29.1.2 过三点的圆 第1课时 同步评价试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.1.2 过三点的圆 第1课时 同步评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 3．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 4．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 7．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 8．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 二、填空题 9．是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 10．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 11．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 12．直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    14．将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点，圆心的坐标为 ； (2)求外接圆的面积． 16．如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： (1)在图1中，作一个等腰直角三角形； (2)在图2中，作出的外心O． 17．学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 (1)请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ (2)该圆的半径为_____ (3)若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 19．如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心在线段上，且经过两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 20．如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B C A A D 1．A 根据圆的概念求解． 解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 2．B 本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 3．C 可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 4．B 本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 5．C 本题考查由弧确定所在圆的圆心，涉及垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．熟练掌握通过圆弧，由垂径定理的推论确定弧所在圆的圆心方法是解决问题的关键． 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 故选：C． 6．A 本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 7．A 本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 8．D 利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9． 直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 10．②①④③ 同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 11．外心 本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 12．5 本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 13． 本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 14． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案． 解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 15．(1) 解：如图，点即为所求作圆心，坐标为； (2) （1）取格点、，由网格特点可知，垂直平分，取格点，则四边形是正方形，可得垂直平分，延长与的交点即为圆心点，再写出圆心的坐标即可； （2）根据坐标两点的距离公式，求出的长，也就是外接圆的半径，即可求出面积． （1）略 （2）解：如图，连接， 点的坐标为，点的坐标为， ， 外接圆的半径为， 外接圆的面积为． 【点睛】本题考查了格点作图，三角形外接圆圆心，坐标与图形，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点是解题关键． 16．(1)见解析 (2)见解析 （1）根据勾股定理及其逆定理作图即可； （2）取格点M，N，连接，取格点E，F，连接，交于点D，取格点G，连接，交于点O，则点O即为所求作的的外心O． （1）解：如图1，三角形即为所求的等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形； （2）解：如图2，点O即为所求的的外心O． ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵四边形是矩形， ∴点D是的中点． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点O是的外心． 17．(1)解：如图，即为苗圃的位置． (2)圆形花坛的面积为平方米 本题考查了作垂直平分线，画三角形的外接圆，勾股定理，直角所对的弦是直径； （1）根据线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆； （2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积． （1）略 （2）∵，米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为米． ∴圆形花坛的面积为平方米． 18．(1) 解：如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心， ∴圆心的坐标为； (2) (3) 本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，确定圆心的位置，圆的基本性质等等： （1）如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心，据此求出点P的坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）根据的长为的半径长结合勾股定理求解即可． （1）略 （2）解：∵， ∴， ∴该圆的半径为； （3）解：设， ∵点为上一点， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 19．(1) 如图，即为所求； (2)6 本题考查尺规作图—作圆，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的画圆，是解题的关键： （1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径画出即可； （2）连接，等边对等角结合角平分线的定义，推出，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． （1）略 （2）解：连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理，得， 即的半径为6． 20．(1)如图，    (2)， (3)（答案不唯一） （1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． （1）解：连接，，，作，的垂直平分线，交于点， ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $