常数，，）对称轴为，且经过点．下列结论： ①； ②； ③关于的方程恰好有两个相等的实数根，则． 其中，正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二．填空题（每小题3分，满分18分） 13. 二次函数的图象顶点坐标为______． 14. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 15. 已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积______． 16. 圆内接正多边形的边长与圆的半径相等，则这个正多边形的边数为__________． 17. 如图，四边形为的内接四边形， ，则的度数为________． 18. 如图，在中，，以为直径的交边、于点D、H，连接，过点C作．已知：连接、，与的交点恰好落在上，若，则弦、和围成的图形的面积是 ___ ． 三．解答题（共7小题，满分69分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设，是该方程的两个实数根，且，求的值． 21. 如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知． （1）求的半径． （2）若，求的长． 22. 如图，AB是的直径，CD与相切于点C，与BA的延长线交于点D，连接BC，点E在线段OB上，过点E作BD的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G． （1）求证：； （2）若，点E为OB的中点，求GE的长． 23. 红薯富含膳食纤维，维生素（，，，，）以及钾，铁等余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以元/箱的价格进货。根据市场调查发现，批发价定为元/箱时，每天可销售箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价元，每天可增加销量箱． （1）直接写出每天的利润与降价元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为元，应降价多少元？ 24. 【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点、． （1）求抛物线的对称轴及点D的坐标； （2）请证明：该抛物线一定经过点； （3）若，将抛物线向右平移m个单位后，使得新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $