专题03 有理数的加减运算 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题03有理数的加减运算期中复习讲义 1.概念理解：理解有理数加法、减法的意义，熟记有理数加法法则、减法法则，掌握减法转化为加法的核心思想，知道减去一个数等于加上这个数的相反数。 2.运算技能：能熟练进行两个及多个有理数的加减运算；会判断符号，准确处理负数、括号，减少符号类计算错误；能运用加法交换律、结合律简化加减混合运算。 3.混合运算掌握：熟练把有理数加减混合算式统一写成省略加号和括号的形式，能正确读出式子，并进行简便运算。 4.实际应用：可以利用有理数加减运算解决简单实际问题，例如温度变化、水位升降、收支、行程变化等问题，会列式计算。 5.数形结合：能借助数轴理解有理数加减的几何意义，会利用数轴判断加减运算结果的正负。 6.易错点辨析：分清相反数与倒数概念，避免符号混淆；区分运算顺序，杜绝跳步造成计算失误；能对计算结果进行简单检验。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★★ 题型十 省略加号和括号的形式 ★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上两点之间的距离 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） · 互为相反数的先结合，凑0； · 同号数字先结合； · 小数、分数能凑整数的优先结合； · 分母相同的分数合并计算。 例：(-5)+7+5=(-5+5)+7=0+7=7 知识点03:有理数的减法 （一）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 核心：减法统一转化为加法计算。 （二）减法计算两步变形 把减号变为加号；. 将减数换成它的相反数，被减数保持不变。 举例： 8-12=8+(-12)=-4 -3-(-6)=-3+6=3 -5-4=-5+(-4)=-9 知识点04:有理数加减混合运算 （一）统一成加法算式 所有减法按照法则转化为加法，式子全部变为几个有理数相加的形式。 例：(-7)-(+9)+(-3)-(-6) 转化：(-7)+(-9)+(-3)+6 （二）省略括号与加号（和式写法） 正数前的 “+”、括号可以省略，只保留数字自带符号，读作 “负 7 减 9 减 3 加 6” 或 “负 7、负 9、负 3、正 6 的和”。 上式简写：-7-9-3+6 （三）加减混合运算顺序与简便方法 1.无括号：从左往右依次计算； 2.有括号：先算括号内部； 3.简便运算思路：运用加法交换律、结合律归类计算 ① 所有正数结合在一起相加； ② 所有负数结合在一起相加； ③ 最后将两部分结果做异号相加。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为(-3)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点08:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型一、有理数加法运算 1．计算：_______． 【答案】/ 【详解】解：． 2．设表示不小于x的最小整数，如，，则和所表示的数之和等于（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】结合题中定义与示例确定的取整规则，再代入计算两数之和． 【详解】解：由题中定义及示例可知，为不小于的最小整数， ∴ ，， ∴ 两数之和为． 3．将，，，， ， ，这个自然数填在图中的个格子里，每个格子只填一个数，使“田”字形的个格子中所填数字之和都等于，那么的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算． 根据题意知有两个格子中的数重复出现两次，设这两个数为，，则，由此可得当最大时，最大，结合已知即可得的最大值． 【详解】解：设“田”字形重叠的两个格子中的数为，， 根据题意可得， ∴， ∴当最大时，最大， 根据题意可知，，为整数， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 题型二、有理数加法中的符号问题 4．用“>”“<”或“=”填空． （1）若，则_____0； （2）若，且，则_____0． 【答案】 > > 【分析】（1）两个正数相加，得到正数； （2）一正一负两数相加，结果的符号由绝对值大的数决定． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，，且， ∴． 故答案是：>，>． 【点睛】本题考查有理数加法运算符号的判断，解题的关键是掌握有理数加法运算法则． 5．如果x＜0，y＞0，且︱x︱＞︱y︱，那么x＋y=_____0（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】由已知得x为负数，y为正数，且负数的绝对值较大，根据有理数的加法法则判断x+y的符号． 【详解】∵x＜0、y＞0，且|x|＞|y|， ∴x+y＜0． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则．能够根据已知条件正确地判断出x、y的符号是解答此题的关键． 6．下列结论不正确的是(       ) A．若a＞0，b＜0，且a＞|b|，则a＋b＜0 B．若a＜0，b＞0，且|a|＞b，则a＋b＜0 C．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 D．若a＜0，b>0，则a－b＜0 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：A．异号两数相加取绝对值较大加数的符号，故A错误，与要求相符； B．异号两数相加取绝对值较大加数的符号，故结果符号与a的符号一致，故B正确，与要求不相符； C．同号两数相加，取相同的符号，故C正确，与要求不相符； D．负数减正数等于负数加负数，所以结果小于0，故D正确，与要求不相符． 【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，掌握有理数加法法则是解题的关键． 题型三、有理数加法在生活中的应用 7．有一冷库温度为，将温度调高后，现在的温度是______． 【答案】 【分析】用原温度加上调高的温度，计算得到现在的温度． 【详解】解：∵原冷库温度为，调高， ∴现在的温度为． 8．某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的定义，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键．根据正负数的实际意义进行解题即可． 【详解】解：， 故某地一天早晨的气温是℃，到了中午，气温上升了10℃，则中午的气温是8℃． 故选C． 9．新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 题型四、有理数加法运算律 10．计算的结果是______． 【答案】0 【详解】解： ． 11．计算的值为______． 【答案】 【分析】利用加法结合律将相邻两个异号数分组，先计算每组的和，再加上剩余的最后一项即可求解． 【详解】解： 每组计算结果为，前个数一共可分为组 因此原式 ． 12．125+67+75＝67+（125+75）应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】根据计算过程中应用的运算定律解答即可. 【详解】∵125与67交换了位置计算， ∴应用了交换律， ∵将125与25结合优先计算， ∴应用了结合律， ∴运用了加法交换律和加法结合律． 故选C. 【点睛】本题考查了加法运算律，在计算加法算式时，加法交换律和加法结合律常常结合在一起使用． 题型五、有理数的减法运算 13．已知，，，则，，的关系正确的是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分别计算，，，然后比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∴，． 14．，，，那么_______． 【答案】4或10 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法，运用分类讨论思想是解题的关键．根据绝对值的意义可得，，再分情况讨论的值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，， 综上所述，的值是4或10， 故答案为：4或10． 15．下列运算的结果是负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的运算，负整数指数幂等知识，根据运算法则计算即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； ∵ ∴选项D符合题意； 故选：D． 题型六、有理数减法的实际应用 16．长春某一天的气温是： ，则长春这一天的温差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】温差为最高气温减去最低气温，通过有理数减法求解． 【详解】解：， 即长春这一天的温差为． 17．受强冷空气影响，湖南多地冬季气温大幅下降，长沙县最低气温为，最高气温为，这天的日温差是_______________． 【答案】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键； 根据题意用最高气温减去最低气温，即可得出结果． 【详解】解：某天最低气温为，最高气温为， 这天的日温差是； 故答案为： 18．某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋不同品牌的月饼，它们的质量最多相差（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先明确每种品牌月饼的质量范围，因为标注为的形式，所以质量最大值为标称值加上偏差，最小值为标称值减去偏差．要得到不同品牌两袋质量的最大差值，需先找到所有品牌质量的最大值和所有品牌质量的最小值，且最大值和最小值需来自不同品牌，如果两个最值来自不同品牌，那么二者的差就是最大可能差值．计算找到的最值的差，对应选项得出结果． 【详解】要找不同品牌两袋月饼的最大质量差，只需找到所有品牌中质量的最大值和最小值，再计算二者的差即可： 先分别确定三个品牌的质量波动范围： 标有的月饼，质量范围是 标有的月饼，质量范围是 标有的月饼，质量范围是 ， ， ， ∴从中任意拿出两袋不同品牌的月饼，它们的质量最多相差． 题型七、有理数的加减混合运算 19．把化为几个有理数相加的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则即可转化成几个有理数相加的形式． 【详解】解：． 20．定义运算“”，对于两个有理数，，有，则______． 【答案】 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 21．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． （    ） 例如：，．则下列结论正确的有 ①；     ②； ③若，则的取值范围是； ④当时，的值为0、1、2． A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过的最大整数． 根据定义，计算求解判断． 【详解】解：根据定义，得，故①正确； 当x是整数时，； 当x是正小数时，且整数为a，； 当x是负小数时，且整数为a，；故②错误； 若，则，解得，故③错误； 当时，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 的值不可能为0， 综上的值为，，故④错误； 故正确的个数有1个， 故选：A． 题型八、有理数加减中的简便运算 22．，这个运算应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【详解】解：等式左侧到右侧，将原本分散的整数项、分数项分别调整位置后归类，再将两类分别结合计算，应用了加法交换律和结合律． 23．的值为_________． 【答案】 【分析】观察算式可得符号规律为两正两负，将每4个数分为一组计算，即可求出结果． 【详解】解：观察算式，将每4个数分为一组，得 原式 ∵ 每组的和为， 总共有组， ∴ 原式． 24．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目定义的运算，将原式给展开，可以化简成，算出结果． 【详解】解：∵a※b=， ∴1※2+2※3+3※4+…+2019※2020 = = =． 故答案为：D． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 题型九、有理数加减混合运算的应用 25．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入14元 B．收入3元 C．支出3元 D．支出17元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减应用，根据题意正确列式是解题的关键． 先根据题意列出算式，再根据有理数的加减法进行计算，最后根据结果的正负即可解答． 【详解】解：依题意得，即支出3元． 故选C． 26．炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要________分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据生产和冷却要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据产品A，B，C生产和冷却的时间，结合加工要求分情况解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：生产产品的同时可以冷却其他多个产品， 生产A产品需要2分钟，生产B产品需要7分钟，可在生产B产品的同时冷却A产品， 生产1个A产品1个B产品并冷却1个A产品共需要9分钟，即分钟； 生产C产品的同时冷却B产品，冷却B产品需要10分钟，生产C产品需要6分钟， 生产C产品后还需冷却B产品1分钟， 冷却C产品需要3分钟， 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟， 故答案为：19； （2）由（1）知按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 同理：按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要分钟； 若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照“”的顺序生产，并完成冷却， 故答案为：． 27．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 题型十、省略加号和括号的形式 28．把写成省略括号的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，逐一去掉式子中的括号，合并符号即可得到省略括号的形式． 【详解】解：根据去括号法则， ． 29．把写成省略加号的和的形式是_________． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 30．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．数轴上表示的点如图所示，下列式子中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的位置确定各数的正负和绝对值的大小，从而得到解答． 【详解】根据在数轴上的位置，可知， A选项说法正确，符合题意，其余的选项都错误，不符合题意． 32．有理数，，在数轴上的位置如图所示，以下结论中； ； ； ； ，正确的有______（填入所有正确结论的序号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示数，根据数轴分别判断，，，的正负，然后逐项排除即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】根据数轴可判断： ，，，， 则，故判断错误； ，故判断错误； ，故判断正确； ，故判断正确； 故答案为：． 33．在数轴上，a，b所表示的数如图所示，下列结论正确的是（　　）    A．a+b＞0 B．|b|＜|a| C．a﹣b＞0 D．a•b＞0 【答案】C 【分析】先根据数轴判定a、b、a+b、a-b的正负，然后进行判定即可. 【详解】解：由数轴可得， b＜﹣2＜0＜a＜2， ∴a+b＜0，故选项A错误， |b|＞|a|，故选项B错误， a﹣b＞0，故选项C正确， a•b＜0，故选项D错误， 故答案为C． 【点睛】本题考查了数轴的应用、绝对值、正数和负数的相关知识，解题的关键在于根据数轴判定字母和代数式的正负. 题型十二、数轴上两点之间的距离 34．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：刻度尺上和分别对应数轴上的3和0， 即刻度尺和数轴的单位长度相同， ∵刻度尺上对应数轴上的0， ∴刻度尺上对应数轴上的数为． 故选：B． 35．如图，将一刻度尺放在数轴上，数轴上点，在刻度尺上分别对应刻度“”和刻度“”，若点对应数轴上，刻度尺上的“”对应数轴上，则点对应数轴上的数为________． 【答案】 【详解】解：点在刻度尺上对应刻度“”，点对应数轴上，刻度尺上的“”对应数轴上， 数轴上的一个单位长度与刻度尺的单位长度一致， ∴点对应数轴上的数为． 36．如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，了解对折的含义是解题的关键． 设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分点在点B的左边和点在点B的右边，两种情况分别求解即可． 【详解】解：设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分两种情况： ①点在点B的左边，到点B的距离为4，此时点表示的数为4， 所以点C表示的数为； ②点在点B的右边，到点B的距离为4，此时点表示的数为12， 所以C表示的数为0． 所以乙、丙的答案合在一起才完整， 故选C． 解答题 37．整数加法 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 39．秋季，核桃产区进入采收期，收购商老张持续跟踪本地青皮鲜核桃的收购行情．上周日记录的青皮鲜核桃基准收购价为元/斤，下表为本周内，每日收购价格较前一天的涨跌情况（价格上涨记为正数，价格下跌记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 较前一天价格涨跌情况/元 (1)星期四青皮鲜核桃的收购价格为多少？ (2)本周内青皮鲜核桃收购的最高价格为多少？最低价格为多少？ (3)请通过计算说明星期五的收购价格与星期二的收购价格相比，是上涨还是下跌？变化了多少元？ 【答案】(1)元/斤 (2)本周内青皮鲜核桃收购的最高价格为元/斤，最低价格为元/斤． (3)下跌，跌了元． 【分析】（1）先求出前四天青皮鲜核桃的价格整体涨跌情况，再加上青皮鲜核桃基准收购价，即可求出星期四青皮鲜核桃的收购价格． （2）分别求出每一天的收购价格，然后比较大小，即可求出最高价格和最低价格． （3）比较星期二和星期五的价格，即可推出下跌，将二者相减即可求出跌了多少． 【详解】（1）解：由题意可得 （元/斤）， 青皮鲜核桃基准收购价为元/斤， 星期四青皮鲜核桃的收购价格为（元/斤）． （2）解：星期一的青皮鲜核桃的收购价格为（元/斤）， 星期二的青皮鲜核桃的收购价格为（元/斤）， 星期三的青皮鲜核桃的收购价格为（元/斤）， 星期四的青皮鲜核桃的收购价格为（元/斤）， 星期五的青皮鲜核桃的收购价格为（元/斤）， ， 本周内青皮鲜核桃收购的最高价格为元/斤，最低价格为元/斤． （3）解：由（2）可知，星期二的收购价为元/斤，星期五的收购价为元/斤， ， 星期五的收购价格与星期二的收购价格相比，是下跌了， （元/斤）， 跌了元． 40．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的距离等于1，这样的数x可以是0或2． 解决问题 (1)________． (2)若，则________；若，则________． (3)表示数轴上有理数x所对的点到和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得． 答：所有满足条件的x有________ (4)若x表示一个有理数，有最小值吗？ 答：________（填“有”或“没有”） 若有最小值，当________时，最小值是________．若没有最小值，请说明理由． 【答案】(1)7 (2)4或； (3) (4)有，，6 【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可； （2）根据绝对值的性质求解即可； （3）结合数轴和的几何意义求解即可； （4）结合数轴求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：表示的是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离， ∴或． 表示的是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离， ∴． （3）解：∵， ∴如图，使得的所有符合条件的整数的值为， （4）解：表示的是数轴上有理数所对的点到，和1所对的三点距离之和， ∵， ∴如图，当时，的值最小，最小值为6． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加减运算期中复习讲义 1.概念理解：理解有理数加法、减法的意义，熟记有理数加法法则、减法法则，掌握减法转化为加法的核心思想，知道减去一个数等于加上这个数的相反数。 2.运算技能：能熟练进行两个及多个有理数的加减运算；会判断符号，准确处理负数、括号，减少符号类计算错误；能运用加法交换律、结合律简化加减混合运算。 3.混合运算掌握：熟练把有理数加减混合算式统一写成省略加号和括号的形式，能正确读出式子，并进行简便运算。 4.实际应用：可以利用有理数加减运算解决简单实际问题，例如温度变化、水位升降、收支、行程变化等问题，会列式计算。 5.数形结合：能借助数轴理解有理数加减的几何意义，会利用数轴判断加减运算结果的正负。 6.易错点辨析：分清相反数与倒数概念，避免符号混淆；区分运算顺序，杜绝跳步造成计算失误；能对计算结果进行简单检验。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★★ 题型十 省略加号和括号的形式 ★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上两点之间的距离 ★★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点02:加法运算律（简化混合计算核心） 有理数范围内，加法交换律、结合律仍然成立 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).，改变相加顺序，和不变 四大简便凑整分组技巧（阅卷得分方法） · 互为相反数的先结合，凑0； · 同号数字先结合； · 小数、分数能凑整数的优先结合； · 分母相同的分数合并计算。 例：(-5)+7+5=(-5+5)+7=0+7=7 知识点03:有理数的减法 （一）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：a-b=a+(-b) 核心：减法统一转化为加法计算。 （二）减法计算两步变形 把减号变为加号；. 将减数换成它的相反数，被减数保持不变。 举例： 8-12=8+(-12)=-4 -3-(-6)=-3+6=3 -5-4=-5+(-4)=-9 知识点04:有理数加减混合运算 （一）统一成加法算式 所有减法按照法则转化为加法，式子全部变为几个有理数相加的形式。 例：(-7)-(+9)+(-3)-(-6) 转化：(-7)+(-9)+(-3)+6 （二）省略括号与加号（和式写法） 正数前的 “+”、括号可以省略，只保留数字自带符号，读作 “负 7 减 9 减 3 加 6” 或 “负 7、负 9、负 3、正 6 的和”。 上式简写：-7-9-3+6 （三）加减混合运算顺序与简便方法 1.无括号：从左往右依次计算； 2.有括号：先算括号内部； 3.简便运算思路：运用加法交换律、结合律归类计算 ① 所有正数结合在一起相加； ② 所有负数结合在一起相加； ③ 最后将两部分结果做异号相加。 知识点05:数轴辅助理解加减运算（数形结合考点） 加法：向右加正数，向左加负数 例：-2+3，数轴上-2点向右移动 3 个单位，结果为1； 减法：a-b等价于a+(-b)，向左移动b个单位 例：1-4，数轴上1点向左移动 4 个单位，结果为(-3)。 知识点06:有理数加减实际应用题型 1.通用解题步骤 (1)设定正负标准：规定上升、收入、零上、向东为正，相反量为负； (2)根据题意列出有理数加减混合算式； (3)计算代数和； (4)根据结果正负、数值回答实际意义。 2.常见应用场景 温度变化：初始温度 ± 升降温度； 海拔高度：基准高度 ± 上下浮动； 收支盈亏：原有金额 ± 收入 / 支出； 行程移动：初始位置 ± 前进 / 后退距离。 知识点07:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点08:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型一、有理数加法运算 1．计算：_______． 2．设表示不小于x的最小整数，如，，则和所表示的数之和等于（     ） A． B． C．0 D．1 3．将，，，， ， ，这个自然数填在图中的个格子里，每个格子只填一个数，使“田”字形的个格子中所填数字之和都等于，那么的最大值为________． 题型二、有理数加法中的符号问题 4．用“>”“<”或“=”填空． （1）若，则_____0； （2）若，且，则_____0． 5．如果x＜0，y＞0，且︱x︱＞︱y︱，那么x＋y=_____0（填“＞”或“＜”） 6．下列结论不正确的是(       ) A．若a＞0，b＜0，且a＞|b|，则a＋b＜0 B．若a＜0，b＞0，且|a|＞b，则a＋b＜0 C．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 D．若a＜0，b>0，则a－b＜0 题型三、有理数加法在生活中的应用 7．有一冷库温度为，将温度调高后，现在的温度是______． 8．某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 9．新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 题型四、有理数加法运算律 10．计算的结果是______． 11．计算的值为______． 12．125+67+75＝67+（125+75）应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配律 题型五、有理数的减法运算 13．已知，，，则，，的关系正确的是（） A．， B．， C．， D．， 14．，，，那么_______． 15．下列运算的结果是负数的是（　　） A． B． C． D． 题型六、有理数减法的实际应用 16．长春某一天的气温是： ，则长春这一天的温差为（     ） A． B． C． D． 17．受强冷空气影响，湖南多地冬季气温大幅下降，长沙县最低气温为，最高气温为，这天的日温差是_______________． 18．某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋不同品牌的月饼，它们的质量最多相差（     ） A． B． C． D． 题型七、有理数的加减混合运算 19．把化为几个有理数相加的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 20．定义运算“”，对于两个有理数，，有，则______． 21．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． （    ） 例如：，．则下列结论正确的有 ①；     ②； ③若，则的取值范围是； ④当时，的值为0、1、2． A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 题型八、有理数加减中的简便运算 22．，这个运算应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 23．的值为_________． 24．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 题型九、有理数加减混合运算的应用 25．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入14元 B．收入3元 C．支出3元 D．支出17元 26．炼钢厂生产A，B，C三种产品．每个产品加工完成均需生产和冷却两道工序． 加工要求如下： ①生产工序每次只能生产一个产品； ②冷却工序可以多个产品同时进行； ③生产产品时可以同时冷却其它产品； ④每个产品的两道工序所需时间如下表所示： 产品 A B C 生产时间/分钟 2 7 6 冷却时间/分钟 2 10 3 已知A，B，C三种产品各生产一个． （1）若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要________分钟； （2）若使完成A，B，C三个产品的加工总时间最短，则应按照________的顺序生产． 27．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 题型十、省略加号和括号的形式 28．把写成省略括号的形式是（     ） A． B． C． D． 29．把写成省略加号的和的形式是_________． 30．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．数轴上表示的点如图所示，下列式子中正确的是（     ） A． B． C． D． 32．有理数，，在数轴上的位置如图所示，以下结论中； ； ； ； ，正确的有______（填入所有正确结论的序号）． 33．在数轴上，a，b所表示的数如图所示，下列结论正确的是（　　）    A．a+b＞0 B．|b|＜|a| C．a﹣b＞0 D．a•b＞0 题型十二、数轴上两点之间的距离 34．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 35．如图，将一刻度尺放在数轴上，数轴上点，在刻度尺上分别对应刻度“”和刻度“”，若点对应数轴上，刻度尺上的“”对应数轴上，则点对应数轴上的数为________． 36．如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 解答题 37．整数加法 (1) (2) (3) (4) (5) 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．秋季，核桃产区进入采收期，收购商老张持续跟踪本地青皮鲜核桃的收购行情．上周日记录的青皮鲜核桃基准收购价为元/斤，下表为本周内，每日收购价格较前一天的涨跌情况（价格上涨记为正数，价格下跌记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 较前一天价格涨跌情况/元 (1)星期四青皮鲜核桃的收购价格为多少？ (2)本周内青皮鲜核桃收购的最高价格为多少？最低价格为多少？ (3)请通过计算说明星期五的收购价格与星期二的收购价格相比，是上涨还是下跌？变化了多少元？ 40．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，也就是说，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的距离等于1，这样的数x可以是0或2． 解决问题 (1)________． (2)若，则________；若，则________． (3)表示数轴上有理数x所对的点到和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得． 答：所有满足条件的x有________ (4)若x表示一个有理数，有最小值吗？ 答：________（填“有”或“没有”） 若有最小值，当________时，最小值是________．若没有最小值，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $