专题03有理数的加减、乘除运算期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题03有理数的加减、乘除运算期中复习讲义 ✵复习目标 熟练掌握有理数加减法则，会运用加法运算律简便运算，能解决加减相关实际问题。 掌握数轴两点距离公式，能依据数轴上点的位置判断和、差式子的符号，掌握数轴翻折模型。 掌握有理数乘除法则与倒数概念，能正向、逆向灵活运用乘法分配律简化运算，解决乘除实际问题。 牢记四则混合运算顺序，规范书写步骤，综合运用法则解决应用型问题。 ✵高频题型梳理 题型1.有理数加法运算、加法符号问题 题型2.有理数加法运算律、加法简便计算与加法实际应用 题型3.有理数减法运算及减法实际应用 题型4.有理数加减混合运算、省略加号和括号的形式 题型5.有理数加减混合运算简便运算与实际应用 题型6.数轴上两点距离、根据数轴上点的位置判断式子正负 题型7.有理数乘法运算、倒数 题型8.有理数乘法运算律及乘法实际应用 题型9.有理数除法运算及除法的实际应用 题型10.有理数乘除混合运算、简便运算 题型11.有理数四则混合运算及实际应用 题型12.数轴上的翻折问题 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数加法 法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；一个数与0相加，仍得原数。 运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 知识点二、有理数减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b） 加减混合运算统一转化为加法，写成省略加号、括号的代数和形式。 知识点三、数轴相关 两点距离：数轴上表示m、n两点的距离为|m-n|，距离是非负数。 符号判断：结合点在原点的位置、绝对值大小，判断和式、差式的正负。 翻折模型：翻折后，对应两点到折点的距离相等；折点为对应两点的中点。 知识点四、有理数乘法 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 多个非零有理数相乘：积的符号由负因数个数决定，奇负偶正；算式中只要有一个因数为0，积为0。 运算律 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac； 逆用：ab+ac=a(b+c) 知识点五、倒数 乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数；a(a≠0)的倒数是，倒数的正负与原数一致。 知识点六、有理数除法 法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数，结果为0。 转化：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a· (b≠0) 提示：0不能作为除数。 知识点七、乘除混合、四则混合运算 乘除同级运算：从左向右依次计算；一般先转化为乘法，统一形式后先定符号，再约分计算。 四则混合运算（不含乘方）：先乘除，后加减；有括号，先算括号内。 ✵易错提醒 1. 减法变加法，只改减数符号。 2. 0无倒数；0可做被除数，不能作除数。 3. 多个数相乘，符号看负因数个数：奇负偶正。 4. 分配律逐项相乘，不漏乘、看清公因数符号。 5. 乘除同级，从左往右算，不能乱调顺序。 6. 数轴距离非负；翻折抓 “到折点距离相等”。 7. 计算口诀：先定符号，再算绝对值。 ✵典例精讲 题型1.有理数加法运算、加法符号问题 1．根据有理数加法法则，计算的过程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵4与异号，且，，， ∴． 2．把写成省略加号和括号的形式为________． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）计算两个负数相加：和取负号，和的绝对值等于两个加数绝对值的和． （2）计算两个异号的数相加：和取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）计算负数与零相加：一个数与相加，仍得这个数． （4）计算两个相反数相加：互为相反数的两个数相加得． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型2.有理数加法运算律、加法简便计算与加法实际应用 1．计算的值等于（     ） A． B． C．1013 D． 【答案】D 【分析】相邻两个数的和为1，共有1013对数，剩余一个，由此计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算的结果是______． 【答案】0 【详解】解： ． 3．出租车司机小王某天下午在东西走向的大街上营运，规定向东为正、向西为负，行车里程（单位：km）依次为：，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点多远？在出发点的东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)小王距下午出车时的出发点，在出发点的东边 (2)这天下午汽车共耗油 【分析】（1）将题目中的数据相加即可解答本题； （2）将题目中的各个数据的绝对值相加再乘以即可解答本题． 【详解】（1）解： ， 答：小王距下午出车时的出发点，在出发点的东边； （2）解： ， ， 答：这天下午汽车共耗油． 题型3.有理数减法运算及减法实际应用 1．我市某天的最高气温为，最低气温为零下，则计算温差列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 零上记为，零下记为. ∵ 温差为最高气温减去最低气温， ∴ 列式为 2．若，，且，，则_______． 【答案】 【分析】根据题目可知为负数，为正数，再化简绝对值进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 3． 把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，以这种形式表述的数集，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合中就有，，，这4个元素． 如果一个集合满足：当有理数a是集合中的元素时，有理数也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“差好集合”，例如集合就是一个“差好集合”． (1)判断：集合 “差好集合”；集合 “差好集合”．（填“是”或“不是”） (2)请你写出满足条件的两个“差好集合”的例子．（不要写题目中已经出现的） (3)在所有“差好集合”中，求元素个数最少的集合． 【答案】(1)不是；是 (2)，（合理即可） (3) 【分析】（1）当有理数a是集合中的元素时，有理数也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“差好集合”，计算后验证一下即可判断； （2）根据有理数a是集合中的元素时，有理数也必是这个集合中的元素这个条件尽量写元素少的集合； （3）在所有的“差好集合”中，元素个数最少就是一个，根据，即可求出元素个数最少的集合． 【详解】（1）解：，6不是集合中的元素， 集合不是“差好集合”， ，而都是该集合的元素， 集合是“差好集合”； （2）解：例如：，（合理即可）； （3）解：元素个数最少的集合就是只有一个元素的集合， ∵， ∴元素个数最少的集合为 题型4.有理数加减混合运算、省略加号和括号的形式 1．我们规定表示不超过x的最大整数，例如，，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据的定义，先将各取整运算转化为整数，再代入原式计算． 【详解】解：，，． ， ， ． 原式 ． 2．定义新运算“◎”，规定：，例如，则________________________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将，代入公式，计算绝对值的和即可得到结果. 【详解】解：由定义可知，， 将，代入得： . 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型5.有理数加减混合运算简便运算与实际应用 1．，这个运算应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【详解】解：等式左侧到右侧，将原本分散的整数项、分数项分别调整位置后归类，再将两类分别结合计算，应用了加法交换律和结合律． 2．__________． 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 3．已知，． (1)______． (2)请计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断绝对值内差的正负，结合绝对值的性质计算； （2）先去绝对值符号，利用中间项抵消的方法简化计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ∵，，，， ∴原式 ． 题型6.数轴上两点距离、根据数轴上点的位置判断式子正负 1．已知在数轴上点表示的数为，点到点的距离为8个单位长度，且点在原点左侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】点的位置有两种可能，需结合“在原点左侧”的限定条件排除不符合的情况． 【详解】解：∵点表示的数为，点到点的距离为8个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数为． 2．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由数轴得，，结合有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， 故选项B中结论正确，符合题意． 3．如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 表示的数是 4． (1)点 是线段 的中点，求点 表示的数． (2)点 表示的数是 ，求点 到点 、点 的距离． (3)点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；点 同时从点 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，、 两点相遇？ 【答案】(1) (2)； (3) 秒 【分析】本题小问1和小问2考查数轴的距离、平移和中点问题，小问3考查数轴上的动点相遇问题． 【详解】（1）， 点 是线段 的中点， 点表示的数是：． （2）点到点的距离是：， 点到点的距离是：． （3），两点速度和为 （单位长度/秒）， 两点相遇时间是：（秒） 答：经过秒的时间，两点相遇． 题型7.有理数乘法运算、倒数 1．个有理数相乘，其中负因数个数有个，那么这个因数乘积的结果是（     ） A．负数 B．正数 C．不能是正数 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分因数中含和不含两种情况，根据有理数的乘法法则判断即可． 【详解】解：∵个有理数相乘，负因数有个，未明确含不含， ∴需分两种情况讨论： 若因数中含，则乘积为； 若因数中不含0，负因数个数为奇数，则乘积为负数； ∴乘积只能是或负数，不可能是正数． 2．的相反数是________，的绝对值是________，的倒数是________． 【答案】 4 /0.6 【分析】根据相反数、倒数的定义以及绝对值的性质作答即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，将的符号改变，可得的相反数为4； 根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，是正数，因此的绝对值为； 计算的倒数：首先将带分数转化为假分数：，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，将分子、分母交换位置，符号保持不变，可得的倒数为． 3．已知均为有理数，现定义一种新的运算，规定：．例如：． 求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入新运算公式计算即可； （2）按照运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算减法． 【详解】（1） 解： ∵ ， ∴ ； （2）解：， ， ∴ . 题型8.有理数乘法运算律及乘法实际应用 1．若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）． 进出食品的质量（单位：吨） 4 3 进出次数 2 1 4 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是元。求这一天运进和运出冷冻食品的总运费． 【答案】(1)这天冷库的冷冻食品质量相比原来减少了． 计算当天进出食品的总质量变化： （吨）， ∵结果为负数， ∴总质量较原来减少5吨． (2)元． 【分析】（1）利用各个进出的质量乘以对应的次数，再相加即可得到答案． （2）先求运进运出的冷冻食品总质量的和，再乘以300即可求出总费用． 【详解】（1）略． （2）解：运进运出的冷冻食品总质量：（吨）， 总费用：（元）， ∴一天运进运出冷冻食品的总运费元． 题型9.有理数除法运算及除法的实际应用 1．下列分数化简，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分数化简、符号法则：同号得正，异号得负，再约去分子分母最大公因数． 【详解】解：，错误． ，错误． ，正确． ，错误． 2．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 【答案】 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， ∴． 3．如图是淮安到南京公路上的一块交通标志牌，上面的两个交通标志分别表示此路段机动车的最大速度不能超过，此地距南京长江大桥． (1)若驾车通过这段路程用时，则汽车的速度是多少？ (2)在遵守交通规则的前提下，匀速行驶的汽车从这块标志牌处到达南京长江大桥最少需要多少分钟？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据速度路程时间求解即可； （2）根据时间路程速度求解即可. 【详解】（1）解：， 答：汽车的速度是； （2）解：， 答：遵守交通规则的前提下，匀速行驶的汽车从这块标志牌处到达南京长江大桥最少需要分钟. 题型10.有理数乘除混合运算、简便运算 1．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】按照有理数乘除混合运算从左到右的运算顺序，先计算，再算，最后算，选出对应正确选项即可． 【详解】解： ． 2．用简便方法计算：______． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法后，提取公因式，利用乘法分配律简化计算，先计算括号内的带分数加减，再得到最终结果． 【详解】解： ． 3．计算下列各题，写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简符号，再分组进行有理数加减运算； （2）去括号，利用加法交换律把同分母分数合并再计算； （3）利用乘法分配律，用括号外的数分别乘以括号内每一项，再加减运算即可； （4）先把除法转化为乘法运算，再用乘法交换律、结合律分组约分，算出结果即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型11.有理数四则混合运算及实际应用 1．定义一种新运算，，则的结果为（     ） A． B．5 C．7 D． 【答案】B 【分析】根据新定义列式，先算乘法，再算加减法即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．对于有理数，，定义一种新运算：．则的值为________，的值为________． 【答案】 【分析】按照新运算定义，分步代入计算，有括号先计算括号内的部分． 【详解】解：计算，将，代入得： ． 计算，先算括号内的： 将，代入得： ． 再计算括号外的，将，代入得： ． 因此，的值为，的值为． 3．水果店引进一批智利进口车厘子，一共20盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（g） 0 盒数（盒） 3 4 3 2 6 2 (1)求这20盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为15元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为12元．若按上述标准分级销售，求这20盒车厘子的总销售收入． 【答案】(1) 这20盒车厘子的总净重为 (2) 这20盒车厘子的总销售收入为元 【分析】（1）计算20盒的总偏差，结合标准总质量求总净重； （2）先根据分级标准确定特级果的总重量，再分别计算两类果的销售收入，求和得到总销售收入． 【详解】（1）解：计算20盒车厘子的总偏差： ， 20盒的标准总质量为：， 总净重为：， 答：这20盒车厘子的总净重为； （2）解：单盒净重不低于为特级果，由可知，每盒与标准质量的差不小于即为特级果， 对应偏差为、、, 特级果总重量为：, 一级果总重量为：， 特级果销售收入为：（元）， 一级果销售收入为：（元）， 总销售收入为：（元）， 答：这20盒车厘子的总销售收入为元． 题型12.数轴上的翻折问题 1．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、18，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴求出点表示的数，再根据折叠的性质求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵，且点在点B的右侧， ∴点表示的数为， ∵将数轴向右对折后点A与点重合， ∴点C表示的数为． 2．如图，在可折叠的数轴上，点，表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若，且点在点右侧，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】先计算出折叠后点表示的数，再计算折叠前后两数的平均数即可． 【详解】解：∵折叠后，且点在点右侧， 又∵点表示的数为， ∴折叠后点表示的数为， ∵折叠前点表示的数为， ∴折点表示的数为． 3．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 【答案】(1) (2)A点表示，B点表示1014； (3)或 【分析】（1）求出折叠中心，根据折叠中心到两个点的距离相等，进行求解即可； （2）根据折叠中心到两个点的距离相等，以及两点间的距离公式进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，折叠中心表示的数为， ， 故表示15的点与表示的点重合； （2）解：由（1）知，折叠中心表示的数为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合，A在B的左侧， ∴点表示的数为；点表示的数为； （3）解：∵，点A、B表示的数分别是、10， ∴点表示的数为或， ∴点表示的数为或. ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．根据加法交换律有 B．与的结果相同 C． D．根据加法结合律有 【答案】C 【分析】将有理数减法转化为加法，结合加法运算律、绝对值运算判断各选项. 【详解】解：选项A：，由加法交换律得，错误； 选项B：，，，错误； 选项C：左边，由加法结合律得，与右边相等，正确； 选项D：，由加法结合律得，错误. 2．有理数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中，正确的是（     ） ①若，则一定会有；②若，则一定会有； ③若，则一定会有；④若，则一定会有； A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由数轴得出 ，根据有理数乘法法则及符号性质逐项判断． 【详解】解：由数轴可知 ， 对于①，， 同号， 同为正数或同为负数， 若同为正数，则， ， ； 若同为负数，则， ， ，故 ①正确； 对于②，若，则 同号， 当且 时，，故②错误； 对于③，， 异号， ， ， ， ， ， ， ，故 ③正确 对于④，， ， 当 时，，故④错误； 综上所述，正确的是①③． 3．有下列五个算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：①，故①错误． ②，故②错误． ③，故③错误． ④，故④正确． ⑤，故⑤正确． ∴正确的算式有④⑤，共2个． 4．如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度． 则数轴上点B所对应的数b为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据刻度尺上的刻度与数轴上的单位长度的比值不变求解出单位长度，再求出、之间在数轴上的距离，即可求解． 【详解】解：∵在数轴上，A，C对应的数分别为，5， ∴， ∵刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴刻度尺上，， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵刻度尺上，点B对应刻度， ∴刻度尺上，， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数为． 二、填空题 5．的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6．正方形的边长，其顶点在数轴上且表示的数为，若点也在数轴上，且，则点所表示的数为____________________． 【答案】1或 【分析】分两种情况：点E在点A的右侧；点E在点A的左侧，即可确定点E表示的数． 【详解】解：由于， 当点E在点A的右侧时，则点E表示的数为； 当点E在点A的左侧时，则点E表示的数为； 7．若两个数的积是，其中一个数比的相反数小，则另一个数是___________． 【答案】 【分析】先根据“一个数比的相反数小”，列式求这个数，再根据“一个数与另一个数的积是”列式求另一个数，从而可得答案． 【详解】解：因为一个数比的相反数小， 所以这个数是： ， 因为与另一个数的积是， 所以另一个数为：． 8．下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为1；②若a、b互为相反数，则；③12个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当时，的最小值为3；⑤若，，则．其中正确的结论是__________．（填正确结论的序号） 【答案】①④⑤ 【分析】结合倒数、相反数、有理数乘法法则、绝对值的性质，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：①根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为，①正确； ②若，互为相反数，当时，分母为，无意义，不满足，②错误； ③个有理数相乘，若其中有一个因数为，则积为，不是负数，③错误； ④当时，，， ∴，原式的值恒为，最小值为，④正确； ⑤∵，绝对值为非负数， ∴，即， 又∵，绝对值等于本身的数是非负数， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴，即，⑤正确． 综上，正确的结论是①④⑤． 三、解答题 9．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把减法统一成加法，再依次计算； （2）先把带分数拆成，再用乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)这天下午小李一共行驶了多少路程？ 【答案】(1)小李在下午出发地的正东方向，距离出发地6千米 (2)52千米 【分析】（1）计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． （2）计算各里程的绝对值的和即可． 【详解】（1）解：∵， （千米）， ∴小李在下午出发地的正东方向，距离出发地6千米． （2）解：∵（千米）， ∴这天下午小李一共行驶了52千米． 11．某数学小组在一张白纸上制作了一条数轴，如图： (1)【操作一】 折叠纸片，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)【操作二】 折叠纸片，使表示的点与表示5的点重合，解答以下问题： ①表示7的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离是8（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则A，B两点表示的数分别是多少？ 【答案】(1) (2)①；②表示的数是，表示的数是6 【分析】（1）折叠点为折叠后互相重合的两个点的中点，据此求出折叠点表示的数即可得到答案； （2）①折叠点为折叠后互相重合的两个点的中点，据此求出折叠点表示的数即可得到答案；②根据题意可得点A和点B到折叠点的距离，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠纸片，使表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴表示的点与表示的点重合； （2）解：①∵折叠纸片，使表示的点与表示5的点重合， ∴折叠点表示的数为， ∴表示7的点与表示的点重合； ②∵数轴上A，B两点之间的距离是8（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合， ∴点A和点B到折叠点的距离都为4， 由（2）①可得折叠点表示的数为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为． 12．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移变换． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是_________； ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是_________； (2)翻折变换． ①若折叠数轴，使表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示_________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧，且折叠点与①相同），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示_________，点B表示_________； (3)如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且．求点C表示的数． 【答案】(1)①；② (2)①；②，1013 (3)或 【分析】（1）①规定数轴负方向移动记作负数、正方向记作正数，根据移动过程列出加法算式计算 ；②寻找跳动周期规律，每两次跳动整体向右移动1个单位，用总次数除以2算出周期组数得到结果； （2）①先求折叠中心点，利用折叠两点到折点距离相等，求出与重合的数；②折点不变，由A、B距离算出两点到折点的距离，结合A在B左侧求出两点数值； （3）先算出A、B距离，根据折叠性质得到，再结合得到，最后算出C代表的数． 【详解】（1）解：①从原点处先向负方向移动4个单位长度为， 再向正方向移动1个单位长度为， 故用算式表示为； ②由题意得机器人每跳两次后向右移动1个单位， ， 当它跳次时，向右移动个单位， 当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是； （2）解：①折叠纸条后表示的点与表示3的点重合， 是从表示的点折叠的， ， 表示7的点与表示的点重合； ②数轴上、两点之间的距离为（折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合， 、两点分别距表示的点个单位， 在的左侧， 点表示，点表示； （3）解：点、表示的数分别是、，以点为折点，将数轴向右对折，点对应的点落在数轴上， ，， ①当点在点的右侧时： 比大， ∴， 即， 点表示的数为； ②当点在点的左侧时： 比大， ∴， 即， 点表示的数为． 综上：点表示的数为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加减、乘除运算期中复习讲义 ✵复习目标 · 熟练掌握有理数加减法则，会运用加法运算律简便运算，能解决加减相关实际问题。 · 掌握数轴两点距离公式，能依据数轴上点的位置判断和、差式子的符号，掌握数轴翻折模型。 · 掌握有理数乘除法则与倒数概念，能正向、逆向灵活运用乘法分配律简化运算，解决乘除实际问题。 · 牢记四则混合运算顺序，规范书写步骤，综合运用法则解决应用型问题。 ✵高频题型梳理 题型1.有理数加法运算、加法符号问题 题型2.有理数加法运算律、加法简便计算与加法实际应用 题型3.有理数减法运算及减法实际应用 题型4.有理数加减混合运算、省略加号和括号的形式 题型5.有理数加减混合运算简便运算与实际应用 题型6.数轴上两点距离、根据数轴上点的位置判断式子正负 题型7.有理数乘法运算、倒数 题型8.有理数乘法运算律及乘法实际应用 题型9.有理数除法运算及除法的实际应用 题型10.有理数乘除混合运算、简便运算 题型11.有理数四则混合运算及实际应用 题型12.数轴上的翻折问题 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数加法 法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；一个数与0相加，仍得原数。 运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 知识点二、有理数减法 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b） 加减混合运算统一转化为加法，写成省略加号、括号的代数和形式。 知识点三、数轴相关 两点距离：数轴上表示m、n两点的距离为|m-n|，距离是非负数。 符号判断：结合点在原点的位置、绝对值大小，判断和式、差式的正负。 翻折模型：翻折后，对应两点到折点的距离相等；折点为对应两点的中点。 知识点四、有理数乘法 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 多个非零有理数相乘：积的符号由负因数个数决定，奇负偶正；算式中只要有一个因数为0，积为0。 运算律 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac； 逆用：ab+ac=a(b+c) 知识点五、倒数 乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数；a(a≠0)的倒数是，倒数的正负与原数一致。 知识点六、有理数除法 法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数，结果为0。 转化：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a· (b≠0) 提示：0不能作为除数。 知识点七、乘除混合、四则混合运算 乘除同级运算：从左向右依次计算；一般先转化为乘法，统一形式后先定符号，再约分计算。 四则混合运算（不含乘方）：先乘除，后加减；有括号，先算括号内。 ✵易错提醒 1. 减法变加法，只改减数符号。 2. 0无倒数；0可做被除数，不能作除数。 3. 多个数相乘，符号看负因数个数：奇负偶正。 4. 分配律逐项相乘，不漏乘、看清公因数符号。 5. 乘除同级，从左往右算，不能乱调顺序。 6. 数轴距离非负；翻折抓 “到折点距离相等”。 7. 计算口诀：先定符号，再算绝对值。 ✵典例精讲 题型1.有理数加法运算、加法符号问题 1．根据有理数加法法则，计算的过程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．把写成省略加号和括号的形式为________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.有理数加法运算律、加法简便计算与加法实际应用 1．计算的值等于（     ） A． B． C．1013 D． 2．计算的结果是______． 3．出租车司机小王某天下午在东西走向的大街上营运，规定向东为正、向西为负，行车里程（单位：km）依次为：，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点多远？在出发点的东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 题型3.有理数减法运算及减法实际应用 1．我市某天的最高气温为，最低气温为零下，则计算温差列式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，，且，，则_______． 3． 把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，以这种形式表述的数集，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合中就有，，，这4个元素． 如果一个集合满足：当有理数a是集合中的元素时，有理数也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“差好集合”，例如集合就是一个“差好集合”． (1)判断：集合 “差好集合”；集合 “差好集合”．（填“是”或“不是”） (2)请你写出满足条件的两个“差好集合”的例子．（不要写题目中已经出现的） (3)在所有“差好集合”中，求元素个数最少的集合． 题型4.有理数加减混合运算、省略加号和括号的形式 1．我们规定表示不超过x的最大整数，例如，，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．定义新运算“◎”，规定：，例如，则________________________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5.有理数加减混合运算简便运算与实际应用 1．，这个运算应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 2．__________． 3．已知，． (1)______． (2)请计算． 题型6.数轴上两点距离、根据数轴上点的位置判断式子正负 1．已知在数轴上点表示的数为，点到点的距离为8个单位长度，且点在原点左侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D．或 2．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 表示的数是 4． (1)点 是线段 的中点，求点 表示的数． (2)点 表示的数是 ，求点 到点 、点 的距离． (3)点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；点 同时从点 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，、 两点相遇？ 题型7.有理数乘法运算、倒数 1．个有理数相乘，其中负因数个数有个，那么这个因数乘积的结果是（     ） A．负数 B．正数 C．不能是正数 D．以上都不对 2．的相反数是________，的绝对值是________，的倒数是________． 3．已知均为有理数，现定义一种新的运算，规定：．例如：． 求： (1)的值． (2)的值． 题型8.有理数乘法运算律及乘法实际应用 1．若，则的值可表示为（     ） A． B． C． D． 2．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 3．某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）． 进出食品的质量（单位：吨） 4 3 进出次数 2 1 4 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是元。求这一天运进和运出冷冻食品的总运费． 题型9.有理数除法运算及除法的实际应用 1．下列分数化简，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 3．如图是淮安到南京公路上的一块交通标志牌，上面的两个交通标志分别表示此路段机动车的最大速度不能超过，此地距南京长江大桥． (1)若驾车通过这段路程用时，则汽车的速度是多少？ (2)在遵守交通规则的前提下，匀速行驶的汽车从这块标志牌处到达南京长江大桥最少需要多少分钟？ 题型10.有理数乘除混合运算、简便运算 1．（     ） A．2 B． C．1 D．4 2．用简便方法计算：______． 3．计算下列各题，写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11.有理数四则混合运算及实际应用 1．定义一种新运算，，则的结果为（     ） A． B．5 C．7 D． 2．对于有理数，，定义一种新运算：．则的值为________，的值为________． 3．水果店引进一批智利进口车厘子，一共20盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（g） 0 盒数（盒） 3 4 3 2 6 2 (1)求这20盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为15元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为12元．若按上述标准分级销售，求这20盒车厘子的总销售收入． 题型12.数轴上的翻折问题 1．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、18，现以点C为折点，将数轴向右对折后点A与点重合，若，则C点表示的数是（     ） A．0 B． C． D． 2．如图，在可折叠的数轴上，点，表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若，且点在点右侧，则点表示的数是______． 3．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．根据加法交换律有 B．与的结果相同 C． D．根据加法结合律有 2．有理数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中，正确的是（     ） ①若，则一定会有；②若，则一定会有； ③若，则一定会有；④若，则一定会有； A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．有下列五个算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度． 则数轴上点B所对应的数b为（     ） A．3 B． C． D． 二、填空题 5．的值是______． 6．正方形的边长，其顶点在数轴上且表示的数为，若点也在数轴上，且，则点所表示的数为____________________． 7．若两个数的积是，其中一个数比的相反数小，则另一个数是___________． 8．下列说法：①两个数互为倒数，则它们的乘积为1；②若a、b互为相反数，则；③12个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当时，的最小值为3；⑤若，，则．其中正确的结论是__________．（填正确结论的序号） 三、解答题 9．计算． (1) (2) 10．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)这天下午小李一共行驶了多少路程？ 11．某数学小组在一张白纸上制作了一条数轴，如图： (1)【操作一】 折叠纸片，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)【操作二】 折叠纸片，使表示的点与表示5的点重合，解答以下问题： ①表示7的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离是8（点A在点B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则A，B两点表示的数分别是多少？ 12．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移变换． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是_________； ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是_________； (2)翻折变换． ①若折叠数轴，使表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示_________的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧，且折叠点与①相同），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示_________，点B表示_________； (3)如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且．求点C表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $