精品解析：辽宁大连市第二十四中学2026-2027学年度高一年级第一次统练数学试题

大连市第二十四中学2026-2027学年度高一年级第一次统练数学试题 一.单项选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 已知全集，集合，那么 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简全集，利用补集概念得到结果. 【详解】由题意可得： 又 ∴ 故选C 【点睛】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键． 2. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先由不等式的解集并结合三个二次的关系可得,再将分式不等式转化为一元二次解得. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以方程的两个根为， 由韦达定理，得，所以. 因此不等式化为， 即，即，解得. 因此不等式的解集为. 3. 函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题可转化为只需即可，讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，从而求出m的范围. 【详解】在上是减函数，只需要即可， 若，则，成立； 若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立. 若，当和时，，故不成立. 所以，当时，，而是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由偶函数的性质得，且在上单调递增， 时，；时，； 不等式等价于两因式同号： ，即，解得； ，即，解得； 解得． 5. 已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性可得单调性，由此可将恒成立的不等式化为，根据二次函数图象讨论的方法可构造不等式组求得结果. 【详解】为偶函数，，关于直线对称， 又在上是增函数，在上是减函数， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当，即时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性、对称性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，对称性和单调性的作用如下： （1）对称性：统一不等式两侧符号，同时根据对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 6. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定公共函数值的取值范围，再利用韦达定理得到和的表达式，将所求乘积转化为关于的函数求值域. 【详解】设，分两段分析： 当时，，其对称轴为，最小值为3，， 故当时，在上有两个不等实根，， 令，即，由韦达定理得. 当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故当时，在上有两个不等实根，， 令即，由韦达定理得. 所以， 由上述得，则. 7. 已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按一次函数、二次函数分类，二次函数再分“重根在区间内”和“端点函数值异号（含端点验证）”两类讨论，最终合并所有符合条件的取值. 【详解】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即 ，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 8. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 二 、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“优美点”的定义，可得时的函数图象关于原点对称的图象的解析式与有交点，转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果. 【详解】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点， 当时，，将其图象关于原点对称， 所得图象的解析式为. 所以只要射线与的图象有公共点即可， 由得， 所以， 由基本不等式可得时等号成立， 所以，即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答新定义问题的一般思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式，“1的代换”，构造法，逐一进行判断. 【详解】已知，， 选项A：由，， （舍去）或，，当时等号成立，A正确. 选项B：，等号成立的条件为， 与矛盾，没有最小值，B错误. 选项C：由，，则， ， ，当时等号成立，C正确. 由，，，， 当即，时取等号，D正确. 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题6分，共18分.) 12. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理得到两根之积与两根之和与系数的关系，得到方程，解得，再验证时，原不等式解集为即可 【详解】由题设可得. 由韦达定理， 当时，原不等式无解，不满足题意. 当时，， 所以，解得. 将代入原式可得关于的不等式 此时一元二次方程满足判别式， 故的解集为，满足题意，所以 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，由于是定义在上的奇函数， 所以， 故答案为：0 14. 若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由求得，然后求导，根据二次函数性质求解可得. 【详解】因为， 所以， 即恒成立， 所以，即， 所以， 由二次函数性质知，的图象关于对称，且在单调递增， 所以，， 即，解得， 所以，等式的解集为. 故答案为： 四 、解答题(本题共5小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 设为实数，集合． （1）若，求 （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据参数求出集合，再根据并集和补集的概念，求出结果； （2）根据题目条件，判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出结果. 【小问1详解】 当时，可得，则，所以. 【小问2详解】 由，可知， 可知，可得或，解得或， 即实数的取值范围为. 16. 材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： （1）已知，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）将函数化成的形式，再设，利用给出的结论分析函数的单调性，可求函数的值域. （2）问题转化为：的值域是的值域的子集，根据集合的包含关系可求实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 设，则，且在上单调递增， 则函数可转化为. 由材料信息得，当单调递减，即时，单调递减； 当单调递增，即时，单调递增； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 由，得的值域为. 【小问2详解】 ，， 由题意，的值域是的值域的子集， 当时，，解得； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知函数（）. （1）若对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若对任意的，均存在以，，为三边边长的三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：由题意可得，对 恒成立，运用基本不等式求得不等式右边的最小值，即可求得所求范围； （2）求得的范围，由题意可得：，恒成立，即有，即可得到所求 的范围. 试题解析： （1） 　　　　　…………2分 ， 　　　　　　…………6分 （未写k大于0扣一分） (2) ， -------8分 ，， 所以，即， ； （未写k大于0扣1分）--------12分 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）当时，对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式的解集，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理求，的值； （2）利用分离参数法转化为最值求解参数范围即可. （3）需要满足两个不等式和对都成立.. 【小问1详解】 由题意得不等式的解集为， 则方程的根为， 得到，解得，故； 【小问2详解】 存在时，使成立，整理得成立，令，只需，， 此时，当且仅当时取等号 所以，可得. 【小问3详解】 当时 和对 都成立， 令，得在上恒成立， 当时，只需即可，解得； 当时，只需即可，解得（舍）； 综上 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二十四中学2026-2027学年度高一年级第一次统练数学试题 一.单项选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 已知全集，集合，那么 A. B. C. D. 2. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 5. 已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二 、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为12 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 三、填空题(本题共3小题，每小题6分，共18分.) 12. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为________________________． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 14. 若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为______. 四 、解答题(本题共5小题，共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 设为实数，集合． （1）若，求 （2）若，求实数的取值范围． 16. 材料一：已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. 材料二：当时，若函数与函数单调性相同，则函数在区间上单调递增；若函数与函数单调性不同，则函数在区间上单调递减. 阅读以上材料：解决下列问题： （1）已知，求函数的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数（）. （1）若对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若对任意的，均存在以，，为三边边长的三角形，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围； （3）当时，对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $