模拟02期中考试模拟提升卷（范围：第1-4章）2026-2027学年北师大版九年级数学上册高频考题专项训练（重庆专用）

2026-2027学年北师大版九年级上学期期中模拟卷 数学提升卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~4章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.如图，该几何体的主视图是() B D 2.下列方程，属于一元二次方程的是() A.=1 B.r-2x+3=0 c.x2-1=1 D.2(x+1)=x 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为 第1页共8页 A.3 B.4 C.24 D.48 4.如图，AD‖BE CF,AB=3,BC=6,DE=2.5,则EF的值为() D B A.3.5 B.4 c.4.5 D.5 5.如图，竖直放置的杆AB,在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好 为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为() B D A.(6+4W5)米 B.(0+43)米 C.8米 D.10米 6.关于x的一元二次方程mx+2x-1=0有实数根，则m的取值范围是() A.m≤-1 B.m≤-1且m≠0 C.m≥-1 D.m≥-1且m≠0 C(-1,0) 7.如图，以点 为位似中心，作△ABC的位似图形△4BC,若点B的横坐标是3，点B的对应点 B的横坐标是3，则△ABC与△AB'C的周长之比为() 第2页共8页 0 A.1:2 B1:4 C.2:3 D.2:1 8.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的 增长率都相同，均为x,则由题意列方程应为() 4 200(1+x)=1000 B.200+200.2x=1000 C.200+200.3x=1000 D.2001+(1+x+(1+x2]=1000 9.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交DC的延长线于点 CF R,交BC于点M,若M为EF的中点，则DE的值为(） D M E B 2 25 2W2 A.1 B.2 C.5 D.3 10,已知整式N:a,r+a+…+a+4,其中n为正整数，a为自然数， alaa是从l2中任意 选取的一个数，且 n=an+an+…+a+ao 下列说法： ①若n=1,则满足条件的单项式N共有3个： ②若”=2且5=3 ,则使得方程V=0的所有实数根的和为5： n=3,a=2S3= ③若 且 6,则满足条件的整式W共有24个. 第3页共8页 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.方程x2-2x=0的根为. 12.已知a,b,c,d四条线段成比例，其中a=3cm、b=5cm,c=2cm,则d=_cm 13.如图是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由 个正方体搭成的. 主视图 俯视图 14.若关于x的一元二次方程m-2)2+5x+m2-4=0 有一个根为x=0,则m等于」 15.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=6O°，点E是CD边上一点，连接BE,将△BCE沿直线BE翻折到菱 形ABCD所在的平面内，得△BFE,连接AF并延长交BE于点G,连接DG.若AB=7,BG=8,则 AG= DG= A D E C 16.大足石刻造像艺术承载着吉祥如意的美好寓意.现定义：满足各数位上的数字互不相等且均不为0， 并同时满足千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和的2倍的四位自然数为“石刻吉祥数”.例如： 四位数8241，. 8+2=2(4+1)） 且数字互不相等均不为0，∴.8241是“石刻吉祥数”，最小的“石刻吉 祥数”是 :对于-个石刻言样数”N-:记F(0W=西，G(=ad+6,若F例为 G(N)=b2-d 正整数，且 ,则满足条件的N的值为 第4页共8页 三、解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，1925题每题10分）解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.解下列方程： 2-x=3(x-2) (1) 2)-2x-3=0 18.请完成以下作图和填空. D E (1)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接DE,用直尺和圆规完成以下作图：过点 E作DE的垂线，与AB交于点F,连接BE(保留作图痕迹，不写作法). (2)求证：DE=EF(补全证明过程)， 证明：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAE=∠BAE AD=AB ∠DAE=∠BAE 在 和 中， △ADE△ABE AE=AE ∴.△ADE≌△ABE(SAS) ∴.DE=BE, ① DE⊥EF,∠DAF=90° ∴，在四边形ADEF中，∠DAF+∠DEF=180°， .∠ADE+∠AFE=180° :∠BFE+∠AFE=180°」 ② 又：∠ADE=∠ABE, 第5页共8页 ③ ④」 DE BE, .DE=EF 19.如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位： cm)解答下列问题. 6 8 主视图 左视图 (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少： (2)求这个立体图形的体积. 20.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以lcm/s的速度向点B移动： 同时，点Q从点B出发沿BC以2Cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运 t(s) 动，设运动的时间为 D B (1)当△PBO的面积为4cm时，求t的值； (2)连接D0,当P1D0时，求t的值. 21.长江索道是重庆的标志性交通方式之一，也是热门旅游打卡地.已知长江索道甲、乙两检票口某日等 候放行游客5700人，甲检票口每小时比乙检票口多放行200人，当甲检票口放行2小时，乙检票口放行3 小时后，还剩300人未放行. (1)求甲、乙两检票口每小时各放行多少人？ (2)经调研发现：按原有放行速度，平均每位游客能给索道带来文创、餐饮等附加收入为20元；每小时放 第6页共8页 行人数每增加00人，平均每位游客带来的附加收入就减少1元.求当甲检票口每小时放行多少人时，它每 小时的附加收入为25600元？ 22.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的 身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上. E B F (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子： (2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子AC=1.4m,且他到路灯的距离AD=2.lm,求灯泡的高度比小明 高多少米？ 23.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F是OD中点，延长线段AF至点E,使 AF=EF,连接OE,CE,DE A B (1)求证：四边形OCED为矩形： (2)若 D=2V3∠BCD=120 ,求4E的长。 24.如图1.在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,动点P从点A出发，沿着A-B-C的路线运动，到达C 点停止，过点P作P0BD交麦形的另-边于点0.设动点P行袋的路程为0x<10）,点P、0的距 离为y 第7页共8页 19 7 6 432 P 01234567891011x 图1 图2 (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数'的图象，并写出函数y的一条性质： (3)函数少，-2X+b与函数y只有一个交点，请直接写出b的取值范围 25.己知ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=AC E 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，AB=4,求BD的长： (2)如图2，AB⊥AC,过点C作CF⊥BD于点F,连接AF,过点A作AE⊥AF交BD于点E,求证： OE=CF+OF. (3)如图3，在(1)的条件下，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP'=60°且AP=AP',连接DP',当 AP'+DP的值最小时，请直接写出△ADP的面积. 第8页共8页 2026-2027学年北师大版九年级上学期期中模拟卷 数学提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~4章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是该几何体的俯视图，故不符合题意； B、是该几何体的左视图，故不符合题意； C、不是该几何体的三视图，故不符合题意； D、 是该几何体的主视图，故符合题意． 2．下列方程，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义分析： A、方程含和两个未知数，不符合“只含一个未知数”的特征，此选项不符合题意； B、方程只含未知数，的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程定义，此选项符合题意； C、方程分母含未知数，属于分式方程，不符合“整式方程”的特征，此选项不符合题意； D、方程整理后为，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合“最高次数为2”的特征，此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为（    ）    A．3 B．4 C．24 D．48 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质求三角形面积，由菱形性质得到，再由得到，熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：A． 4．如图，，，，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，掌握其比例的计算方法是关键． 根据平行线截线段成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：D ． 5．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（    ） A．米 B．米 C．8米 D．10米 【答案】A 【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE=DE，然后在Rt△CDT中，求出DT和CT，再根据AB＝AE﹣BE，即可得出结论， 【详解】解：如图，延长AB交DT的延长线于E． ∵1米的杆影长恰好为1米， ∴AE＝DE， 易得四边形BCTE是矩形， ∴BC＝ET＝10米，BE＝CT， 在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°， ∴DT＝CD•cos30°＝8× ＝4 （米），CT＝CD＝4（米）， ∴AE＝DE＝ET+DT＝（米），BE＝CT＝4（米）， ∴AB＝AE﹣BE＝﹣4＝（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数范围，涉及一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识，根据关于的一元二次方程有实数根，得到，解不等式即可得到答案，熟练掌握由一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得，且， 故选：D． 7．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 8．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 9．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交的延长线于点F，交于点M，若M为的中点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图所示，过点作，， 是正方形的对角线， 平分， ， 四边形是正方形， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ． 10．已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：逐个验证三个说法： ①当时，，由题知是从中任意选取的一个数，即，若是单项式，则必须，可取，共个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意； ②当，，时，， ∵是从中任意选取的一个数，为自然数， ∴， （），，则， ∵， ∴， 情况一：，则，，不符合条件， 情况二：，则，，， 情况三：，则，，， 情况四：，则，，不符合条件， （），，矛盾，不符合题意； （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， 综上，使得方程的所有实数根的和为，故②错误，不符合题意； ③当，，， 时，， 情况一： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况二： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况三： 则有：，共有个满足条件的整式， 综上，一共有个满足条件的整式， 故③正确，符合题意； 综上，正确的个数只有个． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．方程的根为________． 【答案】， 【分析】对方程左边提取公因式因式分解，即可求出方程的根． 【详解】解：已知， 则， 则或， 解得，． 12．已知，，，四条线段成比例，其中、，，则___． 【答案】/ 【分析】本题考查成比例线段．根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵，，，四条线段成比例， ∴， ∵、，， ∴ 故答案为：． 13．如图是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由________个正方体搭成的． 【答案】7或8或9或10或11 【分析】根据俯视图和主视图判断出几何体最少和最多需要由几个正方体搭成即可． 【详解】解：从俯视图可知，底层的小正方体分布在5个不同位置，因此底层固定有5个小正方体； 主视图显示几何体的左侧列最高有3层，右侧列最高只有1层，对应到俯视图里： 俯视图的右侧2个位置属于主视图的右列，这两个位置都只能是1层，没有额外叠加的正方体； 俯视图的左侧3个位置属于主视图的左列，这部分的总层数需要满足最高为3层：最少的情况是其中1个位置叠3层、另外2个位置仅1层，额外叠加2个正方体；最多的情况是3个位置分别叠3层、3层、3层，额外叠加6个正方体； ∴总正方体数的范围是到，所有可能的取值为． 14．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程求得的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到结果． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为， 即，得， 是原方程的一个根， 将代入原方程得 ， 解得或， ∴． 15．如图，在菱形中，，点是边上一点，连接，将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得，连接并延长交于点，连接．若，则___________，___________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ∵将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得， ∴，， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∵将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得， ∴， 如图，连接，作关于的对称点，连接，，过作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 同理可得是等边三角形，则 设 ∴ ∴， ∵关于对称， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 16．大足石刻造像艺术承载着吉祥如意的美好寓意．现定义：满足各数位上的数字互不相等且均不为0，并同时满足千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和的2倍的四位自然数为“石刻吉祥数”．例如：四位数8241，∵，且数字互不相等均不为0，∴8241是“石刻吉祥数”．最小的“石刻吉祥数”是_________ ；对于一个“石刻吉祥数”，记．若为正整数，且，则满足条件的N的值为_________ ． 【答案】 1923 3741 【详解】解：要使四位数最小，千位a取最小非零整数1， 依次尝试百位b的最小取值： 时，，则，无正整数解； 时，，则，解出的c， d中两个数均与重复，不符合题意； 时，，则，无正整数解； 时，，则，解出的c， d中有一个数与重复，不符合题意； 时，，得，无正整数解； 时，，则，解出的c， d中有一个数与重复，不符合题意； 时，，则，无正整数解； 时，，则，取，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“石刻吉祥数”为； ②∵为正整数， ∴是9的倍数， 而 即是9的倍数， 设，， ∴S为偶数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 若时，，无解；若时，则，而，则，不成立；若，则，，，不成立； ∴k只能取1， ∴，即且， ∴，即， 又∵为偶数，且， ∴可取10，12，14，16， ∵，,即， ∴， 整理得， ∵， 令，则， ∴， 整理得， 当时，， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 则，， 当时，，满足， 则，符合， 则符合； ∴满足条件的； 当时，则，则，此时不符合题意； 当时，则，则，代入，得，，此时无整数解，不符合题意； 当时，则，则，代入，得，，此时无整数解，不符合题意， 综上：满足条件的． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用因式分解法法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可. 【详解】（1）解： 方程化为：，， ∴， ∴或； ∴，． （2）解： ∴， ∴或， ∴，． 18．请完成以下作图和填空． (1)如图，在正方形中，点是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点作的垂线，与交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：（补全证明过程）． 证明：四边形是正方形， ，． 在和中，， ．  ，_______________①． ，， ∴在四边形中，． ． ， ∴_______________②． 又， ∴_______________③． ∴_______________④． ， 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)①；②；③；④ 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点，再分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为，连接直线，与线段的交点即为，再连接即可； （2）先证明，得到，根据正方形的一个直角和垂线所得直角，由四边形内角和得，根据平角两角互补证得，故，得到结论． 【详解】（1）解：理由如下：以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交直线于点， ， 分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，记两段弧的交点为， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 19．如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 20．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 21．长江索道是重庆的标志性交通方式之一，也是热门旅游打卡地．已知长江索道甲、乙两检票口某日等候放行游客人，甲检票口每小时比乙检票口多放行人，当甲检票口放行小时，乙检票口放行小时后，还剩人未放行． (1)求甲、乙两检票口每小时各放行多少人？ (2)经调研发现：按原有放行速度，平均每位游客能给索道带来文创、餐饮等附加收入为元；每小时放行人数每增加人，平均每位游客带来的附加收入就减少元．求当甲检票口每小时放行多少人时，它每小时的附加收入为元？ 【答案】(1)甲检票口每小时放行 1200 人，乙检票口每小时放行 1000 人． (2)甲检票口每小时放行 1600 人时，每小时附加收入为 25600 元． 【分析】（1）设乙每小时放行人，甲每小时放行人，用总人数 5700 减去未放行 300 得到已经放行 5400 人，根据甲放行 2 小时、乙放行 3 小时的人数相加等于 5400 列出方程，算出乙每小时放行 1000 人，再加 200 得到甲每小时放行 1200 人． （2）设每小时放行人数增加人，此时每小时放行人，每位游客收入变为元，用每小时放行人数乘单人附加收入等于 25600 列出方程，求出，代入算出甲每小时放行 1600 人． 【详解】（1）解：设乙检票口每小时放行人，则甲检票口每小时放行人． 总游客 5700 人，还有 300 人未放行，已经放行人数： 人， 甲放行 2 小时，乙放行 3 小时，列方程： ， 解得：， 甲每小时：， 答：甲检票口每小时放行 1200 人，乙检票口每小时放行 1000 人． （2）解：设甲检票口每小时放行人数增加人，则此时每小时放行人． 原来每位游客附加收入 20 元；每增加 100 人，每人收入减少 1 元，现在每人收入为元． 总收入 = 每小时放行人数 × 每人附加收入，列方程： ， 解得：． 此时甲每小时放行人数： ， 答：甲检票口每小时放行 1600 人时，每小时附加收入为 25600 元． 22．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求灯泡的高度比小明高多少米？ 【答案】(1)如图，点为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下形成的影子． (2)灯泡的高度比小明高． 【分析】（1）连接并延长，交于点，则点为灯泡所在的位置，连接并延长交直线于点，则线段为小亮在灯光下形成的影子； （2）可证明，，据此代入数值计算的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，可得， ， ，即， 解得， ． 答：灯泡的高度比小明高． 23．如图，菱形的对角线，相交于点O，点F是中点，延长线段至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点F是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，相交于点O， ∴， ∴四边形为矩形； (2) 【分析】（1）判定四边形是平行四边形，推出，由菱形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形为矩形； （2）判定是等边三角形，得到，由勾股定理得到，求出（舍去负值），由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 24．如图1．在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)函数与函数只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 画出函数图象如下： 当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小；的最大值为； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质． （1）分两种情况：当时，当时，分别用相似三角形的性质求解即可； （2）先画出函数图象，再由函数图象即可得解 （3）求出当直线经过，，时的的值，结合图象即可得解． 【详解】（1）解：当时，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，如图，，， ， 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述， （2）解：当时，；当时，；当时，， 观察图象可得，当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小；的最大值为； （3）解：如图： ， 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：； 观察图象可得，函数与函数只有一个交点，或， ∴的取值范围为或． 25．已知中，对角线、相交于点O，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，过点C作于点，连接，过点A作交于点E，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点C作，交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)当的值最小时，的面积是 【分析】（1）先证明是菱形，可得，可根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）过点C作，交于点G，先证明，得到，再证明，即可证明结论； （3）连接，，先证明，可得，所以点在的平分线上，因此可根据轴对称的性质推得，所以当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长，再求出此时对应的的长，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 是菱形， ，，， ， ； （2）略 （3）解：连接，， 由（1）知，是菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 与关于直线轴对称， ， ， 当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，， ， ， ， ， 解得， ， 的面积为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $