精品解析：天津市第一中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

天津一中2026-2027-1九年级数学学科第一次学情反馈 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．第I卷1至2页，第II卷2至4页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 小明在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：①原方程必定有一个根是；②当时，原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①对，②错 D. ①错，②对 11. 《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ） A. 设这批椽的数量为x株，则 B. 这批椽的总运费为24文 C. 一株椽的价钱为24文 D. 这批椽一共有9株 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ①；②；③对于任意实数，都有；④若点、是图象上任意两点，且，则，⑤方程的解是或，其中正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①②③⑤ D. ①④⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 二次函数的常数项为_______． 14. 若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 15. 已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 16. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B，的面积为6，则___________． 17. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 18. 如图，在中，，，．动点P从点B出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边作正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，y关于t的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确的结论是_______（填写序号）． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 已知二次函数． （1）与轴交点坐标为__________，与轴交点坐标为__________； （2）该函数化为顶点式为__________，将此函数图象向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，得到新的解析式为__________，此时顶点坐标为__________； （3）当时，原函数的最大值和最小值分别为__________和__________． 22. 综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． （1）方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． （2）方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 23. 阅读素材，完成任务． 制作简易密度计 素材1 制作原理：装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变 素材2 小明将简易密度计放入不同密度的液体中，当简易密度计漂浮在液体中时，记录其浸入的深度，得到如下几组数据： … 19.8 18 16.5 13.2 … 密度 … 1.0 1.1 1.2 1.5 … （1）分析上述素材，发现是关于的 函数，关于的函数解析式为 ； （2）小明将该简易密度计放入50%酒精中，当简易密度计悬浮于其中时，测得其浸入的深度为22 cm，据此求50%酒精的密度为 ； （3）小明查阅资料获取到如下信息：①酒精与水的密度分别为，；②浓度为的酒精密度．请根据以上信息判断第（2）中小明所测得的数据“深度为22 cm”是否准确，并说明理由： （4）在（3）的条件下，若将该简易密度计放入40%酒精中，则测得其浸入的深度约为 （结果保留小数点后一位）． 24. 2026年世界泳联跳水世界杯总决赛于5月1日至3日在北京举行，中国跳水队包揽九枚金牌，展现了中国跳水队的综合实力．辉煌成绩的背后，离不开运动员日复一日的刻苦训练．如图，某跳水运动员进行10米跳台向前跳水训练，其身体（看成一点）在空中运动的轨迹呈抛物线形状，为跳台支柱．跳台长为，与水面的垂直距离为，运动员起跳后的最高点与起跳点的水平距离为，垂直距离为．现以水面所在直线为轴，支柱所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）求这条抛物线的表达式； （3）当入水点与起跳点的水平距离的范围在时，为入水最佳区域，请判断运动员此次跳水训练的入水点是否在最佳区域，并说明理由． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2026-2027-1九年级数学学科第一次学情反馈 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．第I卷1至2页，第II卷2至4页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将方程的解代入原方程即可求出参数的值． 【详解】解：把代入，得，解得． 故选A． 【点睛】方程的根代入等式一定成立，注意计算时不要出现符号错误． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 5. 顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 6. 点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 7. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 8. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 9. 已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 10. 小明在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法：①原方程必定有一个根是；②当时，原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都错 B. ①②都对 C. ①对，②错 D. ①错，②对 【答案】B 【解析】 【分析】根据写错的方程的根得到a与b的关系，再分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质，进行验证说法的正确性． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为． ∵该方程其中一个根为， ∴; 将代入原方程代入原方程左边：， ∴方程左边等于右边， ∴原方程必定有一个根是．故①正确． 对于，． 由，得， ∴． 当时，，即， ∴当时，原方程有两个不相等的实数根．故②正确． 综上所述，①②都正确． 11. 《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（ ） A. 设这批椽的数量为x株，则 B. 这批椽的总运费为24文 C. 一株椽的价钱为24文 D. 这批椽一共有9株 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ①；②；③对于任意实数，都有；④若点、是图象上任意两点，且，则，⑤方程的解是或，其中正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①②③⑤ D. ①④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点确定  符号及关系，结合函数最值性质、图象对称性及平移规律判断各结论即可． 【详解】解：由图象开口向上可得，由图象与轴交于负半轴可知 ， 根据对称轴为直线， ， ， ， ，故正确； 抛物线过点， ， ， ，故②正确； 当时，取得最小值，  ，  ，故③错误；  抛物线开口向上，对称轴为直线，  离对称轴越远函数值越大，  ，  点离对称轴更近，  ，故④正确；  抛物线 过点 ，对称轴为直线 ，  抛物线与轴另一交点为，即方程的解为或， 方程可看作代替 ，  或， 解得或，故⑤正确， 综上所述，正确的结论是①②④⑤． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 二次函数的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 14. 若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和##和 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 15. 已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】使用待定系数法求解，先设反比例函数的通用解析式，再将已知点的坐标代入计算比例系数，即可得到目标函数解析式． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为（）， ∵ 函数图象过点， ∴ 将，代入解析式，得， 解得， ∴ 该函数的解析式为． 16. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B，的面积为6，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中值的几何意义，根据值的几何意义，得到的面积为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的面积， ∴， ∵反比例函数的图象过第一象限， ∴， ∴； 故答案为：12． 17. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． 18. 如图，在中，，，．动点P从点B出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边作正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，y关于t的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确的结论是_______（填写序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确， ∴正确的有①②． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用配方法求解一元二次方程 ； （2）提取公因式，用因式分解法求解一元二次方程 ． 【小问1详解】 解： 移项得： 方程两边同时加，得： 整理得： 两边同时开平方得： 解得：，； 【小问2详解】 解： 整理得 解得，． 20. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，代入，可求m的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，解得． 故m的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵， ∴， 解得． 21. 已知二次函数． （1）与轴交点坐标为__________，与轴交点坐标为__________； （2）该函数化为顶点式为__________，将此函数图象向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，得到新的解析式为__________，此时顶点坐标为__________； （3）当时，原函数的最大值和最小值分别为__________和__________． 【答案】（1）、；． （2）；；． （3），． 【解析】 【分析】（1）令解一元二次方程，得与轴的两个交点；令得与轴的交点； （2）配方化成顶点式；按“左加右减、上加下减”求平移后的解析式与顶点； （3）开口向下时，先看顶点的横坐标是否落在给定范围内，再比较两个端点处的函数值确定最小值． 【小问1详解】 解：令，得， 即， ， ，， 与轴的交点坐标为、． 令，得， 与轴的交点坐标为． 【小问2详解】 解： ， 该函数的顶点式为． 将图象向左平移个单位长度、向下平移个单位长度， 顶点由变为， 新的解析式为，此时顶点坐标为． 【小问3详解】 解：，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为． ，且， 当时，取得最大值． 当时，；当时，， 当时，取得最小值． 22. 综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． （1）方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． （2）方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】（1），； （2），当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【小问1详解】 解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 23. 阅读素材，完成任务． 制作简易密度计 素材1 制作原理：装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变 素材2 小明将简易密度计放入不同密度的液体中，当简易密度计漂浮在液体中时，记录其浸入的深度，得到如下几组数据： … 19.8 18 16.5 13.2 … 密度 … 1.0 1.1 1.2 1.5 … （1）分析上述素材，发现是关于的 函数，关于的函数解析式为 ； （2）小明将该简易密度计放入50%酒精中，当简易密度计悬浮于其中时，测得其浸入的深度为22 cm，据此求50%酒精的密度为 ； （3）小明查阅资料获取到如下信息：①酒精与水的密度分别为，；②浓度为的酒精密度．请根据以上信息判断第（2）中小明所测得的数据“深度为22 cm”是否准确，并说明理由： （4）在（3）的条件下，若将该简易密度计放入40%酒精中，则测得其浸入的深度约为 （结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）反比例；（） （2） （3）数据准确． 理由：由题意得，50%酒精的密度为． 将代入， 得， 与测得的深度一致，故数据准确． （4） 【解析】 【分析】（1）看数据的关系：把每组的 h 与 ρ 相乘，发现乘积恒为19.8，于是判断为反比例关系； （2）已知 h求ρ，代入 即可，注意单位是 ； （3）判断数据准不准，要用两条独立路径分别算出密度再比对：一条从深度出发（用函数），一条从浓度出发（用公式）．两者相等则数据可信．这一步体现用不同方法算同一个量来检验的意识； （4）先反求密度，再由反比例求深度．步骤是浓度→密度→深度，注意最后一步用 而不是 ，且要按题要求四舍五入到小数点后一位． 【小问1详解】 解：观察表格四组数据的乘积都等于 19.8，即 ρ 与 h 的乘积是定值， 设 ， 取第一组数据代入：， ∴， 答：ρ 是关于 h 的（h＞0 时的）反比例函数，解析式为； 【小问2详解】 解：把 h＝22 代入解析式：， 答：酒精的密度为． 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：算 酒精的密度， 取a＝40， ， 由反比例函数求深度． ， 答：浸入的深度约为 ． 24. 2026年世界泳联跳水世界杯总决赛于5月1日至3日在北京举行，中国跳水队包揽九枚金牌，展现了中国跳水队的综合实力．辉煌成绩的背后，离不开运动员日复一日的刻苦训练．如图，某跳水运动员进行10米跳台向前跳水训练，其身体（看成一点）在空中运动的轨迹呈抛物线形状，为跳台支柱．跳台长为，与水面的垂直距离为，运动员起跳后的最高点与起跳点的水平距离为，垂直距离为．现以水面所在直线为轴，支柱所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）求这条抛物线的表达式； （3）当入水点与起跳点的水平距离的范围在时，为入水最佳区域，请判断运动员此次跳水训练的入水点是否在最佳区域，并说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）运动员此次跳水训练的入水点不在最佳区域，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意和平面直角坐标系可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出点的坐标为，再得到入水点与起跳点的水平距离为，再比较判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴点的坐标为， ∵起跳后的最高点与起跳点的水平距离为，垂直距离为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 由图可知，入水点在轴正半轴且距离较远， ∴点的坐标为， ∴入水点与起跳点的水平距离， ∵， ∴，即， ∵最佳区域为， ∴运动员此次跳水训练的入水点不在最佳区域． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $