重庆市第一中学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

重庆一中2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．3 2．（4分）下列运算中正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a+2a2＝3a3 C．（a2）4＝a6 D．（ab2）2＝a2b4 3．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，若∠B＝50°，则∠AEC的度数为（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 4．（4分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OE：BE＝1：2，△DEF的周长为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 5．（4分）如图，用大小相同的五角星拼成如图图形，其中第①个图形有1个五角星，第②个图形有4个五角星，第③个图形有9个五角星，按照如图规律，第⑥个图形有五角星个数为（　　） A．25 B．36 C．49 D．54 6．（4分）估计的值应该在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．（4分）如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，连接AC，BD，CD，若∠D＝30°，AC＝6，则阴影部分的面积为（　　） A． B．2π C． D．π 8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，现有下列结论，其中错误的是（　　） A．abc＞0 B．4a+b＝0 C．c﹣3a＝0 D．16a+4b+c＜0 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接CE，过点E作CE的垂线交CB的延长线于点F，交AB于点H，若HE：HF＝3：1，连接AF，则tan∠FAB的值为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）已知整式，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0≤a1≤…≤an﹣1≤an且n+a0•a1•…•an﹣1•an＝A． 下列说法： ①若n为偶数，M＝（2x﹣1）n，则an+an﹣1+…+a1＝0； ②当n＝2，A＝4时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当n＝4，A＝12时，满足条件的整式M共有16种． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）2025年重庆市常住人口约为31900000人，将数据31900000用科学记数法表示为　 　 ． 12．（4分）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　 　 ． 13．（4分）已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为　 　 ． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为2，则k的值为　 　 ． 15．（4分）如图，线段AF是⊙O的直径，点B在⊙O上，四边形ABCD是平行四边形，AF⊥BC于点E，边BC交⊙O于点G，连接OD交⊙O于点M，点M平分，若GE＝8，，则AO的长度为　 　 ；连接AC交OD于点N，则ND的长度为　 　 ． 16．（4分）对于一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不相等且不为0，若它的千位数字比个位数字大3，十位与百位数字之和为3的倍数，则称它为“双三数”．例如：四位数5872，∵5﹣2＝3，8+7＝15＝3×5，∴5872是“双三数”，则千位数字为8的最大“双三数”为　 　 ．一个“双三数”，记，Q（M）＝3（a﹣b），若为5的倍数，则满足条件的M的最大值与最小值的差是　 　 ． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17、18题8分，其余每题各10分，共86分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤。 17．（8分）计算： （1）解不等式组：； （2）解方程：x2﹣4x＝6． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE． （1）用尺规完成基本作图：在边AD的下方作∠DAF＝∠BAE交边DC于点F； （2）根据（1）中的作图，证明：CE＝CF． 证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，①　 　 ， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝③　 　 ， ∴BC﹣BE＝④　 　 ， 即CE＝CF． 19．（10分）2025年10月，某校举办了安全知识比赛．从参赛的七、八年级学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100） 下面给出部分信息： 七年级20名学生比赛成绩在B组中的数据是：79，79，76，74，72，72，71，71． 八年级20名学生比赛成绩是：62，64，66，70，71，71，74，77，80，81，83，85，85，85，90，90，91，98，98，99． 七、八年级所抽取学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为该次比赛七、八年级中哪个年级学生安全知识比赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）这次比赛七年级有学生1000人，八年级有学生1200人，请估计该次比赛七、八年级参加比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ 20．（10分）先化简，再求值：，其中． 21．（10分）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． （1）求甲、乙两种商品每件的售价； （2）“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多40%，求购买乙种商品的数量． 22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝11，点E为AD上一定点，满足AE＝3，连接BE，CE，动点M从A点出发，沿着折线A﹣E﹣B运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着CE向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作NF⊥BC于点F．设运动时间为x秒（0＜x＜8），记△ABM的面积为y1，△CNF的面积为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数y1≤y2的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．（10分）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东60°方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西75°方向上，海岛C在海岛D的北偏西60°方向上．（参考数据：，，） （1）求BC的长度；（结果保留根号） （2）甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B、C（﹣2，0）两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线AB上方抛物线上一个动点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，过点P作PE⊥AB于点E，点M、N是对称轴上的动点，点M在点N上方且MN＝1，连接PM、BN，当AE+BD长度取得最小值时，求PM+BN长度的最小值； （3）在（2）中AE+BD长度取得最小值的条件下，将抛物线沿射线BA的方向平移个单位长度得到抛物线y′，点F为点P的对应点，点G为抛物线y′上一个动点，点H为抛物线y′与x轴左侧的交点，若∠HFP＝∠GAC+∠OAB，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 25．（10分）已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点D为AC的中点，过点D作BC的平行线交AB于点G，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且∠EDF＝120°，求证：DE＝DF； （2）如图2，若∠BAC＝90°，过点A作AM⊥BC于点M，点D在CA的延长线上，连接BD，点H为BD上一点，以BH为斜边在BH右侧作等腰Rt△BHG，连接AG，CH，在CH上取一点N，连接AN，使∠GAN＝45°，连接MN，用等式表示MN与BG的数量关系并证明； （3）如图3，点P是平面内AC右侧一点，连接AP，CP，满足∠PAC+∠PCA＝120°，射线AP上有一点Q且满足AQ＝CP，过点Q作QT⊥BC于T，若∠BAC＝90°，，请直接写出QT的最小值． 重庆一中2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A． D C C B D B C A B 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．3 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣2＜＜0＜3， ∴最小的数是：﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．（4分）下列运算中正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a+2a2＝3a3 C．（a2）4＝a6 D．（ab2）2＝a2b4 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等基本运算，逐一判断各选项的正确性． 【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，选项计算错误，不符合题意； B、a+2a2不是同类项，不能合并，不符合题意； C、（a2）4＝a2×4＝a8≠a6，选项计算错误，不符合题意； D、（ab2）2＝a1×2b2×2＝a2b4，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 3．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，若∠B＝50°，则∠AEC的度数为（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出∠BAD＝130°，根据角平分线的定义可得∠DAE＝65°，再利用两直线平行，同旁内角互补求出∠AEC的度数． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠B＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， ∵AE平分∠BAD， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAE+∠AEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠AEC＝180°﹣65°＝115°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 4．（4分）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OE：BE＝1：2，△DEF的周长为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】根据位似图形的性质，得到△DEF∽△ABC，△OEF∽△OBC，根据OE：BE＝1：2得到相似比为1：3，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【解答】解：由题意可得： △DEF∽△ABC，△OEF∽△OBC， ∴， ∵OE：BE＝1：2， ∴， ∴， ∵C△DEF＝4， ∴C△ABC＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的性质，正确进行计算是解题关键． 5．（4分）如图，用大小相同的五角星拼成如图图形，其中第①个图形有1个五角星，第②个图形有4个五角星，第③个图形有9个五角星，按照如图规律，第⑥个图形有五角星个数为（　　） A．25 B．36 C．49 D．54 【分析】根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中五角星的个数为：1＝12； 第②个图形中五角星的个数为：4＝22； 第③个图形中五角星的个数为：9＝32； …， 所以第n个图形中五角星的个数为n2． 当n＝6时， n2＝62＝36（个）， 即第⑥个图形中五角星的个数为36个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现五角星个数的变化规律是解题的关键． 6．（4分）估计的值应该在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【分析】根据二次根式的混合运算的法则求出计算结果，再根据算术平方根的定义估算的大小即可． 【解答】解：原式＝+6， ∵42＝16，52＝25，而16＜18＜25， ∴4＜＜5， ∴10＜6+＜11， 故选：D． 【点评】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握算术平方根的定义以及二次根式的混合运算的法则是正确解答的关键． 7．（4分）如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，连接AC，BD，CD，若∠D＝30°，AC＝6，则阴影部分的面积为（　　） A． B．2π C． D．π 【分析】先由得到∠A＝∠D＝30°，∠BOC＝2∠D＝60°，再由直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，设BC＝x，则AB＝2x，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：由条件可知∠A＝∠D＝30°，∠BOC＝2∠D＝60°， ∵线段AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，设BC＝x，则AB＝2x， 由于AC＝6，根据勾股定理可得（2x）2＝62+x2， 解得， ∴⊙O的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点评】本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含30°的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，现有下列结论，其中错误的是（　　） A．abc＞0 B．4a+b＝0 C．c﹣3a＝0 D．16a+4b+c＜0 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和与y轴交于负半轴，来判断出a＜0，c＜0，再根据对称轴的来得到b＝﹣4a＞0求解A；根据对称轴来判断B，根据由图象可知，当x＝1时，y＞0，再结合b＝﹣4a来求解C；根据图象可知，当x＝4时，y＝ax2+bx+c＜0来求解D． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴a＜0，c＜0． ∵对称轴为直线x＝2，即， ∴b＝﹣4a＞0， ∴abc＞0，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝2，即， ∴b＝﹣4a， ∴b+4a＝0，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， ∵b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＞0， 即c﹣3a＞0，故C项错误，符合题意； ∵由图象可知，当x＝4时，y＝ax2+bx+c＜0， ∴16a+4b+c＜0，故D项正确，不符合题意； 综上所述，错误的是C． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接CE，过点E作CE的垂线交CB的延长线于点F，交AB于点H，若HE：HF＝3：1，连接AF，则tan∠FAB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥BC，可证△EMH∽△FBH，设EM＝EN＝t，可得：，，，根据ASA可证△MEH≌△NEC，根据全等三角形的性质可知，可以求出，根据正切的定义求值即可． 【解答】解：如下图所示，过点E作EM⊥AB，EN⊥BC，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接CE， 则有∠EMH＝∠HBF＝90°， ∵∠MHE＝∠BHF， ∴△EMH∽△FBH， ∴， ∵设EM＝EN＝t， ∴， ∴， ∴，，， ∵∠MEN＝∠HEC＝90°， ∴∠MEH+∠FEH＝90°，∠CEN+∠HEN＝90°， ∴∠MEH＝∠CEN， 在△MEH和△NEC中， ， ∴△MEH≌△NEC， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造全等的直角三角形． 10．（4分）已知整式，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0≤a1≤…≤an﹣1≤an且n+a0•a1•…•an﹣1•an＝A． 下列说法： ①若n为偶数，M＝（2x﹣1）n，则an+an﹣1+…+a1＝0； ②当n＝2，A＝4时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当n＝4，A＝12时，满足条件的整式M共有16种． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】当x＝0时，可得，当x＝1时，可得M＝an+an﹣1+⋯+a1+a0＝1，据此可判断①；当n＝2，A＝4时，可推出a0•a1•a2＝2，则a0＝a1＝﹣1，a2＝2或a0＝﹣2，a1＝﹣1，a2＝1或a0＝a1＝1，a2＝2，据此可得M关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出M的最小值即可判断②；当n＝4，A＝12时，可得a0•a1•a2•a3•a4＝8，分a4＝8，a4＝4，a4＝2和a4＝1四种情况，分别求出每种情况下a0、a1、a2、a3的值的数量即可得到答案． 【解答】解：∵M＝（2x﹣1）n，， ∴当x＝0时，， ∴， ∵n为偶数， ∴a0＝1； 当x＝1时，， ∴an+an﹣1+⋯+a1＝1﹣a0＝1﹣1＝0，故①正确； 当n＝2，A＝4时， ∵n+a0•a1•⋯•an﹣1•an＝A， ∴2+a0•a1•a2＝4， ∴a0•a1•a2＝2， ∵a0≤a1≤⋯≤an﹣1≤an， ∴a0＝a1＝﹣1，a2＝2或a0＝﹣2，a1＝﹣1，a2＝1或a0＝a1＝1，a2＝2， 当a0＝a1＝﹣1，a2＝2时，， ∵2＞0， ∴当时，M有最小值，最小值为， 当， ∵1＞0， ∴当时，M有最小值，最小值为； 当a0＝a1＝1，a2＝2时，， ∵2＞0， ∴当时，M有最小值，最小值为； ∵， ∴M的最小值为，故②错误； 当n＝4，A＝12时，4+a0•a1•a2•a3•a4＝12， ∴a0•a1•a2•a3•a4＝8， 当a4＝8时， a0 a1 a2 a3 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1 1 1 1 1 1 1 当a4＝4时， a0 a1 a2 a3 ﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣2 ﹣1 1 1 ﹣1 ﹣1 1 2 1 1 1 2 当a4＝2时， a0 a1 a2 a3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣2 ﹣2 1 1 ﹣2 ﹣1 1 2 ﹣1 ﹣1 2 2 ﹣4 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣4 ﹣1 1 1 1 1 2 2 当a4＝1时， a0 a1 a2 a3 ﹣8 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣8 ﹣1 1 1 ﹣4 ﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣4 ﹣2 1 1 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ∴满足条件的整式M共3+4+7+5＝19种，故③错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，二次函数的最值问题，掌握规律是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）2025年重庆市常住人口约为31900000人，将数据31900000用科学记数法表示为　3.19×107 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：31900000＝3.19×107． 故答案为：3.19×107． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（4分）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　10　 ． 【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解． 【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°， 依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4， 解得n＝10， ∴这个多边形的边数是10． 故答案为：10 【点评】本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和＝（n﹣2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°． 13．（4分）已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为　　 ． 【分析】利用树状图或列表法求概率即可． 【解答】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为2，则k的值为　8　 ． 【分析】经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【解答】解：设， 由条件可知BC⊥x轴， ∴，则点D到BC的距离为a， ∴， ∴， 解得：k＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义． 15．（4分）如图，线段AF是⊙O的直径，点B在⊙O上，四边形ABCD是平行四边形，AF⊥BC于点E，边BC交⊙O于点G，连接OD交⊙O于点M，点M平分，若GE＝8，，则AO的长度为　10　 ；连接AC交OD于点N，则ND的长度为　　 ． 【分析】连接OG，延长DO，交CB延长线于点H．先求出BE＝GE＝8，BG＝2EG＝16，∠AEB＝∠AEG＝90°，根据，结合勾股定理求出，AE＝16．设OA＝OG＝r，根据勾股定理得r2﹣（16﹣r）2＝82，求出OA＝10，OE＝6．证明△ABE∽△DOA，求出，得到BC＝20，CG＝4．证明△AOD∽△EOH，求出，得到HC＝24，．证明△AND∽△CNH，得到，即可求出． 【解答】解：连接OG，延长DO，交CB延长线于点H． ∵直径AF⊥BG， ∴BG＝GE＝8，BG＝2EG＝16，∠AEB＝∠AEG＝90°． ∵， ∴设AB＝x（x＞0），则， 在Rt△ABE中，， 解得， ∴． 设OA＝OG＝r，则OE＝16﹣r， 在Rt△OEG中，r2﹣（16﹣r）2＝82， 解得r＝10， ∴OA＝10，OE＝6． 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴∠ABE＝∠AOD， ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAO＝∠BEA＝90°， ∴△ABE∽△DOA， ∴， 即， ∴， ∴AD＝BC＝20， ∴CG＝BC﹣BG＝4． ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△EOH， ∴， 即， ∴， ∴． ∵AD∥BC， ∴△AND∽△CNH， ∴， 即， 解得． 故答案为：10，． 【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，平行四边形性质，相似三角形性质与判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造相似三角形是解题关键． 16．（4分）对于一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不相等且不为0，若它的千位数字比个位数字大3，十位与百位数字之和为3的倍数，则称它为“双三数”．例如：四位数5872，∵5﹣2＝3，8+7＝15＝3×5，∴5872是“双三数”，则千位数字为8的最大“双三数”为　8965　 ．一个“双三数”，记，Q（M）＝3（a﹣b），若为5的倍数，则满足条件的M的最大值与最小值的差是　5455　 ． 【分析】对于第一空，千位数字为8，则个位数字为5；百位和十位数字之和为3的倍数，且所有数字互异不为0；为求最大数，百位取最大可能值9，十位取6，得8965；对于第二空，通过条件推导得满足条件的双三数有4271、5362、6453、8635、9726、4691、5782、6873、7964；其中最大值为9726，最小值为4271，差值为5455． 【解答】解：一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不相等且不为0，若它的千位数字比个位数字大3，十位与百位数字之和为3的倍数，则称它为“双三数”． 第一空：千位数字为8，由条件千位比个位大3，个位为5； 十位与百位数字之和为3的倍数，且数字互异不为0， 为求最大数，百位取9，则十位需满足9+十位为3的倍数，十位取6（因不能取9或5），得数8965； 第二问：设，由条件a﹣d＝3，b+c为3的倍数， P（M）＝10a+c﹣10b﹣d+2b＝10a+c﹣8b﹣d，Q（M）＝3（a﹣b）， 代入a﹣d＝3得P（M）＝9a+c﹣8b+3， 令S＝a﹣b，则， 因b+c为3的倍数，设b+c＝3T，则比值为， 此值为5的倍数，故为整数且能被5整除，即除5余2； 通过枚举T+1和S的可能取值，并满足数字条件， 得有效M为4271、5362、6453、8635、9726、4691、5782、6873、7964， 最大值9726，最小值4271，差值为5455． 故答案为：8965；5455． 【点评】此题考查学生数的表示方法及数学推理能力，解题的关键是根据题意准确计算及推导． 三、解答题：（本大题9个小题，其中17、18题8分，其余每题各10分，共86分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤。 17．（8分）计算： （1）解不等式组：； （2）解方程：x2﹣4x＝6． 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）利用配方法求解可得． 【解答】解：（1）， 解①得：x≥3， 解②得：x＜14， ∴解集为3≤x＜14； （2）x2﹣4x＝6， ∴x2﹣4x+4＝6+4， ∴（x﹣2）2＝10， ∴， 解得：，． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE． （1）用尺规完成基本作图：在边AD的下方作∠DAF＝∠BAE交边DC于点F； （2）根据（1）中的作图，证明：CE＝CF． 证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，①　菱形的各边都相等　 ， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝③DF ， ∴BC﹣BE＝④DC﹣DF ， 即CE＝CF． 【分析】（1）利用基本作图作∠DAF＝∠BAE即可； （2）先根据菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，则可证明△ABE≌△ADF，所以BE＝DF，然后利用等式的性质得到CE＝CF． 【解答】（1）解：如图，AF为所作； （2）证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD（菱形的各边都相等）， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝DC﹣DF， 即CE＝CF． 故答案为：菱形的各边都相等，AB＝AD，DF，DC﹣DF． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质． 19．（10分）2025年10月，某校举办了安全知识比赛．从参赛的七、八年级学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100） 下面给出部分信息： 七年级20名学生比赛成绩在B组中的数据是：79，79，76，74，72，72，71，71． 八年级20名学生比赛成绩是：62，64，66，70，71，71，74，77，80，81，83，85，85，85，90，90，91，98，98，99． 七、八年级所抽取学生比赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中：a＝　77.5　 ，b＝　85　 ，m＝　40　 ； （2）根据以上数据，你认为该次比赛七、八年级中哪个年级学生安全知识比赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）这次比赛七年级有学生1000人，八年级有学生1200人，请估计该次比赛七、八年级参加比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？ 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a，b的值，根据扇形统计图中B的百分比m%，进而可得m的值； （2）结合七、八年级学生的科学知识竞赛的平均数、中位数、众数的定义可得结论； （3）根据用样本估计总体，用1000乘以扇形统计图中D的百分比加上1200乘以样本中八年级成绩为“优 秀”（x≥90）的学生人数所占的百分比，即可得出答案． 【解答】解：（1）七年级20名学生竞赛成绩排在第10和11名为比赛成绩在B组中第二位和第三位（从大到小）， 将七年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为76分，79分， ∴a＝（76+79）÷2＝77.5， 由八年级20名学生的竞赛成绩可得，b＝85， 由题意得，七年级20名学生的竞赛成绩在B组的百分比为 8÷20×100% ＝40%， ∴m＝40． 故答案为：77.5；85；40； （2）八年级学生的科学知识竞赛成绩更好， 理由：七、八年级学生的科学知识竞赛的平均数相同，但八年级的中位数大于七年级的中位数， 所以八年级学生的科学知识竞赛成绩更好； （3）． 答：估计该校七、八年级参加此次科学知识竞赛成绩为“优秀”（x≥90）的学生人数共约510人． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，属于中档题． 20．（10分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∵， ∴原式＝ ＝． 【点评】本题考查的是分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值．熟练掌握以上知识点是关键． 21．（10分）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． （1）求甲、乙两种商品每件的售价； （2）“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多40%，求购买乙种商品的数量． 【分析】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为x元，再列式得，再解方程即可． 【解答】解：（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元．则： ∴， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为x元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多40%， 所以， 解得x＝5，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 【点评】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． 22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝11，点E为AD上一定点，满足AE＝3，连接BE，CE，动点M从A点出发，沿着折线A﹣E﹣B运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着CE向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作NF⊥BC于点F．设运动时间为x秒（0＜x＜8），记△ABM的面积为y1，△CNF的面积为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数y1≤y2的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【分析】（1）求出CD＝AB＝4，DE＝AD﹣AE＝8，∠A＝∠D＝90°，，当0＜x≤3时，即可求出，当3＜x＜8时，，即可得到；证明△CFN∽△EDC，得到，从而求出； （2）根据函数解析式，列表，描点，连线即可求解，根据函数图象即可得到y1的一条性质当x＝3时，函数有最大值为6； （3）求出y1与y2交点横坐标约为x≈5.4，结合图象可得当y1≤y2时，5.4≤x＜8﹒ 【解答】解：（1）y1＝；；理由如下： ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝11，AE＝3， ∴CD＝AB＝4，DE＝AD﹣AE＝8，∠A＝∠D＝90°， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：BE＝＝5， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：CE＝＝4， 如图1，当0＜x≤3时，AM＝x， ∴y1＝AB•AM＝×4•x＝2x， 即y1＝2x（0＜x≤3）； 如图2，当3＜x＜8时，BM＝AE+BE﹣x＝8﹣x， y1＝＝＝， 即y1＝x+（3＜x＜8）﹒ 综上所述：y1＝； ∵四边形ABCD为矩形， ∴DE∥BC， ∴∠DEC＝∠FCN， ∵NF⊥BC， ∴∠CFN＝∠D＝90°， ∴△CFN∽△EDC， ∴＝， 即＝＝， ∴； （2）y1，y2的图象，如图3即为所求； 函数y1的性质，当x＝3时，函数有最大值为6； （3）函数y1≤y2的取值范围为5.4≤x＜8﹒ 由函数图象得y1与y2交点横坐标约为x≈5.4， ∴当y1≤y2时，5.4≤x＜8﹒ 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，画函数图象，函数与不等式关系等知识，熟练掌握相似三角形的性质与矩形的性质是解答本题的关键． 23．（10分）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东60°方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西75°方向上，海岛C在海岛D的北偏西60°方向上．（参考数据：，，） （1）求BC的长度；（结果保留根号） （2）甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 【分析】（1）过点C作CH⊥BH交BA延长线于点H，根据题意，结合图形，得到∠CAH＝60°，∠CBH＝45°，在Rt△ACH中，求出BH，即可得到结果； （2）过点B作BG⊥DG于点G，过点C作CM⊥BD于点M，求出∠DBG＝15°，进而求出∠CBD＝30°，由（1）知海里，海里，解直角三角形求出AC，BM，CM，根据题意求出∠CDM＝45°，进而求出DM，CD，分别计算出甲、乙两船所走过的路程，结合两船的速度，即可得到两船所用的时间，进而得到结果． 【解答】解：（1）过点C作CH⊥BH交BA延长线于点H， 由在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东60°方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西75°方向上，海岛C在海岛D的北偏西60°方向上可得： ∠CAH＝60°，∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， 在Rt△ACH中，， ∴， ∵BH﹣AH＝AB＝60， ∴， ∴海里， ∴海里； （2）过点B作BG⊥DG于点G，过点C作CM⊥BD于点M， ∵∠BDG＝75°，∠BGD＝90°， ∴∠DBG＝90°﹣75°＝15°， ∵∠CBG＝90﹣∠CBH＝45°， ∴∠CBD＝∠CBG﹣∠DBG＝30°， 由（1）知海里，海里， 在Rt△ACH中，， ∴海里， ∴，， ∴海里，海里， ∵∠CDM＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ∴，， ∴海里，海里， ∴甲船走过的路程为（海里）， 乙船走过的路程为（海里）， ∴甲船所用时间为223.8÷40≈5.595（小时）， 乙船所用时间为415.8÷30≈13.86（小时）， ∵5.595＜13.86， ∴甲船先到达目的地． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B、C（﹣2，0）两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线AB上方抛物线上一个动点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，过点P作PE⊥AB于点E，点M、N是对称轴上的动点，点M在点N上方且MN＝1，连接PM、BN，当AE+BD长度取得最小值时，求PM+BN长度的最小值； （3）在（2）中AE+BD长度取得最小值的条件下，将抛物线沿射线BA的方向平移个单位长度得到抛物线y′，点F为点P的对应点，点G为抛物线y′上一个动点，点H为抛物线y′与x轴左侧的交点，若∠HFP＝∠GAC+∠OAB，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【分析】（1）把A（0，3），C（﹣2，0）代入，可得b，c，即可得抛物线的表达式； （2）由勾股定理可得AB，根据平行线的性质，结合三角函数，等量代换可知当AE+BD长度取得最小值时，PD最大，由待定系数法可得直线AB的解析式，设点P坐标，可得线段PD，由二次函数的最值可得点P坐标，在线段PD上截取PP'＝MN，由平行四边形的判定和性质，可得NP′＝MP，由两点之间线段最短，结合勾股定理，等量代换，可得PM+BN长度的最小值； （3）由勾股定理，结合已知可得抛物线y′的解析式，可得点H的坐标，作FK⊥x轴于点K，由平移的性质，结合已知可得∠GAC＝45°，按照点G在AC上方和下方进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质，可得点的坐标，用待定系数法可得直线AG的解析式，与抛物线y′的解析式联立，即可得点G的横坐标． 【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B、C（﹣2，0）两点．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）抛物线与x轴交于B、C（﹣2，0）两点， 当y＝0时，得：﹣x2+x+3＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， ∴B（6，0）， ∴OB＝6， ∵A（0，3）， ∴OA＝3， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵PD∥y轴，点A在y轴上， ∴∠PDA＝∠OAB， ∴， ∴， ∴， 当AE+BD长度取得最小值时，PD最大， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 设点，则， ∴， ∴当t＝3时，PD最大，此时， ∵点M、N在对称轴上， ∴MN∥y轴， 又∵PD∥y轴， ∴PD∥MN， 如图1，在线段PD上截取PP'＝MN，则四边形PMNP'是平行四边形， ∴NP′＝MP， ∵抛物线与x轴交于B、C两点，点N在对称轴上， ∴NB＝NC， ∴PM+BN＝P′N+CN≥CP′， 当且仅当点C、N、P在同一条直线上时，PM+BN取的最小值， ∵，MN＝1， ∴，即， ∵C（﹣2，0）， ∴， ∴PM+BN长度的最小值为； （3）所有符合条件的点G的横坐标为或．理由如下： ∵OA＝3，OB＝6， ∴OB＝2OA， 设抛物线向上平移n（n＞0）个单位长度，向左平移2n个单位长度得到抛物线y′， 依题意得：，n＞0， 解得：， ∴， ∴抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线y′， ∴， ∵点F为点P的对应点，， ∴，， ∴， 在中， 当y＝0时，得：﹣x2﹣x+＝0， 解得：，， ∵点H为抛物线y′与x轴左侧的交点，， ∴， 作FK⊥x轴于点K，则∠FKH＝90°， ∵，， ∴FK＝6，， ∴FK＝HK， ∴， 由平移得：∠PFK＝∠BAO， ∵∠HFP＝∠GAC+∠OAB， ∴∠GAC＝∠HFP﹣∠OAB＝∠HFP﹣∠KFP＝∠HFK＝45°， 当点G在AC上方时，xG＜0， 作CR⊥AG于点R，作RT⊥x轴于点T，作AS⊥RT于点S，则∠ARC＝∠RTC＝∠S＝90°， ∴∠RCT＝90°﹣∠CRT＝∠ARS，∠ACR＝90°﹣45°＝45°， ∴∠RAC＝∠RCA， ∴RA＝CR， 在△ASR和△RTC中， ， ∴△ASR≌△RTC（AAS）， ∴SA＝RT，SR＝TC， 依题意得：， 解得：， ∴， 设直线AR的解析式为y＝k1x+b1，将点A，点R的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AR的解析式为， ∴，xG＜0， 解得：， 当点G在AC下方时，xG＞0， 作CW⊥AG于点W，作WQ⊥x轴于点Q，作AI⊥WQ于点I，则∠CWA＝∠CQW＝∠I＝90°， ∴∠CWQ＝90°﹣∠AWI＝∠WAI，∠ACW＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACW＝∠CAW， ∴WA＝CW， 在△WIA和△CQW中， ， ∴△WIA≌△CQW（AAS）， ∴WI＝CQ，IA＝QW， 依题意得：， 解得：， ∴， 设直线AW的解析式为y＝k2x+b2，将点A，点W的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AW的解析式为y＝﹣5x+3， ∴，xG＞0， 解得：， ∴所有符合条件的点G的横坐标为或． 【点评】本题属于二次函数 综合题，主要考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理，求一次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，二次函数的图象和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 25．（10分）已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点D为AC的中点，过点D作BC的平行线交AB于点G，点E，F分别在AB，BC的延长线上，且∠EDF＝120°，求证：DE＝DF； （2）如图2，若∠BAC＝90°，过点A作AM⊥BC于点M，点D在CA的延长线上，连接BD，点H为BD上一点，以BH为斜边在BH右侧作等腰Rt△BHG，连接AG，CH，在CH上取一点N，连接AN，使∠GAN＝45°，连接MN，用等式表示MN与BG的数量关系并证明； （3）如图3，点P是平面内AC右侧一点，连接AP，CP，满足∠PAC+∠PCA＝120°，射线AP上有一点Q且满足AQ＝CP，过点Q作QT⊥BC于T，若∠BAC＝90°，，请直接写出QT的最小值． 【分析】（1）先证△AGD∽△ABC，再证△DGE≌△DCF（ASA），可得出DE＝DF； （2）过G作EG⊥AG，交AN延长线于E，先证△ABG≌△EHG（SAS），再证△NEH≌△NAC（AAS），再由△NCM∽△HCB，则，由等腰Rt△BHG，得出，即可得； （3）在AC上方作等边△ACD，连接DQ、DP，证明A、C、P、D四点共图，可得∠DAP＝∠DCP，进而可证明△ADQ≌△CDP，得∠ADQ＝∠CDP，DQ＝DP，即可证明△DQP是等边三角形，得∠AQD＝120°，作△ADQ外接圆，进而可求其半径，得O、Q、T共线时，OT最小，而QT最小，依次求得相关线段长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC． ∵点D为AC的中点， ∴． ∵DG∥BC， ∴∠AGD＝∠ABC＝60°，∠ADG＝∠ACB＝60°，． ∵∠A＝∠A， ∴△AGD∽△ABC， ∴， ∵AC＝BC，AD＝CD， ∴GD＝CD． ∵∠AGD+∠DGE＝180°，∠ACB+∠DCF＝180°，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AGD＝∠ABC＝60°， ∴∠DGE＝∠DCF＝120°． ∵DG∥BC， ∴∠CDG＝∠DCF＝120°． ∵∠EDF＝120°，∠GDE+∠CDE＝∠CDG，∠CDE+∠CDF＝∠EDF， ∴∠GDE＝∠CDF． 在△DGE和△DCF中， ， ∴△DGE≌△DCF（ASA）， ∴DE＝DF； （2）解：； 证明：如图2，过G作EG⊥AG，交AN延长线于E， ∴∠AGE＝90°． ∵△BHG是等腰直角三角形， ∴∠AGE＝90°，BG＝HG， ∴∠BGH+∠AGH＝∠AGE+∠AGH， ∴∠AGB＝∠EGH． ∵∠AGE＝90°，∠GAN＝45°， ∴∠AEG＝90°﹣∠AGE＝45°， ∴AG＝EG． 在△ABG和△EHG中， ， ∴△ABG≌△EHG（SAS）， ∴AB＝EH，∠BAG＝∠HEG， ∵AB＝AC， ∴EH＝AC， ∵∠BAG+∠MAG＝∠BAM＝45°，∠HEG+∠NEH＝∠AEG＝45°， ∴∠MAG＝∠NEH， ∵AB＝AC，AM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴， ∵∠EAM+∠MAG＝45°，∠EAM+∠NAC＝∠CAM＝45°， ∴∠NEH＝∠CAN． 在△NEH和△NAC中， ， ∴△NEH≌△NAC（AAS）， ∴NH＝NC， ∵AB＝AC，AM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴BM＝CM， ∴， ∵∠NCM＝∠HCB， ∴△NCM∽△HCB， ∴， ∴HB＝2MN， ∵BG＝HG，∠AGE＝90°， ∴， ∴， ∴； （3）解：QT的最小值为．理由如下： 如图3，在AC上方作等边△ACD，连接DQ、DP， ∴∠ADC＝∠CAD＝∠ACD＝60°，AD＝CD＝AC， ∵∠PAC+∠PCA＝120°， ∴∠APC＝60°， ∴∠APC＝∠ADC， ∴A、C、P、D四点共圆， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵AQ＝CP， 在△ADQ和△CDP中， ， ∴△ADQ≌△CDP（SAS）， ∴∠ADQ＝∠CDP，DQ＝DP， ∴∠ADQ+∠CDQ＝∠CDP+∠CDQ＝60°， ∴△DQP是等边三角形， ∴∠DQP＝60°， ∴∠AQD＝120°， 作△ADQ的外接圆O，连接AO、DO， ∴所对的圆心角为2∠AQD＝240°， ∴∠AOD＝120°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC+∠CAD+∠7＝180°， ∴点B、A、O三点共线， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵， ∴， ∴AC＝DC＝AD＝9， 作OM⊥AD于M， ∴， ∴OA＝＝＝3， ∴， 连接OQ、OT， ∵△OQT中，OQ+QT≥OT， ∴当O、Q、T三点共线，即OT⊥BC时，QT最小， 当OT⊥BC时， ∵∠B＝45°，∠BTO＝90°， ∴∠BOT＝∠B＝45°， ∴BT＝OT， ∴， ∴． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了圆与三角形的综合，涉及四点共圆，圆周角的性质定理，圆心角定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等，综合性强，难度较大，根据题意结合图形正确添加辅助线，找到各个线段，角之间的关系是正确解答此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $